Relation between roots and coefficients Questions in Gujarati

(B) ધારો કે ખોટું સમીકરણ $x^2 + 17x + q = 0$ છે.
આપેલ છે કે બીજ $-2$ અને $-15$ છે,તેથી બીજનો ગુણાકાર $(-2) \times (-15) = 30$ થાય.
અચળ પદ $q$ બદલાયું ન હોવાથી,$q = 30$ મળે.
મૂળ સમીકરણ $x^2 + 13x + 30 = 0$ છે.
સમીકરણના અવયવ પાડતા: $x^2 + 10x + 3x + 30 = 0$.
$x(x + 10) + 3(x + 10) = 0$.
$(x + 3)(x + 10) = 0$.
આમ,બીજ $x = -3$ અને $x = -10$ છે.

(B) ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $n\alpha$ છે.
બીજનો સરવાળો: $\alpha + n\alpha = -\frac{b}{a} \implies \alpha(n + 1) = -\frac{b}{a} \implies \alpha = -\frac{b}{a(n + 1)}$ ... $(i)$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot n\alpha = \frac{c}{a} \implies n\alpha^2 = \frac{c}{a} \implies \alpha^2 = \frac{c}{na}$ ... $(ii)$
$(i)$ ને $(ii)$ માં મૂકતા:
$\left( -\frac{b}{a(n + 1)} \right)^2 = \frac{c}{na}$
$\frac{b^2}{a^2(n + 1)^2} = \frac{c}{na}$
$nb^2 = ac(n + 1)^2$.

(B) ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\alpha^n$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha + \alpha^n = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha \cdot \alpha^n = \alpha^{n+1} = \frac{c}{a}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$\alpha = (\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}}$.
આ કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}} + ((\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}})^n = -\frac{b}{a}$
$(\frac{c}{a})^{\frac{1}{n+1}} + (\frac{c}{a})^{\frac{n}{n+1}} = -\frac{b}{a}$
બંને બાજુ $a$ વડે ગુણતા:
$a \cdot \frac{c^{\frac{1}{n+1}}}{a^{\frac{1}{n+1}}} + a \cdot \frac{c^{\frac{n}{n+1}}}{a^{\frac{n}{n+1}}} = -b$
$a^{\frac{n}{n+1}} c^{\frac{1}{n+1}} + a^{\frac{1}{n+1}} c^{\frac{n}{n+1}} = -b$
$(a^n c)^{\frac{1}{n+1}} + (a c^n)^{\frac{1}{n+1}} = -b$.

(A) આપેલ છે કે $\sin \alpha$ અને $\cos \alpha$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ:
$\sin \alpha + \cos \alpha = -\frac{b}{a}$
$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{c}{a}$
આપણે જાણીએ છીએ કે:
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
જેને આ રીતે લખી શકાય:
$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 - 2\sin \alpha \cos \alpha = 1$
કિંમતો મૂકતા:
$(-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a}) = 1$
$\frac{b^2}{a^2} - \frac{2c}{a} = 1$
$a^2$ વડે ગુણતા:
$b^2 - 2ac = a^2$
પદોને ગોઠવતા:
$a^2 - b^2 + 2ac = 0$

(D) ધારો કે $x^2 - bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta$ છે અને $x^2 - cx + b = 0$ ના બીજ $\alpha', \beta'$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ માટે બીજનો તફાવત $|\alpha - \beta| = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} = \sqrt{b^2 - 4c}$ છે.
બીજા સમીકરણ માટે બીજનો તફાવત $|\alpha' - \beta'| = \sqrt{(\alpha' + \beta')^2 - 4\alpha'\beta'} = \sqrt{c^2 - 4b}$ છે.
આપેલ છે કે બીજનો તફાવત સમાન છે,તેથી $\sqrt{b^2 - 4c} = \sqrt{c^2 - 4b}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$b^2 - 4c = c^2 - 4b$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$b^2 - c^2 = 4c - 4b$.
$(b - c)(b + c) = -4(b - c)$.
જો $b \neq c$ હોય,તો $(b - c)$ વડે ભાગતા $b + c = -4$ મળે.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $a(b - c)x^2 + b(c - a)x + c(a - b) = 0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપણને આપેલ છે કે $\alpha = 1$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{C}{A}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$A = a(b - c)$,$B = b(c - a)$,અને $C = c(a - b)$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $1 \times \beta = \frac{c(a - b)}{a(b - c)}$ મળે છે.
તેથી,બીજું બીજ $\beta = \frac{c(a - b)}{a(b - c)}$ છે.

(B) ધારો કે સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\alpha^2$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \alpha^2 = -\frac{b}{a} \dots (1)$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = \frac{c}{a} \dots (2)$
$(1)$ પરથી,$\alpha(1 + \alpha) = -\frac{b}{a}$. બંને બાજુ ઘન લેતા:
$\alpha^3(1 + \alpha)^3 = -\frac{b^3}{a^3}$
$\alpha^3 = \frac{c}{a}$ અને $(1 + \alpha)^3 = 1 + \alpha^3 + 3\alpha(1 + \alpha)$ મુકતા:
$\frac{c}{a} [1 + \frac{c}{a} + 3(-\frac{b}{a})] = -\frac{b^3}{a^3}$
$\frac{c}{a} [\frac{a + c - 3b}{a}] = -\frac{b^3}{a^3}$
$c(a + c - 3b) = -b^3$
$ac + c^2 - 3bc = -b^3$
$b^3 + c^2a + ca^2 = 3abc$
આ નિત્યસમ $a(c - b)^3 = c(a - b)^3$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,$X = (a - b)^3$.

