Venn Diagram and Operation on Sets Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $A = \{1, 2, 3, 4\}$.
ધારો કે $B = \{x : x \text{ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને } 4 \le x \le 6\} = \{4, 5, 6\}$.
ગણ પરસ્પર અલગ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે તેમનો છેદગણ શોધીએ: $A \cap B = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{4, 5, 6\} = \{4\}$.
અહીં $A \cap B \neq \emptyset$ હોવાથી,આ ગણની જોડી પરસ્પર અલગ નથી.

(B) જો બે ગણનો છેદગણ ખાલી ગણ હોય,એટલે કે $A \cap B = \emptyset$ હોય,તો તે ગણોને પરસ્પર અલગ ગણ કહેવાય છે.
આપેલ ગણ: $A = \{a, e, i, o, u\}$ અને $B = \{c, d, e, f\}$.
તેમનો છેદગણ $A \cap B = \{a, e, i, o, u\} \cap \{c, d, e, f\} = \{e\}$ છે.
અહીં $A \cap B \neq \emptyset$ હોવાથી,આ ગણો પરસ્પર અલગ નથી.

(A) બે ગણ $A$ અને $B$ નો તફાવત,જેને $A - B$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે એવા ઘટકોનો ગણ છે જે $A$ માં હોય પરંતુ $B$ માં ન હોય.
આપેલ છે કે $A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\}$ અને $B = \{4, 8, 12, 16, 20\}$.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનો સામાન્ય ઘટક $\{12\}$ છે.
ગણ $A$ માંથી ઘટક $12$ દૂર કરતા,આપણને $A - B = \{3, 6, 9, 15, 18, 21\}$ મળે છે.

(A) ગણ $A-C$ એવા ઘટકો ધરાવે છે જે $A$ માં હોય પણ $C$ માં ન હોય.
આપેલ $A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\}$ અને $C = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\}$.
બંને ગણની સરખામણી કરતા,સામાન્ય ઘટકો $\{6, 12\}$ છે.
ગણ $A$ માંથી આ સામાન્ય ઘટકો દૂર કરતા,આપણને $A-C = \{3, 9, 15, 18, 21\}$ મળે છે.

(A) ગણનો તફાવત $A-D$ એવા ઘટકો ધરાવે છે જે $A$ માં છે પણ $D$ માં નથી.
આપેલ છે $A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\}$ અને $D = \{5, 10, 15, 20\}$.
આપણે $D$ ના તે ઘટકો દૂર કરીએ છીએ જે $A$ માં હાજર છે.
સામાન્ય ઘટક માત્ર $15$ છે.
તેથી,$A-D = \{3, 6, 9, 12, 18, 21\}$.

(A) બે ગણનો તફાવત $B - A$ એવા ઘટકોનો ગણ છે જે $B$ માં હોય પણ $A$ માં ન હોય.
આપેલ છે કે $A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\}$ અને $B = \{4, 8, 12, 16, 20\}$.
આપણે $B$ માં રહેલા એવા ઘટકો શોધીએ જે $A$ માં પણ છે. સામાન્ય ઘટક માત્ર $12$ છે.
ગણ $B$ માંથી $12$ દૂર કરતા,આપણને $B - A = \{4, 8, 16, 20\}$ મળે છે.

(A) બે ગણનો તફાવત $C - A$ એવા ઘટકોનો ગણ છે જે $C$ માં હોય પણ $A$ માં ન હોય.
આપેલ છે $C = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\}$ અને $A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\}$.
$C$ અને $A$ માં સામાન્ય ઘટકો $\{6, 12\}$ છે.
આ ઘટકોને $C$ માંથી દૂર કરતા,આપણને $C - A = \{2, 4, 8, 10, 14, 16\}$ મળે છે.

(A) બે ગણનો તફાવત $D - A$ એટલે એવા ઘટકોનો ગણ જે $D$ માં હોય પણ $A$ માં ન હોય.
આપેલ છે કે $D = \{5, 10, 15, 20\}$ અને $A = \{3, 6, 9, 12, 15, 18, 21\}$.
આપણે $D$ ના એવા ઘટકો શોધીએ જે $A$ માં પણ હોય. ઘટક $15$ બંને ગણમાં સામાન્ય છે.
$D$ માંથી $15$ બાદ કરતા,આપણને $D - A = \{5, 10, 20\}$ મળે છે.

