Relation between A.P., G.P. Questions in Hindi

(C) दिया गया है कि $2a, b, 4c$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = 2a + 4c$,जो $b = a + 2c$ में सरल हो जाता है।
दिया गया है कि $c, a, b$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $a^2 = bc$ है।
$b = a + 2c$ को $a^2 = bc$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a^2 = c(a + 2c) = ac + 2c^2$ प्राप्त होता है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $a^2 - ac - 2c^2 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर: $(a - 2c)(a + c) = 0$।
चूंकि $a, c \in \mathbb{R}^+$,इसलिए $a = 2c$ होना चाहिए।
अब विकल्पों की जाँच करने पर,विकल्प $C$ में $c, a, a+2c$ में $a=2c$ रखने पर $c, 2c, 4c$ प्राप्त होता है,जो $G.P.$ में है।

(B) पहली श्रेणी एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जिसमें $a_1 = 2$,$d_1 = 3$,और $n_1 = 50$ है। $50$वाँ पद $T_{50} = 2 + (50 - 1)3 = 149$ है।
दूसरी श्रेणी एक समांतर श्रेणी $(AP)$ है जिसमें $a_2 = 3$,$d_2 = 2$,और $n_2 = 60$ है। $60$वाँ पद $T'_{60} = 3 + (60 - 1)2 = 121$ है।
उभयनिष्ठ पद $5, 11, 17, \dots$ हैं। यह एक नई समांतर श्रेणी बनाती है जिसका प्रथम पद $A = 5$ और सार्व अंतर $D = \text{lcm}(3, 2) = 6$ है।
उभयनिष्ठ श्रेणी का सामान्य पद $T_n = 5 + (n - 1)6 = 6n - 1$ है।
चूंकि उभयनिष्ठ पद दोनों श्रेणियों में होने चाहिए,इसलिए $T_n \leq 121$।
$6n - 1 \leq 121 \implies 6n \leq 122 \implies n \leq 20.33$।
अतः,उभयनिष्ठ पदों की संख्या $20$ है।

(A) माना संख्याएँ $A = 50$ और $B = 100$ हैं।
समांतर माध्य के लिए,सार्व अंतर $d = \frac{B-A}{n+1} = \frac{50}{n+1}$ है।
अतः $a_2 = A + 2d = 50 + \frac{100}{n+1} = \frac{50(n+3)}{n+1}$।
हरात्मक माध्य के लिए,$\frac{1}{h_1}, \frac{1}{h_2}, \dots, \frac{1}{h_n}$ समांतर श्रेणी में हैं,जिसका प्रथम पद $\frac{1}{50}$ और अंतिम पद $\frac{1}{100}$ है।
सार्व अंतर $d' = \frac{\frac{1}{100} - \frac{1}{50}}{n+1} = \frac{-1}{100(n+1)}$ है।
$\frac{1}{h_{n-1}} = \frac{1}{50} + (n-1)d' = \frac{1}{50} - \frac{n-1}{100(n+1)} = \frac{n+3}{100(n+1)}$।
इसलिए $h_{n-1} = \frac{100(n+1)}{n+3}$।
अंत में,$a_2 h_{n-1} = \frac{50(n+3)}{n+1} \times \frac{100(n+1)}{n+3} = 5000$।

(B) माना $A, G, H$ क्रमशः $a$ और $b$ के समांतर,गुणोत्तर और हरात्मक माध्य हैं।
दिया गया है कि $A = G + \frac{3}{2}$ और $G = H + \frac{6}{5}$।
हम जानते हैं कि $G^2 = AH$,इसलिए $H = \frac{G^2}{A}$।
दूसरे समीकरण में $H$ का मान रखने पर: $G = \frac{G^2}{A} + \frac{6}{5} \implies G - \frac{6}{5} = \frac{G^2}{G + 3/2}$।
$(G - 1.2)(G + 1.5) = G^2 \implies G^2 + 1.5G - 1.2G - 1.8 = G^2$।
$0.3G = 1.8 \implies G = 6$।
अतः $A = 6 + 1.5 = 7.5 = \frac{15}{2}$ और $H = 6 - 1.2 = 4.8 = \frac{24}{5}$।
चूंकि $A = \frac{a+b}{2} = \frac{15}{2}$,इसलिए $a+b = 15$।
चूंकि $G = \sqrt{ab} = 6$,इसलिए $ab = 36$।
संख्याएँ $a$ और $b$ समीकरण $x^2 - 15x + 36 = 0$ के मूल हैं।
$(x - 12)(x - 3) = 0$,इसलिए ${a, b} = {12, 3}$।
$|a^2 - b^2| = |144 - 9| = 135$।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $a+c = 2b$.
$a+b+c = \frac{3}{4}$ दिया है,$a+c=2b$ रखने पर $3b = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है,अतः $b = \frac{1}{4}$.
दिया गया है कि $a^2, b^2, c^2$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $(b^2)^2 = a^2 c^2$,जिसका अर्थ है $ac = \pm b^2 = \pm \frac{1}{16}$.
चूंकि $a < b < c$,इसलिए $ac$ ऋणात्मक होना चाहिए,अतः $ac = -\frac{1}{16}$.
हमें $a+c = 2b = \frac{1}{2}$ और $ac = -\frac{1}{16}$ प्राप्त होता है।
$a$ और $c$ के लिए द्विघात समीकरण $x^2 - (a+c)x + ac = 0$ है,अर्थात $x^2 - \frac{1}{2}x - \frac{1}{16} = 0$.
$16$ से गुणा करने पर,$16x^2 - 8x - 1 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{8 \pm \sqrt{128}}{32} = \frac{1}{4} \pm \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
चूंकि $a < b$,हम छोटा मान चुनेंगे: $a = \frac{1}{4} - \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

