Basic of Set theory Questions in Gujarati

(A) જો કોઈ ગણમાં સભ્યોની સંખ્યા ગણી શકાય તેવી હોય,તો તેને શાંત ગણ કહેવામાં આવે છે.
એક વર્ષના મહિનાઓનો ગણ $12$ સભ્યો ધરાવે છે: $\{ \text{January, February, March, April, May, June, July, August, September, October, November, December} \}$.
સભ્યોની સંખ્યા નિશ્ચિત અને ગણી શકાય તેવી $(12)$ હોવાથી,આ ગણ શાંત ગણ છે.

(B) ગણ $\{1, 2, 3, \ldots\}$ એ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ દર્શાવે છે.
આ ગણમાં ઘટકોની સંખ્યા અગણિત છે અને તે અનંત સુધી વિસ્તરેલી હોવાથી,તે એક અનંત ગણ છે.

(A) જો કોઈ ગણમાં ઘટકોની સંખ્યા ગણી શકાય તેવી હોય,તો તેને શાંત ગણ કહેવામાં આવે છે.
ગણ $\{1, 2, 3, \ldots, 99, 100\}$ માં $1$ થી $100$ સુધીની તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે.
આ ગણમાં ઘટકોની સંખ્યા બરાબર $100$ છે,જે એક નિશ્ચિત અને ગણી શકાય તેવી સંખ્યા છે,તેથી આ ગણ એક શાંત ગણ છે.

(B) $100$ થી મોટી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગણને $\{101, 102, 103, \dots \}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આ ગણમાં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા ગણી શકાય તેમ નથી અને તે અનંત સુધી વિસ્તરેલી છે,તેથી તે એક અનંત ગણ છે.

(A) જો કોઈ ગણમાં સભ્યોની સંખ્યા ગણી શકાય તેવી હોય,તો તેને શાંત ગણ કહેવાય છે.
$99$ થી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ ${2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}$ છે.
આ ગણમાં સભ્યોની સંખ્યા નિશ્ચિત અને ગણી શકાય તેવી હોવાથી,તે એક શાંત ગણ છે.

(B) $x$-અક્ષને સમાંતર રેખાઓનો ગણ એ અનંત ગણ છે.
આનું કારણ એ છે કે દરેક વાસ્તવિક સંખ્યા $c$ માટે,રેખા $y = c$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર હોય છે.
અસંખ્ય વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $c$ હોવાથી,આવી અસંખ્ય રેખાઓ મળે છે.

(A) અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોમાંના અક્ષરોનો ગણ એ શાંત ગણ છે કારણ કે તેમાં ઘટકોની સંખ્યા નિશ્ચિત છે,જે $26$ છે.

(B) $5$ ના ગુણકોનો ગણ $A = \{5, 10, 15, 20, 25, \dots \}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આ ગણમાં ઘટકોની સંખ્યા અમર્યાદિત હોવાથી,તે અનંત ગણ છે.

(A) પૃથ્વી પર રહેતા પ્રાણીઓનો ગણ એ શાંત ગણ છે કારણ કે પૃથ્વી પર રહેતા પ્રાણીઓની સંખ્યા મર્યાદિત છે (ભલે તે ખૂબ મોટી સંખ્યા હોય).

(B) વર્તુળ તેના કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે. ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2hx - 2ky = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ માટે અસંખ્ય વિકલ્પો હોવાથી,ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થઈ શકે તેવા અસંખ્ય વર્તુળો છે.
તેથી,ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળોનો ગણ એ અનંત ગણ છે.

(A) $A=\{a, b, c, d\}$
$B=\{d, c, b, a\}$
ગણના ઘટકોને જે ક્રમમાં લખવામાં આવે છે તે મહત્વનું નથી.
કારણ કે બંને ગણ સમાન ઘટકો ધરાવે છે,$\therefore A=B$.

