Harmonic progression Questions in Gujarati

(B) ધારો કે સ્વરિત શ્રેણી $\frac{1}{a}, \frac{1}{a+d}, \frac{1}{a+2d}, \dots$ છે.
તેથી,$u = \frac{1}{a+(p-1)d}$,$v = \frac{1}{a+(q-1)d}$,અને $w = \frac{1}{a+(r-1)d}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{1}{u} = a+(p-1)d$,$\frac{1}{v} = a+(q-1)d$,અને $\frac{1}{w} = a+(r-1)d$.
આ સમીકરણોની બાદબાકી કરતા:
$\frac{1}{u} - \frac{1}{v} = (p-q)d \implies \frac{v-u}{uv} = (p-q)d$
$\frac{1}{v} - \frac{1}{w} = (q-r)d \implies \frac{w-v}{vw} = (q-r)d$
$\frac{1}{w} - \frac{1}{u} = (r-p)d \implies \frac{u-w}{wu} = (r-p)d$
પદોનો ગુણાકાર કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $(q-r)vw + (r-p)wu + (p-q)uv = 0$.

(C) બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ નો સ્વરિત મધ્યક $H = \frac{2xy}{x + y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $x = \frac{a}{1 - ab}$ અને $y = \frac{a}{1 + ab}$ છે.
પ્રથમ,ગુણાકાર $xy = \left(\frac{a}{1 - ab}\right) \left(\frac{a}{1 + ab}\right) = \frac{a^2}{1 - a^2b^2}$ શોધો.
ત્યારબાદ,સરવાળો $x + y = \frac{a}{1 - ab} + \frac{a}{1 + ab} = \frac{a(1 + ab) + a(1 - ab)}{(1 - ab)(1 + ab)} = \frac{a + a^2b + a - a^2b}{1 - a^2b^2} = \frac{2a}{1 - a^2b^2}$ શોધો.
હવે,$H = \frac{2 \left(\frac{a^2}{1 - a^2b^2}\right)}{\frac{2a}{1 - a^2b^2}} = \frac{2a^2}{2a} = a$.

(A) સ્વરિત શ્રેણી $(H.P.)$ માં,પદો એ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ ના વ્યસ્ત હોય છે.
ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$H.P.$ નું $5^{th}$ મું પદ $1/45$ છે,તેથી $A.P.$ નું $5^{th}$ મું પદ $a + 4d = 45 \dots (i)$ થાય.
$H.P.$ નું $11^{th}$ મું પદ $1/69$ છે,તેથી $A.P.$ નું $11^{th}$ મું પદ $a + 10d = 69 \dots (ii)$ થાય.
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(a + 10d) - (a + 4d) = 69 - 45$
$6d = 24 \implies d = 4$.
$d = 4$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$a + 4(4) = 45 \implies a + 16 = 45 \implies a = 29$.
$A.P.$ નું $16^{th}$ મું પદ $a + 15d = 29 + 15(4) = 29 + 60 = 89$ થાય.
તેથી,$H.P.$ નું $16^{th}$ મું પદ $1/89$ થાય.

(A) આપેલ છે કે $x = \frac{1}{1-a}$,$y = \frac{1}{1-b}$,અને $z = \frac{1}{1-c}$.
$a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$2b = a + c$ થાય.
આપણે તપાસવું છે કે $x, y, z$ સ્વરિત શ્રેણીમાં છે કે નહીં,જેના માટે $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવા જોઈએ.
અહીં $\frac{1}{x} = 1-a$,$\frac{1}{y} = 1-b$,અને $\frac{1}{z} = 1-c$ છે.
ધારો કે $A = 1-a$,$B = 1-b$,અને $C = 1-c$.
તો $2B = 2(1-b) = 2 - 2b = 2 - (a+c) = (1-a) + (1-c) = A + C$.
આમ,$A, B, C$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{A}, \frac{1}{B}, \frac{1}{C}$ એટલે કે $x, y, z$ સ્વરિત શ્રેણીમાં છે.

(B) આપેલ છે કે $(y - x), 2(y - a), (y - z)$ એ $H.P.$ માં છે.
આનો અર્થ એ છે કે તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{y - x}, \frac{1}{2(y - a)}, \frac{1}{y - z}$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,સામાન્ય તફાવત સમાન થાય:
$\frac{1}{2(y - a)} - \frac{1}{y - x} = \frac{1}{y - z} - \frac{1}{2(y - a)}$
$\frac{2}{2(y - a)} = \frac{1}{y - x} + \frac{1}{y - z}$
$\frac{1}{y - a} = \frac{(y - z) + (y - x)}{(y - x)(y - z)}$
$(y - x)(y - z) = (y - a)(2y - x - z)$
$y^2 - yz - xy + xz = 2y^2 - xy - yz - 2ay + ax + az$
$y^2 - xz = 2ay - ax - az$
$y^2 - 2ay + a^2 = xz - ax - az + a^2$
$(y - a)^2 = (x - a)(z - a)$
આ શરત દર્શાવે છે કે $(x - a), (y - a), (z - a)$ એ $G.P.$ માં છે.

