Relation between A.P., G.P. Questions in Hindi

(B) धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए $A.M. > G.M.$ होने के कारण,हमारे पास है:
$\frac{a + b}{2} > \sqrt{ab}$
$\frac{b + c}{2} > \sqrt{bc}$
$\frac{c + a}{2} > \sqrt{ca}$
इन तीनों असमिकाओं का गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{8} > \sqrt{ab \cdot bc \cdot ca}$
$\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{8} > \sqrt{a^2 b^2 c^2}$
$\frac{(a + b)(b + c)(c + a)}{8} > abc$
$(a + b)(b + c)(c + a) > 8abc$.

(A) माना $G.P.$ में तीन संख्याएँ $\frac{a}{r}, a, ar$ हैं।
शर्त $I$: $\frac{a}{r} + a + ar = 14$
$\Rightarrow a(\frac{1}{r} + 1 + r) = 14$ ... $(i)$
शर्त $II$: $\frac{a}{r} + 1, a + 1, ar - 1$ एक $A.P.$ में हैं।
अतः,$2(a + 1) = (\frac{a}{r} + 1) + (ar - 1)$
$2a + 2 = \frac{a}{r} + ar$
$2a + 2 = a(\frac{1}{r} + r)$ ... $(ii)$
$(i)$ से,$a(\frac{1}{r} + r) = 14 - a$. इसे $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2a + 2 = 14 - a$
$3a = 12 \Rightarrow a = 4$.
$a = 4$ को $(i)$ में रखने पर:
$4(\frac{1}{r} + 1 + r) = 14$
$\frac{1}{r} + 1 + r = 3.5$
$r + \frac{1}{r} = 2.5$
$2r^2 - 5r + 2 = 0$
$(2r - 1)(r - 2) = 0$
अतः,$r = 2$ या $r = 0.5$.
यदि $r = 2$ है,तो संख्याएँ $2, 4, 8$ हैं।
यदि $r = 0.5$ है,तो संख्याएँ $8, 4, 2$ हैं।
दोनों स्थितियों में,सबसे बड़ी संख्या $8$ है।

(A) माना कि दो राशियाँ $a$ और $b$ हैं।
चूँकि $a, {A_1}, {A_2}, b$ $A.P.$ में हैं,इसलिए ${A_1} + {A_2} = a + b$ ......$(i)$
चूँकि $a, {G_1}, {G_2}, b$ $G.P.$ में हैं,इसलिए ${G_1}{G_2} = ab$ ......$(ii)$
चूँकि $a, {H_1}, {H_2}, b$ $H.P.$ में हैं,इसलिए $\frac{1}{{{H_1}}} + \frac{1}{{{H_2}}} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$.
$(i)$ और $(ii)$ का उपयोग करने पर,$\frac{{{H_1} + {H_2}}}{{{H_1}{H_2}}} = \frac{{{A_1} + {A_2}}}{{{G_1}{G_2}}}$.
अतः,$\frac{{{G_1}{G_2}}}{{{H_1}{H_2}}} = \frac{{{A_1} + {A_2}}}{{{H_1} + {H_2}}}$.

(A) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
समांतर माध्य $A = \frac{x+y}{2}$ है और गुणोत्तर माध्य $G = \sqrt{xy}$ है।
हरात्मक माध्य $H = \frac{2xy}{x+y} = 4$ दिया गया है।
चूँकि $A = \frac{x+y}{2}$,इसलिए $x+y = 2A$ है। हरात्मक माध्य के सूत्र में मान रखने पर: $\frac{2xy}{2A} = 4$ $\Rightarrow \frac{xy}{A} = 4$ $\Rightarrow xy = 4A$.
चूँकि $G^2 = xy$,इसलिए $G^2 = 4A$ है।
संबंध $2A + G^2 = 27$ में $G^2 = 4A$ रखने पर:
$2A + 4A = 27$ $\Rightarrow 6A = 27$ $\Rightarrow A = \frac{27}{6} = 4.5$.
अब,$x+y = 2A = 2(4.5) = 9$ और $xy = 4A = 4(4.5) = 18$.
$x$ और $y$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $t^2 - 9t + 18 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(t-6)(t-3) = 0$.
अतः,संख्याएँ $6$ और $3$ हैं।

(C) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि संख्याओं का अनुपात $4:1$ है,इसलिए $a = 4b$.
हम जानते हैं कि $A.M. = \frac{a+b}{2}$ और $G.M. = \sqrt{ab}$.
प्रश्न के अनुसार,$A.M. = G.M. + 2$.
मान रखने पर,$\frac{4b+b}{2} = \sqrt{4b \times b} + 2$.
$\frac{5b}{2} = \sqrt{4b^2} + 2$.
$\frac{5b}{2} = 2b + 2$.
$2$ से गुणा करने पर,$5b = 4b + 4$.
$b = 4$.
चूँकि $a = 4b$,इसलिए $a = 4(4) = 16$.
अतः,संख्याएँ $16$ और $4$ हैं।

(B) हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं के लिए $A.M. > G.M. > H.M.$ होता है।
दी गई संख्याएँ $\frac{144}{15} = 9.6$,$15$,और $12$ हैं।
इन मानों की तुलना करने पर,$15 > 12 > 9.6$ प्राप्त होता है।
अतः,$A.M. = 15$,$G.M. = 12$,और $H.M. = \frac{144}{15}$ है।
प्रश्न में $H.M., G.M., A.M.$ के क्रम में मान पूछे गए हैं।
अतः,अभीष्ट क्रम $\frac{144}{15}, 12, 15$ है।