(D) આપેલ છે કે $8$ અને $2$ એ ${x^2} + ax + \beta = 0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,બીજનો સરવાળો $8 + 2 = 10 = -a$ છે,તેથી $a = -10$.
બીજનો ગુણાકાર $8 \times 2 = 16 = \beta$ છે.
આપેલ છે કે $3$ અને $3$ એ ${x^2} + \alpha x + b = 0$ ના બીજ છે.
બીજનો સરવાળો $3 + 3 = 6 = -\alpha$ છે,તેથી $\alpha = -6$.
બીજનો ગુણાકાર $3 \times 3 = 9 = b$ છે.
હવે,$a = -10$ અને $b = 9$ ને ${x^2} + ax + b = 0$ સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને ${x^2} - 10x + 9 = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(x - 1)(x - 9) = 0$.
આમ,બીજ $x = 1$ અને $x = 9$ છે.

(C) કારણ કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2 - ax + b = 0$ ના બીજ છે,તેથી તેઓ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે:
$\alpha^2 - a\alpha + b = 0 \implies \alpha^2 = a\alpha - b$
$\beta^2 - a\beta + b = 0 \implies \beta^2 = a\beta - b$
પ્રથમ સમીકરણને $\alpha^{n-1}$ વડે અને બીજાને $\beta^{n-1}$ વડે ગુણતા:
$\alpha^{n+1} = a\alpha^n - b\alpha^{n-1}$
$\beta^{n+1} = a\beta^n - b\beta^{n-1}$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$\alpha^{n+1} + \beta^{n+1} = a(\alpha^n + \beta^n) - b(\alpha^{n-1} + \beta^{n-1})$
આપેલ છે કે $V_n = \alpha^n + \beta^n$,તેથી:
$V_{n+1} = aV_n - bV_{n-1}$

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2{x^2} + 7x + c = 0$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha + \beta = -\frac{7}{2}$ અને $\alpha \beta = \frac{c}{2}$ મળે.
આપણને $|{\alpha ^2} - {\beta ^2}| = \frac{7}{4}$ આપેલ છે,જેનો અર્થ $|(\alpha + \beta)(\alpha - \beta)| = \frac{7}{4}$ થાય.
$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$ હોવાથી,$(\alpha - \beta)^2 = (-\frac{7}{2})^2 - 4(\frac{c}{2}) = \frac{49}{4} - 2c$.
તેથી,$|\alpha - \beta| = \sqrt{\frac{49 - 8c}{4}} = \frac{\sqrt{49 - 8c}}{2}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $|-\frac{7}{2}| \times \frac{\sqrt{49 - 8c}}{2} = \frac{7}{4}$.
$\frac{7}{2} \times \frac{\sqrt{49 - 8c}}{2} = \frac{7}{4}$.
$\frac{7\sqrt{49 - 8c}}{4} = \frac{7}{4}$.
$\sqrt{49 - 8c} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$49 - 8c = 1$.
$8c = 48$,તેથી $c = 6$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ ${x^2} + (2 + \lambda )x - \frac{1}{2}(1 + \lambda ) = 0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. તેથી,$\alpha + \beta = -(2 + \lambda)$ અને $\alpha \beta = -\frac{1 + \lambda}{2}$.
આપણે બીજના વર્ગોનો સરવાળો $S = {\alpha ^2} + {\beta ^2}$ ન્યૂનતમ કરવો છે.
નિત્યસમ ${\alpha ^2} + {\beta ^2} = {(\alpha + \beta )^2} - 2\alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = {(-(2 + \lambda ))^2} - 2\left( -\frac{1 + \lambda}{2} \right) = {\lambda ^2} + 5\lambda + 5$.
$\lambda$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા,$2\lambda + 5 = 0 \Rightarrow \lambda = -5/2$.

(C) ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\alpha^2$ છે.
$3x^2 + px + 3 = 0$ માટે બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \alpha^2 = -p/3$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = 3/3 = 1$
$\alpha^3 = 1$ હોવાથી,$\alpha$ ની શક્ય કિંમતો $1, \omega, \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે.
જો $\alpha = 1$ હોય,તો $\alpha + \alpha^2 = 1 + 1 = 2$,તેથી $2 = -p/3 \implies p = -6$. પરંતુ આપણને $p > 0$ આપેલ છે,તેથી આ કિસ્સો અસ્વીકાર્ય છે.
જો $\alpha = \omega$ અથવા $\alpha = \omega^2$ હોય,તો $\alpha + \alpha^2 = \omega + \omega^2 = -1$.
આ કિંમતને સરવાળાના સમીકરણમાં મૂકતા: $-1 = -p/3 \implies p = 3$.
આમ,$p = 3$.

