Geometry of complex numbers Questions in Gujarati

(B) સંકર સંખ્યા $z = \frac{1 + 2i}{1 - i}$ ને સરળ બનાવવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $1 + i$ વડે ગુણતા:
$z = \frac{1 + 2i}{1 - i} \times \frac{1 + i}{1 + i}$
$z = \frac{1 + i + 2i + 2i^2}{1^2 - i^2}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{1 + 3i - 2}{1 - (-1)} = \frac{-1 + 3i}{2} = -\frac{1}{2} + i\frac{3}{2}$
અહીં વાસ્તવિક ભાગ $-\frac{1}{2}$ (ઋણ) છે અને કાલ્પનિક ભાગ $\frac{3}{2}$ (ધન) છે.
તેથી,આ સંકર સંખ્યા $II$ ચરણમાં આવેલી છે.

(C) ધારો કે $z = x + iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$. તો તેની અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\bar{z} = x - iy$ છે.
આપેલ સમીકરણ $z^2 = (\bar{z})^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(x + iy)^2 = (x - iy)^2$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $x^2 - y^2 + 2ixy = x^2 - y^2 - 2ixy$.
બંને બાજુથી $x^2 - y^2$ બાદ કરતા: $2ixy = -2ixy$.
બંને બાજુ $2ixy$ ઉમેરતા: $4ixy = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $xy = 0$.
તેથી,કાં તો $x = 0$ (જેનો અર્થ છે કે $z$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે) અથવા $y = 0$ (જેનો અર્થ છે કે $z$ શુદ્ધ વાસ્તવિક છે).
આમ,$z$ કાં તો શુદ્ધ વાસ્તવિક છે અથવા શુદ્ધ કાલ્પનિક છે.

(D) આપેલ અસમતા: $|z - 4| < |z - 2|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|z - 4|^2 < |z - 2|^2$
ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $|(x - 4) + iy|^2 < |(x - 2) + iy|^2$
$(x - 4)^2 + y^2 < (x - 2)^2 + y^2$
$x^2 - 8x + 16 + y^2 < x^2 - 4x + 4 + y^2$
$-8x + 16 < -4x + 4$
$12 < 4x$
$x > 3$
અહીં $x = \text{Re}(z)$ હોવાથી,પ્રદેશ $\text{Re}(z) > 3$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે $w = \frac{z - 1}{z + 1}$. કારણ કે $w$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે,તેથી $w + \overline{w} = 0$.
$w = \frac{z - 1}{z + 1}$ મૂકતા,આપણને મળે $\frac{z - 1}{z + 1} + \overline{\left(\frac{z - 1}{z + 1}\right)} = 0$.
$\frac{z - 1}{z + 1} + \frac{\overline{z} - 1}{\overline{z} + 1} = 0$.
$(z - 1)(\overline{z} + 1) + (\overline{z} - 1)(z + 1) = 0$.
$(z\overline{z} + z - \overline{z} - 1) + (z\overline{z} + \overline{z} - z - 1) = 0$.
$2z\overline{z} - 2 = 0$.
$z\overline{z} = 1$.
કારણ કે $|z|^2 = z\overline{z}$,તેથી $|z|^2 = 1$,જેનો અર્થ છે કે $|z| = 1$.

(B) આપેલ છે કે $\left| z + \frac{2}{z} \right| = 2$.
ત્રિકોણ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $\left| z + \frac{2}{z} \right| \ge ||z| - |\frac{2}{z}||$.
વળી,વ્યસ્ત ત્રિકોણ અસમતા દ્વારા,$|z + \frac{2}{z}| \le |z| + |\frac{2}{z}|$.
આપેલ શરત પરથી,$|z| - \frac{2}{|z|} \le |z + \frac{2}{z}| = 2$.
ધારો કે $|z| = r$. તો $r - \frac{2}{r} \le 2$,જે સૂચવે છે કે $r^2 - 2r - 2 \le 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ $r^2 - 2r - 2 = 0$ ઉકેલતા,આપણને $r = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$ મળે છે.
કારણ કે $r = |z| > 0$,તેથી $r \le 1 + \sqrt{3}$.
આમ,$|z|$ ની મહત્તમ કિંમત $1 + \sqrt{3}$ છે.

(C) આપેલ છે $\left| \frac{z_1 + z_2}{z_1 - z_2} \right| = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\left| \frac{z_1 + z_2}{z_1 - z_2} \right|^2 = 1$.
આ સૂચવે છે કે $(z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}) = (z_1 - z_2)(\overline{z_1} - \overline{z_2})$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $z_1\overline{z_1} + z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1} + z_2\overline{z_2} = z_1\overline{z_1} - z_1\overline{z_2} - z_2\overline{z_1} + z_2\overline{z_2}$.
સાદુરૂપ આપતા,$2(z_1\overline{z_2} + z_2\overline{z_1}) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $z_1\overline{z_2} + \overline{z_1\overline{z_2}} = 0$.
આ દર્શાવે છે કે $2 \text{Re}(z_1\overline{z_2}) = 0$,તેથી $z_1\overline{z_2}$ નો વાસ્તવિક ભાગ $0$ છે.
ધારો કે $\frac{z_1}{z_2} = x + iy$. તો $z_1 = z_2(x + iy)$.
આ કિંમત $\text{Re}(z_1\overline{z_2}) = 0$ માં મૂકતા,આપણને $|z_2|^2 x = 0$ મળે છે.
$z_2 \neq 0$ હોવાથી,$x = 0$ હોવું જોઈએ.
આમ,$\frac{z_1}{z_2}$ એ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે. જો $z_1 = 0$ હોય,તો $\frac{z_1}{z_2} = 0$.
તેથી,$\frac{z_1}{z_2}$ એ શૂન્ય અથવા શુદ્ધ કાલ્પનિક છે.