(C) दिया गया है कि $a = \frac{x + y}{2}$,$g = \sqrt{xy}$,और $h = \frac{2xy}{x + y}$ है।
$g^2$ की गणना करने पर:
$g^2 = (\sqrt{xy})^2 = xy$ ... $(i)$
$ah$ का गुणनफल ज्ञात करने पर:
$ah = \left(\frac{x + y}{2}\right) \times \left(\frac{2xy}{x + y}\right) = xy$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से,हम देखते हैं कि $g^2 = ah$,जिसका अर्थ है कि $g = \sqrt{ah}$ है।
अतः,$g$,$a$ और $h$ के बीच का गुणोत्तर माध्य है।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए $b = a + d$ और $c = a + 2d$ लें,जहाँ $d > 0$ क्योंकि $a < b < c$ है।
दिया गया है कि $a^2, b^2, c^2$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $(b^2)^2 = a^2 c^2$,जिसका अर्थ है $b^4 = a^2 c^2$।
वर्गमूल लेने पर,$b^2 = \pm ac$।
यदि $b^2 = ac$ है,तो $a, b, c$ एक $G.P.$ में होंगे। चूंकि वे $A.P.$ में भी हैं,इसलिए $a = b = c$,जो $a < b < c$ का विरोधाभास करता है।
अतः,$b^2 = -ac$।
$b = a + d$ और $c = a + 2d$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(a + d)^2 = -a(a + 2d)$
$a^2 + d^2 + 2ad = -a^2 - 2ad$
$2a^2 + 4ad + d^2 = 0$।
$a + b + c = \frac{3}{2}$ दिया गया है,इसलिए $3a + 3d = \frac{3}{2}$,जिसका अर्थ है $a + d = \frac{1}{2}$,यानी $d = \frac{1}{2} - a$।
$d$ का मान $2a^2 + 4ad + d^2 = 0$ में रखने पर:
$4a^2 - 4a - 1 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$a = \frac{1}{2} \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$।
चूंकि $d = \frac{1}{2} - a > 0$ है,इसलिए $a < \frac{1}{2}$ होना चाहिए।
अतः,$a = \frac{1}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(A) दिया गया है कि $a^2(b + c), b^2(c + a), c^2(a + b)$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
प्रत्येक पद को $abc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a^2(b + c)}{abc}, \frac{b^2(c + a)}{abc}, \frac{c^2(a + b)}{abc}$ समांतर श्रेणी में हैं।
इसे सरल करने पर:
$\frac{a(b + c)}{bc}, \frac{b(c + a)}{ac}, \frac{c(a + b)}{ab}$ समांतर श्रेणी में हैं।
$\frac{ab + ac}{bc}, \frac{bc + ab}{ac}, \frac{ca + bc}{ab}$ समांतर श्रेणी में हैं।
प्रत्येक पद में $1$ जोड़ने पर:
$\frac{ab + ac}{bc} + 1, \frac{bc + ab}{ac} + 1, \frac{ca + bc}{ab} + 1$ समांतर श्रेणी में हैं।
$\frac{ab + ac + bc}{bc}, \frac{bc + ab + ac}{ac}, \frac{ca + bc + ab}{ab}$ समांतर श्रेणी में हैं।
$(ab + bc + ca)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{bc}, \frac{1}{ac}, \frac{1}{ab}$ समांतर श्रेणी में हैं।
$abc$ से गुणा करने पर:
$a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं।

(A) दिया गया है कि $x, y, z$ $AP$ में हैं,इसलिए $2y = x + z$।
इसका अर्थ है $z = 2y - x$।
दिया गया है कि $x, y, t$ $GP$ में हैं,इसलिए $y^2 = xt$।
इसका अर्थ है $t = \frac{y^2}{x}$।
अब,अनुक्रम $x, x - y, t - z$ पर विचार करें।
$t$ और $z$ का मान रखने पर:
$t - z = \frac{y^2}{x} - (2y - x) = \frac{y^2 - 2xy + x^2}{x} = \frac{(x - y)^2}{x}$।
अनुक्रम $x, x - y, t - z$ के $GP$ में होने के लिए,मध्य पद का वर्ग प्रथम और तृतीय पद के गुणनफल के बराबर होना चाहिए:
$(x - y)^2 = x \times (t - z)$।
$(t - z)$ का मान रखने पर:
$x \times \frac{(x - y)^2}{x} = (x - y)^2$।
चूँकि यह शर्त पूरी होती है,इसलिए $x, x - y, t - z$ $GP$ में हैं।

(B) और $b$ के बीच का गुणोत्तर माध्य $\sqrt{ab} = (ab)^{1/2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\frac{a^{n+1} + b^{n+1}}{a^n + b^n} = (ab)^{1/2}$।
तिर्यक गुणा करने पर,$a^{n+1} + b^{n+1} = (ab)^{1/2} (a^n + b^n)$।
$a^{n+1} + b^{n+1} = a^{n+1/2} b^{1/2} + a^{1/2} b^{n+1/2}$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a^{n+1} - a^{n+1/2} b^{1/2} = a^{1/2} b^{n+1/2} - b^{n+1}$।
$a^{n+1/2} (a^{1/2} - b^{1/2}) = b^{n+1/2} (a^{1/2} - b^{1/2})$।
यदि $a \neq b$ है,तो $(a^{1/2} - b^{1/2})$ से भाग देने पर:
$a^{n+1/2} = b^{n+1/2}$।
$(a/b)^{n+1/2} = 1 = (a/b)^0$।
घातांकों की तुलना करने पर,$n + 1/2 = 0$,जिससे $n = -1/2$ प्राप्त होता है।