(B) આપેલ ગણ $A=\{4, 8, 12, 16\}$ અને $B=\{8, 4, 16, 18\}$ છે.
જો બે ગણના ઘટકો સમાન હોય તો જ તે સમાન ગણ કહેવાય.
અહીં જોઈ શકાય છે કે $12 \in A$ પરંતુ $12 \notin B$,અને $18 \in B$ પરંતુ $18 \notin A$.
આમ,$A$ અને $B$ ના ઘટકો સમાન ન હોવાથી,$\therefore A \neq B$.

(A) $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$
$B = \{x : x \text{ એ ધન બેકી પૂર્ણાંક છે અને } x \le 10\}$
ગણ $B$ ના ઘટકોની યાદી બનાવતા,આપણને મળે છે:
$B = \{2, 4, 6, 8, 10\}$
ગણ $A$ ના તમામ ઘટકો ગણ $B$ માં છે અને તેનાથી ઉલટું પણ સાચું છે,તેથી આપણે કહી શકીએ કે $A = B$.

(B) આપેલ છે:
$A = \{ x: x \text{ એ } 10 \text{ નો ગુણક છે } \} = \{ 10, 20, 30, 40, \ldots \}$
$B = \{ 10, 15, 20, 25, 30, \ldots \}$
બે ગણ સમાન હોય જો તેમાં બરાબર સમાન ઘટકો હોય.
અહીં જોઈ શકાય છે કે $15 \in B$,પરંતુ $15 \notin A$.
તેથી,$A$ અને $B$ ના ઘટકો સમાન ન હોવાથી,
$\therefore A \neq B$.

(B) આપેલ ગણ $A = \{ 2, 3 \}$ અને $B = \{ x : x \text{ એ } x^2 + 5x + 6 = 0 \text{ નો ઉકેલ છે} \}$ છે.
ગણ $B$ ના ઘટકો શોધવા માટે,આપણે દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલીએ:
$x^2 + 5x + 6 = 0$
$x^2 + 3x + 2x + 6 = 0$
$x(x + 3) + 2(x + 3) = 0$
$(x + 2)(x + 3) = 0$
$x = -2$ અથવા $x = -3$
તેથી,$B = \{ -2, -3 \}$.
ગણ $A$ અને ગણ $B$ ની સરખામણી કરતા:
$A = \{ 2, 3 \}$
$B = \{ -2, -3 \}$
ગણ $A$ અને $B$ ના ઘટકો સમાન ન હોવાથી,$A \neq B$ થાય.

(A) ગણ $A$ એ $\text{FOLLOW}$ શબ્દના અક્ષરોનો બનેલો છે.
અલગ અક્ષરો લખતા,આપણને $A = \{ F, O, L, W \}$ મળે છે.
ગણ $B$ એ $\text{WOLF}$ શબ્દના અક્ષરોનો બનેલો છે.
અલગ અક્ષરો લખતા,આપણને $B = \{ W, O, L, F \}$ મળે છે.
ગણમાં ઘટકોનો ક્રમ બદલવાથી ગણ બદલાતો નથી,અને બંને ગણમાં સમાન ઘટકો $\{ F, O, L, W \}$ છે,તેથી ગણ સમાન છે.
તેથી,$A = B$.

(B=D, E=G) બે ગણ સમાન હોય છે જો તેમાં બરાબર સમાન ઘટકો હોય,ભલે તે ગમે તે ક્રમમાં લખાયેલા હોય.
આપેલા ગણની સરખામણી કરતા:
$A = \{2, 4, 8, 12\}$
$B = \{1, 2, 3, 4\}$
$C = \{4, 8, 12, 14\}$
$D = \{3, 1, 4, 2\} = \{1, 2, 3, 4\}$
$E = \{-1, 1\}$
$F = \{0, a\}$
$G = \{1, -1\} = \{-1, 1\}$
$H = \{0, 1\}$
ઘટકોની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે:
$B$ અને $D$ માં સમાન ઘટકો $\{1, 2, 3, 4\}$ છે,તેથી $B = D$.
$E$ અને $G$ માં સમાન ઘટકો $\{-1, 1\}$ છે,તેથી $E = G$.
તેથી,સમાન ગણ $B = D$ અને $E = G$ છે.

(A) ખાલી ગણ $\phi$ એ દરેક ગણનો ઉપગણ હોવાથી,આપણને $\phi \subset B$ મળે છે.

