Angle between two straight lines Questions in Hindi

(B) रेखा $2x + y + 10 = 0$,$x$-अक्ष को $A(-5, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B(0, -10)$ पर काटती है।
$AB$ को $1:2:2$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु $P$ और $Q$ हैं।
$P$ के निर्देशांक $\left( \frac{2(-5) + 3(0)}{5}, \frac{2(0) + 3(-10)}{5} \right) = (-2, -6)$ हैं।
$Q$ के निर्देशांक $\left( \frac{4(-5) + 1(0)}{5}, \frac{4(0) + 1(-10)}{5} \right) = (-4, -2)$ हैं।
रेखाओं $MP$ और $MQ$ की ढाल $m_1 = 1/2$ और $m_2 = 3$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\tan \theta = \left| \frac{3 - 0.5}{1 + 3(0.5)} \right| = 1$ है।
अतः,$\theta = \pi / 4$।

(C) दिए गए वक्र $y = 2x$ और $x^2 - xy + 2y^2 = 28$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = 2x$ को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:
$x^2 - x(2x) + 2(2x)^2 = 28$
$x^2 - 2x^2 + 8x^2 = 28$
$7x^2 = 28 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$.
यदि $x = 2$ है,तो $y = 4$। यदि $x = -2$ है,तो $y = -4$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 4)$ और $(-2, -4)$ हैं।
प्रथम वक्र $y = 2x$ के लिए,ढाल $m_1 = \frac{dy}{dx} = 2$ है।
दूसरे वक्र $x^2 - xy + 2y^2 = 28$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x - (y + x\frac{dy}{dx}) + 4y\frac{dy}{dx} = 0$
$\frac{dy}{dx}(4y - x) = y - 2x \implies \frac{dy}{dx} = \frac{y - 2x}{4y - x}$।
$(2, 4)$ पर,$m_2 = \frac{4 - 2(2)}{4(4) - 2} = \frac{0}{14} = 0$ है।
$(-2, -4)$ पर,$m_2 = \frac{-4 - 2(-2)}{4(-4) - (-2)} = \frac{0}{-14} = 0$ है।
वक्रों के बीच के कोण $\theta$ की स्पर्शज्या $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ द्वारा दी जाती है।
$\tan \theta = |\frac{2 - 0}{1 + 2(0)}| = |\frac{2}{1}| = 2$।

(A) पहली रेखा का समीकरण $\alpha^2x + \alpha y = 9$ है,जिसे $y = -\alpha x + \frac{9}{\alpha}$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसकी ढाल $m_1 = -\alpha$ है।
दूसरी रेखा का समीकरण $3x + 2y = 5$ है,जिसे $y = -\frac{3}{2}x + \frac{5}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसकी ढाल $m_2 = -\frac{3}{2}$ है।
चूँकि रेखाएँ परस्पर लंब हैं,इसलिए उनकी ढालों का गुणनफल $-1$ होगा,अर्थात $m_1 \times m_2 = -1$.
मान रखने पर,$(-\alpha) \times (-\frac{3}{2}) = -1$.
$\frac{3}{2}\alpha = -1$.
$\alpha = -\frac{2}{3}$.

(C) दी गई रेखा $\sqrt{3}x + y = 1$ है,जिसे $y = -\sqrt{3}x + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_2 = -\sqrt{3}$ है।
माना रेखा $L$ की ढाल $m$ है। रेखाओं के बीच का कोण $60^o$ है,इसलिए $\tan(60^o) = |\frac{m - m_2}{1 + m \cdot m_2}|$.
$\sqrt{3} = |\frac{m - (-\sqrt{3})}{1 + m(-\sqrt{3})}| = |\frac{m + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}m}|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $3 = \frac{(m + \sqrt{3})^2}{(1 - \sqrt{3}m)^2} \Rightarrow 3(1 - 2\sqrt{3}m + 3m^2) = m^2 + 2\sqrt{3}m + 3$.
$3 - 6\sqrt{3}m + 9m^2 = m^2 + 2\sqrt{3}m + 3 \Rightarrow 8m^2 - 8\sqrt{3}m = 0$.
$8m(m - \sqrt{3}) = 0$,अतः $m = 0$ या $m = \sqrt{3}$.
यदि $m = 0$ है,तो रेखा $y + 2 = 0(x - 3) \Rightarrow y + 2 = 0$ है,जो $x$-अक्ष के समानांतर है और उसे प्रतिच्छेद नहीं करती है।
यदि $m = \sqrt{3}$ है,तो रेखा $y - (-2) = \sqrt{3}(x - 3) \Rightarrow y + 2 = \sqrt{3}x - 3\sqrt{3}$ है।
अतः $y - \sqrt{3}x + 2 + 3\sqrt{3} = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दो रेखाओं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{a_1b_2 - a_2b_1}{a_1a_2 + b_1b_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
रेखाओं $2x + 3y + c_1 = 0$ और $-x + 5y + c_2 = 0$ के लिए,कोण $\theta_1$ संतुष्ट करता है $\tan \theta_1 = \left| \frac{(2)(5) - (3)(-1)}{(2)(-1) + (3)(5)} \right| = \left| \frac{10 + 3}{-2 + 15} \right| = \frac{13}{13} = 1$।
इसी प्रकार,रेखाओं $2x + 3y + c_1 = 0$ और $-x + 5y + c_3 = 0$ के लिए,कोण $\theta_2$ संतुष्ट करता है $\tan \theta_2 = \left| \frac{(2)(5) - (3)(-1)}{(2)(-1) + (3)(5)} \right| = 1$।
चूँकि $\tan \theta_1 = \tan \theta_2 = 1$,इसलिए $c_2$ और $c_3$ के सभी वास्तविक मानों के लिए $\theta_1 = \theta_2$ है।
अतः,कथन-$2$ सत्य है।
चूँकि कथन-$2$ सत्य है,कथन-$1$ भी सत्य है,और कथन-$2$,कथन-$1$ के लिए तार्किक आधार प्रदान करता है।