(A) ધારો કે ${z_1} = a + ib$ અને ${z_2} = c - id$,જ્યાં $a > 0$ અને $d > 0$.
આપેલ છે કે $|{z_1}| = |{z_2}|$,તેથી ${a^2} + {b^2} = {c^2} + {d^2}$.
ધારો કે $w = \frac{{z_1 + z_2}}{{z_1 - z_2}}$.
તેથી $\bar{w} = \frac{{\bar{z_1} + \bar{z_2}}}{{\bar{z_1} - \bar{z_2}}}$.
$|{z_1}| = |{z_2}| = r$ હોવાથી,$\bar{z_1} = \frac{r^2}{z_1}$ અને $\bar{z_2} = \frac{r^2}{z_2}$ મળે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\bar{w} = \frac{{\frac{r^2}{z_1} + \frac{r^2}{z_2}}}{{\frac{r^2}{z_1} - \frac{r^2}{z_2}}} = \frac{{z_2 + z_1}}{{z_2 - z_1}} = -\frac{{z_1 + z_2}}{{z_1 - z_2}} = -w$.
$\bar{w} = -w$ હોવાથી,સંકર સંખ્યા $w$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે.
ઉદાહરણ તરીકે,${z_1} = 2 + i$ અને ${z_2} = 1 - 2i$ લેતા,
$\frac{{z_1 + z_2}}{{z_1 - z_2}} = \frac{{3 - i}}{{1 + 3i}} = -i$ મળે,જે શુદ્ધ કાલ્પનિક છે.

(A) ધારો કે $z = x + iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$.
આપેલ છે કે $|z + i| = |z - i|$.
$z = x + iy$ મૂકતા:
$|x + iy + i| = |x + iy - i|$
$|x + i(y + 1)| = |x + i(y - 1)|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$x^2 + (y + 1)^2 = x^2 + (y - 1)^2$
$x^2 + y^2 + 2y + 1 = x^2 + y^2 - 2y + 1$
$2y = -2y$
$4y = 0 \implies y = 0$.
તેથી $y = 0$ હોવાથી,$z = x + i(0) = x$,જે કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા દર્શાવે છે.

(C) આપેલ છે $\left| \frac{{z_1} - {z_2}}{{z_1} + {z_2}} \right| = 1$,ધારો કે $\frac{{z_1} - {z_2}}{{z_1} + {z_2}} = e^{i\alpha} = \cos \alpha + i\sin \alpha$,જ્યાં $\alpha$ એ ${z_1} - {z_2}$ અને ${z_1} + {z_2}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
યોગ-વિભાગની રીત વાપરતા:
$\frac{2{z_1}}{-2{z_2}} = \frac{\cos \alpha + i\sin \alpha + 1}{\cos \alpha + i\sin \alpha - 1} = -i\cot(\alpha/2)$
તેથી,$\frac{{z_1}}{{z_2}} = i\cot(\alpha/2)$,જેનો અર્થ છે $i{z_1} = -\cot(\alpha/2) {z_2}$.
આપેલ $i{z_1} = k{z_2}$ સાથે સરખાવતા,$k = -\cot(\alpha/2)$,એટલે કે $\cot(\alpha/2) = -k$.
$\tan \alpha = \frac{2\tan(\alpha/2)}{1 - \tan^2(\alpha/2)} = \frac{2(-1/k)}{1 - 1/k^2} = \frac{2k}{1 - k^2}$.
તેથી,$\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{2k}{1 - k^2}\right) = -2\tan^{-1}k$.

(B) આપેલ છે કે $|z| = 1$,તેથી $|z|^2 = x^2 + y^2 = 1$ .....$(i)$
હવે,પદ $\frac{z - 1}{z + 1} = \frac{(x - 1) + iy}{(x + 1) + iy}$ ને ધ્યાનમાં લો.
અંશ અને છેદને છેદના અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $(x + 1) - iy$ વડે ગુણતા:
$\frac{z - 1}{z + 1} = \frac{((x - 1) + iy)((x + 1) - iy)}{(x + 1)^2 + y^2}$
$= \frac{(x^2 - 1) + y^2 + i(y(x + 1) - y(x - 1))}{(x + 1)^2 + y^2}$
$= \frac{(x^2 + y^2 - 1) + i(xy + y - xy + y)}{(x + 1)^2 + y^2}$
$= \frac{(1 - 1) + 2iy}{(x + 1)^2 + y^2}$ [સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા]
$= \frac{2iy}{(x + 1)^2 + y^2}$
અહીં વાસ્તવિક ભાગ $0$ હોવાથી,આ પદ માત્ર કાલ્પનિક છે.

(C) ધારો કે $f(z) = |2z - 1| + |3z - 2| = 2|z - 1/2| + 3|z - 2/3|$.
ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,$|a| + |b| \ge |a - b|$.
વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$g(x) = |2x - 1| + |3x - 2|$ ધ્યાનમાં લો.
જો $x < 1/2$,તો $g(x) = -5x + 3$ (ઘટતું વિધેય).
જો $1/2 \le x \le 2/3$,તો $g(x) = -x + 1$ (ઘટતું વિધેય).
જો $x > 2/3$,તો $g(x) = 5x - 3$ (વધતું વિધેય).
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $x = 2/3$ પર મળે છે.
$x = 2/3$ મૂકતા,$g(2/3) = |4/3 - 1| + 0 = 1/3$.

