Binomial theorem for any index Questions in Gujarati

(A) આપેલ પદ $(x+y)^{-5} = \frac{1}{x^5} \left(1 + \frac{y}{x}\right)^{-5}$ છે,જ્યાં $\left|\frac{y}{x}\right| < 1$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^{-n} = 1 - nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}z^3 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $z = \frac{y}{x}$ અને $n = 5$.
વ્યાપક પદ $\binom{-5}{r} \left(\frac{y}{x}\right)^r$ દ્વારા મળે છે.
આપણે $\frac{y^3}{x^8} = \frac{1}{x^5} \cdot \left(\frac{y}{x}\right)^3$ નો સહગુણક જોઈએ છે.
આ $\left(1 + \frac{y}{x}\right)^{-5}$ ના વિસ્તરણમાં $r = 3$ વાળા પદને અનુરૂપ છે.
સહગુણક $\binom{-5}{3} = \frac{(-5)(-6)(-7)}{3 \times 2 \times 1} = \frac{-210}{6} = -35$ છે.
આમ,સહગુણક $-35$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(A) ધારો કે $\frac{2x+1}{(1+x)(1-2x)} = \frac{A}{1+x} + \frac{B}{1-2x}$.
સરખામણી કરતા $A = -\frac{1}{3}$ અને $B = \frac{4}{3}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{2x+1}{(1+x)(1-2x)} = -\frac{1}{3}(1+x)^{-1} + \frac{4}{3}(1-2x)^{-1}$.
$x$ ની પ્રથમ $5$ એકી ઘાતોના સહગુણકોનો સરવાળો:
$= -\frac{1}{3}(-1-1-1-1-1) + \frac{4}{3}(2^1+2^3+2^5+2^7+2^9)$.
$= \frac{5}{3} + \frac{4}{3} \times \frac{2(4^5-1)}{4-1} = \frac{5}{3} + \frac{8}{9}(4^5-1)$.

(D) આપેલ શ્રેણી $x = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2 \cdot 5 \cdot 8 \dots (3n-1)}{n! 3^{n-1}}$ છે.
આ શ્રેણી દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-z)^{-p}$ સાથે સામ્યતા ધરાવે છે.
પદોની સરખામણી કરતા,આપણે જાણી શકીએ છીએ કે આ શ્રેણી $(1-z)^{-2/3}$ સાથે સંબંધિત છે.
ગણતરી કરતા,$x^2 + 8x + 8$ ની કિંમત $23$ મળે છે.

(C) $(1-x)^{-n} = 1+nx+\frac{n(n+1)}{2!}x^2+\dots$ for $|x| < 1$. This matches $(iii)$.
$(B)$ $(1+x)^{-n} = 1-nx+\frac{n(n+1)}{2!}x^2-\dots$ for $|x| < 1$. This matches $(ii)$.
$(C)$ For $x>1$,the series $1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\dots$ is a geometric progression with first term $a=1$ and common ratio $r=\frac{1}{x}$. The sum is $S = \frac{a}{1-r} = \frac{1}{1-\frac{1}{x}} = \frac{x}{x-1}$. This matches $(iv)$.
$(D)$ Let $S = 1-\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^4}-\frac{4}{x^6}+\dots$. This is of the form $(1+y)^{-2}$ where $y = \frac{1}{x^2}$.
$(1+y)^{-2} = 1-2y+3y^2-4y^3+\dots = 1-\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^4}-\frac{4}{x^6}+\dots$.
Thus,$S = (1+\frac{1}{x^2})^{-2} = (\frac{x^2+1}{x^2})^{-2} = \frac{x^4}{(x^2+1)^2}$. This matches $(v)$.
Therefore,the correct matching is $(A)-(iii), (B)-(ii), (C)-(iv), (D)-(v)$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $E = \left(\frac{3x-5}{4x^2+3}\right)^{-4/5} = \left(\frac{4x^2+3}{3x-5}\right)^{4/5} = \left(\frac{4x}{3}\right)^{4/5} \left(1+\frac{3}{4x^2}\right)^{4/5} \left(1-\frac{5}{3x}\right)^{-4/5}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^n \approx 1+nz + \frac{n(n-1)}{2}z^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1+\frac{3}{4x^2})^{4/5} \approx 1 + \frac{3}{5x^2}$.
$(1-\frac{5}{3x})^{-4/5} \approx 1 + \frac{4}{3x} + \frac{2}{x^2}$.
ગુણાકાર કરતા: $(1 + \frac{3}{5x^2})(1 + \frac{4}{3x} + \frac{2}{x^2}) \approx 1 + \frac{4}{3x} + \frac{13}{5x^2}$.
તેથી,$E \approx \left(\frac{4x}{3}\right)^{4/5} \left(1 + \frac{4}{3x} + \frac{13}{5x^2}\right)$.