(B) બે ગણ $B$ અને $C$ નો તફાવત,જેને $B - C$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે એવા ઘટકોનો ગણ છે જે $B$ માં છે પરંતુ $C$ માં નથી.
આપેલ છે $B = \{4, 8, 12, 16, 20\}$ અને $C = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\}$.
$B$ ના ઘટકો જે $C$ માં પણ છે તે $\{4, 8, 12, 16\}$ છે.
આ ઘટકોને $B$ માંથી દૂર કરતા,આપણને $B - C = \{20\}$ મળે છે.

(A) બે ગણ $B$ અને $D$ નો તફાવત,જેને $B - D$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે એવા તમામ ઘટકોનો ગણ છે જે $B$ માં છે પરંતુ $D$ માં નથી.
આપેલ છે કે $B = \{4, 8, 12, 16, 20\}$ અને $D = \{5, 10, 15, 20\}$.
આપણે $B$ માંથી $D$ ના ઘટકો દૂર કરીએ છીએ.
ઘટક $20$ એ $B$ અને $D$ બંનેમાં છે.
તેથી,$B - D = \{4, 8, 12, 16\}$.

(A) બે ગણ $C$ અને $B$ નો તફાવત,જેને $C - B$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે એવા ઘટકોનો ગણ છે જે $C$ માં હોય પણ $B$ માં ન હોય.
આપેલ છે કે $C = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\}$ અને $B = \{4, 8, 12, 16, 20\}$.
$C$ માંથી $B$ ના ઘટકો દૂર કરતા,આપણને મળે છે:
$C - B = \{2, 6, 10, 14\}$.

(A) બે ગણ $D$ અને $B$ નો તફાવત,જેને $D - B$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે એવા તમામ ઘટકોનો ગણ છે જે $D$ માં છે પણ $B$ માં નથી.
આપેલ છે કે $D = \{5, 10, 15, 20\}$ અને $B = \{4, 8, 12, 16, 20\}$.
આપણે $D$ માંથી $B$ ના ઘટકો દૂર કરીએ છીએ.
ઘટક $20$ બંને ગણમાં સામાન્ય છે.
તેથી,$D - B = \{5, 10, 15, 20\} - \{4, 8, 12, 16, 20\} = \{5, 10, 15\}$.

(A) બે ગણ $C$ અને $D$ નો તફાવત,જેને $C - D$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે એવા તમામ ઘટકોનો ગણ છે જે $C$ માં છે પરંતુ $D$ માં નથી.
આપેલ છે કે $C = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\}$ અને $D = \{5, 10, 15, 20\}$.
આપણે $D$ ના એવા ઘટકો દૂર કરીશું જે $C$ માં હાજર છે.
$C$ અને $D$ વચ્ચેનો સામાન્ય ઘટક $\{10\}$ છે.
તેથી,$C - D = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\} - \{5, 10, 15, 20\} = \{2, 4, 6, 8, 12, 14, 16\}$.

(B) બે ગણ $D$ અને $C$ નો તફાવત,જેને $D - C$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે એવા ઘટકોનો ગણ છે જે $D$ માં હોય પણ $C$ માં ન હોય.
આપેલ છે કે $D = \{5, 10, 15, 20\}$ અને $C = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16\}$.
આપણે $D$ ના એવા ઘટકો શોધીએ જે $C$ માં પણ છે: ઘટક $10$ બંને ગણમાં છે.
$D$ માંથી $10$ ને દૂર કરતા,આપણને $D - C = \{5, 15, 20\}$ મળે છે.

(A) બે ગણનો તફાવત $Y - X$ એટલે એવા ઘટકોનો ગણ જે $Y$ માં હોય પણ $X$ માં ન હોય.
આપેલ છે $X = \{a, b, c, d\}$ અને $Y = \{f, b, d, g\}$.
$Y$ માં રહેલા ઘટકો $f, b, d, g$ છે.
$Y$ ના જે ઘટકો $X$ માં પણ છે તે $b$ અને $d$ છે.
તેથી,$Y - X = \{f, g\}$.

(B) બે ગણ $X$ અને $Y$ નો છેદગણ,જેને $X \cap Y$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તેમાં $X$ અને $Y$ બંનેમાં સામાન્ય હોય તેવા તમામ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે.
આપેલ છે કે $X = \{a, b, c, d\}$ અને $Y = \{f, b, d, g\}$.
બંને ગણમાં સામાન્ય ઘટકો $b$ અને $d$ છે.
તેથી,$X \cap Y = \{b, d\}$.

