Definition of combinations, Condition combinations Questions in Hindi

(A) यह प्रश्न $3$ प्रकार के सिक्कों में से $6$ सिक्कों को चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए है,जहाँ प्रत्येक प्रकार के पर्याप्त सिक्के उपलब्ध हैं।
यह समीकरण $x_1 + x_2 + x_3 = 6$ के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक समाधान खोजने की समस्या है।
पुनरावृत्ति के साथ संयोजन के सूत्र का उपयोग करते हुए,तरीकों की संख्या $^{n + r - 1}C_r$ है,जहाँ $n = 3$ (सिक्कों के प्रकार) और $r = 6$ (चुनने वाले सिक्के)।
अतः,कुल तरीके $^{3 + 6 - 1}C_6 = ^8C_6$ होंगे।
गुणधर्म $^nC_r = ^nC_{n-r}$ का उपयोग करने पर,$^8C_6 = ^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$ प्राप्त होता है।

(B) यह समस्या समीकरण $x_1 + x_2 + x_3 = 35$ के अ-ऋणात्मक पूर्णांक हलों को खोजने के समान है,जहाँ $x_i \ge 0$ है।
स्टार्स और बार्स सूत्र का उपयोग करते हुए,तरीकों की संख्या $^{n+r-1}C_{r-1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 35$ और $r = 3$ है।
तरीकों की संख्या $= ^{35+3-1}C_{3-1} = ^{37}C_2$ है।
$^{37}C_2 = \frac{37 \times 36}{2} = 37 \times 18 = 666$।

(B) $10$ लाल गेंदों में से $5$ लाल गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या $^{10}C_{5}$ है।
$8$ सफेद गेंदों में से $4$ सफेद गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या $^{8}C_{4}$ है।
चूंकि ये स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए कुल तरीकों की संख्या दोनों संयोजनों का गुणनफल होगी:
कुल तरीके $= ^{10}C_{5} \times ^{8}C_{4}$.

(B) दी गई व्यंजक $^{14}C_4 + \sum_{j=1}^{4} {^{18-j}C_3}$ है।
योग का विस्तार करने पर: $^{14}C_4 + (^{17}C_3 + ^{16}C_3 + ^{15}C_3 + ^{14}C_3)$ प्राप्त होता है।
पास्कल के सर्वसमिका $^{n}C_r + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_r$ का उपयोग करते हुए,$^{14}C_4 + ^{14}C_3 = ^{15}C_4$ होता है।
अब,$^{15}C_4 + ^{15}C_3 = ^{16}C_4$।
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर,$^{16}C_4 + ^{16}C_3 = ^{17}C_4$।
अंत में,$^{17}C_4 + ^{17}C_3 = ^{18}C_4$ प्राप्त होता है।

(A) समिति में $8$ सज्जनों और $4$ महिलाओं में से $6$ सदस्यों का चयन करना है,जिसमें कम से कम $3$ महिलाएं हों।
स्थिति $1$: $3$ महिलाएं और $3$ सज्जन।
तरीकों की संख्या = $^4C_3 \times ^8C_3 = 4 \times 56 = 224$.
स्थिति $2$: $4$ महिलाएं और $2$ सज्जन।
तरीकों की संख्या = $^4C_4 \times ^8C_2 = 1 \times 28 = 28$.
कुल तरीकों की संख्या = $224 + 28 = 252$.

(A) $(2n + 1)$ अलग-अलग सिक्कों में से $r$ सिक्के चुनने के कुल तरीके $\binom{2n+1}{r}$ द्वारा दिए जाते हैं।
दिया गया है कि व्यक्ति कम से कम $1$ और अधिक से अधिक $n$ सिक्के चुनता है,इसलिए कुल तरीके $T$ हैं:
$T = \binom{2n+1}{1} + \binom{2n+1}{2} + \dots + \binom{2n+1}{n} = 255$.
हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{r=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{r} = 2^{2n+1}$ होता है।
चूंकि $\binom{2n+1}{r} = \binom{2n+1}{2n+1-r}$,इसलिए $\binom{2n+1}{0} = \binom{2n+1}{2n+1} = 1$ है।
अतः,$\binom{2n+1}{0} + \binom{2n+1}{1} + \dots + \binom{2n+1}{n} + \binom{2n+1}{n+1} + \dots + \binom{2n+1}{2n+1} = 2^{2n+1}$.
यह $1 + T + T + 1 = 2^{2n+1}$ में सरल हो जाता है,जो $2 + 2T = 2^{2n+1}$ है।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $1 + T = 2^{2n}$ प्राप्त होता है।
$T = 255$ रखने पर,$1 + 255 = 2^{2n}$,इसलिए $256 = 2^{2n}$.
चूंकि $256 = 2^8$,इसलिए $2n = 8$,जिसका अर्थ है $n = 4$।

