Harmonic progression Questions in Gujarati

(A) આપેલ શ્રેણી $27 + 9 + 5\frac{2}{5} + 3\frac{6}{7} + \dots$ છે.
પદોને ફરીથી લખતા: $27, \frac{27}{3}, \frac{27}{5}, \frac{27}{7}, \dots$
આને $\frac{27}{1}, \frac{27}{3}, \frac{27}{5}, \frac{27}{7}, \dots$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
છેદ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે: $1, 3, 5, 7, \dots$ જ્યાં $n$ મું પદ $a_n = 2n - 1$ છે.
તેથી,શ્રેણીનું $n$ મું પદ $T_n = \frac{27}{2n - 1}$ છે.
$9$ મા પદ માટે $(n = 9)$:
$T_9 = \frac{27}{2(9) - 1} = \frac{27}{18 - 1} = \frac{27}{17} = 1\frac{10}{17}$.

(C) $H.P.$ માટે $T_m = n$ અને $T_n = m$ આપેલ છે.
તેથી,અનુરૂપ $A.P.$ માટે $m^{th}$ પદ $\frac{1}{n}$ અને $n^{th}$ પદ $\frac{1}{m}$ થશે.
ધારો કે આ $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે,તો:
$a + (m - 1)d = \frac{1}{n}$ ---$(i)$
$a + (n - 1)d = \frac{1}{m}$ ---(ii)
$(i)$ માંથી (ii) બાદ કરતા:
$(m - n)d = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} = \frac{m - n}{mn}$
$d = \frac{1}{mn}$
$(i)$ માં $d$ ની કિંમત મૂકતા:
$a + (m - 1)\frac{1}{mn} = \frac{1}{n}$
$a = \frac{1}{n} - \frac{m - 1}{mn} = \frac{m - m + 1}{mn} = \frac{1}{mn}$
હવે,અનુરૂપ $A.P.$ નું $r^{th}$ પદ:
$T_r = a + (r - 1)d = \frac{1}{mn} + (r - 1)\frac{1}{mn} = \frac{1 + r - 1}{mn} = \frac{r}{mn}$
તેથી,અનુરૂપ $H.P.$ નું $r^{th}$ પદ:
$T_r(H.P.) = \frac{mn}{r}$.

(D) ધારો કે ઉમેરવાની સંખ્યા $x$ છે.
તેથી નવી સંખ્યાઓ $(13 + x), (15 + x), (19 + x)$ થશે.
આ સંખ્યાઓ $H.P.$ માં હોવાથી,તેમના વ્યસ્ત $A.P.$ માં હોવા જોઈએ.
તેથી,$\frac{1}{15 + x} - \frac{1}{13 + x} = \frac{1}{19 + x} - \frac{1}{15 + x}$.
આના પરથી $\frac{(13 + x) - (15 + x)}{(15 + x)(13 + x)} = \frac{(15 + x) - (19 + x)}{(19 + x)(15 + x)}$.
$\frac{-2}{(15 + x)(13 + x)} = \frac{-4}{(19 + x)(15 + x)}$.
બંને બાજુથી $(15 + x)$ ને દૂર કરતા,આપણને $\frac{-2}{13 + x} = \frac{-4}{19 + x}$ મળે છે.
$2(19 + x) = 4(13 + x)$.
$38 + 2x = 52 + 4x$.
$-14 = 2x$.
$x = -7$.

(D) આપેલ શ્રેણી $2, 2\frac{1}{2}, 3\frac{1}{3}, \dots$ એ $H.P.$ માં છે.
વ્યસ્ત લેતા,શ્રેણી $\frac{1}{2}, \frac{2}{5}, \frac{3}{10}, \dots$ એ $A.P.$ માં થશે.
આ $A.P.$ માટે,પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{2}$ અને સામાન્ય તફાવત $d = \frac{2}{5} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{10}$ છે.
$A.P.$ નું $n$ મું પદ $T_n = a + (n-1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 5$ માટે,$T_5 = \frac{1}{2} + (5-1)\left(-\frac{1}{10}\right) = \frac{1}{2} - \frac{4}{10} = \frac{1}{10}$.
$H.P.$ નું $n$ મું પદ એ અનુરૂપ $A.P.$ ના $n$ માં પદનો વ્યસ્ત હોવાથી,$H.P.$ નું $5$ મું પદ $\frac{1}{1/10} = 10$ થશે.

(C) કારણ કે ${a_1}, {a_2}, {a_3}, \dots, {a_n}$ એ $H.P.$ માં છે,તેથી તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \dots, \frac{1}{a_n}$ એ $A.P.$ માં હશે.
ધારો કે આ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
તેથી,$\frac{1}{a_{k+1}} - \frac{1}{a_k} = d$ થાય.
આથી $a_k a_{k+1} = \frac{1}{d}(a_k - a_{k+1})$ મળે.
સરવાળો લેતા,$\sum_{k=1}^{n-1} a_k a_{k+1} = \frac{1}{d} (a_1 - a_n)$.
$A.P.$ ના $n$ માં પદ માટે,$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} + (n-1)d$,તેથી $d = \frac{a_1 - a_n}{(n-1)a_1 a_n}$.
આ કિંમત મૂકતા,સરવાળો $(n-1)a_1 a_n$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $x, y, z$ એ $H.P.$ માં છે,તેથી $y = \frac{2xz}{x + z}$.
પદાવલિ $E = \log(x + z) + \log(x - 2y + z)$ ધ્યાનમાં લો.
$\log(a) + \log(b) = \log(ab)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$E = \log((x + z)(x - 2y + z))$.
$y = \frac{2xz}{x + z}$ ની કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \log\left((x + z)\left(x + z - 2\left(\frac{2xz}{x + z}\right)\right)\right)$
$E = \log\left((x + z)\left(x + z - \frac{4xz}{x + z}\right)\right)$
$E = \log\left((x + z)^2 - 4xz\right)$
$E = \log(x^2 + 2xz + z^2 - 4xz) = \log(x^2 - 2xz + z^2)$
$E = \log((x - z)^2) = 2\log(x - z)$.