(D) दिया गया है कि समांतर माध्य $(A.M.)$ गुणोत्तर माध्य $(G.M.)$ का पाँच गुना है:
$\frac{a + b}{2} = 5\sqrt{ab}$
दोनों पक्षों को $\sqrt{ab}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a + b}{\sqrt{ab}} = 10$
माना $x = \sqrt{\frac{a}{b}}$. तब $\frac{a}{b} = x^2$. समीकरण इस प्रकार होगा:
$\frac{x^2 + 1}{x} = 10 \implies x^2 - 10x + 1 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $x$ का मान निकालने पर:
$x = 5 \pm 2\sqrt{6}$
चूंकि $a > b$,इसलिए $x = 5 + 2\sqrt{6}$.
अतः $\frac{a}{b} = (5 + 2\sqrt{6})^2 = 49 + 20\sqrt{6}$.
योगान्तर अनुपात (Componendo and Dividendo) नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{a + b}{a - b} = \frac{49 + 20\sqrt{6} + 1}{49 + 20\sqrt{6} - 1} = \frac{50 + 20\sqrt{6}}{48 + 20\sqrt{6}} = \frac{5\sqrt{6}}{12}$

(A) $G = \sqrt{ab}$
$M = \frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{2} = \frac{a + b}{2ab}$
दिया गया है कि $\frac{1}{M} : G = 4 : 5$,अतः $\frac{2ab}{(a + b)\sqrt{ab}} = \frac{4}{5}$
$\Rightarrow \frac{a + b}{2\sqrt{ab}} = \frac{5}{4}$
योगान्तरानुपात (Componendo and Dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{a + b + 2\sqrt{ab}}{a + b - 2\sqrt{ab}} = \frac{5 + 4}{5 - 4}$
$\Rightarrow \frac{(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2} = 9$
$\Rightarrow \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = 3$
$\Rightarrow \sqrt{a} + \sqrt{b} = 3\sqrt{a} - 3\sqrt{b}$
$\Rightarrow 4\sqrt{b} = 2\sqrt{a}$ $\Rightarrow \sqrt{\frac{a}{b}} = 2$ $\Rightarrow \frac{a}{b} = 4$
अतः $a:b$ का मान $1:4$ या $4:1$ हो सकता है,जिसमें से विकल्प $1:4$ सही है।

(B) माना अनुक्रम $a, b, c, d$ है।
चूंकि $a, b, c$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ है।
चूंकि $b, c, d$ एक $A.P.$ में हैं और सार्व अंतर $6$ है,इसलिए $c - b = 6$ और $d - c = 6$ है।
अतः,$c = b + 6$ और $d = c + 6 = b + 12$ है।
दिया गया है कि पहला और अंतिम पद समान हैं,$a = d$,इसलिए $a = b + 12$,जिसका अर्थ है $b = a - 12$।
$c = b + 6$ में $b = a - 12$ रखने पर,$c = (a - 12) + 6 = a - 6$ प्राप्त होता है।
अब,$b$ और $c$ के मानों को $G.P.$ की शर्त $b^2 = ac$ में रखने पर:
$(a - 12)^2 = a(a - 6)$
$a^2 - 24a + 144 = a^2 - 6a$
$144 = 18a$
$a = 8$।
चूंकि $d = a$,इसलिए अंतिम पद $8$ है।

(B) मान लीजिए $A.P.$ का प्रथम पद $A$ और सार्व अंतर $d$ है। चूँकि $A.P.$ अचर नहीं है,$d \neq 0$.
दिया गया है कि $a = A + 6d$,$b = A + 10d$,और $c = A + 12d$.
चूँकि $a, b, c$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ होगा।
मान रखने पर: $(A + 10d)^2 = (A + 6d)(A + 12d)$.
$A^2 + 20Ad + 100d^2 = A^2 + 18Ad + 72d^2$.
$2Ad = -28d^2$.
चूँकि $d \neq 0$,$2d$ से भाग देने पर $A = -14d$,या $\frac{A}{d} = -14$ प्राप्त होता है।
अब,$\frac{a}{c} = \frac{A + 6d}{A + 12d} = \frac{\frac{A}{d} + 6}{\frac{A}{d} + 12}$.
$\frac{A}{d} = -14$ रखने पर: $\frac{-14 + 6}{-14 + 12} = \frac{-8}{-2} = 4$.

(A) चूंकि $a, b, c$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ है।
समीकरण $ax^2 + 2bx + c = 0$ को $(\sqrt{a}x + \sqrt{c})^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,इस समीकरण का मूल $x = -\frac{b}{a}$ है।
चूंकि यह $dx^2 + 2ex + f = 0$ के लिए भी एक उभयनिष्ठ मूल है,इसलिए $x = -\frac{b}{a}$ को दूसरे समीकरण में रखने पर:
$d(-\frac{b}{a})^2 + 2e(-\frac{b}{a}) + f = 0$
$d(\frac{b^2}{a^2}) - \frac{2eb}{a} + f = 0$
$a^2$ से गुणा करने पर,$db^2 - 2eab + fa^2 = 0$ प्राप्त होता है।
$b^2 = ac$ रखने पर,$dac - 2eab + fa^2 = 0$ प्राप्त होता है।
पूरे समीकरण को $ac$ से विभाजित करने पर,$\frac{d}{a} - \frac{2e}{b} + \frac{f}{c} = 0$ प्राप्त होता है,जो दर्शाता है कि $\frac{d}{a} + \frac{f}{c} = 2(\frac{e}{b})$ है।
यह शर्त दर्शाती है कि $\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ एक $A.P.$ में हैं।

