Relation between roots and coefficients Questions in Gujarati

(C) સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,વિવેચક $D_1 = b^2 - 4ac$ છે. બીજનો તફાવત $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = (\frac{-b}{a})^2 - 4(\frac{c}{a}) = \frac{b^2 - 4ac}{a^2}$ દ્વારા મળે છે.
સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ માટે,બીજ $\alpha - k$ અને $\beta - k$ છે. આ બીજનો તફાવત $(\alpha - k) - (\beta - k) = \alpha - \beta$ થાય.
આમ,બીજના તફાવતનો વર્ગ $(\alpha - \beta)^2 = \frac{B^2 - 4AC}{A^2}$ છે.
$(\alpha - \beta)^2$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા,આપણને $\frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{B^2 - 4AC}{A^2}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{B^2 - 4AC}{b^2 - 4ac} = \frac{A^2}{a^2} = (\frac{A}{a})^2$ મળે છે.

(A) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $p + q = -p$ અને બીજનો ગુણાકાર $pq = q$ થાય.
$pq = q$ પરથી,આપણને $q(p - 1) = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $q = 0$ અથવા $p = 1$.
કિસ્સો $1$: જો $q = 0$ હોય,તો $p + 0 = -p$,જે $2p = 0$ આપે છે,તેથી $p = 0$. આનાથી બીજ $(0, 0)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $p = 1$ હોય,તો $1 + q = -1$,જે $q = -2$ આપે છે. આનાથી બીજ $(1, -2)$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચી જોડી $p = 1, q = -2$ છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે કે બીજ એકબીજાના વ્યસ્ત છે,તેથી $\beta = \frac{1}{\alpha}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha \cdot \beta = 1$.
સમીકરણ $5x^2 - 7x + k = 0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર $\frac{c}{a} = \frac{k}{5}$ થાય છે.
બીજના ગુણાકારને $1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{k}{5} = 1$ મળે છે.
તેથી,$k = 5$.

(B) દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -b/a$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = c/a$ થાય.
આપેલ સમીકરણ: $x^2 - 7x + 6 = 0$.
અહીં,$a = 1, b = -7, c = 6$.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -(-7)/1 = 7$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = 6/1 = 6$.
આપણે $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}$ શોધવાનું છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{7}{6}$ મળે છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 2x + 4 = 0$ છે.
બીજ $\alpha, \beta$ હોવાથી,$\alpha + \beta = 2$ અને $\alpha \beta = 4$ થાય.
$\alpha$ એ બીજ હોવાથી,$\alpha^2 - 2\alpha + 4 = 0$,એટલે કે $\alpha^2 = 2\alpha - 4$.
$\alpha^n$ વડે ગુણતા,$\alpha^{n+2} = 2\alpha^{n+1} - 4\alpha^n$ મળે.
ધારો કે $S_n = \alpha^n + \beta^n$. તો $S_n = 2S_{n-1} - 4S_{n-2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $S_0 = 2$ અને $S_1 = 2$.
$S_2 = 2(2) - 4(2) = -4$.
$S_3 = 2(-4) - 4(2) = -16$.
$S_4 = 2(-16) - 4(-4) = -16$.
$S_5 = 2(-16) - 4(-16) = 32$.
આમ,$\alpha^5 + \beta^5 = 32$.

(A) $a(p + x)^2 + 2bpx + c = 0$ સમીકરણને ધ્યાનમાં લો.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $a(p^2 + 2px + x^2) + 2bpx + c = 0$ મળે છે.
$x$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે પદોને ગોઠવતા: $ax^2 + 2x(ap + bp) + ap^2 + c = 0$,જે $ax^2 + 2xp(a + b) + ap^2 + c = 0$ માં સરળ બને છે.
જેથી $q$ અને $r$ આ સમીકરણના બીજ છે,તેથી બીજનો ગુણાકાર $qr$ એ અચળ પદ ભાગ્યા $x^2$ નો સહગુણક થાય છે.
આમ,$qr = \frac{ap^2 + c}{a} = p^2 + \frac{c}{a}$.

(D) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે,તેથી $\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ થાય.
ધારો કે નવા બીજ $\alpha' = 2 + \alpha$ અને $\beta' = 2 + \beta$ છે.
નવા બીજનો સરવાળો $\alpha' + \beta' = (2 + \alpha) + (2 + \beta) = 4 + (\alpha + \beta) = 4 - \frac{b}{a} = \frac{4a - b}{a}$ થાય.
નવા બીજનો ગુણાકાર $\alpha'\beta' = (2 + \alpha)(2 + \beta) = 4 + 2(\alpha + \beta) + \alpha\beta = 4 + 2(-\frac{b}{a}) + \frac{c}{a} = \frac{4a - 2b + c}{a}$ થાય.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$x^2 - (\frac{4a - b}{a})x + \frac{4a - 2b + c}{a} = 0$ મળે.
$a$ વડે ગુણતા,$ax^2 - (4a - b)x + 4a - 2b + c = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $ax^2 + x(b - 4a) + 4a - 2b + c = 0$ થાય.