(A) આપેલ શ્રેણી $\frac{1}{7}, \frac{1}{14}, \frac{1}{21}, \frac{1}{28}, \dots$ છે.
આ એક હરાત્મક શ્રેણી (Harmonic Progression) છે કારણ કે તેના પદોના વ્યસ્ત સમાંતર શ્રેણી બનાવે છે: $7, 14, 21, 28, \dots$
સમાંતર શ્રેણી માટે,પ્રથમ પદ $a = 7$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 14 - 7 = 7$ છે.
સમાંતર શ્રેણીનું $n^{th}$ પદ $a_n = a + (n - 1)d$ દ્વારા મળે છે.
$n = 9$ માટે,$a_9 = 7 + (9 - 1) \times 7 = 7 + 8 \times 7 = 7 + 56 = 63$.
તેથી,હરાત્મક શ્રેણીનું $9^{th}$ પદ $a_9$ નો વ્યસ્ત થશે,જે $\frac{1}{63}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $a, b, c$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે,તેથી $b^2 = ac$ $(1)$.
ધારો કે $a^x = b^y = c^z = k$.
તેથી $a = k^{1/x}, b = k^{1/y}, c = k^{1/z}$.
આ કિંમતો સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(k^{1/y})^2 = k^{1/x} \cdot k^{1/z}$
$k^{2/y} = k^{1/x + 1/z}$
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $\frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{z}$.
આ દર્શાવે છે કે $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$x, y, z$ સ્વરિત શ્રેણીમાં છે.

(C) જો $a, b, c$ સ્વરીત શ્રેણી $(HP)$ માં હોય,તો તેમના વ્યસ્ત $1/a, 1/b, 1/c$ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં હોય.
સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,સામાન્ય તફાવત સમાન હોય:
$1/b - 1/a = 1/c - 1/b$
$(a-b)/(ab) = (b-c)/(bc)$
બંને બાજુ $(b-c)$ વડે ભાગતા અને $ab$ વડે ગુણતા,આપણને મળે:
$(a-b)/(b-c) = (ab)/(bc) = a/c$

(A) બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ નો સ્વરિત મધ્યક $(HM)$ શોધવાનું સૂત્ર $HM = \frac{2xy}{x+y}$ છે.
અહીં,$x = \frac{a}{b}$ અને $y = \frac{b}{a}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$HM = \frac{2(\frac{a}{b})(\frac{b}{a})}{\frac{a}{b} + \frac{b}{a}}$
$HM = \frac{2(1)}{\frac{a^2+b^2}{ab}}$
$HM = \frac{2ab}{a^2+b^2}$.

(D) આપેલ છે કે $\frac{1}{b + c}, \frac{1}{c + a}, \frac{1}{a + b}$ એ $AP$ માં છે.
આનો અર્થ એ છે કે $b + c, c + a, a + b$ એ સ્વરિત શ્રેણી $(HP)$ માં છે.
દરેક પદમાંથી $a + b + c$ બાદ કરતા,આપણને $(b + c) - (a + b + c), (c + a) - (a + b + c), (a + b) - (a + b + c)$ એ $HP$ માં મળે છે.
આ સાદું રૂપ આપતા $-a, -b, -c$ એ $HP$ માં છે.
$-1$ વડે ગુણતા,$a, b, c$ એ $HP$ માં મળે છે.
જો $a, b, c$ એ $HP$ માં હોય,તો $a^2, b^2, c^2$ કોઈ પ્રમાણિત શ્રેણીમાં હોતા નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે આપેલી સંખ્યાઓ $a = log_{3}{2}$,$b = log_{6}{2}$,અને $c = log_{12}{2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $log_{x}{y} = \frac{1}{log_{y}{x}}$.
તેથી,$\frac{1}{a} = log_{2}{3}$,$\frac{1}{b} = log_{2}{6}$,અને $\frac{1}{c} = log_{2}{12}$.
હવે,વ્યસ્ત સંખ્યાઓનો તફાવત શોધીએ:
$\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = log_{2}{6} - log_{2}{3} = log_{2}(\frac{6}{3}) = log_{2}{2} = 1$.
$\frac{1}{c} - \frac{1}{b} = log_{2}{12} - log_{2}{6} = log_{2}(\frac{12}{6}) = log_{2}{2} = 1$.
ક્રમિક વ્યસ્ત સંખ્યાઓનો તફાવત સમાન હોવાથી,આ વ્યસ્ત સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,મૂળ સંખ્યાઓ સ્વરિત શ્રેણીમાં છે.

(D) આપેલ છે કે $X = \sum_{n=0}^\infty a^n = \frac{1}{1-a}$ જ્યાં $|a| < 1$.
તે જ રીતે,$Y = \frac{1}{1-b}$ અને $Z = \frac{1}{1-c}$.
આથી,$a = 1 - \frac{1}{X}$,$b = 1 - \frac{1}{Y}$,અને $c = 1 - \frac{1}{Z}$.
$a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$2b = a + c$.
કિંમતો મૂકતા: $2(1 - \frac{1}{Y}) = (1 - \frac{1}{X}) + (1 - \frac{1}{Z})$.
$2 - \frac{2}{Y} = 2 - (\frac{1}{X} + \frac{1}{Z})$.
$\frac{2}{Y} = \frac{1}{X} + \frac{1}{Z}$.
આ દર્શાવે છે કે $\frac{1}{X}, \frac{1}{Y}, \frac{1}{Z}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$X, Y, Z$ સ્વરિત શ્રેણી $(H.P.)$ માં છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{b - a} + \frac{1}{b - c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$.
ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ: $\frac{(b - c) + (b - a)}{(b - a)(b - c)} = \frac{2b - a - c}{b^2 - ab - bc + ac}$.
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ: $\frac{a + c}{ac}$.
બંને બાજુ સરખાવતા: $\frac{2b - a - c}{b^2 - b(a + c) + ac} = \frac{a + c}{ac}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $ac(2b - a - c) = (a + c)(b^2 - b(a + c) + ac)$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $b = \frac{2ac}{a + c}$ મળે છે,જે દર્શાવે છે કે $a, b, c$ સ્વરિત શ્રેણીમાં છે.

