Basic of Set theory Questions in Gujarati

(A) ગણ $\emptyset $ એ ખાલી ગણ છે,જેમાં કોઈ ઘટક નથી.
વ્યાખ્યા મુજબ,ખાલી ગણ એ દરેક ગણનો ઉપગણ છે.
તેથી,$\emptyset $ નો એકમાત્ર ઉપગણ $\emptyset $ પોતે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે જો $A$ એ $m$ ઘટકો ધરાવતો ગણ હોય,એટલે કે $n(A) = m$,તો ઘાતગણ (power set) માં ઘટકોની સંખ્યા $n[P(A)] = 2^{m}$ દ્વારા મળે છે.
જો $A = \varnothing$ હોય,તો $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 0$ છે.
તેથી,$n[P(A)] = 2^{0} = 1$.
આમ,$P(A)$ માં $1$ ઘટક છે.

(C) આપેલ ગણ $\{ x : x \in R, -4 < x \le 6 \}$ છે.
અસમતા $-4 < x$ એ ચુસ્ત હોવાથી,$-4$ આગળ અંતરાલ વિવૃત છે.
અસમતા $x \le 6$ માં સમાનતાનો સમાવેશ થતો હોવાથી,$6$ આગળ અંતરાલ સંવૃત છે.
તેથી,અંતરાલ $(-4, 6]$ છે.

(C) આપેલ ગણ $\{x : x \in \mathbb{R}, 0 \le x < 7\}$ છે.
અહીં $0$ નો સમાવેશ થાય છે ($\le$ ને કારણે) અને $7$ નો સમાવેશ થતો નથી ($ < $ ને કારણે),તેથી અંતરાલ $0$ આગળ સંવૃત અને $7$ આગળ વિવૃત છે.
તેથી,અંતરાલ $[0, 7)$ છે.

(A) ગણ $\{ x:x \in R, 3 \le x \le 4 \}$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ દર્શાવે છે જ્યાં $x$ એ $3$ કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી અને $4$ કરતા નાની અથવા તેના જેટલી છે.
અહીં બંને અંત્યબિંદુઓ $3$ અને $4$ ગણમાં સમાવિષ્ટ હોવાથી,આપણે સંવૃત કૌંસ (closed brackets) નો ઉપયોગ કરીશું.
તેથી,અંતરાલ સ્વરૂપ $[3, 4]$ છે.

(B) અંતરાલ $(-3, 0)$ એ $-3$ અને $0$ ની વચ્ચેની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ દર્શાવે છે.
સેટ-બિલ્ડર સ્વરૂપમાં,આને નીચે મુજબ લખવામાં આવે છે:
$(-3, 0) = \{x : x \in R, -3 < x < 0\}$

(C) અંતરાલ $[6, 12]$ એ સંવૃત અંતરાલ છે,જેમાં $6$ અને $12$ બંનેનો સમાવેશ થાય છે અને તેમની વચ્ચેની તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ આવે છે,જ્યાં $6 \le x \le 12$.
ગુણધર્મની રીતે,આને નીચે મુજબ લખી શકાય:
${x : x \in R, 6 \le x \le 12}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) અંતરાલ $(6, 12]$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ દર્શાવે છે કે જેથી $6 < x \le 12$ થાય.
ગુણધર્મની રીતે,આને આ રીતે લખી શકાય:
$\{x : x \in R, 6 < x \le 12\}$

(N/A) અંતરાલ $\left[ -23, 5 \right)$ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ દર્શાવે છે કે જેના માટે $-23 \le x < 5$ થાય.
ગુણધર્મની રીતે તેને આ રીતે લખી શકાય: $\{ x : x \in \mathbb{R}, -23 \le x < 5 \}$

(N/A) સાર્વત્રિક ગણ એવો ગણ છે જેમાં વિચારણા હેઠળના તમામ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે. કાટકોણ ત્રિકોણના ગણ માટે,સાર્વત્રિક ગણ એ તમામ ત્રિકોણોનો ગણ અથવા તમામ બહુકોણનો ગણ હોઈ શકે છે.

(N/A) સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણોના ગણ માટે,સાર્વત્રિક ગણ એ સમતલના તમામ ત્રિકોણોનો ગણ અથવા સમતલના તમામ બહુકોણનો ગણ અથવા સમતલની તમામ દ્વિ-પરિમાણીય આકૃતિઓનો ગણ હોઈ શકે છે.