(C) ધારો કે $x^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta$ છે અને $x^2 + qx + r = 0$ ના બીજ $\alpha', \beta'$ છે.
તેથી $\alpha + \beta = -b, \alpha\beta = c$ અને $\alpha' + \beta' = -q, \alpha'\beta' = r$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\alpha'}{\beta'}$,તેથી યોગ-વિયોગ પ્રમાણના નિયમ મુજબ $\frac{\alpha + \beta}{\alpha - \beta} = \frac{\alpha' + \beta'}{\alpha' - \beta'}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{(\alpha + \beta)^2}{(\alpha - \beta)^2} = \frac{(\alpha' + \beta')^2}{(\alpha' - \beta')^2}$ મળે.
$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$ હોવાથી,$\frac{b^2}{b^2 - 4c} = \frac{q^2}{q^2 - 4r}$ થાય.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $b^2(q^2 - 4r) = q^2(b^2 - 4c) \Rightarrow b^2q^2 - 4rb^2 = q^2b^2 - 4cq^2$ મળે.
આમ,$-4rb^2 = -4cq^2$,એટલે કે $rb^2 = cq^2$ થાય.

(C) ધારો કે $\alpha$ અને $\alpha^2$ એ $x^2 - x - k = 0$ ના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
$\alpha + \alpha^2 = 1$
$\alpha^3 = k$
આથી,$k^{2/3} + k^{1/3} = 1$.
બંને બાજુ ઘન કરતા,$k^2 + k + 3k(k^{2/3} + k^{1/3}) = 1$.
$k^2 + 4k - 1 = 0$ ઉકેલતા $k = 2 \pm \sqrt{5}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે. તેથી,$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$ અને $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ થાય.
આપેલ છે કે બીજનો સરવાળો તેમના વ્યસ્તના વર્ગોના સરવાળા બરાબર છે:
$\alpha + \beta = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2}$
$-\frac{b}{a} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha\beta)^2}$
$-\frac{b}{a} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$
$\alpha + \beta$ અને $\alpha\beta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$-\frac{b}{a} = \frac{(-\frac{b}{a})^2 - 2(\frac{c}{a})}{(\frac{c}{a})^2}$
આનું સાદુરૂપ આપતા આપણને મળે છે:
$2 = \frac{b^2}{ac} + \frac{bc}{a^2}$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 6x + a = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = 6$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = a$ છે.
આપેલ સંબંધ $3\alpha + 2\beta = 16$ ને $2(\alpha + \beta) + \alpha = 16$ તરીકે લખી શકાય.
$\alpha + \beta = 6$ ની કિંમત મૂકતા: $2(6) + \alpha = 16$ $\Rightarrow 12 + \alpha = 16$ $\Rightarrow \alpha = 4$.
$\alpha + \beta = 6$ હોવાથી,$4 + \beta = 6 \Rightarrow \beta = 2$.
હવે,બીજના ગુણાકારનો ઉપયોગ કરતા: $a = \alpha\beta = 4 \times 2 = 8$.

(A) આપેલ સમીકરણ $lx^2 + mx + n = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{m}{l}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{n}{l}$ છે.
ધારો કે નવા બીજ $S_1 = \alpha^3\beta$ અને $S_2 = \alpha\beta^3$ છે.
નવા બીજનો સરવાળો $S_1 + S_2 = \alpha\beta(\alpha^2 + \beta^2) = \alpha\beta((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta) = \frac{n}{l} \left( \frac{m^2}{l^2} - \frac{2n}{l} \right) = \frac{n(m^2 - 2nl)}{l^3}$ થાય.
નવા બીજનો ગુણાકાર $S_1 S_2 = \alpha^4\beta^4 = (\alpha\beta)^4 = \frac{n^4}{l^4}$ થાય.
માગેલ સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
તેથી,$x^2 - \frac{n(m^2 - 2nl)}{l^3}x + \frac{n^4}{l^4} = 0$.
$l^4$ વડે ગુણતા,$l^4x^2 - nl(m^2 - 2nl)x + n^4 = 0$ મળે.

(B) ધારો કે સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે કે બીજનો તફાવત $\alpha - \beta = 1$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ પરથી,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -p$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = q$ મળે છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(1)^2 = (-p)^2 - 4(q)$
$1 = p^2 - 4q$
તેથી,$p^2 = 4q + 1$.