(A) ધારો કે અનુરૂપ $A.P.$ $a, a+d, a+2d, \dots$ છે.
$H.P.$ નું $5^{th}$ પદ $\frac{1}{45}$ હોવાથી,$A.P.$ નું $5^{th}$ પદ $45$ થાય.
તેથી,$a + 4d = 45$ $(i)$
$H.P.$ નું $11^{th}$ પદ $\frac{1}{69}$ હોવાથી,$A.P.$ નું $11^{th}$ પદ $69$ થાય.
તેથી,$a + 10d = 69$ $(ii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા,$(a + 10d) - (a + 4d) = 69 - 45$,જે $6d = 24$ આપે છે,તેથી $d = 4$.
$d = 4$ ને $(i)$ માં મૂકતા,$a + 4(4) = 45$,તેથી $a + 16 = 45$,જે $a = 29$ આપે છે.
$A.P.$ નું $16^{th}$ પદ $a + 15d = 29 + 15(4) = 29 + 60 = 89$ થાય.
તેથી,$H.P.$ નું $16^{th}$ પદ $\frac{1}{89}$ થાય.

(B) હાર્મોનિક શ્રેણી $(H.P.)$ માં,પદોના વ્યસ્ત સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ બનાવે છે.
આપેલ પ્રથમ પદ $a_1 = 1/7$ અને બીજું પદ $a_2 = 1/9$ હોવાથી,સમાંતર શ્રેણીના પદો $7$ અને $9$ થશે.
સમાંતર શ્રેણીનું પ્રથમ પદ $A = 7$ અને સામાન્ય તફાવત $d = 9 - 7 = 2$ છે.
સમાંતર શ્રેણીનું $n$ મું પદ $A_n = A + (n - 1)d$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$n = 12$ માટે,$A_{12} = 7 + (12 - 1) \times 2 = 7 + 11 \times 2 = 7 + 22 = 29$.
તેથી,$H.P.$ નું $12$ મું પદ $A_{12}$ નો વ્યસ્ત એટલે કે $1/29$ થશે.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $H.P.$ માં છે,તેથી તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.
ધારો કે $\frac{1}{a} = p - q, \frac{1}{b} = p, \frac{1}{c} = p + q$,જ્યાં $p, q > 0$ અને $p > q$.
તેથી $a = \frac{1}{p-q}, b = \frac{1}{p}, c = \frac{1}{p+q}$.
આ કિંમતોને પદાવલિ $E = \frac{3a + 2b}{2a - b} + \frac{3c + 2b}{2c - b}$ માં મૂકતા:
$E = \frac{5p - 2q}{p + q} + \frac{5p + 2q}{p - q} = \frac{10p^2 + 4q^2}{p^2 - q^2} = 10 + \frac{14q^2}{p^2 - q^2}$.
અહીં $p > q > 0$ હોવાથી,$p^2 - q^2 > 0$,તેથી $E > 10$.

(A) જો $a, b, c, d$ એ $H.P.$ માં હોય,તો તેમના વ્યસ્ત $A.P.$ માં હોય.
$H.P.$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$ab + bc + cd = 3ad$ મળે છે.
ચકાસણી: ધારો કે $a=1, b=\frac{1}{2}, c=\frac{1}{3}, d=\frac{1}{4}$.
$ab + bc + cd = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$.
અહીં $3ad = 3(1 \times \frac{1}{4}) = \frac{3}{4}$ થાય છે,તેથી સાચો જવાબ $3ad$ છે.

(D) ધારો કે હરાત્મક શ્રેણી $(H.P.)$ $H_1, H_2, \dots, H_n$ છે. તેની અનુરૂપ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ $A_1, A_2, \dots, A_n$ છે જ્યાં $A_n = \frac{1}{H_n}$.
આપેલ છે કે $H.P.$ નું $7$મું પદ $8$ છે,તેથી $A.P.$ નું $7$મું પદ $A_7 = \frac{1}{8}$ થાય.
આપેલ છે કે $H.P.$ નું $8$મું પદ $7$ છે,તેથી $A.P.$ નું $8$મું પદ $A_8 = \frac{1}{7}$ થાય.
$A.P.$ માટે,$A_n = a + (n-1)d$. તેથી:
$a + 6d = \frac{1}{8}$ (સમીકરણ $1$)
$a + 7d = \frac{1}{7}$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા $d = \frac{1}{7} - \frac{1}{8} = \frac{1}{56}$ મળે.
$d$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $a + 6(\frac{1}{56}) = \frac{1}{8} \implies a = \frac{1}{56}$ મળે.
$A.P.$ નું $15$મું પદ $A_{15} = a + 14d = \frac{1}{56} + 14(\frac{1}{56}) = \frac{15}{56}$ થાય.
તેથી,$H.P.$ નું $15$મું પદ $H_{15} = \frac{1}{A_{15}} = \frac{56}{15}$ થાય.