(D) સ્વરિત શ્રેણી $(HP)$ માં,પદોના વ્યસ્ત સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે.
ધારો કે $AP$ $b_1, b_2, b_3, \dots$ છે જ્યાં $b_n = \frac{1}{a_n}$.
આપેલ છે $a_1 = 5 \implies b_1 = \frac{1}{5}$ અને $a_{20} = 25 \implies b_{20} = \frac{1}{25}$.
$AP$ ના $n$-માં પદનું સૂત્ર $b_n = b_1 + (n - 1)d$ છે.
$n = 20$ માટે: $\frac{1}{25} = \frac{1}{5} + (20 - 1)d$.
$\frac{1}{25} - \frac{1}{5} = 19d \implies \frac{1 - 5}{25} = 19d \implies -\frac{4}{25} = 19d \implies d = -\frac{4}{475}$.
આપણે $a_n < 0$ જોઈએ છે,જેનો અર્થ છે $b_n < 0$ કારણ કે $a_n = \frac{1}{b_n}$.
$b_n = \frac{1}{5} + (n - 1)(-\frac{4}{475}) < 0$.
$\frac{1}{5} < (n - 1)(\frac{4}{475})$.
$475$ વડે ગુણતા: $95 < 4(n - 1)$.
$23.75 < n - 1$.
$n > 24.75$.
તેથી,લઘુત્તમ ધન પૂર્ણાંક $n = 25$ છે.

(A) અને $b$ વચ્ચેનો હરાત્મક મધ્યક $H = \frac{2ab}{a+b}$ છે.
$\frac{1}{H - a} + \frac{1}{H - b}$ માં કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{\frac{2ab}{a+b} - a} + \frac{1}{\frac{2ab}{a+b} - b} = \frac{a+b}{2ab - a^2 - ab} + \frac{a+b}{2ab - ab - b^2}$
$= \frac{a+b}{ab - a^2} + \frac{a+b}{ab - b^2} = \frac{a+b}{a(b-a)} - \frac{a+b}{b(b-a)}$
$= \frac{b(a+b) - a(a+b)}{ab(b-a)} = \frac{(a+b)(b-a)}{ab(b-a)} = \frac{a+b}{ab} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$.

(D) આપેલ છે કે $X = \sum_{n=0}^\infty a^n = \frac{1}{1-a}$,$Y = \sum_{n=0}^\infty b^n = \frac{1}{1-b}$,અને $Z = \sum_{n=0}^\infty c^n = \frac{1}{1-c}$.
$a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$2b = a + c$ થાય.
આપણે ચકાસવું છે કે $X, Y, Z$ સ્વરિત શ્રેણીમાં છે કે નહીં,જેના માટે $\frac{2}{Y} = \frac{1}{X} + \frac{1}{Z}$ થવું જોઈએ.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{X} = 1-a$,$\frac{1}{Y} = 1-b$,અને $\frac{1}{Z} = 1-c$.
તેથી $\frac{1}{X} + \frac{1}{Z} = (1-a) + (1-c) = 2 - (a+c)$.
$a+c = 2b$ હોવાથી,આ $2 - 2b = 2(1-b) = 2(\frac{1}{Y}) = \frac{2}{Y}$ થાય છે.
આમ,$X, Y, Z$ સ્વરિત શ્રેણીમાં છે.

(C) આપેલ છે કે $\frac{a_2 a_3}{a_1 a_4} = \frac{a_2 + a_3}{a_1 + a_4}$,તેથી $\frac{a_1 + a_4}{a_1 a_4} = \frac{a_2 + a_3}{a_2 a_3}$.
આથી $\frac{1}{a_4} + \frac{1}{a_1} = \frac{1}{a_3} + \frac{1}{a_2}$ અથવા $\frac{1}{a_4} - \frac{1}{a_3} = \frac{1}{a_2} - \frac{1}{a_1} \quad (1)$.
વળી,$\frac{a_2 a_3}{a_1 a_4} = 3\left( \frac{a_2 - a_3}{a_1 - a_4} \right)$ પરથી,$\frac{a_1 - a_4}{a_1 a_4} = 3\left( \frac{a_2 - a_3}{a_2 a_3} \right)$.
આથી $\frac{1}{a_4} - \frac{1}{a_1} = 3\left( \frac{1}{a_3} - \frac{1}{a_2} \right) \quad (2)$.
ધારો કે $x_n = \frac{1}{a_n}$. તો $(1)$ મુજબ $x_4 - x_3 = x_2 - x_1 = d$ (સામાન્ય તફાવત).
આમ,$\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \frac{1}{a_4}$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$a_1, a_2, a_3, a_4$ સ્વરિત શ્રેણીમાં છે.

