Geometry of complex numbers Questions in Gujarati

(B) ધારો કે $z = x + iy$. ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $z = (x, y)$,$iz = (-y, x)$ અને $z + iz = (x - y, x + y)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
યામો મૂકતા:
$A = \frac{1}{2} |x(x - (x + y)) + (-y)((x + y) - y) + (x - y)(y - x)|$
$A = \frac{1}{2} |x(-y) - y(x) - (x - y)^2|$
$A = \frac{1}{2} |-2xy - (x^2 - 2xy + y^2)|$
$A = \frac{1}{2} |-x^2 - y^2| = \frac{1}{2} (x^2 + y^2) = \frac{1}{2} |z|^2$.

(A) બિંદુઓ $A(3, 4), B(5, -2)$ અને $C(-1, 16)$ છે.
તેઓ સમરેખ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે આ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ ગણીએ:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |3(-2 - 16) + 5(16 - 4) + (-1)(4 - (-2))|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |-54 + 60 - 6| = \frac{1}{2} |0| = 0$.
ક્ષેત્રફળ $0$ હોવાથી,બિંદુઓ $A, B, C$ સમરેખ છે.

(D) મધ્યકેન્દ્ર $G$ નો નિર્દેશાંક $g = \frac{z_1 + z_2 + z_3}{3}$ છે.
$z = 0$ એ $AG$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,મધ્યબિંદુનો નિર્દેશાંક $\frac{g + z_1}{2} = 0$ થાય.
$g$ ની કિંમત મૂકતા,$\frac{\frac{z_1 + z_2 + z_3}{3} + z_1}{2} = 0$ મળે.
$6$ વડે ગુણતા,$(z_1 + z_2 + z_3) + 3z_1 = 0$ થાય.
આમ,$4z_1 + z_2 + z_3 = 0$ મળે.

(C) આપેલ છે કે $\frac{z_1}{z_2} + \frac{z_2}{z_1} = 1$.
$z_1 z_2$ વડે ગુણતા,આપણને $z_1^2 + z_2^2 = z_1 z_2$ મળે છે.
આને $z_1^2 + z_2^2 - z_1 z_2 = 0$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય.
ધારો કે $z_3 = 0$ એ ઉગમબિંદુ છે.
ત્રણ બિંદુઓ $z_1, z_2, z_3$ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે તેની શરત $z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = z_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1$ છે.
$z_3 = 0$ મૂકતા,આપણને $z_1^2 + z_2^2 = z_1 z_2$ મળે છે,જે આપણા આપેલ સમીકરણ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,$z_1, z_2$ અને ઉગમબિંદુ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.

(A) ધારો કે $z = x + iy$. બિંદુઓ $A(x, y)$,$B(x - y, x + y)$ અને $C(0, x)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |z|^2 = 18$ થાય છે.
તેથી,$|z|^2 = 36$,જેનો અર્થ છે કે $|z| = 6$.

(D) સંકર સંખ્યાઓને કાર્તેઝિયન સમતલમાં બિંદુઓ તરીકે દર્શાવતા:
${z_1} = (1, 1)$
${z_2} = (-2, 3)$
${z_3} = (0, \frac{a}{3})$
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,તેમના દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શૂન્ય થાય,અથવા નિશ્ચાયકનું મૂલ્ય શૂન્ય થાય:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -2 & 3 & 1 \\ 0 & \frac{a}{3} & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ સ્તંભને અનુરૂપ વિસ્તરણ કરતા:
$1(3 - \frac{a}{3}) - (-2)(1 - \frac{a}{3}) + 0 = 0$
$3 - \frac{a}{3} + 2 - \frac{2a}{3} = 0$
$5 - a = 0$
$a = 5$

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $z_1 = 0$,$z_2 = z$,અને $z_3 = z e^{i\alpha }$ છે.
સંકર સમતલમાં $z_1, z_2, z_3$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\text{Im}(\bar{z_1}z_2 + \bar{z_2}z_3 + \bar{z_3}z_1)|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$z_1 = 0$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |\text{Im}(\bar{z} \cdot z e^{i\alpha })|$ થશે.
$\bar{z}z = |z|^2$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\text{Im}(|z|^2 e^{i\alpha })|$.
$e^{i\alpha } = \cos \alpha + i \sin \alpha$ હોવાથી:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |z|^2 |\text{Im}(\cos \alpha + i \sin \alpha)|$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |z|^2 \sin \alpha$ (કારણ કે $0 < \alpha < \pi$,$\sin \alpha > 0$).

