Basic of Set theory Questions in Gujarati

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 + x - 2 = 0$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$x^2 + 2x - x - 2 = 0$
$x(x + 2) - 1(x + 2) = 0$
$(x - 1)(x + 2) = 0$
આમ,ઉકેલ $x = 1$ અને $x = -2$ મળે છે.
તેથી,રોસ્ટર સ્વરૂપમાં ઉકેલ ગણ $\{1, -2\}$ છે.

(A) આપેલ શરત મુજબ $x$ એ ધન પૂર્ણાંક છે અને $x^2 < 40$ છે.
ધન પૂર્ણાંકો તપાસતા:
$1^2 = 1 < 40$ (સાચું)
$2^2 = 4 < 40$ (સાચું)
$3^2 = 9 < 40$ (સાચું)
$4^2 = 16 < 40$ (સાચું)
$5^2 = 25 < 40$ (સાચું)
$6^2 = 36 < 40$ (સાચું)
$7^2 = 49 > 40$ (ખોટું)
તેથી,યાદીની રીતે ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ થશે.

(A) આપેલ ગણ $A = \{ 1, 4, 9, 16, 25, \dots \}$ છે.
ઘટકોનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે તે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગ છે:
$1 = 1^2$
$4 = 2^2$
$9 = 3^2$
$16 = 4^2$
$25 = 5^2$
આમ,ગણ $A$ ને ગુણધર્મની રીતે આ મુજબ લખી શકાય:
$A = \{ x : x = n^2, n \in \mathbb{N} \}$.

We see that each member in the given set has the numerator one less than the denominator. Also, the numerator begin from $1$ and do not exceed $6 .$ Hence, in the set-builder form the given set is

$\left\{ {x:x = \frac{n}{{n + 1}},} \right.$ where $n$ is a natural number and $\left. {1 \le n \le 6} \right\}$

(A) માં,$PRINCIPAL$ શબ્દમાં $P, R, I, N, C, A, L$ અક્ષરો છે (કારણ કે $P$ અને $I$ પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી તેમને ગણમાં એકવાર લખવામાં આવે છે). આમ,$(i)$ એ $(d)$ સાથે જોડાય છે.
$(c)$ માં,$x + 1 = 1$ નો અર્થ $x = 0$ થાય છે. આમ,$(ii)$ એ $(c)$ સાથે જોડાય છે.
$(a)$ માં,$18$ ના ધન ભાજકો $1, 2, 3, 6, 9, 18$ છે. આમ,$(iii)$ એ $(a)$ સાથે જોડાય છે.
$(b)$ માં,$x^2 - 9 = 0$ નો અર્થ $x^2 = 9$ થાય છે,તેથી $x = 3$ અથવા $x = -3$. આમ,$(iv)$ એ $(b)$ સાથે જોડાય છે.
સાચી જોડ $(i)-(d), (ii)-(c), (iii)-(a), (iv)-(b)$ છે.

(N/A) $J$ અક્ષરથી શરૂ થતા વર્ષના તમામ મહિનાઓનો સમૂહ એ વસ્તુઓનો સુનિશ્ચિત (well-defined) સંગ્રહ છે કારણ કે કોઈ પણ વ્યક્તિ ચોક્કસપણે ઓળખી શકે છે કે કયો મહિનો આ સંગ્રહમાં આવે છે.
ખાસ કરીને,આ મહિનાઓ જાન્યુઆરી,જૂન અને જુલાઈ છે.
આથી,આ સંગ્રહ એક ગણ છે.

(N/A) ગણ એ વસ્તુઓનો સુનિશ્ચિત (well-defined) સમૂહ છે.
ભારતના દસ સૌથી પ્રતિભાશાળી લેખકોનો સમૂહ એ સુનિશ્ચિત સમૂહ નથી,કારણ કે લેખકની પ્રતિભા નક્કી કરવાના માપદંડો વ્યક્તિએ વ્યક્તિએ બદલાતા રહે છે.
તેથી,આ સમૂહ ગણ નથી.

(B) ગણ એ વસ્તુઓનો સુનિશ્ચિત સંગ્રહ છે.
વિશ્વના અગિયાર શ્રેષ્ઠ ક્રિકેટ બેટ્સમેનોની ટીમ એ સુનિશ્ચિત સંગ્રહ નથી કારણ કે બેટ્સમેનની પ્રતિભા નક્કી કરવાના માપદંડો (જેમ કે સરેરાશ,સ્ટ્રાઈક રેટ અથવા સાતત્ય) વ્યક્તિએ વ્યક્તિએ બદલાઈ શકે છે.
આથી,આ સંગ્રહ ગણ નથી.

