Basic of Set theory Questions in Hindi

(B) रिक्त समुच्चय वह समुच्चय है जिसमें कोई अवयव नहीं होता है।
विकल्प $A$ के लिए: $x^2 - 1 = 0$ $\Rightarrow x^2 = 1$ $\Rightarrow x = \pm 1$। ये वास्तविक संख्याएँ हैं,इसलिए समुच्चय $\{ -1, 1 \}$ है।
विकल्प $B$ के लिए: $x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$। ऐसी कोई वास्तविक संख्या $x$ नहीं है जिसका वर्ग ऋणात्मक हो। अतः,यह समुच्चय रिक्त है।
विकल्प $C$ के लिए: $x^2 - 9 = 0$ $\Rightarrow x^2 = 9$ $\Rightarrow x = \pm 3$। ये वास्तविक संख्याएँ हैं,इसलिए समुच्चय $\{ -3, 3 \}$ है।
विकल्प $D$ के लिए: $x^2 - x - 2 = 0$ $\Rightarrow (x - 2)(x + 1) = 0$ $\Rightarrow x = 2, -1$। ये वास्तविक संख्याएँ हैं,इसलिए समुच्चय $\{ -1, 2 \}$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) समुच्चय $A$ के लिए दी गई शर्तें:
$1$. $x^2 = 16 \implies x = 4$ या $x = -4$ है।
$2$. $2x = 6 \implies x = 3$ है।
किसी अवयव $x$ के समुच्चय $A$ में होने के लिए,उसे दोनों शर्तों को एक साथ पूरा करना होगा।
चूंकि $x$ का ऐसा कोई मान नहीं है जो $x \in \{4, -4\}$ और $x = 3$ दोनों को संतुष्ट करे,इसलिए समुच्चय $A$ में कोई अवयव नहीं है।
अतः,$A = \phi$।

(C) $n$ अवयवों वाले एक समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या द्विपद गुणांकों के योग द्वारा दी जाती है:
$C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + \dots + C(n, n) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$.
अतः,उपसमुच्चयों की कुल संख्या $2^n$ है।

(C) समुच्चय $A = \{1, 2, 3\}$ में अवयवों की संख्या $n = 3$ है।
$n$ अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^n$ होती है।
यहाँ,कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^3 = 8$ है।
उचित उपसमुच्चय वह होता है जो स्वयं समुच्चय को छोड़कर अन्य सभी उपसमुच्चय होते हैं।
अतः,उचित उपसमुच्चयों की संख्या $2^n - 1$ है।
उचित उपसमुच्चयों की संख्या $= 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$।

(D) रिक्त समुच्चय (null set) वह समुच्चय है जिसमें कोई अवयव नहीं होता है।
सेट-बिल्डर नोटेशन में,हम एक समुच्चय को उस गुण द्वारा परिभाषित करते हैं जिसे उसके अवयवों को संतुष्ट करना होता है।
समुच्चय $\{x : x \neq x\}$ के लिए,ऐसा कोई अवयव $x$ नहीं है जो स्वयं के बराबर न होने की शर्त को पूरा करता हो।
इसलिए,इस समुच्चय में कोई अवयव नहीं है और यह रिक्त समुच्चय को दर्शाता है।

(B) तदात्म्य के नियम (law of identity) के अनुसार,किसी भी अवयव $x$ के लिए,यह सत्य होना चाहिए कि $x = x$।
ऐसा कोई अवयव $x$ नहीं है जिसके लिए $x \ne x$ हो।
अतः,समुच्चय $A$ में कोई अवयव नहीं है।
इसलिए,$A = \emptyset$ या $\left\{ \right\}$।