(C) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि $A = \frac{a+b}{2}$ और $G = \sqrt{ab}$.
इससे हमें $a+b = 2A$ और $ab = G^2$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$.
मान रखने पर,$(a-b)^2 = (2A)^2 - 4G^2 = 4(A^2 - G^2)$.
अतः,$a-b = 2\sqrt{A^2 - G^2}$ (मानते हुए कि $a > b$).
समीकरणों $a+b = 2A$ और $a-b = 2\sqrt{A^2 - G^2}$ को जोड़ने पर,$2a = 2A + 2\sqrt{A^2 - G^2}$,जिसका अर्थ है $a = A + \sqrt{A^2 - G^2}$.
समीकरणों को घटाने पर,$2b = 2A - 2\sqrt{A^2 - G^2}$,जिसका अर्थ है $b = A - \sqrt{A^2 - G^2}$.
अतः,अभीष्ट संख्याएँ $A \pm \sqrt{A^2 - G^2}$ हैं।

(D) $a > 0$ के लिए,दिया गया व्यंजक $S = a^{-5} + a^{-4} + 3a^{-3} + 1 + a^8 + a^{10}$ है।
चूंकि सभी पद धनात्मक हैं,हम समांतर माध्य और गुणोत्तर माध्य $(AM \geq GM)$ असमिका का उपयोग करेंगे।
यहाँ $7$ पद हैं: $a^{-5}, a^{-4}, a^{-3}, a^{-3}, a^{-3}, a^8, a^{10}$।
$\frac{a^{-5} + a^{-4} + a^{-3} + a^{-3} + a^{-3} + a^8 + a^{10}}{7} \geq (a^{-5} \cdot a^{-4} \cdot a^{-3} \cdot a^{-3} \cdot a^{-3} \cdot a^8 \cdot a^{10})^{1/7}$
$\frac{a^{-5} + a^{-4} + 3a^{-3} + a^8 + a^{10}}{7} \geq (a^{-5-4-3-3-3+8+10})^{1/7}$
$\frac{a^{-5} + a^{-4} + 3a^{-3} + a^8 + a^{10}}{7} \geq (a^0)^{1/7} = 1$
$a^{-5} + a^{-4} + 3a^{-3} + a^8 + a^{10} \geq 7$
मूल व्यंजक में $1$ जोड़ने पर:
$S = (a^{-5} + a^{-4} + 3a^{-3} + a^8 + a^{10}) + 1 \geq 7 + 1 = 8$
अतः,न्यूनतम मान $8$ है।

(B) माना प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d$ है।
समांतर श्रेणी के पद $t_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिए जाते हैं।
अतः,$t_2 = 1 + d$,$t_{10} = 1 + 9d$,और $t_{34} = 1 + 33d$.
चूंकि $t_2, t_{10}, t_{34}$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $(t_{10})^2 = t_2 \times t_{34}$ होगा।
$(1 + 9d)^2 = (1 + d)(1 + 33d)$.
$1 + 18d + 81d^2 = 1 + 33d + d + 33d^2$.
$1 + 18d + 81d^2 = 1 + 34d + 33d^2$.
$81d^2 - 33d^2 + 18d - 34d = 0$.
$48d^2 - 16d = 0$.
$16d(3d - 1) = 0$.
चूंकि $d \neq 0$,इसलिए $3d - 1 = 0$,जिससे $d = 1/3$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $a, b$ और $c$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
इसलिए,$2b = a + c$ है।
पदों $2^{ax + 1}, 2^{bx + 1}$ और $2^{cx + 1}$ पर विचार करें।
इन पदों के गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में होने के लिए,क्रमागत पदों का अनुपात समान होना चाहिए:
$\frac{2^{bx + 1}}{2^{ax + 1}} = \frac{2^{cx + 1}}{2^{bx + 1}}$
$2^{(b - a)x} = 2^{(c - b)x}$
चूंकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $b - a = c - b = d$ (सार्व अंतर)।
अतः,$2^{dx} = 2^{dx}$,जो प्रत्येक $x \neq 0$ के लिए हमेशा सत्य है।
इसलिए,$2^{ax + 1}, 2^{bx + 1}$ और $2^{cx + 1}$ प्रत्येक $x \neq 0$ के लिए गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

(B) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि गुणोत्तर माध्य $G = \sqrt{ab} = 4$,इसलिए $ab = 16$ है।
दिया गया है कि समांतर माध्य $A = \frac{a+b}{2} = 5$,इसलिए $a+b = 10$ है।
समांतर माध्य $(A)$,गुणोत्तर माध्य $(G)$ और हरात्मक माध्य $(H)$ के बीच का संबंध $G^2 = AH$ है।
मान रखने पर,$4^2 = 5 \times H$.
$16 = 5H$.
अतः,$H = \frac{16}{5}$.

