Venn Diagram and Operation on Sets Questions in Hindi

(B) चरण $1$: समुच्चय $B$ और $C$ का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात कीजिए।
$B \cap C = \{3, 4\} \cap \{4, 5, 6\} = \{4\}$.
चरण $2$: समुच्चय $A$ और चरण $1$ के परिणाम का संघ (union) ज्ञात कीजिए।
$A \cup (B \cap C) = \{1, 2, 3\} \cup \{4\} = \{1, 2, 3, 4\}$.

(C) सर्वनिष्ठ समुच्चय $A \cap B$ ज्ञात करने के लिए,हमें उन बिंदुओं $(x, y)$ को खोजना होगा जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करते हैं:
$y = \frac{1}{x}$ और $y = -x$.
दूसरे समीकरण को पहले में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-x = \frac{1}{x}$
$-x^2 = 1$
$x^2 = -1$
चूंकि $x$ एक वास्तविक संख्या $(x \in R)$ होनी चाहिए,इसलिए $x$ का कोई भी वास्तविक मान $x^2 = -1$ को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,समुच्चय $A$ और $B$ के बीच कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।
इसलिए,$A \cap B = \phi$.

(C) व्यंजक $(A - B) \cup (B - A)$ समुच्चय $A$ और $B$ के सममित अंतर को दर्शाता है,जिसे $A \Delta B$ के रूप में लिखा जाता है।
परिभाषा के अनुसार,$A - B = A \cap B^c$ और $B - A = B \cap A^c$ होता है।
अतः,$(A - B) \cup (B - A) = (A \cap B^c) \cup (B \cap A^c)$।
वितरण नियम का उपयोग करने पर,यह $(A \cup B) - (A \cap B)$ में सरल हो जाता है,जिसमें वे सभी अवयव शामिल होते हैं जो $A$ या $B$ में हैं लेकिन दोनों में नहीं हैं।
इसलिए,सही विकल्प $(C)$ है।

(A) दी गई व्यंजक $R \times (P^c \cup Q^c)^c$ है।
डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $(P^c \cup Q^c)^c = (P^c)^c \cap (Q^c)^c = P \cap Q$।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R \times (P \cap Q)$ प्राप्त होता है।
कार्तीय गुणन के सर्वनिष्ठ पर वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$R \times (P \cap Q) = (R \times P) \cap (R \times Q)$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) सबसे पहले,सर्वनिष्ठ $A \cap B$ ज्ञात करें:
$A \cap B = \{2, 3, 4, 8, 10\} \cap \{3, 4, 5, 10, 12\} = \{3, 4, 10\}$.
इसके बाद,सर्वनिष्ठ $A \cap C$ ज्ञात करें:
$A \cap C = \{2, 3, 4, 8, 10\} \cap \{4, 5, 6, 12, 14\} = \{4\}$.
अंत में,इन दोनों समुच्चयों का संघ ज्ञात करें:
$(A \cap B) \cup (A \cap C) = \{3, 4, 10\} \cup \{4\} = \{3, 4, 10\}$.

(A) समुच्चयों के वितरण नियम (distributive law) के अनुसार,$A \cap (A \cup B) = (A \cap A) \cup (A \cap B)$ है।
चूंकि $A \cap A = A$,इसलिए व्यंजक $A \cup (A \cap B)$ हो जाता है।
चूंकि $(A \cap B) \subseteq A$,इसलिए $A$ और $A$ के उपसमुच्चय का संघ (union) $A$ ही होता है।
अतः,$A \cap (A \cup B) = A$।

(A) सबसे पहले,समुच्चय $B$ और $C$ का संघ (union) ज्ञात करें:
$B \cup C = \{b, c, d\} \cup \{a, b, d, e\} = \{a, b, c, d, e\}$.
अब,समुच्चय $A$ का परिणामी समुच्चय के साथ सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करें:
$A \cap (B \cup C) = \{a, b, c\} \cap \{a, b, c, d, e\} = \{a, b, c\}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(A) समुच्चय अंतर की परिभाषा के अनुसार,$B - A$ उन अवयवों का समुच्चय है जो $B$ में हैं लेकिन $A$ में नहीं हैं।
इसलिए,कोई भी अवयव $x \in (B - A)$ के लिए $x \notin A$ होता है।
चूंकि $A \cap (B - A)$ में वे अवयव होते हैं जो $A$ और $(B - A)$ दोनों में हों,और कोई भी अवयव एक साथ $A$ और $(B - A)$ में नहीं हो सकता,इसलिए उनका सर्वनिष्ठ (intersection) रिक्त समुच्चय है।
अतः,$A \cap (B - A) = \phi$.