(D) આપેલ સંકર સંખ્યાઓ: $z_1 = 1 + 2i$,$z_2 = 2 + 3i$,અને $z_3 = 3 + 4i$.
બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર ગણતા:
$|z_1 - z_2| = |(1-2) + (2-3)i| = |-1 - i| = \sqrt{2}$.
$|z_2 - z_3| = |(2-3) + (3-4)i| = |-1 - i| = \sqrt{2}$.
$|z_1 - z_3| = |(1-3) + (2-4)i| = |-2 - 2i| = 2\sqrt{2}$.
અહીં $|z_1 - z_2| + |z_2 - z_3| = |z_1 - z_3|$ હોવાથી,બિંદુઓ સમરેખ છે અને ત્રિકોણ બનાવતા નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $\left| \frac{z - 5i}{z + 5i} \right| = 1$ છે.
$z = x + iy$ મૂકતા,આપણને $\left| \frac{x + i(y - 5)}{x + i(y + 5)} \right| = 1$ મળે છે.
ગુણધર્મ $\left| \frac{z_1}{z_2} \right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ નો ઉપયોગ કરતા,$|x + i(y - 5)| = |x + i(y + 5)|$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 + (y - 5)^2 = x^2 + (y + 5)^2$ મળે.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + y^2 - 10y + 25 = x^2 + y^2 + 10y + 25$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $-10y = 10y$,જેનો અર્થ છે $20y = 0$,તેથી $y = 0$.
સમીકરણ $y = 0$ એ વાસ્તવિક અક્ષ દર્શાવે છે.

(A) ધારો કે $z = x + iy$. તો $\frac{z + i}{z + 2} = \frac{x + i(y + 1)}{(x + 2) + iy}$.
છેદના અનુબદ્ધ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$\frac{[x + i(y + 1)][(x + 2) - iy]}{(x + 2)^2 + y^2} = \frac{x(x + 2) + y(y + 1) + i[(y + 1)(x + 2) - xy]}{(x + 2)^2 + y^2}$.
પદ શુદ્ધ કાલ્પનિક હોવા માટે,વાસ્તવિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$x(x + 2) + y(y + 1) = 0 \implies x^2 + 2x + y^2 + y = 0$.
આ વર્તુળનું સમીકરણ છે $x^2 + y^2 + 2x + y = 0$.
કેન્દ્ર $(-1, -1/2)$ છે અને ત્રિજ્યા $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + (-1/2)^2 - 0} = \sqrt{1 + 1/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ છે.
આમ,બિંદુપથ $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $|z + 1| = \sqrt{2} |z - 1|$ છે.
ધારો કે $z = x + iy$. આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$|(x + 1) + iy| = \sqrt{2} |(x - 1) + iy|$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x + 1)^2 + y^2 = 2((x - 1)^2 + y^2)$ મળે.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + 2x + 1 + y^2 = 2(x^2 - 2x + 1 + y^2)$.
$x^2 + 2x + 1 + y^2 = 2x^2 - 4x + 2 + 2y^2$.
પદોને એક બાજુ ગોઠવતા: $x^2 + y^2 - 6x + 1 = 0$.
આ વર્તુળનું સામાન્ય સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
તેથી,બિંદુપથ એક વર્તુળ છે.

(B) આપેલ છે $\left| \frac{z - a}{z + \overline{a}} \right| = 1$.
આનો અર્થ છે કે $|z - a| = |z + \overline{a}|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|z - a|^2 = |z + \overline{a}|^2$.
ગુણધર્મ $|w|^2 = w \cdot \overline{w}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(z - a)(\overline{z} - \overline{a}) = (z + \overline{a})(\overline{z} + a)$.
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$z\overline{z} - z\overline{a} - a\overline{z} + a\overline{a} = z\overline{z} + za + \overline{a}\overline{z} + \overline{a}a$.
બંને બાજુથી $z\overline{z}$ અને $a\overline{a}$ દૂર કરતા:
$-z\overline{a} - a\overline{z} = za + \overline{a}\overline{z}$.
પદોને ગોઠવતા:
$za + z\overline{a} + a\overline{z} + \overline{a}\overline{z} = 0$.
$(z + \overline{z})(a + \overline{a}) = 0$.
કારણ કે $a + \overline{a} = 2\text{Re}(a) \neq 0$,તેથી $z + \overline{z} = 0$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $z = x + iy$,તો $z + \overline{z} = (x + iy) + (x - iy) = 2x = 0$.
આમ,$x = 0$,જે $y$-અક્ષનું સમીકરણ છે.

