Relation between A.P., G.P. Questions in Hindi

(C) दिया गया है कि $\frac{a^{n+1} + b^{n+1}}{a^n + b^n} = \frac{a+b}{2}$.
तिर्यक गुणा करने पर:
$2(a^{n+1} + b^{n+1}) = (a+b)(a^n + b^n)$
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$2a^{n+1} + 2b^{n+1} = a^{n+1} + ab^n + ba^n + b^{n+1}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$a^{n+1} - ab^n - ba^n + b^{n+1} = 0$
गुणनखंड करने पर:
$a^n(a - b) - b^n(a - b) = 0$
$(a^n - b^n)(a - b) = 0$
चूंकि $a \neq b$,इसलिए $a^n - b^n = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $a^n = b^n$.
$b^n$ से विभाजित करने पर:
$(\frac{a}{b})^n = 1 = (\frac{a}{b})^0$
अतः,$n = 0$.

(D) दिया गया है कि $n$ धनात्मक संख्याओं $x_1, x_2, \dots, x_n$ का गुणनफल $1$ है,अर्थात $x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n = 1$।
अंकगणितीय माध्य-ज्यामितीय माध्य $(AM-GM)$ असमिका के अनुसार,हम जानते हैं कि धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए,अंकगणितीय माध्य हमेशा ज्यामितीय माध्य से बड़ा या उसके बराबर होता है:
$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdot \dots \cdot x_n}$
दिए गए गुणनफल का मान रखने पर:
$\frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n} \ge \sqrt[n]{1} = 1$
दोनों पक्षों को $n$ से गुणा करने पर:
$x_1 + x_2 + \dots + x_n \ge n$
अतः,$n$ धनात्मक संख्याओं का योग कभी भी $n$ से कम नहीं हो सकता है।

(A) किन्हीं दो भिन्न धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,समांतर माध्य $A = \frac{a+b}{2}$,गुणोत्तर माध्य $G = \sqrt{ab}$,और हरात्मक माध्य $H = \frac{2ab}{a+b}$ होता है।
हम जानते हैं कि $A \times H = \left(\frac{a+b}{2}\right) \times \left(\frac{2ab}{a+b}\right) = ab = G^2$ है।
अतः,$G^2 = AH$,जो दर्शाता है कि $G$ का मान $A$ और $H$ का गुणोत्तर माध्य है।
भिन्न धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए,हमेशा $A > G > H$ सत्य होता है।

(D) माना कि दो धनात्मक वास्तविक संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
समांतर माध्य $A = \frac{a + b}{2}$ है।
गुणोत्तर माध्य $G = \sqrt{ab}$ है।
हरात्मक माध्य $H = \frac{2ab}{a + b}$ है।
अब,$G^2$ की गणना करते हैं:
$G^2 = (\sqrt{ab})^2 = ab$.
इसके बाद,$AH$ की गणना करते हैं:
$AH = \left( \frac{a + b}{2} \right) \times \left( \frac{2ab}{a + b} \right) = ab$.
चूंकि $G^2$ और $AH$ दोनों $ab$ के बराबर हैं,इसलिए $G^2 = AH$ होता है।

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं।
अतः,$2b = a + c$ --- $(1)$
दिया गया है कि $b, c, d$ $H.P.$ में हैं।
अतः,$c = \frac{2bd}{b + d}$ --- $(2)$
$(1)$ से,हमारे पास $a + c = 2b$ है। इस मान को $(2)$ से प्राप्त समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$c(b + d) = 2bd$
चूंकि $2b = a + c$,हम $2bd = (a + c)d$ लिख सकते हैं।
अतः,$c(b + d) = (a + c)d$
$bc + cd = ad + cd$
दोनों पक्षों से $cd$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$bc = ad$

(A) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
पद $T_p = a + (p - 1)d, T_q = a + (q - 1)d, T_r = a + (r - 1)d, T_s = a + (s - 1)d$ हैं।
चूंकि $T_p, T_q, T_r, T_s$ एक $G.P.$ में हैं,सार्व अनुपात $R$ इस प्रकार है:
$R = \frac{T_q}{T_p} = \frac{T_r}{T_q} = \frac{T_s}{T_r} = \frac{T_q - T_r}{T_p - T_q} = \frac{T_r - T_s}{T_q - T_r}$.
मान रखने पर:
$T_q - T_r = (q - r)d$ और $T_p - T_q = (p - q)d$.
अतः,$R = \frac{(q - r)d}{(p - q)d} = \frac{q - r}{p - q}$.
इसी प्रकार,$R = \frac{r - s}{q - r}$.
चूंकि $\frac{q - r}{p - q} = \frac{r - s}{q - r}$,इसलिए $(p - q), (q - r), (r - s)$ एक $G.P.$ में हैं।