(B) આપેલ સમીકરણ $(5 + \sqrt{2})x^2 - (4 + \sqrt{5})x + 8 + 2\sqrt{5} = 0$ છે.
ધારો કે બીજ $x_1$ અને $x_2$ છે.
બીજનો સરવાળો: $x_1 + x_2 = \frac{4 + \sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}}$.
બીજનો ગુણાકાર: $x_1x_2 = \frac{8 + 2\sqrt{5}}{5 + \sqrt{2}} = \frac{2(4 + \sqrt{5})}{5 + \sqrt{2}} = 2(x_1 + x_2)$.
હરાત્મક મધ્યક $H = \frac{2x_1x_2}{x_1 + x_2}$.
સૂત્રમાં $x_1x_2 = 2(x_1 + x_2)$ મૂકતા:
$H = \frac{2 \times 2(x_1 + x_2)}{x_1 + x_2} = 4$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $Ax^2 + Bx + C = 0$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,$\alpha + \beta = -\frac{B}{A}$ અને $\alpha \beta = \frac{C}{A}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta (\alpha + \beta)$.
કિંમતો મૂકતા,$\alpha^3 + \beta^3 = (-\frac{B}{A})^3 - 3(\frac{C}{A})(-\frac{B}{A})$.
$\alpha^3 + \beta^3 = -\frac{B^3}{A^3} + \frac{3BC}{A^2}$.
$A^3$ ને સામાન્ય છેદ લેતા,$\alpha^3 + \beta^3 = \frac{-B^3 + 3ABC}{A^3} = \frac{3ABC - B^3}{A^3}$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ ${x^2} - (1 + {n^2})x + \frac{1}{2}(1 + {n^2} + {n^4}) = 0$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha + \beta = 1 + {n^2}$
$\alpha \beta = \frac{1}{2}(1 + {n^2} + {n^4})$
આપણે ${\alpha ^2} + {\beta ^2}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ ${\alpha ^2} + {\beta ^2} = {(\alpha + \beta )^2} - 2\alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
${\alpha ^2} + {\beta ^2} = {(1 + {n^2})^2} - 2 \times \frac{1}{2}(1 + {n^2} + {n^4})$
${\alpha ^2} + {\beta ^2} = (1 + {n^4} + 2{n^2}) - (1 + {n^2} + {n^4})$
${\alpha ^2} + {\beta ^2} = 1 + {n^4} + 2{n^2} - 1 - {n^2} - {n^4}$
${\alpha ^2} + {\beta ^2} = {n^2}$.

(B) ધારો કે સમીકરણ $x^2 - 30x + p = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\alpha^2$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \alpha^2 = 30$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = p$ થાય.
$\alpha^2 + \alpha - 30 = 0$ ને ઉકેલતા:
$(\alpha + 6)(\alpha - 5) = 0$,જે $\alpha = -6$ અથવા $\alpha = 5$ આપે છે.
જો $\alpha = 5$ હોય,તો $p = \alpha^3 = 5^3 = 125$.
જો $\alpha = -6$ હોય,તો $p = \alpha^3 = (-6)^3 = -216$.
આમ,$p$ ની કિંમતો $125$ અને $-216$ છે.

(B) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 3x + 1 = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -(-3)/1 = 3$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = 1/1 = 1$ છે.
આપણે બીજના વર્ગોનો સરવાળો શોધવાનો છે,જે $\alpha^2 + \beta^2$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે કિંમતો મૂકીએ:
$\alpha^2 + \beta^2 = (3)^2 - 2(1) = 9 - 2 = 7$.
તેથી,બીજના વર્ગોનો સરવાળો $7$ છે.

(A) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
આપેલ છે કે બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -1$ છે.
આપેલ છે કે તેમના વ્યસ્તનો સરવાળો $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{1}{6}$ છે.
આને સાદું રૂપ આપતા $\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{1}{6}$ મળે.
$\alpha + \beta = -1$ મૂકતા,$\frac{-1}{\alpha \beta} = \frac{1}{6}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha \beta = -6$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha \beta = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$x^2 - (-1)x + (-6) = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + x - 6 = 0$ થાય છે.

(C) ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha + \beta = -p$ અને $\alpha \beta = q$ મળે.
આપેલ છે કે બીજનો સરવાળો તેમના વર્ગોના સરવાળા જેટલો છે:
$\alpha + \beta = \alpha^2 + \beta^2$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે:
$-p = (-p)^2 - 2q$
$-p = p^2 - 2q$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે:
$p^2 + p = 2q$.