(A) ગણ એ વસ્તુઓનો સુનિશ્ચિત (well-defined) સમૂહ છે.
તમારા વર્ગના તમામ છોકરાઓનો સમૂહ એ એક સુનિશ્ચિત સમૂહ છે કારણ કે તમે ચોક્કસપણે ઓળખી શકો છો કે કોઈ ચોક્કસ વ્યક્તિ આ સમૂહનો ભાગ છે કે નહીં.
આથી,આ સમૂહ એક ગણ છે.

(N/A) $100$ થી નાની તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ એ સુનિશ્ચિત (well-defined) સમૂહ છે કારણ કે કોઈ પણ વ્યક્તિ ચોક્કસપણે ઓળખી શકે છે કે કઈ સંખ્યા આ સમૂહમાં આવે છે.
તેથી,આ સમૂહ એક ગણ છે.

(N/A) લેખક મુનશી પ્રેમચંદ દ્વારા લખાયેલી નવલકથાઓનો સંગ્રહ એ સુનિશ્ચિત સંગ્રહ છે કારણ કે કોઈ પણ વ્યક્તિ ચોક્કસપણે ઓળખી શકે છે કે કોઈ ચોક્કસ પુસ્તક આ સંગ્રહનો ભાગ છે કે નહીં.
આથી,આ સંગ્રહ એક ગણ છે.

(A) બધા બેકી પૂર્ણાંકોનો સમૂહ એ સુનિશ્ચિત (well-defined) સમૂહ છે કારણ કે કોઈ પણ આપેલ પૂર્ણાંક બેકી છે કે નહીં તે ચોક્કસપણે ઓળખી શકાય છે.
આ સમૂહમાં સભ્યપદ માટેના માપદંડો સ્પષ્ટ અને અસ્પષ્ટ હોવાથી,આ સમૂહ એક ગણ છે.

(N/A) આ પ્રકરણમાંના પ્રશ્નોનો સમૂહ એ સુનિશ્ચિત (well-defined) સમૂહ છે કારણ કે કોઈ પણ વ્યક્તિ ચોક્કસપણે ઓળખી શકે છે કે કોઈ પ્રશ્ન આ પ્રકરણનો છે કે નહીં.
તેથી,આ સમૂહ એક ગણ છે.

(N/A) ગણ એ વસ્તુઓનો સુનિશ્ચિત (well-defined) સંગ્રહ છે.
વિશ્વના સૌથી ખતરનાક પ્રાણીઓનો સમૂહ એ સુનિશ્ચિત સંગ્રહ નથી કારણ કે પ્રાણીની 'ખતરનાકતા' નક્કી કરવાના માપદંડો વ્યક્તિએ વ્યક્તિએ બદલાઈ શકે છે.
આથી,આ સંગ્રહ ગણ નથી.

(A) ગણ $A$ ને $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો છે.
અહીં ઘટક $5$ એ ગણ $A$ માં આવેલો હોવાથી,આપણે $\in$ સંકેતનો ઉપયોગ કરીશું જે દર્શાવે છે કે $5$ એ $A$ નો ઘટક છે.
તેથી,$5 \in A$.

(B) ગણ $A$ એ $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ તરીકે આપેલ છે.
અહીં ઘટક $8$ એ ગણ $A$ માં નથી,તેથી આપણે $\notin$ સંજ્ઞાનો ઉપયોગ કરીશું.
તેથી,$8 \notin A$.

(B) ગણ $A$ ને $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો છે.
કારણ કે ઘટક $0$ એ ગણ $A$ માં નથી,તેથી આપણે $0$ એ $A$ નો ઘટક નથી તે દર્શાવવા માટે $\notin$ સંકેતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
તેથી,$0 \notin A$.

(A) ગણ $A$ એ $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ તરીકે આપેલ છે.
અહીં ઘટક $4$ એ ગણ $A$ માં આવેલો હોવાથી,આપણે $\in$ સંજ્ઞાનો ઉપયોગ કરીશું જે દર્શાવે છે કે $4$ એ $A$ નો સભ્ય છે.
તેથી,$4 \in A$.