(B) અસત્ય.
જો બે ગણનો છેદગણ ખાલી ગણ હોય,તો તે પરસ્પર અલગ ગણ કહેવાય,એટલે કે $A \cap B = \emptyset$.
આપેલ ગણ $A = \{2, 3, 4, 5\}$ અને $B = \{3, 6\}$ છે.
અહીં $3 \in A$ અને $3 \in B$ હોવાથી,તેમનો છેદગણ $A \cap B = \{3\}$ થાય.
$A \cap B \neq \emptyset$ હોવાથી,આ ગણ પરસ્પર અલગ નથી.

(B) અસત્ય.
બે ગણ પરસ્પર અલગ હોય જો તેમનો છેદગણ ખાલી ગણ હોય,એટલે કે $A \cap B = \emptyset$.
અહીં,ધારો કે $A = \{a, e, i, o, u\}$ અને $B = \{a, b, c, d\}$.
કારણ કે $a \in A$ અને $a \in B$,તેથી $A \cap B = \{a\}$.
કારણ કે $A \cap B \neq \emptyset$,તેથી આ ગણ પરસ્પર અલગ નથી.

(A) આ વિધાન $True$ (સત્ય) છે.
જો બે ગણનો છેદગણ ખાલી ગણ હોય,તો તેમને પરસ્પર અલગ ગણ કહેવામાં આવે છે,જેને $\varnothing$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ધારો કે $A = \{2, 6, 10, 14\}$ અને $B = \{3, 7, 11, 15\}$.
$A$ અને $B$ નો છેદગણ $A \cap B = \{2, 6, 10, 14\} \cap \{3, 7, 11, 15\} = \varnothing$ છે.
છેદગણ ખાલી હોવાથી,આ ગણ પરસ્પર અલગ છે.

આપેલ છે કે $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$,$A = \{2, 4, 6, 8\}$ અને $B = \{2, 3, 5, 7\}$.
પ્રથમ,$A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ શોધો.
ત્યારબાદ,$(A \cup B)^{\prime} = U \setminus (A \cup B) = \{1, 9\}$.
હવે,$A^{\prime} = U \setminus A = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ અને $B^{\prime} = U \setminus B = \{1, 4, 6, 8, 9\}$ શોધો.
તેથી,$A^{\prime} \cap B^{\prime} = \{1, 3, 5, 7, 9\} \cap \{1, 4, 6, 8, 9\} = \{1, 9\}$.
આમ,$(A \cup B)^{\prime} = \{1, 9\}$ અને $A^{\prime} \cap B^{\prime} = \{1, 9\}$ હોવાથી,તે ચકાસાય છે કે $(A \cup B)^{\prime} = A^{\prime} \cap B^{\prime}$.

(N/A) ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$A^{\prime} \cap B^{\prime} = (A \cup B)^{\prime}$.
આ સાર્વત્રિક ગણ $U$ માં એવો વિસ્તાર દર્શાવે છે જે ગણ $A$ અને $B$ બંનેની બહાર છે.
વેન આકૃતિમાં,આ આખા લંબચોરસને આવરી લેતો છાયાંકિત ભાગ છે,જેમાં વર્તુળો $A$ અને $B$ નો સમાવેશ થતો નથી.

(N/A) ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $A^{\prime} \cup B^{\prime} = (A \cap B)^{\prime}$.
આ સાર્વત્રિક ગણ $U$ માં એવો વિસ્તાર દર્શાવે છે જે ગણ $A$ અને $B$ ના છેદગણની બહાર છે.
તેથી,વેન આકૃતિમાં ગણ $A$ અને $B$ ના છેદગણના ભાગ સિવાયનો સમગ્ર સાર્વત્રિક ગણ $U$ નો સમાવેશ થાય છે.

(A) આપેલ છે કે:
$n(X \cup Y) = 18, n(X) = 8, n(Y) = 15$
આપણે જાણીએ છીએ કે:
$n(X \cup Y) = n(X) + n(Y) - n(X \cap Y)$
કિંમતો મૂકતા:
$18 = 8 + 15 - n(X \cap Y)$
$18 = 23 - n(X \cap Y)$
$n(X \cap Y)$ માટે ઉકેલતા:
$n(X \cap Y) = 23 - 18$
$n(X \cap Y) = 5$
તેથી,$X \cap Y$ માં $5$ ઘટકો છે.