(C) આપેલ અસમતા $|z - 1| + |z + 1| \le 4$ છે.
આ $|z - z_1| + |z - z_2| \le 2a$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $z_1 = 1$ અને $z_2 = -1$ છે.
નાભિઓ $z_1$ અને $z_2$ વચ્ચેનું અંતર $2c = |1 - (-1)| = 2$ છે,તેથી $c = 1$.
કોઈપણ બિંદુ $z$ થી નાભિઓ સુધીના અંતરનો સરવાળો $2a = 4$ છે,તેથી $a = 2$.
$2a > 2c$ હોવાથી,આ ઉપવલયનો અંદરનો ભાગ અને તેની સીમા દર્શાવે છે.
સંબંધ $b^2 = a^2 - c^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $b^2 = 2^2 - 1^2 = 3$ મળે છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે,જે $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{3} = 1$ થાય છે.
આમ,આ પ્રદેશ ઉપવલયનો અંદરનો ભાગ અને તેની સીમા છે.

(B) ધારો કે $z = x + iy$. તો $\frac{z - 1}{z + 1} = \frac{(x - 1) + iy}{(x + 1) + iy}$.
છેદના અનુબદ્ધ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા,આપણને $\frac{((x - 1) + iy)((x + 1) - iy)}{(x + 1)^2 + y^2} = \frac{(x^2 + y^2 - 1) + i(2y)}{(x + 1)^2 + y^2}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\text{arg} \left( \frac{z - 1}{z + 1} \right) = \frac{\pi}{3}$,તેથી $\tan^{-1} \left( \frac{2y}{x^2 + y^2 - 1} \right) = \frac{\pi}{3}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{2y}{x^2 + y^2 - 1} = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $x^2 + y^2 - 1 = \frac{2}{\sqrt{3}}y$,અથવા $x^2 + y^2 - \frac{2}{\sqrt{3}}y - 1 = 0$ મળે છે.
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે.

(B) ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $\frac{2z + 1}{iz + 1} = \frac{2(x + iy) + 1}{i(x + iy) + 1} = \frac{(2x + 1) + 2iy}{(1 - y) + ix}$.
છેદના અનુબદ્ધ $(1 - y) - ix$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$= \frac{[(2x + 1) + 2iy][(1 - y) - ix]}{(1 - y)^2 + x^2} = \frac{(2x + 1)(1 - y) + 2xy + i[2y(1 - y) - x(2x + 1)]}{(1 - y)^2 + x^2}$.
કાલ્પનિક ભાગ $-2$ આપેલ છે:
$\frac{2y - 2y^2 - 2x^2 - x}{(1 - y)^2 + x^2} = -2$.
$2y - 2y^2 - 2x^2 - x = -2((1 - y)^2 + x^2) = -2(1 - 2y + y^2 + x^2) = -2 + 4y - 2y^2 - 2x^2$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$2y - 2y^2 - 2x^2 - x = -2 + 4y - 2y^2 - 2x^2$.
$-x - 2y = -2$,જે $x + 2y - 2 = 0$ માં પરિણમે છે.
આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ છે.

(A) ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $x = \lambda + 3$ અને $y = \sqrt{5 - \lambda^2}$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$\lambda = x - 3$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $y^2 = 5 - (x - 3)^2$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(x - 3)^2 + y^2 = 5$ મળે છે.
આ $3, 0$ કેન્દ્ર અને $\sqrt{5}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $|z - 3i| = 2$ છે.
ધારો કે $z = x + iy$.
સમીકરણમાં $z$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $|x + iy - 3i| = 2$ મળે છે,જે $|x + i(y - 3)| = 2$ તરીકે લખી શકાય.
સંકર સંખ્યા $a + ib$ નું માન $\sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
તેથી,$\sqrt{x^2 + (y - 3)^2} = 2$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $x^2 + (y - 3)^2 = 4$ મળે છે.
આ $(0, 3)$ કેન્દ્ર અને $2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે.
તેથી,બિંદુપથ એક વર્તુળ છે.