(A) दिया गया है कि $A.M. = \frac{a+b}{2} = 10 \implies a+b = 20$ $(1)$
दिया गया है कि $G.M. = \sqrt{ab} = 8 \implies ab = 64$ $(2)$
सर्वसमिका $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$ का उपयोग करने पर:
$(a-b)^2 = (20)^2 - 4(64) = 400 - 256 = 144$
अतः,$a-b = \pm 12$ $(3)$
$(1)$ और $(3)$ को हल करने पर:
यदि $a-b = 12$ है,तो $2a = 32 \implies a = 16$ और $b = 4$।
यदि $a-b = -12$ है,तो $2a = 8 \implies a = 4$ और $b = 16$।
अतः,संख्याएँ $4$ और $16$ हैं।

(A) और $b$ का गुणोत्तर माध्य $\sqrt{ab}$ होता है।
दी गई शर्त के अनुसार:
$\frac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^{n}+b^{n}} = \sqrt{ab} = (ab)^{1/2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{(a^{n+1}+b^{n+1})^2}{(a^n+b^n)^2} = ab$
$a^{2n+2} + 2a^{n+1}b^{n+1} + b^{2n+2} = ab(a^{2n} + 2a^nb^n + b^{2n})$
$a^{2n+2} + 2a^{n+1}b^{n+1} + b^{2n+2} = a^{2n+1}b + 2a^{n+1}b^{n+1} + ab^{2n+1}$
दोनों पक्षों से $2a^{n+1}b^{n+1}$ घटाने पर:
$a^{2n+2} + b^{2n+2} = a^{2n+1}b + ab^{2n+1}$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$a^{2n+2} - a^{2n+1}b = ab^{2n+1} - b^{2n+2}$
$a^{2n+1}(a - b) = b^{2n+1}(a - b)$
यदि $a \neq b$ है,तो $(a - b)$ से भाग देने पर:
$a^{2n+1} = b^{2n+1}$
$(\frac{a}{b})^{2n+1} = 1 = (\frac{a}{b})^0$
$2n + 1 = 0$
$n = -\frac{1}{2}$

(N/A) माना दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
गुणोत्तर माध्य $(G.M.)$ = $\sqrt{ab}$ है।
दी गई शर्त के अनुसार:
$a+b = 6\sqrt{ab}$ --- $(1)$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(a+b)^2 = 36ab$
हम जानते हैं कि $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$ होता है।
$(1)$ से मान रखने पर:
$(a-b)^2 = 36ab - 4ab = 32ab$
$a-b = \sqrt{32}\sqrt{ab} = 4\sqrt{2}\sqrt{ab}$ --- $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$2a = (6+4\sqrt{2})\sqrt{ab}$
$a = (3+2\sqrt{2})\sqrt{ab}$
$a$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$b = 6\sqrt{ab} - (3+2\sqrt{2})\sqrt{ab}$
$b = (3-2\sqrt{2})\sqrt{ab}$
अतः,अनुपात:
$\frac{a}{b} = \frac{(3+2\sqrt{2})\sqrt{ab}}{(3-2\sqrt{2})\sqrt{ab}} = \frac{3+2\sqrt{2}}{3-2\sqrt{2}}$
इस प्रकार,संख्याएँ $(3+2\sqrt{2}):(3-2\sqrt{2})$ के अनुपात में हैं।

यह दिया गया है कि $A$ और $G$ दो धनात्मक संख्याओं के बीच $A.M.$ और $G.M.$ हैं।
माना ये दो धनात्मक संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
$\therefore A.M. = A = \frac{a+b}{2}$ .........$(1)$
$G.M. = G = \sqrt{ab}$ .........$(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,हमें प्राप्त होता है:
$a+b = 2A$ .........$(3)$
$ab = G^2$ .........$(4)$
हम जानते हैं कि $(a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab$.
$(3)$ और $(4)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(a-b)^2 = (2A)^2 - 4G^2 = 4A^2 - 4G^2 = 4(A^2 - G^2)$
$(a-b)^2 = 4(A+G)(A-G)$
$(a-b) = 2\sqrt{(A+G)(A-G)}$ .........$(5)$
$(3)$ और $(5)$ को जोड़ने पर:
$2a = 2A + 2\sqrt{(A+G)(A-G)} \Rightarrow a = A + \sqrt{(A+G)(A-G)}$
$(3)$ में से $(5)$ को घटाने पर:
$2b = 2A - 2\sqrt{(A+G)(A-G)} \Rightarrow b = A - \sqrt{(A+G)(A-G)}$
अतः,वे दो संख्याएँ $A \pm \sqrt{(A+G)(A-G)}$ हैं।

(N/A) माना $A.P.$ का प्रथम पद $a$ और सार्व अंतर $d$ है।
पद $a_p = a + (p-1)d, a_q = a + (q-1)d, a_r = a + (r-1)d, a_s = a + (s-1)d$ हैं।
चूंकि $a_p, a_q, a_r, a_s$ $G.P.$ में हैं,सार्व अनुपात $k = \frac{a_q}{a_p} = \frac{a_r}{a_q} = \frac{a_s}{a_r}$ है।
अनुपात के गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\frac{a_q - a_r}{a_p - a_q} = \frac{a_q(1 - k)}{a_p(1 - k)} = \frac{a_q}{a_p} = k$.
साथ ही,$a_q - a_r = (q-r)d$ और $a_p - a_q = (p-q)d$.
अतः,$k = \frac{(q-r)d}{(p-q)d} = \frac{q-r}{p-q}$.
इसी प्रकार,$\frac{a_r - a_s}{a_q - a_r} = \frac{a_r}{a_q} = k = \frac{r-s}{q-r}$.
चूंकि दोनों अनुपात $k$ के बराबर हैं,इसलिए $\frac{q-r}{p-q} = \frac{r-s}{q-r},$ जो दर्शाता है कि $(p-q), (q-r), (r-s)$ $G.P.$ में हैं।