(C) ધારો કે ત્રણ રમતો રમતા વિદ્યાર્થીઓના ત્રણ ગણ $A$,$B$,અને $C$ છે.
સમસ્યા મુજબ,કેટલાક વિદ્યાર્થીઓ બે રમતો રમે છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈપણ બે ગણનો છેદ ખાલી નથી (એટલે કે,$A \cap B \neq \emptyset$,$B \cap C \neq \emptyset$,$A \cap C \neq \emptyset$).
જોકે,કોઈ પણ વિદ્યાર્થી ત્રણેય રમતો રમતું નથી,જેનો અર્થ છે કે ત્રણેય ગણનો છેદ ખાલી હોવો જોઈએ (એટલે કે,$A \cap B \cap C = \emptyset$).
આકૃતિ $P$ માં,માત્ર બે જ ગણ છે,તેથી તે ત્રણ રમતોનું પ્રતિનિધિત્વ કરતી નથી.
આકૃતિ $Q$ માં,ત્રણ વર્તુળો એવી રીતે ગોઠવાયેલા છે કે એક કેન્દ્રીય પ્રદેશ છે જ્યાં ત્રણેય ઓવરલેપ થાય છે,એટલે કે $A \cap B \cap C \neq \emptyset$.
આકૃતિ $R$ માં,ત્રણ વર્તુળો એવી રીતે ગોઠવાયેલા છે કે ત્રણેય દ્વારા વહેંચાયેલ કોઈ સામાન્ય પ્રદેશ નથી,એટલે કે $A \cap B \cap C = \emptyset$,જ્યારે વર્તુળોની જોડી હજુ પણ ઓવરલેપ થાય છે.
તેથી,માત્ર આકૃતિ $R$ વિધાનને ન્યાયી ઠેરવે છે. વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(N/A) સાબિત કરવા માટે: $A = (A \cap B) \cup (A - B)$
ધારો કે $x \in A.$
આપણે જાણીએ છીએ કે $x$ કાં તો $B$ માં હશે અથવા $B$ માં નહીં હોય.
કિસ્સો $I$: જો $x \in B$ હોય,તો $x \in A \cap B$,તેથી $x \in (A \cap B) \cup (A - B).$
કિસ્સો $II$: જો $x \notin B$ હોય,તો $x \in A - B$,તેથી $x \in (A \cap B) \cup (A - B).$
આમ,$A \subseteq (A \cap B) \cup (A - B).$ ..........$(1)$
કારણ કે $(A \cap B) \subseteq A$ અને $(A - B) \subseteq A$,તેથી તેમનો યોગગણ પણ $A$ નો ઉપગણ જ હોય.
આમ,$(A \cap B) \cup (A - B) \subseteq A.$ ..........$(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,$A = (A \cap B) \cup (A - B).$
સાબિત કરવા માટે: $A \cup (B - A) = A \cup B$
ધારો કે $x \in A \cup (B - A).$
આનો અર્થ એ છે કે $x \in A$ અથવા $(x \in B$ અને $x \notin A).$
વિભાજનના નિયમ મુજબ,આ $(x \in A$ અથવા $x \in B)$ અને $(x \in A$ અથવા $x \notin A)$ છે.
કારણ કે $(x \in A$ અથવા $x \notin A)$ હંમેશા સત્ય છે,તેથી આપણને $x \in A \cup B$ મળે છે.
આમ,$A \cup (B - A) \subseteq A \cup B.$ ..........$(3)$
તેનાથી ઉલટું,ધારો કે $y \in A \cup B.$
આનો અર્થ એ છે કે $y \in A$ અથવા $y \in B.$
જો $y \in A$ હોય,તો $y \in A \cup (B - A).$
જો $y \notin A$ અને $y \in B$ હોય,તો $y \in B - A$,તેથી $y \in A \cup (B - A).$
આમ,$A \cup B \subseteq A \cup (B - A).$ ..........$(4)$
$(3)$ અને $(4)$ પરથી,$A \cup (B - A) = A \cup B.$

