Basic of Set theory Questions in Gujarati

(B) ખાલી ગણ એવો ગણ છે જેમાં કોઈ ઘટક હોતો નથી.
વિકલ્પ $A$ માટે: $x^2 - 1 = 0$ $\Rightarrow x^2 = 1$ $\Rightarrow x = \pm 1$. આ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તેથી ગણ $\{ -1, 1 \}$ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $x^2 + 1 = 0 \Rightarrow x^2 = -1$. એવી કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ નથી કે જેનો વર્ગ ઋણ હોય. તેથી,આ ગણ ખાલી છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $x^2 - 9 = 0$ $\Rightarrow x^2 = 9$ $\Rightarrow x = \pm 3$. આ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તેથી ગણ $\{ -3, 3 \}$ છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $x^2 - x - 2 = 0$ $\Rightarrow (x - 2)(x + 1) = 0$ $\Rightarrow x = 2, -1$. આ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,તેથી ગણ $\{ -1, 2 \}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ગણ $A$ માટેની શરતો:
$1$. $x^2 = 16 \implies x = 4$ અથવા $x = -4$.
$2$. $2x = 6 \implies x = 3$.
કોઈપણ ઘટક $x$ ગણ $A$ માં હોવા માટે,તેણે બંને શરતોનું એકસાથે પાલન કરવું આવશ્યક છે.
કારણ કે એવી કોઈ $x$ ની કિંમત નથી જે $x \in \{4, -4\}$ અને $x = 3$ બંનેનું પાલન કરે,તેથી ગણ $A$ માં કોઈ ઘટક નથી.
આમ,$A = \phi$.

(C) $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણના ઉપગણોની સંખ્યા દ્વિપદી સહગુણકોના સરવાળા દ્વારા મળે છે:
$C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + \dots + C(n, n) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$.
તેથી,ઉપગણોની કુલ સંખ્યા $2^n$ છે.

(C) ગણ $A = \{1, 2, 3\}$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n = 3$ છે.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે.
ઉચિત ઉપગણ એટલે ગણ પોતે સિવાયના તમામ ઉપગણો.
તેથી,ઉચિત ઉપગણોની સંખ્યા $2^n - 1$ છે.
ઉચિત ઉપગણોની સંખ્યા $= 2^3 - 1 = 8 - 1 = 7$.

(D) ખાલી ગણ એ એવો ગણ છે જેમાં કોઈ ઘટક હોતો નથી.
સેટ-બિલ્ડર સંકેતમાં,આપણે ગણને એવી શરત દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ જે તેના ઘટકોએ સંતોષવી પડે.
ગણ $\{x : x \neq x\}$ માટે,એવો કોઈ ઘટક $x$ નથી જે પોતાની જાતને સમાન ન હોય તેવી શરતનું પાલન કરે.
તેથી,આ ગણમાં કોઈ ઘટક નથી અને તે ખાલી ગણને દર્શાવે છે.

(B) સમાનતાના નિયમ મુજબ,કોઈપણ ઘટક $x$ માટે,$x = x$ હોવું આવશ્યક છે.
એવો કોઈ ઘટક $x$ નથી કે જેના માટે $x \ne x$ હોય.
તેથી,ગણ $A$ માં કોઈ ઘટક નથી.
આમ,$A = \emptyset$ અથવા $\left\{ \right\}$.

(B) ગણ $Q$ ને $Q = \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $y \in N = \{1, 2, 3, \dots\}$ છે.
$y = 1$ માટે,$x = \frac{1}{1} = 1$. તેથી,$1 \in Q$.
$y = 2$ માટે,$x = \frac{1}{2}$.
$0$ એ કોઈ પણ $y \in N$ માટે $\frac{1}{y}$ સ્વરૂપમાં નથી,તેથી $0 \notin Q$.
$2$ એ કોઈ પણ $y \in N$ માટે $\frac{1}{y}$ સ્વરૂપમાં નથી,તેથી $2 \notin Q$.
$\frac{2}{3}$ એ કોઈ પણ $y \in N$ માટે $\frac{1}{y}$ સ્વરૂપમાં નથી,તેથી $\frac{2}{3} \notin Q$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) ખાલી ગણ,જેને $\{\}$ અથવા $\phi$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તે દરેક ગણનો ઉપગણ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) ગણ $S$ એ $S = \{ 0, 1, 5, 4, 7 \}$ તરીકે આપેલ છે.
ગણ $S$ માં રહેલા ઘટકોની સંખ્યા $n = 5$ છે.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણના ઉપગણોની કુલ સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $2^n$ છે.
$n = 5$ મૂકતા,આપણને $2^5 = 32$ મળે છે.
તેથી,$S$ ના ઉપગણોની કુલ સંખ્યા $32$ છે.