(C) આપેલ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $x^2 - 3x + 1 = 0$ સમીકરણના બીજ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha + \beta = 3$ અને $\alpha \beta = 1$ મળે.
ધારો કે નવા બીજ $x_1 = \frac{1}{\alpha - 2}$ અને $x_2 = \frac{1}{\beta - 2}$ છે.
નવા બીજનો સરવાળો $S = x_1 + x_2 = \frac{1}{\alpha - 2} + \frac{1}{\beta - 2} = \frac{\alpha + \beta - 4}{\alpha \beta - 2(\alpha + \beta) + 4}$.
કિંમતો મૂકતા,$S = \frac{3 - 4}{1 - 2(3) + 4} = \frac{-1}{1 - 6 + 4} = \frac{-1}{-1} = 1$.
નવા બીજનો ગુણાકાર $P = x_1 x_2 = \frac{1}{(\alpha - 2)(\beta - 2)} = \frac{1}{\alpha \beta - 2(\alpha + \beta) + 4}$.
કિંમતો મૂકતા,$P = \frac{1}{1 - 2(3) + 4} = \frac{1}{1 - 6 + 4} = \frac{1}{-1} = -1$.
માગેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - Sx + P = 0$ છે,જે $x^2 - (1)x + (-1) = 0$ એટલે કે $x^2 - x - 1 = 0$ આપે છે.

(B) ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ એ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ છે.
તેથી $\alpha + \beta = -b/a$ અને $\alpha \beta = c/a$.
નવા બીજ $\alpha - 1$ અને $\beta - 1$ છે.
નવું સમીકરણ $2x^2 + 8x + 2 = 0$ છે,જેને $x^2 + 4x + 1 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
નવા બીજનો સરવાળો: $(\alpha - 1) + (\beta - 1) = -4$ $\Rightarrow \alpha + \beta - 2 = -4$ $\Rightarrow \alpha + \beta = -2$.
$\alpha + \beta = -b/a$ હોવાથી,$-b/a = -2 \Rightarrow b = 2a$.
નવા બીજનો ગુણાકાર: $(\alpha - 1)(\beta - 1) = 1 \Rightarrow \alpha \beta - (\alpha + \beta) + 1 = 1$.
કિંમતો મૂકતા: $c/a - (-2) + 1 = 1$ $\Rightarrow c/a + 3 = 1$ $\Rightarrow c/a = -2$.
$c/a = -2$ અને $b/a = 2$ હોવાથી,$c/a = -b/a$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $c = -b$ અથવા $b = -c$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $9x^2 + 6x + 1 = 0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે. બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = -\frac{6}{9} = -\frac{2}{3}$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha\beta = \frac{1}{9}$ છે.
આપણે એવું સમીકરણ શોધવાનું છે જેના બીજ $\frac{1}{\alpha}$ અને $\frac{1}{\beta}$ હોય.
નવા બીજનો સરવાળો $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha\beta} = \frac{-2/3}{1/9} = -\frac{2}{3} \times 9 = -6$ થાય.
નવા બીજનો ગુણાકાર $\frac{1}{\alpha} \times \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha\beta} = \frac{1}{1/9} = 9$ થાય.
જરૂરી દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - (-6)x + 9 = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 + 6x + 9 = 0$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta$ એ $6x^2 - 6x + 1 = 0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,$\alpha + \beta = 1$ અને $\alpha\beta = \frac{1}{6}$.
આપણે $S = \frac{1}{2}[a + b\alpha + c\alpha^2 + d\alpha^3] + \frac{1}{2}[a + b\beta + c\beta^2 + d\beta^3]$ ની કિંમત મેળવવાની છે.
$S = a + \frac{b}{2}(\alpha + \beta) + \frac{c}{2}(\alpha^2 + \beta^2) + \frac{d}{2}(\alpha^3 + \beta^3)$.
$\alpha + \beta = 1$ અને $\alpha\beta = \frac{1}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\alpha^2 + \beta^2 = 1^2 - 2(\frac{1}{6}) = \frac{2}{3}$.
$\alpha^3 + \beta^3 = 1^3 - 3(\frac{1}{6})(1) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$S = a + \frac{b}{2} + \frac{c}{3} + \frac{d}{4}$.

(A) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - px + q = 0$ પરથી,બીજનો સરવાળો અને ગુણાકાર નીચે મુજબ છે:
$\tan \alpha + \tan \beta = p$ $(i)$
$\tan \alpha \tan \beta = q$ $(ii)$
$\tan(\alpha + \beta)$ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta} = \frac{p}{1 - q}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta = \frac{\tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$.
$\theta = \alpha + \beta$ મુકતા:
$\sin^2(\alpha + \beta) = \frac{\tan^2(\alpha + \beta)}{1 + \tan^2(\alpha + \beta)}$
$= \frac{(\frac{p}{1 - q})^2}{1 + (\frac{p}{1 - q})^2}$
$= \frac{\frac{p^2}{(1 - q)^2}}{\frac{(1 - q)^2 + p^2}{(1 - q)^2}}$
$= \frac{p^2}{p^2 + (1 - q)^2}$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{x - m}{mx + 1} = \frac{x + n}{nx + 1}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $(x - m)(nx + 1) = (x + n)(mx + 1)$
$(n - m)x^2 - 2mnx - (m + n) = 0$
બીજનો ગુણાકાર $1$ હોવાથી,$\frac{-(m + n)}{n - m} = 1$
$-(m + n) = n - m$
$-m - n = n - m$
$-2n = 0 \implies n = 0$.