(A) જો $x, y, z$ સ્વરીત શ્રેણીમાં હોય,તો $y = \frac{2xz}{x + z}$.
હવે,$\log(x + z) + \log(x - 2y + z)$ પદ ધ્યાનમાં લો.
$= \log[(x + z)(x - 2y + z)]$
$= \log[(x + z)(x + z - 2(\frac{2xz}{x + z}))]$
$= \log[(x + z)(x + z - \frac{4xz}{x + z})]$
$= \log[(x + z)^2 - 4xz]$
$= \log[x^2 + 2xz + z^2 - 4xz]$
$= \log[x^2 - 2xz + z^2]$
$= \log[(x - z)^2]$
$= 2 \log |x - z|$

(C) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1, 2, 3, \dots, n$ છે.
તેમના વ્યસ્ત $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots, \frac{1}{n}$ છે.
$n$ સંખ્યાઓ $x_1, x_2, \dots, x_n$ નો સ્વરિત મધ્યક $(HM)$ $HM = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$x_i = \frac{1}{i}$ જ્યાં $i = 1, 2, \dots, n$.
તેથી,$\frac{1}{x_i} = i$.
માટે,$HM = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} i} = \frac{n}{\frac{n(n+1)}{2}} = \frac{2n}{n(n+1)} = \frac{2}{n+1}$.

(C) આપેલ શ્રેણી $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots, \frac{1}{17}$ છે.
અહીં,પદોની સંખ્યા $n = 16$ છે.
સ્વરિત મધ્યક $(H.M.)$ નું સૂત્ર:
$H.M. = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}$
કિંમતો મૂકતા:
$H.M. = \frac{16}{\frac{1}{1/2} + \frac{1}{1/3} + \dots + \frac{1}{1/17}}$
$H.M. = \frac{16}{2 + 3 + 4 + \dots + 17}$
સમાંતર શ્રેણી $2, 3, \dots, 17$ નો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}(a + l) = \frac{16}{2}(2 + 17) = 8 \times 19 = 152$ થાય.
તેથી,$H.M. = \frac{16}{152} = \frac{2}{19}$.

(C) $n$ સંખ્યાઓ $x_1, x_2, ..., x_n$ નો સ્વરિત મધ્યક $(HM)$ શોધવાનું સૂત્ર: $HM = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}$ છે.
અહીં $2, 3, 4$ માટે $n = 3$ છે.
$HM = \frac{3}{\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}}$.
છેદનો સરવાળો કરતા: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{6 + 4 + 3}{12} = \frac{13}{12}$.
તેથી,$HM = \frac{3}{\frac{13}{12}} = 3 \times \frac{12}{13} = \frac{36}{13}$.

(C) ધારો કે ઘર અને શાળા વચ્ચેનું અંતર $S \text{ km}$ છે.
ઘરેથી શાળાએ પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{S}{x} \text{ કલાક}$ છે.
શાળાએથી ઘરે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{S}{y} \text{ કલાક}$ છે.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}}$.
કુલ અંતર $= S + S = 2S \text{ km}$.
કુલ સમય $= \frac{S}{x} + \frac{S}{y} = S \left( \frac{x + y}{xy} \right) \text{ કલાક}$.
સરેરાશ ઝડપ $= \frac{2S}{S \left( \frac{x + y}{xy} \right)} = \frac{2xy}{x + y} \text{ km/hr}$.

(C) ધારો કે $1$ અને $\frac{1}{31}$ ની વચ્ચે $n$ હાર્મોનિક મધ્યકો $H_1, H_2, \dots, H_n$ છે.
તેથી $1, H_1, H_2, \dots, H_n, \frac{1}{31}$ એ હાર્મોનિક શ્રેણી $(HP)$ માં છે.
તેથી $1, \frac{1}{H_1}, \frac{1}{H_2}, \dots, \frac{1}{H_n}, 31$ એ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.
ધારો કે આ $AP$ નો સામાન્ય તફાવત $d$ છે. $(n+2)^{th}$ પદ $31 = 1 + (n+1)d$ છે,તેથી $(n+1)d = 30$,એટલે કે $d = \frac{30}{n+1}$.
$k^{th}$ હાર્મોનિક મધ્યક $H_k$ માટે $\frac{1}{H_k} = 1 + kd$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{H_7}{H_{n-1}} = \frac{9}{5}$,તેથી $\frac{1 + (n-1)d}{1 + 7d} = \frac{9}{5}$.
$d = \frac{30}{n+1}$ મૂકતા:
$5(1 + (n-1)\frac{30}{n+1}) = 9(1 + 7\frac{30}{n+1})$
$5(31n - 29) = 9(n + 211)$
$146n = 2044$
$n = 14$.

(D) આપેલ છે કે $\ln(a+c), \ln(c-a), \ln(a-2b+c)$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$(a+c), (c-a), (a-2b+c)$ એ $G.P.$ માં છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $(c-a)^2 = (a+c)(a-2b+c)$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $c^2 - 2ac + a^2 = a^2 - 2ab + ac + ac - 2bc + c^2$.
સાદું રૂપ આપતા: $-2ac = -2ab + 2ac - 2bc$.
ગોઠવતા: $2ab + 2bc = 4ac$.
$2b(a+c)$ વડે ભાગતા: $b = \frac{2ac}{a+c}$.
આ $a, b, c$ ના $H.P.$ માં હોવાની શરત છે.