(A) $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગણ ${1, 2, 3, 4}$ માટે,ઘટકોની સંખ્યા $n = 4$ છે.
કુલ ઉપગણોની સંખ્યા = $2^4 = 16$.
અરિક્ત ઉપગણોની સંખ્યા મેળવવા માટે કુલ ઉપગણોમાંથી ખાલી ગણ (null set) બાદ કરવામાં આવે છે.
અરિક્ત ઉપગણોની સંખ્યા = $2^n - 1 = 2^4 - 1 = 16 - 1 = 15$.

(B) આપેલ છે કે $A \cap B = B$.
છેદગણની વ્યાખ્યા મુજબ,$A \cap B$ એ $A$ અને $B$ બંનેનો ઉપગણ છે.
ખાસ કરીને,$A \cap B \subseteq A$ અને $A \cap B \subseteq B$.
અહીં $A \cap B = B$ હોવાથી,પ્રથમ સંબંધમાં $A \cap B$ ની જગ્યાએ $B$ મૂકતા આપણને $B \subseteq A$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A \cup B = A \cap B$.
ધારો કે $x \in A$. કારણ કે $A \subseteq A \cup B$,તેથી $x \in A \cup B$.
$A \cup B = A \cap B$ હોવાથી,$x \in A \cap B$ થાય.
છેદગણની વ્યાખ્યા મુજબ,$x \in A \cap B \Rightarrow x \in A$ અને $x \in B$. તેથી,$x \in B$.
આમ,$A \subseteq B$.
તે જ રીતે,ધારો કે $x \in B$. કારણ કે $B \subseteq A \cup B$,તેથી $x \in A \cup B$.
$A \cup B = A \cap B$ હોવાથી,$x \in A \cap B$ થાય.
છેદગણની વ્યાખ્યા મુજબ,$x \in A \cap B \Rightarrow x \in A$ અને $x \in B$. તેથી,$x \in A$.
આમ,$B \subseteq A$.
$A \subseteq B$ અને $B \subseteq A$ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $A = B$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ બે ગણ $A$ અને $B$ માટે,છેદગણ $A \cap B$ એ $A$ નો ઉપગણ છે,અને $A$ એ યોગગણ $A \cup B$ નો ઉપગણ છે.
આમ,$A \cap B \subseteq A \subseteq A \cup B$.
તેથી,$A \cap B \subseteq A \cup B$.

(C) ગણ ${N_a}$ એ $a$ ના તમામ ગુણકોનો બનેલો છે,એટલે કે ${N_a} = \{a, 2a, 3a, \dots\}$.
છેદગણ ${N_5} \cap {N_7}$ એ એવી સંખ્યાઓનો બનેલો છે જે $5$ અને $7$ બંનેના ગુણક હોય.
$5$ અને $7$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,$5$ અને $7$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $5 \times 7 = 35$ છે.
તેથી,સામાન્ય ગુણકો એ $35$ ના ગુણકો છે,જેને ${N_{35}}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) આપેલ છે $aN = \{ ax : x \in N \}$.
$3N = \{ x \in N : x \text{ એ } 3 \text{ નો ગુણક છે } \}$.
$7N = \{ x \in N : x \text{ એ } 7 \text{ નો ગુણક છે } \}$.
$3N \cap 7N$ એ એવી તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ દર્શાવે છે જે $3$ અને $7$ બંનેના ગુણક હોય.
$3$ અને $7$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,તેમનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $3 \times 7 = 21$ થાય.
તેથી,$3N \cap 7N = \{ x \in N : x \text{ એ } 21 \text{ નો ગુણક છે } \} = 21N$.