(D) ધારો કે $H.P.$ એ $A.P.$ નું વ્યસ્ત છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
આપેલ છે કે $H.P.$ નું $7$ મું પદ $\frac{1}{10}$ છે,તેથી અનુરૂપ $A.P.$ નું $7$ મું પદ $10$ થાય.
તેથી,$a + 6d = 10$ $(i)$
આપેલ છે કે $H.P.$ નું $12$ મું પદ $\frac{1}{25}$ છે,તેથી અનુરૂપ $A.P.$ નું $12$ મું પદ $25$ થાય.
તેથી,$a + 11d = 25$ $(ii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(a + 11d) - (a + 6d) = 25 - 10$
$5d = 15 \Rightarrow d = 3$
$d = 3$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$a + 6(3) = 10$ $\Rightarrow a + 18 = 10$ $\Rightarrow a = -8$
હવે,$A.P.$ નું $20$ મું પદ $T_{20} = a + 19d = -8 + 19(3) = -8 + 57 = 49$ થાય.
તેથી,$H.P.$ નું $20$ મું પદ $49$ નું વ્યસ્ત એટલે કે $\frac{1}{49}$ થાય.

(C) ધારો કે $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $a$ છે અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
$H.P.$ ના પદો એ $A.P.$ ના પદોના વ્યસ્ત હોવાથી:
$H.P.$ નું $T_6 = \frac{1}{61} \implies A.P.$ નું $T_6 = a + 5d = 61$ $(i)$
$H.P.$ નું $T_{10} = \frac{1}{105} \implies A.P.$ નું $T_{10} = a + 9d = 105$ $(ii)$
$(ii)$ માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$(a + 9d) - (a + 5d) = 105 - 61$
$4d = 44 \implies d = 11$
$d = 11$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$a + 5(11) = 61$
$a + 55 = 61 \implies a = 6$
આમ,$H.P.$ નું પ્રથમ પદ $\frac{1}{a} = \frac{1}{6}$ છે.

(B) ધારો કે અનુરૂપ $A.P.$ નું પ્રથમ પદ $A$ અને સામાન્ય તફાવત $D$ છે. $H.P.$ ના પદો એ $A.P.$ ના પદોના વ્યસ્ત હોવાથી:
$T_p = \frac{1}{q} \implies A + (p - 1)D = \frac{1}{q} \quad (i)$
$T_q = \frac{1}{p} \implies A + (q - 1)D = \frac{1}{p} \quad (ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$(p - q)D = \frac{1}{q} - \frac{1}{p} = \frac{p - q}{pq}$
$D = \frac{1}{pq}$
$D$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$A + (p - 1)\frac{1}{pq} = \frac{1}{q}$
$A = \frac{1}{q} - \frac{p - 1}{pq} = \frac{p - p + 1}{pq} = \frac{1}{pq}$
હવે,$A.P.$ નું $(pq)^{th}$ પદ:
$T_{pq} = A + (pq - 1)D = \frac{1}{pq} + (pq - 1)\frac{1}{pq} = \frac{1 + pq - 1}{pq} = 1$
$A.P.$ નું $(pq)^{th}$ પદ $1$ હોવાથી,$H.P.$ નું $(pq)^{th}$ પદ $1$ નો વ્યસ્ત એટલે કે $1$ થશે.

(B) ધારો કે $H.P.$ એ $\frac{1}{a}, \frac{1}{a+d}, \frac{1}{a+2d}, \dots$ છે,જ્યાં અનુરૂપ $A.P.$ એ $a, a+d, a+2d, \dots$ છે.
આપેલ છે કે $H.P.$ નું $4^{th}$ પદ $\frac{3}{5}$ છે,તેથી $A.P.$ નું $4^{th}$ પદ $\frac{5}{3}$ થાય. આમ,$a + 3d = \frac{5}{3} \dots (1)$
આપેલ છે કે $H.P.$ નું $8^{th}$ પદ $\frac{1}{3}$ છે,તેથી $A.P.$ નું $8^{th}$ પદ $3$ થાય. આમ,$a + 7d = 3 \dots (2)$
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા,$(a + 7d) - (a + 3d) = 3 - \frac{5}{3} \implies 4d = \frac{4}{3} \implies d = \frac{1}{3}$
$d = \frac{1}{3}$ ને $(1)$ માં મૂકતા,$a + 3(\frac{1}{3}) = \frac{5}{3} \implies a + 1 = \frac{5}{3} \implies a = \frac{2}{3}$
$A.P.$ નું $6^{th}$ પદ $a + 5d = \frac{2}{3} + 5(\frac{1}{3}) = \frac{7}{3}$ થાય.
તેથી,$H.P.$ નું $6^{th}$ પદ $\frac{7}{3}$ નો વ્યસ્ત એટલે કે $\frac{3}{7}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે કે $H$ એ $p$ અને $q$ વચ્ચેનો હાર્મોનિક મધ્યક છે,તેથી $H = \frac{2pq}{p + q}$.
હવે,આપણે $\frac{H}{p} + \frac{H}{q}$ પદાવલિનું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
$H$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{H}{p} + \frac{H}{q} = \frac{1}{p} \left( \frac{2pq}{p + q} \right) + \frac{1}{q} \left( \frac{2pq}{p + q} \right)$
$= \frac{2q}{p + q} + \frac{2p}{p + q}$
$= \frac{2q + 2p}{p + q}$
$= \frac{2(p + q)}{p + q}$
$= 2$.