(A) આપેલ છે કે $(b+c), (c+a), (a+b)$ એ $H.P.$ માં છે.
તેથી,તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{b+c}, \frac{1}{c+a}, \frac{1}{a+b}$ એ $A.P.$ માં છે.
આ સૂચવે છે કે: $\frac{2}{c+a} = \frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+b}$
$\frac{2}{c+a} = \frac{a+b+b+c}{(b+c)(a+b)} = \frac{a+2b+c}{(b+c)(a+b)}$
$2(b+c)(a+b) = (c+a)(a+2b+c)$
$2(ab+b^2+ac+bc) = ac+2bc+c^2+a^2+2ab+ac$
$2ab+2b^2+2ac+2bc = a^2+c^2+2ac+2ab+2bc$
$2b^2 = a^2+c^2$
કારણ કે $2b^2 = a^2+c^2$,તેથી $a^2, b^2, c^2$ એ $A.P.$ માં છે.

(D) જેમ કે $a, b, c$ એ $H.P.$ માં છે,તેથી $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.
આથી $\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$ થાય.
આ કિંમત પદાવલીમાં મૂકતા,આપણને $\frac{3}{b^2} - \frac{2}{ab}$ મળે છે.
આથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) સમાન અંતર અલગ અલગ ઝડપે કાપવામાં આવે ત્યારે સરેરાશ ઝડપ એ ઝડપોના હરાત્મક મધ્યક (Harmonic Mean) દ્વારા મળે છે.
ધારો કે બાજુની લંબાઈ $d = 100 \text{ માઈલ}$ છે.
દરેક બાજુ માટે લાગતો સમય $t_i = \frac{d}{v_i}$ છે.
કુલ અંતર $D = 4d$.
કુલ સમય $T = \frac{d}{100} + \frac{d}{200} + \frac{d}{300} + \frac{d}{400} = d \left( \frac{1}{100} + \frac{1}{200} + \frac{1}{300} + \frac{1}{400} \right)$.
સરેરાશ ઝડપ $V_{avg} = \frac{D}{T} = \frac{4d}{d \left( \frac{1}{100} + \frac{1}{200} + \frac{1}{300} + \frac{1}{400} \right)}$.
$V_{avg} = \frac{4}{\frac{12+6+4+3}{1200}} = \frac{4 \times 1200}{25} = \frac{4800}{25} = 192 \text{ mph}$.
તેથી,$(c)$ સાચો જવાબ છે.

(D) જો $a_1, a_2, \ldots$ હાર્મોનિક શ્રેણીમાં હોય,તો તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \ldots$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય.
ધારો કે સમાંતર શ્રેણી $b_n = \frac{1}{a_n} = A + (n-1)D$ છે.
આપેલ છે કે $a_1 = 5 \Rightarrow b_1 = \frac{1}{5}$ અને $a_{20} = 25 \Rightarrow b_{20} = \frac{1}{25}$.
$b_{20} = b_1 + 19D \Rightarrow \frac{1}{25} = \frac{1}{5} + 19D$.
$19D = \frac{1}{25} - \frac{1}{5} = -\frac{4}{25}$.
$D = -\frac{4}{475}$.
$a_n < 0$ માટે,$b_n = \frac{1}{5} - (n-1)\frac{4}{475} < 0$.
$\frac{1}{5} < (n-1)\frac{4}{475}$.
$\frac{475}{20} < n-1$.
$23.75 < n-1$.
$n > 24.75$.
તેથી,$n$ ની ન્યૂનતમ ધન પૂર્ણાંક કિંમત $25$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\sin (\theta-\alpha), \sin \theta, \sin (\theta+\alpha)$ એ $H.P.$ માં છે.
$\Rightarrow \frac{1}{\sin (\theta-\alpha)}, \frac{1}{\sin \theta}, \frac{1}{\sin (\theta+\alpha)}$ એ $A.P.$ માં છે.
$\therefore \frac{2}{\sin \theta} = \frac{1}{\sin (\theta-\alpha)} + \frac{1}{\sin (\theta+\alpha)}$
$\Rightarrow \frac{2}{\sin \theta} = \frac{\sin (\theta+\alpha) + \sin (\theta-\alpha)}{\sin (\theta-\alpha) \sin (\theta+\alpha)}$
સૂત્ર $\sin (A+B) + \sin (A-B) = 2 \sin A \cos B$ અને $\sin (A-B) \sin (A+B) = \sin^2 A - \sin^2 B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Rightarrow \frac{2}{\sin \theta} = \frac{2 \sin \theta \cos \alpha}{\sin^2 \theta - \sin^2 \alpha}$
$\Rightarrow \sin^2 \theta - \sin^2 \alpha = \sin^2 \theta \cos \alpha$
$\Rightarrow \sin^2 \theta (1 - \cos \alpha) = \sin^2 \alpha$
$1 - \cos \alpha = 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}$ અને $\sin \alpha = 2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Rightarrow \sin^2 \theta (2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}) = 4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\Rightarrow \sin^2 \theta = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ હોવાથી:
$1 - \cos^2 \theta = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$
$\Rightarrow \cos^2 \theta = 1 - 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$