(D) આપેલ છે કે $a$ અને $b$ એ ${x^2} - 3x + 1 = 0$ ના બીજ છે,તેથી $a + b = 3$ અને $ab = 1$ મળે.
નવા સમીકરણ ${x^2} + px + q = 0$ ના બીજ $a - 2$ અને $b - 2$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$-p = (a - 2) + (b - 2) = (a + b) - 4 = 3 - 4 = -1$,જેનો અર્થ છે કે $p = 1$.
$q = (a - 2)(b - 2) = ab - 2(a + b) + 4 = 1 - 2(3) + 4 = 1 - 6 + 4 = -1$.
આમ,$(p, q) = (1, -1)$.
આથી,સાચો જવાબ $D$ છે.

(A) ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $2\alpha$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + 2\alpha = 3\alpha = -\frac{3a - 1}{a^2 - 5a + 3} = \frac{1 - 3a}{a^2 - 5a + 3} \implies \alpha = \frac{1 - 3a}{3(a^2 - 5a + 3)}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot 2\alpha = 2\alpha^2 = \frac{2}{a^2 - 5a + 3} \implies \alpha^2 = \frac{1}{a^2 - 5a + 3}$.
સરવાળાના સમીકરણમાંથી $\alpha$ ની કિંમત ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left[\frac{1 - 3a}{3(a^2 - 5a + 3)}\right]^2 = \frac{1}{a^2 - 5a + 3}$.
$\frac{(1 - 3a)^2}{9(a^2 - 5a + 3)^2} = \frac{1}{a^2 - 5a + 3}$.
$(1 - 3a)^2 = 9(a^2 - 5a + 3)$.
$1 - 6a + 9a^2 = 9a^2 - 45a + 27$.
$39a = 26$.
$a = \frac{26}{39} = \frac{2}{3}$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = -a$
$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = -c$
હવે,આપણે $\alpha^{-1} + \beta^{-1} + \gamma^{-1}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\alpha^{-1} + \beta^{-1} + \gamma^{-1} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma}$
$= \frac{\beta\gamma + \alpha\gamma + \alpha\beta}{\alpha\beta\gamma}$
વિયેટાના સૂત્રોની કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{b}{-c} = -\frac{b}{c}$.

(A) ધારો કે બીજ $3\alpha, 2\alpha, \beta$ છે.
ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3 - 9x^2 + 14x + 24 = 0$ માટે વિએટાના સૂત્રો મુજબ:
$1) \text{બીજનો સરવાળો: } 3\alpha + 2\alpha + \beta = 9 \implies 5\alpha + \beta = 9 \implies \beta = 9 - 5\alpha$
$2) \text{બબ્બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો: } (3\alpha)(2\alpha) + (2\alpha)(\beta) + (3\alpha)(\beta) = 14 \implies 6\alpha^2 + 5\alpha\beta = 14$
$3) \text{બીજનો ગુણાકાર: } (3\alpha)(2\alpha)(\beta) = -24 \implies 6\alpha^2\beta = -24 \implies \alpha^2\beta = -4$
$\beta = 9 - 5\alpha$ ને બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$6\alpha^2 + 5\alpha(9 - 5\alpha) = 14$
$6\alpha^2 + 45\alpha - 25\alpha^2 = 14$
$19\alpha^2 - 45\alpha + 14 = 0$
અવયવ પાડતા: $(19\alpha - 7)(\alpha - 2) = 0$
તેથી,$\alpha = 2$ અથવા $\alpha = \frac{7}{19}$.
જો $\alpha = 2$ હોય,તો $\beta = 9 - 5(2) = -1$.
ગુણાકારના સમીકરણમાં ચકાસતા: $\alpha^2\beta = (2)^2(-1) = -4$,જે શરતનું પાલન કરે છે.
તેથી બીજ $6, 4, -1$ છે.

(A) $\triangle PQR$ માં,$\angle R = \frac{\pi}{2}$,તેથી $P + Q = \frac{\pi}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{P}{2} + \frac{Q}{2} = \frac{\pi}{4}$.
આપેલ છે કે $\tan(\frac{P}{2})$ અને $\tan(\frac{Q}{2})$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે,તેથી:
બીજનો સરવાળો: $\tan(\frac{P}{2}) + \tan(\frac{Q}{2}) = -\frac{b}{a}$
બીજનો ગુણાકાર: $\tan(\frac{P}{2}) \tan(\frac{Q}{2}) = \frac{c}{a}$
નિત્યસમ $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\frac{P}{2} + \frac{Q}{2}) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$
$\frac{\tan(\frac{P}{2}) + \tan(\frac{Q}{2})}{1 - \tan(\frac{P}{2}) \tan(\frac{Q}{2})} = 1$
બીજનો સરવાળો અને ગુણાકાર મૂકતા:
$\frac{-b/a}{1 - c/a} = 1$
$\frac{-b/a}{(a-c)/a} = 1$
$-b = a - c$
$c = a + b$.