(C) और $b$ का समांतर माध्य $A = \frac{a + b}{2}$ है।
$a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य $G = \sqrt{ab}$ है।
अतः,$A - G = \frac{a + b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{a + b - 2\sqrt{ab}}{2}$.
चूंकि $a = (\sqrt{a})^2$ और $b = (\sqrt{b})^2$,इसलिए $A - G = \frac{(\sqrt{a})^2 + (\sqrt{b})^2 - 2\sqrt{a}\sqrt{b}}{2} = \frac{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2}{2}$.
इसे $[\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{2}}]^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) माना $a^{1/x} = b^{1/y} = c^{1/z} = k$.
तब $a = k^x, b = k^y, c = k^z$.
चूंकि $a, b, c$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$.
$a, b, c$ के मान $k$ के पदों में रखने पर,$(k^y)^2 = k^x \cdot k^z$ प्राप्त होता है।
यह $k^{2y} = k^{x+z}$ में सरल हो जाता है।
घातांकों की तुलना करने पर,$2y = x + z$ प्राप्त होता है।
यह स्थिति दर्शाती है कि $x, y, z$ $A.P.$ में हैं।

(C) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि समांतर माध्य $A = \frac{a + b}{2}$,अतः $a + b = 2A$ है।
दिया गया है कि गुणोत्तर माध्य $G = \sqrt{ab}$,अतः $ab = G^2$ है।
वह द्विघात समीकरण जिसके मूल $a$ और $b$ हैं,$x^2 - (a + b)x + ab = 0$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $x^2 - 2Ax + G^2 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x = \frac{2A \pm \sqrt{(2A)^2 - 4G^2}}{2} = \frac{2A \pm 2\sqrt{A^2 - G^2}}{2} = A \pm \sqrt{A^2 - G^2}$ है।
चूँकि $A^2 - G^2 = (A + G)(A - G)$,इसलिए संख्याएँ $A \pm \sqrt{(A + G)(A - G)}$ हैं।

(B) हम जानते हैं कि किन्हीं दो भिन्न धनात्मक वास्तविक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,समांतर माध्य $(A)$ हमेशा गुणोत्तर माध्य $(G)$ से बड़ा होता है।
$A = \frac{a + b}{2}$ और $G = \sqrt{ab}$ है।
चूंकि $A > G$,इसलिए $\frac{a + b}{2} > \sqrt{ab}$ होगा।
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर,हमें $(a + b) > 2\sqrt{ab}$ या $2\sqrt{ab} < (a + b)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है कि ${b^2}, {a^2}, {c^2}$ $A.P.$ में हैं।
इसलिए,${a^2} - {b^2} = {c^2} - {a^2}$।
इसका अर्थ है $(a - b)(a + b) = (c - a)(c + a)$।
अतः,$a + b, b + c, c + a$ $H.P.$ में हैं।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,इसलिए $b = \frac{a + c}{2} \implies 2b = a + c$ .....$(i)$
दिया गया है कि $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ .....(ii)
$(i)$ से,$a + c = 2b$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(a + c)^2 = 4b^2$ प्राप्त होता है।
(ii) से $b^2 = ac$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$(a + c)^2 = 4ac$ प्राप्त होता है।
यह $a^2 + 2ac + c^2 = 4ac$ में सरल हो जाता है,जो $a^2 - 2ac + c^2 = 0$ है।
अतः,$(a - c)^2 = 0$,जिसका अर्थ है कि $a = c$.
$(i)$ में $a = c$ रखने पर,$b = \frac{a + a}{2} = a$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a = b = c$.

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$,जिसका अर्थ है $c = 2b - a$.
चूंकि $a, b, d$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ad$,जिसका अर्थ है $d = \frac{b^2}{a}$.
हमें अनुक्रम $a, a - b, d - c$ की जांच करनी है।
मान लीजिए पद $T_1 = a$,$T_2 = a - b$,और $T_3 = d - c$ हैं।
$c$ और $d$ के मान रखने पर:
$T_3 = \frac{b^2}{a} - (2b - a) = \frac{b^2 - 2ab + a^2}{a} = \frac{(a - b)^2}{a}$.
अब,अनुपात $\frac{T_2}{T_1} = \frac{a - b}{a}$ और $\frac{T_3}{T_2} = \frac{(a - b)^2 / a}{a - b} = \frac{a - b}{a}$ की जांच करें।
चूंकि अनुपात समान हैं,इसलिए अनुक्रम $a, a - b, d - c$ $G.P.$ में है।