(B) $A \subset B$ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે તપાસીએ છીએ કે $A$ નો દરેક ઘટક $B$ નો પણ ઘટક છે કે નહીં.
આપેલ છે કે $A = \{1, 3\}$ અને $B = \{1, 5, 9\}$.
અહીં $3 \in A$ છે પરંતુ $3 \notin B$ છે,તેથી $A$ એ $B$ નો ઉપગણ નથી.
તેથી,$A \not\subset B$.

(A) જો ગણ $A$ ના દરેક ઘટક ગણ $C$ માં હોય,તો $A$ એ $C$ નો ઉપગણ છે તેમ કહેવાય (જેને $A \subset C$ તરીકે દર્શાવાય છે).
અહીં $A$ ના ઘટકો ${1, 3}$ છે અને આ ઘટકો $C = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ માં પણ આવેલા છે,તેથી $A \subset C$ થાય.

(A) આપેલ ગણ $B = \{1, 5, 9\}$ અને $C = \{1, 3, 5, 7, 9\}$ છે.
ગણ $B$ નો દરેક ઘટક ગણ $C$ માં હોવાથી,$B$ એ $C$ નો ઉપગણ છે.
તેથી,$B \subset C$.

(N/A) આપેલ ગણ $A = \{a, e, i, o, u\}$ અને $B = \{a, b, c, d\}$ છે.
$(i)$ ગણ $A$ એ $B$ નો ઉપગણ હોવા માટે,$A$ ના દરેક ઘટક $B$ માં હોવા જોઈએ.
ગણ $A$ માં,ઘટકો $\{e, i, o, u\}$ હાજર છે,પરંતુ આ ઘટકો ગણ $B$ માં નથી.
તેથી,$A$ એ $B$ નો ઉપગણ નથી.
(ii) ગણ $B$ એ $A$ નો ઉપગણ હોવા માટે,$B$ ના દરેક ઘટક $A$ માં હોવા જોઈએ.
ગણ $B$ માં,ઘટકો $\{b, c, d\}$ હાજર છે,પરંતુ આ ઘટકો ગણ $A$ માં નથી.
તેથી,$B$ એ $A$ નો ઉપગણ નથી.

(N/A) ના,તે સત્ય નથી.
ધારો કે $A = \{1\}$,$B = \{\{1\}, 2\}$ અને $C = \{\{1\}, 2, 3\}$ છે.
અહીં,$A \in B$ છે કારણ કે ઘટક $\{1\}$ એ $B$ માં છે.
તેમજ,$B \subset C$ છે કારણ કે $B$ ના દરેક ઘટકો (જે $\{1\}$ અને $2$ છે) $C$ માં છે.
પરંતુ,$A \not\subset C$ છે કારણ કે ઘટક $1$ એ $A$ માં છે,પરંતુ $1$ એ $C$ નો ઘટક નથી (માત્ર ગણ $\{1\}$ એ $C$ નો ઘટક છે).

(A) ગણ ${2,3,4}$ નો દરેક ઘટક ગણ ${1,2,3,4,5}$ માં પણ હોવાથી,આપણને મળે છે:
${2,3,4} \subset {1,2,3,4,5}$

(B) જો ગણ $A$ નો દરેક ઘટક ગણ $B$ નો પણ ઘટક હોય,તો ગણ $A$ ને ગણ $B$ નો ઉપગણ કહેવાય છે (જેને $A \subset B$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે).
આપેલા ગણોમાં,ઘટક $a$ પ્રથમ ગણ ${a, b, c}$ માં છે પરંતુ બીજા ગણ ${b, c, d}$ માં નથી.
તેથી,$\{a, b, c\} \not\subset \{b, c, d\}$.

(A) તમારી શાળાના ધોરણ $XI$ નો દરેક વિદ્યાર્થી એ તમારી શાળાનો પણ વિદ્યાર્થી હોવાથી,ધોરણ $XI$ ના વિદ્યાર્થીઓનો ગણ એ તમારી શાળાના તમામ વિદ્યાર્થીઓના ગણનો ઉપગણ છે.
તેથી,સાચું ચિહ્ન $\subset$ છે.