(C) ધારો કે $z = r(\cos \theta + i \sin \theta) = re^{i\theta}$.
તો $-iz = -i(re^{i\theta}) = e^{-i\pi/2} (re^{i\theta}) = re^{i(\theta - \pi/2)}$.
$z$ નો કોણાંક $\theta$ છે અને $-iz$ નો કોણાંક $\theta - \frac{\pi}{2}$ છે.
સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો તેમના કોણાંકનો તફાવત છે:
$\text{ખૂણો} = (\theta - \frac{\pi}{2}) - \theta = -\frac{\pi}{2}$.
આમ,ખૂણો $-\frac{\pi}{2}$ છે.

(A) આપેલ છે કે $|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2$.
ગુણધર્મ $|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2 + 2|z_1||z_2| \cos(\theta_1 - \theta_2)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta_1 = \arg(z_1)$ અને $\theta_2 = \arg(z_2)$.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$|z_1|^2 + |z_2|^2 + 2|z_1||z_2| \cos(\theta_1 - \theta_2) = |z_1|^2 + |z_2|^2$.
આથી $2|z_1||z_2| \cos(\theta_1 - \theta_2) = 0$.
જો $z_1, z_2 \neq 0$ હોય,તો $\cos(\theta_1 - \theta_2) = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\theta_1 - \theta_2 = \pm \frac{\pi}{2}$.
તેથી,$\arg\left( \frac{z_1}{z_2} \right) = \arg(z_1) - \arg(z_2) = \pm \frac{\pi}{2}$.
જેમ કે $\frac{z_1}{z_2}$ નો કોણાંક $\pm \frac{\pi}{2}$ છે,તેથી $\frac{z_1}{z_2}$ એ શુદ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા છે.
આમ,$\text{Re} \left( \frac{z_1}{z_2} \right) = 0$.

(C) આપેલ છે કે $|z_1 + z_2| = |z_1 - z_2|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|z_1 + z_2|^2 = |z_1 - z_2|^2$ મળે.
$(z_1 + z_2)(\overline{z_1} + \overline{z_2}) = (z_1 - z_2)(\overline{z_1} - \overline{z_2})$.
$|z_1|^2 + z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2 + |z_2|^2 = |z_1|^2 - z_1\overline{z_2} - \overline{z_1}z_2 + |z_2|^2$.
$2(z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $z_1\overline{z_2} + \overline{z_1}z_2 = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $2Re(z_1\overline{z_2}) = 0$,તેથી $z_1\overline{z_2}$ એ શુદ્ધ કાલ્પનિક સંખ્યા છે.
ધારો કે $z_1 = r_1 e^{i\theta_1}$ અને $z_2 = r_2 e^{i\theta_2}$.
તો $z_1\overline{z_2} = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 - \theta_2)} = r_1 r_2 (\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2))$.
કારણ કે $z_1\overline{z_2}$ શુદ્ધ કાલ્પનિક છે,તેનો વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\cos(\theta_1 - \theta_2) = 0$.
તેથી,$\theta_1 - \theta_2 = \pm \frac{\pi}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $\arg\left( \frac{z_1}{z_2} \right) = \pi$.
આનો અર્થ એ છે કે $\arg(z_1) - \arg(z_2) = \pi$,અથવા $\arg(z_1) = \arg(z_2) + \pi$.
ધારો કે $\arg(z_2) = \theta$. તો $\arg(z_1) = \theta + \pi$.
કારણ કે $|z_1| = |z_2|$,ધારો કે $|z_1| = |z_2| = r$.
આપણે $z_2 = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ લખી શકીએ.
તેથી $z_1 = r(\cos(\theta + \pi) + i \sin(\theta + \pi)) = r(-\cos \theta - i \sin \theta) = -r(\cos \theta + i \sin \theta) = -z_2$.
તેથી,$z_1 + z_2 = -z_2 + z_2 = 0$.

(C) શરત $|{z_1} + {z_2}| = |{z_1}| + |{z_2}|$ એ ત્રિકોણ અસમતાની સમાનતાની સ્થિતિ દર્શાવે છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે સંકર સંખ્યાઓ ${z_1}$ અને ${z_2}$ સંકર સમતલમાં ઉગમબિંદુથી સમાન દિશામાં હોય.
ગાણિતિક રીતે,આનો અર્થ એ છે કે તેમના કોણાંક (arguments) સમાન છે,એટલે કે $arg({z_1}) = arg({z_2})$ અથવા તેમાંથી એક બીજાનો અ-ઋણ વાસ્તવિક ગુણક છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ${e^{i\theta } = \cos \theta + i\sin \theta }$.
તેથી,${e^{e^{i\theta }} = e^{\cos \theta + i\sin \theta } = e^{\cos \theta } \cdot e^{i\sin \theta }}$.
ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,${e^{i\sin \theta } = \cos(\sin \theta ) + i\sin(\sin \theta )}$.
આમ,${e^{e^{i\theta }} = e^{\cos \theta } [\cos(\sin \theta ) + i\sin(\sin \theta )] = e^{\cos \theta } \cos(\sin \theta ) + i e^{\cos \theta } \sin(\sin \theta )}$.
વાસ્તવિક ભાગ ${e^{\cos \theta } \cos(\sin \theta )}$ છે.