(D) रेखाओं की ढाल (slopes) इस प्रकार हैं:
$m_1 = 1$ ($L_1$ के लिए)
$m_2 = -1$ ($L_2$ के लिए)
$m_3 = -1$ ($L_3$ के लिए)
$m_4 = 1$ ($L_4$ के लिए)
$1$. लंबवतता (perpendicularity) की जाँच करें:
$m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1$,अतः $L_1 \perp L_2$.
$m_1 \times m_3 = 1 \times (-1) = -1$,अतः $L_1 \perp L_3$.
$2$. समांतरता (parallelism) की जाँच करें:
$m_2 = m_3 = -1$,अतः $L_2 || L_3$.
$3$. प्रतिच्छेदन (intersection) की जाँच करें:
चूँकि $m_2 \neq m_4$ $(-1 \neq 1)$,$L_2$ और $L_4$ समांतर नहीं हैं और इसलिए एक-दूसरे को काटती हैं।
अतः,विकल्प $D$ सही कथन है।

(D) दी गई रेखा $2x - 3y + 17 = 0$ की ढाल $m_1 = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$ है।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा। माना $(7, 17)$ और $(15, \beta)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m_2$ है।
$m_2 = \frac{\beta - 17}{15 - 7} = \frac{\beta - 17}{8}$.
चूंकि $m_1 \times m_2 = -1$,इसलिए $\frac{2}{3} \times \frac{\beta - 17}{8} = -1$ है।
$\frac{\beta - 17}{12} = -1$.
$\beta - 17 = -12$.
$\beta = 17 - 12 = 5$.

(N/A) हम जानते हैं कि $m_{1}$ और $m_{2}$ ढाल वाली दो रेखाओं के बीच का न्यून कोण $\theta$ इस प्रकार दिया जाता है: $\tan \theta = \left| \frac{m_{2} - m_{1}}{1 + m_{1}m_{2}} \right| \dots (1)$
माना $m_{1} = \frac{1}{2},$ $m_{2} = m,$ और $\theta = \frac{\pi}{4}.$
अब,इन मानों को $(1)$ में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\tan \frac{\pi}{4} = \left| \frac{m - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}m} \right| \implies 1 = \left| \frac{m - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}m} \right|.$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1: \frac{m - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}m} = 1 \implies m - \frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2}m \implies \frac{1}{2}m = \frac{3}{2} \implies m = 3.$
स्थिति $2: \frac{m - \frac{1}{2}}{1 + \frac{1}{2}m} = -1 \implies m - \frac{1}{2} = -1 - \frac{1}{2}m \implies \frac{3}{2}m = -\frac{1}{2} \implies m = -\frac{1}{3}.$
अतः,दूसरी रेखा की ढाल $3$ या $-\frac{1}{3}$ है।

(N/A) माना दो रेखाओं की ढाल $m_{1}$ और $m_{2}$ हैं,जहाँ $m_{1} = 2m_{2}$ है।
हम जानते हैं कि यदि $m_{1}$ और $m_{2}$ ढाल वाली दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है,तो $\tan \theta = \left| \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1}m_{2}} \right|$ होता है।
दिया गया है कि $\tan \theta = \frac{1}{3},$ इसलिए $\frac{1}{3} = \left| \frac{2m_{2} - m_{2}}{1 + (2m_{2})m_{2}} \right| = \left| \frac{m_{2}}{1 + 2m_{2}^{2}} \right|$.
इसका अर्थ है कि $\frac{m_{2}}{1 + 2m_{2}^{2}} = \frac{1}{3}$ या $\frac{m_{2}}{1 + 2m_{2}^{2}} = -\frac{1}{3}$.
स्थिति $I$: $\frac{m_{2}}{1 + 2m_{2}^{2}} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow 2m_{2}^{2} - 3m_{2} + 1 = 0$ $\Rightarrow (2m_{2} - 1)(m_{2} - 1) = 0$.
अतः,$m_{2} = \frac{1}{2}$ (जिससे $m_{1} = 1$ प्राप्त होता है) या $m_{2} = 1$ (जिससे $m_{1} = 2$ प्राप्त होता है)।
स्थिति $II$: $\frac{m_{2}}{1 + 2m_{2}^{2}} = -\frac{1}{3}$ $\Rightarrow 2m_{2}^{2} + 3m_{2} + 1 = 0$ $\Rightarrow (2m_{2} + 1)(m_{2} + 1) = 0$.
अतः,$m_{2} = -\frac{1}{2}$ (जिससे $m_{1} = -1$ प्राप्त होता है) या $m_{2} = -1$ (जिससे $m_{1} = -2$ प्राप्त होता है)।
इस प्रकार,ढाल के संभावित जोड़े $(1, \frac{1}{2}), (2, 1), (-1, -\frac{1}{2}), (-2, -1)$ हैं।

(A) दी गई रेखाएँ हैं:
$y = \sqrt{3}x + 5$ ..... $(1)$
$\sqrt{3}y = x - 6 \implies y = \frac{1}{\sqrt{3}}x - 2\sqrt{3}$ ..... $(2)$
$y = mx + c$ से तुलना करने पर,ढाल $m_1 = \sqrt{3}$ और $m_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{\frac{1}{\sqrt{3}} - \sqrt{3}}{1 + (\sqrt{3})(\frac{1}{\sqrt{3}})} \right| = \left| \frac{\frac{1-3}{\sqrt{3}}}{1+1} \right| = \left| \frac{-2}{2\sqrt{3}} \right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\theta = 30^{\circ}$।

दी गई रेखाओं को $y = mx + c$ के रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$y = -\frac{a_{1}}{b_{1}}x - \frac{c_{1}}{b_{1}}$ ..... $(1)$
$y = -\frac{a_{2}}{b_{2}}x - \frac{c_{2}}{b_{2}}$ ..... $(2)$
रेखाओं $(1)$ और $(2)$ की ढाल (slopes) क्रमशः $m_{1} = -\frac{a_{1}}{b_{1}}$ और $m_{2} = -\frac{a_{2}}{b_{2}}$ हैं।
दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ हो,अर्थात $m_{1} \cdot m_{2} = -1$।
$m_{1}$ और $m_{2}$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(-\frac{a_{1}}{b_{1}}) \cdot (-\frac{a_{2}}{b_{2}}) = -1$
$\frac{a_{1}a_{2}}{b_{1}b_{2}} = -1$
$a_{1}a_{2} = -b_{1}b_{2}$
$a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} = 0$
अतः,रेखाएँ लंबवत हैं यदि $a_{1}a_{2} + b_{1}b_{2} = 0$ हो।

