आरेख $y = ax^2 + bx + c$ का ग्राफ दर्शाता है। तो:

द्विघात समीकरण $nx^2 + 7\sqrt{n}x + n = 0$ पर विचार करें,जहाँ $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन अनिवार्य रूप से सही है?
$I$. किसी भी $n$ के लिए,मूल भिन्न हैं।
$II$. $n$ के ऐसे अनंत मान हैं जिनके लिए दोनों मूल वास्तविक हैं।
$III$. मूलों का गुणनफल अनिवार्य रूप से एक पूर्णांक है।

यदि $x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \frac{1}{\sqrt{7}} \right)$ है,तो $\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\cos^4 \theta + \alpha$ और $\sin^4 \theta + \alpha$ समीकरण $x^2 + 2bx + b = 0$ के मूल हैं और $\cos^2 \theta + \beta$ तथा $\sin^2 \theta + \beta$ समीकरण $x^2 + 4x + 2 = 0$ के मूल हैं,तो $b$ का मान ज्ञात कीजिए।

समीकरण $6x^3 + 7x^2 - 4x - 2 = 0$ के मूलों को $h$ से कम करने के बाद,यदि रूपांतरित समीकरण में $x$ वाला पद नहीं है,तो $h$ के सभी संभावित मानों का गुणनफल क्या है?

यदि $x = \frac{1}{2} \left( \sqrt{7} + \frac{1}{\sqrt{7}} \right)$ है,तो $\frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x - \sqrt{x^2 - 1}}$ का मान ज्ञात कीजिए।