(B) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2 - (a - 2)x - a + 1 = 0$ ના બીજો છે.
બીજોના ગુણધર્મો પરથી,$\alpha + \beta = a - 2$ અને $\alpha \beta = -a + 1$ મળે છે.
ધારો કે $S$ એ બીજોના વર્ગોનો સરવાળો છે,તેથી $S = \alpha^2 + \beta^2$.
નિત્યસમ $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = (a - 2)^2 - 2(-a + 1)$
$S = a^2 - 4a + 4 + 2a - 2$
$S = a^2 - 2a + 2$.
$S$ ન્યૂનતમ થાય તે માટે $a$ ની કિંમત શોધવા,આપણે $S$ નું $a$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dS}{da} = 2a - 2$.
$\frac{dS}{da} = 0$ લેતા,$2a - 2 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 1$.
અહીં $\frac{d^2S}{da^2} = 2 > 0$ હોવાથી,વિધેય $S$ ને $a = 1$ આગળ ન્યૂનતમ કિંમત મળે છે.
આમ,$a$ ની કિંમત $1$ છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજો $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે કે સમાંતર મધ્યક $AM = \frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{3}{2}$,તેથી $\alpha + \beta = 3$.
આપેલ છે કે સ્વરીત મધ્યક $HM = \frac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta} = \frac{4}{3}$.
$\alpha + \beta = 3$ ની કિંમત $HM$ ના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{2\alpha\beta}{3} = \frac{4}{3}$,જેનું સાદું રૂપ $2\alpha\beta = 4$ એટલે કે $\alpha\beta = 2$ થાય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણનું સૂત્ર $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - 3x + 2 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
સમાંતર મધ્યક $(AM)$ $= \frac{\alpha + \beta}{2} = 9$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha + \beta = 18$.
સમગુણોત્તર મધ્યક $(GM)$ $= \sqrt{\alpha \beta} = 4$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha \beta = 16$.
બીજ $\alpha$ અને $\beta$ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$(\alpha + \beta)$ અને $\alpha \beta$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - 18x + 16 = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 18x + 9 = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{c}{a} = \frac{9}{1} = 9$ થાય.
બે સંખ્યાઓ $\alpha$ અને $\beta$ નો સમગુણોત્તર મધ્યક $\sqrt{\alpha \beta}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,સમગુણોત્તર મધ્યક $\sqrt{9} = 3$ મળે.

(B) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બે સંખ્યાઓ $\alpha$ અને $\beta$ નો સ્વરિત મધ્યક $(HM)$ $HM = \frac{2\alpha\beta}{\alpha + \beta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $(5 + \sqrt{2})x^2 - (4 + \sqrt{5})x + (8 + 2\sqrt{5}) = 0$ પરથી:
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{b}{a} = \frac{4 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{c}{a} = \frac{8 + 2\sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}} = \frac{2(4 + \sqrt{5})}{5 + \sqrt{2}}$.
હવે,આ કિંમતોને $HM$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$HM = \frac{2 \times \frac{2(4 + \sqrt{5})}{5 + \sqrt{2}}}{\frac{4 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}}$.
$HM = \frac{4(4 + \sqrt{5})}{5 + \sqrt{2}} \times \frac{5 + \sqrt{2}}{4 + \sqrt{5}}$.
$HM = 4$.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x^2 - bx}{ax - c} = \frac{m - 1}{m + 1}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(m + 1)(x^2 - bx) = (m - 1)(ax - c)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $(m + 1)x^2 - b(m + 1)x = a(m - 1)x - c(m - 1)$.
પ્રમાણિત દ્વિઘાત સ્વરૂપ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માં ગોઠવતા:
$(m + 1)x^2 - [b(m + 1) + a(m - 1)]x + c(m - 1) = 0$.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $-\alpha$ છે. બીજ સમાન મૂલ્યના પરંતુ વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવતા હોવાથી,બીજનો સરવાળો શૂન્ય થાય.
બીજનો સરવાળો $= -\frac{B}{A} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $B = 0$.
તેથી,$b(m + 1) + a(m - 1) = 0$.
$bm + b + am - a = 0$.
$m(a + b) = a - b$.
$m = \frac{a - b}{a + b}$.

(A) ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. આપેલ છે કે $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{2}{3}$,તેથી $\alpha = \frac{2\beta}{3}$.
બીજોના સરવાળા પરથી,$\alpha + \beta = \frac{m}{12}$ $\Rightarrow \frac{2\beta}{3} + \beta = \frac{m}{12}$ $\Rightarrow \frac{5\beta}{3} = \frac{m}{12}$ $\Rightarrow m = 20\beta$.
બીજોના ગુણાકાર પરથી,$\alpha \beta = \frac{5}{12}$ $\Rightarrow \left(\frac{2\beta}{3}\right)\beta = \frac{5}{12}$ $\Rightarrow \frac{2\beta^2}{3} = \frac{5}{12}$ $\Rightarrow \beta^2 = \frac{5}{8}$ $\Rightarrow \beta = \frac{\sqrt{10}}{4}$.
$m$ ની કિંમત શોધતા,$m = 20 \times \frac{\sqrt{10}}{4} = 5\sqrt{10}$.

