Binomial theorem for any index Questions in Gujarati

(A) સંમેય ઘાતાંક $n$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનું સામાન્ય પદ $T_{k+1} = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-k+1)}{k!} x^k$ છે.
$(1+\frac{3x}{5})^{22/3}$ ના વિસ્તરણ માટે,$p^{\text{th}}$ પદ $T_p = \frac{n(n-1)\dots(n-p+2)}{(p-1)!} (\frac{3x}{5})^{p-1}$ છે.
જ્યારે ગુણાકાર $n(n-1)\dots(n-p+2) < 0$ થાય ત્યારે પદ ઋણ બને છે.
$n = 22/3 \approx 7.33$ હોવાથી,જ્યાં સુધી $n-k+1 > 0$ હોય ત્યાં સુધી પદો ધન રહે છે.
$p^{\text{th}}$ પદ માટે,આપણને $n-p+2 < 0$ ની જરૂર છે.
$22/3 - p + 2 < 0 \implies 28/3 < p \implies p > 9.33$. તેથી,$p=10$.
$(1-\frac{3x}{5})^{22/3}$ ના વિસ્તરણ માટે,$r^{\text{th}}$ પદ પછીના બધા પદો ધન હોવા માટે,સમાન તર્કથી $r=10$ મળે છે.
આમ,વિસ્તરણ $(10x + \frac{10}{x})^{100}$ બને છે.
$(a+b)^n$ માં પદોની સંખ્યા $n+1$ છે.
તેથી,પદોની સંખ્યા $100+1 = 101$ છે.

(A) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+y)^n$ માટે જ્યાં $|y| < 1$ હોય,તે $1 + ny + \frac{n(n-1)}{2!}y^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}y^3 + \ldots$ છે.
અહીં,$\left(1+\frac{1}{x}\right)^{\frac{1}{2}}$ નું વિસ્તરણ સીધું દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે,જે વિકલ્પ $A$ માં આપેલ છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $1 - \frac{3}{16} + \frac{1 \cdot 4}{2!} \left(\frac{3}{16}\right)^2 - \frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{3!} \left(\frac{3}{16}\right)^3 + \ldots$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \ldots$ સાથે સરખાવતા,
$nx = -\frac{3}{16}$ અને $\frac{n(n-1)}{2!}x^2 = \frac{1 \cdot 4}{2!} \left(\frac{3}{16}\right)^2$ મળે છે.
આથી $n(n-1)x^2 = 4 \left(\frac{3}{16}\right)^2$ થાય.
$nx = -\frac{3}{16}$ હોવાથી,$x = -\frac{3}{16n}$ મળે.
$n(n-1)x^2 = 4(nx)^2$ માં $x$ ની કિંમત મૂકતા,$n(n-1) \left(-\frac{3}{16n}\right)^2 = 4 \left(-\frac{3}{16}\right)^2$ મળે.
$\frac{n-1}{n} = 4$ $\Rightarrow n-1 = 4n$ $\Rightarrow 3n = -1$ $\Rightarrow n = -\frac{1}{3}$.
તેથી $x = -\frac{3}{16(-1/3)} = \frac{9}{16}$.
આમ,સરવાળો $(1+x)^n = (1 + \frac{9}{16})^{-1/3} = (\frac{25}{16})^{-1/3} = (\frac{16}{25})^{1/3} = (\frac{4}{5})^{2/3}$ થાય.

(B) આપેલ પદ $(7+3x)^{-2/5} = 7^{-2/5}(1+\frac{3}{7}x)^{-2/5}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ સૂત્ર $(1+z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}z^3 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = -2/5$ અને $z = \frac{3x}{7}$ છે.
$4^{th}$ પદ $\frac{n(n-1)(n-2)}{3!} z^3$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$T_4 = 7^{-2/5} \times \frac{(-2/5)(-7/5)(-12/5)}{6} \times \frac{27x^3}{343}$
ગણતરી કરતા $T_4 = -\frac{108}{125} \times 7^{-12/5} x^3$ મળે છે.
તેથી,$k = -\frac{108}{125} \times 7^{-12/5}$.
આમ,$7^{12/5}k = -\frac{108}{125}$.