(B) ડાબી બાજુના ગણમાં સમતલના તમામ વર્તુળોનો સમાવેશ થાય છે,જેમાં તમામ શક્ય ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળોનો સમાવેશ થાય છે (દા.ત.,$r=1, r=2, r=5$,વગેરે).
જમણી બાજુના ગણમાં ફક્ત તે જ વર્તુળોનો સમાવેશ થાય છે જેની ત્રિજ્યા બરાબર $1$ એકમ છે.
સમતલમાં $1$ સિવાયની ત્રિજ્યા ધરાવતા ઘણા વર્તુળો હોવાથી,તમામ વર્તુળોનો ગણ એ $1$ એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળોના ગણનો ઉપગણ નથી.
તેથી,સાચું ચિહ્ન $\not\subset$ છે.

(B) ત્રિકોણ એ $3$ બાજુઓ ધરાવતો બહુકોણ છે અને લંબચોરસ એ $4$ બાજુઓ ધરાવતો બહુકોણ છે,તેથી કોઈ પણ ત્રિકોણ લંબચોરસ હોઈ શકે નહીં.
તેથી,${ x:x \text{ એ સમતલમાં ત્રિકોણ છે} } \not\subset { x:x \text{ એ સમતલમાં લંબચોરસ છે} }$.

(A) સમબાજુ ત્રિકોણ એ ત્રિકોણનો એક પ્રકાર છે.
દરેક સમબાજુ ત્રિકોણ એ ત્રિકોણ હોવાથી,સમતલના તમામ સમબાજુ ત્રિકોણનો ગણ એ તે જ સમતલના તમામ ત્રિકોણના ગણનો ઉપગણ છે.
તેથી,સાચું ચિહ્ન $\subset$ છે.

(A) દરેક બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યા (જેમ કે $2, 4, 6, \dots$) એ પૂર્ણાંક સંખ્યા પણ હોવાથી,બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ એ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગણનો ઉપગણ છે.
તેથી,${ x:x \text{ એ બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે} } \subset { x:x \text{ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા છે} }$.

(B) આ વિધાન અસત્ય છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,જો ગણ $A$ ના દરેક ઘટક ગણ $B$ માં હોય,તો $A$ એ $B$ નો ઉપગણ છે તેમ કહેવાય (જેને $A \subset B$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે).
અહીં,ગણ $\{a, b\}$ માં $a$ અને $b$ ઘટકો છે.
ગણ $\{b, c, a\}$ માં પણ $a$ અને $b$ ઘટકો છે.
કારણ કે $\{a, b\}$ નો દરેક ઘટક $\{b, c, a\}$ માં હાજર છે,તેથી $\{a, b\} \subset \{b, c, a\}$ થાય.
તેથી,વિધાન $\{a, b\} \not\subset \{b, c, a\}$ અસત્ય છે.

(A) આ વિધાન સત્ય છે.
અંગ્રેજી મૂળાક્ષરોમાં સ્વરોનો ગણ $\{a, e, i, o, u\}$ છે.
કારણ કે $a$ અને $e$ બંને સ્વરોના ગણના ઘટકો છે,તેથી $\{a, e\}$ એ સ્વરોના ગણનો ઉપગણ છે.

(B) આ વિધાન અસત્ય છે.
ગણ $A$ એ ગણ $B$ નો ઉપગણ $(A \subset B)$ ત્યારે જ કહેવાય જો $A$ નો દરેક ઘટક $B$ માં હોય.
અહીં,$2 \in \{1, 2, 3\}$ છે,પરંતુ $2 \notin \{1, 3, 5\}$ છે.
તેથી,${1, 2, 3}$ એ ${1, 3, 5}$ નો ઉપગણ નથી.

(A) સત્ય.
જો ગણ $A$ ના દરેક ઘટક ગણ $B$ માં પણ હોય,તો $A$ એ $B$ નો ઉપગણ છે.
અહીં,ગણ $\{a\}$ માં માત્ર એક જ ઘટક $a$ છે.
કારણ કે $a$ એ ગણ $\{a, b, c\}$ નો પણ ઘટક છે,તેથી વિધાન $\{a\} \subset \{a, b, c\}$ સત્ય છે.