(B) પદાવલિ $(2-3x)^{-1/3} = 2^{-1/3} (1 - \frac{3x}{2})^{-1/3}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}z^3 + \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4!}z^4 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = 1/3$ અને $z = \frac{3x}{2}$ છે.
$5^{\text{th}}$ પદ $T_5 = 2^{-1/3} \times \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4!} z^4$ છે.
$n = 1/3$ મૂકતા:
$T_5 = 2^{-1/3} \times \frac{(1/3)(4/3)(7/3)(10/3)}{24} \times (\frac{3x}{2})^4$.
$T_5 = 2^{-1/3} \times \frac{280/81}{24} \times \frac{81x^4}{16} = 2^{-1/3} \times \frac{35}{48} x^4$.
$x = 1/2$ આપેલ હોવાથી,$x^4 = 1/16$.
$T_5 = 2^{-1/3} \times \frac{35}{48} \times \frac{1}{16} = \frac{35}{768 \times 2^{1/3}} = \frac{35}{768(\sqrt[3]{2})}$.

(B) આપેલ શ્રેણી $S = 1 + \frac{4}{15} + \frac{4 \times 10}{15 \times 30} + \frac{4 \times 10 \times 16}{15 \times 30 \times 45} + \ldots \infty$ છે.
આ શ્રેણી $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!} x^2 + \ldots$ સ્વરૂપમાં છે.
સરખામણી કરતા,$nx = \frac{4}{15}$ અને $\frac{n(n+1)}{2} x^2 = \frac{4}{45}$ મળે છે.
ઉકેલતા,$x = \frac{2}{5}$ અને $n = \frac{2}{3}$ મળે છે.
તેથી,$S = (1 - 2/5)^{-2/3} = (3/5)^{-2/3} = (5/3)^{2/3}$.

(B) આપેલ શ્રેણી $y = \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \dots \infty$ છે.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,$1 + y = 1 + \frac{3}{4} + \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \dots \infty$ મળે.
આ $(1 - x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots$ સ્વરૂપમાં છે.
સરખામણી કરતા,$nx = \frac{3}{4}$ અને $\frac{n(n+1)}{2}x^2 = \frac{15}{32}$ મળે.
$n = \frac{3}{2}$ અને $x = \frac{1}{2}$ મેળવતા,$1 + y = (1 - 1/2)^{-3/2} = 2^{3/2} = 2\sqrt{2}$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(1 + y)^2 = 8$,તેથી $y^2 + 2y - 7 = 0$.

(D) $(1+x)^n$ નું દ્વિપદી વિસ્તરણ $1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{n(n-1)\dots(n-r+1)}{r!}x^r + \dots$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = \frac{27}{5} = 5.4$.
$x > 0$ હોવાથી,જો $x^r$ નો સહગુણક ઋણ હોય તો પદ ઋણ થશે.
સામાન્ય પદ $t_{r+1} = \binom{n}{r} x^r = \frac{n(n-1)(n-2)\dots(n-r+1)}{r!} x^r$ છે.
આપણે સહગુણકોની નિશાની તપાસીએ:
$r=6$ માટે સહગુણક ધન છે,પરંતુ $r=7$ માટે સહગુણક ઋણ થાય છે.
તેથી,પ્રથમ ઋણ પદ $t_{7+1} = t_8$ છે.
આમ,$k=8$.

(B) કોઈપણ ઘાતાંક $n$ માટે $(1-x)^n$ નું દ્વિપદી વિસ્તરણ $1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \dots$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = \frac{3}{2}$ માટે,$x^3$ વાળું પદ $\frac{\frac{3}{2}(\frac{3}{2}-1)(\frac{3}{2}-2)}{3!}(-x)^3$ છે.
આની ગણતરી કરતા: $\frac{\frac{3}{2} \times \frac{1}{2} \times (-\frac{1}{2})}{6} \times (-x^3) = \frac{-\frac{3}{8}}{6} \times (-x^3) = \frac{3}{48}x^3 = \frac{1}{16}x^3$.
આમ,$x^3$ નો સહગુણક $\frac{1}{16}$ છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{(1-x)^{1/3}+(1-5x)^2}{(16-x)^{1/4}}$
$= \frac{1}{2} (1-x)^{1/3} (1-\frac{x}{16})^{-1/4} + \frac{1}{2} (1-5x)^2 (1-\frac{x}{16})^{-1/4}$
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^n \approx 1+nz$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{2} (1-\frac{1}{3}x)(1+\frac{x}{64}) + \frac{1}{2} (1-10x)(1+\frac{x}{64})$
$= \frac{1}{2} [ (1 - \frac{1}{3}x + \frac{x}{64}) + (1 - 10x + \frac{x}{64}) ]$
$= \frac{1}{2} [ 2 - x(\frac{1}{3} + 10 - \frac{2}{64}) ]$
$= 1 - \frac{x}{2} (\frac{1}{3} + 10 - \frac{1}{32})$
$= 1 - \frac{x}{2} (\frac{32 + 960 - 3}{96}) = 1 - \frac{989}{192}x$
તેથી,$x$ નો સહગુણક $-\frac{989}{192}$ છે.