(D) કોઈપણ ગણોના સમૂહ માટે સાર્વત્રિક ગણ એવો હોવો જોઈએ કે જેમાં તે સમૂહના દરેક ગણના તમામ ઘટકોનો સમાવેશ થતો હોય.
આપેલ ગણ $A = \{1, 3, 5\}$,$B = \{2, 4, 6\}$ અને $C = \{0, 2, 4, 6, 8\}$ માટે,સાર્વત્રિક ગણ $U$ એ $A \subseteq U$,$B \subseteq U$ અને $C \subseteq U$ ની શરતોનું પાલન કરવો જોઈએ.
ગણ $X = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ તપાસતા:
$A \subset X$ સત્ય છે.
$B \subset X$ સત્ય છે.
પરંતુ,$C \not\subset X$ છે કારણ કે ઘટક $8 \in C$ છે પણ $8 \notin X$ છે.
તેથી,ગણ $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ એ $A$,$B$ અને $C$ માટે સાર્વત્રિક ગણ નથી.

(C) ગણના સમૂહ માટે સાર્વત્રિક ગણ $U$ માં તે તમામ ગણના બધા જ ઘટકો હોવા જોઈએ.
આપેલ ગણ $A = \{1, 3, 5\}$,$B = \{2, 4, 6\}$ અને $C = \{0, 2, 4, 6, 8\}$ માટે,સાર્વત્રિક ગણમાં $A \cup B \cup C = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$ ના તમામ ઘટકો હોવા જોઈએ.
વિકલ્પ $A$ એ $\varnothing$ છે,જેમાં કોઈ ઘટક નથી.
વિકલ્પ $B$ માં $8$ ખૂટે છે.
વિકલ્પ $D$ માં $0$ ખૂટે છે.
વિકલ્પ $C$ માં $A$,$B$ અને $C$ ના તમામ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે (એટલે કે $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$).
તેથી,સાચો સાર્વત્રિક ગણ $C$ છે.

(B) સાર્વત્રિક ગણ $U$ માં આપેલ ગણ $A$,$B$ અને $C$ ના તમામ ઘટકો હોવા જોઈએ.
આપેલ છે કે $A = \{1, 3, 5\}$,$B = \{2, 4, 6\}$ અને $C = \{0, 2, 4, 6, 8\}$.
આ ગણોનો યોગગણ $A \cup B \cup C = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$ થાય છે.
કારણ કે $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\} \subset \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$,તેથી ગણ $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ એ $A$,$B$ અને $C$ માટે સાર્વત્રિક ગણ છે.

(B) સાર્વત્રિક ગણ $U$ માં આપેલ ગણ $A$,$B$ અને $C$ ના તમામ ઘટકો હોવા જોઈએ.
આપેલ ગણ $A = \{1, 3, 5\}$,$B = \{2, 4, 6\}$ અને $C = \{0, 2, 4, 6, 8\}$ છે.
આ ગણોનો યોગગણ $A \cup B \cup C = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$ થાય છે.
કોઈપણ ગણ સાર્વત્રિક ગણ ત્યારે જ કહેવાય જો તેમાં $A \cup B \cup C$ ના તમામ ઘટકો હોય.
વિકલ્પો તપાસતા,ગણ $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ માં $A$,$B$ અને $C$ ના તમામ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ એ સાચો સાર્વત્રિક ગણ છે.

(N/A) $A = \{ x : x \text{ એ } 3 \text{ નો ગુણક હોય તેવી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે } \} = \{ 3, 6, 9, 12, \ldots \}$
$B = \{ x : x \text{ એ } 6 \text{ થી નાની પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે } \} = \{ 1, 2, 3, 4, 5 \}$
$A \cup B = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 12, \ldots \}$
$\therefore A \cup B = \{ x : x = 1, 2, 4, 5 \text{ અથવા } x \text{ એ } 3 \text{ નો ગુણક છે } \}$

(A) બે ગણ $A$ અને $B$ નો યોગગણ,જેને $A \cup B$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે એવા તમામ ઘટકોનો ગણ છે જે $A$ માં,$B$ માં અથવા બંનેમાં હોય.
આપેલ ગણ $A = \{1, 2, 3\}$ અને $B = \varnothing$ (રિક્ત ગણ) છે.
તેથી,$A \cup B = \{1, 2, 3\} \cup \varnothing = \{1, 2, 3\}$.
આમ,$A \cup B = A$.

(D) આપેલ ગણ:
$A = \{1, 2, 3, 4, 5, \ldots \}$
$D = \{2, 3, 5, 7, 11, \ldots \}$
દરેક અવિભાજ્ય સંખ્યા એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા હોવાથી,$D \subset A$ થાય.
તેથી,$A$ અને $D$ નો છેદગણ એ બધી અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ છે.
$A \cap D = \{x : x \text{ એ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે}\} = D$.