(D) આપેલ છે કે $n(A) = 4$ અને $n(B) = 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ શાંત ગણ $A$,$B$,અને $C$ માટે,કાર્તેઝીય ગુણાકારમાં ઘટકોની સંખ્યા $n(A \times B \times C) = n(A) \times n(B) \times n(C)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$4 \times 3 \times n(C) = 24$
$12 \times n(C) = 24$
$n(C) = \frac{24}{12} = 2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $2a^2 + 3b^2 = 35$ છે,જ્યાં $a, b \in Z$.
$b^2$ ની શક્ય કિંમતો તપાસતા:
જો $b^2 = 1$,તો $2a^2 = 32 \implies a^2 = 16 \implies a = \pm 4$. આથી $(4, 1), (4, -1), (-4, 1), (-4, -1)$ મળે.
જો $b^2 = 9$,તો $2a^2 = 8 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2$. આથી $(2, 3), (2, -3), (-2, 3), (-2, -3)$ મળે.
કુલ $8$ ઘટકો મળે છે.

(D) કોઈપણ ગણ $A$ નો ઘાતગણ,જેને $P(A)$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $A$ ના તમામ શક્ય ઉપગણોનો ગણ છે.
અહીં $A = \{x, y\}$ આપેલ છે.
$A$ ના ઉપગણો $\phi$,$\{x\}$,$\{y\}$ અને $\{x, y\}$ છે.
તેથી,ઘાતગણ $P(A) = \{\phi, \{x\}, \{y\}, \{x, y\}\}$ થાય.

(A) ધારો કે ગણ $A = \{a, b, c\}$ છે.
$1$. વિકલ્પ $A$ માટે: ગણ $\{a\}$ માં ઘટક $a$ છે,જે $A$ નો પણ ઘટક છે. તેથી,$\{a\} \subseteq A$ એ સત્ય વિધાન છે.
$2$. વિકલ્પ $B$ માટે: ઘટક $a$ એ $A$ માં છે $(a \in A)$,પરંતુ ગણ $\{a\}$ એ ઉપગણ છે,$A$ નો ઘટક નથી. તેથી,$\{a\} \in A$ ખોટું છે.
$3$. વિકલ્પ $C$ માટે: ખાલી ગણ $\phi$ એ દરેક ગણનો ઉપગણ છે,પરંતુ તે $A$ નો ઘટક નથી. તેથી,$\phi \in A$ ખોટું છે.
તેથી,સાચું વિધાન $\{a\} \subseteq \{a, b, c\}$ છે.

(C) આપેલ શેષ સંબંધ $x \equiv 3 \pmod{7}$ છે.
મોડ્યુલર અંકગણિતની વ્યાખ્યા મુજબ,$x \equiv a \pmod{n}$ નો અર્થ એ છે કે $x - a$ એ $n$ નો ગુણક છે.
તેથી,કોઈ પૂર્ણાંક $p \in \mathbb{Z}$ માટે $x - 3 = 7p$ થાય.
સમીકરણને $x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $x = 7p + 3$ મળે છે.
આમ,ઉકેલ ગણ $\{7p + 3 : p \in \mathbb{Z}\}$ છે.

(B) ${N_3} \cap {N_4} = \{3, 6, 9, 12, 15, \dots\} \cap \{4, 8, 12, 16, 20, \dots\}$
$= \{12, 24, 36, \dots\} = {N_{12}}$.
$\text{Trick: } {N_a} \cap {N_b} = {N_{\text{lcm}(a, b)}}$.
$\because \text{lcm}(3, 4) = 12$,તેથી ${N_3} \cap {N_4} = {N_{12}}$.