(C) આપેલ છે કે $|x| < \frac{4}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{(4-3 x)^{\frac{1}{2}}} = (4-3 x)^{-\frac{1}{2}} = 4^{-\frac{1}{2}} \left(1-\frac{3 x}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \left(1-\frac{3 x}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+u)^n = 1 + nu + \frac{n(n-1)}{2!} u^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $u = -\frac{3x}{4}$ અને $n = -\frac{1}{2}$:
$\frac{1}{2} \left(1-\frac{3 x}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \left[ 1 + \left(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{3x}{4}\right) + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{2} \left(-\frac{3x}{4}\right)^2 + \dots \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{3x}{8} + \frac{3}{8} \cdot \frac{9x^2}{16} + \dots \right]$
$= \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{3x}{8} + \frac{27x^2}{128} + \dots \right]$
$= \frac{1}{2} + \frac{3x}{16} + \frac{27x^2}{256} + \dots$

(C) $|x |< 1$ માટે $(1+x)^n$ નું વિસ્તરણ $1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \ldots$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = \frac{7}{5}$ અને $x = \frac{5}{7}$ આપેલ છે.
$t_1 = 1$
$t_2 = nx = \frac{7}{5} \times \frac{5}{7} = 1$
$t_3 = \frac{n(n-1)}{2!}x^2 = \frac{\frac{7}{5}(\frac{2}{5})}{2} \times (\frac{5}{7})^2 = \frac{7}{25} \times \frac{25}{49} = \frac{1}{7}$
$t_4 = \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 = \frac{\frac{7}{5}(\frac{2}{5})(-\frac{3}{5})}{6} \times (\frac{5}{7})^3 = \frac{-\frac{42}{125}}{6} \times \frac{125}{343} = -\frac{7}{343} = -\frac{1}{49}$
તેથી $t_4$ એ પ્રથમ ઋણ પદ છે,$k=4$.
સરવાળો $t_1+t_2+t_3+t_4 = 1 + 1 + \frac{1}{7} - \frac{1}{49} = 2 + \frac{7-1}{49} = 2 + \frac{6}{49} = \frac{98+6}{49} = \frac{104}{49}$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $E = (1 + \frac{2x}{3})^{3/2} \cdot (32 + 5x)^{-1/5}$
નાના $u$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1+u)^n \approx 1+nu$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E \approx (1 + \frac{3}{2} \cdot \frac{2x}{3}) \cdot (32)^{-1/5} (1 + \frac{5x}{32})^{-1/5}$
$E \approx (1 + x) \cdot \frac{1}{2} \cdot (1 - \frac{1}{5} \cdot \frac{5x}{32})$
$E \approx \frac{1}{2} (1 + x) (1 - \frac{x}{32})$
$x^2$ વાળા પદોને અવગણતા:
$E \approx \frac{1}{2} (1 + x - \frac{x}{32}) = \frac{1}{2} (1 + \frac{31x}{32}) = \frac{32 + 31x}{64}$

(A) પદાવલિ $\left(125 x^2 - \frac{27}{x}\right)^{-2/3} = \left(\frac{125 x^3 - 27}{x}\right)^{-2/3} = \frac{x^{2/3}}{(125 x^3 - 27)^{2/3}}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^n$ માન્ય રહે તે માટે,$|z| < 1$ હોવું જરૂરી છે.
પદાવલિને ફરીથી લખતા: $\left(-\frac{27}{x}\right)^{-2/3} \left(1 - \frac{125 x^3}{27}\right)^{-2/3}$.
આ વિસ્તરણ ત્યારે માન્ય છે જ્યારે $|\frac{125 x^3}{27}| < 1$ હોય.
$|x^3| < \frac{27}{125} \Rightarrow |x| < \frac{3}{5}$.
આમ,$x \in \left(-\frac{3}{5}, \frac{3}{5}\right)$ અને $x \neq 0$.