(B) અસત્ય.
ગણ $\{a, b, c\}$ ના ઘટકો $a, b,$ અને $c$ છે.
કોઈ ઘટક $x$ એ ગણ $A$ માં હોય તો તેને $x \in A$ તરીકે દર્શાવાય છે.
અહીં,$\{a\}$ એ $\{a, b, c\}$ નો ઉપગણ છે,તેનો ઘટક નથી.
તેથી,સાચું વિધાન $\{a\} \subset \{a, b, c\}$ છે.

(A) આ વિધાન સત્ય છે.
પ્રથમ,$\{x : x \text{ એ } 6 \text{ થી નાની બેકી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે\} = \{2, 4\}}$ ગણના ઘટકો લખો.
ત્યારબાદ,$\{x : x \text{ એ } 36 \text{ ને ભાગતી પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે\} = \{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\}}$ ગણના ઘટકો લખો.
પ્રથમ ગણના દરેક ઘટક (એટલે કે $2$ અને $4$) બીજા ગણમાં હોવાથી,પ્રથમ ગણ એ બીજા ગણનો ઉપગણ છે.

(A) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\}$ છે.
ગણ $A$ ના ઘટકો $1$,$2$,$\{3, 4\}$,અને $5$ છે.
કારણ કે $\{3, 4\}$ એ ગણ $A$ ના ઘટક તરીકે સ્પષ્ટપણે દર્શાવેલ છે,તેથી વિધાન $\{3, 4\} \in A$ સાચું છે.

(N/A) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\}$ છે.
$\{\{3, 4\}\} \subset A$ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે તપાસવું જોઈએ કે શું ગણ $\{\{3, 4\}\}$ નો દરેક ઘટક $A$ નો પણ ઘટક છે.
ગણ $\{\{3, 4\}\}$ માં માત્ર એક જ ઘટક $\{3, 4\}$ છે.
કારણ કે $\{3, 4\} \in A$,તેથી $\{\{3, 4\}\} \subset A$ સાચું છે.
તેથી,વિધાન $\{\{3, 4\}\} \subset A$ સાચું છે.

(N/A) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\}$ છે.
વિધાન $1 \in A$ સાચું છે કારણ કે $1$ એ ગણ $A$ નો એક ઘટક છે.

(A) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\}$ છે.
વિધાન $1 \subset A$ ખોટું છે.
ગણ સિદ્ધાંતમાં,ગણના સભ્યને દર્શાવવા માટે $\in$ સંજ્ઞાનો ઉપયોગ થાય છે. અહીં $1$ એ $A$ નો સભ્ય હોવાથી,તેને $1 \in A$ તરીકે લખવું જોઈએ.
ઉપગણ (subset) બનાવવા માટે સભ્યોને છગડિયા કૌંસમાં મૂકવા પડે છે. તેથી,સાચું ઉપગણ સ્વરૂપ $\{1\} \subset A$ થશે.

(N/A) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\}$ છે.
વિધાન ${1, 2, 5} \subset A$ સાચું છે.
કારણ: જો ગણ $X$ ના દરેક ઘટક ગણ $A$ માં હોય,તો $X$ એ $A$ નો ઉપગણ છે. અહીં,${1, 2, 5}$ ના ઘટકો $1, 2,$ અને $5$ છે. કારણ કે $1 \in A, 2 \in A,$ અને $5 \in A$ છે,તેથી વિધાન ${1, 2, 5} \subset A$ સત્ય છે.

(A) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\}$ છે.
ગણ $A$ ના ઘટકો $1$,$2$,${3, 4}$,અને $5$ છે.
વિધાન ${1, 2, 5} \in A$ ખોટું છે કારણ કે ${1, 2, 5}$ એ $A$ નો ઉપગણ છે (એટલે કે,${1, 2, 5} \subset A$),પરંતુ તે $A$ નો ઘટક નથી.

