छात्रवृत्ति के लिए,2n+1 उम्मीदवारों में से अध | vedclass

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Question

(B) कम से कम एक उम्मीदवार के चयन के तरीकों की संख्या $\sum_{k=1}^{n} {^{2n+1}C_k} = 63$ द्वारा दी गई है। हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{2n+1} {^{2n+1}C_

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$3$

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(B) कम से कम एक उम्मीदवार के चयन के तरीकों की संख्या $\sum_{k=1}^{n} {^{2n+1}C_k} = 63$ द्वारा दी गई है। हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{2n+1} {^{2n+1}C_k} = 2^{2n+1}$। चूंकि ${^{2n+1}C_k} = {^{2n+1}C_{2n+1-k}}$,इसलिए $\sum_{k=0}^{n} {^{2n+1}C_k} = \sum_{k=n+1}^{2n+1} {^{2n+1}C_k} = \frac{2^{2n+1}}{2} = 2^{2n}$। अतः,$\sum_{k=1}^{n} {^{2n+1}C_k} = (\sum_{k=0}^{n} {^{2n+1}C_k}) - {^{2n+1}C_0} = 2^{2n} - 1$। दिया गया है कि $2^{2n} - 1 = 63$,इसलिए $2^{2n} = 64 = 2^6$। अतः,$2n = 6$,जिसका अर्थ है $n = 3$। चुने जा सकने वाले उम्मीदवारों की अधिकतम संख्या $n = 3$ है।

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