(A) दी गई रेखाएँ $\sqrt{3}x + y = 1$ और $x + \sqrt{3}y = 1$ हैं।
ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ में बदलने पर:
रेखा $(1): y = -\sqrt{3}x + 1$,अतः $m_1 = -\sqrt{3}$.
रेखा $(2): \sqrt{3}y = -x + 1 \implies y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + \frac{1}{\sqrt{3}}$,अतः $m_2 = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
दो रेखाओं के बीच का न्यून कोण $\theta$ का सूत्र: $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$.
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{-\sqrt{3} - (-1/\sqrt{3})}{1 + (-\sqrt{3})(-1/\sqrt{3})} \right| = \left| \frac{(-3 + 1)/\sqrt{3}}{1 + 1} \right| = \left| \frac{-2}{2\sqrt{3}} \right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$\theta = 30^{\circ}$.
अधिक कोण $180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$ होगा।
इसलिए,रेखाओं के बीच के कोण $30^{\circ}$ और $150^{\circ}$ हैं।

(A) बिंदुओं $(h, 3)$ और $(4, 1)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m_1 = \frac{1 - 3}{4 - h} = \frac{-2}{4 - h}$ है।
रेखा $7x - 9y - 19 = 0$ की ढाल $m_2 = \frac{7}{9}$ है।
चूंकि दोनों रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा,अतः $m_1 \times m_2 = -1$.
$\left(\frac{-2}{4 - h}\right) \times \left(\frac{7}{9}\right) = -1$.
$\frac{-14}{36 - 9h} = -1$.
$14 = 36 - 9h$.
$9h = 36 - 14 = 22$.
$h = \frac{22}{9}$.

(N/A) माना पहली रेखा की ढाल $m_{1} = 2$ है और दूसरी रेखा की ढाल $m_{2}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1}m_{2}} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\theta = 60^{\circ}$ और $m_{1} = 2$ रखने पर:
$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{2 - m_{2}}{1 + 2m_{2}} \right|$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \left| \frac{2 - m_{2}}{1 + 2m_{2}} \right|$.
इसके दो मामले हैं:
स्थिति $I$: $\frac{2 - m_{2}}{1 + 2m_{2}} = \sqrt{3} \Rightarrow m_{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}}$.
बिंदु $(2,3)$ से गुजरने वाली और इस ढाल वाली रेखा का समीकरण $(y - 3) = \frac{2 - \sqrt{3}}{1 + 2\sqrt{3}}(x - 2)$ है।
सरल करने पर,$(2 - \sqrt{3})x - (1 + 2\sqrt{3})y + (8\sqrt{3} - 1) = 0$.
स्थिति $II$: $\frac{2 - m_{2}}{1 + 2m_{2}} = -\sqrt{3} \Rightarrow m_{2} = -\frac{2 + \sqrt{3}}{2\sqrt{3} - 1}$.
बिंदु $(2,3)$ से गुजरने वाली और इस ढाल वाली रेखा का समीकरण $(y - 3) = -\frac{2 + \sqrt{3}}{2\sqrt{3} - 1}(x - 2)$ है।
सरल करने पर,$(2 + \sqrt{3})x + (2\sqrt{3} - 1)y - (1 + 8\sqrt{3}) = 0$.

माना अभीष्ट रेखा की ढाल $m_{1}$ है।
दी गई रेखा $x-2y=3$ है,जिसे $y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,दी गई रेखा की ढाल $m_{2}=\frac{1}{2}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 45^{\circ}$ है। दो रेखाओं जिनकी ढाल $m_{1}$ और $m_{2}$ है,उनके बीच के कोण का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}} \right|$ है।
मान रखने पर: $\tan 45^{\circ} = \left| \frac{\frac{1}{2}-m_{1}}{1+m_{1}(\frac{1}{2})} \right|$.
$1 = \left| \frac{1-2m_{1}}{2+m_{1}} \right|$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $I$: $\frac{1-2m_{1}}{2+m_{1}} = 1$ $\Rightarrow 1-2m_{1} = 2+m_{1}$ $\Rightarrow 3m_{1} = -1$ $\Rightarrow m_{1} = -\frac{1}{3}$.
स्थिति $II$: $\frac{1-2m_{1}}{2+m_{1}} = -1$ $\Rightarrow 1-2m_{1} = -2-m_{1}$ $\Rightarrow m_{1} = 3$.
$m_{1} = 3$ के लिए,$(3,2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y-2 = 3(x-3)$ $\Rightarrow y-2 = 3x-9$ $\Rightarrow 3x-y = 7$ है।
$m_{1} = -\frac{1}{3}$ के लिए,$(3,2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y-2 = -\frac{1}{3}(x-3)$ $\Rightarrow 3y-6 = -x+3$ $\Rightarrow x+3y = 9$ है।
अतः,रेखाओं के समीकरण $3x-y=7$ और $x+3y=9$ हैं।

माना मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y=m_{1}x$ है,जहाँ $m_{1} = \frac{y}{x}$ है।
यदि यह रेखा $y=mx+c$ के साथ $\theta$ कोण बनाती है,तो उनके बीच का कोण $\theta$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\tan \theta = \left| \frac{m_{1}-m}{1+m_{1}m} \right|$
$m_{1} = \frac{y}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan \theta = \left| \frac{\frac{y}{x}-m}{1+\frac{y}{x}m} \right|$
मापांक हटाने पर दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $I$: $\tan \theta = \frac{\frac{y}{x}-m}{1+\frac{y}{x}m}$
$\Rightarrow \tan \theta + \frac{y}{x}m \tan \theta = \frac{y}{x} - m$
$\Rightarrow m + \tan \theta = \frac{y}{x}(1 - m \tan \theta)$
$\Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{m + \tan \theta}{1 - m \tan \theta}$
स्थिति $II$: $-\tan \theta = \frac{\frac{y}{x}-m}{1+\frac{y}{x}m}$
$\Rightarrow -\tan \theta - \frac{y}{x}m \tan \theta = \frac{y}{x} - m$
$\Rightarrow m - \tan \theta = \frac{y}{x}(1 + m \tan \theta)$
$\Rightarrow \frac{y}{x} = \frac{m - \tan \theta}{1 + m \tan \theta}$
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,अभीष्ट समीकरण $\frac{y}{x} = \frac{m \pm \tan \theta}{1 \mp m \tan \theta}$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई रेखाओं के समीकरण:
$y=3x+1$ .... $(1)$
$2y=x+3$ अर्थात $y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ .... $(2)$
$y=mx+4$ .... $(3)$
इन रेखाओं की ढाल $m_1=3$,$m_2=\frac{1}{2}$,और $m_3=m$ है।
चूंकि रेखाएँ $(1)$ और $(2)$ रेखा $(3)$ पर समान रूप से झुकी हुई हैं,इसलिए उनके बीच का कोण समान होगा।
$\left| \frac{3-m}{1+3m} \right| = \left| \frac{1-2m}{2+m} \right|$
स्थिति $1$: $5m^2 + 5 = 0$ (कोई वास्तविक हल नहीं)।
स्थिति $2$: $7m^2 - 2m - 7 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$m = \frac{1 \pm 5\sqrt{2}}{7}$.