(D) प्रत्येक $10$ मित्रों के लिए,व्यक्ति के पास $2$ विकल्प हैं: या तो उन्हें आमंत्रित करना या आमंत्रित न करना।
चूंकि $10$ मित्र हैं,इसलिए किसी भी संख्या में मित्रों को आमंत्रित करने के कुल तरीके (शून्य सहित) $2^{10}$ हैं।
हालाँकि,प्रश्न में 'एक या अधिक' मित्रों को आमंत्रित करने के लिए कहा गया है,इसलिए हमें उस स्थिति को बाहर करना होगा जहाँ किसी को भी आमंत्रित नहीं किया जाता है।
अतः,आवश्यक तरीकों की संख्या $2^{10} - 1$ है।

(B) छात्र को $13$ में से $10$ प्रश्न चुनने हैं,जिसमें शर्त यह है कि पहले $5$ प्रश्नों में से कम से कम $4$ प्रश्न चुने जाने चाहिए।
स्थिति $I$: पहले $5$ में से $4$ प्रश्न और शेष $8$ में से $6$ प्रश्न चुनना।
तरीकों की संख्या $= {^5C_4} \times {^8C_6} = 5 \times 28 = 140$.
स्थिति $II$: पहले $5$ में से $5$ प्रश्न और शेष $8$ में से $5$ प्रश्न चुनना।
तरीकों की संख्या $= {^5C_5} \times {^8C_5} = 1 \times 56 = 56$.
कुल विकल्पों की संख्या $= 140 + 56 = 196$.

(B) छात्र कम से कम एक पुस्तक $T$ तरीकों से चुन सकता है,जहाँ $T = {}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + ... + {}^{2n+1}C_n = 63$ है।
हम जानते हैं कि $(2n+1)$ के लिए सभी द्विपद गुणांकों का योग ${}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_1 + ... + {}^{2n+1}C_{2n+1} = 2^{2n+1}$ होता है।
चूंकि ${}^{2n+1}C_r = {}^{2n+1}C_{2n+1-r}$,इसलिए ${}^{2n+1}C_0 = {}^{2n+1}C_{2n+1} = 1$ है।
अतः,$1 + ({}^{2n+1}C_1 + ... + {}^{2n+1}C_n) + ({}^{2n+1}C_{n+1} + ... + {}^{2n+1}C_{2n}) + 1 = 2^{2n+1}$।
चूंकि पहले $n$ पदों का योग $T$ है,और अगले $n$ पदों का योग भी $T$ है,इसलिए $1 + T + T + 1 = 2^{2n+1}$।
$2 + 2T = 2^{2n+1} \Rightarrow 1 + T = 2^{2n}$।
$T = 63$ दिया गया है,इसलिए $1 + 63 = 2^{2n} \Rightarrow 64 = 2^{2n}$।
$2^6 = 2^{2n}$ $\Rightarrow 2n = 6$ $\Rightarrow n = 3$।

(D) दिया गया समीकरण: $^{n-1}C_r = (k^2 - 3) \cdot ^nC_{r+1}$
सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(n-1)!}{r!(n-r-1)!} = (k^2 - 3) \cdot \frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!}$
क्रमगुणित (factorial) को सरल करने पर:
$\frac{1}{r!} = (k^2 - 3) \cdot \frac{n}{(r+1)r!}$
$1 = (k^2 - 3) \cdot \frac{n}{r+1}$
$k^2 - 3 = \frac{r+1}{n}$
$k^2 = \frac{r+1}{n} + 3$
चूंकि $0 \le r \le n-1$,इसलिए $1 \le r+1 \le n$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{n} \le \frac{r+1}{n} \le 1$।
अतः,$k^2 \in [\frac{1}{n} + 3, 4]$।
$n \ge 2$ के लिए,$\frac{1}{n} + 3$ का मान $(3, 3.5]$ अंतराल में है।
इसलिए,$k \in [-2, -\sqrt{\frac{1}{n} + 3}] \cup [\sqrt{\frac{1}{n} + 3}, 2]$।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,$(\sqrt{3}, 2)$ सबसे उपयुक्त उपसमुच्चय है।

(B) हमें दिया गया व्यंजक $S = {}^{50}C_4 + \sum_{r=1}^{6} {}^{56-r}C_3$ है।
योगफल का विस्तार करने पर,$S = {}^{50}C_4 + ({}^{55}C_3 + {}^{54}C_3 + {}^{53}C_3 + {}^{52}C_3 + {}^{51}C_3 + {}^{50}C_3)$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$S = ({}^{50}C_4 + {}^{50}C_3) + {}^{51}C_3 + {}^{52}C_3 + {}^{53}C_3 + {}^{54}C_3 + {}^{55}C_3$।
पास्कल के सर्वसमिका ${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ का उपयोग करने पर,${}^{50}C_4 + {}^{50}C_3 = {}^{51}C_4$ होता है।
अब,$S = ({}^{51}C_4 + {}^{51}C_3) + {}^{52}C_3 + {}^{53}C_3 + {}^{54}C_3 + {}^{55}C_3 = {}^{52}C_4 + {}^{52}C_3 + {}^{53}C_3 + {}^{54}C_3 + {}^{55}C_3$।
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर,$S = {}^{56}C_4$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) दिया गया है $^nC_{12} = ^nC_6$।
गुणधर्म $^nC_r = ^nC_k \Rightarrow r = k$ या $r + k = n$ का उपयोग करने पर।
चूंकि $12 \neq 6$,इसलिए $n = 12 + 6 = 18$।
अब,$n = 18$ के लिए $^nC_2$ की गणना करने पर:
$^nC_2 = ^{18}C_2 = \frac{18 \times 17}{2 \times 1} = 9 \times 17 = 153$।