(D) સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ માટે,$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ થાય.
પદાવલિ $E = \frac{\alpha}{a\beta + b} + \frac{\beta}{a\alpha + b}$ લો.
$a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ હોવાથી,$a\alpha + b = -\frac{c}{\alpha}$ મળે. તેવી જ રીતે,$a\beta + b = -\frac{c}{\beta}$ મળે.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$E = \frac{\alpha}{-c/\beta} + \frac{\beta}{-c/\alpha} = -\frac{\alpha\beta}{c} - \frac{\alpha\beta}{c} = -\frac{2\alpha\beta}{c}$.
$\alpha\beta = \frac{c}{a}$ મૂકતા:
$E = -\frac{2(c/a)}{c} = -\frac{2}{a}$.

(B) આપેલ છે કે $\alpha + \beta = -p$ અને $\alpha^3 + \beta^3 = q$.
નિત્યસમ $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$q = (-p)^3 - 3\alpha\beta(-p) = -p^3 + 3p\alpha\beta$.
તેથી,$3p\alpha\beta = p^3 + q$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha\beta = \frac{p^3 + q}{3p}$.
માગેલ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\frac{\alpha}{\beta}$ અને $\frac{\beta}{\alpha}$ છે.
બીજનો સરવાળો $= \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha\beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{\alpha\beta}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{(-p)^2 - 2(\frac{p^3 + q}{3p})}{\frac{p^3 + q}{3p}} = \frac{p^2 - \frac{2(p^3 + q)}{3p}}{\frac{p^3 + q}{3p}} = \frac{3p^3 - 2p^3 - 2q}{p^3 + q} = \frac{p^3 - 2q}{p^3 + q}$.
બીજનો ગુણાકાર $= \frac{\alpha}{\beta} \times \frac{\beta}{\alpha} = 1$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
$x^2 - \left(\frac{p^3 - 2q}{p^3 + q}\right)x + 1 = 0$.
$(p^3 + q)$ વડે ગુણતા,આપણને $(p^3 + q)x^2 - (p^3 - 2q)x + (p^3 + q) = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ આપેલ સમીકરણના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{2}{4} = -\frac{1}{2}$ થાય.
તેથી,$\beta = -\frac{1}{2} - \alpha$.
$\alpha$ એ બીજ હોવાથી,$4\alpha^2 + 2\alpha - 1 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $4\alpha^2 = 1 - 2\alpha$.
હવે,$4\alpha^3 - 3\alpha = \alpha(4\alpha^2) - 3\alpha$ ધ્યાનમાં લો.
$4\alpha^2 = 1 - 2\alpha$ મૂકતા,આપણને $\alpha(1 - 2\alpha) - 3\alpha = \alpha - 2\alpha^2 - 3\alpha = -2\alpha^2 - 2\alpha$ મળે.
$4\alpha^2 + 2\alpha - 1 = 0$ પરથી,$2\alpha^2 = \frac{1 - 2\alpha}{2} = \frac{1}{2} - \alpha$ મળે.
આ કિંમત મૂકતા,$-(\frac{1}{2} - \alpha) - 2\alpha = -\frac{1}{2} + \alpha - 2\alpha = -\frac{1}{2} - \alpha$ મળે.
$\beta = -\frac{1}{2} - \alpha$ હોવાથી,બીજું બીજ $4\alpha^3 - 3\alpha$ છે.

(B) ધારો કે $x^2 - x + m = 0$ નું એક બીજ $\alpha$ છે. તેથી,$x^2 - 3x + 2m = 0$ નું એક બીજ $2\alpha$ થશે.
$\alpha^2 - \alpha + m = 0$ --- $(1)$
$(2\alpha)^2 - 3(2\alpha) + 2m = 0 \Rightarrow 4\alpha^2 - 6\alpha + 2m = 0 \Rightarrow 2\alpha^2 - 3\alpha + m = 0$ --- $(2)$
$(1) \times 2$ કરતા: $2\alpha^2 - 2\alpha + 2m = 0$ --- $(3)$
$(3) - (2)$ કરતા: $\alpha - m = 0 \Rightarrow \alpha = m$
$\alpha = m$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $m^2 - m + m = 0 \Rightarrow m^2 = 0 \Rightarrow m = 0$
જો $m = 0$ હોય,તો સમીકરણો $x^2 - 3x = 0$ અને $x^2 - x = 0$ બને છે. બીજ $0, 3$ અને $0, 1$ મળે છે. અહીં $0$ એ $0$ થી બમણું છે.
જો આપણે બીજું બીજ વિચારીએ,તો $m = -2$ માટે પણ ઉકેલ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $x^2 - 3x + 5 = 0$ ના બીજ છે.
તેથી,$\alpha^2 - 3\alpha + 5 = 0 \implies \alpha^2 - 3\alpha = -5$
અને $\beta^2 - 3\beta + 5 = 0 \implies \beta^2 - 3\beta = -5$
હવે,આ કિંમતોને માંગેલ બીજમાં મૂકતા:
બીજ $1 = \alpha^2 - 3\alpha + 7 = -5 + 7 = 2$
બીજ $2 = \beta^2 - 3\beta + 7 = -5 + 7 = 2$
$2$ અને $2$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ:
$x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$
$x^2 - (2 + 2)x + (2 \times 2) = 0$
$x^2 - 4x + 4 = 0$

(B) ધારો કે સમીકરણ $x^2 - 30x + p = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\alpha^2$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \alpha^2 = 30$ $(1)$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = p$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ પરથી,$\alpha^2 + \alpha - 30 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(\alpha + 6)(\alpha - 5) = 0$.
તેથી,$\alpha = -6$ અથવા $\alpha = 5$.
જો $\alpha = -6$ હોય,તો $p = \alpha^3 = (-6)^3 = -216$.
જો $\alpha = 5$ હોય,તો $p = \alpha^3 = (5)^3 = 125$.
આમ,$p$ ની શક્ય કિંમતો $125$ અને $-216$ છે.