(C) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+u)^n$ માટે $n \notin N$ ત્યારે જ માન્ય છે જો $|u| < 1$ હોય.
અહીં,$u = x+x^2$.
તેથી,$(1+x+x^2)^{-3/2}$ નું વિસ્તરણ ત્યારે જ માન્ય છે જો $|x^2+x| < 1$ હોય.
આનો અર્થ એ છે કે $-1 < x^2+x < 1$.
$x^2+x < 1$ ઉકેલતા:
$x^2+x-1 < 0$.
$x^2+x-1 = 0$ ના બીજ $x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ છે.
આમ,$x^2+x-1 < 0$ માટે $\frac{-1-\sqrt{5}}{2} < x < \frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.
વધુમાં,$x^2+x > -1$ હંમેશા સાચું છે કારણ કે $x^2+x+1 = (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} > 0$.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $|x^2+x| < 1$ મળે છે,જે $\left|x+\frac{1}{2}\right| < \frac{\sqrt{5}}{2}$ ને સમાન છે.

(D) આપણી પાસે $\frac{1}{\sqrt{4-x}(2+x)^3} = (4-x)^{-1/2} (2+x)^{-3}$ છે.
$= 4^{-1/2} \left(1-\frac{x}{4}\right)^{-1/2} \cdot 2^{-3} \left(1+\frac{x}{2}\right)^{-3}$
$= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{8} \left(1 - \frac{1}{2}\left(-\frac{x}{4}\right) + \frac{(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{2} \left(-\frac{x}{4}\right)^2\right) \left(1 + (-3)\left(\frac{x}{2}\right) + \frac{(-3)(-4)}{2} \left(\frac{x}{2}\right)^2\right)$
$= \frac{1}{16} \left(1 + \frac{x}{8} + \frac{3}{128} x^2\right) \left(1 - \frac{3x}{2} + \frac{3x^2}{2}\right)$
$= \frac{1}{16} \left(1 - \frac{3x}{2} + \frac{3x^2}{2} + \frac{x}{8} - \frac{3x^2}{16} + \frac{3x^2}{128}\right)$
$= \frac{1}{16} \left(1 - \frac{11x}{8} + \frac{171x^2}{128}\right)$.

(D) $(a+bx)^n$ નું દ્વિપદી વિસ્તરણ ત્યારે જ માન્ય છે જ્યારે $|bx/a| < 1$ હોય.
આપેલ પદાવલિ: $(7-5x)^{-2/3} = 7^{-2/3} (1 - \frac{5x}{7})^{-2/3}$.
વિસ્તરણ માન્ય રહે તે માટે,આપણે જરૂર છે:
$|\frac{5x}{7}| < 1$
$|x| < \frac{7}{5}$
આમ,$x \in (-\frac{7}{5}, \frac{7}{5})$.
આને આપેલ અંતરાલ $(-c, c)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $c = \frac{7}{5}$ મળે છે.
તેથી,$5c + 7 = 5(\frac{7}{5}) + 7 = 7 + 7 = 14$.

(B) ધારો કે $S = \frac{1}{8} - \frac{7}{8 \times 12} + \frac{7 \times 10}{8 \times 12 \times 16} - \ldots$
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \ldots$ નો ઉપયોગ કરતા
$(1 + \frac{3}{4})^{-1/3} = 1 + (-\frac{1}{3})(\frac{3}{4}) + \frac{(-\frac{1}{3})(-\frac{4}{3})}{2!}(\frac{3}{4})^2 + \frac{(-\frac{1}{3})(-\frac{4}{3})(-\frac{7}{3})}{3!}(\frac{3}{4})^3 + \ldots$
$= 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{7}{8 \times 12} + \ldots$
$= \frac{3}{4} + S$
તેથી,$\sqrt[3]{\frac{4}{7}} = \frac{3}{4} + S$
આમ,$S = \sqrt[3]{\frac{4}{7}} - \frac{3}{4}$