(B) माना कि $4$ व्यक्तियों द्वारा प्राप्त राशि $x_1, x_2, x_3, x_4$ है,ताकि $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 16$,जहाँ प्रत्येक $i \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए $x_i \ge 3$ है।
माना $y_i = x_i - 3$,जहाँ $y_i \ge 0$ है।
समीकरण में $x_i = y_i + 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(y_1 + 3) + (y_2 + 3) + (y_3 + 3) + (y_4 + 3) = 16$
$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + 12 = 16$
$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 4$
स्टार्स और बार्स सूत्र का उपयोग करते हुए,गैर-ऋणात्मक पूर्णांक समाधानों की संख्या $\binom{n + k - 1}{k - 1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 4$ और $k = 4$ है।
तरीकों की संख्या = $\binom{4 + 4 - 1}{4 - 1} = \binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.

(D) माना $S$ अधिकतम $n$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या है। अतः,$S = \binom{2n+1}{0} + \binom{2n+1}{1} + \dots + \binom{2n+1}{n}$ है।
हम जानते हैं कि $(2n+1)$ अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $2^{2n+1}$ होती है।
गुणधर्म $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ का उपयोग करने पर:
$\binom{2n+1}{0} = \binom{2n+1}{2n+1}$
$\binom{2n+1}{1} = \binom{2n+1}{2n}$
$\dots$
$\binom{2n+1}{n} = \binom{2n+1}{n+1}$
इनका योग करने पर,$2S = \binom{2n+1}{0} + \binom{2n+1}{1} + \dots + \binom{2n+1}{n} + \binom{2n+1}{n+1} + \dots + \binom{2n+1}{2n+1} = 2^{2n+1}$ प्राप्त होता है।
अतः,$S = \frac{2^{2n+1}}{2} = 2^{2n}$।

(B) समीकरण $x + y + z = n$ के धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{n-1}{r-1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 100$ और $r = 3$ है।
धनात्मक पूर्णांकों के लिए स्टार्स और बार्स विधि का उपयोग करने पर:
हलों की संख्या $= \binom{100-1}{3-1} = \binom{99}{2}$।
मान की गणना करने पर:
$\binom{99}{2} = \frac{99 \times 98}{2 \times 1} = 99 \times 49 = 4851$।

(A) बक्से में गेंदों की कुल संख्या $2 + 3 + 4 = 9$ है।
हमें $3$ गेंदें इस प्रकार चुननी हैं कि कम से कम एक काली गेंद हो।
इसकी गणना कुल तरीकों में से उन तरीकों को घटाकर की जा सकती है जिनमें कोई भी काली गेंद न हो।
$9$ में से $3$ गेंदें चुनने के कुल तरीके $^{9}C_{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ हैं।
$3$ गेंदें चुनने के तरीके जिनमें कोई काली गेंद न हो (अर्थात $2$ सफेद और $4$ लाल गेंदों में से चुनना,कुल $6$ गैर-काली गेंदें) $^{6}C_{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ हैं।
इसलिए,कम से कम एक काली गेंद चुनने के तरीके $84 - 20 = 64$ हैं।

(A) मान लीजिए कि $i^{th}$ प्रश्न को दिए गए अंक $n_i$ हैं,जहाँ $i = 1, 2, \dots, 8$.
हमें दिया गया है कि $n_1 + n_2 + \dots + n_8 = 30$ और $n_i \ge 2$.
मान लीजिए $x_i = n_i - 2$,तो $x_i \ge 0$.
योग में यह मान रखने पर: $(x_1 + 2) + (x_2 + 2) + \dots + (x_8 + 2) = 30$.
$x_1 + x_2 + \dots + x_8 + 16 = 30$,जो सरल होकर $x_1 + x_2 + \dots + x_8 = 14$ हो जाता है।
अऋण पूर्णांक हलों की संख्या का सूत्र $\binom{n+r-1}{r-1}$ है,जहाँ $n = 14$ और $r = 8$.
तरीकों की संख्या = $\binom{14+8-1}{8-1} = \binom{21}{7} = ^{21}C_{7}$.