(A) ગણ $A$ ને $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો છે.
અહીં ઘટક $2$ એ ગણ $A$ માં આવેલો હોવાથી,યોગ્ય સંકેત $\in$ છે.
તેથી,$2 \in A$.

(B) ગણ $A$ ને $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો છે.
અહીં ઘટક $10$ એ ગણ $A$ માં નથી,તેથી આપણે $\notin$ (સભ્ય નથી) સંકેતનો ઉપયોગ કરીશું.
તેથી,$10 \notin A$.

(N/A) ગણ $A$ ને $A = \{ x : x \text{ એ પૂર્ણાંક છે અને } -3 < x < 7 \}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો છે.
$-3$ અને $7$ ની વચ્ચેના પૂર્ણાંકો $-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$ છે.
તેથી,ગણની યાદીની રીત $A = \{-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.

(N/A) ગણ $B$ એ $6$ થી નાની તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1$ થી શરૂ થતી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે.
તેથી,$6$ થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1, 2, 3, 4 \text{ અને } 5$ છે.
યાદીની રીતે,આપણે આ ઘટકોને છગડિયા કૌંસમાં લખીએ છીએ:
$B = \{1, 2, 3, 4, 5\}$

(N/A) ગણ $C$ માં એવી તમામ બે અંકની પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે જેના અંકોનો સરવાળો $8$ છે.
ધારો કે બે અંકની સંખ્યા $xy$ છે,જ્યાં $x \in \{1, 2, \dots, 9\}$ અને $y \in \{0, 1, \dots, 9\}$.
આપણે $x + y = 8$ ની જરૂર છે.
શક્ય જોડીઓ $(x, y)$ નીચે મુજબ છે:
જો $x=1, y=7 \implies 17$
જો $x=2, y=6 \implies 26$
જો $x=3, y=5 \implies 35$
જો $x=4, y=4 \implies 44$
જો $x=5, y=3 \implies 53$
જો $x=6, y=2 \implies 62$
જો $x=7, y=1 \implies 71$
જો $x=8, y=0 \implies 80$
આમ,યાદીની રીતે ગણ $C = \{17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80\}$ થશે.

(A) ગણ $D$ ના ઘટકો શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ $60$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ.

$2$	$60$
$2$	$30$
$3$	$15$
$5$	$5$

$\therefore 60 = 2 \times 2 \times 3 \times 5$.
$60$ ના અવિભાજ્ય વિભાજકો $2, 3$ અને $5$ છે.
તેથી,યાદીની રીતે ગણ $D = \{ 2, 3, 5 \}$ થાય.

(A) શબ્દ $TRIGONOMETRY$ છે.
ગણને યાદીની રીતે લખવા માટે,આપણે શબ્દમાં રહેલા દરેક અલગ અક્ષરને એક જ વાર લખીએ છીએ.
$TRIGONOMETRY$ માંના અક્ષરો $T, R, I, G, O, N, O, M, E, T, R, Y$ છે.
અલગ અક્ષરો ઓળખતા: $T, R, I, G, O, N, M, E, Y$.
તેથી,યાદીની રીતે ગણ $E = \{ T, R, I, G, O, N, M, E, Y \}$ થશે.

(N/A) $F =$ $BETTER$ શબ્દમાં રહેલા તમામ મૂળાક્ષરોનો ગણ.
$BETTER$ શબ્દમાં કુલ $6$ મૂળાક્ષરો છે,જેમાંથી $E$ અને $T$ અક્ષરોનું પુનરાવર્તન થાય છે.
યાદીની રીતમાં,દરેક ભિન્ન ઘટકને માત્ર એક જ વાર લખવામાં આવે છે.
તેથી,ગણ $F$ ને યાદીની રીતે $F = \{B, E, T, R\}$ તરીકે લખી શકાય.

(N/A) આપેલ ગણ $A = \{ 3, 6, 9, 12 \}$ છે.
અહીં દરેક ઘટક $3$ નો ગુણક છે અને તેને $3n$ તરીકે લખી શકાય છે,જ્યાં $n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.
$n=1$ માટે,$3(1) = 3$.
$n=2$ માટે,$3(2) = 6$.
$n=3$ માટે,$3(3) = 9$.
$n=4$ માટે,$3(4) = 12$.
આમ,ગણને ગુણધર્મની રીતે $\{ x : x = 3n, n \in \mathbb{N} \text{ અને } 1 \le n \le 4 \}$ તરીકે લખી શકાય.