(D) સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\sin \alpha$ અને $\cos \alpha$ છે.
બીજનો સરવાળો: $\sin \alpha + \cos \alpha = -\frac{b}{a} \quad (i)$
બીજનો ગુણાકાર: $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{c}{a} \quad (ii)$
સમીકરણ $(i)$ નો વર્ગ કરતાં:
$(\sin \alpha + \cos \alpha)^2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2$
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \frac{b^2}{a^2}$
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ હોવાથી:
$1 + 2\left(\frac{c}{a}\right) = \frac{b^2}{a^2}$
$1 + \frac{2c}{a} = \frac{b^2}{a^2}$
$a^2$ વડે ગુણતા: $a^2 + 2ac = b^2 \Rightarrow a^2 - b^2 + 2ac = 0$. જે વિકલ્પ $(b)$ છે.
હવે,$(a+c)^2 = a^2 + 2ac + c^2$. $a^2 + 2ac = b^2$ હોવાથી,$(a+c)^2 = b^2 + c^2$. જે વિકલ્પ $(c)$ છે.
તેથી,$(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા છે.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,બીજોનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{C}{A}$ અને બીજોનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{B}{A}$ છે.
આપેલ છે કે બીજોનો ગુણાકાર $2$ છે,તેથી $\frac{3a + 4}{a + 1} = 2$.
$a$ માટે ઉકેલતા: $3a + 4 = 2(a + 1)$ $\Rightarrow 3a + 4 = 2a + 2$ $\Rightarrow a = -2$.
હવે,$a = -2$ ને બીજોના સરવાળાના સૂત્રમાં મૂકતા:
બીજોનો સરવાળો $= -\frac{2a + 3}{a + 1} = -\frac{2(-2) + 3}{-2 + 1} = -\frac{-4 + 3}{-1} = -\frac{-1}{-1} = -1$.

(D) ધારો કે $f(x) = x^3 - x - 1$ છે. આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $f(x) = 0$ ના બીજ છે.
ધારો કે $y = \frac{1+x}{1-x}$ છે.
તેથી $y(1-x) = 1+x \implies y - yx = 1+x \implies y-1 = x(y+1) \implies x = \frac{y-1}{y+1}$ મળે.
હવે,$x$ ની આ કિંમતને સમીકરણ $x^3 - x - 1 = 0$ માં મૂકતા:
$\left( \frac{y-1}{y+1} \right)^3 - \left( \frac{y-1}{y+1} \right) - 1 = 0$ મળે.
બંને બાજુ $(y+1)^3$ વડે ગુણતા:
$(y-1)^3 - (y-1)(y+1)^2 - (y+1)^3 = 0$ મળે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(y^3 - 3y^2 + 3y - 1) - (y-1)(y^2 + 2y + 1) - (y^3 + 3y^2 + 3y + 1) = 0$ મળે.
$(y^3 - 3y^2 + 3y - 1) - (y^3 + y^2 - y - 1) - (y^3 + 3y^2 + 3y + 1) = 0$ મળે.
$-y^3 - 7y^2 + y - 1 = 0 \implies y^3 + 7y^2 - y + 1 = 0$ મળે.
આ સમીકરણના બીજ $\frac{1+\alpha}{1-\alpha}, \frac{1+\beta}{1-\beta}, \frac{1+\gamma}{1-\gamma}$ છે.
ત્રણેય બીજનો ગુણાકાર $= -(\text{અચળ પદ}) / (\text{મુખ્ય સહગુણક}) = -1/1 = -1$ થાય.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 - bx - c = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -(\frac{-b}{a}) = \frac{b}{a}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{-c}{a}$ થાય.
આપણે $\alpha^2 - \alpha\beta + \beta^2$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આને $(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta - \alpha\beta = (\alpha + \beta)^2 - 3\alpha\beta$ તરીકે લખી શકાય.
$(\alpha + \beta)$ અને $\alpha\beta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$= (\frac{b}{a})^2 - 3(\frac{-c}{a})$
$= \frac{b^2}{a^2} + \frac{3c}{a}$
$= \frac{b^2 + 3ac}{a^2}$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ $p$ અને $q$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $p + q = -p \implies q = -2p$
બીજનો ગુણાકાર: $pq = q$
ગુણાકારના સમીકરણમાં $q = -2p$ મૂકતા:
$p(-2p) = -2p$
$-2p^2 + 2p = 0$
$-2p(p - 1) = 0$
આમ,$p = 0$ અથવા $p = 1$.