(B) $10$ व्यक्तियों ($6$ पुरुष + $4$ महिलाएँ) में से $5$ सदस्यों को चुनने के कुल तरीके $^{10}C_5 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ हैं।
बिना किसी महिला वाली समिति बनाने के तरीके (अर्थात सभी $5$ सदस्य पुरुष हों) $^6C_5 = 6$ हैं।
कम से कम एक महिला होने के तरीकों की संख्या कुल तरीकों में से बिना किसी महिला वाले तरीकों को घटाने पर प्राप्त होती है:
$252 - 6 = 246$.

(D) कुल $10$ व्यक्ति उपलब्ध हैं। हमें $5$ की टीम बनानी है और उन्हें एक पंक्ति में व्यवस्थित करना है।
चूंकि $A$ को शामिल करना अनिवार्य है,$1$ स्थान $A$ द्वारा भर जाता है,जिससे $4$ स्थान शेष बचते हैं।
चूंकि $G$ और $H$ को शामिल नहीं करना है,इसलिए शेष $9$ लोगों में से उन्हें हटाने पर $7$ लोग चयन के लिए बचते हैं।
शेष $7$ लोगों में से $4$ लोगों का चयन $^7C_4$ तरीकों से किया जा सकता है।
चूंकि $^7C_4 = ^7C_3$,इसलिए टीम चुनने के तरीके $^7C_3$ हैं।
एक बार $5$ सदस्य चुन लिए जाने के बाद (जिसमें $A$ शामिल है),उन्हें एक पंक्ति में $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $^7C_3 \times 5!$ है।

(C) $MISSISSIPPI$ शब्द में निम्नलिखित अक्षर हैं:
$M: 1, I: 4, S: 4, P: 2$.
एक या अधिक अक्षरों का संचय बनाने के लिए,हम $M$ ($0$ से $1$),$I$ ($0$ से $4$),$S$ ($0$ से $4$),और $P$ ($0$ से $2$) में से किसी भी संख्या में अक्षरों का चयन कर सकते हैं।
इन अक्षरों को चुनने के कुल तरीके $(1+1)(4+1)(4+1)(2+1) = 2 \times 5 \times 5 \times 3 = 150$ हैं।
चूंकि प्रश्न में एक या अधिक अक्षरों के संचय के बारे में पूछा गया है,इसलिए हमें उस स्थिति को बाहर करना होगा जिसमें कोई भी अक्षर नहीं चुना जाता है (अर्थात,जब हम प्रत्येक अक्षर $0$ चुनते हैं)।
अतः,संचयों की कुल संख्या $150 - 1 = 149$ है।

(B) मान लीजिए कुल बच्चों की संख्या $n = 8$ है। पिता एक बार में $r = 3$ बच्चों को ले जाते हैं।
$8$ में से $3$ बच्चों को चुनने के कुल तरीके संचय सूत्र द्वारा दिए गए हैं: ${^8}{C_3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.
प्रत्येक यात्रा में $3$ बच्चे शामिल होते हैं। इसलिए,कुल 'बाल-यात्राओं' की संख्या $56 \times 3 = 168$ है।
चूंकि कुल $8$ बच्चे हैं और प्रत्येक बच्चे को समान माना जाता है,इसलिए प्रत्येक बच्चा कितनी बार उद्यान जाएगा,यह $\frac{168}{8} = 21$ है।
वैकल्पिक रूप से,किसी विशिष्ट बच्चे को $3$ के समूह में शामिल करने के लिए,पिता को शेष $7$ बच्चों में से $2$ और बच्चों का चयन करना होगा। यह ${^7}{C_2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ तरीकों से किया जा सकता है।

(C) दी गई अभिव्यक्ति $^x{C_r} ^y{C_0} + ^x{C_{r-1}} ^y{C_1} + ^x{C_{r-2}} ^y{C_2} + \dots + ^x{C_0} ^y{C_r}$ है।
यह एक मानक सर्वसमिका है जिसे वेंडरमोंड सर्वसमिका (Vandermonde's Identity) के रूप में जाना जाता है।
वेंडरमोंड सर्वसमिका के अनुसार,संयोजनों के गुणनफल का योग $\sum_{k=0}^{r} {^x{C_{r-k}} ^y{C_k}}$,$^{x+y}{C_r}$ के बराबर होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) माना $i$-वें प्रश्न को दिए गए अंक $x_i$ हैं,जहाँ $i = 1, 2, \dots, 8$.
हमें दिया गया है कि $x_1 + x_2 + \dots + x_8 = 30$ और सभी $i$ के लिए $x_i \ge 2$.
माना $y_i = x_i - 2$,इसलिए $y_i \ge 0$.
समीकरण में $x_i = y_i + 2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(y_1 + 2) + (y_2 + 2) + \dots + (y_8 + 2) = 30$
$y_1 + y_2 + \dots + y_8 + 16 = 30$
$y_1 + y_2 + \dots + y_8 = 14$
अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या का सूत्र $^{n+r-1}C_{r-1}$ है,जहाँ $n = 14$ और $r = 8$.
तरीकों की संख्या = $^{14+8-1}C_{8-1} = ^{21}C_7$.