(A) જો બે ગણનો છેદગણ ખાલી ગણ હોય,તો તેને પરસ્પર અલગ ગણ કહેવાય છે,જેને $\varnothing$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
ધારો કે $A = \{ x : x \text{ એ બેકી પૂર્ણાંક છે} \}$ અને $B = \{ x : x \text{ એ એકી પૂર્ણાંક છે} \}$.
$A$ અને $B$ નો છેદગણ:
$A \cap B = \{ x : x \text{ એ બેકી પૂર્ણાંક છે અને } x \text{ એ એકી પૂર્ણાંક છે} \}$.
કોઈપણ પૂર્ણાંક સંખ્યા એકસાથે બેકી અને એકી હોઈ શકે નહીં,તેથી $A \cap B = \varnothing$.
તેથી,ગણ $A$ અને $B$ ની જોડી પરસ્પર અલગ છે.

(A) બે ગણ $X$ અને $Y$ નો તફાવત,જેને $X - Y$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે એવા ઘટકોનો ગણ છે જે $X$ માં છે પણ $Y$ માં નથી.
આપેલ છે કે $X = \{a, b, c, d\}$ અને $Y = \{f, b, d, g\}$.
$X$ ના ઘટકો $a, b, c, d$ છે.
$Y$ ના ઘટકો $f, b, d, g$ છે.
$X$ માં હોય પરંતુ $Y$ માં ન હોય તેવા ઘટકો $a$ અને $c$ છે.
તેથી,$X - Y = \{a, c\}$.

(B) $R$ એ વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ છે.
$Q$ એ સંમેય સંખ્યાઓનો ગણ છે.
વાસ્તવિક સંખ્યાઓનો ગણ $R$ એ સંમેય સંખ્યાઓનો ગણ $Q$ અને અસંમેય સંખ્યાઓનો ગણ $I$ નો યોગગણ છે.
આમ,$R = Q \cup I$.
તેથી,$R - Q = I$,જે અસંમેય સંખ્યાઓનો ગણ છે.

(A) સત્ય.
જો બે ગણનો છેદગણ ખાલી ગણ હોય,તો તેને પરસ્પર અલગ ગણ કહેવાય છે,જેને $\varnothing$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
ધારો કે $A = \{2, 6, 10\}$ અને $B = \{3, 7, 11\}$.
તેમનો છેદગણ $A \cap B = \{2, 6, 10\} \cap \{3, 7, 11\} = \varnothing$.
છેદગણ ખાલી હોવાથી,આ ગણ પરસ્પર અલગ છે.

(N/A) ધારો કે $X$ એ "$CATARACT$" માં રહેલા અક્ષરોનો ગણ છે.
તેથી $X = \{C, A, T, R\}$.
ધારો કે $Y$ એ "$TRACT$" માં રહેલા અક્ષરોનો ગણ છે.
તેથી $Y = \{T, R, A, C, T\} = \{T, R, A, C\}$.
$X$ નો દરેક ઘટક $Y$ માં છે અને $Y$ નો દરેક ઘટક $X$ માં હોવાથી,સાબિત થાય છે કે $X = Y$.

(N/A) ધારો કે $A = \{-1, 0, 1\}$ છે.
$A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n = 3$ છે. ઉપગણોની કુલ સંખ્યા $2^n = 2^3 = 8$ છે.
$0$ ઘટક ધરાવતો $A$ નો ઉપગણ ખાલી ગણ $\phi$ છે.
$1$ ઘટક ધરાવતા $A$ ના ઉપગણો $\{-1\}, \{0\}, \{1\}$ છે.
$2$ ઘટકો ધરાવતા $A$ ના ઉપગણો $\{-1, 0\}, \{-1, 1\}, \{0, 1\}$ છે.
$3$ ઘટકો ધરાવતો $A$ નો ઉપગણ $\{-1, 0, 1\}$ છે.
આમ,$A$ ના તમામ ઉપગણો $\phi, \{-1\}, \{0\}, \{1\}, \{-1, 0\}, \{-1, 1\}, \{0, 1\}, \{-1, 0, 1\}$ છે.

ધારો કે $x \in A$. કારણ કે $A \subseteq A \cup B$,તેથી $x \in A \cup B$ થાય.
આપેલ છે કે $A \cup B = A \cap B$,તેથી $x \in A \cap B$ થાય.
છેદગણની વ્યાખ્યા મુજબ,$x \in A$ અને $x \in B$ થાય.
આમ,$x \in B$,જે સૂચવે છે કે $A \subseteq B$.
તે જ રીતે,ધારો કે $y \in B$. કારણ કે $B \subseteq A \cup B$,તેથી $y \in A \cup B$ થાય.
આપેલ છે કે $A \cup B = A \cap B$,તેથી $y \in A \cap B$ થાય.
છેદગણની વ્યાખ્યા મુજબ,$y \in A$ અને $y \in B$ થાય.
આમ,$y \in A$,જે સૂચવે છે કે $B \subseteq A$.
$A \subseteq B$ અને $B \subseteq A$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $A = B$.