(D) छायांकित क्षेत्र उन अवयवों को दर्शाता है जो समुच्चय $A$ में हैं लेकिन समुच्चय $B$ और समुच्चय $C$ में नहीं हैं।
इसका अर्थ है कि यह क्षेत्र $A$ में आता है और $B$ तथा $C$ के संघ (union) को बाहर करता है।
अतः,छायांकित क्षेत्र को $A - (B \cup C)$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(A) वेन आरेख से,समुच्चय $A$,$(A - B)$ और $(A \cap B)$ में स्थित अवयवों से बना है।
इसी प्रकार,समुच्चय $B$,$(B - A)$ और $(A \cap B)$ में स्थित अवयवों से बना है।
इन अलग-अलग क्षेत्रों का संघ $(A - B) \cup (B - A) \cup (A \cap B) = A \cup B$ होता है।

(A) डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,$(A \cup B)' = A' \cap B'$.
अतः,व्यंजक $(A' \cap B') \cup (A' \cap B)$ हो जाता है।
वितरण नियम द्वारा,यह $A' \cap (B' \cup B)$ के बराबर है।
चूंकि $B' \cup B = U$ (सार्वत्रिक समुच्चय),इसलिए हमें $A' \cap U = A'$ प्राप्त होता है।
अतः,$(A \cup B)' \cup (A' \cap B) = A'$।

(C) हम दो समुच्चयों के संघ (union) के लिए सूत्र का उपयोग करते हैं:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$0.25 = 0.16 + 0.14 - n(A \cap B)$
समीकरण को सरल करने पर:
$0.25 = 0.30 - n(A \cap B)$
$n(A \cap B)$ के लिए हल करने पर:
$n(A \cap B) = 0.30 - 0.25 = 0.05$

(C) चूंकि $A$ और $B$ असंयुक्त हैं,इसलिए $A \cap B = \phi$ है।
अतः,$n(A \cap B) = 0$ होगा।
दो समुच्चयों के संघ (union) के सूत्र का उपयोग करने पर:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
$n(A \cap B)$ का मान रखने पर:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - 0 = n(A) + n(B)$.

(B) किन्हीं दो समुच्चयों $A$ और $B$ के लिए,उनके संघ (union) में अवयवों की संख्या समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत द्वारा दी जाती है:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
चूंकि $A$ और $B$ असंयुक्त नहीं हैं,इसलिए $n(A \cap B) \neq 0$,जो इस सूत्र की पुष्टि करता है।

(A) दो समुच्चयों $A$ और $B$ का अंतर,जिसे $A - B$ द्वारा दर्शाया जाता है,उन अवयवों का समुच्चय है जो $A$ में हैं लेकिन $B$ में नहीं हैं।
गणितीय रूप से,$A - B = \{x : x \in A \text{ और } x \notin B\}$।
चूंकि $x \notin B$ का अर्थ $x \in B^c$ है,इसलिए $A - B = \{x : x \in A \text{ और } x \in B^c\}$।
अतः,$A - B = A \cap B^c$।

(A) समुच्चय अंतर के गुण का उपयोग करते हुए,$A - (B \cap C) = A \cap (B \cap C)^c$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$(B \cap C)^c = B^c \cup C^c$.
अतः,$A \cap (B^c \cup C^c) = (A \cap B^c) \cup (A \cap C^c)$.
चूंकि $A \cap B^c = A - B$ और $A \cap C^c = A - C$,हमें $(A - B) \cup (A - C)$ प्राप्त होता है।