(A) સાબિત કરવાનું છે: $A \cup (A \cap B) = A$
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ ગણ $A$ અને $B$ માટે,છેદગણ $A \cap B$ એ $A$ નો ઉપગણ છે,એટલે કે $(A \cap B) \subset A$.
વળી,$A \subset A$.
તેથી,આ બે ગણોનો યોગગણ $A \cup (A \cap B) \subset A$ થાય ........... $(1)$
તેનાથી ઉલટું,કોઈપણ ઘટક $x \in A$ માટે,યોગગણની વ્યાખ્યા મુજબ $x \in A \cup (A \cap B)$ થાય,તેથી $A \subset A \cup (A \cap B)$ ........... $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,ગણની સમાનતાની વ્યાખ્યા મુજબ,આપણે કહી શકીએ કે $A \cup (A \cap B) = A$.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ માં $36$ પરિણામો હોય છે.
$A = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
$B = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\}$
કારણ કે $B$ એ પ્રથમ પાસા પર એકી સંખ્યા હોય તેવા તમામ પરિણામોનો ગણ છે,તેથી $B^{\prime} = A$.
$C = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)\}$
આપણે $A \cap B^{\prime} \cap C^{\prime} = A \cap A \cap C^{\prime} = A \cap C^{\prime}$ શોધવાની જરૂર છે.
$A \cap C^{\prime}$ એ $A$ માં હોય તેવા પરિણામોનો ગણ દર્શાવે છે જે $C$ માં નથી.
$A \cap C^{\prime} = \{(2,4), (2,5), (2,6), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$

(B) વિધેય $f(x, A)$ એ ગણ $A$ નું સૂચક વિધેય છે,જેને $\chi_A(x)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,જો $x \in A \cup B$ હોય તો $f(x, A \cup B) = 1$,અને અન્યથા $0$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $x \in A \cup B$ ત્યારે અને તો જ થાય જો $x \in A$ અથવા $x \in B$ હોય.
સૂચક વિધેયોના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$f(x, A \cup B) = \max(f(x, A), f(x, B))$.
વૈકલ્પિક રીતે,સૂચક વિધેયો માટે સમાવેશ-બાકાત સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા:
$f(x, A \cup B) = f(x, A) + f(x, B) - f(x, A \cap B)$.
કારણ કે $f(x, A \cap B) = f(x, A) \cdot f(x, B)$,તેથી આપણને $f(x, A \cup B) = f(x, A) + f(x, B) - f(x, A)f(x, B)$ મળે છે.

(A) આપેલ છે: $P(E) = \frac{1}{8}, P(F) = \frac{1}{6}, P(G) = \frac{1}{4}, P(E \cap F \cap G) = \frac{1}{10}$.
$(A)$ આપણે જાણીએ છીએ કે $P(E) = P(E \cap F \cap G) + P(E \cap F \cap G^C) + P(E \cap F^C \cap G) + P(E \cap F^C \cap G^C)$.
તેથી,$P(E \cap F \cap G^C) \leq P(E) - P(E \cap F \cap G) = \frac{1}{8} - \frac{1}{10} = \frac{5-4}{40} = \frac{1}{40}$. તેથી,$(A)$ $TRUE$ છે.
$(B)$ તેવી જ રીતે,$P(E^C \cap F \cap G) \leq P(F) - P(E \cap F \cap G) = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5-3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$. તેથી,$(B)$ $TRUE$ છે.
$(C)$ $P(E \cup F \cup G) = P(E) + P(F) + P(G) - [P(E \cap F) + P(F \cap G) + P(G \cap E)] + P(E \cap F \cap G)$.
કારણ કે $P(E \cap F), P(F \cap G), P(G \cap E) \geq P(E \cap F \cap G) = \frac{1}{10}$,તેથી $P(E \cup F \cup G) \leq \frac{1}{8} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} - 3(\frac{1}{10}) + \frac{1}{10} = \frac{3+4+6}{24} - \frac{2}{10} = \frac{13}{24} - \frac{1}{5} = \frac{65-24}{120} = \frac{41}{120} \leq \frac{13}{24}$. તેથી,$(C)$ $TRUE$ છે.
$(D)$ $P(E^C \cap F^C \cap G^C) = 1 - P(E \cup F \cup G)$. કારણ કે $P(E \cup F \cup G) \geq P(E \cap F \cap G) = \frac{1}{10}$,તેથી $P(E^C \cap F^C \cap G^C) \leq 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} = 0.9$. વિધાન $P(E^C \cap F^C \cap G^C) \leq \frac{5}{12} \approx 0.416$ હંમેશા સાચું નથી. તેથી,$(D)$ $FALSE$ છે.
આમ,સાચા વિકલ્પો $A, B, C$ છે.

(B) આપેલ ગણ $A = \{x \mid x \in N, x \text{ એ } 12 \text{ થી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા છે}\}$.
$12$ થી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11$ હોવાથી,$A = \{2, 3, 5, 7, 11\}$ મળે.
આપેલ ગણ $B = \{x \mid x \in N, x \text{ એ } 10 \text{ નો અવયવ છે}\}$.
$10$ ના અવયવો $1, 2, 5, 10$ હોવાથી,$B = \{1, 2, 5, 10\}$ મળે.
છેદગણ $A \cap B$ માં બંને ગણ $A$ અને $B$ માં સામાન્ય હોય તેવા ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે.
$A \cap B = \{2, 3, 5, 7, 11\} \cap \{1, 2, 5, 10\} = \{2, 5\}$.