(B) $Ax^2 + Bx + C = 0$ સમીકરણ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{B}{A}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{C}{A}$ છે.
$x^2 + px + q = 0$ સમીકરણ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha^2 + \beta^2 = -p$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha^2\beta^2 = q$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $-p = (-\frac{B}{A})^2 - 2(\frac{C}{A})$.
$-p = \frac{B^2}{A^2} - \frac{2C}{A} = \frac{B^2 - 2AC}{A^2}$.
તેથી,$p = -\frac{B^2 - 2AC}{A^2} = \frac{2AC - B^2}{A^2}$.

(C) ધારો કે $\alpha, \beta$ એ $x^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે અને $\alpha', \beta'$ એ $x^2 + qx + r = 0$ ના બીજ છે.
તેથી $\alpha + \beta = -b$,$\alpha \beta = c$ અને $\alpha' + \beta' = -q$,$\alpha' \beta' = r$.
આપેલ છે કે બીજોનો ગુણોત્તર સમાન છે,એટલે કે $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha'}{\beta'}$.
યોગ-વિયોગ પ્રમાણનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta} = \frac{\alpha' + \beta'}{\alpha' - \beta'}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{(\alpha + \beta)^2}{(\alpha - \beta)^2} = \frac{(\alpha' + \beta')^2}{(\alpha' - \beta')^2}$.
કારણ કે $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$,તેથી $\frac{b^2}{b^2 - 4c} = \frac{q^2}{q^2 - 4r}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા,$b^2(q^2 - 4r) = q^2(b^2 - 4c)$.
$b^2q^2 - 4rb^2 = q^2b^2 - 4cq^2$.
$-4rb^2 = -4cq^2$,જેનું સાદું રૂપ $rb^2 = cq^2$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે $\alpha^2 = 5\alpha - 3$ અને $\beta^2 = 5\beta - 3$,જે સૂચવે છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 5x + 3 = 0$ ના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -(-5)/1 = 5$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = 3/1 = 3$ થાય.
આપણે $\frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha}$ નું મૂલ્ય શોધવાનું છે.
આ પદાવલિને $\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta}$ તરીકે સાદું રૂપ આપી શકાય.
નિત્યસમ $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે જાણીતી કિંમતો મૂકીએ:
$\alpha^2 + \beta^2 = (5)^2 - 2(3) = 25 - 6 = 19$.
તેથી,$\frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} = \frac{19}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણ $(x - a)(x - b) = c$ ને $(x - a)(x - b) - c = 0$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં $\alpha$ અને $\beta$ એ $(x - a)(x - b) - c = 0$ ના બીજ હોવાથી,આપણે દ્વિઘાત સમીકરણને $(x - \alpha)(x - \beta) = (x - a)(x - b) - c$ તરીકે દર્શાવી શકીએ.
આને ફરીથી ગોઠવતા,$(x - \alpha)(x - \beta) + c = (x - a)(x - b)$ મળે.
તેથી,સમીકરણ $(x - \alpha)(x - \beta) + c = 0$ એ $(x - a)(x - b) = 0$ ને સમાન છે.
આથી,આ સમીકરણના બીજ $x = a$ અને $x = b$ છે.

(C) જો $x^2 + px + 1$ એ $ax^3 + bx + c$ નો અવયવ હોય,તો આપણે લખી શકીએ:
$ax^3 + bx + c = (x^2 + px + 1)(ax + c)$
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$ax^3 + bx + c = ax^3 + cx^2 + pax^2 + pcx + ax + c$
$ax^3 + bx + c = ax^3 + (c + ap)x^2 + (pc + a)x + c$
$x^2$ અને $x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$1) \, c + ap = 0 \Rightarrow p = -c/a$
$2) \, pc + a = b$
બીજા સમીકરણમાં $p = -c/a$ મુકતા:
$(-c/a)c + a = b$
$-c^2/a + a = b$
$-c^2 + a^2 = ab$
$a^2 - c^2 = ab$

(D) સમીકરણ $x^2 - px + r = 0$ માટે,$\alpha + \beta = p$ અને $\alpha \beta = r$ છે.
સમીકરણ $x^2 - qx + r = 0$ માટે,$\frac{\alpha}{2} + 2\beta = q$ અને $(\frac{\alpha}{2})(2\beta) = \alpha \beta = r$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\alpha + \beta = p \implies 2\alpha + 2\beta = 2p$.
$2\alpha + 2\beta = 2p$ માંથી $\frac{\alpha}{2} + 2\beta = q$ બાદ કરતા,આપણને મળે:
$(2\alpha - \frac{\alpha}{2}) = 2p - q
\implies \frac{3\alpha}{2} = 2p - q
\implies \alpha = \frac{2(2p - q)}{3}$.
હવે,$\beta = p - \alpha = p - \frac{2(2p - q)}{3} = \frac{3p - 4p + 2q}{3} = \frac{2q - p}{3}$.
કારણ કે $r = \alpha \beta$,તેથી:
$r = \left(\frac{2(2p - q)}{3}\right) \left(\frac{2q - p}{3}\right) = \frac{2}{9}(2p - q)(2q - p)$.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $12x^2 + mx + 5 = 0$ ના બીજ $3k$ અને $2k$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $-(b/a) = -m/12$ થાય.
તેથી,$3k + 2k = -m/12 \implies 5k = -m/12 \implies k = -m/60$.
બીજનો ગુણાકાર $c/a = 5/12$ થાય.
તેથી,$(3k)(2k) = 5/12 \implies 6k^2 = 5/12 \implies k^2 = 5/72$.
$k = -m/60$ ની કિંમત $k^2 = 5/72$ માં મૂકતા:
$(-m/60)^2 = 5/72 \implies m^2/3600 = 5/72$.
$m^2 = (5 \times 3600) / 72 = 5 \times 50 = 250$.
$m = \pm \sqrt{250} = \pm 5\sqrt{10}$.
આપેલ વિકલ્પો ધન હોવાથી,સાચો જવાબ $5\sqrt{10}$ છે.