(A) આપેલ છે કે $H$ એ $a$ અને $b$ નો હાર્મોનિક મધ્યક છે,તેથી $H = \frac{2ab}{a + b}$.
$\frac{1}{H - a} + \frac{1}{H - b}$ પદમાં કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{\frac{2ab}{a + b} - a} + \frac{1}{\frac{2ab}{a + b} - b} = \frac{a + b}{2ab - a(a + b)} + \frac{a + b}{2ab - b(a + b)}$
$= \frac{a + b}{ab - a^2} + \frac{a + b}{ab - b^2} = \frac{a + b}{a(b - a)} - \frac{a + b}{b(b - a)}$
$= \frac{a + b}{b - a} \left( \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) = \frac{a + b}{b - a} \left( \frac{b - a}{ab} \right)$
$= \frac{a + b}{ab} = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$.

(A) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $a = 3$ અને $b = \frac{6}{13}$ છે.
$a$ અને $b$ વચ્ચેનું $n$-મું $H.M.$ શોધવાનું સૂત્ર:
$H_n = \frac{(n+1)ab}{na + b}$
છઠ્ઠા $H.M.$ માટે,$n = 6$:
$H_6 = \frac{(6+1) \times 3 \times \frac{6}{13}}{6 \times 3 + \frac{6}{13}}$
$H_6 = \frac{7 \times 3 \times \frac{6}{13}}{18 + \frac{6}{13}}$
$H_6 = \frac{\frac{126}{13}}{\frac{18 \times 13 + 6}{13}}$
$H_6 = \frac{126}{234 + 6} = \frac{126}{240}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ભાગતા:
$H_6 = \frac{63}{120}$

(B) અને $b$ વચ્ચેનો હરાત્મક મધ્યક $\frac{2ab}{a + b}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\frac{a^{n + 1} + b^{n + 1}}{a^n + b^n} = \frac{2ab}{a + b}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$(a^{n + 1} + b^{n + 1})(a + b) = 2ab(a^n + b^n)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $a^{n + 2} + a^{n + 1}b + ab^{n + 1} + b^{n + 2} = 2a^{n + 1}b + 2ab^{n + 1}$.
પદોને ગોઠવતા: $a^{n + 2} + b^{n + 2} - a^{n + 1}b - ab^{n + 1} = 0$.
$a^{n + 1}(a - b) - b^{n + 1}(a - b) = 0$.
$(a^{n + 1} - b^{n + 1})(a - b) = 0$.
$a \neq b$ હોવાથી,$a^{n + 1} = b^{n + 1}$ હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $(\frac{a}{b})^{n + 1} = 1 = (\frac{a}{b})^0$.
તેથી,$n + 1 = 0$,જે $n = -1$ આપે છે.

(B) આપેલ છે કે $H$ એ $a$ અને $b$ વચ્ચેનો હાર્મોનિક મધ્યક છે,તેથી $H = \frac{2ab}{a + b}$.
પદ $E = \frac{H + a}{H - a} + \frac{H + b}{H - b}$ ધ્યાનમાં લો.
પ્રથમ પદમાં $H = \frac{2ab}{a + b}$ મૂકતા:
$\frac{H + a}{H - a} = \frac{\frac{2ab}{a + b} + a}{\frac{2ab}{a + b} - a} = \frac{a + 3b}{b - a}$.
તે જ રીતે,બીજા પદ માટે:
$\frac{H + b}{H - b} = \frac{\frac{2ab}{a + b} + b}{\frac{2ab}{a + b} - b} = -\frac{3a + b}{b - a}$.
બંને પદોનો સરવાળો કરતા:
$E = \frac{a + 3b}{b - a} - \frac{3a + b}{b - a} = \frac{2b - 2a}{b - a} = 2$.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $H.P.$ માં છે,તેથી $b = \frac{2ac}{a+c}$.
$A.M. > H.M.$ ના ગુણધર્મ મુજબ,$\frac{a+c}{2} > b$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\left(\frac{a+c}{2}\right)^2 > b^2$,એટલે કે $\frac{a^2 + 2ac + c^2}{4} > b^2$.
પાવર મીન અસમાનતા મુજબ,$n=2$ માટે,$\frac{a^2+c^2}{2} > \left(\frac{a+c}{2}\right)^2$.
તેથી,$\frac{a^2+c^2}{2} > b^2$,જેનું સાદું રૂપ $a^2 + c^2 > 2b^2$ થાય છે.

(C) જો $a, b, c, d$ એ $H.P.$ માં હોય,તો તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$ એ $A.P.$ માં હોય.
$H.P.$ માં કોઈપણ ચાર પદો માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $a, b, c$ એ $H.P.$ માં છે,તેથી $b = \frac{2ac}{a+c}$. $A.M. > H.M.$ હોવાથી,$\frac{a+c}{2} > b$,જેનો અર્થ છે કે $a+c > 2b$.
તે જ રીતે,$b, c, d$ એ $H.P.$ માં હોવાથી,$b+d > 2c$.
આ બે અસમતાઓનો સરવાળો કરતા: $(a+c) + (b+d) > 2b + 2c$,જેનું સાદું રૂપ $a+d > b+c$ થાય છે. આમ,$(a)$ સાચું છે.
વળી,$a, b, c$ એ $H.P.$ માં હોવાથી,$ac > b^2$. $b, c, d$ એ $H.P.$ માં હોવાથી,$bd > c^2$.
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા: $(ac)(bd) > (b^2)(c^2)$,જેનું સાદું રૂપ $ad > bc$ થાય છે. આમ,$(b)$ સાચું છે.
તેથી,$(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(C) આપેલ છે કે $\log_a x, \log_b x, \log_c x$ એ $H.P.$ માં છે.
આધાર બદલવાના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,આપણે તેને $\frac{\log x}{\log a}, \frac{\log x}{\log b}, \frac{\log x}{\log c}$ એ $H.P.$ માં છે તેમ લખી શકીએ.
વ્યસ્ત લેતા,આપણને મળે છે કે $\frac{\log a}{\log x}, \frac{\log b}{\log x}, \frac{\log c}{\log x}$ એ $A.P.$ માં છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\log_x a, \log_x b, \log_x c$ એ $A.P.$ માં છે.
લઘુગણકના ગુણધર્મ મુજબ,જો $\log_x a, \log_x b, \log_x c$ એ $A.P.$ માં હોય,તો $a, b, c$ એ $G.P.$ માં હોવા જોઈએ.