(C) ધારો કે બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1 = -1 - i$ અને $z_2 = 2 + 3i$ છે.
સંકર સમતલમાં બે બિંદુઓ $z_1$ અને $z_2$ વચ્ચેનું અંતર તેમના તફાવતના માનાંક $|z_1 - z_2|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$|z_1 - z_2| = |(-1 - i) - (2 + 3i)|$
$= |-1 - i - 2 - 3i|$
$= |-3 - 4i|$
$= \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2}$
$= \sqrt{9 + 16}$
$= \sqrt{25}$
$= 5$.
આમ,રેખાખંડની લંબાઈ $5$ છે.

(B) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ માં,વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને સમાન મધ્યબિંદુ પર દુભાગે છે.
વિકર્ણ $AC$ નું મધ્યબિંદુ $\frac{z_1 + z_3}{2}$ દ્વારા મળે છે.
વિકર્ણ $BD$ નું મધ્યબિંદુ $\frac{z_2 + z_4}{2}$ દ્વારા મળે છે.
વિકર્ણો એકબીજાને દુભાગતા હોવાથી,$\frac{z_1 + z_3}{2} = \frac{z_2 + z_4}{2}$ થાય.
તેથી,$z_1 + z_3 = z_2 + z_4$.

(B) આપેલ સમીકરણ $z\overline{z} + a\overline{z} + \overline{a}z + b = 0$ છે.
બંને બાજુ $|a|^2$ ઉમેરતા:
$z\overline{z} + a\overline{z} + \overline{a}z + |a|^2 = |a|^2 - b$
આને આ રીતે અવયવ પાડી શકાય:
$(z + a)(\overline{z} + \overline{a}) = |a|^2 - b$
કારણ કે $(z + a)(\overline{z} + \overline{a}) = |z + a|^2$,સમીકરણ બને છે:
$|z + a|^2 = |a|^2 - b$
આ સમીકરણ $-a$ કેન્દ્ર અને $\sqrt{|a|^2 - b}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે જો ત્રિજ્યાનો વર્ગ ધન હોય,એટલે કે $|a|^2 - b > 0$.
તેથી,$|a|^2 > b$.

(C) ધારો કે $r$ એ સમબાજુ ત્રિકોણની પરિત્રિજ્યા છે અને $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે. ધારો કે $ABC$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે જેના શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ અનુક્રમે $z_1, z_2$ અને $z_3$ છે અને પરિકેન્દ્ર $O'(z_0)$ છે.
સદિશો $O'A, O'B, O'C$ ના મૂલ્યો સમાન છે અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{2\pi}{3}$ છે.
તેથી,આપણે લખી શકીએ:
$z_1 - z_0 = r e^{i\theta}$
$z_2 - z_0 = r e^{i(\theta + \frac{2\pi}{3})} = r \omega e^{i\theta}$
$z_3 - z_0 = r e^{i(\theta + \frac{4\pi}{3})} = r \omega^2 e^{i\theta}$
આમ,$z_1 = z_0 + r e^{i\theta}$,$z_2 = z_0 + r \omega e^{i\theta}$,અને $z_3 = z_0 + r \omega^2 e^{i\theta}$.
વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = (z_0 + r e^{i\theta})^2 + (z_0 + r \omega e^{i\theta})^2 + (z_0 + r \omega^2 e^{i\theta})^2$
$= 3z_0^2 + 2 z_0 r e^{i\theta} (1 + \omega + \omega^2) + r^2 e^{i2\theta} (1 + \omega^2 + \omega^4)$
કારણ કે $1 + \omega + \omega^2 = 0$ અને $1 + \omega^2 + \omega^4 = 1 + \omega^2 + \omega = 0$,તેથી આપણને મળે છે:
$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 3z_0^2$.

(B) આપેલ સમીકરણ $\overline{b}z + b\overline{z} = c$ છે.
ધારો કે $z = x + iy$ અને $b = b_1 + ib_2$,જ્યાં $x, y, b_1, b_2 \in \mathbb{R}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$(b_1 - ib_2)(x + iy) + (b_1 + ib_2)(x - iy) = c$
$(b_1x + ib_1y - ib_2x + b_2y) + (b_1x - ib_1y + ib_2x + b_2y) = c$
$2b_1x + 2b_2y = c$.
આ $x$ અને $y$ માં $Ax + By + C = 0$ સ્વરૂપનું સુરેખ સમીકરણ છે,જે એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે $z_1, z_2, z_3$ એ $A.P.$ માં રહેલી ત્રણ સંકર સંખ્યાઓ છે.
તેથી $2z_2 = z_1 + z_3$.
આ સૂચવે છે કે $z_2 = \frac{z_1 + z_3}{2}$.
આમ,સંકર સંખ્યા $z_2$ એ $z_1$ અને $z_3$ બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,ત્રણેય બિંદુઓ $z_1, z_2$ અને $z_3$ સમરેખ છે અને સંકર સમતલમાં એક સીધી રેખા પર આવેલા છે.