(C) ધારો કે $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
તેથી,$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$.
આપણે એવું સમીકરણ શોધવું છે જેના બીજ $\alpha^2$ અને $\beta^2$ હોય.
નવા બીજનો સરવાળો $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta = (-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a}) = \frac{b^2 - 2ac}{a^2}$ થાય.
નવા બીજનો ગુણાકાર $\alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = (\frac{c}{a})^2 = \frac{c^2}{a^2}$ થાય.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x^2 - (\frac{b^2 - 2ac}{a^2})x + \frac{c^2}{a^2} = 0$ મળે.
$a^2$ વડે ગુણતા,$a^2x^2 - (b^2 - 2ac)x + c^2 = 0$ મળે.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -b/a$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = c/a$ થાય.
આપેલ સમીકરણ $2x^2 - 2(m^2 + 1)x + (m^4 + m^2 + 1) = 0$ માટે:
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = \frac{2(m^2 + 1)}{2} = m^2 + 1$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{m^4 + m^2 + 1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$.
કિંમતો મૂકતા:
$\alpha^2 + \beta^2 = (m^2 + 1)^2 - 2 \times \frac{m^4 + m^2 + 1}{2}$.
$\alpha^2 + \beta^2 = (m^4 + 2m^2 + 1) - (m^4 + m^2 + 1)$.
$\alpha^2 + \beta^2 = m^2$.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\frac{1}{\alpha}$ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,સમીકરણ $1x^2 + bx + c = 0$ છે,તેથી $a = 1$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \times \frac{1}{\alpha} = 1$ થાય છે.
તેથી,$\frac{c}{a} = 1$.
કારણ કે $a = 1$,આપણને $c = 1$ મળે છે.
વિકલ્પો જોતા,જો $a = c$ હોય,તો $1 = c$ થાય,જે આપણા પરિણામ સાથે સુસંગત છે. આમ,$a = c$ એ સાચી શરત છે.

(C) આપેલ સમીકરણો પરથી:
$\alpha + \beta = -b$ .... $(1)$ અને $\alpha\beta = ac$ .... $(2)$
$\alpha + \gamma = -a$ .... $(3)$ અને $\alpha\gamma = bc$ .... $(4)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(3)$ બાદ કરતાં: $\beta - \gamma = a - b$ .... $(5)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(4)$ વડે ભાગતા: $\frac{\beta}{\gamma} = \frac{a}{b} \implies \beta = \frac{a\gamma}{b}$ .... $(6)$
સમીકરણ $(6)$ ની કિંમત $(5)$ માં મૂકતા:
$\frac{a\gamma}{b} - \gamma = a - b$
$\gamma \left( \frac{a - b}{b} \right) = (a - b)$
જો $a \neq b$ હોય,તો $\gamma = b$ મળે.
$\gamma = b$ ની કિંમત $(4)$ માં મૂકતા: $\alpha b = bc \implies \alpha = c$.
$\alpha = c$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $c\beta = ac \implies \beta = a$.
આમ,$\alpha = c, \beta = a, \gamma = b$ થાય.

(B) આપેલ સમીકરણ $2x^2 + 2(a + b)x + a^2 + b^2 = 0$ છે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{2(a + b)}{2} = -(a + b)$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{a^2 + b^2}{2}$.
હવે,$(\alpha + \beta)^2 = (-(a + b))^2 = (a + b)^2$.
અને $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (a + b)^2 - 4(\frac{a^2 + b^2}{2}) = a^2 + 2ab + b^2 - 2a^2 - 2b^2 = -(a^2 - 2ab + b^2) = -(a - b)^2$.
માગેલ સમીકરણ $x^2 - [(\alpha + \beta)^2 + (\alpha - \beta)^2]x + [(\alpha + \beta)^2(\alpha - \beta)^2] = 0$ છે.
નવા બીજનો સરવાળો $= (a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab$.
નવા બીજનો ગુણાકાર $= (a + b)^2 \times (-(a - b)^2) = -((a + b)(a - b))^2 = -(a^2 - b^2)^2$.
આમ,સમીકરણ $x^2 - 4abx - (a^2 - b^2)^2 = 0$ મળે.