(C) હાર્મોનિક શ્રેણી $(HP)$ માં,પદોના વ્યસ્ત સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ બનાવે છે.
ધારો કે અનુરૂપ $AP$ નું પ્રથમ પદ $A$ અને સામાન્ય તફાવત $D$ છે.
આપેલ છે $t_{7} = \frac{1}{10} \Rightarrow T_{7} = 10$,જ્યાં $T_{n}$ એ $AP$ નું $n$-મું પદ છે.
આપેલ છે $t_{12} = \frac{1}{25} \Rightarrow T_{12} = 25$.
સૂત્ર $T_{n} = A + (n-1)D$ નો ઉપયોગ કરતા:
$A + 6D = 10$ (સમીકરણ $1$)
$A + 11D = 25$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $5D = 15 \Rightarrow D = 3$.
$D = 3$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $A + 6(3) = 10$ $\Rightarrow A + 18 = 10$ $\Rightarrow A = -8$.
હવે,$AP$ નું $20$-મું પદ શોધો: $T_{20} = A + 19D = -8 + 19(3) = -8 + 57 = 49$.
તેથી,$HP$ નું $20$-મું પદ $t_{20} = \frac{1}{T_{20}} = \frac{1}{49}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{1}{4}, a, b, \frac{1}{19}$ એ $H.P.$ માં છે.
તેથી,તેમના વ્યસ્ત $4, \frac{1}{a}, \frac{1}{b}, 19$ એ $A.P.$ માં છે.
ધારો કે $A.P.$ એ $4, 4+d, 4+2d, 4+3d$ છે.
અહીં,$4+3d = 19 \implies 3d = 15 \implies d = 5$.
આમ,પદો $4, 4+5, 4+10, 19$ એટલે કે $4, 9, 14, 19$ છે.
પદોની સરખામણી કરતા,$\frac{1}{a} = 9 \implies a = \frac{1}{9}$ અને $\frac{1}{b} = 14 \implies b = \frac{1}{14}$.

(A) આપેલ છે કે $x_1, x_2, x_3, x_4$ હરાત્મક શ્રેણી $(HP)$ માં છે,તેથી તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{x_1}, \frac{1}{x_2}, \frac{1}{x_3}, \frac{1}{x_4}$ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.
ધારો કે આ પદો $a-3d, a-d, a+d, a+3d$ છે.
$A x^2 - 4 x + 1 = 0$ પરથી,$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_3} = 4$ અને $\frac{1}{x_1} \cdot \frac{1}{x_3} = A$.
$AP$ ના પદો મૂકતા: $(a-3d) + (a+d) = 4 \implies a-d=2$.
તેમજ,$(a-3d)(a+d) = A$.
$B x^2 - 6 x + 1 = 0$ પરથી,$\frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_4} = 6$ અને $\frac{1}{x_2} \cdot \frac{1}{x_4} = B$.
$AP$ ના પદો મૂકતા: $(a-d) + (a+3d) = 6 \implies a+d=3$.
સમીકરણો ઉકેલતા $a=2.5$ અને $d=0.5$ મળે છે.
તેથી $A = (2.5-1.5)(3) = 3$ અને $B = (2)(4) = 8$.
પરિણામે,$\frac{B+A}{B-A} = \frac{8+3}{8-3} = \frac{11}{5}$.

(D) ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ સમીકરણ $x^3 - ax^2 + bx - c = 0$ ના બીજ છે.
વિએટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = a$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = c$
આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $HP$ માં છે,તેથી તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ એ $AP$ માં છે.
ત્રણ સંખ્યાઓ $\alpha, \beta, \gamma$ નો હાર્મોનિક મધ્યક $(HM)$ $HM = \frac{3}{\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
કિંમતો મૂકતા:
$HM = \frac{3}{\frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}} = \frac{3(\alpha\beta\gamma)}{\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha} = \frac{3c}{b}$.