(C) $(1+x)^n$ નું દ્વિપદી વિસ્તરણ $1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = \frac{21}{5} = 4.2$ છે.
જ્યારે $(n-r+1) < 0$ થાય ત્યારે સહગુણક ઋણ બને છે.
$n-5 = 4.2 - 5 = -0.8$ હોવાથી,$x^6$ નો સહગુણક પ્રથમ ઋણ પદ હશે.
ગણતરી કરતા,સહગુણક $\frac{\frac{21}{5} \cdot \frac{16}{5} \cdot \frac{11}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot (-\frac{4}{5})}{6!} = \frac{-616}{5^7}$ મળે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\sqrt{x^2+4}-\sqrt{x^2+9}$
$= 2(1+\frac{x^2}{4})^{1/2} - 3(1+\frac{x^2}{9})^{1/2}$
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+u)^n = 1 + nu + \frac{n(n-1)}{2!}u^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા
$= 2[1 + \frac{1}{2}(\frac{x^2}{4}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!}(\frac{x^2}{4})^2 + \dots] - 3[1 + \frac{1}{2}(\frac{x^2}{9}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!}(\frac{x^2}{9})^2 + \dots]$
$x^4$ વાળું પદ: $2[\frac{-1/4}{2}(\frac{x^4}{16})] - 3[\frac{-1/4}{2}(\frac{x^4}{81})]$
$= 2[-\frac{1}{8} \cdot \frac{x^4}{16}] - 3[-\frac{1}{8} \cdot \frac{x^4}{81}]$
$= -\frac{x^4}{64} + \frac{x^4}{216} = x^4(\frac{-216+64}{13824}) = x^4(\frac{-152}{13824}) = -\frac{19}{1728}x^4$
આમ,$x^4$ નો સહગુણક $-\frac{19}{1728}$ છે.

(B) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+u)^n \approx 1+nu$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{4+x} = 2(1+\frac{x}{4})^{\frac{1}{2}} \approx 2(1+\frac{x}{8}) = 2+\frac{x}{4}$
$\sqrt[3]{8-x} = 2(1-\frac{x}{8})^{\frac{1}{3}} \approx 2(1-\frac{x}{24}) = 2-\frac{x}{12}$
$(1-\frac{2x}{3})^{-\frac{3}{2}} \approx 1+(-\frac{3}{2})(-\frac{2x}{3}) = 1+x$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(2+\frac{x}{4})+(2-\frac{x}{12})}{1} \times (1+x) = (4+\frac{3x-x}{12})(1+x) = (4+\frac{x}{6})(1+x)$
$x^2$ વાળા પદોને અવગણતા:
$4+4x+\frac{x}{6} = 4+\frac{25x}{6}$
$x=\frac{6}{25}$ મૂકતા:
$4+\frac{25}{6} \times \frac{6}{25} = 4+1 = 5$

(B) આપેલ છે કે,$x = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3 \cdot 6 \cdot 9} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{3 \cdot 6 \cdot 9 \cdot 12} + \ldots \infty \text{ પદો}$.
આપણે પદોને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$x = \frac{1 \cdot 3}{3^2 \cdot 2!} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3^3 \cdot 3!} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{3^4 \cdot 4!} + \ldots$
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 + \ldots$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = 1/2$ અને $z = 2/3$ છે.
$x = \left[ 1 + \frac{1}{2}(\frac{2}{3}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+1)}{2!}(\frac{2}{3})^2 + \ldots \right] - (1 + \frac{1}{3})$
$x = (1 - \frac{2}{3})^{-1/2} - \frac{4}{3}$
$x = (\frac{1}{3})^{-1/2} - \frac{4}{3} = \sqrt{3} - \frac{4}{3}$
$3x + 4 = 3\sqrt{3}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(3x + 4)^2 = (3\sqrt{3})^2$
$9x^2 + 24x + 16 = 27$
$9x^2 + 24x = 11$.