(B) આપેલ છે કે $x^2 - 5x + 16 = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta$ છે,તેથી $\alpha + \beta = 5$ અને $\alpha \beta = 16$ મળે.
સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ $\alpha^2 + \beta^2$ અને $\frac{\alpha \beta}{2}$ છે.
બીજનો સરવાળો: $(\alpha^2 + \beta^2) + \frac{\alpha \beta}{2} = -p$.
$(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = \alpha^2 + \beta^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$(5^2 - 2(16)) + \frac{16}{2} = -p$.
$(25 - 32) + 8 = -p$ $\Rightarrow -7 + 8 = -p$ $\Rightarrow 1 = -p$ $\Rightarrow p = -1$.
બીજનો ગુણાકાર: $(\alpha^2 + \beta^2) \times \frac{\alpha \beta}{2} = q$.
$(25 - 32) \times \frac{16}{2} = q$ $\Rightarrow (-7) \times 8 = q$ $\Rightarrow q = -56$.
આમ,$p = -1$ અને $q = -56$.

(B) ધારો કે $\alpha$ એ ${x^2} - x + k = 0$ નું એક બીજ છે. તો $2\alpha$ એ ${x^2} - x + 3k = 0$ નું એક બીજ છે.
સમીકરણોમાં આ બીજ મૂકતા:
${\alpha^2} - \alpha + k = 0$ $(1)$
$(2\alpha)^2 - (2\alpha) + 3k = 0 \Rightarrow 4{\alpha^2} - 2\alpha + 3k = 0$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $2$ વડે ગુણતા:
$2{\alpha^2} - 2\alpha + 2k = 0$ $(3)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી સમીકરણ $(3)$ બાદ કરતા:
$2{\alpha^2} + k = 0 \Rightarrow {\alpha^2} = -k/2$
${\alpha^2} = -k/2$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$-k/2 - \alpha + k = 0 \Rightarrow \alpha = k/2$
હવે,$\alpha = k/2$ ને ${\alpha^2} = -k/2$ માં મૂકતા:
$(k/2)^2 = -k/2$
$k^2/4 = -k/2$
$k^2 + 2k = 0$
$k(k + 2) = 0$
આમ,$k = 0$ અથવા $k = -2$ મળે છે.

(A) ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે.
બીજનો $A.M.$ $\frac{\alpha + \beta}{2} = \frac{8}{5}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $\alpha + \beta = \frac{16}{5}$ $(i)$.
તેમના વ્યસ્તનો $A.M.$ $\frac{\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}}{2} = \frac{8}{7}$ છે.
આ $\frac{\alpha + \beta}{2\alpha\beta} = \frac{8}{7}$ માં પરિણમે છે.
$\alpha + \beta = \frac{16}{5}$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{16/5}{2\alpha\beta} = \frac{8}{7} \Rightarrow \frac{8}{5\alpha\beta} = \frac{8}{7}$.
તેથી,$\alpha\beta = \frac{7}{5}$ $(ii)$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - (\frac{16}{5})x + \frac{7}{5} = 0$.
$5$ વડે ગુણતા,આપણને $5x^2 - 16x + 7 = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ છે કે $\alpha^2 - 5\alpha + 3 = 0$ અને $\beta^2 - 5\beta + 3 = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\alpha$ અને $\beta$ એ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - 5x + 3 = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,આપણી પાસે છે:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = 5$
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = 3$
આપણે તે સમીકરણ શોધવાનું છે જેના બીજ $\frac{\alpha}{\beta}$ અને $\frac{\beta}{\alpha}$ હોય.
નવા બીજનો સરવાળો: $S = \frac{\alpha}{\beta} + \frac{\beta}{\alpha} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta}{\alpha \beta} = \frac{5^2 - 2(3)}{3} = \frac{25 - 6}{3} = \frac{19}{3}$.
નવા બીજનો ગુણાકાર: $P = \frac{\alpha}{\beta} \times \frac{\beta}{\alpha} = 1$.
જરૂરી સમીકરણ $x^2 - Sx + P = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 - \frac{19}{3}x + 1 = 0$.
$3$ વડે ગુણતા,આપણને $3x^2 - 19x + 3 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે બીજ $2k$ અને $3k$ છે.
સમીકરણ $12x^2 - mx + 5 = 0$ માટે બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $2k + 3k = \frac{m}{12}$ $\Rightarrow 5k = \frac{m}{12}$ $\Rightarrow m = 60k$ $(i)$
બીજનો ગુણાકાર: $(2k)(3k) = \frac{5}{12}$ $\Rightarrow 6k^2 = \frac{5}{12}$ $\Rightarrow k^2 = \frac{5}{72}$ $\Rightarrow k = \sqrt{\frac{5}{72}} = \frac{\sqrt{5}}{6\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{12}$.
$k$ ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$m = 60 \times \frac{\sqrt{10}}{12} = 5\sqrt{10}$.