(B) समुच्चयों के वितरण नियम (Distributive Law) के अनुसार,एक समुच्चय का अन्य दो समुच्चयों के संघ (union) के साथ सर्वनिष्ठ (intersection) इस प्रकार होता है:
$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) सबसे पहले,समुच्चय $A$ और $B$ का संघ (union) ज्ञात करें:
$A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5\} \cup \{2, 4, 6\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
इसके बाद,$(A \cup B)$ और समुच्चय $C$ का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करें:
$(A \cup B) \cap C = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \cap \{3, 4, 6\} = \{3, 4, 6\}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(B) दिए गए समुच्चय $A = \{4, 8, 12, 16, 20, 24, \dots\}$ और $B = \{6, 12, 18, 24, 30, \dots\}$ हैं।
सर्वनिष्ठ समुच्चय $A \cap B$ में वे अवयव होते हैं जो समुच्चय $A$ और $B$ दोनों में उभयनिष्ठ (common) होते हैं।
चूंकि $A$ में $4$ के गुणज हैं और $B$ में $6$ के गुणज हैं,इसलिए उभयनिष्ठ अवयव $4$ और $6$ के लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ के गुणज होंगे।
$LCM(4, 6) = 12$.
अतः,$A \cap B = \{12, 24, 36, \dots\}$,जो $12$ के सभी गुणजों को दर्शाता है।

(C) मान लीजिए कि $M$,$P$,और $C$ क्रमशः गणित,भौतिकी और रसायन विज्ञान का चयन करने वाले छात्रों के समुच्चय हैं।
हमें दिया गया है:
$n(M) = 100$,$n(P) = 70$,$n(C) = 40$
$n(M \cap P) = 30$,$n(M \cap C) = 28$,$n(P \cap C) = 23$
$n(M \cap P \cap C) = 18$
केवल गणित का चयन करने वाले छात्रों की संख्या का सूत्र है:
$n(M \text{ only}) = n(M) - n(M \cap P) - n(M \cap C) + n(M \cap P \cap C)$
मान रखने पर:
$n(M \text{ only}) = 100 - 30 - 28 + 18$
$n(M \text{ only}) = 100 - 58 + 18$
$n(M \text{ only}) = 42 + 18 = 60$
अतः,$60$ छात्रों ने केवल गणित का चयन किया है।

(D) $(1)$ के लिए: $A - B$ उन अवयवों का समुच्चय है जो $A$ में हैं लेकिन $B$ में नहीं हैं। $A \cap B$ उन अवयवों का समुच्चय है जो $A$ और $B$ दोनों में उभयनिष्ठ हैं। अतः,$A - (A \cap B)$ भी उन अवयवों को दर्शाता है जो $A$ में हैं लेकिन $B$ में नहीं हैं। इसलिए,$(1)$ सही है।
$(2)$ के लिए: समुच्चय $A$ को दो असंयुक्त समुच्चयों में विभाजित किया जा सकता है: $A$ के वे अवयव जो $B$ में भी हैं $(A \cap B)$ और $A$ के वे अवयव जो $B$ में नहीं हैं $(A - B)$। उनका संघ $A$ है। इसलिए,$(2)$ सही है।
$(3)$ के लिए: डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$A - (B \cup C) = A \cap (B \cup C)^c = A \cap (B^c \cap C^c) = (A \cap B^c) \cap (A \cap C^c) = (A - B) \cap (A - C)$। दिए गए संबंध में $\cap$ के स्थान पर $\cup$ का उपयोग किया गया है। इसलिए,$(3)$ गलत है।
अतः,$(1)$ और $(2)$ सही हैं।

(A) डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,हम जानते हैं कि $\bar{E}_1 \cap \bar{E}_2 = \overline{E_1 \cup E_2}$ होता है।
माना $A = E_1 \cup E_2$ है। तब व्यंजक $P(A \cap \bar{A})$ हो जाता है।
चूंकि $A \cap \bar{A} = \phi$ (रिक्त समुच्चय),इसलिए $P(A \cap \bar{A}) = P(\phi) = 0$ है।
चूंकि $0 < \frac{1}{4}$ है,इसलिए सही विकल्प $A$ है।

(A) "सभी छात्र मेहनती हैं" कथन का अर्थ है कि समुच्चय $S$ का प्रत्येक अवयव समुच्चय $H$ का भी अवयव है।
इसे गणितीय रूप से $S \subseteq H$ के रूप में दर्शाया जाता है।
वेन आरेख के संदर्भ में,इसका अर्थ है कि समुच्चय $S$ को दर्शाने वाला वृत्त,सार्वत्रिक समुच्चय $U$ के भीतर समुच्चय $H$ को दर्शाने वाले वृत्त के पूरी तरह से अंदर होना चाहिए।
यह विकल्प $A$ में दिए गए आरेख के अनुरूप है।