(A) माना अभीष्ट रेखा की ढाल $m$ है। रेखा $(1, 3)$ से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $y - 3 = m(x - 1)$ है।
दी गई रेखा $y = 3\sqrt{2}x - 1$ है,जिसकी ढाल $m_1 = 3\sqrt{2}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\sqrt{2} = \left| \frac{m - 3\sqrt{2}}{1 + 3\sqrt{2}m} \right|$.
स्थिति $1$: $m = -\frac{4\sqrt{2}}{5}$.
स्थिति $2$: $m = \frac{2\sqrt{2}}{7}$.
$m = -\frac{4\sqrt{2}}{5}$ का उपयोग करने पर,रेखा का समीकरण $4\sqrt{2}x + 5y - (15 + 4\sqrt{2}) = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना बिंदु $A$ और $A'$ $(x, 2)$ हैं। मूल बिंदु $O(0, 0)$ है और $B(2, 3)$ है।
$OB$ की ढाल $m_1 = \frac{3}{2}$ है और $OA$ की ढाल $m_2 = \frac{2}{x}$ है।
कोण $\frac{\pi}{4}$ होने के कारण,$\tan \frac{\pi}{4} = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = 1$ है।
$\left| \frac{\frac{3}{2} - \frac{2}{x}}{1 + \frac{3}{x}} \right| = 1$ $\Rightarrow \left| \frac{3x - 4}{2x + 6} \right| = 1$ प्राप्त होता है।
इससे $x = 10$ या $x = -\frac{2}{5}$ मिलता है।
बिंदुओं के बीच की दूरी $AA' = |10 - (-\frac{2}{5})| = \frac{52}{5}$ है।

(D) रेखा $BC$ का समीकरण $y = x + 4$ है,इसलिए इसकी ढाल $m_1 = 1$ है। मान लीजिए रेखाओं $AB$ और $AC$ की ढाल क्रमशः $m_2$ और $m_3$ है। $AB$ और $BC$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{6}$ है,इसलिए $\tan(\frac{\pi}{6}) = |\frac{m_2 - 1}{1 + m_2}| = \frac{1}{\sqrt{3}}$। इससे $m_2 = 2 \pm \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
रेखा $AB$,$A(1, 2)$ से गुजरती है और इसकी ढाल $m_2$ है। इसका समीकरण $y - 2 = m_2(x - 1)$ है।
$m_2 = 2 + \sqrt{3}$ के लिए,$y - 2 = (2 + \sqrt{3})(x - 1)$। इसे $y = x + 4$ के साथ हल करने पर $x + 2 = (2 + \sqrt{3})x - 2 - \sqrt{3}$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \frac{3\sqrt{3} - 1}{2}$।
$m_2 = 2 - \sqrt{3}$ के लिए,$y - 2 = (2 - \sqrt{3})(x - 1)$। इसे $y = x + 4$ के साथ हल करने पर $x + 2 = (2 - \sqrt{3})x - 2 + \sqrt{3}$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = \frac{-(3\sqrt{3} + 1)}{2}$।
अतः,$\alpha$ और $\gamma$ का मान $\frac{3\sqrt{3} - 1}{2}$ और $\frac{-(3\sqrt{3} + 1)}{2}$ है।
$\alpha^2 + \gamma^2 = \frac{27 + 1 - 6\sqrt{3}}{4} + \frac{27 + 1 + 6\sqrt{3}}{4} = \frac{28 + 28}{4} = 14$.

(D) माना $O$ मूलबिंदु $(0, 0)$ है,$A = (5, 2)$ और $B = (2, a)$ है।
$OA$ की ढाल $m_1 = \frac{2-0}{5-0} = \frac{2}{5}$ है।
$OB$ की ढाल $m_2 = \frac{a-0}{2-0} = \frac{a}{2}$ है।
$OA$ और $OB$ के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ दिया गया है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\tan \frac{\pi}{4} = \left| \frac{\frac{2}{5} - \frac{a}{2}}{1 + (\frac{2}{5})(\frac{a}{2})} \right|$
$1 = \left| \frac{\frac{4-5a}{10}}{1 + \frac{a}{5}} \right| = \left| \frac{4-5a}{10+2a} \right|$
इससे $4-5a = \pm(10+2a)$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $4-5a = 10+2a$ $\Rightarrow -7a = 6$ $\Rightarrow a = -\frac{6}{7}$।
स्थिति $2$: $4-5a = -(10+2a)$ $\Rightarrow 4-5a = -10-2a$ $\Rightarrow 3a = 14$ $\Rightarrow a = \frac{14}{3}$।
$a$ के संभावित मानों का गुणनफल $(-\frac{6}{7}) \times (\frac{14}{3}) = -4$ है।
अतः इसका निरपेक्ष मान $|-4| = 4$ है।

