यदि $f(x) = (1 + {b^2}){x^2} + 2bx + 1$ तथा $m(b)$ दिये हुए $b$ के लिए, $f(x)$ का न्यूनतम मान है, तब $m(b)$ का परिसर (रेंज) है

माना $\mathrm{A}=\{1,2,3,5,8,9\}$ है। तब संभव फलनों $\mathrm{f}: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{A}$ की संख्या ताकि प्रत्येक $\mathrm{m}, \mathrm{n} \in \mathrm{A}$ के लिये $\mathrm{f}(\mathrm{m} \cdot \mathrm{n})=\mathrm{f}(\mathrm{m}) \cdot \mathrm{f}(\mathrm{n})$ है जिसमें $\mathrm{m} \cdot \mathrm{n} \in \mathrm{A}$ है, होगी_____________.

सिद्ध कीजिए कि $f(x)=x^{2}$ द्वारा परिभाषित फलन $f: R \rightarrow R$ न तो एकैकी है और न आच्छादक है।

यदि $f(x) = \cos (\log x)$, तब $f(x).f(4) - \frac{1}{2}\left[ {f\left( {\frac{x}{4}} \right) + f(4x)} \right]$ का मान होगा

मान लीजिए कि $P(x)$ बास्तविक गुणांकों से बना एक बहुपद $(polynomial)$ है, जो सभी $x \in[0, \pi / 2]$ के लिए $P\left(\sin ^2 x\right)=$ $P\left(\cos ^2 x\right)$ को संतुष्ट करता है. निम्न वाक्यों को पढ़ें.

$I$. $P(x)$ एक सम-फलन $(even\,function)$ है.

$II$. $P(x)$ को $(2 x-1)^2$ के बहुपद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है.

$III$. $P(x)$ सम-घात का यहुपद है.

इनमें:

फलन ${\sin ^{ - 1}}\sqrt x $ निम्न अंतराल में परिभाषित है