(C) આપેલ છે $|z - zi| = 1$.
$z = x + iy$ મૂકતા:
$|x + iy - i(x + iy)| = 1$
$|x + iy - ix - i^2y| = 1$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$|x + iy - ix + y| = 1$
$|(x + y) + i(y - x)| = 1$
માનાંક લેતા:
$\sqrt{(x + y)^2 + (y - x)^2} = 1$
$(x + y)^2 + (y - x)^2 = 1$
$(x^2 + y^2 + 2xy) + (y^2 + x^2 - 2xy) = 1$
$2x^2 + 2y^2 = 1$
$x^2 + y^2 = \frac{1}{2}$
આ કેન્દ્ર $(0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે.
તેથી,$z$ એક વર્તુળ પર છે.

(C) આપેલ છે કે $\left| \frac{z - 1}{z - i} \right| = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $|z - 1| = |z - i|$.
ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $|(x - 1) + iy| = |x + i(y - 1)|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(x - 1)^2 + y^2 = x^2 + (y - 1)^2$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા,$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1$.
સાદું રૂપ આપતા,$-2x = -2y$,જે $x = y$ અથવા $x - y = 0$ આપે છે.
આ એક સીધી રેખાનું સમીકરણ છે.

(B) ધારો કે $z = x + iy$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$.
તેથી $z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$.
$z^2$ નો વાસ્તવિક ભાગ $\text{Re}(z^2) = x^2 - y^2$ છે.
આપેલ છે કે $\text{Re}(z^2) = 1$,તેથી $x^2 - y^2 = 1$.
આ એક લંબ અતિવલયનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે $z = x + iy$.
આપેલ સમીકરણ: $|z - 1| = |z + i|$.
$z = x + iy$ મૂકતા:
$|x + iy - 1| = |x + iy + i|$
$|(x - 1) + iy| = |x + i(y + 1)|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x - 1)^2 + y^2 = x^2 + (y + 1)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 + 2y + 1$
$-2x = 2y$
$x + y = 0$
આ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $-1$ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા છે.

(B) આપેલ અસમતા: $\log_{\sqrt{3}} \left( \frac{|z|^2 - |z| + 1}{2 + |z|} \right) < 2$
અહીં આધાર $\sqrt{3} > 1$ હોવાથી,અસમતાની દિશા બદલાશે નહીં:
$\frac{|z|^2 - |z| + 1}{2 + |z|} < (\sqrt{3})^2$
$\frac{|z|^2 - |z| + 1}{2 + |z|} < 3$
$|z|^2 - |z| + 1 < 6 + 3|z|$
$|z|^2 - 4|z| - 5 < 0$
ધારો કે $t = |z|$,જ્યાં $t \ge 0$. તેથી $t^2 - 4t - 5 < 0$.
$(t - 5)(t + 1) < 0$
આ સૂચવે છે કે $-1 < t < 5$.
કારણ કે $t = |z| \ge 0$,તેથી $0 \le |z| < 5$.
આમ,$z$ નો બિંદુપથ $|z| < 5$ છે.

(A) આપેલ છે કે $|z - 2 + i| = |z - 3 - i|$.
$z = x + iy$ મૂકતા:
$|(x - 2) + i(y + 1)| = |(x - 3) + i(y - 1)|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = (x - 3)^2 + (y - 1)^2$
વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1$
$x^2$ અને $y^2$ ને બંને બાજુથી દૂર કરતા:
$-4x + 2y + 5 = -6x - 2y + 10$
પદોને ગોઠવતા:
$2x + 4y - 5 = 0$
આમ,$z$ નો બિંદુપથ $2x + 4y - 5 = 0$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $|iz - 1| + |z - i| = 2$
$|i(z - 1/i)| + |z - i| = 2$
$|i(z + i)| + |z - i| = 2$
$|i| |z + i| + |z - i| = 2$
$|i| = 1$ હોવાથી,આપણને $|z - (-i)| + |z - i| = 2$ મળે છે.
આ $|z - z_1| + |z - z_2| = 2a$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $z_1 = -i$ અને $z_2 = i$ છે.
$z_1$ અને $z_2$ વચ્ચેનું અંતર $|z_2 - z_1| = |i - (-i)| = |2i| = 2$ છે.
બે નિશ્ચિત બિંદુઓ $z_1$ અને $z_2$ થી $z$ ના અંતરનો સરવાળો તે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર જેટલો હોવાથી $(|z - z_1| + |z - z_2| = |z_1 - z_2|)$,$z$ નો બિંદુપથ $z_1$ અને $z_2$ ને જોડતો રેખાખંડ છે.
આમ,બિંદુપથ એક સીધી રેખા છે.