(A) "कोई बच्चा शरारती नहीं है" कथन का अर्थ है कि बच्चों के समुच्चय $(C)$ और शरारती व्यक्तियों के समुच्चय $(N)$ के बीच कोई उभयनिष्ठ अवयव नहीं है।
गणितीय रूप से,इसे $C \cap N = \phi$ के रूप में दर्शाया जाता है।
इसका अर्थ है कि समुच्चय $C$ और $N$ असंयुक्त हैं,जिसे वेन आरेख में दो वृत्तों द्वारा दर्शाया गया है जो एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं,जैसा कि विकल्प $A$ में दिखाया गया है।

(A) कथन "कोई पुलिसकर्मी चोर नहीं है" का अर्थ है कि पुलिसकर्मियों के समुच्चय $(P)$ और चोरों के समुच्चय $(T)$ में कोई भी तत्व उभयनिष्ठ नहीं है।
इसे वेन आरेख में अलग-अलग समुच्चयों द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $P \cap T = \phi$ है।
अतः,सही निरूपण वह वेन आरेख है जहाँ $P$ और $T$ के वृत्त एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।

(C) कथन "कुछ किशोर सपने देखने वाले नहीं हैं" का अर्थ है कि किशोरों $(T)$ का एक ऐसा समूह मौजूद है जो सपने देखने वालों $(D)$ के समूह का हिस्सा नहीं है।
समुच्चय सिद्धांत में,यह क्षेत्र $T - D$ (या $T \cap D^c$) के अनुरूप है,जो उन तत्वों को दर्शाता है जो $T$ में हैं लेकिन $D$ में नहीं हैं।
विकल्पों को देखने पर:
- विकल्प $A$ अलग-अलग समुच्चय दर्शाता है।
- विकल्प $B$ प्रतिच्छेदन $T \cap D$ दर्शाता है।
- विकल्प $C$ उस क्षेत्र को दर्शाता है जो $T$ में से प्रतिच्छेदन $T \cap D$ को हटाने पर प्राप्त होता है,जो कि $T - D$ है।
अतः,सही वेन आरेख विकल्प $C$ द्वारा दर्शाया गया है।

(C) "सभी माताएँ महिलाएँ हैं" कथन का अर्थ है कि $M$ (माताएँ) समुच्चय का प्रत्येक अवयव $W$ (महिलाएँ) समुच्चय का भी अवयव है।
इसे उपसमुच्चय संबंध $M \subseteq W$ द्वारा दर्शाया जाता है।
वेन आरेख में,इसका अर्थ है कि $M$ समुच्चय को दर्शाने वाला वृत्त पूरी तरह से $W$ समुच्चय को दर्शाने वाले वृत्त के भीतर होना चाहिए।
यह विकल्प $C$ में दिखाए गए आरेख के अनुरूप है।

(B) दिया है $X = \{ 4^n - 3n - 1 : n \in N \}$.
$n=1$ के लिए,$4^1 - 3(1) - 1 = 0$.
$n=2$ के लिए,$4^2 - 3(2) - 1 = 16 - 6 - 1 = 9$.
$n=3$ के लिए,$4^3 - 3(3) - 1 = 64 - 9 - 1 = 54$.
अतः,$X = \{ 0, 9, 54, \dots \}$.
दिया है $Y = \{ 9(n - 1) : n \in N \}$.
$n=1$ के लिए,$9(1-1) = 0$.
$n=2$ के लिए,$9(2-1) = 9$.
$n=3$ के लिए,$9(3-1) = 18$.
अतः,$Y = \{ 0, 9, 18, 27, \dots \}$.
चूंकि $X$ का प्रत्येक अवयव $9$ का गुणज है और $X \subset Y$ है,इसलिए $X \cup Y = Y$ होगा।

(A) समुच्चय $A$ में वे सभी $x$ हैं जिनके लिए $f(x) = 0$ है।
समुच्चय $B$ में वे सभी $x$ हैं जिनके लिए $g(x) = 0$ है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ में वे सभी $x$ हैं जिनके लिए $f(x) = 0$ और $g(x) = 0$ दोनों सत्य हैं।
यदि $f(x) = 0$ और $g(x) = 0$ है,तो उनके वर्गों का योग भी शून्य होगा,अर्थात ${[f(x)]^2} + {[g(x)]^2} = 0$।
अतः,$A \cap B = \{x : {[f(x)]^2} + {[g(x)]^2} = 0\}$।