(D) જો $a, b, c$ હાર્મોનિક શ્રેણીમાં હોય,તો $b = \frac{2ac}{a+c}$.
આપેલ છે કે $\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right), \cos x, \cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$ હાર્મોનિક શ્રેણીમાં છે,તેથી:
$\cos x = \frac{2 \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)}{\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right) + \cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)}$
નિત્યસમ $\cos(A-B)\cos(A+B) = \cos^2 A - \sin^2 B$ અને $\cos(A-B) + \cos(A+B) = 2 \cos A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos x = \frac{2 \left(\cos^2 x - \sin^2 \frac{\pi}{3}\right)}{2 \cos x \cos \frac{\pi}{3}}$
$\cos x = \frac{\cos^2 x - \sin^2 \frac{\pi}{3}}{\cos x \cdot \frac{1}{2}}$
$\frac{1}{2} \cos^2 x = \cos^2 x - \sin^2 \frac{\pi}{3}$
$\sin^2 \frac{\pi}{3} = \cos^2 x - \frac{1}{2} \cos^2 x$
$\frac{3}{4} = \frac{1}{2} \cos^2 x$
$\cos^2 x = \frac{3}{2}$
$\cos x = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $16x^3 - 44x^2 + 36x - 9 = 0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ હાર્મોનિક શ્રેણી ($H$.$P$.) માં છે.
તેથી $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ એ સમાંતર શ્રેણી ($A$.$P$.) માં છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{2}{\beta} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\gamma}$.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$\sum \alpha\beta = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}$ અને $\alpha\beta\gamma = \frac{9}{16}$.
વળી,$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma} = \frac{9/4}{9/16} = 4$.
$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\gamma} = \frac{2}{\beta}$ મૂકતા,આપણને $\frac{2}{\beta} + \frac{1}{\beta} = 4$ $\Rightarrow \frac{3}{\beta} = 4$ $\Rightarrow \beta = \frac{3}{4}$ મળે છે.
હવે,$\alpha + \gamma = \frac{44}{16} - \frac{3}{4} = 2$ અને $\alpha\gamma = \frac{3}{4}$.
$t^2 - 2t + \frac{3}{4} = 0$ ઉકેલતા,$4t^2 - 8t + 3 = 0 \Rightarrow (2t - 1)(2t - 3) = 0$.
આમ,બીજ $\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{3}{2}$ છે.
સૌથી મોટું બીજ $\frac{3}{2}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\cos (\theta-\alpha), \cos \theta, \cos (\theta+\alpha)$ હાર્મોનિક શ્રેણી $(HP)$ માં છે.
તેથી,$\frac{1}{\cos (\theta-\alpha)}, \frac{1}{\cos \theta}, \frac{1}{\cos (\theta+\alpha)}$ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.
તેથી,$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{1}{\cos (\theta-\alpha)} + \frac{1}{\cos (\theta+\alpha)}$.
$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{\cos (\theta+\alpha) + \cos (\theta-\alpha)}{\cos (\theta-\alpha) \cos (\theta+\alpha)}$.
સૂત્ર $\cos (A+B) + \cos (A-B) = 2 \cos A \cos B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{2}{\cos \theta} = \frac{2 \cos \theta \cos \alpha}{\cos (\theta-\alpha) \cos (\theta+\alpha)}$.
$\cos^2 \theta \cos \alpha = \cos (\theta-\alpha) \cos (\theta+\alpha)$.
$\cos (A-B) \cos (A+B) = \cos^2 A - \sin^2 B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^2 \theta \cos \alpha = \cos^2 \theta - \sin^2 \alpha$.
$\sin^2 \alpha = \cos^2 \theta (1 - \cos \alpha)$.
$\cos^2 \theta = \frac{\sin^2 \alpha}{1 - \cos \alpha} = \frac{4 \sin^2 \frac{\alpha}{2} \cos^2 \frac{\alpha}{2}}{2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}} = 2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}$.
હવે,$\tan^2 \theta = \sec^2 \theta - 1 = \frac{1}{\cos^2 \theta} - 1 = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2}} - 1 = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{\alpha}{2} - 1$.
$2 \tan^2 \theta = \sec^2 \frac{\alpha}{2} - 2 = (1 + \tan^2 \frac{\alpha}{2}) - 2 = \tan^2 \frac{\alpha}{2} - 1$.

(B) આપેલ છે $\tan B = \frac{2 \sin A \sin C}{\sin (A+C)}$.
બંને બાજુ વ્યસ્ત લેતા,$\frac{1}{\tan B} = \frac{\sin (A+C)}{2 \sin A \sin C}$.
$\sin (A+C) = \sin A \cos C + \cos A \sin C$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{\tan B} = \frac{\sin A \cos C + \cos A \sin C}{2 \sin A \sin C}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{\tan B} = \frac{1}{2} (\cot A + \cot C) = \frac{1}{2} (\frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan C})$.
$2$ વડે ગુણતા,$\frac{2}{\tan B} = \frac{1}{\tan A} + \frac{1}{\tan C}$.
આ શરત દર્શાવે છે કે $\tan A, \tan B, \tan C$ એ હરાત્મક શ્રેણીમાં છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $k x^3 - 18 x^2 - 36 x + 8 = 0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ હરાત્મક શ્રેણી $(HP)$ માં છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.
મૂળ સમીકરણમાં $x$ ને $\frac{1}{x}$ વડે બદલતા,આપણને $8 x^3 - 36 x^2 - 18 x + k = 0$ મળે છે.
ધારો કે આ નવા સમીકરણના બીજ $a-d, a, a+d$ છે.
બીજના સરવાળા પરથી,$3a = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} \Rightarrow a = \frac{3}{2}$.
$a = \frac{3}{2}$ એ $8 x^3 - 36 x^2 - 18 x + k = 0$ નું બીજ હોવાથી,કિંમત મૂકતા:
$8(\frac{3}{2})^3 - 36(\frac{3}{2})^2 - 18(\frac{3}{2}) + k = 0$.
$27 - 81 - 27 + k = 0$.
$k = 81$.

(A) ધારો કે સમીકરણ $x^3+3px^2+3qx+r=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે. કારણ કે તેઓ હાર્મોનિક શ્રેણીમાં છે,તેથી તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{\alpha}, \frac{1}{\beta}, \frac{1}{\gamma}$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
$x = \frac{1}{y}$ મૂકતા,આપણને $ry^3 + 3qy^2 + 3py + 1 = 0$ મળે છે.
આ સમીકરણના બીજ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,બીજનો સરવાળો $3a = -\frac{3q}{r}$ થાય,તેથી $a = -\frac{q}{r}$.
$a$ એ $ry^3 + 3qy^2 + 3py + 1 = 0$ નું બીજ હોવાથી,$r(-\frac{q}{r})^3 + 3q(-\frac{q}{r})^2 + 3p(-\frac{q}{r}) + 1 = 0$.
આને સાદું રૂપ આપતા $2q^3 = r(3pq-r)$ મળે છે.