(N/A) माना $a^{\frac{1}{x}} = b^{\frac{1}{y}} = c^{\frac{1}{z}} = k.$
तब $a = k^{x}, b = k^{y},$ और $c = k^{z}$ $(1).$
चूंकि $a, b, c$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^{2} = ac$ $(2).$
$(1)$ को $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(k^{y})^{2} = k^{x} \cdot k^{z}$ प्राप्त होता है।
यह $k^{2y} = k^{x+z}$ में सरल हो जाता है।
घातांकों की तुलना करने पर,$2y = x + z$ प्राप्त होता है।
चूंकि $2y = x + z,$ अतः $x, y, z$ $A.P.$ में हैं।

(A) माना $G.P.$ में तीन संख्याएँ $a, ar, ar^2$ हैं।
दी गई शर्त के अनुसार,$a + ar + ar^2 = 56 \Rightarrow a(1 + r + r^2) = 56$ ........$(1)$
इन संख्याओं में से $1, 7, 21$ घटाने पर,$a-1, ar-7, ar^2-21$ प्राप्त होते हैं,जो $A.P.$ में हैं।
अतः,$(ar-7) - (a-1) = (ar^2-21) - (ar-7)$
$ar - a - 6 = ar^2 - ar - 14$
$ar^2 - 2ar + a = 8$ $\Rightarrow a(r^2 - 2r + 1) = 8$ $\Rightarrow a(r-1)^2 = 8$ ........$(2)$
$(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a(1+r+r^2)}{a(r-1)^2} = \frac{56}{8} = 7$
$1 + r + r^2 = 7(r^2 - 2r + 1)$
$1 + r + r^2 = 7r^2 - 14r + 7$
$6r^2 - 15r + 6 = 0 \Rightarrow 2r^2 - 5r + 2 = 0$
$(2r-1)(r-2) = 0$
यदि $r=2$ है,तो $a(2-1)^2 = 8 \Rightarrow a=8$. संख्याएँ $8, 16, 32$ हैं।
यदि $r=1/2$ है,तो $a(1/2-1)^2 = 8$ $\Rightarrow a(1/4) = 8$ $\Rightarrow a=32$. संख्याएँ $32, 16, 8$ हैं।

दिया गया है कि $a$ और $b$,$x^{2}-3x+p=0$ के मूल हैं,इसलिए $a+b=3$ और $ab=p$ $(1)$.
दिया गया है कि $c$ और $d$,$x^{2}-12x+q=0$ के मूल हैं,इसलिए $c+d=12$ और $cd=q$ $(2)$.
चूंकि $a, b, c, d$ एक $G.P.$ में हैं,मान लीजिए $a=x, b=xr, c=xr^{2}, d=xr^{3}$.
$(1)$ से,$x+xr=3 \Rightarrow x(1+r)=3$.
$(2)$ से,$xr^{2}+xr^{3}=12 \Rightarrow xr^{2}(1+r)=12$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{xr^{2}(1+r)}{x(1+r)} = \frac{12}{3}$ $\Rightarrow r^{2}=4$ $\Rightarrow r=\pm 2$.
स्थिति $I$: यदि $r=2$,तो $x(1+2)=3 \Rightarrow x=1$. अतः $a=1, b=2, c=4, d=8$. तो $p=ab=2$ और $q=cd=32$.
$\frac{q+p}{q-p} = \frac{32+2}{32-2} = \frac{34}{30} = \frac{17}{15}$.
स्थिति $II$: यदि $r=-2$,तो $x(1-2)=3 \Rightarrow x=-3$. अतः $a=-3, b=6, c=-12, d=24$. तो $p=ab=-18$ और $q=cd=-288$.
$\frac{q+p}{q-p} = \frac{-288-18}{-288+18} = \frac{-306}{-270} = \frac{17}{15}$.
इस प्रकार,दोनों स्थितियों में $(q+p):(q-p)=17:15$ प्राप्त होता है।

माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
$A.M. = \frac{a+b}{2}$ और $G.M. = \sqrt{ab}.$
दी गई शर्त के अनुसार,
$\frac{a+b}{2\sqrt{ab}} = \frac{m}{n}$
$\Rightarrow \frac{(a+b)^{2}}{4ab} = \frac{m^{2}}{n^{2}}$
$\Rightarrow (a+b)^{2} = \frac{4abm^{2}}{n^{2}}$
$\Rightarrow a+b = \frac{2\sqrt{ab}m}{n} \quad \dots(1)$
सर्वसमिका $(a-b)^{2} = (a+b)^{2} - 4ab$ का उपयोग करने पर,
$(a-b)^{2} = \frac{4abm^{2}}{n^{2}} - 4ab = \frac{4ab(m^{2}-n^{2})}{n^{2}}$
$\Rightarrow a-b = \frac{2\sqrt{ab}\sqrt{m^{2}-n^{2}}}{n} \quad \dots(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,$2a = \frac{2\sqrt{ab}}{n}(m + \sqrt{m^{2}-n^{2}}),$
$\Rightarrow a = \frac{\sqrt{ab}}{n}(m + \sqrt{m^{2}-n^{2}}).$
$a$ का मान $(1)$ में रखने पर,हमें $b = \frac{\sqrt{ab}}{n}(m - \sqrt{m^{2}-n^{2}})$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{a}{b} = \frac{m + \sqrt{m^{2}-n^{2}}}{m - \sqrt{m^{2}-n^{2}}}.$
इस प्रकार,$a:b = (m + \sqrt{m^{2}-n^{2}}) : (m - \sqrt{m^{2}-n^{2}}).$