(A) આપેલ છે $arg\left( \frac{z - 1}{z + 1} \right) = k$. ધારો કે $z = x + iy$.
તેથી $arg\left( \frac{(x - 1) + iy}{(x + 1) + iy} \right) = k$.
$arg(z_1/z_2) = arg(z_1) - arg(z_2)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$arg((x - 1) + iy) - arg((x + 1) + iy) = k$.
આ સૂચવે છે કે $\tan^{-1}\left( \frac{y}{x - 1} \right) - \tan^{-1}\left( \frac{y}{x + 1} \right) = k$.
$\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left( \frac{A - B}{1 + AB} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\tan^{-1}\left( \frac{\frac{y}{x - 1} - \frac{y}{x + 1}}{1 + \frac{y^2}{x^2 - 1}} \right) = k$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{y(x + 1) - y(x - 1)}{x^2 - 1 + y^2} = \tan k$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{2y}{x^2 + y^2 - 1} = \tan k$ અથવા $x^2 + y^2 - 1 = 2y \cot k$ થાય છે.
ગોઠવણી કરતા $x^2 + y^2 - 2y \cot k - 1 = 0$ મળે છે.
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે જેનું કેન્દ્ર $(0, \cot k)$ છે,જે $y$-અક્ષ પર આવેલું છે.

(B) આપેલ છે $|z^2 - 1| = |z|^2 + 1$.
ધારો કે $z = x + iy$. તેથી $|z|^2 = x^2 + y^2$.
સમીકરણમાં $z = x + iy$ મૂકતા:
$|(x + iy)^2 - 1| = x^2 + y^2 + 1$
$|(x^2 - y^2 - 1) + i(2xy)| = x^2 + y^2 + 1$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x^2 - y^2 - 1)^2 + (2xy)^2 = (x^2 + y^2 + 1)^2$
$(x^2 - y^2 - 1)^2 + 4x^2y^2 = (x^2 + y^2 + 1)^2$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$(x^4 + y^4 + 1 - 2x^2y^2 - 2x^2 + 2y^2) + 4x^2y^2 = x^4 + y^4 + 1 + 2x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2$
$x^4 + y^4 + 1 + 2x^2y^2 - 2x^2 + 2y^2 = x^4 + y^4 + 1 + 2x^2y^2 + 2x^2 + 2y^2$
બંને બાજુથી સમાન પદો બાદ કરતા:
$-2x^2 = 2x^2$
$4x^2 = 0 \implies x = 0$.
$x = 0$ હોવાથી,સંકર સંખ્યા $z = 0 + iy = iy$ એ કાલ્પનિક અક્ષ પર આવેલી છે.

(B) આપેલ છે $\omega = \frac{1 - iz}{z - i}$ અને $|\omega| = 1$.
$|\frac{1 - iz}{z - i}| = 1$
$|1 - iz| = |z - i|$
$z = x + iy$ મૂકતા:
$|1 - i(x + iy)| = |x + iy - i|$
$|1 - ix + y| = |x + i(y - 1)|$
$|(1 + y) - ix| = |x + i(y - 1)|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(1 + y)^2 + (-x)^2 = x^2 + (y - 1)^2$
$1 + y^2 + 2y + x^2 = x^2 + y^2 + 1 - 2y$
$2y = -2y$
$4y = 0 \implies y = 0$.
તેથી $z = x + iy$ માં $y = 0$ હોવાથી $z = x$,જે દર્શાવે છે કે $z$ વાસ્તવિક અક્ષ પર છે.