(N/A) ધારો કે $X \in P(A \cap B).$ તો $X \subset A \cap B.$
તેથી,$X \subset A$ અને $X \subset B.$
માટે,$X \in P(A)$ અને $X \in P(B),$ જે સૂચવે છે કે $X \in P(A) \cap P(B).$
આથી $P(A \cap B) \subset P(A) \cap P(B).$
ધારો કે $Y \in P(A) \cap P(B).$ તો $Y \in P(A)$ અને $Y \in P(B).$
તેથી,$Y \subset A$ અને $Y \subset B.$
માટે,$Y \subset A \cap B,$ જે સૂચવે છે કે $Y \in P(A \cap B).$
આથી $P(A) \cap P(B) \subset P(A \cap B).$
આમ,$P(A \cap B) = P(A) \cap P(B).$

(D) આપેલ છે $A = \{ x: x \in \mathbb{R} \text{ અને } x^2 - 8x + 12 = 0 \}$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 8x + 12 = 0$ ઉકેલતા:
$(x - 2)(x - 6) = 0$,જે $x = 2$ અથવા $x = 6$ આપે છે.
તેથી,$A = \{2, 6\}$.
આપેલ ગણો $B = \{2, 4, 6\}$,$C = \{2, 4, 6, 8, \dots\}$,અને $D = \{6\}$ છે.
ઘટકોની સરખામણી કરતા:
$D = \{6\} \subset A = \{2, 6\}$.
$A = \{2, 6\} \subset B = \{2, 4, 6\}$.
$B = \{2, 4, 6\} \subset C = \{2, 4, 6, 8, \dots\}$.
તેથી,ઉપગણ સંબંધો $D \subset A \subset B \subset C$ છે.

(N/A) આ વિધાન અસત્ય છે.
વિધાનને ખોટું સાબિત કરવા માટે,આપણે એક ઉદાહરણ લઈએ.
ધારો કે $A = \{2\}$,$B = \{0, 2\}$,અને $C = \{1, \{0, 2\}, 3\}$.
અહીં,$A \subset B$ છે કારણ કે $A$ નો દરેક ઘટક $(2)$ એ $B$ નો પણ ઘટક છે.
વળી,$B \in C$ છે કારણ કે ગણ $B = \{0, 2\}$ એ $C$ નો એક ઘટક છે.
પરંતુ,$A \notin C$ છે કારણ કે ગણ $A = \{2\}$ એ $C$ ના ઘટકોમાંનો એક નથી ($C$ ના ઘટકો $1$,$\{0, 2\}$,અને $3$ છે).
આમ,આ વિધાન અસત્ય છે.

(A) વિધાન સાચું છે.
સાબિતી:
ધારો કે $A \subset B$ અને $B \subset C$.
ધારો કે $x$ એ કોઈ એક ઘટક છે જેથી $x \in A$.
$A \subset B$ હોવાથી,ઉપગણની વ્યાખ્યા મુજબ,$x \in B$.
$B \subset C$ હોવાથી,ઉપગણની વ્યાખ્યા મુજબ,$x \in C$.
$x \in A$ હોવાથી $x \in C$ મળે છે,તેથી $A \subset C$ સાબિત થાય છે.

(N/A) આ વિધાન અસત્ય છે.
વિધાનને ખોટું સાબિત કરવા માટે,આપણે એવું ઉદાહરણ શોધવાની જરૂર છે જ્યાં $A \not\subset B$ અને $B \not\subset C$ સત્ય હોય,પરંતુ $A \subset C$ પણ સત્ય હોય.
ધારો કે $A = \{1, 2\}$,$B = \{3, 4\}$,અને $C = \{1, 2, 5\}$.
અહીં,$A \not\subset B$ (કારણ કે $1 \in A$ પરંતુ $1 \notin B$) અને $B \not\subset C$ (કારણ કે $3 \in B$ પરંતુ $3 \notin C$).
જોકે,$A \subset C$ છે કારણ કે $A$ નો દરેક ઘટક $C$ માં પણ છે.
આમ,આ વિધાન અસત્ય છે.