(N/A) यह दिया गया है कि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं।
$\therefore 2b = a + c$ .......$(1)$
यह दिया गया है कि $b, c, d$ $G.P.$ में हैं।
$\therefore c^{2} = bd$ .......$(2)$
साथ ही,$\frac{1}{c}, \frac{1}{d}, \frac{1}{e}$ $A.P.$ में हैं।
$\therefore \frac{2}{d} = \frac{1}{c} + \frac{1}{e}$ .......$(3)$
हमें सिद्ध करना है कि $a, c, e$ $G.P.$ में हैं,अर्थात $c^{2} = ae.$
$(1)$ से,$b = \frac{a+c}{2}.$
$(2)$ से,$d = \frac{c^{2}}{b}.$
इन मानों को $(3)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2}{\frac{c^{2}}{b}} = \frac{1}{c} + \frac{1}{e}$
$\frac{2b}{c^{2}} = \frac{e+c}{ce}$
$\frac{2(\frac{a+c}{2})}{c^{2}} = \frac{e+c}{ce}$
$\frac{a+c}{c^{2}} = \frac{e+c}{ce}$
$\frac{a+c}{c} = \frac{e+c}{e}$
$(a+c)e = c(e+c)$
$ae + ce = ce + c^{2}$
$c^{2} = ae$
अतः,$a, c, e$ $G.P.$ में हैं।

(C) चूँकि $\frac{1}{16}, a, b$ एक $G.P.$ में हैं,हमारे पास $a^2 = \frac{b}{16}$ है,जिसका अर्थ है $b = 16a^2$.
चूँकि $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, 6$ एक $A.P.$ में हैं,हमारे पास $\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + 6$ है।
$b = 16a^2$ को $A.P.$ समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2}{16a^2} = \frac{1}{a} + 6$
$\frac{1}{8a^2} = \frac{1}{a} + 6$
$8a^2$ से गुणा करने पर:
$1 = 8a + 48a^2$
$48a^2 + 8a - 1 = 0$
$(12a - 1)(4a + 1) = 0$
चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = \frac{1}{12}$ है।
तब $b = 16 \times (\frac{1}{12})^2 = 16 \times \frac{1}{144} = \frac{1}{9}$ है।
अंत में,$72(a + b) = 72(\frac{1}{12} + \frac{1}{9}) = 72(\frac{3 + 4}{36}) = 72(\frac{7}{36}) = 2 \times 7 = 14$।

(B) दिया गया है $x = \frac{1}{1-a}$,$y = \frac{1}{1-b}$,और $z = \frac{1}{1-c}$।
इससे,$a = 1 - \frac{1}{x}$,$b = 1 - \frac{1}{y}$,और $c = 1 - \frac{1}{z}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$।
मान रखने पर: $2(1 - \frac{1}{y}) = (1 - \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{z})$
$2 - \frac{2}{y} = 2 - (\frac{1}{x} + \frac{1}{z})$
$\frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{z}$।
यह दर्शाता है कि $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ $A.P.$ में हैं।

(C) माना दो पूर्णांक $A = 10a+b$ और $G = 10b+a$ हैं,जहाँ $A$ समांतर माध्य है और $G$ गुणोत्तर माध्य है।
दिया गया है,$\frac{x+y}{2} = 10a+b$ और $\sqrt{xy} = 10b+a$.
अतः,$x+y = 2(10a+b)$ और $xy = (10b+a)^2$.
हम जानते हैं कि $(x-y)^2 = (x+y)^2 - 4xy$.
मान रखने पर,$(x-y)^2 = 4(10a+b)^2 - 4(10b+a)^2$.
$(x-y)^2 = 4[(10a+b)^2 - (10b+a)^2] = 4(10a+b-10b-a)(10a+b+10b+a)$.
$(x-y)^2 = 4(9a-9b)(11a+11b) = 4 \times 9 \times 11(a-b)(a+b) = 396(a-b)(a+b)$.
$(x-y)^2$ के पूर्ण वर्ग होने के लिए,$(a-b)(a+b)$ को $11 \times k^2$ के रूप में होना चाहिए।
चूंकि $a$ और $b$ अंक हैं,$a+b \leq 18$ और $a-b < 10$। एकमात्र संभावना $a+b=11$ और $a-b=1$ है।
$a+b=11$ और $a-b=1$ को हल करने पर $2a=12 \Rightarrow a=6$ और $b=5$ प्राप्त होता है।
अतः,$x+y = 2(10(6)+5) = 2(65) = 130$.

(A) दिया गया है कि $a, b, \frac{1}{18}$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $b^2 = a \times \frac{1}{18} \implies a = 18b^2$ $(i)$.
दिया गया है कि $\frac{1}{a}, 10, \frac{1}{b}$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 2 \times 10 = 20$.
$\frac{a+b}{ab} = 20 \implies a+b = 20ab$ $(ii)$.
$(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$18b^2 + b = 20(18b^2)b = 360b^3$.
चूंकि $b > 0$,$b$ से विभाजित करने पर: $18b + 1 = 360b^2 \implies 360b^2 - 18b - 1 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $b = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 4(360)(-1)}}{2(360)} = \frac{18 \pm \sqrt{1764}}{720} = \frac{18 \pm 42}{720}$.
चूंकि $b > 0$,$b = \frac{60}{720} = \frac{1}{12}$.
तब $a = 18 \times (\frac{1}{12})^2 = 18 \times \frac{1}{144} = \frac{1}{8}$.
अंत में,$16a + 12b = 16(\frac{1}{8}) + 12(\frac{1}{12}) = 2 + 1 = 3$.