(D) ધારો કે $A, B, C$ એ સાર્વત્રિક ગણ $U$ ના ઉપગણો છે.
$1$. સ્વવાચકતા (Reflexivity): દરેક ગણ $A$ માટે,$A \subseteq A$ સત્ય છે. તેથી,સંબંધ '$\subseteq$' સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા (Symmetry): જો $A \subseteq B$ હોય,તો તે જરૂરી નથી કે $B \subseteq A$ હોય (ઉદાહરણ તરીકે,જો $A = \{1\}$ અને $B = \{1, 2\}$ હોય,તો $A \subseteq B$ છે પણ $B \not\subseteq A$ છે). તેથી,સંબંધ '$\subseteq$' સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા (Transitivity): જો $A \subseteq B$ અને $B \subseteq C$ હોય,તો $A \subseteq C$ થાય છે. તેથી,સંબંધ '$\subseteq$' પરંપરિત છે.
આમ,સંબંધ '$\subseteq$' સ્વવાચક અને પરંપરિત છે,પરંતુ સંમિત નથી. તેથી,તે સામ્ય સંબંધ નથી. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(C) શેષ પ્રમેય મુજબ,જ્યારે બહુપદી $P(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શેષ $P(a)$ મળે છે.
અહીં,$P(x) = 1 + x + x^3 + x^9 + x^{27} + x^{81} + x^{243}$ અને ભાજક $(x - 1)$ છે,તેથી $a = 1$.
શેષ $P(1) = 1 + 1 + 1^3 + 1^9 + 1^{27} + 1^{81} + 1^{243}$ થશે.
$P(1) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7$.

(C) માનવ મુખમાં દાંત માટે $32$ અલગ-અલગ સ્થાનો હોય છે.
દરેક સ્થાન માટે,$2$ શક્યતાઓ છે: કાં તો દાંત હાજર છે અથવા ગેરહાજર છે.
આવા $32$ સ્થાનો હોવાથી,દાંતના સંભવિત સંયોજનોની કુલ સંખ્યા $2^{32}$ છે.
જો કે,પ્રશ્નમાં જણાવ્યા મુજબ એવી કોઈ વ્યક્તિ નથી જેને એક પણ દાંત ન હોય,જેનો અર્થ છે કે આપણે એ કિસ્સાને બાદ કરવો પડશે જેમાં તમામ $32$ સ્થાનો ખાલી હોય.
તેથી,શહેરની મહત્તમ વસ્તી $2^{32} - 1$ છે.

(A) ગણ $bN$ એ $b$ ના તમામ ધન પૂર્ણાંક ગુણકોનો ગણ દર્શાવે છે,અને $cN$ એ $c$ ના તમામ ધન પૂર્ણાંક ગુણકોનો ગણ દર્શાવે છે.
છેદગણ $bN \cap cN$ માં એવી સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે જે $b$ અને $c$ બંનેના ગુણક હોય.
કારણ કે $b$ અને $c$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે,તેથી $b$ અને $c$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $bc$ થાય.
તેથી,$bN \cap cN$ એ $bc$ ના તમામ ધન પૂર્ણાંક ગુણકોનો ગણ છે,જેને $(bc)N$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $bN \cap cN = dN$,તેથી આપણે કહી શકીએ કે $d = bc$.

(C) ગણ $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n = 5$ છે.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$A$ ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^5 = 32$ છે.
ઉચિત ઉપગણ એટલે ગણ $A$ સિવાયના $A$ ના તમામ ઉપગણો.
આમ,ઉચિત ઉપગણોની સંખ્યા $2^n - 1$ થાય.
$n = 5$ મૂકતા,આપણને $2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$ મળે છે.

(D) કારણ કે વર્ગમાં વિદ્યાર્થીની હોશિયારી કોઈ ચોક્કસ માપદંડ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત નથી,તે વ્યક્તિલક્ષી છે. તેથી,તે સુવ્યાખ્યાયિત સંગ્રહ નથી અને ગણ બનાવતું નથી.