(D) $p$ और $q$ का समांतर माध्य $(AM)$ $\frac{p+q}{2}$ है।
$p$ और $q$ का गुणोत्तर माध्य $(GM)$ $\sqrt{pq}$ है।
दिया गया है कि $AM = 2 \times GM$,इसलिए $\frac{p+q}{2} = 2\sqrt{pq}$।
इसका अर्थ है $p+q = 4\sqrt{pq}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(p+q)^2 = 16pq$,जो $p^2 - 14pq + q^2 = 0$ में सरल हो जाता है।
$q^2$ से विभाजित करने पर,$(\frac{p}{q})^2 - 14(\frac{p}{q}) + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
माना $x = \frac{p}{q}$। तब $x^2 - 14x + 1 = 0$।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{14 \pm \sqrt{196 - 4}}{2} = 7 \pm 4\sqrt{3}$।
चूंकि $p > q$,इसलिए $x > 1$,अतः $x = 7 + 4\sqrt{3}$।
इस प्रकार,अनुपात $p:q$ का मान $(7 + 4\sqrt{3}) : 1$ है।

(A) हम जानते हैं कि दो संख्याओं के लिए समांतर माध्य $(AM)$,गुणोत्तर माध्य $(GM)$ और हरात्मक माध्य $(HM)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$GM^2 = AM \times HM$
दिया गया है:
$AM = 16$
$HM = \frac{63}{4}$
मान रखने पर:
$GM^2 = 16 \times \frac{63}{4}$
$GM^2 = 4 \times 63$
$GM^2 = 252$
$GM = \sqrt{252}$
$GM = \sqrt{36 \times 7}$
$GM = 6\sqrt{7}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) माना समांतर श्रेणी का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है। माना गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद $A$ और सार्व अनुपात $R$ है।
$a + (p - 1)d = A R^{p - 1} = x$
$a + (q - 1)d = A R^{q - 1} = y$
$a + (r - 1)d = A R^{r - 1} = z$
प्रत्येक समीकरण के लिए दोनों पक्षों का लघुगणक (logarithm) लेने पर:
$\ln(x) = \ln(A) + (p - 1)\ln(R)$
$\ln(y) = \ln(A) + (q - 1)\ln(R)$
$\ln(z) = \ln(A) + (r - 1)\ln(R)$
व्यंजक $E = x^{y - z} \cdot y^{z - x} \cdot z^{x - y}$ पर विचार करें।
$\ln(E) = (y - z)\ln(x) + (z - x)\ln(y) + (x - y)\ln(z)$ लेने पर।
$\ln(x), \ln(y), \ln(z)$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\ln(E) = (y - z)(\ln(A) + (p - 1)\ln(R)) + (z - x)(\ln(A) + (q - 1)\ln(R)) + (x - y)(\ln(A) + (r - 1)\ln(R))$
$\ln(E) = \ln(A)(y - z + z - x + x - y) + \ln(R)((p - 1)(y - z) + (q - 1)(z - x) + (r - 1)(x - y))$
चूंकि $(y - z + z - x + x - y) = 0$ और दूसरा पद भी $0$ हो जाता है,इसलिए:
$\ln(E) = 0 \implies E = e^0 = 1$.

(B) यहाँ,$A = 2G$ दिया गया है।
$\frac{a+b}{2} = 2\sqrt{ab} \implies \frac{a+b}{2\sqrt{ab}} = \frac{2}{1}$।
योगानुपात और अंतरानुपात (Componendo and Dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a+b-2\sqrt{ab}} = \frac{2+1}{2-1} = 3$।
$\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = 3 \implies \frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = \sqrt{3}$।
पुनः योगानुपात और अंतरानुपात का उपयोग करने पर:
$\frac{2\sqrt{a}}{2\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$।
$\frac{a}{b} = \left(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}\right)^2 = \frac{4+2\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$।

(C) और $b$ का समांतर माध्य $\frac{a+b}{2}$ होता है।
दिया गया है,$\frac{a^{n+1} + b^{n+1}}{a^n + b^n} = \frac{a+b}{2}$.
वज्र-गुणन करने पर,$2(a^{n+1} + b^{n+1}) = (a+b)(a^n + b^n)$.
$2a^{n+1} + 2b^{n+1} = a^{n+1} + ab^n + ba^n + b^{n+1}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $a^{n+1} - ab^n - ba^n + b^{n+1} = 0$.
$a^n(a - b) - b^n(a - b) = 0$.
$(a^n - b^n)(a - b) = 0$.
चूंकि $a \neq b$,इसलिए $a^n - b^n = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $a^n = b^n$.
अतः,$(\frac{a}{b})^n = 1 = (\frac{a}{b})^0$.
इसलिए,$n = 0$.

(C) किन्हीं दो धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,समांतर माध्य $A = \frac{a+b}{2}$,गुणोत्तर माध्य $G = \sqrt{ab}$,और हरात्मक माध्य $H = \frac{2ab}{a+b}$ होता है।
हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं के लिए,$A \ge G \ge H$ होता है।
विशेष रूप से,$A \times H = \frac{a+b}{2} \times \frac{2ab}{a+b} = ab = G^2$।
चूंकि $G^2 = AH$,यह दर्शाता है कि $G$,$A$ और $H$ का गुणोत्तर माध्य है,जो भिन्न संख्याओं के लिए $A > G > H$ की पुष्टि करता है।

(A) किन्हीं दो अलग-अलग धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,हम जानते हैं कि $A_1 > G_1 > H_1$ होता है।
परिभाषा के अनुसार,$A_2 = \frac{A_1 + H_1}{2}$ है।
चूंकि $A_1 > H_1$,इसलिए $A_1 > A_2 > H_1$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$A_3 = \frac{A_2 + H_2}{2}$ है।
चूंकि $A_2 > H_2$,इसलिए $A_2 > A_3 > H_2$ प्राप्त होता है।
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर,हमें अनुक्रम $A_1 > A_2 > A_3 > \dots > A_n > \dots$ प्राप्त होता है।