(A) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\}$ છે.
વિધાન $\{1, 2, 3\} \subset A$ ખોટું છે.
કારણ: કોઈ ગણ $A$ નો ઉપગણ ત્યારે જ કહેવાય જો તેના દરેક ઘટક $A$ માં હોય.
ગણ $\{1, 2, 3\}$ માં ઘટકો $1, 2,$ અને $3$ છે.
અહીં $1 \in A$ અને $2 \in A$ છે,પરંતુ $3$ એ $A$ નો ઘટક નથી (માત્ર ગણ $\{3, 4\}$ એ $A$ નો ઘટક છે).
તેથી,$\{1, 2, 3\} \not\subset A$ થાય.

(N/A) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\}$ છે.
વિધાન $\varnothing \subset A$ સાચું છે.
કારણ: ખાલી ગણ $\varnothing$ એ દરેક ગણનો ઉપગણ છે.

(A) આપેલ ગણ $A = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\}$ છે.
વિધાન $\{\varnothing\} \subset A$ ખોટું છે.
$\{\varnothing\}$ એ $A$ નો ઉપગણ હોવા માટે,ઘટક $\varnothing$ એ $A$ નો સભ્ય હોવો જોઈએ (એટલે કે,$\varnothing \in A$).
પરંતુ,$A$ ના ઘટકો $1, 2, \{3, 4\},$ અને $5$ છે. આમાંથી કોઈ પણ ઘટક ખાલી ગણ $\varnothing$ નથી.
તેથી,$\varnothing \notin A$,જે સૂચવે છે કે $\{\varnothing\}$ એ $A$ નો ઉપગણ નથી.

(C) $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણના ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,ગણ $\{a\}$ છે,જેમાં $n = 1$ ઘટક છે.
તેથી,ઉપગણોની સંખ્યા $2^1 = 2$ છે.
આ ઉપગણો ખાલી ગણ $\varnothing$ અને ગણ પોતે $\{a\}$ છે.

(B) $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ માટે,ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ છે.
અહીં,ગણ $\{a, b\}$ છે,જેમાં $n = 2$ ઘટકો છે.
તેથી,ઉપગણોની સંખ્યા $2^2 = 4$ છે.
ઉપગણો નીચે મુજબ છે:
$1. \varnothing$ (રિક્ત ગણ)
$2. \{a\}$
$3. \{b\}$
$4. \{a, b\}$ (ગણ પોતે)

(N/A) $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણના ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ દ્વારા મળે છે. ગણ $\{1, 2, 3\}$ માટે,$n = 3$ છે,તેથી કુલ $2^3 = 8$ ઉપગણો મળે.
આ ઉપગણો નીચે મુજબ છે: $\varnothing, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1, 2\}, \{2, 3\}, \{1, 3\}, \{1, 2, 3\}$.

(A) પાસો ફેંકવાનો નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
ઘટના $A$ એ 'અવિભાજ્ય સંખ્યા મેળવવાની' છે. $S$ માં અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3,$ અને $5$ છે. તેથી,$A = \{2, 3, 5\}$.
ઘટના $B$ એ 'એકી સંખ્યા મેળવવાની' છે. $S$ માં એકી સંખ્યાઓ $1, 3,$ અને $5$ છે. તેથી,$B = \{1, 3, 5\}$.

જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{(x, y) : x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}$
ઘટના $A$ એ પ્રથમ પાસા પર બેકી સંખ્યા મળવાની ઘટના છે:
$A = \{(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)\}$
ઘટના $B$ એ પ્રથમ પાસા પર એકી સંખ્યા મળવાની ઘટના છે:
$B = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6)\}$
ઘટના $A$ અથવા $B$ એ ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નો યોગગણ છે,જેને $A \cup B$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
નિદર્શાવકાશ $S$ ના દરેક પરિણામમાં પ્રથમ પાસા પર કાં તો બેકી અથવા એકી સંખ્યા હોય છે,તેથી $A \cup B$ માં તમામ શક્ય પરિણામોનો સમાવેશ થાય છે.
તેથી,$A \cup B = S$.