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $z_1 = a + i$,$z_2 = 1 + bi$ અને $z_3 = 0$ સમબાજુ હોવાથી,$z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$(a + i)^2 + (1 + bi)^2 + 0 = (a + i)(1 + bi)$ મળે.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા: $(a^2 - 1 + 2ai) + (1 - b^2 + 2bi) = a + abi + i - b$.
સરળ બનાવતા: $(a^2 - b^2) + 2i(a + b) = (a - b) + i(1 + ab)$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$a^2 - b^2 = a - b$ ... $(i)$
$2(a + b) = 1 + ab$ ... $(ii)$
$(i)$ પરથી,$(a - b)(a + b) = (a - b)$,જેનો અર્થ છે કે $(a - b)(a + b - 1) = 0$.
તેથી,કાં તો $a = b$ અથવા $a + b = 1$.
કિસ્સો $1$: જો $a = b$ હોય,તો $(ii)$ પરથી,$2(2a) = 1 + a^2$,એટલે કે $a^2 - 4a + 1 = 0$.
$a$ માટે ઉકેલતા,$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.
$0 < a < 1$ હોવાથી,$a = b = 2 - \sqrt{3}$ મળે.
કિસ્સો $2$: જો $a + b = 1$ હોય,તો $b = 1 - a$. $(ii)$ માં મૂકતા,$2(1) = 1 + a(1 - a)$,જે $a^2 - a + 1 = 0$ આપે છે. આ સમીકરણના કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલો નથી.
આમ,માત્ર ઉકેલ $a = b = 2 - \sqrt{3}$ છે.

(A) ધારો કે $\omega = -1 + 5z$. તેથી $\omega + 1 = 5z$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,આપણને $|\omega + 1| = |5z| = 5|z|$ મળે છે.
આપેલ છે કે $|z| = 2$,તેથી $|\omega + 1| = 5 \times 2 = 10$.
સમીકરણ $|\omega - (-1)| = 10$ એ $-1$ કેન્દ્ર અને $10$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ દર્શાવે છે.
આમ,સંકર સંખ્યાઓ દર્શાવતા બિંદુઓ વર્તુળ પર આવેલા છે.

(C) શિરોબિંદુઓને સંકર સમતલમાં બિંદુઓ તરીકે દર્શાવતા: $A(1, 2),$ $B(-3, 1),$ $C(-2, -3),$ અને $D(2, -2).$
અંતર સૂત્ર $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ નો ઉપયોગ કરીને બાજુઓની લંબાઈ શોધો:
$AB = \sqrt{(-3 - 1)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{17}$
$BC = \sqrt{(-2 - (-3))^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{17}$
$CD = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-2 - (-3))^2} = \sqrt{17}$
$DA = \sqrt{(1 - 2)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{17}$
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે. હવે,વિકર્ણો તપાસો:
$AC = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (-3 - 2)^2} = \sqrt{34}$
$BD = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{34}$
બધી બાજુઓ અને વિકર્ણો સમાન હોવાથી,આ ચતુષ્કોણ ચોરસ છે.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક સંકર સંખ્યા $z = 4 - 3i$ છે.
સંકર સંખ્યાને ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં $180^o$ ફેરવવી એટલે તેને $e^{-i\pi} = -1$ વડે ગુણવા.
તેથી,ફેરવેલ સદિશ $z' = -z = -(4 - 3i) = -4 + 3i$ છે.
સદિશને ત્રણ ગણો ખેંચવાનો અર્થ એ છે કે તેના માનને $3$ વડે ગુણવું,જે સંકર સંખ્યાને $3$ વડે ગુણવા સમાન છે.
આમ,નવી સંકર સંખ્યા $z_{new} = 3 \times z' = 3(-4 + 3i) = -12 + 9i$ છે.

(B) ધારો કે આપેલી સંકર સંખ્યા $z = 3 - 4i$ છે.
સંકર સંખ્યા $z$ ને $\theta$ ખૂણે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવવી એટલે તેને $e^{i\theta}$ વડે ગુણવા.
$\theta = 180^{\circ} = \pi$ રેડિયન માટે,પરિભ્રમણ અવયવ $e^{i\pi} = -1$ છે.
પરિભ્રમણ પછી,સંખ્યા $z' = z \times (-1) = -(3 - 4i) = -3 + 4i$ બને છે.
સદિશને $2.5$ ગણું ખેંચવું એટલે સંકર સંખ્યાને $2.5 = \frac{5}{2}$ અદિશ વડે ગુણવા.
આમ,અંતિમ સંકર સંખ્યા $z'' = 2.5 \times (-3 + 4i) = \frac{5}{2}(-3 + 4i) = \frac{-15}{2} + 10i$ છે.

(D) આપેલ છે કે $POQ$ એ ઉગમબિંદુ $O$ માંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે,તેથી બિંદુઓ $P$,$O$ અને $Q$ સમરેખ છે.
$OP = OQ$ હોવાથી અને તેઓ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખા પર હોવાથી,$P$ અને $Q$ ઉગમબિંદુની સાપેક્ષમાં એકબીજાના પ્રતિબિંબ છે.
તેથી,સંકર સંખ્યા $z_2 = -z_1$ થાય.
$c + id = -(a + ib) = -a - ib$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોની સરખામણી કરતા,આપણને $c = -a$ અને $d = -b$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a + c = 0$ અને $b + d = 0$.
વળી,માનની શરત $OP = OQ$ સૂચવે છે કે $|z_1| = |z_2|$,એટલે કે $|a + ib| = |c + id|$.
તેથી,વિકલ્પ $A$ અને $B$ બંને સાચા છે.

(C) આપણી પાસે $z_k = 1 + a + a^2 + \dots + a^{k-1} = \frac{1 - a^k}{1 - a}$ છે.
બંને બાજુથી $\frac{1}{1 - a}$ બાદ કરતા:
$z_k - \frac{1}{1 - a} = \frac{-a^k}{1 - a}$.
બંને બાજુ માનાંક લેતા:
$\left| z_k - \frac{1}{1 - a} \right| = \frac{|a|^k}{|1 - a|}$.
કારણ કે $|a| < 1$,તેથી $|a|^k < 1$ થાય.
આથી,$\left| z_k - \frac{1}{1 - a} \right| < \frac{1}{|1 - a|}$.
આ દર્શાવે છે કે શિરોબિંદુઓ $z_k$ એ $\left| z - \frac{1}{1 - a} \right| = \frac{1}{|1 - a|}$ વર્તુળની અંદર આવેલા છે.