(C) धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a_1, a_2, \dots, a_n$ के लिए,समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य $(AM-GM)$ असमिका के अनुसार $AM \ge GM$ होता है।
$\therefore \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge (a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n)^{\frac{1}{n}}$
चूँकि $a_1 \cdot a_2 \cdot \dots \cdot a_n = 1$ दिया गया है,इसलिए:
$\therefore \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge (1)^{\frac{1}{n}}$
$\therefore \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n} \ge 1$
$\therefore a_1 + a_2 + \dots + a_n \ge n$
अतः,संख्याओं का योग $n$ से कम संभव नहीं है।

(D) समांतर माध्य $(AM)$ = $\frac{a+b}{2}$ और हरात्मक माध्य $(HM)$ = $\frac{2ab}{a+b}$ है।
दिया गया है $\frac{AM}{HM} = \frac{m}{n}$,अतः $\frac{(a+b)^2}{4ab} = \frac{m}{n}$.
इसे हल करने पर $\frac{a}{b} = \frac{m + \sqrt{m^2 - n^2}}{m - \sqrt{m^2 - n^2}}$ प्राप्त होता है।

(D) यदि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,तो $2b = a + c$।
यदि $a, b, c$ $G.P.$ में हैं,तो $b^2 = ac$।
पहले समीकरण से,$c = 2b - a$।
इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर: $b^2 = a(2b - a)$।
$b^2 = 2ab - a^2$।
$a^2 - 2ab + b^2 = 0$।
$(a - b)^2 = 0$।
इसका अर्थ है कि $a = b$।
चूंकि $a = b$,$2b = a + c$ में रखने पर $2a = a + c$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $a = c$।
अतः,$a = b = c$।

(A) माना $a^{1/x} = b^{1/y} = c^{1/z} = k$ (जहाँ $k \neq 1$).
तब $a = k^x, b = k^y, c = k^z$.
चूंकि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ होगा।
मान रखने पर,$(k^y)^2 = k^x \cdot k^z$ प्राप्त होता है।
$k^{2y} = k^{x+z}$.
घातांकों की तुलना करने पर,$2y = x + z$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $x, y, z$ समांतर श्रेणी में हैं।

(C) माना दो धनात्मक संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
गुणोत्तर माध्य $(GM)$ = $\sqrt{ab}$ और हरात्मक माध्य $(HM)$ = $\frac{2ab}{a+b}$ है।
दिया गया अनुपात $\frac{HM}{GM} = \frac{4}{5}$ है।
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\frac{2ab}{a+b}}{\sqrt{ab}} = \frac{4}{5}$।
इसे सरल करने पर $\frac{2\sqrt{ab}}{a+b} = \frac{4}{5}$,जिसका अर्थ है $\frac{\sqrt{ab}}{a+b} = \frac{2}{5}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{ab}{(a+b)^2} = \frac{4}{25}$।
माना $x = \frac{a}{b}$ है। तब $\frac{x}{(x+1)^2} = \frac{4}{25}$।
$25x = 4(x^2 + 2x + 1) \implies 4x^2 - 17x + 4 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(4x - 1)(x - 4) = 0$।
चूँकि $a > b$,इसलिए $x = \frac{a}{b} > 1$,अतः $x = 4$।
इसलिए,$a : b = 4 : 1$।

(A) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
चूंकि $p$ और $q$ $a$ और $b$ के बीच दो समांतर माध्य हैं,इसलिए अनुक्रम $a, p, q, b$ समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में है।
माना कि सार्व अंतर $d$ है।
तब $p = a + d$,$q = a + 2d$,और $b = a + 3d$.
इनसे,$d = q - p$,इसलिए $a = p - d = p - (q - p) = 2p - q$.
साथ ही,$b = a + 3d = (2p - q) + 3(q - p) = 2p - q + 3q - 3p = 2q - p$.
चूंकि $G$ $a$ और $b$ के बीच का गुणोत्तर माध्य है,इसलिए $G^2 = ab$.
$a$ और $b$ के मान रखने पर,हमें $G^2 = (2p - q)(2q - p)$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि दो धनात्मक वास्तविक संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
तब,समांतर माध्य $A = \frac{a+b}{2}$ है।
गुणोत्तर माध्य $G = \sqrt{ab}$ है।
हरात्मक माध्य $H = \frac{2ab}{a+b}$ है।
अब,गुणनफल $AH = \left( \frac{a+b}{2} \right) \times \left( \frac{2ab}{a+b} \right) = ab$ है।
साथ ही,$G^2 = (\sqrt{ab})^2 = ab$ है।
अतः,$G^2 = AH$।

(C) और $b$ का समांतर माध्य $A = \frac{a + b}{2}$ है।
$a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य $G = \sqrt{ab}$ है।
अतः,$A - G = \frac{a + b}{2} - \sqrt{ab}$.
$A - G = \frac{a + b - 2\sqrt{ab}}{2}$.
चूंकि $a = (\sqrt{a})^2$ और $b = (\sqrt{b})^2$,इसलिए $A - G = \frac{(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b}}{2}$.
$A - G = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2} = \left[ \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{2}} \right]^2$.