(C) माना कि दो समान भुजाओं के ढाल $m_1$ और $m_2$ हैं।
$-x+2y=4$ और $x+y=4$ समीकरणों से,हमें $m_1 = \frac{1}{2}$ और $m_2 = -1$ प्राप्त होता है।
माना कि तीसरी भुजा का ढाल $m$ है। चूंकि त्रिभुज समद्विबाहु है,तीसरी भुजा और पहली भुजा के बीच का कोण,तीसरी भुजा और दूसरी भुजा के बीच के कोण के बराबर होना चाहिए।
अतः,$\left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right| = \left| \frac{m - m_2}{1 + m \cdot m_2} \right|$.
मान रखने पर,$\left| \frac{m - 1/2}{1 + m/2} \right| = \left| \frac{m - (-1)}{1 + m(-1)} \right|$.
$\left| \frac{2m - 1}{2 + m} \right| = \left| \frac{m + 1}{1 - m} \right|$.
इसके दो मामले हैं:
मामला $1$: $\frac{2m - 1}{2 + m} = \frac{m + 1}{1 - m} \implies m^2 = -1$ (कोई वास्तविक हल नहीं)।
मामला $2$: $\frac{2m - 1}{2 + m} = \frac{m + 1}{m - 1} \implies m^2 - 6m - 1 = 0$.
इस द्विघात समीकरण के मूलों का योग $-\frac{b}{a} = -\frac{-6}{1} = 6$ है।

(D) मूल बिंदु से होकर गुजरने वाली और धनात्मक निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाने वाली रेखा $y = x$ है।
$L_1: 2x + y + 6 = 0$ और $L_2: 4x + 2y - p = 0$ (या $2x + y - \frac{p}{2} = 0$).
चूंकि $L_1$ और $L_2$ का ढाल $m = -2$ समान है,इसलिए वे समांतर रेखाएं हैं।
रेखा $y = x$,$L_1$ को $A$ पर और $L_2$ को $B$ पर काटती है।
समकोण त्रिभुज $\triangle AMB$ में,रेखा $y = x$ (ढाल $m_1 = 1$) और रेखा $L_2$ (ढाल $m_2 = -2$) के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{1 - (-2)}{1 + (1)(-2)} \right| = \left| \frac{3}{-1} \right| = 3$.
$\triangle AMB$ में,$\tan \theta = \frac{AM}{BM}$.
अतः,$\frac{AM}{BM} = 3$.

(A) माना दी गई रेखा $2x - 3y = 5$ की ढाल $m_1 = \frac{2}{3}$ है।
माना अभीष्ट रेखा की ढाल $m$ है।
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - \frac{2}{3}}{1 + m \cdot \frac{2}{3}} \right|$
$1 = \left| \frac{3m - 2}{3 + 2m} \right|$
अतः,$m = 5$ या $m = \frac{-1}{5}$ प्राप्त होता है।

(B) रेखा $4x - 2y + 13 = 0$ की ढाल $m_1 = -\frac{4}{-2} = 2$ है।
निर्देशांक अक्षों पर समान अंतःखंड बनाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$ होता है,जिसे $x + y = a$ लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_2 = -1$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{2 - (-1)}{1 + (2)(-1)} \right| = \left| \frac{3}{1 - 2} \right| = \left| \frac{3}{-1} \right| = 3$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(3)$।

(B) दी गई रेखाओं के समीकरण $x \cos 30^{\circ} + y \sin 30^{\circ} = 3$ और $x \cos 60^{\circ} + y \sin 60^{\circ} = 5$ हैं।
ये समीकरण अभिलंब रूप $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ में हैं,जहाँ $\alpha$ रेखा के अभिलंब द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाया गया कोण है।
पहली रेखा के अभिलंब का कोण $\alpha_1 = 30^{\circ}$ है और दूसरी रेखा के लिए $\alpha_2 = 60^{\circ}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ उनके अभिलंबों के बीच के कोण के बराबर होता है।
अतः,$\theta = |\alpha_2 - \alpha_1| = |60^{\circ} - 30^{\circ}| = 30^{\circ}$.

(A) माना $(-2, 6)$ और $(4, 8)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m_1$ है।
$m_1 = \frac{8 - 6}{4 - (-2)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
माना $(8, 12)$ और $(x, 24)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m_2$ है।
$m_2 = \frac{24 - 12}{x - 8} = \frac{12}{x - 8}$.
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,$m_1 \times m_2 = -1$.
$\frac{1}{3} \times \frac{12}{x - 8} = -1$.
$\frac{4}{x - 8} = -1$.
$4 = -(x - 8)$.
$4 = -x + 8$.
$x = 8 - 4 = 4$.

(A) दिया गया है $\theta = 45^{\circ}$ और $m_1 = \frac{1}{2}$.
दो रेखाओं के बीच के कोण का सूत्र:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{\frac{1}{2} - m_2}{1 + \frac{1}{2} m_2} \right|$
$1 = \left| \frac{1 - 2m_2}{2 + m_2} \right|$
इसका अर्थ है $\frac{1 - 2m_2}{2 + m_2} = 1$ या $\frac{1 - 2m_2}{2 + m_2} = -1$.
स्थिति $1$: $1 - 2m_2 = 2 + m_2$ $\Rightarrow -3m_2 = 1$ $\Rightarrow m_2 = -\frac{1}{3}$.
स्थिति $2$: $1 - 2m_2 = -(2 + m_2)$ $\Rightarrow 1 - 2m_2 = -2 - m_2$ $\Rightarrow m_2 = 3$.
अतः,दूसरी रेखा की ढाल $3$ या $-\frac{1}{3}$ है।

(A) पहली रेखा का समीकरण $x \sin \theta - y \cos \theta = 5$ है। इसकी ढाल $m_1 = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$ है।
दूसरी रेखा का समीकरण $x \sin \alpha - y \cos \alpha + 11 = 0$ है। इसकी ढाल $m_2 = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$ है।
माना रेखाओं के बीच का न्यून कोण $\beta$ है।
तब,$\tan \beta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{\tan \theta - \tan \alpha}{1 + \tan \theta \tan \alpha} \right|$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\tan(\theta - \alpha) = \frac{\tan \theta - \tan \alpha}{1 + \tan \theta \tan \alpha}$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan \beta = |\tan(\theta - \alpha)|$ प्राप्त होता है।
अतः,$\beta = |\theta - \alpha|$।

(D) दी गई रेखाओं के समीकरण $y = \sqrt{3}x - 1$ और $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x - \frac{7}{\sqrt{3}}$ हैं।
$y = mx + c$ से तुलना करने पर,ढाल $m_{1} = \sqrt{3}$ और $m_{2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होते हैं।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_{1} - m_{2}}{1 + m_{1}m_{2}} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{\sqrt{3} - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + (\sqrt{3})(\frac{1}{\sqrt{3}})} \right| = \left| \frac{\frac{3-1}{\sqrt{3}}}{1 + 1} \right| = \left| \frac{2/\sqrt{3}}{2} \right| = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
चूँकि $\tan \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\theta = 30^{\circ}$ है।