(C) दिया गया है कि $x, 1, z$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,इसलिए मध्य पद समांतर माध्य है: $1 = \frac{x + z}{2}$,जिसका अर्थ है $x + z = 2$......$(i)$
दिया गया है कि $x, 2, z$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं,इसलिए मध्य पद गुणोत्तर माध्य है: $2^2 = xz$,जिसका अर्थ है $xz = 4$......$(ii)$
$x, 4, z$ के हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में होने के लिए,मध्य पद $x$ और $z$ का हरात्मक माध्य होना चाहिए,जो $\frac{2xz}{x + z}$ है।
$(i)$ और $(ii)$ से मानों को हरात्मक माध्य के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{Harmonic Mean} = \frac{2(4)}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
चूंकि मध्य पद $4$ है,इसलिए $x, 4, z$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(C) दिया गया है कि $x = 1 + a + a^2 + \dots = \frac{1}{1-a}$,$y = 1 + b + b^2 + \dots = \frac{1}{1-b}$,और $z = 1 + c + c^2 + \dots = \frac{1}{1-c}$ जहाँ $|a|, |b|, |c| < 1$ है।
चूंकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
प्रत्येक पद को $1$ से घटाने पर,$1-a, 1-b, 1-c$ भी $A.P.$ में होंगे क्योंकि $(1-a) + (1-c) = 2 - (a+c) = 2 - 2b = 2(1-b)$ है।
चूंकि $1-a, 1-b, 1-c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए उनके व्युत्क्रम $\frac{1}{1-a}, \frac{1}{1-b}, \frac{1}{1-c}$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में होंगे।
अतः,$x, y, z$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$ ..... $(i)$
दिया गया है कि $b, c, d$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $c^2 = bd$ ..... $(ii)$
दिया गया है कि $c, d, e$ $H.P.$ में हैं,इसलिए $d = \frac{2ce}{c + e}$ ..... $(iii)$
$(ii)$ से,$b = \frac{a + c}{2}$ और $d = \frac{2ce}{c + e}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$c^2 = \left(\frac{a + c}{2}\right) \left(\frac{2ce}{c + e}\right)$
$c^2 = \frac{(a + c)ce}{c + e}$
$c^2(c + e) = (a + c)ce$
$c^3 + c^2e = ace + c^2e$
$c^3 = ace$
चूंकि $c \neq 0$,$c$ से विभाजित करने पर $c^2 = ae$ प्राप्त होता है।
अतः,$a, c, e$ $G.P.$ में हैं।

(B) मान लीजिए कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
हम जानते हैं कि किन्हीं भी दो धनात्मक संख्याओं के लिए,उनके समांतर माध्य $(A.M.)$,गुणोत्तर माध्य $(G.M.)$ और हरात्मक माध्य $(H.M.)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$(G.M.)^2 = A.M. \times H.M.$
यहाँ $A.M. = 27$ और $H.M. = 12$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$(G.M.)^2 = 27 \times 12$
$(G.M.)^2 = 324$
$G.M. = \sqrt{324} = 18$.

(C) दो संख्याओं के लिए समांतर माध्य $(A.M.)$,गुणोत्तर माध्य $(G.M.)$ और हरात्मक माध्य $(H.M.)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है:
$G.M.^2 = A.M. \times H.M.$
यहाँ $G.M. = 18$ और $A.M. = 27$ दिया गया है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$(18)^2 = 27 \times H.M.$
$324 = 27 \times H.M.$
$H.M. = \frac{324}{27}$
$H.M. = 12$

(B) दिया गया है $A.M. = 2(G.M.)$.
$\frac{a + b}{2} = 2\sqrt{ab}$.
$\frac{a + b}{\sqrt{ab}} = 4$.
माना $x = \sqrt{\frac{a}{b}}$. तब $\frac{a}{b} = x^2$ और $\frac{b}{a} = \frac{1}{x^2}$.
$\sqrt{ab}$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} = 4$.
$x + \frac{1}{x} = 4$.
$x^2 - 4x + 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
चूंकि $\frac{a}{b} = x^2$,इसलिए $\frac{a}{b} = (2 \pm \sqrt{3})^2 = 7 \pm 4\sqrt{3}$.
वैकल्पिक रूप से,कॉम्पोनेंडो और डिविडेंडो नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{a+b+2\sqrt{ab}}{a+b-2\sqrt{ab}} = \frac{2+1}{2-1} = 3$.
$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \sqrt{3}$.
पुनः कॉम्पोनेंडो और डिविडेंडो नियम लगाने पर:
$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$.
$\frac{a}{b} = \frac{4+2\sqrt{3}}{4-2\sqrt{3}} = \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}$.

(C) $A_j$ और $H_j$ क्रमशः $j^{th}$ $A.M.$ और $H.M.$ को दर्शाते हैं,जहाँ $j = 1, 2, \dots, 9$,जिन्हें $2$ और $3$ के बीच डाला गया है।
$A.M.s$ के लिए,अनुक्रम $2, A_1, A_2, \dots, A_9, 3$ $11$ पदों के साथ $A.P.$ में है।
सार्व अंतर $d = \frac{3 - 2}{9 + 1} = \frac{1}{10}$ है।
अतः,$A_j = 2 + j \times d = 2 + \frac{j}{10}$।
$H.M.s$ के लिए,अनुक्रम $2, H_1, H_2, \dots, H_9, 3$ $H.P.$ में है।
इसलिए,$\frac{1}{2}, \frac{1}{H_1}, \frac{1}{H_2}, \dots, \frac{1}{H_9}, \frac{1}{3}$ $A.P.$ में है।
सार्व अंतर $D = \frac{\frac{1}{3} - \frac{1}{2}}{9 + 1} = \frac{-\frac{1}{6}}{10} = -\frac{1}{60}$ है।
अतः,$\frac{1}{H_j} = \frac{1}{2} + j \times D = \frac{1}{2} - \frac{j}{60}$।
अब,$A_j + \frac{6}{H_j}$ की गणना करें:
$A_j + 6 \times \frac{1}{H_j} = (2 + \frac{j}{10}) + 6 \times (\frac{1}{2} - \frac{j}{60})$
$= 2 + \frac{j}{10} + 3 - \frac{6j}{60}$
$= 5 + \frac{j}{10} - \frac{j}{10} = 5$।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं।
$2b = a + c$ ......$(i)$
दिया गया है कि $a^2, b^2, c^2$ $H.P.$ में हैं।
$b^2 = \frac{2a^2c^2}{a^2 + c^2}$
$b^2(a^2 + c^2) = 2a^2c^2$
$b^2((a+c)^2 - 2ac) = 2a^2c^2$
$(i)$ से $a+c = 2b$ प्रतिस्थापित करने पर:
$b^2(4b^2 - 2ac) = 2a^2c^2$
$4b^4 - 2acb^2 - 2a^2c^2 = 0$
$2b^4 - acb^2 - a^2c^2 = 0$
$(2b^2 + ac)(b^2 - ac) = 0$
चूंकि $a, b, c$ वास्तविक हैं,$b^2 = ac$ प्राप्त होता है।
यदि $b^2 = ac$ है,तो $a, b, c$ $G.P.$ में हैं।
चूंकि $a, b, c$ $A.P.$ और $G.P.$ दोनों में हैं,इसलिए $a = b = c$ होगा।