(B) समुच्चय $Q$ को $Q = \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जहाँ $y \in N = \{1, 2, 3, \dots\}$ है।
$y = 1$ के लिए,$x = \frac{1}{1} = 1$ है। अतः,$1 \in Q$ है।
$y = 2$ के लिए,$x = \frac{1}{2}$ है।
चूँकि $0$ किसी भी $y \in N$ के लिए $\frac{1}{y}$ के रूप में नहीं है,इसलिए $0 \notin Q$ है।
चूँकि $2$ किसी भी $y \in N$ के लिए $\frac{1}{y}$ के रूप में नहीं है,इसलिए $2 \notin Q$ है।
चूँकि $\frac{2}{3}$ किसी भी $y \in N$ के लिए $\frac{1}{y}$ के रूप में नहीं है,इसलिए $\frac{2}{3} \notin Q$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) रिक्त समुच्चय,जिसे $\{\}$ या $\phi$ द्वारा दर्शाया जाता है,प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) समुच्चय $S$ इस प्रकार दिया गया है: $S = \{ 0, 1, 5, 4, 7 \}$।
समुच्चय $S$ में अवयवों की संख्या $n = 5$ है।
$n$ अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चयों की कुल संख्या का सूत्र $2^n$ होता है।
$n = 5$ रखने पर,हमें $2^5 = 32$ प्राप्त होता है।
अतः,$S$ के उपसमुच्चयों की कुल संख्या $32$ है।

(A) $n$ अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^n$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
समुच्चय ${1, 2, 3, 4}$ के लिए,अवयवों की संख्या $n = 4$ है।
कुल उपसमुच्चयों की संख्या = $2^4 = 16$।
अरिक्त उपसमुच्चयों की संख्या प्राप्त करने के लिए कुल उपसमुच्चयों में से रिक्त समुच्चय (null set) को घटाया जाता है।
अरिक्त उपसमुच्चयों की संख्या = $2^n - 1 = 2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$।

(B) दिया गया है कि $A \cap B = B$ है।
सर्वनिष्ठ (intersection) की परिभाषा के अनुसार,$A \cap B$,$A$ और $B$ दोनों का उपसमुच्चय (subset) होता है।
विशेष रूप से,$A \cap B \subseteq A$ और $A \cap B \subseteq B$ होता है।
चूंकि $A \cap B = B$ है,इसलिए पहले संबंध में $A \cap B$ के स्थान पर $B$ रखने पर हमें $B \subseteq A$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) दिया गया है $A \cup B = A \cap B$.
माना $x \in A$. चूँकि $A \subseteq A \cup B$,इसलिए $x \in A \cup B$.
चूँकि $A \cup B = A \cap B$,इसलिए $x \in A \cap B$ होगा।
सर्वनिष्ठ (intersection) की परिभाषा के अनुसार,$x \in A \cap B \Rightarrow x \in A$ और $x \in B$. अतः,$x \in B$.
इसलिए,$A \subseteq B$.
इसी प्रकार,माना $x \in B$. चूँकि $B \subseteq A \cup B$,इसलिए $x \in A \cup B$.
चूँकि $A \cup B = A \cap B$,इसलिए $x \in A \cap B$ होगा।
सर्वनिष्ठ की परिभाषा के अनुसार,$x \in A \cap B \Rightarrow x \in A$ और $x \in B$. अतः,$x \in A$.
इसलिए,$B \subseteq A$.
चूँकि $A \subseteq B$ और $B \subseteq A$,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $A = B$.

(B) हम जानते हैं कि किन्हीं दो समुच्चयों $A$ और $B$ के लिए,सर्वनिष्ठ $A \cap B$,$A$ का उपसमुच्चय है,और $A$,सम्मिलन $A \cup B$ का उपसमुच्चय है।
अतः,$A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B$।
इसलिए,$A \cap B \subseteq A \cup B$।

(C) समुच्चय ${N_a}$ में $a$ के सभी गुणज शामिल हैं,अर्थात ${N_a} = \{a, 2a, 3a, \dots\}$।
सर्वनिष्ठ ${N_5} \cap {N_7}$ में वे संख्याएँ शामिल हैं जो $5$ और $7$ दोनों की गुणज हैं।
चूंकि $5$ और $7$ सह-अभाज्य संख्याएँ हैं,इसलिए $5$ और $7$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $5 \times 7 = 35$ है।
अतः,उभयनिष्ठ गुणज $35$ के गुणज हैं,जिन्हें ${N_{35}}$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(A) दिया गया है $aN = \{ ax : x \in N \}$.
$3N = \{ x \in N : x, 3 \text{ का गुणज है } \}$.
$7N = \{ x \in N : x, 7 \text{ का गुणज है } \}$.
$3N \cap 7N$ उन सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है जो $3$ और $7$ दोनों के गुणज हैं।
चूंकि $3$ और $7$ सह-अभाज्य हैं,उनका लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $3 \times 7 = 21$ है।
अतः,$3N \cap 7N = \{ x \in N : x, 21 \text{ का गुणज है } \} = 21N$.