(B) श्रेणी $S_1$ एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a_1 = 3$ और सार्व अंतर $d_1 = 4$ है। इसका सामान्य पद $T_n = 3 + (n-1)4 = 4n - 1$ है।
श्रेणी $S_2$ एक समांतर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a_2 = 1$ और सार्व अंतर $d_2 = 5$ है। इसका सामान्य पद $T_m = 1 + (m-1)5 = 5m - 4$ है।
सामान्य पद के लिए,$4n - 1 = 5m - 4$,जिसका अर्थ है $4n + 3 = 5m$।
प्रथम सामान्य पद $11$ है ($n=3, m=3$ के लिए)।
सामान्य पदों द्वारा बनी नई श्रेणी का सार्व अंतर $d_1$ और $d_2$ का लघुत्तम समापवर्त्य है,जो $\text{lcm}(4, 5) = 20$ है।
$k^{\text{th}}$ सामान्य पद $T_k = 11 + (k-1)20$ द्वारा दिया जाता है।
$k=8$ के लिए,$T_8 = 11 + (8-1) \times 20 = 11 + 7 \times 20 = 11 + 140 = 151$।

(A) दिया गया है कि $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $\frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{z}$।
दिया गया है कि $x, \sqrt{2}y, z$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $(\sqrt{2}y)^2 = xz$,जिसका अर्थ है $2y^2 = xz$।
पहले समीकरण में $xz = 2y^2$ रखने पर: $\frac{2}{y} = \frac{x+z}{xz} = \frac{x+z}{2y^2}$,जो सरल होकर $x+z = 4y$ हो जाता है।
दिए गए समीकरण $xy + yz + zx = \frac{3}{\sqrt{2}} xyz$ को $y(x+z) + xz = \frac{3}{\sqrt{2}} xyz$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$x+z = 4y$ और $xz = 2y^2$ रखने पर: $y(4y) + 2y^2 = \frac{3}{\sqrt{2}} y(2y^2)$।
$4y^2 + 2y^2 = \frac{3}{\sqrt{2}} (2y^3) \implies 6y^2 = 3\sqrt{2} y^3$।
चूंकि $y > 0$,$3y^2$ से विभाजित करने पर: $2 = \sqrt{2}y$,इसलिए $y = \sqrt{2}$।
तब $x+z = 4y = 4\sqrt{2}$,इसलिए $x+y+z = 5y = 5\sqrt{2}$।
अंत में,$3(x+y+z)^2 = 3(5\sqrt{2})^2 = 3(25 \times 2) = 3(50) = 150$।

(D) मान लीजिए $A.P.$ है $a, a+d, a+2d, \dots$ और $G.P.$ है $2, p, q, \dots$
दिया गया है कि $2, p, q$ $A.P.$ के $7^{\text{th}}, 8^{\text{th}}, 13^{\text{th}}$ पद हैं:
$2 = a + 6d \quad \dots(i)$
$p = a + 7d \quad \dots(ii)$
$q = a + 12d \quad \dots(iii)$
$(ii)$ में से $(i)$ घटाने पर,$p - 2 = d$ प्राप्त होता है।
$(iii)$ में से $(ii)$ घटाने पर,$q - p = 5d$ प्राप्त होता है।
चूंकि $q - p = 5(p - 2)$,इसलिए $q = 6p - 10$ प्राप्त होता है।
चूंकि $2, p, q$ $G.P.$ में हैं,$p^2 = 2q$।
$q = 6p - 10$ प्रतिस्थापित करने पर,$p^2 = 2(6p - 10) \implies p^2 - 12p + 20 = 0$।
$p$ के लिए हल करने पर,$(p - 10)(p - 2) = 0$,अतः $p = 10$ या $p = 2$।
यदि $p = 2$ है,तो $q = 2$ होता है,जो $q \neq 2$ की शर्त का खंडन करता है। अतः,$p = 10$।
तब $d = p - 2 = 8$ और $a = 2 - 6(8) = -46$।
$G.P.$ है $2, 10, 50, 250, 1250, \dots$
$G.P.$ का $5^{\text{th}}$ पद $2 \times 5^4 = 1250$ है।
मान लीजिए यह $A.P.$ का $n^{\text{th}}$ पद है: $1250 = a + (n - 1)d$।
$1250 = -46 + (n - 1)8 \implies 1296 = (n - 1)8 \implies n - 1 = 162 \implies n = 163$.