(B) सबसे पहले,समुच्चय $B$ और $C$ का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करें:
$B \cap C = \{3, 4\} \cap \{4, 5, 6\} = \{4\}$.
इसके बाद,समुच्चय $A$ का परिणाम के साथ संघ (union) ज्ञात करें:
$A \cup (B \cap C) = \{1, 2, 3\} \cup \{4\} = \{1, 2, 3, 4\}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) चूंकि $A \subseteq B$,$A$ के सभी अवयव $B$ में निहित हैं।
इसलिए,$A$ और $B$ का संघ (union) समुच्चय $B$ ही होगा,अर्थात $A \cup B = B$.

(C) सर्वनिष्ठ $A \cap B$ ज्ञात करने के लिए,हम समीकरणों के निकाय को हल करते हैं:
$y = \frac{1}{x}$ और $y = -x$
$y = -x$ को पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-x = \frac{1}{x}$
$-x^2 = 1$
$x^2 = -1$
चूँकि $x$ एक वास्तविक संख्या है $(x \in R)$,$x^2$ ऋणात्मक नहीं हो सकता है।
अतः,$x$ का कोई भी वास्तविक मान नहीं है जो दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता हो।
इसलिए,$A \cap B = \phi$।

(C) समुच्चय $A$ फलन $f(x) = e^x$ का आलेख दर्शाता है।
समुच्चय $B$ फलन $g(x) = x$ का आलेख दर्शाता है।
किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,यह एक ज्ञात गुण है कि सभी $x \in R$ के लिए $e^x > x$ होता है।
चूंकि वक्र $y = e^x$ और $y = x$ कभी प्रतिच्छेद नहीं करते हैं,इसलिए समुच्चय $A$ और समुच्चय $B$ के बीच कोई उभयनिष्ठ बिंदु $(x, y)$ नहीं है।
अतः,$A \cap B = \phi$।

(C) व्यंजक $(A - B) \cup (B - A)$ समुच्चय $A$ और $B$ के सममित अंतर को दर्शाता है,जिसे $A \Delta B$ के रूप में जाना जाता है।
परिभाषा के अनुसार,$A - B$ में $A$ के वे अवयव हैं जो $B$ में नहीं हैं,और $B - A$ में $B$ के वे अवयव हैं जो $A$ में नहीं हैं।
इन दो असंयुक्त समुच्चयों का संघ उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो या तो $A$ में हैं या $B$ में हैं,जिसमें $A$ और $B$ दोनों में उभयनिष्ठ अवयवों को छोड़कर।
इसलिए,$(A - B) \cup (B - A) = (A \cup B) - (A \cap B)$.

(A) दो समुच्चयों $A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ (intersection),जिसे $A \cap B$ द्वारा दर्शाया जाता है,उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $A$ और $B$ दोनों में उभयनिष्ठ (common) हैं।
दिया गया है $A = \{1, 2, 3, 4\}$ और $B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$।
दोनों समुच्चयों में उभयनिष्ठ अवयव $2, 3,$ और $4$ हैं।
अतः,$A \cap B = \{2, 3, 4\}$।

(A) दिए गए समुच्चय $A = \{a, b, c\}$,$B = \{b, c, d\}$,और $C = \{a, b, d, e\}$ हैं।
सबसे पहले,समुच्चय $B$ और $C$ का संघ (union) ज्ञात करें:
$B \cup C = \{b, c, d\} \cup \{a, b, d, e\} = \{a, b, c, d, e\}$.
अब,समुच्चय $A$ और परिणामी समुच्चय $(B \cup C)$ का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करें:
$A \cap (B \cup C) = \{a, b, c\} \cap \{a, b, c, d, e\}$.
दोनों समुच्चयों में उभयनिष्ठ अवयव $a, b,$ और $c$ हैं।
अतः,$A \cap (B \cup C) = \{a, b, c\}$.