(A) चूँकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $a + c = 2b$ या $c - b = b - a$ है। मान लीजिए $d = b - a = c - b$ है।
दिया गया है कि $b - a, c - b, a$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $(c - b)^2 = (b - a)a$ है।
समीकरण में $d$ का मान रखने पर,$d^2 = da$ प्राप्त होता है। चूँकि संख्याएँ भिन्न हैं,$d \neq 0$,इसलिए $d = a$ है।
अब,$b - a = a \implies b = 2a$ है।
साथ ही,$c - b = a \implies c = b + a = 2a + a = 3a$ है।
अतः,$a : b : c = a : 2a : 3a = 1 : 2 : 3$ है।

(C) माना दो धनात्मक संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
समांतर माध्य $A = \frac{a+b}{2}$,गुणोत्तर माध्य $G = \sqrt{ab} = 12$,हरात्मक माध्य $H = \frac{2ab}{a+b}$ है।
दिया गया है $A + H = 25$ और $G = 12$।
चूँकि $G^2 = AH$,इसलिए $AH = 12^2 = 144$।
$H = \frac{144}{A}$ को $A + H = 25$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$A + \frac{144}{A} = 25 \implies A^2 - 25A + 144 = 0$।
$(A - 16)(A - 9) = 0$,अतः $A = 16$ या $A = 9$।
चूँकि $A \geq G$,इसलिए $A = 16$ होगा।
अतः,$\frac{a+b}{2} = 16 \implies a+b = 32$।

(C) समांतर श्रेणी $a, x, y, z, b$ के लिए,योग $x + y + z = 15$ है। चूँकि $x, y, z$ पद $a$ और $b$ के बीच में हैं,इसलिए $x+z = a+b$ और $y = \frac{a+b}{2}$ है।
अतः,$x+y+z = \frac{3}{2}(a+b) = 15$,जिसका अर्थ है $a+b = 10$ (समीकरण $1$)।
हरात्मक श्रेणी $a, x, y, z, b$ के लिए,उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}, \frac{1}{b}$ समांतर श्रेणी में हैं।
इसी प्रकार,$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{3}{2}(\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = \frac{5}{3}$ है।
इसका अर्थ है $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{10}{9}$,इसलिए $\frac{a+b}{ab} = \frac{10}{9}$ है।
$a+b=10$ रखने पर,हमें $\frac{10}{ab} = \frac{10}{9}$ प्राप्त होता है,इसलिए $ab = 9$ (समीकरण $2$)।
$a+b=10$ और $ab=9$ को हल करने पर,द्विघात समीकरण $t^2 - 10t + 9 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके हल $(t-9)(t-1) = 0$ हैं।
अतः,$a, b$ के मान $9, 1$ हैं।

(B) माना कि दो धनात्मक संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
यहाँ,$\sqrt{ab} = 6$ और $\frac{a+b}{2} = 6.5$ दिया गया है।
प्रथम समीकरण से,$ab = 36$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण से,$a+b = 13$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$ होता है।
मान रखने पर,$(a-b)^2 = (13)^2 - 4(36) = 169 - 144 = 25$।
अतः,$a-b = 5$ (मानते हुए कि $a > b$)।
समीकरणों $a+b = 13$ और $a-b = 5$ को हल करने पर:
दोनों को जोड़ने पर: $2a = 18 \implies a = 9$।
दोनों को घटाने पर: $2b = 8 \implies b = 4$।
अतः,वे संख्याएँ $4$ और $9$ हैं।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ $AP$ में हैं,इसलिए $\frac{a + c}{2} = b$,जिसका अर्थ है $a + c = 2b$.
दिया गया है कि $a, b, c$ $GP$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$.
पहले समीकरण का वर्ग करने पर: $(a + c)^2 = (2b)^2 = 4b^2$.
$b^2 = ac$ का मान रखने पर: $(a + c)^2 = 4ac$.
यह सरल होकर $(a + c)^2 - 4ac = 0$ यानी $(a - c)^2 = 0$ हो जाता है।
अतः,$a = c$.
$a = c$ को $a + c = 2b$ में रखने पर,हमें $c + c = 2b$ प्राप्त होता है,यानी $2c = 2b$,जिसका अर्थ है $b = c$.
इस प्रकार,$a = b = c$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं।
हरात्मक माध्य $H = 4$ दिया गया है,इसलिए $H = \frac{2xy}{x+y} = 4$,जिसका अर्थ है $xy = 2(x+y)$।
चूंकि समांतर माध्य $A = \frac{x+y}{2}$ है,इसलिए $x+y = 2A$,जिससे $xy = 2(2A) = 4A$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $G^2 = xy$,इसलिए $G^2 = 4A$।
दिए गए समीकरण $2A + G^2 = 27$ में $G^2 = 4A$ रखने पर:
$2A + 4A = 27$ $\Rightarrow 6A = 27$ $\Rightarrow A = 4.5$।
चूंकि $A = \frac{x+y}{2} = 4.5$,इसलिए $x+y = 9$ प्राप्त होता है।
चूंकि $xy = 4A = 4(4.5) = 18$,हमारे पास $x+y = 9$ और $xy = 18$ समीकरण हैं।
$x$ और $y$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $t^2 - 9t + 18 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर: $(t-6)(t-3) = 0$,इसलिए $t = 6$ या $t = 3$।
अतः,वे दो संख्याएँ $6$ और $3$ हैं।