(A) चूँकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
$a, b, c$ का समांतर माध्य $8$ दिया गया है,अतः $\frac{a+b+c}{3} = 8$,जिसका अर्थ है $a+b+c = 24$।
$a+c = 2b$ प्रतिस्थापित करने पर,$3b = 24$,जिससे $b = 8$ प्राप्त होता है।
तब $a+c = 16$,अतः $c = 16 - a$।
चूँकि $a+1, b, c+3$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $b^2 = (a+1)(c+3)$ है।
$b=8$ और $c=16-a$ रखने पर,$64 = (a+1)(19-a)$ प्राप्त होता है।
$64 = 19a - a^2 + 19 - a$,जो $a^2 - 18a + 45 = 0$ में बदल जाता है।
गुणनखंड करने पर,$(a-15)(a-3) = 0$ प्राप्त होता है।
चूँकि $a > 10$ है,इसलिए $a = 15$ होगा।
तब $c = 16 - 15 = 1$।
संख्याएँ $a=15, b=8, c=1$ हैं।
गुणोत्तर माध्य का घन $(abc)^{1/3}$ का घन यानी $abc = 15 \times 8 \times 1 = 120$ है।

(C, A, B) $1.$ Given $A_n = \frac{A_{n-1} H_{n-1}}{2}$,$G_n = \sqrt{A_{n-1} H_{n-1}}$,and $H_n = \frac{2 A_{n-1} H_{n-1}}{A_{n-1} H_{n-1}}$.
Note that $G_n^2 = A_{n-1} H_{n-1} = A_n H_n$. Also,$G_n = \sqrt{A_{n-1} H_{n-1}} = \sqrt{G_{n-1}^2} = G_{n-1}$.
Thus,$G_1 = G_2 = G_3 = \ldots = \sqrt{ab}$.
$2.$ Since $A_n$ is the arithmetic mean of $A_{n-1}$ and $H_{n-1}$,and $A_{n-1} > H_{n-1}$ for $n \geq 2$,we have $A_{n-1} > A_n > H_{n-1}$.
Since $H_{n-1} < H_n < A_n < A_{n-1}$,it follows that $A_1 > A_2 > A_3 > \ldots$.
$3.$ Since $H_n$ is the harmonic mean of $A_{n-1}$ and $H_{n-1}$,and $A_{n-1} > H_{n-1}$,we have $A_{n-1} > H_n > H_{n-1}$.
Since $H_n > H_{n-1}$,it follows that $H_1 < H_2 < H_3 < \ldots$.

(B) दिया गया है कि $\log _e b_1, \log _e b_2, \ldots, \log _e b_{101}$ एक $A.P.$ में हैं,इसलिए $b_1, b_2, \ldots, b_{101}$ एक $G.P.$ में हैं जिसका सार्व अनुपात $r = 2$ है।
$a_1 = b_1 = a$ और $a_{51} = b_{51}$ होने के कारण,$a + 50d = a \cdot 2^{50}$,अर्थात $d = \frac{a(2^{50} - 1)}{50}$ है।
$G.P.$ के प्रथम $51$ पदों का योग $t = a(2^{51} - 1)$ है।
$A.P.$ के प्रथम $51$ पदों का योग $s = \frac{51}{2}(2a + 50d) = \frac{51}{2}a(2^{50} + 1)$ है।
तुलना करने पर,$s > t$ प्राप्त होता है।
$101$ वें पदों के लिए: $a_{101} = a(2^{51} - 1)$ और $b_{101} = a \cdot 2^{100}$ है।
अतः,$b_{101} > a_{101}$ है।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ $AP$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$।
चूंकि $b-a, c-b, a$ $GP$ में हैं,हमारे पास $(c-b)^2 = (b-a)a$ है।
$AP$ में,$b-a = c-b = d$ (सार्व अंतर)।
$GP$ की शर्त में $c-b = b-a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(b-a)^2 = (b-a)a$।
यदि $b \neq a$ है,तो हमें $b-a = a$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $b = 2a$।
$2b = a + c$ में $b = 2a$ रखने पर,हमें $2(2a) = a + c$ प्राप्त होता है,इसलिए $4a = a + c$,जिसका अर्थ है $c = 3a$।
अतः,$a: b: c = a: 2a: 3a = 1: 2: 3$।

(B) दिया गया है कि $x_{1}, x_{2}$ समीकरण $x^{2}-3x+a=0$ के मूल हैं,अतः $x_{1}+x_{2}=3$ और $x_{1}x_{2}=a$ है।
दिया गया है कि $x_{3}, x_{4}$ समीकरण $x^{2}-12x+b=0$ के मूल हैं,अतः $x_{3}+x_{4}=12$ और $x_{3}x_{4}=b$ है।
चूंकि $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,उन्हें $A, AR, AR^{2}, AR^{3}$ मान लें।
तब $x_{1}+x_{2} = A(1+R) = 3$ और $x_{3}+x_{4} = AR^{2}(1+R) = 12$ होगा।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,$R^{2} = 12/3 = 4$ प्राप्त होता है,इसलिए $R = 2$ (क्योंकि $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ का अर्थ है $R > 0$)।
$R=2$ को $A(1+R)=3$ में रखने पर,$A(3)=3$ प्राप्त होता है,अतः $A=1$ है।
पद $1, 2, 4, 8$ हैं।
इस प्रकार,$a = x_{1}x_{2} = 1 \times 2 = 2$ और $b = x_{3}x_{4} = 4 \times 8 = 32$ है।
अतः,$ab = 2 \times 32 = 64$ है।

(B) माना प्रथम पद $a_1$ और द्वितीय पद $a_2$ है। चूंकि पद धनात्मक हैं,$a_1 > 0$ और $a_2 > 0$ है।
$A.P.$ के लिए,सार्व अंतर $d = a_2 - a_1$ है। अतः,$a_n = a_1 + (n - 1)(a_2 - a_1)$ है।
$G.P.$ के लिए,सार्व अनुपात $r = \frac{a_2}{a_1}$ है। अतः,$b_n = a_1 \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^{n-1}$ है।
$n = 3$ के लिए,$a_3 = a_1 + 2(a_2 - a_1) = 2a_2 - a_1$ है।
$n = 3$ के लिए,$b_3 = a_1 \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^2 = \frac{a_2^2}{a_1}$ है।
$b_3 - a_3 = \frac{a_2^2}{a_1} - (2a_2 - a_1) = \frac{a_2^2 - 2a_1a_2 + a_1^2}{a_1} = \frac{(a_2 - a_1)^2}{a_1}$ है।
चूंकि $a_1 > 0$ और $(a_2 - a_1)^2 \ge 0$ है,इसलिए $b_3 \ge a_3$ है। यदि $a_1 \neq a_2$ है,तो $b_3 > a_3$ होगा। अतः सभी $n > 2$ के लिए $b_n > a_n$ है।