(N/A) આપેલ ગણ $A = \{ 2, 4, 8, 16, 32 \}$ છે.
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે દરેક ઘટક $2$ ની ઘાત છે:
$2 = 2^{1}$
$4 = 2^{2}$
$8 = 2^{3}$
$16 = 2^{4}$
$32 = 2^{5}$
આમ,આ ગણને ગુણધર્મની રીતે નીચે મુજબ લખી શકાય:
$A = \{ x : x = 2^{n}, n \in \mathbb{N} \text{ અને } 1 \le n \le 5 \}$

(N/A) આપેલ ગણ $A = \{ 5, 25, 125, 625 \}$ છે.
ગણના ઘટકોનું અવલોકન કરતા:
$5 = 5^{1}$
$25 = 5^{2}$
$125 = 5^{3}$
$625 = 5^{4}$
દરેક ઘટક $5^{n}$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $n$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને $1 \le n \le 4$ છે.
તેથી,ગુણધર્મની રીત $\{ x : x = 5^{n}, n \in N \text{ અને } 1 \le n \le 4 \}$ છે.

(N/A) આપેલ ગણ $\{ 2, 4, 6, \dots \}$ છે.
આ ગણ તમામ ધન બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.
તેથી,ગુણધર્મની રીત $\{ x : x \text{ એ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે} \}$ છે.

(N/A) આપેલ ગણ $A = \{ 1, 4, 9, \ldots, 100 \}$ છે.
આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ઘટકો પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના વર્ગ છે:
$1 = 1^2$
$4 = 2^2$
$9 = 3^2$
$\vdots$
$100 = 10^2$
તેથી,આ ગણને ગુણધર્મની રીતે નીચે મુજબ લખી શકાય:
$A = \{ x : x = n^2, n \in \mathbb{N} \text{ અને } 1 \le n \le 10 \}$

(A) ગણ $A$ એ બધી એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે.
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, \dots$ છે.
એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ તે છે જે $2$ વડે વિભાજ્ય નથી.
તેથી,ગણ $A$ ના ઘટકો $1, 3, 5, 7, 9, \dots$ છે.
આમ,$A = \{ 1, 3, 5, 7, 9, \dots \}$.

(N/A) ગણ $B = \{ x : x \text{ એ પૂર્ણાંક છે}, -\frac{1}{2} < x < \frac{9}{2} \}$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $-\frac{1}{2} = -0.5$ અને $\frac{9}{2} = 4.5$.
$-0.5 < x < 4.5$ હોય તેવા પૂર્ણાંકો $x$ એ $0, 1, 2, 3, 4$ છે.
તેથી,$B = \{0, 1, 2, 3, 4\}$.

ગણ $C$ ને $C = \{ x : x \text{ એ પૂર્ણાંક છે; } x^2 \le 4 \}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવ્યો છે.
આપણે એવા તમામ પૂર્ણાંકો $x$ શોધવાના છે જેનો વર્ગ $4$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય.
પૂર્ણાંકોની ચકાસણી:
$(-3)^2 = 9 > 4$
$(-2)^2 = 4 \le 4$
$(-1)^2 = 1 \le 4$
$0^2 = 0 \le 4$
$1^2 = 1 \le 4$
$2^2 = 4 \le 4$
$3^2 = 9 > 4$
આમ,શરતનું પાલન કરતા પૂર્ણાંકો $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ છે.
તેથી,$C = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.

(D) ગણ $D$ ના ઘટકોની યાદી બનાવવા માટે,આપણે $\text{"LOYAL"}$ શબ્દમાં રહેલા ભિન્ન અક્ષરોને ઓળખીએ છીએ.
અક્ષરો $L, O, Y, A, L$ છે.
ગણમાં ઘટકો ભિન્ન હોવા જોઈએ,તેથી આપણે દરેક અક્ષરને માત્ર એક જ વાર લખીશું.
તેથી,$D = \{ L, O, Y, A \}$.