(B) વિકલ્પ $A$ માટે: $x^2 - 1 = 0 \implies x = \pm 1$,જે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. તેથી,ગણ $\{-1, 1\}$ છે.
વિકલ્પ $B$ માટે: $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$. કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી આ સમીકરણનું સમાધાન કરે તેવી કોઈ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ નથી. આમ,આ એક ખાલી ગણ છે.
વિકલ્પ $C$ માટે: $x^2 - 9 = 0 \implies x = \pm 3$,જે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. તેથી,ગણ $\{-3, 3\}$ છે.
વિકલ્પ $D$ માટે: $x^2 - x - 2 = 0 \implies (x-2)(x+1) = 0 \implies x = 2, -1$,જે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. તેથી,ગણ $\{-1, 2\}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ગણ $A$ માટેની શરતો:
$1$) $x^2 = 16 \implies x = 4$ અથવા $x = -4$.
$2$) $2x = 6 \implies x = 3$.
કોઈપણ $x$ ની કિંમત બંને સમીકરણોનું એકસાથે સમાધાન કરતી નથી,તેથી આ શરતોનો છેદગણ ખાલી છે.
તેથી,$A = \phi$.

(A) કારણ કે $A \cap B$ એ $A$ નો ઉપગણ છે,એટલે કે $(A \cap B) \subseteq A$.
તેથી,$A$ અને $(A \cap B)$ નો યોગગણ $A$ થાય છે.
$A \cup (A \cap B) = A$.

(A) આપેલ છે કે $bN = \{b, 2b, 3b, \dots\}$ અને $cN = \{c, 2c, 3c, \dots\}$.
છેદગણ $bN \cap cN$ એ $b$ અને $c$ બંનેના સામાન્ય ગુણકોનો બનેલો છે.
$b$ અને $c$ પરસ્પર અવિભાજ્ય હોવાથી,તેમનો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $LCM(b, c) = b \times c$ થાય.
તેથી,$bN \cap cN = (bc)N$.
આને $dN$ સાથે સરખાવતા,આપણને $d = bc$ મળે છે.

(A) ગણના યોગ પર કાર્તેઝિયન ગુણાકારના વિભાજનના નિયમ મુજબ,કોઈપણ ત્રણ ગણ $A, B$ અને $C$ માટે:
$A \times (B \cup C) = (A \times B) \cup (A \times C)$.

(C) ગણોના યોગ પર કાર્તેઝિયન ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મ મુજબ,આપણી પાસે છે:
$R \times (P \cup Q) = (R \times P) \cup (R \times Q)$

(D) જે ગણમાં એક પણ ઘટક ન હોય તેને ખાલી ગણ કહેવામાં આવે છે.
સેટ-બિલ્ડર સ્વરૂપમાં,તેને એવી શરત દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જે કોઈ પણ ઘટક દ્વારા સંતોષી શકાતી નથી.
ઉદાહરણ તરીકે,$\{x : x \neq x\}$ એ એક ખાલી ગણ છે કારણ કે કોઈ પણ ઘટક પોતાની જાતથી અસમાન હોઈ શકે નહીં.
તેથી,સેટ-બિલ્ડર સ્વરૂપમાં સાચું નિરૂપણ $\{x : x \neq x\}$ છે.

(B) તર્કશાસ્ત્રના તાદાત્મ્યના નિયમ મુજબ,કોઈપણ ઘટક $x$ માટે $x = x$ હોવું આવશ્યક છે.
અહીં આપેલી શરત $x \ne x$ છે,જે કોઈ પણ ઘટક માટે શક્ય નથી.
તેથી,ગણ $A$ માં એક પણ ઘટક નથી.
જે ગણમાં એક પણ ઘટક ન હોય તેને ખાલી ગણ કહેવામાં આવે છે,જેને $\{\}$ અથવા $\phi$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) આપેલ ગણ $A = \{ \phi, \{ \phi \} \}$ છે.
ગણ $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n(A) = 2$ છે.
ઘાતગણ $\mathcal{P}(A)$ માં $2^{n(A)} = 2^2 = 4$ ઘટકો હોય.
ઘાતગણના ઘટકો એ $A$ ના ઉપગણો છે.
$A$ ના ઉપગણો $\phi$,$\{ \phi \}$,$\{ \{ \phi \} \}$,અને $\{ \phi, \{ \phi \} \} = A$ છે.
તેથી,$\mathcal{P}(A) = \{ \phi, \{ \phi \}, \{ \{ \phi \} \}, A \}$.