(D) दी गई रेखाएँ $x-3=0$ $(i)$ और $x+y=19$ (ii) हैं।
रेखा $(i)$ के लिए,$x=3$,जो $y$-अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा है। यह धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\theta_1 = 90^{\circ}$ का कोण बनाती है।
रेखा (ii) के लिए,$x+y=19$ को $y = -x + 19$ के रूप में लिखा जा सकता है। ढाल-अंतःखंड रूप $y = mx + c$ से तुलना करने पर,ढाल $m_2 = -1$ प्राप्त होता है।
चूँकि $m_2 = \tan \theta_2 = -1$,इसलिए कोण $\theta_2 = 135^{\circ}$ है।
दोनों रेखाओं के बीच का कोण $|\theta_2 - \theta_1| = |135^{\circ} - 90^{\circ}| = 45^{\circ}$ है।
चूँकि $45^{\circ}$ एक न्यून कोण है,इसलिए अभीष्ट कोण $45^{\circ}$ है।

(D) दी गई रेखाओं के समीकरण:
$x+(a-1)y=1$ और $2x+a^2y=1$.
$x+(a-1)y=1$ की ढाल $m_1 = \frac{-1}{a-1}$ है।
$2x+a^2y=1$ की ढाल $m_2 = \frac{-2}{a^2}$ है।
चूँकि रेखाएँ लंबवत हैं,$m_1 \times m_2 = -1$.
$\frac{-1}{a-1} \times \frac{-2}{a^2} = -1$
$\frac{2}{a^2(a-1)} = -1$
$a^3 - a^2 + 2 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(a+1)(a^2-2a+2) = 0$.
यहाँ $a^2-2a+2 > 0$ है,इसलिए $a=-1$ प्राप्त होता है।
$a=-1$ रखने पर,रेखाएँ $x-2y=1$ और $2x+y=1$ प्राप्त होती हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{3}{5}, -\frac{1}{5})$ है।
मूल बिंदु से दूरी $\sqrt{(\frac{3}{5})^2 + (-\frac{1}{5})^2} = \sqrt{\frac{10}{25}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$।

(D) माना दी गई रेखा $L: 3x + y + 4 = 0$ है। $L$ की ढाल $m = -3$ है।
रेखाओं $L_1$ और $L_2$ की ढाल क्रमशः $m_1 = \frac{3}{4}$ और $m_2$ है।
चूंकि बिंदु $A(2, 5)$ से रेखा $L$ तक $L_1$ और $L_2$ के अनुदिश मापी गई दूरी समान है,इसलिए $L_1$ और $L_2$ द्वारा रेखा $L$ के साथ बनाए गए कोण $\theta_1$ और $\theta_2$ के लिए $\tan \theta_1 = \tan \theta_2$ या $\tan \theta_1 = -\tan \theta_2$ होगा।
दो रेखाओं जिनकी ढाल $m$ और $m'$ है,के बीच का कोण $\tan \theta = \left| \frac{m - m'}{1 + mm'} \right|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$L_1$ के लिए: $\tan \theta = \left| \frac{-3 - 3/4}{1 + (-3)(3/4)} \right| = \left| \frac{-15/4}{1 - 9/4} \right| = \left| \frac{-15/4}{-5/4} \right| = 3$.
$L_2$ के लिए: $\left| \frac{-3 - m_2}{1 - 3m_2} \right| = 3$.
स्थिति $1$: $\frac{-3 - m_2}{1 - 3m_2} = 3$ $\Rightarrow -3 - m_2 = 3 - 9m_2$ $\Rightarrow 8m_2 = 6$ $\Rightarrow m_2 = \frac{3}{4}$ (यह $L_1$ ही है)।
स्थिति $2$: $\frac{-3 - m_2}{1 - 3m_2} = -3$ $\Rightarrow -3 - m_2 = -3 + 9m_2$ $\Rightarrow 10m_2 = 0$ $\Rightarrow m_2 = 0$.
अतः,$L_2$ की ढाल $0$ है।

(B) बिंदु $(3,-2)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y+2=m(x-3)$ $(i)$ है।
दी गई रेखा $\sqrt{3} x+y=1$ है,जिसे $y=-\sqrt{3} x+1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1=-\sqrt{3}$ है।
दोनों रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है। सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m-m_1}{1+m m_1} \right|$ का उपयोग करते हुए,$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{m-(-\sqrt{3})}{1+m(-\sqrt{3})} \right|$.
$\sqrt{3} = \left| \frac{m+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3} m} \right|$.
स्थिति $1$: $\sqrt{3} = \frac{m+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3} m} \Rightarrow \sqrt{3} - 3m = m + \sqrt{3} \Rightarrow 4m = 0 \Rightarrow m = 0$.
$m=0$ को $(i)$ में रखने पर,$y+2=0(x-3) \Rightarrow y+2=0$ प्राप्त होता है। यह रेखा $X$-अक्ष के समानांतर है और $X$-अक्ष को नहीं काटती है।
स्थिति $2$: $-\sqrt{3} = \frac{m+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3} m} \Rightarrow -\sqrt{3} + 3m = m + \sqrt{3} \Rightarrow 2m = 2\sqrt{3} \Rightarrow m = \sqrt{3}$.
$m=\sqrt{3}$ को $(i)$ में रखने पर,$y+2=\sqrt{3}(x-3) \Rightarrow y+2=\sqrt{3}x-3\sqrt{3} \Rightarrow y-\sqrt{3}x+2+3\sqrt{3}=0$ प्राप्त होता है।