(A) दिए गए समुच्चय $A = \{2, 3, 4, 8, 10\}$,$B = \{3, 4, 5, 10, 12\}$,और $C = \{4, 5, 6, 12, 14\}$ हैं।
सबसे पहले,$(A \cup B) = \{2, 3, 4, 5, 8, 10, 12\}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,$(A \cup C) = \{2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14\}$ ज्ञात करें।
अब,सर्वनिष्ठ $(A \cup B) \cap (A \cup C) = \{2, 3, 4, 5, 8, 10, 12\} \cap \{2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14\}$ ज्ञात करें।
उभयनिष्ठ अवयव $\{2, 3, 4, 5, 8, 10, 12\}$ हैं।
वैकल्पिक रूप से,वितरण नियम का उपयोग करते हुए,$(A \cup B) \cap (A \cup C) = A \cup (B \cap C)$।
$B \cap C = \{4, 5, 12\}$।
$A \cup (B \cap C) = \{2, 3, 4, 8, 10\} \cup \{4, 5, 12\} = \{2, 3, 4, 5, 8, 10, 12\}$।

(C) दिया गया है कि ${N_a} = \{an : n \in N\}$।
यह $a$ के सभी गुणजों का समुच्चय है।
अतः,${N_6} = \{6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, \dots\}$ और ${N_8} = \{8, 16, 24, 32, 40, 48, \dots\}$।
सर्वनिष्ठ समुच्चय ${N_6} \cap {N_8}$ में वे सभी संख्याएँ शामिल हैं जो $6$ और $8$ दोनों की गुणज हैं।
$6$ और $8$ के उभयनिष्ठ गुणज उनके लघुत्तम समापवर्त्य,$LCM(6, 8)$ के गुणज होते हैं।
$LCM(6, 8) = 24$।
अतः,${N_6} \cap {N_8} = \{24, 48, 72, \dots\} = {N_{24}}$।

(D) छायांकित भाग समुच्चय $A$ का वह हिस्सा दर्शाता है जो समुच्चय $B$ या समुच्चय $C$ के साथ ओवरलैप नहीं करता है।
यह क्षेत्र उन तत्वों से बना है जो $A$ में हैं लेकिन $B$ में नहीं हैं और $C$ में भी नहीं हैं।
गणितीय रूप से,इसे $A - (B \cup C)$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(A) समुच्चय $A$ में $x$ के वे सभी मान हैं जिनके लिए $f(x) = 0$ है।
समुच्चय $B$ में $x$ के वे सभी मान हैं जिनके लिए $g(x) = 0$ है।
सर्वनिष्ठ $A \cap B$ में $x$ के वे सभी मान हैं जिनके लिए $f(x) = 0$ और $g(x) = 0$ दोनों एक साथ संतुष्ट होते हैं।
किन्हीं भी वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,$a^2 + b^2 = 0$ तभी होता है जब $a = 0$ और $b = 0$ हो।
अतः,$[f(x)]^2 + [g(x)]^2 = 0$ का अर्थ है $f(x) = 0$ और $g(x) = 0$ दोनों।
इसलिए,$A \cap B = \{x : [f(x)]^2 + [g(x)]^2 = 0\}$।

(C) दो समुच्चयों के संघ (union) के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
दिया गया है:
$n(A) = 0.16$
$n(B) = 0.14$
$n(A \cup B) = 0.25$
मानों को सूत्र में रखने पर:
$0.25 = 0.16 + 0.14 - n(A \cap B)$
$0.25 = 0.30 - n(A \cap B)$
$n(A \cap B) = 0.30 - 0.25$
$n(A \cap B) = 0.05$

(C) दो समुच्चय $A$ और $B$ विसंघित कहलाते हैं यदि उनमें कोई भी उभयनिष्ठ अवयव न हो,अर्थात $A \cap B = \emptyset$.
किन्हीं भी दो परिमित समुच्चयों $A$ और $B$ के लिए,उनके संघ (union) में अवयवों की संख्या का सूत्र है:
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$.
चूंकि $A$ और $B$ विसंघित हैं,इसलिए $n(A \cap B) = 0$.
अतः,$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - 0 = n(A) + n(B)$.