(B) ગણ $Q$ ને $Q = \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots\}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કારણ કે $y \in N$ (જ્યાં $N = \{1, 2, 3, \dots\}$),$y$ ની સૌથી નાની કિંમત $1$ છે.
$y = 1$ માટે,$x = \frac{1}{1} = 1$.
તેથી,$1 \in Q$ સાચું છે.
$0 \in Q$ માટે,આપણે $\frac{1}{y} = 0$ ની જરૂર પડે,જે કોઈપણ શાંત $y \in N$ માટે અશક્ય છે.
$2 \in Q$ માટે,આપણે $\frac{1}{y} = 2$ ની જરૂર પડે,તેથી $y = \frac{1}{2}$,જે પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી.
$\frac{2}{3} \in Q$ માટે,આપણે $\frac{1}{y} = \frac{2}{3}$ ની જરૂર પડે,તેથી $y = \frac{3}{2}$,જે પ્રાકૃતિક સંખ્યા નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) વ્યાખ્યા મુજબ,ખાલી ગણ,જેને $\{\}$ અથવા $\phi$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તે દરેક ગણનો ઉપગણ છે.
તેથી,$\{\}$ એ વિકલ્પોમાં આપેલા અન્ય તમામ ગણનો ઉપગણ છે.

(B) ગણ $S$ એ $S = \{0, 1, 5, 4, 7\}$ તરીકે આપેલ છે.
ગણ $S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n = 5$ છે.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણના ઉપગણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $2^n$ છે.
તેથી,$S$ ના ઉપગણોની સંખ્યા $2^5 = 32$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ગણ $A$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n = 5$ છે.
$n$ ઘટકો ધરાવતા ગણના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $2^n$ છે.
અહીં,કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^5 = 32$ છે.
ઉચિત ઉપગણ એટલે ગણ $A$ સિવાયના $A$ ના તમામ ઉપગણો.
તેથી,ઉચિત ઉપગણોની સંખ્યા $2^n - 1$ થાય.
$n$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $2^5 - 1 = 32 - 1 = 31$ મળે છે.

(A) બે ગણ $A$ અને $B$ નો યોગગણ એવા તમામ ઘટકોનો ગણ છે જે $A$ માં હોય,$B$ માં હોય અથવા બંનેમાં હોય.
જો $A \cup B = A$ હોય,તો તેનો અર્થ એ છે કે $B$ નો દરેક ઘટક પહેલેથી જ $A$ માં હોવો જોઈએ.
ઉપગણની વ્યાખ્યા મુજબ,જો $B$ નો દરેક ઘટક $A$ માં હોય,તો $B$ એ $A$ નો ઉપગણ છે,જેને $B \subseteq A$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,$A \cup B = A$ ની શરત ત્યારે જ સાચી પડે જો $B \subseteq A$ હોય.

(C) વ્યાખ્યા મુજબ,બે ગણ $A$ અને $B$ ને પરસ્પર અલગ ગણ કહેવાય છે જો તેમની વચ્ચે કોઈ સામાન્ય ઘટક ન હોય.
આનો અર્થ એ છે કે તેમનો છેદગણ ખાલી ગણ છે,જેને $A \cap B = \phi$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) આપેલ છે કે $A \subseteq B$,જેનો અર્થ છે કે ગણ $A$ નો દરેક ઘટક ગણ $B$ નો પણ ઘટક છે.
છેદગણની વ્યાખ્યા મુજબ,$A \cap B$ માં એવા તમામ ઘટકોનો સમાવેશ થાય છે જે ગણ $A$ અને ગણ $B$ બંનેમાં સામાન્ય હોય.
કારણ કે $A$ ના તમામ ઘટકો પહેલેથી જ $B$ માં છે,તેથી $A$ અને $B$ વચ્ચેના સામાન્ય ઘટકો ફક્ત $A$ ના ઘટકો જ છે.
તેથી,$A \cap B = A$.