(D) माना चार संख्याएँ $\frac{a}{r}, a, ar, x$ हैं।
चूंकि अंतिम तीन संख्याएँ $a, ar, x$ $A.P.$ में हैं और सार्व अंतर $d = 6$ है,इसलिए $ar - a = 6$ और $x - ar = 6$ है।
अतः,$x = ar + 6$।
चूंकि $ar = a + 6$,इसलिए $x = (a + 6) + 6 = a + 12$।
यह दिया गया है कि पहली और अंतिम संख्या समान है,इसलिए $\frac{a}{r} = x = a + 12$।
$ar - a = 6$ से,हमें $a(r - 1) = 6$ मिलता है,जिसका अर्थ है $r - 1 = \frac{6}{a}$,या $r = 1 + \frac{6}{a} = \frac{a + 6}{a}$।
$\frac{a}{r} = a + 12$ में $r$ का मान रखने पर:
$\frac{a}{(a + 6)/a} = a + 12$
$\frac{a^2}{a + 6} = a + 12$
$a^2 = (a + 12)(a + 6)$
$a^2 = a^2 + 18a + 72$
$18a = -72$
$a = -4$।
पहली संख्या $\frac{a}{r} = a + 12 = -4 + 12 = 8$ है।

(D) दिया गया है कि $\frac{H.M.}{G.M.} = \frac{12}{13}$.
हम जानते हैं कि $H.M. = \frac{2ab}{a+b}$ और $G.M. = \sqrt{ab}$.
अतः,$\frac{2ab}{(a+b)\sqrt{ab}} = \frac{12}{13} \Rightarrow \frac{2\sqrt{ab}}{a+b} = \frac{12}{13}$.
इसका अर्थ है $\frac{a+b}{2\sqrt{ab}} = \frac{13}{12}$.
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर,$\frac{(a+b)+2\sqrt{ab}}{(a+b)-2\sqrt{ab}} = \frac{13+12}{13-12} = \frac{25}{1}$.
$\frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2} = 25$.
वर्गमूल लेने पर,$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}} = 5$.
पुनः योगांतरानुपात का उपयोग करने पर,$\frac{2\sqrt{a}}{2\sqrt{b}} = \frac{5+1}{5-1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{a}{b} = \frac{9}{4}$.
अतः,अनुपात $9:4$ है,जो दिए गए विकल्पों में नहीं है।

(B) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं। दिया गया है कि $\frac{a}{b} = \frac{9}{1}$,इसलिए $a = 9b$ है।
गुणोत्तर माध्य $G = \sqrt{ab}$ होता है।
हरात्मक माध्य $H = \frac{2ab}{a+b}$ होता है।
$a = 9b$ का मान रखने पर:
$G = \sqrt{9b \cdot b} = \sqrt{9b^2} = 3b$.
$H = \frac{2(9b)(b)}{9b + b} = \frac{18b^2}{10b} = \frac{9b}{5}$.
गुणोत्तर माध्य और हरात्मक माध्य का अनुपात $\frac{G}{H} = \frac{3b}{\frac{9b}{5}} = 3b \cdot \frac{5}{9b} = \frac{15}{9} = \frac{5}{3}$ है।
अतः,अनुपात $5:3$ है।