(C) આપેલ છે: $\frac{1}{b - a} + \frac{1}{b - c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{1}{b - a} - \frac{1}{a} = \frac{1}{c} - \frac{1}{b - c}$
$\frac{a - (b - a)}{a(b - a)} = \frac{(b - c) - c}{c(b - c)}$
$\frac{2a - b}{a(b - a)} = \frac{b - 2c}{c(b - c)}$
આ સમીકરણનું સાદુંરૂપ આપતા $b(a+c) = 2ac$ મળે છે,જે $a, b, c$ ના $H.P.$ માં હોવાની શરત છે.
તેથી,$a, b, c$ એ $H.P.$ માં છે.

(C) ધારો કે ${a^x} = {b^y} = {c^z} = {d^u} = k$.
તેથી $a = {k^{1/x}}, b = {k^{1/y}}, c = {k^{1/z}}, d = {k^{1/u}}$.
$a, b, c, d$ એ $G.P.$ માં હોવાથી,${b^2} = ac$ અને ${c^2} = bd$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,${k^{2/y}} = {k^{1/x}} \cdot {k^{1/z}} = {k^{(1/x + 1/z)}}$ મળે.
આથી $\frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{z}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$x, y, z$ એ $H.P.$ માં છે.
તે જ રીતે,$b, c, d$ માટે $\frac{2}{z} = \frac{1}{y} + \frac{1}{u}$ મળે,જે દર્શાવે છે કે $y, z, u$ પણ $H.P.$ માં છે.
આમ,$x, y, z, u$ એ $H.P.$ માં છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $H.P.$ માં છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.
દરેક પદને $(a+b+c)$ વડે ગુણતા,$\frac{a+b+c}{a}, \frac{a+b+c}{b}, \frac{a+b+c}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.
દરેક પદમાંથી $1$ બાદ કરતા: $\frac{a+b+c}{a} - 1, \frac{a+b+c}{b} - 1, \frac{a+b+c}{c} - 1$ એ $A.P.$ માં છે.
આ સાદું રૂપ આપતા $\frac{b+c}{a}, \frac{a+c}{b}, \frac{a+b}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.
દરેક પદનો વ્યસ્ત લેતા,આપણને મળે છે કે $\frac{a}{b+c}, \frac{b}{c+a}, \frac{c}{a+b}$ એ $H.P.$ માં છે.

(B) આપેલ છે કે $\frac{x + y}{2}, y, \frac{y + z}{2}$ એ $H.P.$ માં છે.
તેથી તેમના વ્યસ્ત પદો $\frac{2}{x + y}, \frac{1}{y}, \frac{2}{y + z}$ એ $A.P.$ માં હોય.
તેથી,$2 \times \frac{1}{y} = \frac{2}{x + y} + \frac{2}{y + z}$
$\frac{1}{y} = \frac{1}{x + y} + \frac{1}{y + z}$
$\frac{1}{y} = \frac{y + z + x + y}{(x + y)(y + z)}$
$(x + y)(y + z) = y(x + 2y + z)$
$xy + xz + y^2 + yz = xy + 2y^2 + yz$
$xz = y^2$
આમ,$y^2 = xz$ હોવાથી,$x, y, z$ એ $G.P.$ માં છે.

(B) કારણ કે $a, b, c$ એ $H.P.$ માં છે,તેથી $b = \frac{2ac}{a+c}$.
પાવર મીન અસમાનતા મુજબ,$n > 1$ અને $a \neq c$ માટે,$\frac{a^n + c^n}{2} > \left(\frac{a+c}{2}\right)^n$ થાય.
$A.M. > H.M.$ હોવાથી,$\frac{a+c}{2} > b$ થાય.
બંને બાજુ $n$ ઘાત લેતા $(n > 1)$,આપણને $\left(\frac{a+c}{2}\right)^n > b^n$ મળે.
આ અસમાનતાઓને જોડતા,$\frac{a^n + c^n}{2} > \left(\frac{a+c}{2}\right)^n > b^n$ મળે.
તેથી,$a^n + c^n > 2b^n$.

(C) ધારો કે ${x^a} = {x^{b/2}}{z^{b/2}} = {z^c} = \lambda$.
આથી,$x = \lambda^{1/a}$,$z = \lambda^{1/c}$,અને $xz = \lambda^{2/b}$ મળે.
$x$ અને $z$ ની કિંમતો $xz$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\lambda^{1/a} \cdot \lambda^{1/c} = \lambda^{2/b}$.
ઘાતાંકના નિયમોનો ઉપયોગ કરતા,$\lambda^{(1/a) + (1/c)} = \lambda^{2/b}$ મળે.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,$\frac{1}{a} + \frac{1}{c} = \frac{2}{b}$ મળે.
આ $a, b, c$ ના $H.P.$ માં હોવાની શરત છે.

