यदि द्विघात समीकरण $x^2 + (2 - \tan \theta)x - (1 + \tan \theta) = 0$ के $2$ पूर्णांक मूल हैं,और अंतराल $(0, 2\pi)$ में $\theta$ के सभी संभावित मानों का योग $k\pi$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f(x)$ एक द्विघात बहुपद है जिसका अग्रणी गुणांक $1$ है,इस प्रकार कि $f(0)=p, p \neq 0$ और $f(1)=\frac{1}{3}$ है। यदि समीकरणों $f(x)=0$ और $f(f(f(f(x))))=0$ का एक उभयनिष्ठ वास्तविक मूल है,तो $f(-3)$ का मान $........$ है।

मान लीजिए कि $x$ एक वास्तविक संख्या है। निम्नलिखित का मिलान करें:

सूची-$I$	सूची-$II$
$(A)$ $2x^2 + 4x + 5$ का न्यूनतम मान	$(I)$ $-1$
$(B)$ $\frac{x^2 + 4x + 1}{x^2 + x + 1}$ का अधिकतम मान	$(II)$ $1$
$(C)$ यदि $1 \leq \frac{3x^2 - 5x + 6}{x^2 + 1} \leq 2$,$\forall x \in [a, b]$ तब $b =$	$(III)$ $2$
$(D)$ यदि $1 \leq \frac{3x^2 - 5x + 6}{x^2 + 1} \leq 2$,$\forall x \in [a, b]$ तब $a =$	$(IV)$ $3$
	$(V)$ $4$

यदि $a, b, c$ वास्तविक हैं और $x^3 - 3b^2x + 2c^3$,$x - a$ और $x - b$ से विभाज्य है,तो:

यदि $x$ वास्तविक है,तो व्यंजक $\frac{x + 2}{2x^2 + 3x + 6}$ किस अंतराल में सभी मान ग्रहण करता है?

यदि $\sqrt{2} \sin^2 x + (3\sqrt{2} + 1) \sin x + 3 > 0$ और $x^2 - 7x + 10 < 0$ है,तो $x$ किस अंतराल में स्थित है?