(C) ધારો કે $a^{p} = b^{q} = c^{r} = k$.
$a, b, c$ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોવાથી,આપણે $a = k^{1/p}$,$b = k^{1/q}$,અને $c = k^{1/r}$ લખી શકીએ.
આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $GP$ માં છે,તેથી $\frac{b}{a} = \frac{c}{b}$.
$a, b, c$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{k^{1/q}}{k^{1/p}} = \frac{k^{1/r}}{k^{1/q}}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $k^{(1/q - 1/p)} = k^{(1/r - 1/q)}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,આપણને $\frac{1}{q} - \frac{1}{p} = \frac{1}{r} - \frac{1}{q}$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{2}{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{r}$ થાય છે.
આ દર્શાવે છે કે $\frac{1}{p}, \frac{1}{q}, \frac{1}{r}$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$p, q, r$ એ $H.P.$ માં છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $G$.$P$. માં છે,તેથી $b^2 = ac$.
બંને બાજુ આધાર $x$ સાથે લઘુગણક લેતા,આપણને $2 \log_x b = \log_x a + \log_x c$ મળે છે.
આ સૂચવે છે કે $\log_x a, \log_x b, \log_x c$ એ $A$.$P$. માં છે.
આધાર બદલવાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\log_a x = \frac{1}{\log_x a}$,$\log_b x = \frac{1}{\log_x b}$,અને $\log_c x = \frac{1}{\log_x c}$.
કારણ કે $\log_x a, \log_x b, \log_x c$ ના વ્યસ્ત $A$.$P$. માં છે,તેથી $\log_a x, \log_b x, \log_c x$ એ $H$.$P$. માં હોવા જોઈએ.

(C) આપેલ છે કે $\frac{a_r - a_{r+1}}{a_r a_{r+1}} = K$ (જ્યાં $K$ અચળ છે).
પદોને ભાગતા,આપણને $\frac{a_r}{a_r a_{r+1}} - \frac{a_{r+1}}{a_r a_{r+1}} = K$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{1}{a_{r+1}} - \frac{1}{a_r} = K$ થાય છે.
ક્રમિક પદોના વ્યસ્તનો તફાવત અચળ હોવાથી,શ્રેણી $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \ldots$ એ $A$.$P$. છે.
તેથી,શ્રેણી $a_1, a_2, a_3, \ldots$ એ $H$.$P$. માં છે.

(A) આપેલ છે,$f(x) = x + \frac{1}{2} = \frac{2x+1}{2}$.
$f(2x) = 2x + \frac{1}{2} = \frac{4x+1}{2}$.
$f(4x) = 4x + \frac{1}{2} = \frac{8x+1}{2}$.
$f(x), f(2x), f(4x)$ એ $HP$ માં હોવાથી,તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{f(x)}, \frac{1}{f(2x)}, \frac{1}{f(4x)}$ એ $AP$ માં હોય.
તેથી,$\frac{2}{f(2x)} = \frac{1}{f(x)} + \frac{1}{f(4x)}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{4}{4x+1} = \frac{2}{2x+1} + \frac{2}{8x+1}$.
$\frac{2}{4x+1} = \frac{10x+2}{(2x+1)(8x+1)}$.
$2(2x+1)(8x+1) = (4x+1)(10x+2)$.
$32x^2 + 20x + 2 = 40x^2 + 18x + 2$.
$8x^2 - 2x = 0 \Rightarrow 2x(4x - 1) = 0$.
$x = 0$ અથવા $x = 1/4$.
જો $x = 0$ હોય,તો પદો $1/2, 1/2, 1/2$ મળે,જે સમાન છે.
જો $x = 1/4$ હોય,તો પદો $3/4, 1, 3/2$ મળે,જે $HP$ માં છે.
આમ,$x$ ની માત્ર $1$ વાસ્તવિક કિંમત શક્ય છે.

(A) ધારો કે $HP$ માં પાંચ પદો $\frac{1}{a-2d}, \frac{1}{a-d}, \frac{1}{a}, \frac{1}{a+d}, \frac{1}{a+2d}$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યમ પદ $1$ છે,તેથી $\frac{1}{a} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $a = 1$.
બીજા પદ અને ચોથા પદનો ગુણોત્તર $\frac{2}{1}$ છે,તેથી $\frac{\frac{1}{a-d}}{\frac{1}{a+d}} = 2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{a+d}{a-d} = 2$,તેથી $a+d = 2a - 2d$,જે $3d = a$ આપે છે.
$a = 1$ હોવાથી,$d = \frac{1}{3}$ મળે.
પ્રથમ ત્રણ પદો $\frac{1}{1-2(\frac{1}{3})}, \frac{1}{1-(\frac{1}{3})}, \frac{1}{1}$ છે.
આ પદો $3, \frac{3}{2}, 1$ છે.
પ્રથમ ત્રણ પદોનો સરવાળો $3 + \frac{3}{2} + 1 = 4 + 1.5 = \frac{11}{2}$ થાય.