(D) ધારો કે $u = x^{-2}$. $x > \sqrt{3}$ હોવાથી,$x^2 > 3$,તેથી $u = \frac{1}{x^2} < \frac{1}{3}$.
પદાવલિને $\frac{x^2+1}{(x^2+2)(x^2+3)}$ તરીકે લખીએ.
અંશ અને છેદને $x^4$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x^{-2} + x^{-4}}{(1 + 2x^{-2})(1 + 3x^{-2})} = (u + u^2)(1 + 2u)^{-1}(1 + 3u)^{-1}$ મળે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^{-1} = 1 - z + z^2 - z^3 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(1+2u)^{-1} = 1 - 2u + 4u^2 - 8u^3 + \dots$
$(1+3u)^{-1} = 1 - 3u + 9u^2 - 27u^3 + \dots$
તેમનો ગુણાકાર કરતા: $(1+2u)^{-1}(1+3u)^{-1} = 1 - 5u + 19u^2 - 65u^3 + \dots$
હવે,$(u + u^2)(1 - 5u + 19u^2 - 65u^3 + \dots) = u - 4u^2 + 14u^3 - 46u^4 + \dots$
$x^{-8}$ પદ $u^4$ ને અનુરૂપ છે. તેથી સહગુણક $-46$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $(1 - x)^{-1} = 1 + x + x^2 + x^3 + . . . \infty$.
$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$(1 - x)^{-2} = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + . . . \infty$.
ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2(1 - x)^{-3} = 1 \cdot 2 + 2 \cdot 3x + 3 \cdot 4x^2 + . . . \infty$.
તેથી,$(1 - x)^{-3} = \frac{1}{2}(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3x + 3 \cdot 4x^2 + . . . \infty)$.
આપેલ પદમાં કિંમત મુકતા: $[\frac{1}{2}(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3x + 3 \cdot 4x^2 + . . . \infty)]^{-25} = [(1 - x)^{-3}]^{-25} = (1 - x)^{75}$.
$(1 - x)^{75}$ ના વિસ્તરણમાં પદોની સંખ્યા $75 + 1 = 76$ થાય.

(D) $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 + \dots$ ના દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = \frac{1}{4}$ અને $z = 3x$:
વિસ્તરણ $(1-3x)^{-1/4} = 1 + (\frac{1}{4})(3x) + \frac{(\frac{1}{4})(\frac{1}{4}+1)}{2!}(3x)^2 + \dots$
$x^2$ વાળું પદ $\frac{(\frac{1}{4})(\frac{5}{4})}{2} \times (9x^2)$ છે.
$x^2$ નો સહગુણક $= \frac{5}{16 \times 2} \times 9 = \frac{45}{32}$

(C) આપેલ છે કે $x$ ખૂબ નાનું છે,તેથી આપણે દ્વિપદી અંદાજ $(1+nx) \approx (1+x)^n$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ માટે:
$\left(1+\frac{3}{4} x\right)^{\frac{1}{2}} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} x = 1 + \frac{3}{8} x$
$\left(1-\frac{2}{3} x\right)^{-2} \approx 1 + (-2) \cdot \left(-\frac{2}{3} x\right) = 1 + \frac{4}{3} x$
આ બંનેનો ગુણાકાર કરતા અને $x^2$ વાળા પદોને અવગણતા:
$\left(1+\frac{3}{8} x\right)\left(1+\frac{4}{3} x\right) \approx 1 + \frac{3}{8} x + \frac{4}{3} x = 1 + \frac{41}{24} x = \frac{24+41 x}{24}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ શ્રેણી $x = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{3 \cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n+1)}{4 \cdot 8 \cdot \ldots \cdot 4n}$ છે.
આને $x = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{2n+1}{2}}{n!} \left(\frac{1}{2}\right)^n$ તરીકે લખી શકાય.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-y)^{-n} = 1 + ny + \frac{n(n+1)}{2!}y^2 + \ldots$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x = \sqrt{2} - 5/4$ મળે છે.
હવે,$2x^2 + 5x$ ની ગણતરી કરતા:
$2x^2 = 4 + 25/8 - 5\sqrt{2}$.
$5x = 5\sqrt{2} - 25/4$.
સરવાળો કરતા: $2x^2 + 5x = 4 - 25/8 = 7/8$.

(C) ધારો કે $S = \frac{1}{4} - \frac{5}{4 \cdot 8} + \frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} - \ldots$
$3$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$S = \frac{1}{3} \left( \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} - \ldots \right)$
આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^{-n} = 1 - nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \ldots$
કૌંસની અંદરની શ્રેણીને વિસ્તરણ સાથે સરખાવતા,આપણે $n = \frac{3}{2}$ અને $x = \frac{1}{2}$ લઈએ છીએ.
શ્રેણી $1 - \frac{3}{2}(\frac{1}{2}) + \frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2}}{2!}(\frac{1}{2})^2 - \ldots$ એ $(1 + \frac{1}{2})^{-3/2}$ ને અનુરૂપ છે.
આપણી શ્રેણી બીજા પદથી શરૂ થતી હોવાથી:
$\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \ldots = 1 - (1 + \frac{1}{2})^{-3/2} = 1 - (\frac{3}{2})^{-3/2} = 1 - (\frac{2}{3})^{3/2} = 1 - \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$.
આ કિંમત $S$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$S = \frac{1}{3} \left( \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} \right) = \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{9\sqrt{3}}$.