(A) ગણ $E$ માં વર્ષના એવા તમામ મહિનાઓનો સમાવેશ થાય છે જેમાં $31$ થી ઓછા દિવસો હોય છે.
$31$ દિવસ ધરાવતા મહિનાઓ: જાન્યુઆરી,માર્ચ,મે,જુલાઈ,ઓગસ્ટ,ઓક્ટોબર અને ડિસેમ્બર છે.
$30$ કે તેથી ઓછા દિવસો ધરાવતા મહિનાઓ: ફેબ્રુઆરી ($28$ અથવા $29$ દિવસ),એપ્રિલ,જૂન,સપ્ટેમ્બર અને નવેમ્બર છે.
તેથી,$E = \{ \text{ફેબ્રુઆરી, એપ્રિલ, જૂન, સપ્ટેમ્બર, નવેમ્બર} \}$.

(N/A) અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોમાં $k$ પહેલા આવતા વ્યંજનો $b, c, d, f, g, h, j$ છે.
તેથી,ગણ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = \{b, c, d, f, g, h, j\}$

(A) $(i)$ આ ગણના તમામ ઘટકો પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે અને $6$ ના અવયવો પણ છે. તેથી,$(i)$ એ $(c)$ સાથે જોડાય છે.
$(ii)$ તે જોઈ શકાય છે કે $2$ અને $3$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે. તેઓ $6$ ના અવયવો પણ છે. તેથી,$(ii)$ એ $(a)$ સાથે જોડાય છે.
$(iii)$ આ ગણના તમામ ઘટકો $MATHEMATICS$ શબ્દના અક્ષરો છે. તેથી,$(iii)$ એ $(d)$ સાથે જોડાય છે.
$(iv)$ આ ગણના તમામ ઘટકો $10$ થી નાની એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે. તેથી,$(iv)$ એ $(b)$ સાથે જોડાય છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $(x - 1)(x - 2) = 0$ છે.
તેને ઉકેલતા,આપણને $x = 1$ અથવા $x = 2$ મળે છે.
કારણ કે $1$ અને $2$ બંને પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ છે $(x \in \mathbb{N})$,તેથી ગણ $\{ 1, 2 \}$ છે.
ગણમાં ઘટકોની સંખ્યા ગણી શકાય તેવી અને મર્યાદિત હોવાથી,તે શાંત ગણ છે.

(A) આપેલ ગણ $\{ x:x \in N \text{ અને } x^2 = 4 \}$ છે.
સમીકરણ $x^2 = 4$ ઉકેલતા,આપણને $x = 2$ અથવા $x = -2$ મળે છે.
કારણ કે $x \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ),તેથી માત્ર $x = 2$ એ જ માન્ય ઘટક છે.
આમ,ગણ $\{ 2 \}$ છે.
ગણમાં ઘટકોની સંખ્યા $1$ હોવાથી,જે એક શાંત સંખ્યા છે,તેથી આ ગણ શાંત છે.

(A) આપેલ ગણ $2x - 1 = 0$ શરત દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,જેનો અર્થ છે $2x = 1$,અથવા $x = \frac{1}{2}$.
અહીં $x$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $(x \in N)$ હોવી જોઈએ,અને $\frac{1}{2}$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી,તેથી આ શરતનું પાલન કરતું કોઈ ઘટક નથી.
તેથી,આ ગણ ખાલી ગણ છે,જેને $\phi$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ખાલી ગણમાં $0$ ઘટકો હોવાથી,તે એક શાંત ગણ છે.

(B) આપેલ ગણ $A$ એ તમામ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ છે,એટલે કે $A = \{2, 3, 5, 7, 11, \dots\}$.
અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ અનંત હોવાથી,આપેલ ગણ અનંત ગણ છે.

(B) આ ગણ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે.
પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ $N = \{1, 2, 3, 4, 5, \dots\}$ અનંત હોવાથી,એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ઉપગણ $\{1, 3, 5, 7, \dots\}$ માં પણ અનંત સંખ્યામાં ઘટકો છે.
તેથી,આપેલ ગણ અનંત છે.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે દરેક ગણના ઘટકો નક્કી કરીએ:
$A = \{ 0 \}$
$B = \phi$ (કારણ કે કોઈ સંખ્યા $15$ થી મોટી અને $5$ થી નાની હોઈ શકે નહીં)
$C = \{ 5 \}$ (કારણ કે $x - 5 = 0 \implies x = 5$)
$D = \{ -5, 5 \}$ (કારણ કે $x^2 = 25 \implies x = \pm 5$)
$E = \{ 5 \}$ (કારણ કે $x^2 - 2x - 15 = 0 \implies (x - 5)(x + 3) = 0$,તેથી $x = 5$ અથવા $x = -3$. ધન પૂર્ણાંક બીજ $5$ છે)
ગણોની સરખામણી કરતા:
$A = \{ 0 \}, B = \phi, C = \{ 5 \}, D = \{ -5, 5 \}, E = \{ 5 \}$.
આપણે જોઈએ છીએ કે $C = E$ કારણ કે બંનેમાં સમાન ઘટકો છે.
આમ,સમાન ગણની એકમાત્ર જોડી $(C, E)$ છે.