(N/A) આ વિધાન $False$ (અસત્ય) છે.
વિધાનને ખોટું સાબિત કરવા માટે,આપણે એક ઉદાહરણ આપીએ છીએ.
ધારો કે $A = \{1, 2\}$ અને $B = \{1, 3\}$ છે.
અહીં,$A \not\subset B$ છે કારણ કે $2 \in A$ પરંતુ $2 \notin B$ છે.
ધારો કે $x = 2$. તો $x \in A$ અને $A \not\subset B$ શરતો સંતોષાય છે.
જોકે,$x \notin B$ છે કારણ કે $2 \notin \{1, 3\}$ છે.
આમ,વિધાન $False$ છે.

(A) આ વિધાન સત્ય છે.
આપેલ છે: $A \subset B$ અને $x \notin B$.
સાબિત કરવાનું છે: $x \notin A$.
અનિષ્ટત્તપત્તિની રીત (Proof by contradiction):
ધારો કે $x \in A$.
$A \subset B$ હોવાથી,$A$ નો દરેક ઘટક $B$ નો પણ ઘટક હોવો જોઈએ.
તેથી,$x \in A$ નો અર્થ છે કે $x \in B$.
પરંતુ,આપણને આપેલ છે કે $x \notin B$.
આ વિરોધાભાસ છે.
તેથી,આપણી ધારણા કે $x \in A$ ખોટી છે.
આમ,$x \notin A$.

(N/A) આપેલ છે: $A \cup B = A \cup C$ અને $A \cap B = A \cap C$.
સાબિત કરવાનું છે: $B = C$.
ધારો કે $x \in B$.
$B \subseteq A \cup B$ હોવાથી,$x \in A \cup B$ થાય.
$A \cup B = A \cup C$ આપેલ હોવાથી,$x \in A \cup C$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $x \in A$ અથવા $x \in C$.
કિસ્સો $I$: જો $x \in A$ હોય,તો $x \in B$ હોવાથી,$x \in A \cap B$ થાય.
$A \cap B = A \cap C$ હોવાથી,$x \in A \cap C$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $x \in C$.
કિસ્સો $II$: જો $x \in C$ હોય,તો $x \in C$ પહેલેથી જ સાબિત થાય છે.
બંને કિસ્સામાં,$x \in C$. તેથી,$B \subseteq C$.
તે જ રીતે,$x \in C$ લઈને,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે $C \subseteq B$.
$B \subseteq C$ અને $C \subseteq B$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $B = C$.

(A) આપણે સાબિત કરવું છે કે $(i) \Leftrightarrow (ii) \Leftrightarrow (iii) \Leftrightarrow (iv)$.
$(i) \Leftrightarrow (ii)$:
ધારો કે $A \subset B$. જો $x \in A - B$ હોય,તો $x \in A$ અને $x \notin B$. પરંતુ $A \subset B$ હોવાથી $x \in A \Rightarrow x \in B$,જે $x \notin B$ સાથે વિરોધાભાસ ધરાવે છે. તેથી,$A - B = \phi$.
તેથી,જો $A - B = \phi$ હોય,તો $A \subset B$ સાબિત થાય છે.
$(i) \Leftrightarrow (iii)$:
ધારો કે $A \subset B$. $B \subset A \cup B$ હંમેશા સાચું છે,તેથી આપણે ફક્ત $A \cup B \subset B$ સાબિત કરવું પડશે. જો $x \in A \cup B$ હોય,તો $x \in A$ અથવા $x \in B$. જો $x \in A$ હોય,તો $x \in B$ (કારણ કે $A \subset B$). તેથી,$A \cup B = B$.
તેથી,જો $A \cup B = B$ હોય,તો $A \subset B$ સાબિત થાય છે.
$(i) \Leftrightarrow (iv)$:
ધારો કે $A \subset B$. $A \cap B \subset A$ હંમેશા સાચું છે,તેથી આપણે $A \subset A \cap B$ સાબિત કરીશું. જો $x \in A$ હોય,તો $x \in B$ (કારણ કે $A \subset B$). તેથી,$x \in A \cap B$,એટલે કે $A \cap B = A$.
તેથી,જો $A \cap B = A$ હોય,તો $A \subset B$ સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે $A \subset B$.
સાબિત કરવાનું છે: $(C - B) \subset (C - A)$.
ધારો કે $x \in (C - B)$.
$\Rightarrow x \in C$ અને $x \notin B$.
કારણ કે $A \subset B$,જો $x \notin B$ હોય,તો $x \notin A$ થાય.
$\Rightarrow x \in C$ અને $x \notin A$.
$\Rightarrow x \in (C - A)$.
તેથી,$(C - B) \subset (C - A)$.