(A) આપેલ સમીકરણ: $\frac{|z - 5i|}{|z + 5i|} = 12$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{|z - 5i|^2}{|z + 5i|^2} = 144$
$z = x + iy$ મુકતા: $\frac{x^2 + (y - 5)^2}{x^2 + (y + 5)^2} = 144$
$x^2 + y^2 - 10y + 25 = 144(x^2 + y^2 + 10y + 25)$
$143x^2 + 143y^2 + 1450y + 3575 = 0$
આ સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ સ્વરૂપનું છે,જે વર્તુળ દર્શાવે છે.

(B) આપેલ છે $\arg\left( \frac{z - 2}{z + 2} \right) = \frac{\pi}{6}$.
$z = x + iy$ મૂકતા:
$\arg\left( \frac{(x - 2) + iy}{(x + 2) + iy} \right) = \frac{\pi}{6}$.
$\arg(z_1/z_2) = \arg(z_1) - \arg(z_2)$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}\left( \frac{y}{x - 2} \right) - \tan^{-1}\left( \frac{y}{x + 2} \right) = \frac{\pi}{6}$.
$\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left( \frac{A - B}{1 + AB} \right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1}\left( \frac{\frac{y}{x - 2} - \frac{y}{x + 2}}{1 + \frac{y^2}{x^2 - 4}} \right) = \frac{\pi}{6}$.
$\frac{4y}{x^2 + y^2 - 4} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$x^2 + y^2 - 4\sqrt{3}y - 4 = 0$.
આ એક વર્તુળનું સમીકરણ છે.

(A) આપેલ છે કે $|w| = 1$,તેથી $\left| \frac{z}{z - \frac{i}{3}} \right| = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $|z| = |z - \frac{i}{3}|$.
ધારો કે $z = x + iy$. તો $|x + iy| = |x + i(y - \frac{1}{3})|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 + y^2 = x^2 + (y - \frac{1}{3})^2$.
$x^2 + y^2 = x^2 + y^2 - \frac{2}{3}y + \frac{1}{9}$.
$0 = -\frac{2}{3}y + \frac{1}{9}$ $\Rightarrow \frac{2}{3}y = \frac{1}{9}$ $\Rightarrow y = \frac{1}{6}$.
આ સંકર સમતલમાં એક આડી સીધી રેખા $y = \frac{1}{6}$ દર્શાવે છે.
તેથી,$z$ એક સીધી રેખા પર આવેલું છે.

(C) આપેલ સમીકરણ $|z - (-8)| + |z - 8| = 16$ છે.
આ $|z - z_1| + |z - z_2| = 2a$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $z_1 = -8$ અને $z_2 = 8$.
બે નિશ્ચિત બિંદુઓ $z_1$ અને $z_2$ વચ્ચેનું અંતર $|8 - (-8)| = 16$ છે.
જ્યારે બિંદુ $z$ નું બે નિશ્ચિત બિંદુઓથી અંતરનો સરવાળો તે બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતર જેટલો હોય,ત્યારે તે બિંદુઓ વચ્ચેનો રેખાખંડ દર્શાવે છે.
તેથી,$z$ એ $-8$ અને $8$ ને જોડતા રેખાખંડ પર આવેલું છે.

(C) કિરણો $PQ$ અને $PR$ નું શિરોબિંદુ $P(-1, 0)$ પર છે,જે સંકર સંખ્યા $z_0 = -1$ ને અનુરૂપ છે.
કિરણ $PQ$ એ $(-1 + \sqrt{2}, \sqrt{2}i)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી વાસ્તવિક અક્ષ સાથે તેનો ખૂણો $\arg(z + 1) = \tan^{-1}(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4}$ છે.
કિરણ $PR$ એ $(-1 + \sqrt{2}, -\sqrt{2}i)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનો ખૂણો $\arg(z + 1) = -\frac{\pi}{4}$ છે.
છાયાંકિત પ્રદેશ આ કિરણોની વચ્ચે આવેલો છે,તેથી $|\arg(z + 1)| < \frac{\pi}{4}$.
ચાપ $QAR$ એ $P(-1, 0)$ પર કેન્દ્રિત વર્તુળનો ભાગ છે. $P(-1, 0)$ થી $A(1, 0)$ સુધીનું અંતર $|1 - (-1)| = 2$ છે. આમ,વર્તુળની ત્રિજ્યા $2$ છે.
છાયાંકિત પ્રદેશ આ વર્તુળની બહાર છે,તેથી $|z - (-1)| > 2$,એટલે કે $|z + 1| > 2$.
તેથી,શરતો $|z + 1| > 2$ અને $|\arg(z + 1)| < \frac{\pi}{4}$ છે.