(D) दिया गया है कि $n(A) = 4$ और $n(B) = 3$ है।
हम जानते हैं कि किन्हीं भी परिमित समुच्चयों $A$,$B$,और $C$ के लिए,कार्तीय गुणनफल में अवयवों की संख्या $n(A \times B \times C) = n(A) \times n(B) \times n(C)$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$4 \times 3 \times n(C) = 24$
$12 \times n(C) = 24$
$n(C) = \frac{24}{12} = 2$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया समीकरण $2a^2 + 3b^2 = 35$ है,जहाँ $a, b \in Z$ है।
$b^2$ के संभावित मानों की जाँच करने पर:
यदि $b^2 = 1$,तो $2a^2 = 32 \implies a^2 = 16 \implies a = \pm 4$। इससे $(4, 1), (4, -1), (-4, 1), (-4, -1)$ प्राप्त होते हैं।
यदि $b^2 = 9$,तो $2a^2 = 8 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2$। इससे $(2, 3), (2, -3), (-2, 3), (-2, -3)$ प्राप्त होते हैं।
कुल $8$ अवयव प्राप्त होते हैं।

(D) किसी समुच्चय $A$ का घात समुच्चय,जिसे $P(A)$ द्वारा दर्शाया जाता है,$A$ के सभी संभावित उपसमुच्चयों का समुच्चय होता है।
दिया गया है $A = \{x, y\}$।
$A$ के उपसमुच्चय $\phi$,$\{x\}$,$\{y\}$ और $\{x, y\}$ हैं।
अतः,घात समुच्चय $P(A) = \{\phi, \{x\}, \{y\}, \{x, y\}\}$ है।

(A) माना कि समुच्चय $A = \{a, b, c\}$ है।
$1$. विकल्प $A$ के लिए: समुच्चय $\{a\}$ में अवयव $a$ है,जो $A$ का भी एक अवयव है। इसलिए,$\{a\} \subseteq A$ एक सत्य कथन है।
$2$. विकल्प $B$ के लिए: अवयव $a$,$A$ में है $(a \in A)$,लेकिन समुच्चय $\{a\}$ एक उपसमुच्चय है,$A$ का अवयव नहीं। अतः,$\{a\} \in A$ गलत है।
$3$. विकल्प $C$ के लिए: रिक्त समुच्चय $\phi$ प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है,लेकिन यह $A$ का अवयव नहीं है। अतः,$\phi \in A$ गलत है।
इसलिए,सही कथन $\{a\} \subseteq \{a, b, c\}$ है।

(C) दिया गया शेषफल संबंध $x \equiv 3 \pmod{7}$ है।
मॉड्यूलर अंकगणित की परिभाषा के अनुसार,$x \equiv a \pmod{n}$ का अर्थ है कि $x - a$,$n$ का एक गुणज है।
इसलिए,किसी पूर्णांक $p \in \mathbb{Z}$ के लिए $x - 3 = 7p$ होगा।
समीकरण को $x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = 7p + 3$ प्राप्त होता है।
अतः,हल समुच्चय $\{7p + 3 : p \in \mathbb{Z}\}$ है।

(B) ${N_3} \cap {N_4} = \{3, 6, 9, 12, 15, \dots\} \cap \{4, 8, 12, 16, 20, \dots\}$
$= \{12, 24, 36, \dots\} = {N_{12}}$.
$\text{Trick: } {N_a} \cap {N_b} = {N_{\text{lcm}(a, b)}}$.
$\because \text{lcm}(3, 4) = 12$,इसलिए ${N_3} \cap {N_4} = {N_{12}}$.