(C) कुल खिलाड़ी = $22$।
$4$ खिलाड़ियों को हमेशा बाहर रखा जाना है,इसलिए शेष खिलाड़ी = $22 - 4 = 18$।
$2$ विशिष्ट खिलाड़ियों को हर टीम में शामिल किया जाना है,इसलिए हमें $11 - 2 = 9$ और खिलाड़ियों का चयन करना होगा।
ये $9$ खिलाड़ी शेष $18 - 2 = 16$ खिलाड़ियों में से चुने जाने हैं।
$16$ में से $9$ खिलाड़ियों को चुनने के तरीकों की संख्या = $^{16}C_9$।

(C) चूंकि दिए गए पद समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2\binom{n-1}{5} = \binom{n-1}{4} + \binom{n-1}{6}$ होगा।
दोनों पक्षों में $2\binom{n-1}{5}$ जोड़ने पर:
$\binom{n-1}{4} + \binom{n-1}{5} + \binom{n-1}{5} + \binom{n-1}{6} = 4\binom{n-1}{5}$
पास्कल के नियम $\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1} = \binom{n+1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$\binom{n}{5} + \binom{n}{6} = 4\binom{n-1}{5}$
$\binom{n+1}{6} = 4\binom{n-1}{5}$

(A) पास्कल के सर्वसमिका $\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1} = \binom{n+1}{r}$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\binom{n}{3} + \binom{n}{4} = \binom{n+1}{4}$
दी गई असमिका:
$\binom{n+1}{4} > \binom{n+1}{3}$
संचयों का विस्तार करने पर:
$\frac{(n+1)!}{4!(n-3)!} > \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}$
दोनों पक्षों को $(n+1)!$ से विभाजित करने और फैक्टोरियल को सरल करने पर:
$\frac{1}{4 \times 3!(n-3)!} > \frac{1}{3!(n-2)(n-3)!}$
$\frac{1}{4} > \frac{1}{n-2}$
चूंकि $n-2 > 0$ (क्योंकि संचय को परिभाषित करने के लिए $n \ge 4$ होना चाहिए),
$n-2 > 4$
$n > 6$

(D) दिया गया समीकरण $\binom{n-1}{r} = (k^2 - 3) \binom{n}{r+1}$ है।
हम जानते हैं कि $\binom{n}{r+1} = \frac{n}{r+1} \binom{n-1}{r}$ होता है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,$\binom{n-1}{r} = (k^2 - 3) \frac{n}{r+1} \binom{n-1}{r}$ प्राप्त होता है।
यदि $\binom{n-1}{r} \neq 0$ है,तो $1 = (k^2 - 3) \frac{n}{r+1}$,जिसका अर्थ है कि $k^2 - 3 = \frac{r+1}{n}$।
चूंकि $0 \leq r \leq n-1$,इसलिए $1 \leq r+1 \leq n$ है।
$n$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{n} \leq \frac{r+1}{n} \leq 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n$ कोई भी धनात्मक पूर्णांक हो सकता है,इसलिए $\frac{r+1}{n}$ का परिसर $(0, 1]$ है।
अतः,$0 < k^2 - 3 \leq 1$,जो सरल होकर $3 < k^2 \leq 4$ हो जाता है।
$k$ के लिए हल करने पर,$k \in [-2, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, 2]$ प्राप्त होता है।

(A) $6$ पुरुषों और $4$ महिलाओं (कुल $10$ लोग) में से $5$ सदस्यों की समिति बनाने के कुल तरीके $^{10}C_5 = 252$ हैं।
बिना किसी महिला वाली समिति (अर्थात सभी $5$ सदस्य पुरुष हों) बनाने के तरीके $^6C_5 = 6$ हैं।
अतः,कम से कम एक महिला वाली समिति बनाने के तरीकों की संख्या $252 - 6 = 246$ है।

(B) हम पास्कल के सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\binom{n}{k} + \binom{n}{k-1} = \binom{n+1}{k}$.
दी गई अभिव्यक्ति: $\binom{n}{r+1} + 2\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1}$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\left[ \binom{n}{r+1} + \binom{n}{r} \right] + \left[ \binom{n}{r} + \binom{n}{r-1} \right]$.
सर्वसमिका लागू करने पर:
$= \binom{n+1}{r+1} + \binom{n+1}{r}$.
पुनः सर्वसमिका लागू करने पर:
$= \binom{n+2}{r+1}$.