(A) ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ $(z=0)$ છે અને $A$ એ $z_1$ અફિક્સ ધરાવતું શિરોબિંદુ છે. $n$ બાજુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણ હોવાથી,કેન્દ્ર પર કોઈપણ બાજુ દ્વારા બનતો ખૂણો $\frac{2\pi}{n}$ છે.
$z_2$ ને $z_1$ ને ઉગમબિંદુની આસપાસ $\pm \frac{2\pi}{n}$ ના ખૂણે ફેરવીને મેળવી શકાય છે.
પરિભ્રમણ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$z_2 = z_1 e^{\pm i \frac{2\pi}{n}}$.
ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$z_2 = z_1 \left( \cos \frac{2\pi}{n} \pm i \sin \frac{2\pi}{n} \right)$.

(B) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C, D$ ક્રમમાં છે. વિકર્ણો $AC$ અને $BD$ એકબીજાને $E$ પર દુભાગે છે.
$BD$ નું મધ્યબિંદુ $E = \frac{(1 - 2i) + (4 + 2i)}{2} = \frac{5}{2}$ છે.
$AC = 2BD$ હોવાથી,$AE = EC = BD = |(4 + 2i) - (1 - 2i)| = |3 + 4i| = 5$ થાય.
વિકર્ણો કાટખૂણે હોવાથી,$\vec{EA}$ એ $\vec{ED}$ ને $90^\circ$ ફેરવવાથી મળે છે.
$\vec{ED} = (4 + 2i) - \frac{5}{2} = \frac{3}{2} + 2i$.
$90^\circ$ ફેરવતા: $\vec{EA} = i(\frac{3}{2} + 2i) = -2 + \frac{3}{2}i$.
તેથી,$A = E + \vec{EA} = \frac{5}{2} + (-2 + \frac{3}{2}i) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}i$.

(A) આપેલ છે કે $|z - z_1| = |z - z_2| = |z - z_3| = |z - z_4| = r$ (ધારો કે).
આ સૂચવે છે કે ${z_1}, {z_2}, {z_3}, {z_4}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવેલા બિંદુઓ $z$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવેલા બિંદુથી $r$ જેટલા સમાન અંતરે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,એક નિશ્ચિત બિંદુ (કેન્દ્ર $z$) થી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુઓનો સમૂહ $r$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળ પર હોય છે.
તેથી,બિંદુઓ ${z_1}, {z_2}, {z_3}, {z_4}$ એકવર્તુળીય છે.

(A) સમબાજુ ચતુષ્કોણમાં,વિકર્ણો એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગે છે. તેથી,$M$ એ $AC$ અને $BD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $AC \perp BD$ છે.
આપેલ છે કે $BD = 2AC$,તેથી $2DM = 2(2AM)$,જેનું સાદું રૂપ $DM = 2AM$ થાય છે.
$D$ માટેની સંકર સંખ્યા $1 + i$ (બિંદુ $(1, 1)$) છે અને $M$ માટે $2 - i$ (બિંદુ $(2, -1)$) છે.
સદિશ $\vec{MD} = (1 - 2, 1 - (-1)) = (-1, 2)$.
$AC \perp BD$ હોવાથી,સદિશ $\vec{MA}$ એ $\vec{MD}$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
$\vec{MD}$ ને $90^\circ$ ફેરવતા $(\pm 2, \pm 1)$ સદિશો મળે છે.
$DM = 2AM$ હોવાથી,સદિશ $\vec{MA} = \pm \frac{1}{2} \vec{MD}_{rotated} = \pm \frac{1}{2} (2, 1) = \pm (1, \frac{1}{2})$.
તેથી,$A = M \pm (1, \frac{1}{2}) = (2 \pm 1, -1 \pm \frac{1}{2})$.
આમ,$A = (3, -1/2)$ અથવા $A = (1, -3/2)$ મળે છે.
સંકર સ્વરૂપમાં,$A = 3 - \frac{1}{2}i$ અથવા $1 - \frac{3}{2}i$ થાય.

(D) ધારો કે $A, B, C$ એ સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2, z_3$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતા બિંદુઓ છે અને $P$ એ $z$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવતું બિંદુ છે.
ચાર બિંદુઓ $A, B, C, P$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવે તે માટે,બિંદુ $P$ ને ત્રિકોણ $ABC$ ની સાપેક્ષમાં ત્રણ શક્ય સ્થાનો પર મૂકી શકાય છે:
$(i)$ જો $A, B, P, C$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવે,તો $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CP}$,જેનો અર્થ છે $z_2 - z_1 = z - z_3$,તેથી $z = z_2 + z_3 - z_1$.
$(ii)$ જો $B, C, P, A$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવે,તો $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AP}$,જેનો અર્થ છે $z_3 - z_2 = z - z_1$,તેથી $z = z_3 + z_1 - z_2$.
$(iii)$ જો $C, A, P, B$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવે,તો $\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BP}$,જેનો અર્થ છે $z_1 - z_3 = z - z_2$,તેથી $z = z_1 + z_2 - z_3$.
આમ,$z$ માટેના તમામ આપેલા વિકલ્પો સાચા છે.