(C) ધારો કે સમીકરણ $ax^2 + bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $3\alpha$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + 3\alpha = -\frac{b}{a}$ $\Rightarrow 4\alpha = -\frac{b}{a}$ $\Rightarrow \alpha = -\frac{b}{4a}$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \cdot 3\alpha = \frac{c}{a} \Rightarrow 3\alpha^2 = \frac{c}{a}$.
$\alpha$ ની કિંમત ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$3\left(-\frac{b}{4a}\right)^2 = \frac{c}{a}$
$3 \cdot \frac{b^2}{16a^2} = \frac{c}{a}$
$3b^2 = 16ac$.

(B) આપેલ સમીકરણ $3x^2 - 20x + 17 = 0$ છે.
જે સમીકરણના બીજ આપેલ સમીકરણના બીજના વ્યસ્ત હોય તે મેળવવા માટે,આપણે $x$ ને $\frac{1}{x}$ વડે બદલીએ છીએ.
મૂળ સમીકરણમાં $x$ ની જગ્યાએ $\frac{1}{x}$ મૂકતા:
$3(\frac{1}{x})^2 - 20(\frac{1}{x}) + 17 = 0$
$\frac{3}{x^2} - \frac{20}{x} + 17 = 0$
આખા સમીકરણને $x^2$ વડે ગુણતા:
$3 - 20x + 17x^2 = 0$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$17x^2 - 20x + 3 = 0$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + 2x + 4 = 0$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી,$\alpha + \beta = -2$ અને $\alpha \beta = 4$ મળે.
આપણે $\frac{1}{\alpha^3} + \frac{1}{\beta^3} = \frac{\alpha^3 + \beta^3}{(\alpha \beta)^3}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta(\alpha + \beta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{\alpha^3} + \frac{1}{\beta^3} = \frac{(\alpha + \beta)^3 - 3\alpha \beta(\alpha + \beta)}{(\alpha \beta)^3}$.
$\alpha + \beta = -2$ અને $\alpha \beta = 4$ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{(-2)^3 - 3(4)(-2)}{(4)^3} = \frac{-8 + 24}{64} = \frac{16}{64} = \frac{1}{4}$.

(B) ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x_1$ અને $x_2$ છે.
સમાંતર મધ્યક $\frac{x_1 + x_2}{2} = 9$ છે,તેથી $x_1 + x_2 = 18$.
ગુણોત્તર મધ્યક $\sqrt{x_1 x_2} = 4$ છે,તેથી $x_1 x_2 = 16$.
દ્વિઘાત સમીકરણનું સૂત્ર $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - 18x + 16 = 0$ મળે છે.

(D) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - px + q = 0$ ના બીજ $a$ અને $b$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $a + b = p$ ... $(i)$
બીજનો ગુણાકાર: $ab = q$ ... $(ii)$
આપણે $\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
છેદ સમાન કરતા: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab}$.
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{p}{q}$.

(D) ધારો કે આપેલ સમીકરણ $x^2 + px + q = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\alpha^2$ છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ પરથી:
$\alpha \cdot \alpha^2 = \alpha^3 = q$
$\alpha + \alpha^2 = -p$
બીજા સમીકરણની બંને બાજુ ઘન લેતા:
$(\alpha + \alpha^2)^3 = (-p)^3$
$\alpha^3 + (\alpha^2)^3 + 3\alpha \cdot \alpha^2(\alpha + \alpha^2) = -p^3$
$\alpha^3 = q$ અને $\alpha + \alpha^2 = -p$ કિંમતો મૂકતા:
$q + q^2 + 3q(-p) = -p^3$
$p^3 + q^2 + q - 3pq = 0$
$p^3 + q^2 + q(1 - 3p) = 0$.