(B) સમીકરણ $|z - 1| = |z - 2| = |z - i|$ એ $z_1 = 1$,$z_2 = 2$,અને $z_3 = i$ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર દર્શાવે છે.
$(i)$ $|z - 1| = |z - i|$ એ $1$ અને $i$ ને જોડતા રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક છે,જે રેખા $y = x$ છે.
(ii) $|z - 1| = |z - 2|$ એ $1$ અને $2$ ને જોડતા રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક છે,જે રેખા $x = 1.5$ છે.
(iii) $|z - 2| = |z - i|$ એ $2$ અને $i$ ને જોડતા રેખાખંડનો લંબદ્વિભાજક છે,જે રેખા $4x - 2y = 3$ છે.
આ ત્રણ રેખાઓનું છેદબિંદુ એ પરિકેન્દ્ર છે,જે ત્રિકોણની ભૂમિતિ સાથે સંબંધિત છે.

(A) ધારો કે $z = x + iy$.
$|z - 1| = |z - 2|$ પરથી,આપણને મળે છે $|x + iy - 1| = |x + iy - 2|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x - 1)^2 + y^2 = (x - 2)^2 + y^2$.
$x^2 - 2x + 1 = x^2 - 4x + 4$,જેનું સાદું રૂપ $2x = 3$ થાય છે,તેથી $x = \frac{3}{2}$.
$|z - 1| = |z - i|$ પરથી,આપણને મળે છે $|x + iy - 1| = |x + iy - i|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x - 1)^2 + y^2 = x^2 + (y - 1)^2$.
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = x^2 + y^2 - 2y + 1$,જેનું સાદું રૂપ $-2x = -2y$ થાય છે,તેથી $x = y$.
$x = \frac{3}{2}$ ને $x = y$ માં મૂકતા,આપણને $y = \frac{3}{2}$ મળે છે.
આમ,માત્ર એક જ ઉકેલ $z = \frac{3}{2} + i\frac{3}{2}$ છે.

(B) આ સમીકરણ $|z - z_1| + |z - z_2| = 2a$ સ્વરૂપનું છે,જ્યાં $z_1 = 2 + 3i$ અને $z_2 = -2 + 6i$ છે.
આ ઉપવલય દર્શાવે તે માટે શરત $|z_1 - z_2| < 2a$ નું પાલન થવું જોઈએ.
અહીં,$2a = 4$ છે.
બે નિશ્ચિત બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર શોધો:
$|z_1 - z_2| = |(2 + 3i) - (-2 + 6i)| = |4 - 3i| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$.
બે બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $(5)$ એ આપેલ અંતરોના સરવાળા $(4)$ કરતા વધારે હોવાથી,ત્રિકોણની અસમતા $|z - z_1| + |z - z_2| \ge |z_1 - z_2|$ નું ઉલ્લંઘન થાય છે ($4 \ge 5$ ખોટું છે).
તેથી,એવું કોઈ બિંદુ $z$ નથી જે આપેલ સમીકરણનું સમાધાન કરે.
આમ,$P(z)$ નો બિંદુપથ $\phi$ છે.

(A) આપેલ સંકર સંખ્યા $z = \sqrt{2} - i\sqrt{2}$ છે.
સંકર સંખ્યા $z$ ને ઉગમબિંદુની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં $\alpha$ ખૂણે ફેરવતા તે $z \cdot e^{i\alpha}$ થાય છે.
અહીં,$\alpha = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$.
ધારો કે નવું સ્થાન $z_1 = z \cdot e^{i\pi/4}$ છે.
$z_1 = (\sqrt{2} - i\sqrt{2}) \cdot (\cos 45^{\circ} + i \sin 45^{\circ})$.
$z_1 = (\sqrt{2} - i\sqrt{2}) \cdot (\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}})$.
$z_1 = (1 + i) - (i - 1) = 2$.
આમ,$z_1 = 2 + 0i$,જે યામ $(2, 0)$ દર્શાવે છે.