આપેલ છે કે $P(A) = P(B)$.
સાબિત કરવાનું છે: $A = B$.
ધારો કે $x \in A$.
કારણ કે $A \in P(A)$ અને $P(A) = P(B)$,તેથી $A \in P(B)$ થાય.
ઘાતગણની વ્યાખ્યા મુજબ,જો $A \in P(B)$ હોય,તો $A \subseteq B$ થાય.
તેથી,$x \in A \implies x \in B$,જેનો અર્થ છે કે $A \subseteq B$.
તે જ રીતે,ધારો કે $y \in B$. કારણ કે $B \in P(B)$ અને $P(B) = P(A)$,તેથી $B \in P(A)$ થાય.
ઘાતગણની વ્યાખ્યા મુજબ,જો $B \in P(A)$ હોય,તો $B \subseteq A$ થાય.
તેથી,$y \in B \implies y \in A$,જેનો અર્થ છે કે $B \subseteq A$.
આમ,$A \subseteq B$ અને $B \subseteq A$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $A = B$.

(N/A) આ વિધાન $False$ (ખોટું) છે.
ધારો કે $A = \{0, 1\}$ અને $B = \{1, 2\}$ છે.
તેથી $A \cup B = \{0, 1, 2\}$ થાય.
ઘાતગણ $P(A) = \{\varnothing, \{0\}, \{1\}, \{0, 1\}\}$ છે.
ઘાતગણ $P(B) = \{\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$ છે.
તેથી,$P(A) \cup P(B) = \{\varnothing, \{0\}, \{1\}, \{2\}, \{0, 1\}, \{1, 2\}\}$ થાય.
ઘાતગણ $P(A \cup B) = \{\varnothing, \{0\}, \{1\}, \{2\}, \{0, 1\}, \{0, 2\}, \{1, 2\}, \{0, 1, 2\}\}$ થાય.
બંને ગણોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $\{0, 2\} \in P(A \cup B)$ પરંતુ $\{0, 2\} \notin P(A) \cup P(B)$ છે.
આમ,$P(A) \cup P(B) \neq P(A \cup B)$ થાય.

(N/A) સાબિત કરવાનું છે: $A \cap (A \cup B) = A$
યોગ પર છેદના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$A \cap (A \cup B) = (A \cap A) \cup (A \cap B)$
કારણ કે $A \cap A = A$ (સ્વયંઘાતી નિયમ):
$= A \cup (A \cap B)$
કારણ કે $(A \cap B) \subseteq A$,તેથી $A$ અને $A$ ના ઉપગણનો યોગ $A$ પોતે જ થાય છે (શોષણનો નિયમ):
$= A$

(N/A) ધારો કે $A = \{0, 1\}, B = \{0, 2, 3\},$ અને $C = \{0, 4, 5\}$ છે.
તેથી,$A \cap B = \{0\}$ અને $A \cap C = \{0\}$ થાય.
અહીં,$A \cap B = A \cap C = \{0\}$ છે.
પરંતુ,$B \neq C$ કારણ કે $2 \in B$ અને $2 \notin C$ છે.

આપેલ છે કે કોઈ ગણ $X$ માટે $A \cap X = \phi$,$B \cap X = \phi$ અને $A \cup X = B \cup X$ છે.
સાબિત કરવાનું છે: $A = B$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A = A \cap (A \cup X)$.
$A \cup X = B \cup X$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$A = A \cap (B \cup X)$.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$A = (A \cap B) \cup (A \cap X)$.
કારણ કે $A \cap X = \phi$,તેથી $A = (A \cap B) \cup \phi = A \cap B$ ... $(1)$.
તે જ રીતે,$B = B \cap (B \cup X)$.
$B \cup X = A \cup X$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$B = B \cap (A \cup X)$.
વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$B = (B \cap A) \cup (B \cap X)$.
કારણ કે $B \cap X = \phi$,તેથી $B = (B \cap A) \cup \phi = B \cap A = A \cap B$ ... $(2)$.
$(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણે કહી શકીએ કે $A = B$.

(N/A) ધારો કે $A = \{0, 1\}, B = \{1, 2\},$ અને $C = \{2, 0\}$ છે.
તદનુસાર,$A \cap B = \{1\}, B \cap C = \{2\},$ અને $A \cap C = \{0\}$ છે.
તેથી,$A \cap B, B \cap C,$ અને $A \cap C$ અરિક્ત ગણ છે.
જોકે,$A \cap B \cap C = \varnothing$ છે.

જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ માં $36$ પરિણામો હોય છે.
$B$ એ પ્રથમ પાસા પર એકી સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે:
$B = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\}$
$C$ એ સરવાળો $\leq 5$ મેળવવાની ઘટના છે:
$C = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (4,1)\}$
ઘટના $B$ અથવા $C$ એ યોગગણ $B \cup C$ છે,જેમાં $B$ અથવા $C$ માં રહેલા તમામ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે:
$B \cup C = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\}$

(B) નિદર્શાવકાશ $S$ માં $36$ પરિણામો છે.
$A = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
$B = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)\}$
$B$ એ પ્રથમ પાસા પર એકી સંખ્યા મેળવવાની ઘટના હોવાથી,તેની પૂરક ઘટના $B^{\prime}$ એ પ્રથમ પાસા પર બેકી સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે.
તેથી,$B^{\prime} = A$.
હવે,$A \cap B^{\prime} = A \cap A = A$.
$A$ એ ખાલી ગણ નથી $(A \neq \phi)$,તેથી $A \cap B^{\prime} \neq \phi$.
તેથી,$A$ અને $B^{\prime}$ પરસ્પર નિવારક નથી.
આમ,આપેલ વિધાન ખોટું છે.

(C) $k$ ઘટકો ધરાવતા ગણના ઉપગણોની સંખ્યા $2^k$ છે.
આપેલ છે કે $A$ ના ઉપગણોની સંખ્યા $B$ ના ઉપગણોની સંખ્યા કરતા $112$ વધારે છે,તેથી સમીકરણ: $2^m - 2^n = 112$.
આને $2^n(2^{m-n} - 1) = 112$ તરીકે લખી શકાય.
$112 = 16 \times 7 = 2^4 \times (2^3 - 1)$ હોવાથી,આપણે પદોની સરખામણી કરીએ:
$2^n = 2^4 \implies n = 4$.
$2^{m-n} - 1 = 2^3 - 1 \implies m - n = 3$.
$n = 4$ મૂકતા,$m - 4 = 3$,તેથી $m = 7$.
આમ,$m \times n = 7 \times 4 = 28$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $(1+a^2)(1+b^2) = 4ab$
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $1 + b^2 + a^2 + a^2b^2 = 4ab$
પદોને ગોઠવતા: $a^2 - 2ab + b^2 + a^2b^2 - 2ab + 1 = 0$
આને આ રીતે લખી શકાય: $(a-b)^2 + (ab-1)^2 = 0$
$a$ અને $b$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોવાથી,વર્ગોનો સરવાળો શૂન્ય ત્યારે જ થાય જો દરેક પદ શૂન્ય હોય:
$(a-b)^2 = 0 \implies a = b$
$(ab-1)^2 = 0 \implies ab = 1$
$b=a$ ને $ab=1$ માં મૂકતા,આપણને $a^2 = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $a = 1$ અથવા $a = -1$.
જોકે,પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે $a > 0$ અને $a \neq 1$. તેથી,આપેલ શરતો હેઠળ સમીકરણનું સમાધાન કરતી $b$ ની કોઈ કિંમત નથી.
તેથી,ગણ $S$ એ ખાલી ગણ છે.

(D) ગણ $S_n$ માં $18$ ક્રમિક પૂર્ણાંકો છે.
$(a)$ જો $n=10$ હોય,તો $S_{10} = \{11, 12, \ldots, 28\}$. $19$ નો ગુણક $19$ છે. પરંતુ જો $n=19$ હોય,તો $S_{19} = \{20, 21, \ldots, 37\}$. $19$ નો ગુણક $38$ છે જે $S_{19}$ માં નથી. તેથી,$(a)$ ખોટું છે.
$(b)$ $S_n$ માં હંમેશા એક અવિભાજ્ય સંખ્યા હોય છે. આ સાચું છે,પરંતુ $(d)$ વધુ સચોટ ગુણધર્મ છે.
$(c)$ $n=10$ માટે,$S_{10} = \{11, 12, \ldots, 28\}$. $5$ ના ગુણકો $15, 20, 25$ છે. માત્ર $3$ ગુણકો છે. તેથી,$(c)$ ખોટું છે.
$(d)$ $18$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોના કોઈપણ ગણમાં,વધુમાં વધુ $6$ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોય છે. તેથી,$(d)$ સાચો વિકલ્પ છે.