(D) माना कि दो संख्याएँ $x$ और $y$ हैं,जहाँ $x > y$ है।
दिया गया है $x - y = 48$,अतः $x = 48 + y$ $(1)$.
उनके समांतर माध्य और गुणोत्तर माध्य का अंतर $18$ है:
$\frac{x + y}{2} - \sqrt{xy} = 18$
$x + y - 2\sqrt{xy} = 36$ $(2)$.
समीकरण $(2)$ में $x = 48 + y$ रखने पर:
$(48 + y) + y - 2\sqrt{(48 + y)y} = 36$
$48 + 2y - 36 = 2\sqrt{y^2 + 48y}$
$12 + 2y = 2\sqrt{y^2 + 48y}$
$2$ से भाग देने पर:
$6 + y = \sqrt{y^2 + 48y}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(6 + y)^2 = y^2 + 48y$
$36 + 12y + y^2 = y^2 + 48y$
$36 = 36y$
$y = 1$.
चूंकि $x = 48 + y$,इसलिए $x = 48 + 1 = 49$ है।
बड़ी संख्या $49$ है।

(A) चूंकि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ है।
समीकरण $ax^2 + 2bx + c = 0$ को $ax^2 + 2\sqrt{ac}x + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $(\sqrt{a}x + \sqrt{c})^2 = 0$ है।
अतः,मूल $x = -\sqrt{\frac{c}{a}}, -\sqrt{\frac{c}{a}}$ हैं।
यदि समीकरण $dx^2 + 2ex + f = 0$ के मूल समान हैं,तो वह मूल $-\sqrt{\frac{c}{a}}$ होना चाहिए।
$x = -\sqrt{\frac{c}{a}}$ को $dx^2 + 2ex + f = 0$ में रखने पर,$d(\frac{c}{a}) - 2e\sqrt{\frac{c}{a}} + f = 0$ प्राप्त होता है।
$c$ से भाग देने पर,$\frac{d}{a} - \frac{2e}{c}\sqrt{\frac{c}{a}} + \frac{f}{c} = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sqrt{\frac{c}{a}} = \frac{c}{\sqrt{ac}} = \frac{c}{b}$,इसलिए $\frac{d}{a} + \frac{f}{c} = \frac{2e}{c} \cdot \frac{c}{b} = \frac{2e}{b}$ है।
यह शर्त दर्शाती है कि $\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ समांतर श्रेणी में हैं।

(C) हम समांतर माध्य-हरात्मक माध्य असमिका $(AM \geq HM)$ का उपयोग करते हैं।
तीन धनात्मक संख्याओं $a, b, c$ के लिए,समांतर माध्य $\frac{a+b+c}{3}$ है और हरात्मक माध्य $\frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}$ है।
असमिका के अनुसार,$\frac{a+b+c}{3} \geq \frac{3}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}$।
दोनों पक्षों को $3 \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$ से गुणा करने पर,हमें $(a+b+c) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \geq 3 \times 3 = 9$ प्राप्त होता है।
अतः,न्यूनतम मान $9$ है।

(B) मान लीजिए $x_1, x_2, \dots, x_n$ $n$ धनात्मक संख्याएँ हैं,जहाँ $x_1 \times x_2 \times \dots \times x_n = 1$ $(1)$ है।
समांतर माध्य और गुणोत्तर माध्य की असमिका $(AM \ge GM)$ के अनुसार:
$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge (x_1 \times x_2 \times \dots \times x_n)^{1/n}$.
समीकरण $(1)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge (1)^{1/n} = 1$.
अतः,$x_1 + x_2 + \dots + x_n \ge n$.

(B) माना $G.P.$ में तीन धनात्मक संख्याएँ $a, ar, ar^2$ हैं,जहाँ वर्धमान $G.P.$ के लिए $r > 1$ है।
यदि मध्य पद को दोगुना किया जाता है,तो नई संख्याएँ $a, 2ar, ar^2$ हो जाती हैं।
चूँकि ये संख्याएँ $A.P.$ में हैं,इसलिए मध्य पद अन्य दो का समांतर माध्य है:
$2(2ar) = a + ar^2$
$4ar = a(1 + r^2)$
चूँकि $a > 0$,हम $a$ से विभाजित कर सकते हैं:
$r^2 - 4r + 1 = 0$
द्विघात सूत्र $r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$r = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$
चूँकि $G.P.$ वर्धमान है,$r > 1$ है। अतः,$r = 2 + \sqrt{3}$.

(D) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है। पद $T_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिए जाते हैं।
$2^{nd}, 5^{th},$ और $9^{th}$ पद क्रमशः $a+d, a+4d,$ और $a+8d$ हैं।
चूंकि ये पद $G.P.$ में हैं,इसलिए मध्य पद का वर्ग प्रथम और तृतीय पद के गुणनफल के बराबर होगा:
$(a+4d)^2 = (a+d)(a+8d)$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$a^2 + 8ad + 16d^2 = a^2 + 9ad + 8d^2$
$a^2$ को घटाने और पदों को व्यवस्थित करने पर:
$8d^2 = ad$
चूंकि $A.P.$ अचर नहीं है,$d \neq 0$,इसलिए हम $d$ से विभाजित कर सकते हैं:
$a = 8d$
$G.P.$ के पद हैं:
$T_2 = a+d = 8d+d = 9d$
$T_5 = a+4d = 8d+4d = 12d$
$T_9 = a+8d = 8d+8d = 16d$
सार्व अनुपात $r$ है:
$r = \frac{T_5}{T_2} = \frac{12d}{9d} = \frac{4}{3}$