(D) माना $A, B, C$ एक सार्वत्रिक समुच्चय $U$ के उपसमुच्चय हैं।
$1$. स्वतुल्यता (Reflexivity): प्रत्येक समुच्चय $A$ के लिए,$A \subseteq A$ सत्य है। अतः,संबंध '$\subseteq$' स्वतुल्य है।
$2$. सममितता (Symmetry): यदि $A \subseteq B$ है,तो यह आवश्यक नहीं है कि $B \subseteq A$ हो (उदाहरण के लिए,यदि $A = \{1\}$ और $B = \{1, 2\}$ है,तो $A \subseteq B$ है लेकिन $B \not\subseteq A$ है)। अतः,संबंध '$\subseteq$' सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता (Transitivity): यदि $A \subseteq B$ और $B \subseteq C$ है,तो $A \subseteq C$ होता है। अतः,संबंध '$\subseteq$' संक्रामक है।
इस प्रकार,संबंध '$\subseteq$' स्वतुल्य और संक्रामक है,लेकिन सममित नहीं है। चूँकि यह सममित नहीं है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध नहीं है। सही विकल्प $(D)$ है।

(C) शेषफल प्रमेय के अनुसार,जब एक बहुपद $P(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $P(a)$ होता है।
यहाँ,$P(x) = 1 + x + x^3 + x^9 + x^{27} + x^{81} + x^{243}$ और भाजक $(x - 1)$ है,इसलिए $a = 1$ है।
शेषफल $P(1) = 1 + 1 + 1^3 + 1^9 + 1^{27} + 1^{81} + 1^{243}$ होगा।
$P(1) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7$।

(C) मानव मुख में दांतों के लिए $32$ अलग-अलग स्थान होते हैं।
प्रत्येक स्थान के लिए,$2$ संभावनाएं हैं: या तो दांत मौजूद है या अनुपस्थित है।
चूंकि ऐसे $32$ स्थान हैं,इसलिए दांतों के संभावित संयोजनों की कुल संख्या $2^{32}$ है।
हालांकि,प्रश्न में कहा गया है कि ऐसा कोई व्यक्ति नहीं है जिसके दांत न हों,जिसका अर्थ है कि हमें उस स्थिति को बाहर करना होगा जिसमें सभी $32$ स्थान खाली हों।
इसलिए,शहर की अधिकतम जनसंख्या $2^{32} - 1$ है।

(A) समुच्चय $bN$,$b$ के सभी धनात्मक पूर्णांक गुणजों का समुच्चय है,और $cN$,$c$ के सभी धनात्मक पूर्णांक गुणजों का समुच्चय है।
सर्वनिष्ठ (intersection) $bN \cap cN$ में वे संख्याएँ शामिल हैं जो $b$ और $c$ दोनों की गुणज हैं।
चूँकि $b$ और $c$ सह-अभाज्य हैं,इसलिए $b$ और $c$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $bc$ है।
अतः,$bN \cap cN$,$bc$ के सभी धनात्मक पूर्णांक गुणजों का समुच्चय है,जिसे $(bc)N$ के रूप में दर्शाया जाता है।
दिया गया है कि $bN \cap cN = dN$,इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $d = bc$।

(C) समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या $n = 5$ है।
$n$ अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^n$ होती है।
अतः,$A$ के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^5 = 32$ है।
उचित उपसमुच्चय (proper subset) वह होता है जो स्वयं समुच्चय $A$ को छोड़कर $A$ का कोई भी उपसमुच्चय हो।
अतः,उचित उपसमुच्चयों की संख्या $2^n - 1$ होती है।
$n = 5$ रखने पर,हमें $2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$ प्राप्त होता है।

(D) चूंकि कक्षा में छात्र की बुद्धिमत्ता किसी विशिष्ट मानदंड द्वारा परिभाषित नहीं है,इसलिए यह व्यक्तिपरक है। अतः,यह एक सुपरिभाषित संग्रह नहीं है और समुच्चय का निर्माण नहीं करता है।