(B) આપેલ શ્રેણી $\alpha = \sum_{k=2}^{\infty} \frac{5 \times 7 \times \ldots \times (2k+1)}{k! \times 3^{k-1}}$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$(\alpha+2)^2 = 27$ મળે છે.
તેથી,$\alpha^2 + 4\alpha + 4 = 27$.
આમ,$\alpha^2 + 4\alpha = 23$.

(C) આપેલ પદાવલિ $(1+x)^2(8-x)^{-\frac{1}{3}} = (1+2x+x^2) \cdot 8^{-\frac{1}{3}} (1-\frac{x}{8})^{-\frac{1}{3}}$ છે.
$8^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,પદાવલિ $\frac{1}{2}(1+2x+x^2)(1-\frac{x}{8})^{-\frac{1}{3}}$ બને છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!}z^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,$(1-\frac{x}{8})^{-\frac{1}{3}} = 1 + \frac{x}{24} + \frac{x^2}{288}$ મળે છે.
હવે,$\frac{1}{2}(1+2x+x^2)(1 + \frac{x}{24} + \frac{x^2}{288})$ નો ગુણાકાર કરતા $x^2$ નો સહગુણક $\frac{1}{2} [\frac{1}{288} + \frac{2}{24} + 1] = \frac{313}{576}$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે,$x = \frac{1}{5} + \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 10} + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{5 \cdot 10 \cdot 15} + \dots$
આને આ રીતે લખી શકાય:
$x = \frac{1}{5} + \frac{1 \cdot 3}{2!} \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3!} \left(\frac{1}{5}\right)^3 + \dots$
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,આપણને મળે:
$1 + x = 1 + \frac{1}{5} + \frac{1 \cdot 3}{2!} \left(\frac{1}{5}\right)^2 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{3!} \left(\frac{1}{5}\right)^3 + \dots$
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$1 + x = (1 - 2/5)^{-1/2} = (3/5)^{-1/2} = (5/3)^{1/2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(1 + x)^2 = 5/3$
$1 + 2x + x^2 = 5/3$
$3 + 6x + 3x^2 = 5$
$3x^2 + 6x = 2$

(A) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \ldots$ નો ઉપયોગ કરતા.
$n = \frac{1}{2}$ લેતા,$(1-x)^{-1/2} = 1 + \frac{1}{2}x + \frac{1 \cdot 3}{8}x^2 + \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{48}x^3 + \ldots$
આપેલ શ્રેણી સાથે સરખાવતા,$\frac{1}{2}x = \frac{1}{4}$ લેતા $x = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$(1 - \frac{1}{2})^{-1/2} = (\frac{1}{2})^{-1/2} = \sqrt{2}$.

(C) આપેલ શ્રેણી $(1-\alpha)^{-p/q} = 1 + \frac{p}{1!}(\frac{\alpha}{q}) + \frac{p(p+q)}{2!}(\frac{\alpha}{q})^2 + \frac{p(p+q)(p+2q)}{3!}(\frac{\alpha}{q})^3 + \ldots$ સ્વરૂપમાં છે.
આ શ્રેણીની સરખામણી કરતા,$p=3$,$p+q=7$,અને $p+2q=11$ મળે છે.
$p=3$ અને $p+q=7$ પરથી,$q=4$ મળે છે.
વળી,$\frac{\alpha}{q} = \frac{1}{6}$ હોવાથી,$\alpha = \frac{q}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
આમ,$x = (1-\alpha)^{-p/q} = (1-\frac{2}{3})^{-3/4} = (\frac{1}{3})^{-3/4} = (3)^{3/4}$.
તેથી,$x^4 = (3^{3/4})^4 = 3^3 = 27$.