(B) ધારો કે $z = x + iy$,તેથી $\overline{z} = x - iy$.
આપેલ સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$(x + iy)(x - iy) + (2 - 3i)(x + iy) + (2 + 3i)(x - iy) + 4 = 0$
$(x^2 + y^2) + (2x + 2iy - 3ix + 3y) + (2x - 2iy + 3ix + 3y) + 4 = 0$
$(x^2 + y^2) + 4x + 6y + 4 = 0$
આ સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સ્વરૂપનું વર્તુળ છે,જ્યાં $g = 2$,$f = 3$,અને $c = 4$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ દ્વારા મળે છે.
$r = \sqrt{2^2 + 3^2 - 4} = \sqrt{4 + 9 - 4} = \sqrt{9} = 3$.

(D) પ્રથમ ચરણમાં લંબચોરસનું શિરોબિંદુ સંકુલ સંખ્યા $z = a + ib\sqrt{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે કાર્તેઝિયન સમતલમાં બિંદુ $(a, b\sqrt{3})$ ને અનુરૂપ છે.
લંબચોરસનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર હોવાથી અને તેની બાજુઓ અક્ષોને સમાંતર હોવાથી,લંબચોરસના શિરોબિંદુઓ $(a, b\sqrt{3})$,$(-a, b\sqrt{3})$,$(-a, -b\sqrt{3})$ અને $(a, -b\sqrt{3})$ છે.
$X$-અક્ષ પર લંબચોરસની લંબાઈ $2|a| = 2a$ છે (ધારો કે $a, b > 0$).
$Y$-અક્ષ પર લંબચોરસની ઊંચાઈ $2|b\sqrt{3}| = 2b\sqrt{3}$ છે.
તેથી,લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $= \text{લંબાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = (2a) \times (2b\sqrt{3}) = 4ab\sqrt{3}$ થાય.

(A) આકૃતિ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $OP_1P_3P_2$ દર્શાવે છે જ્યાં $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ છે.
સદિશ સરવાળાના સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના નિયમ મુજબ,બિંદુ $P_3$ નો સ્થાન સદિશ એ બિંદુઓ $P_1$ અને $P_2$ ના સ્થાન સદિશોનો સરવાળો છે.
તેથી,$\vec{OP_3} = \vec{OP_1} + \vec{OP_2}$.
જેમ કે બિંદુઓ $P_1$ અને $P_2$ અનુક્રમે સંકર સંખ્યાઓ $z_1$ અને $z_2$ દર્શાવે છે,તેથી બિંદુ $P_3$ એ સંકર સંખ્યા $z_1 + z_2$ દર્શાવે છે.

(D) આપેલ છે,$\frac{|z - 2|}{|z - 3|} = 2$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$|z - 2|^2 = 4|z - 3|^2$
ધારો કે $z = x + iy$,તો $(x - 2)^2 + y^2 = 4[(x - 3)^2 + y^2]$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 = 4(x^2 - 6x + 9 + y^2)$
$x^2 + y^2 - 4x + 4 = 4x^2 + 4y^2 - 24x + 36$
$3x^2 + 3y^2 - 20x + 32 = 0$
$3$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 - \frac{20}{3}x + \frac{32}{3} = 0$
પ્રમાણિત સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$g = -\frac{10}{3}$,$f = 0$,અને $c = \frac{32}{3}$
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-\frac{10}{3})^2 + 0^2 - \frac{32}{3}} = \sqrt{\frac{100}{9} - \frac{96}{9}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

(D) આપેલ છે કે $\triangle ABC$ એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જ્યાં $\angle C = 90^\circ$ અને $AC = BC$.
સંકર સમતલમાં પરિભ્રમણના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,સદિશ $\vec{CB}$ એ $\vec{CA}$ ને $90^\circ$ (અથવા $\pi/2$ રેડિયન) ના ખૂણે ફેરવવાથી મળે છે.
તેથી,$(z_2 - z_3) = \pm i(z_1 - z_3)$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(z_2 - z_3)^2 = -(z_1 - z_3)^2$.
$(z_2 - z_3)^2 + (z_1 - z_3)^2 = 0$.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $z_2^2 + z_3^2 - 2z_2z_3 + z_1^2 + z_3^2 - 2z_1z_3 = 0$.
$z_1^2 + z_2^2 + 2z_3^2 - 2z_3(z_1 + z_2) = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(z_1 - z_2)^2 = z_1^2 + z_2^2 - 2z_1z_2$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે કે $(z_1 - z_2)^2 = 2(z_1 - z_3)(z_3 - z_2)$.

(D) નિયમિત ષટ્કોણમાં,કેન્દ્રથી કોઈપણ શિરોબિંદુનું અંતર એ ષટ્કોણની બાજુની લંબાઈ જેટલું હોય છે.
ધારો કે કેન્દ્ર $O(0,0)$ છે અને એક શિરોબિંદુ $z = 1 + 2i$ છે.
ઉગમબિંદુથી શિરોબિંદુ $z$ સુધીનું અંતર એ માનાંક $|z|$ છે.
$|z| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
ષટ્કોણ નિયમિત હોવાથી,કેન્દ્રથી દરેક શિરોબિંદુનું અંતર સમાન હોય છે અને નિયમિત ષટ્કોણની બાજુની લંબાઈ $s$ એ કેન્દ્રથી કોઈપણ શિરોબિંદુ સુધીના અંતર જેટલી હોય છે.
તેથી,બાજુની લંબાઈ $s = \sqrt{5}$.
$s$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતા નિયમિત ષટ્કોણની પરિમિતિ $6s$ થાય.
પરિમિતિ $= 6 \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5}$.

