यदि समीकरण ax^2 + bx + c = 0 के मूल alpha और | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $\alpha + \beta$,$\alpha^2 + \beta^2$,और $\alpha^3 + \beta^3$ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हैं। तीन पदों $x, y, z$ के $GP$ में होने क

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$c\Delta = 0$

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(D) दिया गया है कि $\alpha + \beta$,$\alpha^2 + \beta^2$,और $\alpha^3 + \beta^3$ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हैं। तीन पदों $x, y, z$ के $GP$ में होने के लिए $y^2 = xz$ होता है। अतः,$(\alpha^2 + \beta^2)^2 = (\alpha + \beta)(\alpha^3 + \beta^3)$। दोनों पक्षों का विस्तार करने पर: $\alpha^4 + \beta^4 + 2\alpha^2\beta^2 = \alpha^4 + \alpha\beta^3 + \beta\alpha^3 + \beta^4$। सरल करने पर: $2\alpha^2\beta^2 = \alpha\beta(\alpha^2 + \beta^2)$। पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\alpha\beta(\alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha\beta) = 0$। इससे $\alpha\beta(\alpha - \beta)^2 = 0$ प्राप्त होता है। चूंकि $\alpha\beta = \frac{c}{a}$ और $(\alpha - \beta)^2 = \frac{\Delta}{a^2}$ है। इन मानों को रखने पर: $\frac{c}{a} 	imes \frac{\Delta}{a^2} = 0$। अतः,$c\Delta = 0$।

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