(D) माना $\alpha$ और $\beta$ क्रमशः $A.P.$,$G.P.$ और $H.P.$ के प्रथम और $(2n - 1)^{th}$ पद हैं।
$A.P.$ के लिए: $n^{th}$ पद $a = \frac{\alpha + \beta}{2}$ $(i)$
$G.P.$ के लिए: $n^{th}$ पद $b = \sqrt{\alpha \beta}$ (ii)
$H.P.$ के लिए: $n^{th}$ पद $c = \frac{2\alpha \beta}{\alpha + \beta}$ (iii)
$(i)$,(ii) और (iii) से,हम देखते हैं कि $a, b, c$ क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ के समांतर माध्य,गुणोत्तर माध्य और हरात्मक माध्य हैं।
हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं $\alpha$ और $\beta$ के लिए,$A.M. \ge G.M. \ge H.M.$
अतः,$a \ge b \ge c$,जो विकल्प $(a)$ से मेल खाता है।
साथ ही,$ac = \left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \left(\frac{2\alpha \beta}{\alpha + \beta}\right) = \alpha \beta = b^2$.
इसलिए,$ac - b^2 = 0$,जो विकल्प $(c)$ से मेल खाता है।
अतः,$(a)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(B) मान लीजिए कि $a$ और $b$ तीन श्रेणियों के पहले और अंतिम पद हैं,जिनमें से प्रत्येक में $(2n + 1)$ पद हैं।
$A.P.$ का मध्य पद $A = \frac{a + b}{2}$ है।
$G.P.$ का मध्य पद $G = \sqrt{ab}$ है।
$H.P.$ का मध्य पद $H = \frac{2ab}{a + b}$ है।
हम देखते हैं कि $G^2 = (\sqrt{ab})^2 = ab$ और $A \times H = \left(\frac{a + b}{2}\right) \times \left(\frac{2ab}{a + b}\right) = ab$.
चूंकि $G^2 = A \times H$,इसलिए मध्य पद $A, G, H$ एक $G.P.$ में हैं।

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ है।
चूँकि $a + x, b + x, c + x$ एक $H.P.$ में हैं,इसलिए मध्य पद हार्मोनिक माध्य है:
$b + x = \frac{2(a + x)(c + x)}{(a + x) + (c + x)}$
$(b + x)(a + c + 2x) = 2(ac + x(a + c) + x^2)$
$ab + bc + 2bx + ax + cx + 2x^2 = 2ac + 2x(a + c) + 2x^2$
$ab + bc + 2bx = 2ac + x(a + c)$
$x(2b - a - c) = 2ac - ab - bc$
$ac = b^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x(2b - a - c) = 2b^2 - ab - bc = b(2b - a - c)$
यदि $2b - a - c \neq 0$ है,तो $x = b$।

(C) दिया गया है कि $\frac{a + b}{1 - ab}, b, \frac{b + c}{1 - bc}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
इसका अर्थ है $b - \frac{a + b}{1 - ab} = \frac{b + c}{1 - bc} - b$
$\Rightarrow \frac{b(1 - ab) - (a + b)}{1 - ab} = \frac{(b + c) - b(1 - bc)}{1 - bc}$
$\Rightarrow \frac{b - ab^2 - a - b}{1 - ab} = \frac{b + c - b + bc^2}{1 - bc}$
$\Rightarrow \frac{-a(1 + b^2)}{1 - ab} = \frac{c(1 + b^2)}{1 - bc}$
दोनों पक्षों को $(1 + b^2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{-a}{1 - ab} = \frac{c}{1 - bc}$
$\Rightarrow -a(1 - bc) = c(1 - ab)$
$\Rightarrow -a + abc = c - abc$
$\Rightarrow 2abc = a + c$
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $2b = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
यह शर्त दर्शाती है कि $\frac{1}{a}, b, \frac{1}{c}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं,जिसका अर्थ है कि $a, \frac{1}{b}, c$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(B) दिया गया है कि $2(y - a)$,$y - x$ और $y - z$ के बीच का $H.M.$ है,इसलिए $y - x, 2(y - a), y - z$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।
इसका अर्थ है कि $\frac{1}{y - x}, \frac{1}{2(y - a)}, \frac{1}{y - z}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
अतः,$\frac{1}{2(y - a)} - \frac{1}{y - x} = \frac{1}{y - z} - \frac{1}{2(y - a)}$.
$\frac{y - 2a + x}{y - x} = \frac{y - 2a + z}{y - z}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{x - a + y - a}{-(x - a) + (y - a)} = \frac{y - a + z - a}{-(y - a) + (z - a)}$.
योगान्तर अनुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर,हमें $\frac{x - a}{y - a} = \frac{y - a}{z - a}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$x - a, y - a, z - a$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं।

(C) दिया गया है कि $A.M.$ और $H.M.$ का अनुपात $m:n$ है,इसलिए $\frac{(a+b)/2}{2ab/(a+b)} = \frac{m}{n}$.
यह $\frac{(a+b)^2}{4ab} = \frac{m}{n}$ में सरल हो जाता है।
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर,$\frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} = \frac{m}{m-n}$.
वर्गमूल लेने पर,$\frac{a+b}{a-b} = \frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m-n}}$.
पुनः योगान्तरानुपात का उपयोग करने पर,$\frac{a}{b} = \frac{\sqrt{m} + \sqrt{m-n}}{\sqrt{m} - \sqrt{m-n}}$.