(D) $\left(1+\frac{3x}{2}\right)^{-5}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{10}$ નો સહગુણક $\binom{14}{10} \left(\frac{3}{2}\right)^{10}$ છે.
$(1+ax)^n$ ના વિસ્તરણમાં $x^{10}$ નો સહગુણક $\binom{n}{10} a^{10}$ છે.
બંનેને સરખાવતા,$n=14$ અને $a=\frac{3}{2}$ મળે છે.
તેથી,$na = 14 \times \frac{3}{2} = 21$.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{(1-x)^{-1/p}}{(1-x)^n} = (1-x)^{-\frac{np+1}{p}}$ છે.
કોઈપણ ઘાતાંક માટે દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-x)^{-k} = 1 + kx + \frac{k(k+1)}{2!}x^2 + \frac{k(k+1)(k+2)}{3!}x^3 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $k = \frac{np+1}{p}$.
$x^3$ નો સહગુણક $\frac{k(k+1)(k+2)}{3!}$ છે.
$k = \frac{np+1}{p}$ મુકતા:
સહગુણક $= \frac{\left(\frac{np+1}{p}\right)\left(\frac{np+1}{p} + 1\right)\left(\frac{np+1}{p} + 2\right)}{3!}$.
$= \frac{\left(\frac{np+1}{p}\right)\left(\frac{np+p+1}{p}\right)\left(\frac{np+2p+1}{p}\right)}{3!}$.
$= \frac{(np+1)(np+p+1)(np+2p+1)}{p^3 \times 3!}$.

(C) $(1-ax)^{-n}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^{n+r-1}C_r (ax)^r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n=4$,$a=4$,અને આપણે $13$ મું પદ શોધવાનું છે,તેથી $r+1=13$,જેનો અર્થ છે $r=12$.
આ કિંમતો મૂકતા,$T_{13} = {}^{4+12-1}C_{12} (4x)^{12}$.
$T_{13} = {}^{15}C_{12} (4x)^{12}$.
ગુણધર્મ ${}^nC_r = {}^nC_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે ${}^{15}C_{12} = {}^{15}C_{15-12} = {}^{15}C_3$ છે.
તેથી,$T_{13} = {}^{15}C_3 4^{12} x^{12}$.

(B) આપેલ પદાવલિ $(2a + 5b)^{-4}$ છે.
આપણે તેને $(2a)^{-4} \left(1 + \frac{5b}{2a}\right)^{-4}$ તરીકે લખી શકીએ,જ્યાં $\left|\frac{5b}{2a}\right| < 1$.
$(1+x)^{-n}$ ના વિસ્તરણ માટેનું સામાન્ય પદ $T_{r+1} = \frac{(-n)(-n-1)...(-n-r+1)}{r!} x^r$ છે.
$4^{th}$ પદ માટે,$r = 3$ અને $n = 4$.
$T_{4} = (2a)^{-4} \left[ \frac{(-4)(-5)(-6)}{3!} \left(\frac{5b}{2a}\right)^3 \right]$.
$T_{4} = \frac{1}{2^4 a^4} \left[ -\frac{4 \times 5 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{5^3 b^3}{2^3 a^3} \right]$.
સંચયના સૂત્ર ${ }^{n+r-1}C_{r} = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે જોઈએ છીએ કે $\frac{4 \times 5 \times 6}{3!} = { }^{6}C_{3}$.
આમ,$T_{4} = -{ }^{6}C_{3} \frac{5^3 b^3}{2^{4+3} a^{4+3}} = -{ }^{6}C_{3} \frac{5^3 b^3}{2^7 a^7}$.

(A) આપણી પાસે છે,$\frac{x}{x+1} = x(1+x)^{-1}$.
જો $|x| < 1$ હોય,તો $(1+x)^{-1}$ નું દ્વિપદી વિસ્તરણ $1-x+x^2-x^3+\dots = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n$ થાય.
તેથી,$\frac{x}{x+1} = x \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{n+1}$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ એ $|x| < 1$ માટે $(1+x)^{-1}$ નું પ્રમાણિત વિસ્તરણ છે,જે પણ સાચું છે.
વિધાન એ કારણ પરથી સીધું તારવી શકાય છે,તેથી $R$ એ $A$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) અમે દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+y)^{-n} = 1 - ny + \frac{n(n+1)}{2!}y^2 - \ldots \infty$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ $x = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6} - \frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{3 \cdot 6 \cdot 9}\left(\frac{2}{5}\right) + \frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 11}{3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 12}\left(\frac{2}{5}\right)^2 - \ldots \infty$.
બંને બાજુ $\left(\frac{2}{5}\right)^2$ વડે ગુણતા,$\frac{4}{25}x = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6}\left(\frac{2}{5}\right)^2 - \frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{3 \cdot 6 \cdot 9}\left(\frac{2}{5}\right)^3 + \ldots \infty$.
બંને બાજુ $1 - \frac{2}{3}\left(\frac{2}{5}\right)$ ઉમેરતા,શ્રેણી $(1 + \frac{2}{5})^{-\frac{2}{3}} = (\frac{7}{5})^{-\frac{2}{3}}$ બને છે.
આમ,$\frac{4x}{25} + 1 - \frac{4}{15} = (\frac{7}{5})^{-\frac{2}{3}} \implies \frac{4x}{25} + \frac{11}{15} = (\frac{7}{5})^{-\frac{2}{3}}$.
સાચો જવાબ $3^3 \cdot 5^8$ છે.