(A) આપેલ છે કે $3$ એ $x^2 + ax + 3 = 0$ નું એક બીજ છે,તેથી $x = 3$ મૂકતા:
$3^2 + a(3) + 3 = 0$
$9 + 3a + 3 = 0$
$3a = -12$
$a = -4$
હવે,બીજું સમીકરણ $x^2 - 4x + b = 0$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે બીજ $\alpha$ અને $3\alpha$ છે.
બીજના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$\alpha + 3\alpha = -(-4)/1 = 4$.
$4\alpha = 4$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 1$.
બીજના ગુણાકારના સૂત્ર મુજબ,$\alpha \times 3\alpha = b/1$.
$3\alpha^2 = b$.
$\alpha = 1$ મૂકતા,આપણને $3(1)^2 = b$ મળે છે,તેથી $b = 3$.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $2x^2 - (p + 1)x + (p - 1) = 0$ છે.
$ax^2 + bx + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 2$,$b = -(p + 1)$,અને $c = (p - 1)$ મળે.
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -b/a = (p + 1)/2$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = c/a = (p - 1)/2$.
શરત $\alpha - \beta = \alpha \beta$ આપેલ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha \beta)^2$.
નિત્યસમ $(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$((p + 1)/2)^2 - 4((p - 1)/2) = ((p - 1)/2)^2$.
$(p + 1)^2/4 - 2(p - 1) = (p - 1)^2/4$.
$4$ વડે ગુણતા:
$(p + 1)^2 - 8(p - 1) = (p - 1)^2$.
$p^2 + 2p + 1 - 8p + 8 = p^2 - 2p + 1$.
$-6p + 9 = -2p + 1$.
$8 = 4p$.
$p = 2$.

(A) આપેલ છે કે $p$ અને $q$ એ સમીકરણ $3x^2 - 5x - 2 = 0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો પરથી,$p + q = \frac{5}{3}$ અને $pq = \frac{-2}{3}$.
ધારો કે નવા બીજ $\alpha = 3p - 2q$ અને $\beta = 3q - 2p$ છે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = (3p - 2q) + (3q - 2p) = p + q = \frac{5}{3}$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = (3p - 2q)(3q - 2p) = 9pq - 6p^2 - 6q^2 + 4pq = 13pq - 6(p^2 + q^2)$.
$p^2 + q^2 = (p + q)^2 - 2pq = (\frac{5}{3})^2 - 2(\frac{-2}{3}) = \frac{25}{9} + \frac{4}{3} = \frac{37}{9}$.
ગુણાકાર $\alpha \beta = 13(\frac{-2}{3}) - 6(\frac{37}{9}) = \frac{-26}{3} - \frac{74}{3} = \frac{-100}{3}$.
જરૂરી સમીકરણ $x^2 - (\text{બીજનો સરવાળો})x + (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
$x^2 - (\frac{5}{3})x - \frac{100}{3} = 0$,જેનું સાદું રૂપ $3x^2 - 5x - 100 = 0$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે ${x^2} + px + 1$ એ $a{x^3} + bx + c$ નો અવયવ છે,તેથી આપણે લખી શકીએ:
$a{x^3} + bx + c = (x^2 + px + 1)(ax + k)$
જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$a{x^3} + bx + c = ax^3 + (ap + k)x^2 + (p k + a)x + k$
બંને બાજુ $x$ ના સમાન ઘાતાંકોના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$x^2$ નો સહગુણક: $ap + k = 0 \Rightarrow k = -ap$
$x$ નો સહગુણક: $pk + a = b$
અચળ પદ: $k = c$
$k = -ap$ માં $k = c$ મૂકતા,આપણને $c = -ap \Rightarrow p = -c/a$ મળે છે.
$pk + a = b$ માં $p = -c/a$ અને $k = c$ મૂકતા:
$(-c/a)(c) + a = b$
$-c^2/a + a = b$
$a^2 - c^2 = ab$.

(C) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + (3 - \lambda)x - \lambda = 0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = \lambda - 3$ અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = - \lambda$ થાય.
આપણે $S = \alpha^2 + \beta^2$ ને ન્યૂનતમ બનાવવું છે.
નિત્યસમ $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = (\lambda - 3)^2 - 2(-\lambda) = \lambda^2 - 6\lambda + 9 + 2\lambda = \lambda^2 - 4\lambda + 9$.
ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે પૂર્ણવર્ગ બનાવતા:
$S = (\lambda^2 - 4\lambda + 4) + 5 = (\lambda - 2)^2 + 5$.
કારણ કે $(\lambda - 2)^2 \ge 0$,તેથી $S$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $5$ છે,જે $\lambda - 2 = 0$ એટલે કે $\lambda = 2$ માટે મળે છે.