(C) ધારો કે આપેલા પદો $a = \log _3 2, b = \log _6 2, c = \log _{12} 2$ છે.
આ પદોના વ્યસ્ત લેતા:
$\frac{1}{a} = \log _2 3$
$\frac{1}{b} = \log _2 6 = \log _2 (2 \times 3) = \log _2 2 + \log _2 3 = 1 + \log _2 3$
$\frac{1}{c} = \log _2 12 = \log _2 (4 \times 3) = \log _2 4 + \log _2 3 = 2 + \log _2 3$
ધારો કે $x = \log _2 3$. તો વ્યસ્ત પદો $x, 1+x, 2+x$ થાય.
ક્રમિક પદો વચ્ચેનો તફાવત અચળ $(1)$ હોવાથી,આ વ્યસ્ત પદો $A.P.$ માં છે.
તેથી,મૂળ પદો $H.P.$ માં છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે,તેથી $b^2 = ac \dots (i)$.
ધારો કે $a^x = b^y = c^z = k$.
તેથી $a = k^{1/x}, b = k^{1/y}, c = k^{1/z}$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$k^{2/y} = k^{1/x} \cdot k^{1/z} = k^{(1/x + 1/z)}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા,આપણને $\frac{2}{y} = \frac{1}{x} + \frac{1}{z}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$x, y, z$ એ $H.P.$ માં છે.

(A) આપેલ છે: $\log (x + z) + \log (x + z - 2y) = 2\log (x - z)$
$\log a + \log b = \log (ab)$ અને $n \log a = \log (a^n)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\log ((x + z)(x + z - 2y)) = \log ((x - z)^2)$
$(x + z)(x + z - 2y) = (x - z)^2$
$(x + z)^2 - 2y(x + z) = x^2 - 2xz + z^2$
$x^2 + 2xz + z^2 - 2xy - 2yz = x^2 - 2xz + z^2$
$2xz - 2xy - 2yz = -2xz$
$4xz = 2xy + 2yz$
$2xz = xy + yz$
બંને બાજુ $xyz$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{y} = \frac{1}{z} + \frac{1}{x}$
આ દર્શાવે છે કે $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$x, y, z$ એ $H.P.$ માં છે.

(C) આપેલ છે કે $\frac{a}{b + c}, \frac{b}{c + a}, \frac{c}{a + b}$ એ $H.P.$ માં છે.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{b + c}{a}, \frac{c + a}{b}, \frac{a + b}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.
દરેક પદમાં $1$ ઉમેરતા,$\frac{b + c}{a} + 1, \frac{c + a}{b} + 1, \frac{a + b}{c} + 1$ એ $A.P.$ માં છે.
આનું સાદું રૂપ $\frac{a + b + c}{a}, \frac{a + b + c}{b}, \frac{a + b + c}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.
દરેક પદને $(a + b + c)$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$a, b, c$ એ $H.P.$ માં છે.

(B) જો $a, b, c, d$ એ $H.P.$ માં હોય,તો તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$ એ $A.P.$ માં હોય.
આ $A.P.$ નો સામાન્ય તફાવત $k$ ધારો.
તેથી $\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = k$,$\frac{1}{c} - \frac{1}{b} = k$,અને $\frac{1}{d} - \frac{1}{c} = k$.
$a, b, c, d$ એ $H.P.$ માં હોવા માટે,શરત $a + d > b + c$ સંતોષાય છે જ્યારે પદો હાર્મોનિક શ્રેણીમાં હોય.
આમ,$\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$ એ $A.P.$ માં છે.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c, d$ એ $A.P.$ માં છે.
દરેક પદને $abcd$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{a}{abcd}, \frac{b}{abcd}, \frac{c}{abcd}, \frac{d}{abcd}$ એ $A.P.$ માં છે.
આનું સાદું રૂપ:
$\frac{1}{bcd}, \frac{1}{acd}, \frac{1}{abd}, \frac{1}{abc}$ એ $A.P.$ માં છે.
$H.P.$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,$A.P.$ માં રહેલા પદોના વ્યસ્ત $H.P.$ માં હોય છે.
તેથી,$bcd, acd, abd, abc$ એ $H.P.$ માં છે.
ક્રમ ઉલટાવતા,$abc, abd, acd, bcd$ પણ $H.P.$ માં છે.

(A) આપેલ છે કે $b + c, c + a, a + b$ એ $H.P.$ માં છે.
આનો અર્થ એ છે કે તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{b + c}, \frac{1}{c + a}, \frac{1}{a + b}$ એ $A.P.$ માં છે.
ધારો કે $S = a + b + c$. દરેક પદને $S$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{a + b + c}{b + c}, \frac{a + b + c}{c + a}, \frac{a + b + c}{a + b}$ એ $A.P.$ માં મળે છે.
આને $\frac{a}{b + c} + 1, \frac{b}{c + a} + 1, \frac{c}{a + b} + 1$ એ $A.P.$ માં છે તેમ લખી શકાય.
દરેક પદમાંથી $1$ બાદ કરતા,આપણને $\frac{a}{b + c}, \frac{b}{c + a}, \frac{c}{a + b}$ એ $A.P.$ માં મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\frac{a}{b}, \frac{b}{c}, \frac{c}{a}$ એ $H.P.$ માં છે.
તેથી,તેમના વ્યસ્ત $\frac{b}{a}, \frac{c}{b}, \frac{a}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $2 \times (\frac{c}{b}) = \frac{b}{a} + \frac{a}{c}$.
બંને બાજુ $abc$ વડે ગુણતા,આપણને $2ac^2 = b^2c + a^2b$ મળે છે.
આ સમીકરણ $a^2b, c^2a, b^2c$ ના $A.P.$ માં હોવાની શરત દર્શાવે છે કારણ કે $2(c^2a) = a^2b + b^2c$ એ $2c^2a = a^2b + b^2c$ ને સમાન છે.