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુ $O$ એ $0$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ એ સંકર સંખ્યા $z$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
ધારો કે બિંદુ $Q$ એ સંકર સંખ્યા $z + iz$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સદિશ $\vec{OP}$ એ સંકર સંખ્યા $z - 0 = z$ ને અનુરૂપ છે.
સદિશ $\vec{PQ}$ એ સંકર સંખ્યા $(z + iz) - z = iz$ ને અનુરૂપ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સંકર સંખ્યાનો $i$ સાથે ગુણાકાર કરવાથી તે ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $90^\circ$ અથવા $\frac{\pi}{2}$ રેડિયનનું પરિભ્રમણ સૂચવે છે.
કારણ કે $\vec{PQ} = i \vec{OP}$,સદિશ $\vec{PQ}$ એ $\vec{OP}$ ને લંબ છે.
તેથી,ખૂણો $\angle OPQ$ એ $\frac{\pi}{2}$ છે.

(A) $z_0$ કેન્દ્ર અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $|z - z_0| = r$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $|z - z_0|^2 = r^2$ મળે છે.
$|w|^2 = w\bar{w}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$(z - z_0)(\overline{z - z_0}) = r^2$ થાય.
$(z - z_0)(\bar{z} - \bar{z_0}) = r^2$.
ગુણાકારનું વિસ્તરણ કરતા,$z\bar{z} - z\bar{z_0} - \bar{z}z_0 + z_0\bar{z_0} = r^2$ મળે છે.

(D) શિરોબિંદુઓ ${z_1}, {z_2}, {z_3}$ એ $|z| = \frac{1}{2}$ વર્તુળને પરિગત સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.
વર્તુળ એ સમબાજુ ત્રિકોણનું અંતઃવૃત્ત હોવાથી,તેનું કેન્દ્ર ઉગમબિંદુ $0$ પર છે.
${z_1} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$ ને $\frac{2\pi}{3}$ રેડિયનના ખૂણે પરિભ્રમણ કરાવતા ${z_2}$ મળે છે.
${z_2} = {z_1} e^{i(2\pi/3)} = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i) (-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i)$
${z_2} = -\frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -1$.

(B) આપેલ સમીકરણો સંકર સમતલમાં બે વર્તુળો દર્શાવે છે:
વર્તુળ $C_1$: કેન્દ્ર $O(0, 0)$,ત્રિજ્યા $r_1 = 12$.
વર્તુળ $C_2$: કેન્દ્ર $C(3, 4)$,ત્રિજ્યા $r_2 = 5$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = |(3 + 4i) - 0| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ છે.
કારણ કે $d + r_2 = 5 + 5 = 10 < r_1 = 12$,તેથી વર્તુળ $C_2$ એ વર્તુળ $C_1$ ની અંદર આવેલું છે.
$C_1$ પરના બિંદુ અને $C_2$ પરના બિંદુ વચ્ચેનું ન્યૂનતમ અંતર $r_1 - (d + r_2) = 12 - (5 + 5) = 12 - 10 = 2$ થાય.

(B) ધારો કે સંકર સંખ્યાઓ $z_P = 4 + i$,$z_Q = 1 + 6i$,$z_R = -4 + 3i$,અને $z_S = -1 - 2i$ છે.
બાજુઓની લંબાઈ ગણતા:
$|PQ| = |(1 + 6i) - (4 + i)| = |-3 + 5i| = \sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.
$|QR| = |(-4 + 3i) - (1 + 6i)| = |-5 - 3i| = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$.
$|RS| = |(-1 - 2i) - (-4 + 3i)| = |3 - 5i| = \sqrt{3^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34}$.
$|SP| = |(4 + i) - (-1 - 2i)| = |5 + 3i| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34}$.
બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,તે સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
હવે વિકર્ણો તપાસો:
$|PR| = |(-4 + 3i) - (4 + i)| = |-8 + 2i| = \sqrt{(-8)^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68}$.
$|QS| = |(-1 - 2i) - (1 + 6i)| = |-2 - 8i| = \sqrt{(-2)^2 + (-8)^2} = \sqrt{4 + 64} = \sqrt{68}$.
વિકર્ણો સમાન હોવાથી અને બધી બાજુઓ સમાન હોવાથી,$PQRS$ એ ચોરસ છે.

(A) નિશ્ચાયક $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} z_1 & \overline{z_1} & 1 \\ z_2 & \overline{z_2} & 1 \\ z_3 & \overline{z_3} & 1 \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય $2i \times (z_1, z_2, z_3$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ$)$ દર્શાવે છે.
જો બિંદુઓ $z_1, z_2, z_3$ સમરેખ હોય,તો ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $0$ થાય અને નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય $0$ થાય.

(B) ધારો કે $z_1 = 1 + 3i$,$z_2 = 5 + i$ અને $z_3 = 3 + 2i$.
આ બિંદુઓ કાર્તેઝિયન સમતલમાં $(1, 3)$,$(5, 1)$ અને $(3, 2)$ યામોને અનુરૂપ છે.
આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$A = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$A = \frac{1}{2} |1(1 - 2) + 5(2 - 3) + 3(3 - 1)|$
$A = \frac{1}{2} |1(-1) + 5(-1) + 3(2)|$
$A = \frac{1}{2} |-1 - 5 + 6| = \frac{1}{2} |0| = 0$.
ક્ષેત્રફળ $0$ હોવાથી,બિંદુઓ સમરેખ છે.