(B) આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 + bx + c = 0$ છે,જ્યાં $c < 0 < b$.
વિવેચક $D = b^2 - 4c$. અહીં $b^2 > 0$ અને $c < 0$ હોવાથી $-4c > 0$ થાય,તેથી $D > 0$. આમ,બીજ વાસ્તવિક અને ભિન્ન છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ:
બીજનો સરવાળો: $\alpha + \beta = -b$. $b > 0$ હોવાથી $\alpha + \beta < 0$.
બીજનો ગુણાકાર: $\alpha \beta = c$. $c < 0$ હોવાથી $\alpha \beta < 0$.
ગુણાકાર $\alpha \beta < 0$ હોવાથી,એક બીજ ધન અને બીજું ઋણ છે.
સરવાળો $\alpha + \beta < 0$ હોવાથી,ઋણ બીજનું માન (absolute value) ધન બીજ કરતા મોટું છે.
$\alpha < \beta$ આપેલ હોવાથી,$\alpha$ એ ઋણ બીજ છે અને $\beta$ એ ધન બીજ છે.
તેથી,$|\alpha| > \beta$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha < 0 < \beta < |\alpha|$.

(B) આપેલ સમીકરણો:
$ax^2 + 2bx + c = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta$ છે $\implies \alpha + \beta = -\frac{2b}{a}, \alpha\beta = \frac{c}{a}$
$2bx^2 + cx + a = 0$ ના બીજ $\alpha, \gamma$ છે $\implies \alpha + \gamma = -\frac{c}{2b}, \alpha\gamma = \frac{a}{2b}$
$cx^2 + ax + 2b = 0$ ના બીજ $\alpha, \delta$ છે $\implies \alpha + \delta = -\frac{a}{c}, \alpha\delta = \frac{2b}{c}$
બીજનો ગુણાકાર લેતા:
$(\alpha\beta)(\alpha\gamma)(\alpha\delta) = (\frac{c}{a})(\frac{a}{2b})(\frac{2b}{c}) = 1$
$\alpha^3(\beta\gamma\delta) = 1$
બીજનો સરવાળો લેતા અને સાદુંરૂપ આપતા,આપણને મળે છે કે $\alpha + \alpha^2 = -1$.

(B) ધારો કે ત્રિઘાત સમીકરણ ${x^3} + p{x^2} + qx + r = 0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
આપેલ છે કે બે બીજનો સરવાળો શૂન્ય છે,ધારો કે $\alpha + \beta = 0$.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma = -p$ થાય.
$\alpha + \beta = 0$ મૂકતા,આપણને $0 + \gamma = -p$ મળે,તેથી $\gamma = -p$.
ચૂક $\gamma$ એ સમીકરણનું બીજ છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે: $(-p)^3 + p(-p)^2 + q(-p) + r = 0$.
$-p^3 + p^3 - pq + r = 0$.
$-pq + r = 0$.
તેથી,$pq = r$.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^3 + x + 1 = 0$ છે.
તેને પ્રમાણિત ઘન સમીકરણ $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = 1, b = 0, c = 1, d = 1$ મળે છે.
બીજ અને સહગુણકો વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\alpha \beta \gamma = -\frac{1}{1} = -1$ મળે છે.
આપણે $\alpha^3 \beta^3 \gamma^3$ ની કિંમત શોધવાની છે,જે $(\alpha \beta \gamma)^3$ બરાબર છે.
તેથી,$(\alpha \beta \gamma)^3 = (-1)^3 = -1$.

(B) આપેલ ઘન સમીકરણ $x^3 - 3x^2 + x + 5 = 0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha + \beta + \gamma = 3$
$\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = 1$
$\alpha \beta \gamma = -5$
આપણે $y = \sum \alpha^2 + \alpha \beta \gamma$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum \alpha^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha)$.
કિંમતો મૂકતા:
$\sum \alpha^2 = (3)^2 - 2(1) = 9 - 2 = 7$.
હવે,$y = 7 + (\alpha \beta \gamma) = 7 + (-5) = 2$.
$y = 2$ હોવાથી,આપણે ચકાસીએ કે કયું સમીકરણ સંતોષાય છે:
વિકલ્પ $B$ માટે: $y^3 - y^2 - y - 2 = (2)^3 - (2)^2 - 2 - 2 = 8 - 4 - 2 - 2 = 0$.
આમ,$y = 2$ એ $y^3 - y^2 - y - 2 = 0$ સમીકરણનું સમાધાન કરે છે.

(A) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $2x^3 - 3x^2 + 6x + 1 = 0$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,ત્રિઘાત સમીકરણ $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ માટે,બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a}$ અને બબ્બે બીજનો ગુણાકારનો સરવાળો $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{c}{a}$ થાય.
અહીં,$a = 2, b = -3, c = 6, d = 1$ છે.
તેથી,$\alpha + \beta + \gamma = -(\frac{-3}{2}) = \frac{3}{2}$ અને $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{6}{2} = 3$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\alpha + \beta + \gamma)^2 - 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)$.
કિંમતો મૂકતા: $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = (\frac{3}{2})^2 - 2(3) = \frac{9}{4} - 6 = \frac{9 - 24}{4} = -\frac{15}{4}$.