(B) ધારો કે શ્રેણી $S = \frac{3}{4 \cdot 8} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8 \cdot 12} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12 \cdot 16} - \ldots$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \ldots$ નો ઉપયોગ કરતા,
$n = -1/2$ માટે,$(1+x)^{-1/2} = 1 - \frac{1}{2}x + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}x^2 - \frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}x^3 + \ldots$
આ શ્રેણીનો સરવાળો $\sqrt{\frac{2}{3}} - \frac{3}{4}$ મળે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $f(x) = \left(\frac{2-x}{1+2x}\right)^2 = (2-x)^2 (1+2x)^{-2}$ છે.
$(2-x)^2 = 4 - 4x + x^2$ નું વિસ્તરણ.
$(1+2x)^{-2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (n+1) 2^n x^n$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા.
તેથી,$f(x) = (4 - 4x + x^2) \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n (n+1) 2^n x^n$.
$x^6$ નો સહગુણક આ રીતે મળે છે:
$4 \times [x^6 \text{ નો સહગુણક}] - 4 \times [x^5 \text{ નો સહગુણક}] + 1 \times [x^4 \text{ નો સહગુણક}]$.
$= 4 \times (7 \times 64) - 4 \times (-6 \times 32) + (5 \times 16)$.
$= 1792 + 768 + 80 = 2640$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $(1+y)^n = 1 + ny + \frac{n(n-1)y^2}{2!} + \frac{n(n-1)(n-2)y^3}{3!} + \dots$
આપેલ પદાવલિ: $\left(5x + \frac{7}{x}\right)^{-3/2} = (5x)^{-3/2} \left(1 + \frac{7}{5x^2}\right)^{-3/2}$.
ધારો કે $y = \frac{7}{5x^2}$ અને $n = -3/2$.
ચોથું પદ $T_4$ એ $y^3$ વાળું પદ છે:
$T_4 = (5x)^{-3/2} \times \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} y^3$.
કિંમતો મૂકતા:
$T_4 = (5x)^{-3/2} \times \frac{(-3/2)(-5/2)(-7/2)}{6} \left(\frac{7}{5x^2}\right)^3$.
$T_4 = -\frac{7^4}{2^4 \times 5^{7/2} x^{15/2}}$.
હવે,$\left(x^7 \sqrt{5x}\right) T_4 = x^7 \cdot 5^{1/2} x^{1/2} \cdot \left(-\frac{7^4}{2^4 \cdot 5^{7/2} x^{15/2}}\right) = -\frac{7^4}{2^4 \cdot 5^3}$.

(B) આપેલ શ્રેણી $3x = 1 + \frac{5}{8} + \frac{5 \times 9}{8 \times 16} + \dots$ છે.
દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$x=1$ મળે છે.
$x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x = (x+1)^4 - 1$.
$x=1$ મુકતા,$(1+1)^4 - 1 = 16 - 1 = 15$.
પરંતુ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $1$ છે.

(B) દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}z^3 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં,$n = \frac{1}{2}$ અને $z = -\frac{3}{4}x$.
$x^3$ વાળું પદ $\frac{n(n-1)(n-2)}{3!}z^3$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)}{3!} (-\frac{3}{4}x)^3$
$= \frac{\frac{1}{2} \times (-\frac{1}{2}) \times (-\frac{3}{2})}{6} \times (-\frac{27}{64}x^3)$
$= \frac{3/8}{6} \times (-\frac{27}{64}x^3)$
$= \frac{1}{16} \times (-\frac{27}{64}x^3) = -\frac{27}{1024}x^3$.
આમ,$x^3$ નો સહગુણક $-\frac{27}{1024}$ છે.

(A) પદાવલિ $(7-5 x)^{-\frac{2}{3}} = 7^{-\frac{2}{3}} \left(1 - \frac{5x}{7}\right)^{-\frac{2}{3}}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ માન્ય રહે તે માટે,$\left| \frac{5x}{7} \right| < 1$ હોવું જરૂરી છે.
આનો અર્થ એ છે કે $-1 < \frac{5x}{7} < 1$.
$7$ વડે ગુણતા,આપણને $-7 < 5x < 7$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $-\frac{7}{5} < x < \frac{7}{5}$ થાય છે.
આને અંતરાલ $(-a, a)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \frac{7}{5}$ મળે છે.
તેથી,$5a + 7 = 5 \times \left(\frac{7}{5}\right) + 7 = 7 + 7 = 14$.

(C) આપેલ પદાવલિ $\frac{(1+x)^2}{(1-2x)^3} = (1+2x+x^2)(1-2x)^{-3}$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-z)^{-n} = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{n+r-1}{r} z^r$ નો ઉપયોગ કરતા,$(1-2x)^{-3} = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{r+2}{2} (2x)^r$ મળે.
$(1-2x)^{-3}$ માં $x^r$ નો સહગુણક $\binom{r+2}{2} 2^r$ છે.
આપણે $(1+2x+x^2) \sum_{r=0}^{\infty} \binom{r+2}{2} 2^r x^r$ માં $x^{13}$ નો સહગુણક શોધવાનો છે.
તે $1 \cdot \binom{15}{2} 2^{13} + 2 \cdot \binom{14}{2} 2^{12} + 1 \cdot \binom{13}{2} 2^{11}$ થશે.
$= 105 \cdot 2^{13} + 91 \cdot 2^{13} + 78 \cdot 2^{11}$.
$= 2^{11} (105 \cdot 4 + 91 \cdot 4 + 78) = 2^{11} (420 + 364 + 78) = 2^{11} (862) = 2^{10} (1724)$.
આમ,$A = 1724$.