(B) $5$ पुरुषों में से $3$ पुरुषों को चुनने के तरीकों की संख्या $^5C_3 = 10$ है।
$4$ महिलाओं में से $2$ महिलाओं को चुनने के तरीकों की संख्या $^4C_2 = 6$ है।
अतः,समिति बनाने के कुल तरीकों की संख्या $^5C_3 \times ^4C_2 = 10 \times 6 = 60$ है।

(C) हम संचय के लिए पास्कल के सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r} = \binom{n+1}{r}$.
इसे दिए गए समीकरण $\binom{189}{35} + \binom{189}{x} = \binom{190}{x}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 189$ और $r = x$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका के सत्य होने के लिए,दूसरे द्विपद गुणांक में निचला पद $r = x$ होना चाहिए और पहले में $r-1 = 35$ होना चाहिए।
अतः,$x - 1 = 35$,जिससे हमें $x = 36$ प्राप्त होता है।

(A) चूंकि $\binom{n-1}{4}$,$\binom{n-1}{5}$,और $\binom{n-1}{6}$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए:
$2 \binom{n-1}{5} = \binom{n-1}{4} + \binom{n-1}{6}$
गुणधर्म $\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1}$ का उपयोग करते हुए:
$\binom{n-1}{4} + \binom{n-1}{5} + \binom{n-1}{5} + \binom{n-1}{6} = 4 \binom{n-1}{5}$
$\binom{n}{5} + \binom{n}{6} = 4 \binom{n-1}{5}$
$\binom{n+1}{6} = 4 \binom{n-1}{5}$
समीकरण को हल करने पर:
$\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{6!} = 4 \frac{(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}{5!}$
$\frac{(n+1)n}{6} = 4(n-5)$
$n^2 + n = 24(n-5)$
$n^2 - 23n + 120 = 0$
$(n-15)(n-8) = 0$
अतः,$n = 15$ या $n = 8$.

(C) $CORGOO$ शब्द में $6$ अक्षर हैं: $C, O, R, G, O, O$। भिन्न अक्षर $C, R, G, O$ हैं। आवृत्ति $O: 3, C: 1, R: 1, G: 1$ है।
हमें $4$ अक्षर चुनने हैं। संभावित स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
$(i)$ सभी $4$ अक्षर भिन्न हों: $^4C_4 = 1$ तरीका।
$(ii)$ $2$ अक्षर समान और $2$ भिन्न हों: $O$ का एक जोड़ा चुनें $(^1C_1 = 1)$ और शेष $3$ भिन्न अक्षरों में से $2$ चुनें $(^3C_2 = 3)$। कुल तरीके = $1 \times 3 = 3$।
$(iii)$ $3$ अक्षर समान और $1$ भिन्न हो: $3$ $O$ चुनें $(^1C_1 = 1)$ और शेष $3$ भिन्न अक्षरों में से $1$ चुनें $(^3C_1 = 3)$। कुल तरीके = $1 \times 3 = 3$।
कुल चयन के तरीके = $1 + 3 + 3 = 7$।

(B) माना कि $4$ व्यक्तियों द्वारा प्राप्त राशि क्रमशः $x_1, x_2, x_3, x_4$ है।
हमें दिया गया है कि $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 16$,जहाँ सभी $i \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए $x_i \ge 3$ है।
माना $y_i = x_i - 3$,तो $y_i \ge 0$ होगा।
समीकरण में $x_i = y_i + 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(y_1 + 3) + (y_2 + 3) + (y_3 + 3) + (y_4 + 3) = 16$
$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + 12 = 16$
$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 4$
अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या का सूत्र $\binom{n+r-1}{r-1}$ है,जहाँ $n=4$ और $r=4$ है।
तरीकों की संख्या $= \binom{4+4-1}{4-1} = \binom{7}{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.

(B) प्रत्येक $n$ भिन्न पुस्तकों के लिए,$p$ प्रतियाँ उपलब्ध हैं।
किसी विशिष्ट पुस्तक के लिए,हम $0, 1, 2, \dots, p$ प्रतियाँ चुन सकते हैं।
यह प्रत्येक पुस्तक के लिए $(p + 1)$ विकल्प देता है।
चूँकि ऐसी $n$ पुस्तकें हैं,इसलिए किसी भी संख्या में पुस्तकें चुनने के कुल तरीके (शून्य पुस्तकें चुनने के मामले सहित) $(p + 1)^n$ हैं।
एक या अधिक पुस्तकें चुनने के लिए,हमें शून्य पुस्तकें चुनने वाले मामले को घटाना होगा।
अतः,आवश्यक तरीकों की संख्या $(p + 1)^n - 1$ है।

(B) $n$ समान वस्तुओं को $r$ अलग-अलग बक्सों में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या कि कोई भी बक्सा खाली न रहे,सूत्र $^{n-1}C_{r-1}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 8$ और $r = 3$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$^{8-1}C_{3-1} = ^7C_2$.
मान की गणना करने पर:
$^7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.

(A) हम जानते हैं कि यदि $\binom{n}{x} = \binom{n}{y}$ है,तो या तो $x = y$ या $x + y = n$ होता है।
स्थिति $1$: $3r = r + 3$
$2r = 3$
$r = 1.5$ (पूर्णांक नहीं है,इसलिए यह स्थिति अमान्य है)।
स्थिति $2$: $3r + (r + 3) = 15$
$4r + 3 = 15$
$4r = 12$
$r = 3$.