(A) આપેલ છે કે $aN = \{ ax : x \in N \}$.
આ $a$ ના તમામ ગુણકોનો ગણ દર્શાવે છે.
તેથી,$3N = \{ 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, \dots \}$ અને $7N = \{ 7, 14, 21, 28, \dots \}$.
છેદગણ $3N \cap 7N$ માં એવી તમામ સંખ્યાઓનો સમાવેશ થાય છે જે $3$ અને $7$ બંનેના ગુણક હોય.
$3$ અને $7$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $\text{LCM}(3, 7) = 21$ છે.
આમ,$3N \cap 7N = \{ 21, 42, 63, \dots \} = 21N$.
આને $kN$ સાથે સરખાવતા,આપણને $k = 21$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $A \subseteq B$,જેનો અર્થ છે કે ગણ $A$ ના દરેક ઘટક ગણ $B$ માં પણ છે.
તેથી,$A$ અને $B$ નો છેદગણ એ ગણ $A$ જ થાય,એટલે કે $A \cap B = A$.
કારણ કે $n(A) = 3$,તેથી $n(A \cap B) = n(A) = 3$.

(B) ગણના વિભાજનના નિયમ મુજબ,એક ગણનો અન્ય બે ગણના યોગગણ સાથેનો છેદગણ નીચે મુજબ મળે છે:
$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
આ ગણ ક્રિયાઓનો એક મૂળભૂત ગુણધર્મ છે.

(C) શેષ પ્રમેય મુજબ,જ્યારે બહુપદી $P(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શેષ $P(a)$ મળે છે.
અહીં,આપણે $(x - 1)$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ,તેથી $a = 1$.
આપણે $P(1)$ ની ગણતરી કરવાની જરૂર છે:
$P(1) = 1 + (1) + (1)^3 + (1)^9 + (1)^{27} + (1)^{81} + (1)^{243}$
કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે $1^n = 1$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$P(1) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1$
$P(1) = 7$
તેથી,શેષ $7$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $y = 3[x] + 1 = 4[x - 1] - 10$ છે.
$Greatest$ $Integer$ $Function$ ના ગુણધર્મ $[x - n] = [x] - n$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n$ પૂર્ણાંક છે,આપણને મળે છે $[x - 1] = [x] - 1$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$3[x] + 1 = 4([x] - 1) - 10$
$3[x] + 1 = 4[x] - 4 - 10$
$3[x] + 1 = 4[x] - 14$
$[x]$ માટે ઉકેલતા:
$4[x] - 3[x] = 1 + 14$
$[x] = 15$.
હવે,$y$ ની કિંમત શોધવા માટે $[x] = 15$ મૂકતા:
$y = 3(15) + 1 = 45 + 1 = 46$.
આપણે $[x + 2y]$ ની કિંમત શોધવાની છે:
$[x + 2y] = [x + 2(46)] = [x + 92]$.
$92$ એ પૂર્ણાંક હોવાથી,$[x + n] = [x] + n$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$[x + 92] = [x] + 92 = 15 + 92 = 107$.

(B) ગણ $A$ માટે,$\sin(\theta) = \tan(\theta)$.
આનો અર્થ છે $\sin(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$,જે આપે છે $\sin(\theta)(1 - \frac{1}{\cos(\theta)}) = 0$.
તેથી,$\sin(\theta) = 0$ અથવા $\cos(\theta) = 1$.
જો $\sin(\theta) = 0$,તો $\theta = n\pi$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
જો $\cos(\theta) = 1$,તો $\theta = 2n\pi$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
આથી,$A = \{ n\pi : n \in \mathbb{Z} \} = \{ 0, \pm\pi, \pm 2\pi, \dots \}$.
ગણ $B$ માટે,$\cos(\theta) = 1$,જેનો અર્થ છે $\theta = 2n\pi$,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$.
તેથી,$B = \{ 2n\pi : n \in \mathbb{Z} \} = \{ 0, \pm 2\pi, \pm 4\pi, \dots \}$.
બંને ગણની સરખામણી કરતા,$B$ નો દરેક ઘટક $A$ માં છે,તેથી $B \subset A$.
જોકે,$\pi \in A$ પણ $\pi \notin B$,તેથી $A \not\subset B$.