(D) આપેલ વિસ્તરણ: $(a+bx)^{-3} = \frac{1}{27} + \frac{1}{3}x + \dots$
આપણે લખી શકીએ $(a+bx)^{-3} = a^{-3}(1 + \frac{bx}{a})^{-3}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a^{-3}(1 + (-3)(\frac{bx}{a}) + \dots) = \frac{1}{a^3} - \frac{3bx}{a^4} + \dots$
અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$\frac{1}{a^3} = \frac{1}{27} \implies a^3 = 27 \implies a = 3$.
$x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$-\frac{3b}{a^4} = \frac{1}{3}$.
$a=3$ મૂકતા:
$-\frac{3b}{3^4} = \frac{1}{3} \implies -\frac{b}{3^3} = \frac{1}{3} \implies -\frac{b}{27} = \frac{1}{3} \implies b = -\frac{27}{3} = -9$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b) = (3, -9)$ છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $E = \frac{(1-2 x)^{-1}(1-3 x)^{-2}}{(1-4 x)^{-3}}$ છે.
નાના $x$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+ax)^n \approx 1+nax$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1-2 x)^{-1} \approx 1 + 2x$.
$(1-3 x)^{-2} \approx 1 + 6x$.
$(1-4 x)^{-3} \approx 1 + 12x$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$E \approx \frac{(1+2x)(1+6x)}{(1+12x)} = \frac{1 + 8x + 12x^2}{1+12x}$.
$x^2$ અને તેનાથી મોટી ઘાતને અવગણતા:
$E \approx \frac{1+8x}{1+12x} = (1+8x)(1+12x)^{-1}$.
ફરીથી દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા:
$E \approx (1+8x)(1-12x) = 1 - 12x + 8x - 96x^2$.
$x^2$ ને અવગણતા:
$E \approx 1 - 4x$.

(B) આપેલ શ્રેણી $S = 1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 6 \cdot 9} + \dots$ છે.
આ દ્વિપદી શ્રેણી $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots$ ના સ્વરૂપમાં છે.
આપણે પદોને $1 + \frac{1}{2}(\frac{2}{3}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)}{2!}(\frac{2}{3})^2 + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)(\frac{1}{2}+2)}{3!}(\frac{2}{3})^3 + \dots$ તરીકે લખી શકીએ.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-x)^{-n}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = \frac{1}{2}$ અને $x = \frac{2}{3}$ મળે છે.
તેથી,સરવાળો $(1 - \frac{2}{3})^{-1/2} = (\frac{1}{3})^{-1/2} = 3^{1/2} = \sqrt{3}$ થાય.

(A) ધારો કે $S = 1 + 2x + 3x^2 + \ldots \infty$.
$x$ વડે ગુણતા,$xS = x + 2x^2 + 3x^3 + \ldots \infty$ મળે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $S(1-x) = 1 + x + x^2 + \ldots = \frac{1}{1-x}$.
તેથી,$S = \frac{1}{(1-x)^2} = (1-x)^{-2}$.
આપેલ પદાવલિ $(S)^{1/2} = ((1-x)^{-2})^{1/2} = (1-x)^{-1}$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $(1-x)^{-1} = 1 + x + x^2 + \ldots + x^n + \ldots$ મળે.
આમ,$x^n$ નો સહગુણક $1$ છે.