(B) विकल्प $A$ के लिए: $x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1$,जो वास्तविक संख्याएँ हैं। अतः समुच्चय $\{-1, 1\}$ है।
विकल्प $B$ के लिए: $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$। चूँकि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $x$ का कोई भी वास्तविक मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है। अतः,यह एक रिक्त समुच्चय है।
विकल्प $C$ के लिए: $x^2 - 9 = 0 \implies x = \pm 3$,जो वास्तविक संख्याएँ हैं। अतः समुच्चय $\{-3, 3\}$ है।
विकल्प $D$ के लिए: $x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0 \implies x = 2, -1$,जो वास्तविक संख्याएँ हैं। अतः समुच्चय $\{-1, 2\}$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) समुच्चय $A$ के लिए दी गई शर्तें:
$1$) $x^2 = 16 \implies x = 4$ या $x = -4$ है।
$2$) $2x = 6 \implies x = 3$ है।
चूंकि $x$ का कोई भी मान दोनों समीकरणों को एक साथ संतुष्ट नहीं करता है,इसलिए इन शर्तों का प्रतिच्छेदन रिक्त है।
अतः,$A = \phi$।

(A) चूंकि $A \cap B$ समुच्चय $A$ का उपसमुच्चय है,अर्थात $(A \cap B) \subseteq A$।
इसलिए,$A$ और $(A \cap B)$ का संघ (union) $A$ के बराबर होगा।
$A \cup (A \cap B) = A$।

(A) दिया गया है कि $bN = \{b, 2b, 3b, \dots\}$ और $cN = \{c, 2c, 3c, \dots\}$।
सर्वनिष्ठ $bN \cap cN$ में $b$ और $c$ दोनों के सभी उभयनिष्ठ गुणज शामिल हैं।
चूँकि $b$ और $c$ सह-अभाज्य हैं,उनका लघुत्तम समापवर्त्य $LCM(b, c) = b \times c$ होगा।
इसलिए,$bN \cap cN = (bc)N$।
इसकी तुलना $dN$ से करने पर,हमें $d = bc$ प्राप्त होता है।

(A) समुच्चयों के संघ पर कार्तीय गुणन के वितरण नियम के अनुसार,किन्हीं तीन समुच्चयों $A, B$ और $C$ के लिए:
$A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$.

(C) समुच्चयों के संघ पर कार्तीय गुणन के वितरण नियम के अनुसार,हमारे पास है:
$R \times (P \cup Q) = (R \times P) \cup (R \times Q)$

(D) वह समुच्चय जिसमें कोई भी अवयव न हो,रिक्त समुच्चय कहलाता है।
समुच्चय-निर्माण रूप में,इसे एक ऐसी शर्त द्वारा दर्शाया जाता है जिसे किसी भी अवयव द्वारा संतुष्ट नहीं किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए,$\{x : x \neq x\}$ एक रिक्त समुच्चय है क्योंकि कोई भी अवयव स्वयं के असमान नहीं हो सकता है।
अतः,समुच्चय-निर्माण रूप में सही निरूपण $\{x : x \neq x\}$ है।

(B) तर्कशास्त्र के तत्समक नियम (law of identity) के अनुसार,किसी भी अवयव $x$ के लिए $x = x$ होना अनिवार्य है।
चूँकि दी गई शर्त $x \ne x$ है,इसलिए ऐसा कोई अवयव $x$ नहीं है जो इस शर्त को पूरा कर सके।
अतः,समुच्चय $A$ में कोई भी अवयव नहीं है।
जिस समुच्चय में कोई अवयव नहीं होता,उसे रिक्त समुच्चय (empty set) कहा जाता है,जिसे $\{\}$ या $\phi$ द्वारा दर्शाया जाता है।

(A) दिया गया समुच्चय $A = \{ \phi, \{ \phi \} \}$ है।
$A$ में अवयवों की संख्या $n(A) = 2$ है।
घात समुच्चय $\mathcal{P}(A)$ में $2^{n(A)} = 2^2 = 4$ अवयव होते हैं।
घात समुच्चय के अवयव $A$ के उपसमुच्चय होते हैं।
$A$ के उपसमुच्चय $\phi$,$\{ \phi \}$,$\{ \{ \phi \} \}$,और $\{ \phi, \{ \phi \} \} = A$ हैं।
अतः,$\mathcal{P}(A) = \{ \phi, \{ \phi \}, \{ \{ \phi \} \}, A \}$।