(C) ગણ $A = S \times S$ માં $n^2$ ઘટકો છે.
જો $B$ એ $A$ નો ગુડ સબસેટ હોય,તો તેમાં $(x, x)$ સ્વરૂપના તમામ ઘટકો હોવા જોઈએ,જ્યાં $x \in S$.
આવા કુલ $n$ ઘટકો છે: $(1, 1), (2, 2), \ldots, (n, n)$.
$B$ ગુડ સબસેટ બને તે માટે આ $n$ ઘટકો $B$ માં હોવા અનિવાર્ય છે.
બાકીના ઘટકો એવા છે જેમાં $a \neq b$ હોય. આવા ઘટકોની સંખ્યા $n^2 - n = n(n - 1)$ છે.
આ બાકીના $n(n - 1)$ ઘટકોમાંથી દરેક ઘટક $B$ માં હોઈ શકે અથવા ન પણ હોઈ શકે.
તેથી,બાકીના ઘટકોને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $2^{n(n - 1)}$ છે.
આમ,કુલ ગુડ સબસેટની સંખ્યા $2^{n(n - 1)}$ છે.

(A) ધારો કે $n$ એક પૂર્ણાંક છે. જ્યારે $n$ ની જમણી બાજુએ શૂન્યતર અંક $d$ ઉમેરવામાં આવે,ત્યારે નવી સંખ્યા $10n + d$ બને છે.
આપણને આપેલ છે કે $10n + d$ એ દરેક $d \in \{1, 2, \dots, 9\}$ માટે $d$ વડે વિભાજ્ય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{10n + d}{d} = \frac{10n}{d} + 1$ એ દરેક $d \in \{1, 2, \dots, 9\}$ માટે પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
તેથી,$10n$ એ દરેક $d \in \{1, 2, \dots, 9\}$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $10n$ એ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ ના લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
$\text{LCM}(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) = 2^3 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 2520$.
તેથી,$10n$ એ $2520$ નો ગુણક હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $n$ એ $252$ નો ગુણક હોવો જોઈએ.
સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $n$ એ $252$ છે.
$N = 252$ ના અંકોનો ગુણાકાર $2 \times 5 \times 2 = 20$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $x^2 - 2^y = 2023$ છે,જ્યાં $x, y \in \mathbb{N}$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,$x^2 - 2023 = 2^y$.
જો $y = 1$ હોય,તો $x^2 - 2023 = 2^1 = 2$,જેનો અર્થ છે કે $x^2 = 2025$,તેથી $x = 45$.
અન્ય કિંમતો માટે કોઈ પૂર્ણાંક ઉકેલ મળતો નથી.
તેથી,એકમાત્ર ઉકેલ $(45, 1)$ છે.
સરવાળો $\sum_{(x, y) \in C} (x + y) = 45 + 1 = 46$ થાય.

(A) આપણને $A = \{1, 2, \ldots, 10\}$ અને $B = \left\{\frac{m}{n} : m, n \in A, m < n, \gcd(m, n) = 1\right\}$ આપેલ છે.
$n(B)$ શોધવા માટે,આપણે દરેક $n \in \{2, 3, \ldots, 10\}$ માટે એવા અપૂર્ણાંકો $\frac{m}{n}$ ગણીએ જ્યાં $m < n$ અને $\gcd(m, n) = 1$ હોય.
$n=2$ માટે: $m \in \{1\}$,$\gcd(1, 2) = 1$. સંખ્યા = $1$.
$n=3$ માટે: $m \in \{1, 2\}$,$\gcd(1, 3) = 1, \gcd(2, 3) = 1$. સંખ્યા = $2$.
$n=4$ માટે: $m \in \{1, 3\}$,$\gcd(1, 4) = 1, \gcd(3, 4) = 1$. સંખ્યા = $2$.
$n=5$ માટે: $m \in \{1, 2, 3, 4\}$,બધા $5$ સાથે અવિભાજ્ય છે. સંખ્યા = $4$.
$n=6$ માટે: $m \in \{1, 5\}$,$\gcd(1, 6) = 1, \gcd(5, 6) = 1$. સંખ્યા = $2$.
$n=7$ માટે: $m \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$,બધા $7$ સાથે અવિભાજ્ય છે. સંખ્યા = $6$.
$n=8$ માટે: $m \in \{1, 3, 5, 7\}$,બધા $8$ સાથે અવિભાજ્ય છે. સંખ્યા = $4$.
$n=9$ માટે: $m \in \{1, 2, 4, 5, 7, 8\}$,બધા $9$ સાથે અવિભાજ્ય છે. સંખ્યા = $6$.
$n=10$ માટે: $m \in \{1, 3, 7, 9\}$,બધા $10$ સાથે અવિભાજ્ય છે. સંખ્યા = $4$.
આ તમામ સંખ્યાઓનો સરવાળો: $1 + 2 + 2 + 4 + 2 + 6 + 4 + 6 + 4 = 31$.
આમ,$n(B) = 31$.