(C) माना अभीष्ट रेखा की ढाल $m$ है। दी गई रेखा $x-2y-3=0$ की ढाल $m_1 = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि रेखाओं के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m - m_1}{1 + m \cdot m_1} \right|$ होगा।
$1 = \left| \frac{m - 1/2}{1 + m/2} \right| = \left| \frac{2m - 1}{2 + m} \right|$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं: $\frac{2m - 1}{2 + m} = 1$ या $\frac{2m - 1}{2 + m} = -1$.
स्थिति $1$: $2m - 1 = 2 + m \Rightarrow m = 3$.
रेखा का समीकरण $y - 2 = 3(x - 3) \Rightarrow 3x - y - 7 = 0$ है।
स्थिति $2$: $2m - 1 = -2 - m \Rightarrow 3m = -1 \Rightarrow m = -1/3$.
रेखा का समीकरण $y - 2 = -1/3(x - 3) \Rightarrow 3y - 6 = -x + 3 \Rightarrow x + 3y - 9 = 0$ है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $3x - y - 7 = 0$ और $x + 3y - 9 = 0$ हैं।

(C) रेखा $x+y=3$ की ढाल $m_1 = -1$ है।
बिंदुओं $(1,1)$ और $(-3,4)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m_2 = \frac{4-1}{-3-1} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{-\frac{3}{4} - (-1)}{1 + (-1)(-\frac{3}{4})} \right| = \left| \frac{-\frac{3}{4} + 1}{1 + \frac{3}{4}} \right| = \left| \frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}} \right| = \frac{1}{7}$.
अतः,$\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$.

(C) दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
$2x + 3y - 3 = 0$ --- $(1)$
$x + ky + 7 = 0$ --- $(2)$
रेखा $(1)$ की ढाल $m_1 = -\frac{2}{3}$ है।
रेखा $(2)$ की ढाल $m_2 = -\frac{1}{k}$ है।
चूंकि रेखाएँ लंबवत हैं,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा:
$m_1 \times m_2 = -1$
$(-\frac{2}{3}) \times (-\frac{1}{k}) = -1$
$\frac{2}{3k} = -1$
$2 = -3k$
$k = -\frac{2}{3}$

(A) पहली रेखा का समीकरण $lx + my = n$ है,जिसे $y = -\frac{l}{m}x + \frac{n}{m}$ के रूप में लिखा जा सकता है। ढाल $m_1 = -\frac{l}{m}$ है।
दूसरी रेखा का समीकरण $l'x + m'y = n'$ है,जिसे $y = -\frac{l'}{m'}x + \frac{n'}{m'}$ के रूप में लिखा जा सकता है। ढाल $m_2 = -\frac{l'}{m'}$ है।
दो रेखाएँ लंबवत होती हैं यदि उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ हो,अर्थात $m_1 \times m_2 = -1$।
$\left(-\frac{l}{m}\right) \times \left(-\frac{l'}{m'}\right) = -1$
$\frac{ll'}{mm'} = -1$
$ll' = -mm'$
$ll' + mm' = 0$.

(B) विकर्ण $AC$ की ढाल $m_{AC} = \frac{-1-3}{1-(-3)} = \frac{-4}{4} = -1$ है।
विकर्ण $BD$ की ढाल $m_{BD} = \frac{-2-1}{-2-1} = \frac{-3}{-3} = 1$ है।
चूंकि ढालों का गुणनफल $m_{AC} \times m_{BD} = -1 \times 1 = -1$ है,इसलिए विकर्ण $AC$ और $BD$ एक-दूसरे पर लंबवत हैं।
अतः,विकर्णों $AC$ और $BD$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(A) दी गई सरल रेखाओं के समीकरण हैं:
$l_1: 3x + 4y + 9 = 0$ ...$(i)$
$l_2: x - 7y - 22 = 0$ ...(ii)
रेखा $l_1$ की प्रवणता $m_1 = -\frac{3}{4}$ है।
रेखा $l_2$ की प्रवणता $m_2 = \frac{1}{7}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$
मान रखने पर:
$\tan \theta = \left| \frac{-\frac{3}{4} - \frac{1}{7}}{1 + (-\frac{3}{4})(\frac{1}{7})} \right| = 1$
अतः,$\theta = \frac{\pi}{4}$।

(C) दी गई रेखाएँ $2x + 11y - 7 = 0$ और $x + 3y + 5 = 0$ हैं।
इन रेखाओं की प्रवणता (slopes) $m_1 = -\frac{2}{11}$ और $m_2 = -\frac{1}{3}$ हैं।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan \theta = \left|\frac{-\frac{2}{11} - (-\frac{1}{3})}{1 + (-\frac{2}{11})(-\frac{1}{3})}\right| = \left|\frac{-\frac{6}{33} + \frac{11}{33}}{1 + \frac{2}{33}}\right| = \left|\frac{\frac{5}{33}}{\frac{35}{33}}\right| = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)$.

(B) दी गई रेखाएँ $L_1: x-y=0$ और $L_2: y=0$ हैं।
$L_1$ की तुलना $y=m_1x+c_1$ से करने पर,$m_1 = 1$ प्राप्त होता है।
$L_2$ की तुलना $y=m_2x+c_2$ से करने पर,$m_2 = 0$ प्राप्त होता है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{1 - 0}{1 + (1)(0)} \right| = 1$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$।

(D) दी गई रेखाएँ $y=3x+1$ (प्रवणता $m_1=3$) और $2y=x+3$ अर्थात $y=\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$ (प्रवणता $m_2=\frac{1}{2}$) हैं।
माना तीसरी रेखा $y=mx+4$ की प्रवणता $m$ है।
चूँकि रेखाएँ समान रूप से झुकी हुई हैं,पहली और तीसरी रेखा के बीच का कोण दूसरी और तीसरी रेखा के बीच के कोण के बराबर होगा:
$\left|\frac{m_1-m}{1+m_1m}\right| = \left|\frac{m_2-m}{1+m_2m}\right|$
प्रवणता के मान रखने पर:
$\left|\frac{3-m}{1+3m}\right| = \left|\frac{1-2m}{2+m}\right|$
स्थिति $1$: $\frac{3-m}{1+3m} = \frac{1-2m}{2+m} \Rightarrow 5m^2+5=0$ (कोई वास्तविक हल नहीं)।
स्थिति $2$: $\frac{3-m}{1+3m} = -\left(\frac{1-2m}{2+m}\right) \Rightarrow 7m^2-2m-7=0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर:
$m = \frac{2 \pm \sqrt{200}}{14} = \frac{1 \pm 5\sqrt{2}}{7}$.