(B) समुच्चय $Q$ को $Q = \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
चूंकि $y \in N$ (जहाँ $N = \{1, 2, 3, \dots\}$),$y$ का न्यूनतम मान $1$ है।
$y = 1$ के लिए,$x = \frac{1}{1} = 1$ है।
अतः,$1 \in Q$ सत्य है।
$0 \in Q$ के लिए,हमें $\frac{1}{y} = 0$ की आवश्यकता होगी,जो किसी भी परिमित $y \in N$ के लिए असंभव है।
$2 \in Q$ के लिए,हमें $\frac{1}{y} = 2$ की आवश्यकता होगी,जिससे $y = \frac{1}{2}$ प्राप्त होगा,जो एक प्राकृतिक संख्या नहीं है।
$\frac{2}{3} \in Q$ के लिए,हमें $\frac{1}{y} = \frac{2}{3}$ की आवश्यकता होगी,जिससे $y = \frac{3}{2}$ प्राप्त होगा,जो एक प्राकृतिक संख्या नहीं है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) परिभाषा के अनुसार,रिक्त समुच्चय,जिसे $\{\}$ या $\phi$ द्वारा दर्शाया जाता है,प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।
अतः,$\{\}$ विकल्पों में दिए गए अन्य सभी समुच्चयों का उपसमुच्चय है।

(B) समुच्चय $S$ दिया गया है $S = \{0, 1, 5, 4, 7\}$।
समुच्चय $S$ में अवयवों की संख्या $n = 5$ है।
$n$ अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या का सूत्र $2^n$ होता है।
अतः,$S$ के उपसमुच्चयों की संख्या $2^5 = 32$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(C) समुच्चय $A$ में अवयवों की संख्या $n = 5$ है।
$n$ अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या का सूत्र $2^n$ है।
यहाँ,कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^5 = 32$ है।
उचित उपसमुच्चय,समुच्चय $A$ को छोड़कर $A$ के सभी उपसमुच्चय होते हैं।
अतः,उचित उपसमुच्चयों की संख्या $2^n - 1$ होती है।
$n$ का मान रखने पर,हमें $2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$ प्राप्त होता है।

(A) दो समुच्चयों $A$ और $B$ का संघ (union) उन सभी अवयवों का समुच्चय है जो $A$ में हैं,$B$ में हैं,या दोनों में हैं।
यदि $A \cup B = A$ है,तो इसका अर्थ है कि $B$ का प्रत्येक अवयव पहले से ही $A$ में होना चाहिए।
उपसमुच्चय (subset) की परिभाषा के अनुसार,यदि $B$ का प्रत्येक अवयव $A$ में है,तो $B$,$A$ का उपसमुच्चय है,जिसे $B \subseteq A$ के रूप में दर्शाया जाता है।
अतः,$A \cup B = A$ की स्थिति तभी सत्य होती है जब $B \subseteq A$ हो।

(C) परिभाषा के अनुसार,दो समुच्चयों $A$ और $B$ को विसंघित कहा जाता है यदि उनमें कोई भी अवयव उभयनिष्ठ न हो।
इसका अर्थ है कि उनका सर्वनिष्ठ (intersection) एक रिक्त समुच्चय है,जिसे $A \cap B = \phi$ के रूप में दर्शाया जाता है।

(A) दिया गया है कि $A \subseteq B$,इसका अर्थ है कि समुच्चय $A$ का प्रत्येक अवयव समुच्चय $B$ का भी अवयव है।
सर्वनिष्ठ (intersection) की परिभाषा के अनुसार,$A \cap B$ में वे सभी अवयव होते हैं जो समुच्चय $A$ और समुच्चय $B$ दोनों में उभयनिष्ठ (common) होते हैं।
चूंकि $A$ के सभी अवयव पहले से ही $B$ में हैं,इसलिए $A$ और $B$ के बीच उभयनिष्ठ अवयव केवल $A$ के अवयव ही हैं।
अतः,$A \cap B = A$.