(B) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि गुणोत्तर माध्य $6$ है,इसलिए $\sqrt{ab} = 6$,जिसका अर्थ है $ab = 36$.
दिया गया है कि समांतर माध्य $6.5$ है,इसलिए $\frac{a+b}{2} = 6.5$,जिसका अर्थ है $a+b = 13$.
संख्याओं को ज्ञात करने के लिए हम द्विघात समीकरण $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ बना सकते हैं।
मान रखने पर,हमें $x^2 - 13x + 36 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^2 - 9x - 4x + 36 = 0$.
$x(x - 9) - 4(x - 9) = 0$.
$(x - 4)(x - 9) = 0$.
अतः,वे संख्याएँ $4$ और $9$ हैं।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,अतः $2b = a + c$.
साथ ही,$a, c - b, b - a$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $(c - b)^2 = a(b - a)$.
माना $a = x - d, b = x, c = x + d$.
तब $c - b = d$ और $b - a = d$.
$G.P.$ की शर्त के अनुसार $d^2 = (x - d)(d)$.
चूंकि $a \ne b \ne c$,इसलिए $d \ne 0$,जिससे $d = x - d$,अर्थात $x = 2d$.
अतः $a = d, b = 2d, c = 3d$.
इसलिए,$a:b:c = 1:2:3$.

(A) हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,समांतर माध्य $(A.M.)$,गुणोत्तर माध्य $(G.M.)$,और हरात्मक माध्य $(H.M.)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$(G.M.)^2 = (A.M.) \times (H.M.)$
यहाँ $A.M. = 9$ और $H.M. = 36$ दिया गया है,इसलिए:
$(G.M.)^2 = 9 \times 36$
$(G.M.)^2 = 324$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$G.M. = \sqrt{324} = 18$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) हमारे पास $H.M. = \frac{2ab}{a + b}$ और $G.M. = \sqrt{ab}$ है।
दिया गया है कि $\frac{H.M.}{G.M.} = \frac{4}{5}$।
$\Rightarrow \frac{2ab/(a + b)}{\sqrt{ab}} = \frac{4}{5}$ $\Rightarrow \frac{2\sqrt{ab}}{a + b} = \frac{4}{5}$।
$\Rightarrow \frac{a + b}{2\sqrt{ab}} = \frac{5}{4}$।
योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{a + b + 2\sqrt{ab}}{a + b - 2\sqrt{ab}} = \frac{5 + 4}{5 - 4}$ $\Rightarrow \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2} = \frac{9}{1}$।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{3}{1}$।
पुनः योगान्तरानुपात नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) + (\sqrt{a} - \sqrt{b})}{(\sqrt{a} + \sqrt{b}) - (\sqrt{a} - \sqrt{b})} = \frac{3 + 1}{3 - 1}$ $\Rightarrow \frac{2\sqrt{a}}{2\sqrt{b}} = \frac{4}{2} = 2$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{a}{b} = 2^2 = 4$।
अतः,$a:b = 4:1$ या $b:a = 1:4$।

(A) दिया गया है कि $A.M. = G.M. = H.M.$
हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ के लिए,$A.M. \ge G.M. \ge H.M.$ होता है।
समानता तभी संभव है जब $a = b$ हो।
वैकल्पिक रूप से,$A.M. = G.M.$ से,हमें $\frac{a+b}{2} = \sqrt{ab}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{(a+b)^2}{4} = ab$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $(a+b)^2 = 4ab$।
$(a+b)^2 - 4ab = 0$,जो सरल होकर $(a-b)^2 = 0$ हो जाता है।
अतः,$a - b = 0$,या $a = b$।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं।
$ \Rightarrow 2b = a + c $
पदों $10^{ax + 10}, 10^{bx + 10}, 10^{cx + 10}$ पर विचार करें।
इन पदों के $G.P.$ में होने के लिए,मध्य पद का वर्ग पहले और तीसरे पद के गुणनफल के बराबर होना चाहिए:
$(10^{bx + 10})^2 = 10^{2(bx + 10)} = 10^{2bx + 20}$
पहले और तीसरे पद का गुणनफल: $10^{ax + 10} \times 10^{cx + 10} = 10^{ax + cx + 20} = 10^{(a+c)x + 20}$
चूंकि $a + c = 2b$,इसलिए $10^{(a+c)x + 20} = 10^{2bx + 20}$।
अतः,$(10^{bx + 10})^2 = 10^{ax + 10} \times 10^{cx + 10}$ $x$ के सभी मानों के लिए सत्य है।
इसलिए,ये पद $x$ के सभी मानों के लिए $G.P.$ में हैं।

(C) माना $A.P.$ में तीन शून्येतर वास्तविक संख्याएँ $(a - d), a, (a + d)$ हैं।
चूँकि उनके वर्ग $G.P.$ में हैं,इसलिए $(a - d)^2, a^2, (a + d)^2$ एक $G.P.$ में हैं।
अतः,$(a^2)^2 = (a - d)^2(a + d)^2$.
$a^4 = (a^2 - d^2)^2$.
$a^4 = a^4 - 2a^2d^2 + d^4$.
$d^4 - 2a^2d^2 = 0$.
$d^2(d^2 - 2a^2) = 0$.
यदि $d = 0$ है,तो संख्याएँ $a, a, a$ हैं,जिसका सार्व अनुपात $r = 1$ है।
यदि $d^2 = 2a^2$ है,तो $d = \pm \sqrt{2}a$ है।
इस स्थिति में $r = 3 \pm 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,कुल $3$ संभावित सार्व अनुपात हैं।