(A) આપણી પાસે છે,$X = \{A, L, L, O, Y\} = \{A, L, O, Y\}$ અને $B = \{L, O, Y, A, L\} = \{L, O, Y, A\}$.
ગણમાં ઘટકોનું પુનરાવર્તન ગણને બદલતું નથી,તેથી $X = \{A, L, O, Y\}$ અને $B = \{A, L, O, Y\}$ મળે છે.
$X$ ના તમામ ઘટકો $B$ માં છે અને $B$ ના તમામ ઘટકો $X$ માં છે,તેથી આ ગણ સમાન છે.
આમ,$X = B$.

(A) ગણ $A$ માટે,શરત $n \in \mathbb{Z}$ અને $n^2 \le 4$ છે. આ શરતનું પાલન કરતા પૂર્ણાંકો $\{-2, -1, 0, 1, 2\}$ છે.
ગણ $B$ માટે,શરત $x \in \mathbb{R}$ અને $x^2 - 3x + 2 = 0$ છે. દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા: $(x-1)(x-2) = 0$,જે $x = 1$ અથવા $x = 2$ આપે છે. આમ,$B = \{1, 2\}$.
અહીં $A = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ અને $B = \{1, 2\}$ હોવાથી,$A$ અને $B$ ના ઘટકો સમાન નથી.
તેથી,$A \neq B$.

(A) ખાલી ગણ (null set) એ એવો ગણ છે જેમાં કોઈ પણ ઘટક હોતો નથી.
$2$ વડે વિભાજ્ય એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ માટે:
એકી સંખ્યા એ $2n + 1$ સ્વરૂપની હોય છે,જ્યાં $n$ એ પૂર્ણાંક છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,એકી સંખ્યા $2$ વડે વિભાજ્ય નથી.
તેથી,$2$ વડે વિભાજ્ય કોઈ પણ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી.
આમ,આ ગણ એક ખાલી ગણ છે (જેને $\emptyset$ અથવા $\{\}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે).

(B, C, D) ખાલી ગણ એ એવો ગણ છે જેમાં કોઈ ઘટક હોતો નથી.
$1$. બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ $\{2\}$ છે,જે ખાલી ગણ નથી.
$2$. $2$ વડે વિભાજ્ય એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ ખાલી ગણ છે,કારણ કે કોઈ પણ એકી સંખ્યા $2$ વડે વિભાજ્ય હોતી નથી.
$3$. $2$ થી મોટી બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ ખાલી ગણ છે,કારણ કે $2$ એ એકમાત્ર બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.
$4$. પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $x$ નો ગણ કે જેથી $x < 5$ અને $x > 7$ એ ખાલી ગણ છે,કારણ કે કોઈ પણ સંખ્યા એકસાથે બંને શરતોનું પાલન કરી શકતી નથી.

(B) ખાલી ગણ એવો ગણ છે જેમાં કોઈ પણ ઘટક હોતો નથી.
ગણ $A = \{ x : x \in \mathbb{N}, x < 5 \text{ and } x > 7 \}$ ધ્યાનમાં લો.
પ્રાકૃતિક સંખ્યા $x$ માટે આ ગણમાં હોવા માટે,તેણે $x < 5$ અને $x > 7$ બંને શરતો એકસાથે સંતોષવી પડે.
એવી કોઈ પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી જે $5$ કરતા નાની અને $7$ કરતા મોટી હોય.
તેથી,ગણ $A$ માં કોઈ ઘટક નથી,જે તેને ખાલી ગણ બનાવે છે.

(A) ગણ $\{ y : y \text{ એ કોઈપણ બે સમાંતર રેખાઓ પરનું સામાન્ય બિંદુ છે} \}$ એ ખાલી ગણ છે કારણ કે સમાંતર રેખાઓ એકબીજાને છેદતી નથી. તેથી,તેમની પાસે કોઈ સામાન્ય બિંદુ હોતું નથી.