(A) दिया गया है कि $aN = \{ ax : x \in N \}$।
यह $a$ के सभी गुणजों का समुच्चय है।
इसलिए,$3N = \{ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, \dots \}$ और $7N = \{ 7, 14, 21, 28, \dots \}$।
सर्वनिष्ठ $3N \cap 7N$ में वे सभी संख्याएँ शामिल हैं जो $3$ और $7$ दोनों की गुणज हैं।
$3$ और $7$ का लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $\text{LCM}(3, 7) = 21$ है।
अतः,$3N \cap 7N = \{ 21, 42, 63, \dots \} = 21N$।
इसकी तुलना $kN$ से करने पर,हमें $k = 21$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $A \subseteq B$,इसका अर्थ है कि समुच्चय $A$ का प्रत्येक अवयव समुच्चय $B$ का भी अवयव है।
अतः,$A$ और $B$ का सर्वनिष्ठ (intersection) समुच्चय $A$ ही होगा,अर्थात $A \cap B = A$।
चूंकि $n(A) = 3$,इसलिए $n(A \cap B) = n(A) = 3$।

(B) समुच्चयों के वितरण नियम (Distributive Law) के अनुसार,एक समुच्चय का अन्य दो समुच्चयों के संघ (union) के साथ सर्वनिष्ठ (intersection) वितरण गुण द्वारा दिया जाता है:
$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
यह समुच्चय संक्रियाओं का एक मूलभूत गुण है।

(C) शेषफल प्रमेय के अनुसार,जब किसी बहुपद $P(x)$ को $(x - a)$ से विभाजित किया जाता है,तो शेषफल $P(a)$ होता है।
यहाँ,हम $(x - 1)$ से विभाजित कर रहे हैं,इसलिए $a = 1$ है।
हमें $P(1)$ की गणना करनी है:
$P(1) = 1 + (1) + (1)^3 + (1)^9 + (1)^{27} + (1)^{81} + (1)^{243}$
चूंकि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $1^n = 1$ होता है,इसलिए:
$P(1) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1$
$P(1) = 7$
अतः,शेषफल $7$ है।

(C) दिया गया समीकरण $y = 3[x] + 1 = 4[x - 1] - 10$ है।
$Greatest$ $Integer$ $Function$ के गुणधर्म $[x - n] = [x] - n$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n$ एक पूर्णांक है,हमें $[x - 1] = [x] - 1$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$3[x] + 1 = 4([x] - 1) - 10$
$3[x] + 1 = 4[x] - 4 - 10$
$3[x] + 1 = 4[x] - 14$
$[x]$ के लिए हल करने पर:
$4[x] - 3[x] = 1 + 14$
$[x] = 15$.
अब,$y$ का मान ज्ञात करने के लिए $[x] = 15$ रखने पर:
$y = 3(15) + 1 = 45 + 1 = 46$.
हमें $[x + 2y]$ का मान ज्ञात करना है:
$[x + 2y] = [x + 2(46)] = [x + 92]$.
चूंकि $92$ एक पूर्णांक है,$[x + n] = [x] + n$ गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$[x + 92] = [x] + 92 = 15 + 92 = 107$.

(B) समुच्चय $A$ के लिए,$\sin(\theta) = \tan(\theta)$.
इसका अर्थ है $\sin(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$,जो देता है $\sin(\theta)(1 - \frac{1}{\cos(\theta)}) = 0$.
अतः,$\sin(\theta) = 0$ या $\cos(\theta) = 1$.
यदि $\sin(\theta) = 0$,तो $\theta = n\pi$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
यदि $\cos(\theta) = 1$,तो $\theta = 2n\pi$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
अतः,$A = \{ n\pi : n \in \mathbb{Z} \} = \{ 0, \pm\pi, \pm 2\pi, \dots \}$.
समुच्चय $B$ के लिए,$\cos(\theta) = 1$,जिसका अर्थ है $\theta = 2n\pi$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$.
अतः,$B = \{ 2n\pi : n \in \mathbb{Z} \} = \{ 0, \pm 2\pi, \pm 4\pi, \dots \}$.
दोनों समुच्चयों की तुलना करने पर,$B$ का प्रत्येक अवयव $A$ में है,इसलिए $B \subset A$.
हालाँकि,$\pi \in A$ लेकिन $\pi \notin B$,इसलिए $A \not\subset B$.