(C) माना कि दो संख्याएँ $p$ और $q$ हैं।
चूंकि ${G_1}$ और ${G_2}$ $p$ और $q$ के बीच दो गुणोत्तर माध्य हैं,इसलिए अनुक्रम $p, G_1, G_2, q$ गुणोत्तर श्रेणी में है।
माना सार्व अनुपात $r$ है। तो $G_1 = pr$,$G_2 = pr^2$,और $q = pr^3$,इसलिए $r = (q/p)^{1/3}$।
अतः,${G_1} = p^{2/3}q^{1/3}$ और ${G_2} = p^{1/3}q^{2/3}$।
समांतर माध्य $A = \frac{p+q}{2}$ है,इसलिए $p+q = 2A$।
अब,$\frac{{G_1^2}}{{{G_2}}} + \frac{{G_2^2}}{{{G_1}}} = \frac{(p^{2/3}q^{1/3})^2}{p^{1/3}q^{2/3}} + \frac{(p^{1/3}q^{2/3})^2}{p^{2/3}q^{1/3}} = p + q$।
$p+q = 2A$ रखने पर,हमें मान $2A$ प्राप्त होता है।

(D) माना कि घटती $A.P.$ के तीन पद $a+d, a, a-d$ हैं,जहाँ $d > 0$ है।
योग: $(a+d) + a + (a-d) = 27$ $\Rightarrow 3a = 27$ $\Rightarrow a = 9$.
पद $9+d, 9, 9-d$ हैं।
क्रमशः $-1, -1, 3$ जोड़ने पर: $(9+d-1), (9-1), (9-d+3) = (8+d), 8, (12-d)$ प्राप्त होता है।
चूँकि ये $G.P.$ में हैं,मध्य पद का वर्ग अन्य दो पदों के गुणनफल के बराबर होगा:
$8^2 = (8+d)(12-d)$
$64 = 96 - 8d + 12d - d^2$
$d^2 - 4d - 32 = 0$
$(d-8)(d+4) = 0$.
चूँकि $A.P.$ घट रही है,$d$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $d = 8$.
संख्याएँ $9+8, 9, 9-8$ अर्थात $17, 9, 1$ हैं।

(A) माना $a$ और $b$ दो संख्याएँ हैं।
$n$ $A.M.s$ का योग $n \times (\text{single } A.M.)$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए ${A_1} + {A_2} = 2 \times \left( \frac{a + b}{2} \right) = a + b$.
$n$ $G.M.s$ का गुणनफल $(\text{single } G.M.)^n$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए ${G_1}{G_2} = (\sqrt{ab})^2 = ab$.
चूंकि ${H_1}, {H_2}$ $a$ और $b$ के बीच $H.M.s$ हैं,इसलिए अनुक्रम $\frac{1}{a}, \frac{1}{H_1}, \frac{1}{H_2}, \frac{1}{b}$ $A.P$ में है।
अतः,$\frac{1}{H_1} + \frac{1}{H_2} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$.
यह $\frac{H_1 + H_2}{H_1 H_2} = \frac{a + b}{ab}$ में सरल हो जाता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{H_1 + H_2}{H_1 H_2} = \frac{A_1 + A_2}{G_1 G_2}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{G_1 G_2}{H_1 H_2} \times \frac{H_1 + H_2}{A_1 + A_2} = 1$ प्राप्त होता है।

(B) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d$ है।
पद $T_n = a + (n-1)d$ द्वारा दिए जाते हैं।
अतः,$T_2 = 1 + d$,$T_{10} = 1 + 9d$,और $T_{34} = 1 + 33d$.
चूंकि $T_2, T_{10}, T_{34}$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $(T_{10})^2 = T_2 \times T_{34}$ होगा।
$(1 + 9d)^2 = (1 + d)(1 + 33d)$.
$1 + 81d^2 + 18d = 1 + 33d + d + 33d^2$.
$1 + 81d^2 + 18d = 1 + 34d + 33d^2$.
$48d^2 - 16d = 0$.
$16d(3d - 1) = 0$.
इससे $d = 0$ या $d = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
चूंकि सार्व अंतर शून्यतर होता है,इसलिए सही मान $\frac{1}{3}$ है।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $b - a = c - b$ है।
मान लीजिए पद $T_1 = 2^{ax + 1}$,$T_2 = 2^{bx + 1}$,और $T_3 = 2^{cx + 1}$ हैं।
इन पदों के $G.P.$ में होने के लिए,अनुपात $\frac{T_2}{T_1} = \frac{T_3}{T_2}$ होना चाहिए।
$\frac{T_2}{T_1} = \frac{2^{bx + 1}}{2^{ax + 1}} = 2^{(b - a)x}$।
$\frac{T_3}{T_2} = \frac{2^{cx + 1}}{2^{bx + 1}} = 2^{(c - b)x}$।
चूंकि $b - a = c - b$,इसलिए सभी $x \ne 0$ के लिए $2^{(b - a)x} = 2^{(c - b)x}$ होता है।
अतः,ये पद सभी $x \ne 0$ के लिए $G.P.$ बनाते हैं।