(C) दिया गया समीकरण: $\binom{n+1}{3} = 2 \times \binom{n}{2}$
सूत्र $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(n+1)!}{3!(n-2)!} = 2 \times \frac{n!}{2!(n-2)!}$
चूंकि $(n+1)! = (n+1) \times n!$ और $3! = 6$,$2! = 2$:
$\frac{(n+1) \times n!}{6 \times (n-2)!} = 2 \times \frac{n!}{2 \times (n-2)!}$
दोनों पक्षों से $n!$ और $(n-2)!$ को हटाने पर:
$\frac{n+1}{6} = 1$
$n+1 = 6$
$n = 5$

(A) मतदाता $1$,$2$ या $3$ उम्मीदवारों को वोट दे सकता है। \\ $6$ में से $1$ उम्मीदवार चुनने के तरीके $= ^6C_1 = 6$. \\ $6$ में से $2$ उम्मीदवार चुनने के तरीके $= ^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$. \\ $6$ में से $3$ उम्मीदवार चुनने के तरीके $= ^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$. \\ कुल तरीके $= ^6C_1 + ^6C_2 + ^6C_3 = 6 + 15 + 20 = 41$.

(C) दिया गया है $\binom{n}{r-1} = 36$,$\binom{n}{r} = 84$,और $\binom{n}{r+1} = 126$ है।
पहले दो पदों का अनुपात लेने पर:
$\frac{\binom{n}{r}}{\binom{n}{r-1}} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3}$
$\frac{n-r+1}{r} = \frac{7}{3} \implies 3n - 3r + 3 = 7r \implies 3n - 10r = -3$ (समीकरण $1$)
अगले दो पदों का अनुपात लेने पर:
$\frac{\binom{n}{r+1}}{\binom{n}{r}} = \frac{126}{84} = \frac{3}{2}$
$\frac{n-r}{r+1} = \frac{3}{2} \implies 2n - 2r = 3r + 3 \implies 2n - 5r = 3$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ को $2$ से गुणा करने पर:
$4n - 10r = 6$ (समीकरण $3$)
समीकरण $3$ में से समीकरण $1$ घटाने पर:
$(4n - 10r) - (3n - 10r) = 6 - (-3)$
$n = 9$
$n=9$ को समीकरण $2$ में रखने पर:
$2(9) - 5r = 3 \implies 18 - 5r = 3 \implies 5r = 15 \implies r = 3$.

(B) $n$ समान वस्तुओं को $r$ प्राप्तकर्ताओं के बीच इस प्रकार वितरित करने के तरीके कि प्रत्येक प्राप्तकर्ता को वस्तुओं की कोई भी संख्या (शून्य सहित) मिल सके,सूत्र $\binom{n+r-1}{r-1}$ द्वारा दिए जाते हैं।
यहाँ,$n = 35$ और $r = 3$ है।
अतः,तरीकों की संख्या $= \binom{35+3-1}{3-1} = \binom{37}{2}$ है।
मान की गणना करने पर: $\binom{37}{2} = \frac{37 \times 36}{2 \times 1} = 37 \times 18 = 666$।

(A) $5$ सदस्यों की समिति बनाने के लिए जहाँ पुरुषों की संख्या महिलाओं से अधिक हो,हम निम्नलिखित स्थितियों पर विचार करते हैं:
स्थिति $1$: $4$ पुरुष और $1$ महिला। तरीकों की संख्या = $^4C_4 \times ^6C_1 = 1 \times 6 = 6$.
स्थिति $2$: $3$ पुरुष और $2$ महिलाएँ। तरीकों की संख्या = $^4C_3 \times ^6C_2 = 4 \times 15 = 60$.
कुल तरीकों की संख्या = $6 + 60 = 66$.

(C) हम सर्वसमिका $\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1} = \binom{n+1}{r}$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया व्यंजक: $\binom{18}{15} + \binom{18}{16} + \binom{18}{16} + \binom{17}{16} + 1 = \binom{n}{3}$.
ध्यान दें कि $1 = \binom{17}{17}$.
अतः,$\binom{18}{15} + \binom{18}{16} + \binom{18}{16} + \binom{17}{16} + \binom{17}{17} = \binom{n}{3}$.
सर्वसमिका $\binom{17}{16} + \binom{17}{17} = \binom{18}{17}$ का उपयोग करने पर:
$\binom{18}{15} + \binom{18}{16} + \binom{18}{16} + \binom{18}{17} = \binom{n}{3}$.
सर्वसमिका $\binom{18}{16} + \binom{18}{17} = \binom{19}{17}$ का उपयोग करने पर:
$\binom{18}{15} + \binom{18}{16} + \binom{19}{17} = \binom{n}{3}$.
सर्वसमिका $\binom{18}{15} + \binom{18}{16} = \binom{19}{16}$ का उपयोग करने पर:
$\binom{19}{16} + \binom{19}{17} = \binom{n}{3}$.
सर्वसमिका $\binom{19}{16} + \binom{19}{17} = \binom{20}{17}$ का उपयोग करने पर:
$\binom{20}{17} = \binom{n}{3}$.
चूंकि $\binom{20}{17} = \binom{20}{20-17} = \binom{20}{3}$,इसलिए $\binom{20}{3} = \binom{n}{3}$.
अतः,$n = 20$.