(D) समुच्चय अंतर $A - B$ को उन सभी अवयवों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है जो $A$ में हैं लेकिन $B$ में नहीं हैं।
गणितीय रूप से,इसे $A - B = \{x : x \in A \text{ और } x \notin B\}$ के रूप में दर्शाया जाता है।
चूंकि $x \notin B$ का अर्थ $x \in B^c$ है,जहाँ $B^c$,$X$ के सापेक्ष $B$ का पूरक समुच्चय है,हम लिख सकते हैं:
$A - B = \{x : x \in A \text{ और } x \in B^c\}$।
यह $A$ और $B^c$ के सर्वनिष्ठ (intersection) $A \cap B^c$ के बराबर है।

(A) दो समुच्चयों $A$ और $B$ का अंतर,जिसे $A - B$ द्वारा दर्शाया जाता है,उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $A$ में हैं लेकिन $B$ में नहीं हैं।
गणितीय रूप से,$A - B = \{x : x \in A \text{ और } x \notin B\}$।
चूंकि $x \notin B$ का अर्थ $x \in B^c$ है (जहाँ $B^c$,समष्टीय समुच्चय $U$ के सापेक्ष $B$ का पूरक समुच्चय है),
अतः हम लिख सकते हैं $A - B = \{x : x \in A \text{ और } x \in B^c\}$।
इसलिए,$A - B = A \cap B^c$।

(A) समुच्चयों के लिए डी मॉर्गन के नियम का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि सर्वनिष्ठ का पूरक,पूरकों का संघ होता है: $(B \cap C)^c = B^c \cup C^c$।
दी गई अभिव्यक्ति $A - (B \cap C)$ को $A \cap (B \cap C)^c$ के रूप में लिखा जा सकता है।
डी मॉर्गन के नियम को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $A \cap (B^c \cup C^c)$ प्राप्त होता है।
समुच्चयों के वितरण नियम का उपयोग करने पर,यह $(A \cap B^c) \cup (A \cap C^c)$ हो जाता है।
चूंकि $A \cap B^c = A - B$ और $A \cap C^c = A - C$,इसलिए अभिव्यक्ति $(A - B) \cup (A - C)$ में सरल हो जाती है।

(A) दिए गए समुच्चय $A = \{1, 2, 4\}, B = \{2, 4, 5\}, C = \{2, 5\}$ हैं।
सबसे पहले,समुच्चय अंतर $(A - B)$ ज्ञात करें:
$A - B = \{x : x \in A \text{ और } x \notin B\} = \{1\}$.
इसके बाद,समुच्चय अंतर $(B - C)$ ज्ञात करें:
$B - C = \{x : x \in B \text{ और } x \notin C\} = \{4\}$.
अंत में,कार्तीय गुणन $(A - B) \times (B - C)$ ज्ञात करें:
$(A - B) \times (B - C) = \{1\} \times \{4\} = \{(1, 4)\}$.

(A) दिए गए समुच्चय $A = \{1, 2, 3\}$ और $B = \{3, 8\}$ हैं।
सबसे पहले,$A$ और $B$ का संघ (union) ज्ञात करें: $A \cup B = \{1, 2, 3, 8\}$।
इसके बाद,$A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ (intersection) ज्ञात करें: $A \cap B = \{3\}$।
अब,कार्तीय गुणन $(A \cup B) \times (A \cap B) = \{1, 2, 3, 8\} \times \{3\}$ की गणना करें।
इससे प्राप्त क्रमित युग्मों का समुच्चय: $\{(1, 3), (2, 3), (3, 3), (8, 3)\}$ है।

(D) छायांकित क्षेत्र उन सभी तत्वों के समूह को दर्शाता है जो समुच्चय $C$ में हैं लेकिन समुच्चय $A$ और समुच्चय $B$ में नहीं हैं।
यह समुच्चय $C$ से $C$ का $A$ के साथ प्रतिच्छेदन और $C$ का $B$ के साथ प्रतिच्छेदन को हटाने के बराबर है।
गणितीय रूप से,इसे $C - (A \cup B)$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

(C) छायांकित भाग उन तत्वों से बना है जो $A$ में हैं लेकिन $B$ में नहीं हैं,जो $C$ में हैं लेकिन $B$ में नहीं हैं,और सर्वनिष्ठ $A \cap B \cap C$ है।
इसे $(A \setminus B) \cup (C \setminus B) \cup (A \cap B \cap C)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
समुच्चय के गुणों का उपयोग करते हुए,$(A \setminus B) = A \cap B^C$ और $(C \setminus B) = C \cap B^C$ होता है।
अतः,यह क्षेत्र $(A \cap B^C) \cup (C \cap B^C) \cup (A \cap B \cap C)$ है।
इसे सरल करने पर,हमें $(A \cup C) \cap B^C \cup (A \cap B \cap C)$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों की जांच करने पर,विकल्प $C$ छायांकित भाग के लिए सही समुच्चय संक्रिया को दर्शाता है।