(C) $(1+x)^{15}$ ના વિસ્તરણમાં,$x^{10}$ નો સહગુણક ${}^{15}C_{10}$ છે.
$(1-x)^{-n}$ નું વિસ્તરણ $1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \dots + \frac{n(n+1)\dots(n+r-1)}{r!}x^r + \dots$ છે.
તેથી,$(1-x)^{-n}$ માં $x^5$ નો સહગુણક $\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{5!}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{5!} = {}^{15}C_{10}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^{15}C_{10} = {}^{15}C_{5} = \frac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 3003$.
તેથી,$n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) = 5! \times {}^{15}C_{5} = 120 \times 3003 = 360360$.
વૈકલ્પિક રીતે,$n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4) = 11 \times 12 \times 13 \times 14 \times 15$.
બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $n = 11$ મળે છે.

(D) આપણી પાસે પદાવલિ $\frac{1+2x}{(1-2x)^2} = (1+2x)(1-2x)^{-2}$ છે.
ઋણ ઘાતાંક માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$(1-y)^{-2} = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)y^k$.
$y = 2x$ મૂકતા,$(1-2x)^{-2} = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) 2^k x^k$.
હવે,$(1+2x)$ વડે ગુણતા:
$(1+2x) \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) 2^k x^k = \sum_{k=0}^{\infty} (k+1) 2^k x^k + \sum_{k=0}^{\infty} 2(k+1) 2^k x^{k+1}$.
$x^r$ નો સહગુણક શોધવા માટે,પ્રથમ સરવાળામાંથી $k=r$ વાળું પદ અને બીજા સરવાળામાંથી $k+1=r$ (એટલે કે $k=r-1$) વાળું પદ લઈએ:
$x^r$ નો સહગુણક $= (r+1) 2^r + 2((r-1)+1) 2^{r-1}$.
$= (r+1) 2^r + 2(r) 2^{r-1} = (r+1) 2^r + r 2^r$.
$= (r+1+r) 2^r = (2r+1) 2^r$.

(A) ઋણ ઘાતાંક માટે દ્વિપદી વિસ્તરણ: $(1-x)^{-n} = 1+nx+\frac{n(n+1)}{1 \cdot 2} x^2+\frac{n(n+1)(n+2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} x^3+\ldots$
$n = \frac{2}{3}$ અને $x = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$(1-\frac{1}{2})^{-\frac{2}{3}} = 1 + (\frac{2}{3})(\frac{1}{2}) + \frac{(\frac{2}{3})(\frac{5}{3})}{1 \cdot 2} (\frac{1}{2})^2 + \frac{(\frac{2}{3})(\frac{5}{3})(\frac{8}{3})}{1 \cdot 2 \cdot 3} (\frac{1}{2})^3 + \ldots$
$(\frac{1}{2})^{-\frac{2}{3}} = 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 6} \cdot \frac{1}{4} + \frac{2 \cdot 5 \cdot 8}{3 \cdot 6 \cdot 9} \cdot \frac{1}{8} + \ldots$
કારણ કે $(\frac{1}{2})^{-\frac{2}{3}} = (2^{-1})^{-\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{4}$,તેથી વિધાન $(A)$ સાચું છે અને કારણ $(R)$ એ તેની સાચી સમજૂતી છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $y = \frac{3}{4} + \frac{3 \times 5}{4 \times 8} + \frac{3 \times 5 \times 7}{4 \times 8 \times 12} + \ldots \infty$ છે.
બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા,$y + 1 = 1 + \frac{3}{4} + \frac{3 \times 5}{4 \times 8} + \frac{3 \times 5 \times 7}{4 \times 8 \times 12} + \ldots \infty$.
આ $(1 - x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \ldots$ ના સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$nx = \frac{3}{4}$ અને $\frac{n(n+1)}{2!}x^2 = \frac{15}{32}$.
$n$ અને $x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $n = \frac{3}{2}$ અને $x = \frac{1}{2}$ મળે છે.
આમ,$y + 1 = (1 - \frac{1}{2})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{1}{2})^{-\frac{3}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(y + 1)^2 = 2^3 = 8$.
$y^2 + 2y + 1 = 8 \Rightarrow y^2 + 2y - 7 = 0$.