(D) $3$ आरक्षित पदों को $5$ आरक्षित श्रेणी के उम्मीदवारों में से $\binom{5}{3}$ तरीकों से भरा जा सकता है।
अब,शेष $12 - 3 = 9$ पदों के लिए कुल $25 - 3 = 22$ उम्मीदवार शेष बचते हैं।
इन $9$ पदों को शेष $22$ उम्मीदवारों में से $\binom{22}{9}$ तरीकों से भरा जा सकता है।
अतः,कुल चयन $\binom{5}{3} \cdot \binom{22}{9}$ तरीकों से किया जा सकता है।

(B) दिया गया है कि $^nC_{15} = ^nC_8$ है।
गुणधर्म $^nC_x = ^nC_y \implies x + y = n$ का उपयोग करने पर,हमें $n = 15 + 8 = 23$ प्राप्त होता है।
अब,हमें $^nC_{21} = ^{23}C_{21}$ का मान ज्ञात करना है।
गुणधर्म $^nC_r = ^nC_{n-r}$ का उपयोग करने पर,$^{23}C_{21} = ^{23}C_{23-21} = ^{23}C_2$ होता है।
$^{23}C_2 = \frac{23 \times 22}{2 \times 1} = 23 \times 11 = 253$ गणना करने पर प्राप्त होता है।

(A) चिड़ियाघर जाने के तरीकों की संख्या $8$ बच्चों में से $3$ बच्चों को चुनने के तरीकों की संख्या के बराबर है।
अतः,अभीष्ट तरीकों की संख्या:
$^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.

(D) हमें $8$ व्यक्तियों ($4$ पति और $4$ पत्नी) में से $4$ व्यक्तियों को इस प्रकार चुनना है कि कोई भी जोड़ा न चुना जाए।
मान लीजिए जोड़े $(H_1, W_1), (H_2, W_2), (H_3, W_3), (H_4, W_4)$ हैं।
सबसे पहले,हम $4$ जोड़ों में से $4$ जोड़ों का चयन करते हैं,जो $^4C_4 = 1$ तरीके से किया जा सकता है।
प्रत्येक चयनित जोड़े से हम या तो पति या पत्नी को चुन सकते हैं। इससे $2^4$ तरीके मिलते हैं।
कुल तरीकों की संख्या $= ^4C_4 \times 2^4 = 1 \times 16 = 16$.

(C) कुल $4$ अधिकारियों और $8$ कांस्टेबलों में से $6$ व्यक्तियों का चयन करना है।
कम से कम एक अधिकारी को शामिल करने के लिए,हम पूरक विधि का उपयोग कर सकते हैं: कुल तरीके - बिना किसी अधिकारी वाले तरीके।
$12$ $(4+8)$ व्यक्तियों में से $6$ व्यक्तियों के चयन के कुल तरीके $\binom{12}{6} = 924$ हैं।
बिना किसी अधिकारी के $6$ व्यक्तियों के चयन के तरीके (अर्थात सभी $6$ कांस्टेबल हैं) $\binom{8}{6} = \binom{8}{2} = 28$ हैं।
अतः,कम से कम एक अधिकारी वाले चयन के तरीके = $924 - 28 = 896$।

(D) दिया गया है कि $\alpha = \binom{m}{2} = \frac{m(m-1)}{2}$
अब,$\binom{\alpha}{2} = \frac{\alpha(\alpha-1)}{2} = \frac{1}{2} \left[ \frac{m(m-1)}{2} \right] \left[ \frac{m(m-1)}{2} - 1 \right]$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{m(m-1)}{2} \cdot \frac{m^2-m-2}{2} = \frac{1}{8} m(m-1)(m-2)(m+1)$
$= 3 \cdot \frac{(m+1)m(m-1)(m-2)}{24} = 3 \binom{m+1}{4}$

(C) समान रंग की दो गेंदें चुनने के लिए,हमारे पास दो परस्पर अनन्य स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: $4$ अलग-अलग काली गेंदों में से $2$ काली गेंदें चुनना।
तरीकों की संख्या = $^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
स्थिति $2$: $3$ अलग-अलग सफेद गेंदों में से $2$ सफेद गेंदें चुनना।
तरीकों की संख्या = $^3C_2 = ^3C_1 = 3$.
कुल तरीकों की संख्या = $6 + 3 = 9$.