(D) આપેલ છે કે $\ln(a + c)$,$\ln(c - a)$,અને $\ln(a - 2b + c)$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$2\ln(c - a) = \ln(a + c) + \ln(a - 2b + c)$
$\ln(x) + \ln(y) = \ln(xy)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\ln((c - a)^2) = \ln((a + c)(a - 2b + c))$
લોગેરિધમ દૂર કરતા:
$(c - a)^2 = (a + c)(a - 2b + c)$
$c^2 + a^2 - 2ac = a^2 - 2ab + ac + ac - 2bc + c^2$
$c^2 + a^2 - 2ac = a^2 + c^2 + 2ac - 2ab - 2bc$
$-2ac = 2ac - 2b(a + c)$
$2b(a + c) = 4ac$
$b = \frac{2ac}{a + c}$
આ $a, b, c$ ના $H.P.$ માં હોવાની શરત છે.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $G.P.$ માં છે.
તેથી $b^2 = ac$ થાય.
બંને બાજુ $\log$ લેતા,$2 \log b = \log a + \log c$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે $\log a, \log b, \log c$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$\frac{1}{\log a}, \frac{1}{\log b}, \frac{1}{\log c}$ એ $H.P.$ માં છે.
$\log x$ વડે ગુણતા,$\frac{\log x}{\log a}, \frac{\log x}{\log b}, \frac{\log x}{\log c}$ એ $H.P.$ માં છે.
$\log_a x = \frac{\log x}{\log a}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\log_a x, \log_b x, \log_c x$ એ $H.P.$ માં છે.

(B) આપેલ છે કે $(y - x)$,$2(y - a)$ અને $(y - z)$ એ $H.P.$ માં છે.
આનો અર્થ એ છે કે તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{y - x}$,$\frac{1}{2(y - a)}$ અને $\frac{1}{y - z}$ એ $A.P.$ માં છે.
તેથી,$\frac{1}{2(y - a)} - \frac{1}{y - x} = \frac{1}{y - z} - \frac{1}{2(y - a)}$.
બંને બાજુ $\frac{1}{2(y - a)}$ ઉમેરતા,આપણને મળે $\frac{1}{y - x} + \frac{1}{y - z} = \frac{2}{2(y - a)} = \frac{1}{y - a}$.
$\frac{(y - z) + (y - x)}{(y - x)(y - z)} = \frac{1}{y - a}$.
$(2y - x - z)(y - a) = (y - x)(y - z) = y^2 - yz - xy + xz$.
$2y^2 - 2ay - xy + ax - zy + az = y^2 - yz - xy + xz$.
$y^2 - 2ay + ax + az - xz = 0$.
આનું સાદું રૂપ $(y - a)^2 = (x - a)(z - a)$ થાય છે.
આમ,$(x - a)$,$(y - a)$ અને $(z - a)$ એ $G.P.$ માં છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} + \frac{1}{a - b} + \frac{1}{c - b} = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા: $\frac{1}{a} + \frac{1}{c - b} = \frac{1}{b - a} - \frac{1}{c}$
$\frac{c - b + a}{a(c - b)} = \frac{c - b + a}{(b - a)c}$
જો $a + c - b \ne 0$ હોય,તો બંને બાજુથી $(a + c - b)$ પદને દૂર કરતા:
$bc - ac = ac - ab$
$2ac = ab + bc$
બંને બાજુ $abc$ વડે ભાગતા: $\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
આ શરત દર્શાવે છે કે $a, b, c$ એ $H.P.$ માં છે.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $H.P.$ માં છે,તેથી $H.P.$ માટેની શરત $b = \frac{2ac}{a + c}$ છે.
વિકલ્પ $(a)$ તપાસતા: તે ખોટું છે.
વિકલ્પ $(b)$ તપાસતા: $\frac{ac}{a + c} = b$ $\Rightarrow \frac{ac}{a + c} = \frac{2ac}{a + c}$ $\Rightarrow 1 = 2$,જે ખોટું છે.
વિકલ્પ $(c)$ તપાસતા: તે પણ ખોટું છે.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાંથી કોઈ પણ સાચું નથી.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $H.P.$ માં છે,તેથી તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ $A.P.$ માં છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{1}{c} - \frac{1}{b}$,એટલે કે $\frac{1}{c} = \frac{2}{b} - \frac{1}{a}$.
$\left( \frac{1}{b} + \frac{1}{c} - \frac{1}{a} \right) \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right)$ માં $\frac{1}{c}$ ની કિંમત મૂકતા:
પ્રથમ પદ: $\left( \frac{1}{b} + (\frac{2}{b} - \frac{1}{a}) - \frac{1}{a} \right) = \left( \frac{3}{b} - \frac{2}{a} \right)$.
બીજું પદ: $\left( (\frac{2}{b} - \frac{1}{a}) + \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \right) = \left( \frac{1}{b} \right)$.
ગુણાકાર કરતા: $\left( \frac{3}{b} - \frac{2}{a} \right) \left( \frac{1}{b} \right) = \frac{3}{b^2} - \frac{2}{ab}$.