(A) दिया गया है कि $\alpha, \beta, \gamma$ क्रमशः $(ca, ab), (ab, bc), (bc, ca)$ के बीच के गुणोत्तर माध्य हैं।
इसलिए,$\alpha^2 = (ca)(ab) = a^2bc$,$\beta^2 = (ab)(bc) = ab^2c$,और $\gamma^2 = (bc)(ca) = abc^2$ है।
चूंकि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
हमें $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ यानी $a^2bc, ab^2c, abc^2$ की श्रेणी की जाँच करनी है।
प्रत्येक पद को $abc$ से विभाजित करने पर,हमें $a, b, c$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $a^2bc, ab^2c, abc^2$ भी $A.P.$ में होंगे क्योंकि ये $A.P.$ के प्रत्येक पद को अचर $abc$ से गुणा करके प्राप्त किए गए हैं।

(D) दिया गया है कि ${a_1 = h_1 = 2}$ और ${a_{10} = h_{10} = 3}$।
$A.P.$ के लिए,${a_{10} = a_1 + 9d = 3}$,इसलिए ${2 + 9d = 3}$,जिससे ${d = \frac{1}{9}}$ प्राप्त होता है।
अतः,${a_4 = a_1 + 3d = 2 + 3(\frac{1}{9}) = 2 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}}$।
$H.P.$ के लिए,इसके व्युत्क्रम पद $\frac{1}{h_n}$ एक $A.P.$ में होते हैं। मान लीजिए ${H_n = \frac{1}{h_n}}$।
तब ${H_1 = \frac{1}{2}}$ और ${H_{10} = \frac{1}{3}}$।
${H_{10} = H_1 + 9D = \frac{1}{3}}$,इसलिए ${9D = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{6}}$,जिससे ${D = -\frac{1}{54}}$ प्राप्त होता है।
तब ${H_7 = H_1 + 6D = \frac{1}{2} + 6(-\frac{1}{54}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{9} = \frac{7}{18}}$।
चूंकि ${h_7 = \frac{1}{H_7}}$,इसलिए ${h_7 = \frac{18}{7}}$।
अतः,${a_4 h_7 = \frac{7}{3} \times \frac{18}{7} = 6}$।

(D) हम धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए $AM \ge GM$ असमिका का उपयोग करते हैं।
विकल्प $A$ के लिए: $AM \ge GM$ द्वारा,$\frac{a_1^3 + a_2^3 + a_3^3}{3} \ge \sqrt[3]{a_1^3 a_2^3 a_3^3} = a_1 a_2 a_3$,अतः $a_1^3 + a_2^3 + a_3^3 \ge 3a_1 a_2 a_3$। यह सत्य है।
विकल्प $B$ के लिए: $AM \ge GM$ द्वारा,$\frac{a_1/a_2 + a_2/a_3 + a_3/a_1}{3} \ge \sqrt[3]{\frac{a_1}{a_2} \cdot \frac{a_2}{a_3} \cdot \frac{a_3}{a_1}} = 1$,अतः $\frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \frac{a_3}{a_1} \ge 3$। यह सत्य है।
विकल्प $C$ के लिए: $AM \ge HM$ द्वारा,$(a_1 + a_2 + a_3) \ge \frac{9}{1/a_1 + 1/a_2 + 1/a_3}$,जो यह दर्शाता है कि $(a_1 + a_2 + a_3) \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} \right) \ge 9$। यह सत्य है।
विकल्प $D$ के लिए: असमिका $(a_1 + a_2 + a_3) \left( \frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \frac{1}{a_3} \right)^3 \le 27$ सामान्यतः असत्य है। उदाहरण के लिए,यदि $a_1=a_2=a_3=1$ है,तो $(3)(3^3) = 81 \not\le 27$। अतः,विकल्प $D$ सत्य नहीं है।

(C) माना कि यात्रा की कुल दूरी $2d$ है।
यात्रा के पहले आधे भाग के लिए लिया गया समय $t_1 = \frac{d}{v_1}$ है।
यात्रा के दूसरे आधे भाग के लिए लिया गया समय $t_2 = \frac{d}{v_2}$ है।
औसत वेग $V_{av} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2d}{t_1 + t_2}$.
मान रखने पर,$V_{av} = \frac{2d}{\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}} = \frac{2d}{d(\frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2})} = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$.

(B) अंकगणितीय माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका के अनुसार,अऋणात्मक वास्तविक संख्याओं $x, y, z$ के लिए:
$\frac{x^{2017} + y^{2017} + z^{2017}}{3} \geq \sqrt[3]{x^{2017} y^{2017} z^{2017}}$
$x^{2017} + y^{2017} + z^{2017} \geq 3(xyz)^{2017/3}$.
यदि हम $x = y = z = 1$ लेते हैं,तो $E = 1 + 1 + 1 - 2017 = -2014$ प्राप्त होता है।
यदि $x = y = z = 0$ लेते हैं,तो $E = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x, y, z \geq 0$ के लिए $E$ का न्यूनतम मान $-2014$ है।

(C) दिया गया है,गुणोत्तर माध्य $G = \sqrt{x_1 x_2} = 18$,अतः $x_1 x_2 = 18^2 = 324$.
दिया गया है,हरात्मक माध्य $H = \frac{2 x_1 x_2}{x_1 + x_2} = 16\frac{8}{13} = \frac{216}{13}$.
हरात्मक माध्य के सूत्र में $x_1 x_2 = 324$ रखने पर:
$\frac{2(324)}{x_1 + x_2} = \frac{216}{13} \Rightarrow x_1 + x_2 = \frac{648 \times 13}{216} = 3 \times 13 = 39$.
हम जानते हैं कि $(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2$.
$(x_1 - x_2)^2 = (39)^2 - 4(324) = 1521 - 1296 = 225$.
अतः,$|x_1 - x_2| = \sqrt{225} = 15$.