(A) माना कि दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।
दिया गया है कि $G.M. = \sqrt{ab} = 10$,इसलिए $ab = 100$।
दिया गया है कि $H.M. = \frac{2ab}{a+b} = 8$।
$H.M.$ के समीकरण में $ab = 100$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2(100)}{a+b} = 8$ $\Rightarrow \frac{200}{a+b} = 8$ $\Rightarrow a+b = \frac{200}{8} = 25$।
अब हमारे पास $a+b = 25$ और $ab = 100$ है।
$a$ और $b$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (a+b)x + ab = 0$ है।
$x^2 - 25x + 100 = 0$।
$(x-20)(x-5) = 0$।
अतः,वे संख्याएँ $5$ और $20$ हैं।

(A) दिया गया है कि $\frac{x^{n+1}+y^{n+1}}{x^n+y^n} = \sqrt{xy}$.
इसका अर्थ है $x^{n+1} + y^{n+1} = (xy)^{1/2} (x^n + y^n)$.
$x^{n+1} + y^{n+1} = x^{n+1/2} y^{1/2} + x^{1/2} y^{n+1/2}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x^{n+1} - x^{n+1/2} y^{1/2} = x^{1/2} y^{n+1/2} - y^{n+1}$.
$x^{n+1/2} (x^{1/2} - y^{1/2}) = y^{n+1/2} (x^{1/2} - y^{1/2})$.
यदि $x \neq y$ है,तो दोनों पक्षों को $(x^{1/2} - y^{1/2})$ से विभाजित करने पर:
$x^{n+1/2} = y^{n+1/2}$.
$(x/y)^{n+1/2} = 1$.
चूंकि $(x/y)^0 = 1$,इसलिए $n + 1/2 = 0$.
अतः,$n = -1/2$.

(B) और $b$ का समांतर माध्य $\frac{a+b}{2}$ होता है।
दिया गया है कि $\frac{a^{m+1}+b^{m+1}}{a^m+b^m} = \frac{a+b}{2}$.
तिर्यक गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2(a^{m+1} + b^{m+1}) = (a+b)(a^m + b^m)$
$2a^{m+1} + 2b^{m+1} = a^{m+1} + ab^m + ba^m + b^{m+1}$
दोनों पक्षों से $a^{m+1} + b^{m+1}$ घटाने पर:
$a^{m+1} + b^{m+1} = ab^m + ba^m$
$a^{m+1} - ba^m = ab^m - b^{m+1}$
$a^m(a - b) = b^m(a - b)$
यदि $a \neq b$,तो हम $(a - b)$ से विभाजित कर सकते हैं:
$a^m = b^m$
$\left(\frac{a}{b}\right)^m = 1$
चूंकि $1 = (\frac{a}{b})^0$,इसलिए $m = 0$.

(D) माना प्रथम पद $x$ है और $(2n-1)$-वां पद $y$ है।
चूँकि $a, b, c$ क्रमशः $AP, GP, HP$ के $n$-वें पद हैं,वे $x$ और $y$ के समांतर माध्य,गुणोत्तर माध्य और हरात्मक माध्य हैं।
हम जानते हैं कि किन्हीं दो धनात्मक संख्याओं $x$ और $y$ के लिए,$AM \geq GM \geq HM$ होता है।
इसलिए,$a \geq b \geq c$।
साथ ही,$AM, GM$ और $HM$ के बीच का संबंध $AM \cdot HM = GM^2$ है,जिसका अर्थ है $a \cdot c = b^2$ या $ac - b^2 = 0$।

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ एक $A.P.$ में हैं,तो $a = b - d$ और $c = b + d$ मान लें।
चूंकि $a+b+c=1,$ इसलिए $(b-d) + b + (b+d) = 1,$ जिसका अर्थ है $3b = 1$ या $b = \frac{1}{3}.$
चूंकि $a^{2}, 2b^{2}, c^{2}$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $(2b^{2})^{2} = a^{2}c^{2},$ अर्थात $4b^{4} = (ac)^{2}.$
$a = b-d$ और $c = b+d$ रखने पर,$4b^{4} = ((b-d)(b+d))^{2} = (b^{2}-d^{2})^{2}.$
वर्गमूल लेने पर,$b^{2}-d^{2} = \pm 2b^{2}.$
स्थिति $1: b^{2}-d^{2} = 2b^{2} \Rightarrow d^{2} = -b^{2}$ (वास्तविक $d$ के लिए संभव नहीं है)।
स्थिति $2: b^{2}-d^{2} = -2b^{2} \Rightarrow d^{2} = 3b^{2} = 3(\frac{1}{9}) = \frac{1}{3}.$
चूंकि $a < b < c,$ इसलिए $d$ धनात्मक होना चाहिए,अतः $d = \frac{1}{\sqrt{3}}.$
अब,$a^{2}+b^{2}+c^{2} = (b-d)^{2} + b^{2} + (b+d)^{2} = 3b^{2} + 2d^{2}.$
मान रखने पर: $3(\frac{1}{9}) + 2(\frac{1}{3}) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1.$
अतः,$9(a^{2}+b^{2}+c^{2}) = 9(1) = 9.$