(B) माना $h_1, h_2, h_3$ क्रमशः शीर्ष $P, Q, R$ से सम्मुख भुजाओं $a, b, c$ पर डाले गए शीर्षलंब हैं।
हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a h_1 = \frac{1}{2} b h_2 = \frac{1}{2} c h_3$ होता है।
अतः,$h_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$h_2 = \frac{2\Delta}{b}$,और $h_3 = \frac{2\Delta}{c}$ है।
दिया गया है कि $h_1, h_2, h_3$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2h_2 = h_1 + h_3$ होगा।
मान रखने पर,हमें $2(\frac{2\Delta}{b}) = \frac{2\Delta}{a} + \frac{2\Delta}{c}$ प्राप्त होता है।
$2\Delta$ से भाग देने पर,हमें $\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ $A.P.$ में हैं।
अतः,$a, b, c$ $H.P.$ में हैं।

(A) चूंकि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,हमारे पास $2b = a + c$ है,जिसका अर्थ है $c - b = b - a$।
दिया गया है कि $b - a, c - b, a$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $(c - b)^2 = (b - a)a$।
$c - b = b - a$ को $G.P.$ की शर्त में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(b - a)^2 = (b - a)a$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a, b, c$ असमान हैं,$b - a \neq 0$,इसलिए $(b - a)$ से विभाजित करने पर $b - a = a$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b = 2a$।
$b = 2a$ को $2b = a + c$ में रखने पर,हमें $2(2a) = a + c$ प्राप्त होता है,इसलिए $4a = a + c$,जिससे $c = 3a$ मिलता है।
अतः,$a : b : c = a : 2a : 3a = 1 : 2 : 3$।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
चूंकि $a^2, b^2, c^2$ $H.P.$ में हैं,इसलिए $\frac{1}{b^2} - \frac{1}{a^2} = \frac{1}{c^2} - \frac{1}{b^2}$ है।
इसे सरल करने पर $\frac{a^2 - b^2}{a^2 b^2} = \frac{b^2 - c^2}{b^2 c^2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{(a-b)(a+b)}{a^2} = \frac{(b-c)(b+c)}{c^2}$।
चूंकि $a-b = b-c$ है,यदि $a \neq b$ है,तो $(a-b)$ से विभाजित करने पर $\frac{a+b}{a^2} = \frac{b+c}{c^2}$ प्राप्त होता है।
$c^2(a+b) = a^2(b+c) \Rightarrow c^2 a + c^2 b = a^2 b + a^2 c$।
$ac(c-a) = b(a^2-c^2) = b(a-c)(a+c)$।
चूंकि $a \neq c$ है,$(c-a)$ से विभाजित करने पर $ac = -b(a+c)$ प्राप्त होता है।
$a+c = 2b$ रखने पर,$ac = -b(2b) = -2b^2$,या $b^2 = \frac{-ac}{2} = (\frac{-a}{2})c$।
अतः यह सिद्ध होता है कि $\frac{-a}{2}, b, c$ $G.P.$ में हैं।

(A) मान लीजिए कि दो धनात्मक संख्याएँ $a_1$ और $a_2$ हैं।
समांतर माध्य $A = \frac{a_1 + a_2}{2}$ है,जिसका अर्थ है $a_1 + a_2 = 2A$।
गुणोत्तर माध्य $G = \sqrt{a_1 a_2}$ है,जिसका अर्थ है $G^2 = a_1 a_2$।
हरात्मक माध्य $H = \frac{2a_1 a_2}{a_1 + a_2}$ है।
$H$ के सूत्र में $a_1 + a_2$ और $a_1 a_2$ के मान रखने पर:
$H = \frac{2(G^2)}{2A} = \frac{G^2}{A}$।

(A) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
हम जानते हैं कि समांतर माध्य $(A)$,गुणोत्तर माध्य $(G)$ और हरात्मक माध्य $(H)$ के बीच संबंध $G^2 = AH$ होता है।
दिया गया है $H = \frac{72}{5}$ और $G = 24$।
मान रखने पर: $(24)^2 = A \times \frac{72}{5}$।
$576 = A \times \frac{72}{5} \Rightarrow A = 40$।
चूंकि $A = \frac{a+b}{2} = 40$,इसलिए $a+b = 80$ $(i)$।
चूंकि $G = \sqrt{ab} = 24$,इसलिए $ab = 576$ $(ii)$।
सर्वसमिका $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$ का उपयोग करने पर,$(a-b)^2 = (80)^2 - 4(576) = 6400 - 2304 = 4096$।
अतः,$a-b = 64$ $(iii)$।
समीकरण $(i)$ और $(iii)$ को हल करने पर: $2a = 144 \Rightarrow a = 72$।
समीकरण $(i)$ में $a=72$ रखने पर: $72 + b = 80 \Rightarrow b = 8$।
बड़ी संख्या $72$ है।

(B) दिया गया है कि $\frac{A.M.}{G.M.} = \frac{p}{q}$,जहाँ $A.M. = \frac{x+y}{2}$ और $G.M. = \sqrt{xy}$.
अतः,$\frac{x+y}{2\sqrt{xy}} = \frac{p}{q} \dots (i)$.
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) नियम का उपयोग करने पर,$\frac{x}{y} = \frac{p + \sqrt{p^2 - q^2}}{p - \sqrt{p^2 - q^2}}$ प्राप्त होता है।