(A) આપેલ છે કે $X = \{4^n - 3n - 1 : n \in N\}$ અને $Y = \{9(n - 1) : n \in N\}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ મુજબ,$4^n = (1 + 3)^n = 1 + n(3) + \frac{n(n-1)}{2!} (3^2) + \dots + 3^n$.
તેથી,$4^n - 3n - 1 = 1 + 3n + \frac{9n(n-1)}{2} + \dots - 3n - 1 = \frac{9n(n-1)}{2} + \dots = 9 \left[ \frac{n(n-1)}{2} + \dots \right]$.
આ દર્શાવે છે કે $X$ નો દરેક ઘટક $9$ નો ગુણક છે,અને $n(n-1)$ હંમેશા બેકી સંખ્યા હોવાથી,$\frac{n(n-1)}{2}$ એક પૂર્ણાંક છે.
આમ,$X \subseteq Y$.
વૈકલ્પિક રીતે,કિંમતો મૂકતા:
$n=1$ માટે,$X = \{4^1 - 3(1) - 1\} = \{0\}$.
$n=2$ માટે,$X = \{4^2 - 3(2) - 1\} = \{16 - 6 - 1\} = \{9\}$.
$n=3$ માટે,$X = \{4^3 - 3(3) - 1\} = \{64 - 9 - 1\} = \{54\}$.
$X = \{0, 9, 54, \dots\}$.
$Y = \{0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, \dots\}$.
$X$ ના બધા ઘટકો $Y$ માં હોવાથી,$X \cap Y = X$.

(A) પ્રથમ,આપણે દરેક ગણના ઘટકો નક્કી કરીએ:
$A = \{ x : x \text{ એ પૂર્ણાંક છે અને } x^2 - 9 = 0 \} = \{ -3, 3 \}$.
$B = \{ x : x \text{ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને } 2 \leq x < 5 \} = \{ 2, 3, 4 \}$.
$C = \{ x : x \text{ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા } \leq 4 \} = \{ 2, 3 \}$.
હવે,$(B - C)$ ની ગણતરી કરીએ:
$B - C = \{ 2, 3, 4 \} - \{ 2, 3 \} = \{ 4 \}$.
અંતે,$(B - C) \cup A$ ની ગણતરી કરીએ:
$(B - C) \cup A = \{ 4 \} \cup \{ -3, 3 \} = \{ -3, 3, 4 \}$.

(C) આપેલ છે કે $A$ એ $B$ નો ઉપગણ છે,જેને $A \subset B$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
ઉપગણની વ્યાખ્યા મુજબ,$A$ નો દરેક ઘટક $B$ નો પણ ઘટક છે.
તેથી,$A$ અને $B$ નો યોગગણ $B$ થાય છે,એટલે કે $A \cup B = B$.
બંને બાજુ ઘટકોની સંખ્યા લેતા,આપણને $n(A \cup B) = n(B)$ મળે છે.
તે જ રીતે,$A$ અને $B$ નો છેદગણ $A$ થાય છે,એટલે કે $A \cap B = A$,જેનો અર્થ છે કે $n(A \cap B) = n(A)$.

(C) જ્યારે માત્ર ઘટના $A$ બને,ત્યારે તેને $(A \cap B^c)$ તરીકે લખી શકાય.
જ્યારે માત્ર ઘટના $B$ બને,ત્યારે તેને $(A^c \cap B)$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,'ઘટના $A$ અને $B$ પૈકી બરાબર એક જ ઘટના બને' તેને $(A \cap B^c) \cup (A^c \cap B)$ તરીકે લખી શકાય.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે બે ગણનો તફાવત $A-B = A \cap B^c$ થાય છે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$A-(A-B) = A-(A \cap B^c)$
ગુણધર્મ $X-Y = X \cap Y^c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= A \cap (A \cap B^c)^c$
ડી મોર્ગનનો નિયમ $(A \cap B^c)^c = A^c \cup (B^c)^c = A^c \cup B$ લાગુ કરતા:
$= A \cap (A^c \cup B)$
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$= (A \cap A^c) \cup (A \cap B)$
કારણ કે $A \cap A^c = \emptyset$ છે:
$= \emptyset \cup (A \cap B) = A \cap B$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.