(C) આપેલ શ્રેણી $x = \frac{2 \cdot 5}{2! \cdot 3} + \frac{2 \cdot 5 \cdot 7}{3! \cdot 3^2} + \frac{2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9}{4! \cdot 3^3} + \ldots$ છે.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-z)^{-n} = 1 + nz + \frac{n(n+1)}{2!} z^2 + \ldots$ નો ઉપયોગ કરતા,
$n = \frac{3}{2}$ અને $z = \frac{2}{3}$ લેતા,
$(1/3)^{-3/2} = 2 + x$ મળે છે.
તેથી $3^{3/2} = 2 + x$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$27 = (2+x)^2 = 4 + x^2 + 4x$.
$x^2 + 4x = 23$.
આમ,$x^2 + 8x + 8 = 100$ મળે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $f(x) = \sqrt{3+x} + \sqrt{5+x}$.
$3 < x < 5$ માટે, આપણે પદોનું વિસ્તરણ નીચે મુજબ કરીએ છીએ:
$f(x) = x^{1/2}(1 + 3/x)^{1/2} + \sqrt{5}(1 + x/5)^{1/2}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+u)^n = 1 + nu + \frac{n(n-1)}{2!}u^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}u^3 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
પદ $1$: $x^{1/2} [1 + \frac{1}{2}(\frac{3}{x}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2}(\frac{3}{x})^2 + \dots] = x^{1/2} + \frac{3}{2}x^{-1/2} - \frac{9}{8}x^{-3/2} + \dots$
$x^{-3/2}$ નો સહગુણક $-\frac{9}{8}$ છે.
પદ $2$: $\sqrt{5} [1 + \frac{1}{2}(\frac{x}{5}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2}(\frac{x}{5})^2 + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2)}{6}(\frac{x}{5})^3 + \dots]$
$x^3$ નો સહગુણક $\sqrt{5} \times \frac{(\frac{1}{2})(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})}{6} \times \frac{1}{5^3} = \frac{1}{16 \times 5^{5/2}}$ છે.
સહગુણકોનો સરવાળો: $-\frac{9}{8} + \frac{3 \times 5^{-5/2}}{8} = \frac{3 \times 5^{-5/2} - 18}{8}$.
આમ, વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) ધારો કે શ્રેણી $S = \frac{3}{10} + \frac{3 \cdot 7}{10 \cdot 15} + \frac{3 \cdot 7 \cdot 11}{10 \cdot 15 \cdot 20} + \ldots$ છે.
પદોને આ રીતે લખી શકાય:
$S = \frac{3}{5 \cdot 2} + \frac{3 \cdot 7}{5^2 \cdot 2 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 7 \cdot 11}{5^3 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \ldots$
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1-x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \ldots$ સાથે સરખાવતા,
શ્રેણીનો સરવાળો $\frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} - \frac{8}{5}$ મળે છે.

(A) આપેલ શ્રેણી $1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \dots = (1-x)^{-n}$ સ્વરૂપમાં છે.
પદોની સરખામણી કરતા,$nx = \frac{2}{3} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{12}$ અને $x = \frac{1}{8}$ મળે છે.
તેથી,$n \times \frac{1}{8} = \frac{1}{12} \implies n = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$.
શ્રેણી $(1 - \frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}}$ થશે.
$= (\frac{7}{8})^{-\frac{2}{3}} = (\frac{8}{7})^{\frac{2}{3}} = \frac{8^{\frac{2}{3}}}{7^{\frac{2}{3}}} = \frac{(2^3)^{\frac{2}{3}}}{7^{\frac{2}{3}}} = \frac{2^2}{\sqrt[3]{49}} = \frac{4}{\sqrt[3]{49}}$.

(B) આપેલ પદાવલિ $x^{3/2}(3+x)^{1/2}$ છે.
$|x|>3$ હોવાથી,તેને $x^{3/2} \cdot x^{1/2} (1 + \frac{3}{x})^{1/2} = x^2 (1 + \frac{3}{x})^{1/2}$ તરીકે લખી શકાય.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^k = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{k}{r} z^r$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\binom{k}{r} = \frac{k(k-1)\dots(k-r+1)}{r!}$.
અહીં $k = 1/2$ અને $z = 3/x$ છે.
તેથી,$x^2 (1 + \frac{3}{x})^{1/2} = x^2 \sum_{r=0}^{\infty} \binom{1/2}{r} (\frac{3}{x})^r = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{1/2}{r} 3^r x^{2-r}$.
આપણે $\frac{1}{x^n}$ નો સહગુણક જોઈએ છે,તેથી $2-r = -n$ લેતા,$r = n+2$ મળે.
સહગુણક $\binom{1/2}{n+2} 3^{n+2}$ છે.
$\binom{1/2}{n+2} = \frac{(1/2)(-1/2)(-3/2)\dots(-(2n+1)/2)}{(n+2)!} = \frac{(-1)^{n+1} \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n+1)}{2^{n+2} (n+2)!}$.
તેને $3^{n+2}$ વડે ગુણતા,સહગુણક $(-1)^{n+1} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \dots (2n+1)}{2^{n+2}(n+2)!} 3^{n+2}$ મળે.