(A) मान लीजिए कि दो रेखाओं $S_1$ और $S_2$ के बीच का कोण $\theta$ है।
जब $S_1$ का $S_2$ में प्रतिबिंब लिया जाता है,तो परावर्तित रेखा $S_1'$ और $S_2$ के बीच का कोण $\theta$ होता है।
जब $S_2$ का $S_1$ में प्रतिबिंब लिया जाता है,तो परावर्तित रेखा $S_2'$ और $S_1$ के बीच का कोण $\theta$ होता है।
परावर्तित रेखाओं $S_1'$ और $S_2'$ के संपाती होने के लिए,रेखाओं द्वारा घेरा गया कुल कोण $\pi$ रेडियन होना चाहिए।
विशेष रूप से,$S_1'$ और $S_2'$ के बीच का कोण $3\theta = \pi$ है।
इसलिए,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(A) माना रेखा $L$ के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर झुकी हुई रेखाओं की ढाल $n$ है।
रेखा $L$ की ढाल $m=1$ दी गई है।
दो रेखाओं जिनकी ढाल $m$ और $n$ है,उनके बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{n-m}{1+nm} \right|$ सूत्र का उपयोग करने पर।
मान रखने पर,$\tan 60^{\circ} = \left| \frac{n-1}{1+n} \right| = \sqrt{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{(n-1)^2}{(n+1)^2} = 3$.
$(n-1)^2 = 3(n+1)^2
$ $\Rightarrow n^2 - 2n + 1 = 3n^2 + 6n + 3
$ $\Rightarrow 2n^2 + 8n + 2 = 0
$ $\Rightarrow n^2 + 4n + 1 = 0$.
इस द्विघात समीकरण के मूल दो रेखाओं की ढाल को दर्शाते हैं।
ढालों का गुणनफल अचर पद और $n^2$ के गुणांक का अनुपात होता है,जो $\frac{1}{1} = 1$ है।

(A) माना रेखा $L$ की ढाल $m$ है। चूँकि दी गई दोनों रेखाएँ रेखा $L$ पर लंब हैं,इसलिए वे एक-दूसरे के समांतर होनी चाहिए।
दोनों रेखाओं की ढाल क्रमशः $m_1$ और $m_2$ हैं।
पहली रेखा $p(p^2+1)x - y + q = 0$ के लिए,ढाल $m_1 = p(p^2+1)$ है।
दूसरी रेखा $(p^2+1)^2 x + (p^2+1)y + 2q = 0$ के लिए,ढाल $m_2 = -\frac{(p^2+1)^2}{(p^2+1)} = -(p^2+1)$ है।
चूँकि रेखाएँ समांतर हैं,$m_1 = m_2$:
$p(p^2+1) = -(p^2+1)$.
किसी भी वास्तविक $p$ के लिए $(p^2+1) \neq 0$ है,इसलिए हम $(p^2+1)$ से विभाजित कर सकते हैं:
$p = -1$.
अतः,$p$ का केवल एक मान प्राप्त होता है।

(A) माना $(3,2)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m_1$ है और $x-2y=3$ की ढाल $m_2$ है।
$m_2 = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$.
रेखाओं के बीच का कोण $45^{\circ}$ है,इसलिए $\tan 45^{\circ} = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$.
$1 = \left| \frac{m_1 - 1/2}{1 + m_1/2} \right| = \left| \frac{2m_1 - 1}{2 + m_1} \right|$.
स्थिति $1$: $\frac{2m_1 - 1}{2 + m_1} = 1$ $\Rightarrow 2m_1 - 1 = 2 + m_1$ $\Rightarrow m_1 = 3$.
समीकरण $y - 2 = 3(x - 3)$ $\Rightarrow y - 2 = 3x - 9$ $\Rightarrow 3x - y = 7$ है।
स्थिति $2$: $\frac{2m_1 - 1}{2 + m_1} = -1$ $\Rightarrow 2m_1 - 1 = -2 - m_1$ $\Rightarrow 3m_1 = -1$ $\Rightarrow m_1 = -1/3$.
समीकरण $y - 2 = -\frac{1}{3}(x - 3)$ $\Rightarrow 3y - 6 = -x + 3$ $\Rightarrow x + 3y = 9$ है।
अतः,रेखाओं के समीकरण $3x - y = 7$ और $x + 3y = 9$ हैं।

(B) दी गई रेखा $(2x + 3y + 4) + \lambda(6x - y + 12) = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(2 + 6\lambda)x + (3 - \lambda)y + (4 + 12\lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
इस रेखा की ढाल $(m_1)$ $-\frac{2 + 6\lambda}{3 - \lambda}$ है।
दूसरी रेखा $7x + 5y = 2$ है,जिसकी ढाल $(m_2)$ $-\frac{7}{5}$ है।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा,अर्थात $m_1 \times m_2 = -1$।
$(-\frac{2 + 6\lambda}{3 - \lambda}) \times (-\frac{7}{5}) = -1$।
$\frac{14 + 42\lambda}{5(3 - \lambda)} = -1$।
$14 + 42\lambda = -15 + 5\lambda$।
$37\lambda = -29$।
$\lambda = -\frac{29}{37}$।

(C) दी गई रेखा $2x-y+3=0$ की ढाल $m_1 = 2$ है।
माना रेखा $L$ की ढाल $m$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,अतः $\tan 60^{\circ} = |\frac{m-m_1}{1+m m_1}|$.
$\sqrt{3} = |\frac{m-2}{1+2m}|$.
इसके दो मामले हैं:
मामला $1$: $\frac{m-2}{1+2m} = \sqrt{3} \Rightarrow m = \frac{8+5\sqrt{3}}{-11}$.
मामला $2$: $\frac{m-2}{1+2m} = -\sqrt{3} \Rightarrow m = \frac{8-5\sqrt{3}}{-11} = \frac{5\sqrt{3}-8}{11}$.
चूंकि $L$,धनात्मक $X$-अक्ष के साथ न्यून कोण बनाती है,इसलिए $m > 0$ होना चाहिए।
यहाँ $m = \frac{5\sqrt{3}-8}{11} > 0$ है।
रेखा $L$ का समीकरण $y = \frac{5\sqrt{3}-8}{11}(x - 2)$ है।
$Y$-अंतःखंड के लिए $x = 0$ रखने पर,$y = \frac{5\sqrt{3}-8}{11}(-2) = \frac{16-10\sqrt{3}}{11}$ प्राप्त होता है।