(C) ધારો કે ઘરથી શાળાનું અંતર $d$ છે.
શાળાએ જવા માટેનો સમય $t_1$ અને પાછા આવવા માટેનો સમય $t_2$ છે.
તેથી,$t_1 = \frac{d}{x}$ અને $t_2 = \frac{d}{y}$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{d + d}{t_1 + t_2} = \frac{2d}{\frac{d}{x} + \frac{d}{y}}$.
પદનું સાદુંરૂપ આપતા: $\frac{2d}{d(\frac{1}{x} + \frac{1}{y})} = \frac{2}{\frac{x+y}{xy}} = \frac{2xy}{x+y}$.
આ પદ $x$ અને $y$ નો હાર્મોનિક મધ્યક $(H.M.)$ છે.

(C) જો $a, b, c, d$ એ $H.P.$ માં હોય,તો તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}, \frac{1}{d}$ એ $A.P.$ માં હોય.
$H.P.$ માં કોઈપણ ત્રણ પદો $x, y, z$ માટે,આપણે જાણીએ છીએ કે $y = \frac{2xz}{x+z}$. $A.M. > H.M.$ હોવાથી,$\sqrt{xz} > y$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $xz > y^2$.
આ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$1$. $a, b, c$ એ $H.P.$ માં હોવાથી,$ac > b^2$.
$2$. $b, c, d$ એ $H.P.$ માં હોવાથી,$bd > c^2$.
આ બંને અસમતાઓનો સરવાળો કરતા:
$ac + bd > b^2 + c^2$.

(C) આપેલ છે કે $a, b, c$ હાર્મોનિક શ્રેણી $(H.P.)$ માં છે,તેથી $\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$,જેનો અર્થ છે $\frac{1}{a} + \frac{1}{c} - \frac{2}{b} = 0$ $... (i)$
આપેલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{1}{c} = 0$ છે $... (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને $\frac{1}{a}(x) + \frac{1}{c}(1) + \frac{1}{b}(y) = 0$ તરીકે લખી શકાય.
સમીકરણ $(i)$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{c} = \frac{2}{b} - \frac{1}{a}$. આ કિંમત રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + (\frac{2}{b} - \frac{1}{a}) = 0$
પદોને $\frac{1}{a}$ અને $\frac{1}{b}$ દ્વારા ગોઠવતા:
$\frac{1}{a}(x - 1) + \frac{1}{b}(y + 2) = 0$
આ સમીકરણ તમામ $a, b, c$ માટે સાચું રહે તે માટે,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$
$y + 2 = 0 \Rightarrow y = -2$
આમ,નિશ્ચિત બિંદુ $(1, -2)$ છે.

(D) $n$ અવલોકનો $x_1, x_2, ..., x_n$ નો હાર્મોનિક મધ્યક $(H.M.)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$H.M. = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + ... + \frac{1}{x_n}}$
અહીં,$n = 5$ અને અવલોકનો $3, 7, 8, 10, 14$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$H.M. = \frac{5}{\frac{1}{3} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} + \frac{1}{10} + \frac{1}{14}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
કુલ અંતર $D = 120 + 120 + 120 = 360 \ km$.
પ્રથમ મુસાફરી માટેનો સમય $t_1 = \frac{120}{30} \ hr$.
પરત મુસાફરી માટેનો સમય $t_2 = \frac{120}{25} \ hr$.
અંતિમ મુસાફરી માટેનો સમય $t_3 = \frac{120}{50} \ hr$.
કુલ સમય $T = \frac{120}{30} + \frac{120}{25} + \frac{120}{50} \ hr$.
સરેરાશ ઝડપ $v_{avg} = \frac{360}{\frac{120}{30} + \frac{120}{25} + \frac{120}{50}} = \frac{3}{\frac{1}{30} + \frac{1}{25} + \frac{1}{50}} \ km/hr$.

(C) $n$ સંખ્યાઓ $x_1, x_2, ..., x_n$ નો હાર્મોનિક મધ્યક $(H.M.)$ $\frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x_i}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$4, 8, 16$ સંખ્યાઓ માટે,$n = 3$ છે.
$H.M. = \frac{3}{\frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16}}$
$= \frac{3}{\frac{4+2+1}{16}}$
$= \frac{3}{\frac{7}{16}}$
$= \frac{3 \times 16}{7} = \frac{48}{7} \approx 6.857$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકની કિંમત $6.85$ છે.

(D) $a_1, a_2, a_3, \dots, a_n$ સ્વરિત શ્રેણી $(HP)$ માં છે.
તેથી,$\frac{1}{a_1}, \frac{1}{a_2}, \frac{1}{a_3}, \dots, \frac{1}{a_n}$ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.
ધારો કે સામાન્ય તફાવત $d = \frac{1}{a_{k+1}} - \frac{1}{a_k}$ છે.
તેથી,$a_k a_{k+1} = \frac{a_{k+1} - a_k}{d} = \frac{1}{d} (a_k - a_{k+1})$.
સરવાળો $S = \sum_{k=1}^{n-1} a_k a_{k+1} = \frac{1}{d} \sum_{k=1}^{n-1} (a_k - a_{k+1}) = \frac{1}{d} (a_1 - a_n)$.
$AP$ માં,$\frac{1}{a_n} = \frac{1}{a_1} + (n - 1)d$,તેથી $d = \frac{a_1 - a_n}{(n - 1)a_1 a_n}$.
$d$ ની કિંમત સરવાળાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$S = \frac{a_1 - a_n}{\frac{a_1 - a_n}{(n - 1)a_1 a_n}} = (n - 1)a_1 a_n$.