(B) આપેલ છે: $\cos \alpha + \cos \beta + \cos \gamma = 0$ $(i)$ અને $\sin \alpha + \sin \beta + \sin \gamma = 0$ $(ii)$.
ધારો કે $a = \cos \alpha + i\sin \alpha$,$b = \cos \beta + i\sin \beta$,અને $c = \cos \gamma + i\sin \gamma$.
તેથી $a + b + c = 0$ $(iii)$.
તે જ રીતે,$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ હોવાથી $ab + bc + ca = 0$ $(iv)$.
$(iii)$ નો વર્ગ કરતા,$a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca) = 0$.
$(iv)$ નો ઉપયોગ કરતા,$a^2 + b^2 + c^2 = 0$.
આથી,$(\cos 2\alpha + i\sin 2\alpha) + (\cos 2\beta + i\sin 2\beta) + (\cos 2\gamma + i\sin 2\gamma) = 0$.
વાસ્તવિક ભાગોને સરખાવતા: $\cos 2\alpha + \cos 2\beta + \cos 2\gamma = 0$.
$\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2 \theta$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$(1 - 2\sin^2 \alpha) + (1 - 2\sin^2 \beta) + (1 - 2\sin^2 \gamma) = 0$.
$3 - 2(\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma) = 0$.
તેથી,$\sin^2 \alpha + \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma = 3/2$.

(A) આપેલ સમીકરણ $z^n = (z + 1)^n$ માટે,આપણે લખી શકીએ કે $\left( \frac{z}{z + 1} \right)^n = 1$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{z}{z + 1}$ એ એકમનું $n$-મું મૂળ છે.
બંને બાજુ માનાંક લેતા,$\left| \frac{z}{z + 1} \right| = 1$,જેનો અર્થ છે કે $|z| = |z + 1|$.
ધારો કે $z = x + iy$. તો $|x + iy| = |x + 1 + iy|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 + y^2 = (x + 1)^2 + y^2$.
$x^2 = x^2 + 2x + 1$.
$2x + 1 = 0$,જે આપે છે $x = -1/2$.
તેથી,$\text{Re}(z) = -1/2$,જે દર્શાવે છે કે $\text{Re}(z) < 0$.

(B) હાયપરબોલિક સાઈન વિધેયની વ્યાખ્યા $\sinh(z) = -i \sin(iz)$ છે.
$z = ix$ મૂકતા,આપણને $\sinh(ix) = -i \sin(i^2 x)$ મળે છે.
$i^2 = -1$ હોવાથી,આ $\sinh(ix) = -i \sin(-x)$ બને છે.
$\sin(-x) = -\sin x$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$\sinh(ix) = -i(-\sin x) = i \sin x$ મળે છે.

(A) ત્રિકોણમિતીય વિધેયોની ઘાતાંકીય વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરતા,$\sin(z) = \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$ મળે છે.
$z = ix$ મૂકતા,$\sin(ix) = \frac{e^{i(ix)} - e^{-i(ix)}}{2i} = \frac{e^{-x} - e^x}{2i}$ મળે.
$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ હોવાથી,$\sin(ix) = \frac{-(e^x - e^{-x})}{2i} = -\frac{1}{i} \sinh x$ લખી શકાય.
અંશ અને છેદને $i$ વડે ગુણતા,$\sin(ix) = -\frac{i}{i^2} \sinh x = -\frac{i}{-1} \sinh x = i\sinh x$ મળે.
આમ,સાચું નિત્યસમ $\sin(ix) = i\sinh x$ છે.

(A) આપેલ છે કે ${\tan ^{ - 1}}(\alpha + i\beta ) = x + iy$.
બંને બાજુ ટેન્જન્ટ લેતા,$\alpha + i\beta = \tan (x + iy) \dots (i)$.
બંને બાજુ સંકર અનુબદ્ધ લેતા,$\alpha - i\beta = \tan (x - iy) \dots (ii)$.
$\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 2x = \tan [(x + iy) + (x - iy)] = \frac{\tan (x + iy) + \tan (x - iy)}{1 - \tan (x + iy) \tan (x - iy)}$.
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી કિંમતો મૂકતા:
$\tan 2x = \frac{(\alpha + i\beta ) + (\alpha - i\beta )}{1 - (\alpha + i\beta )(\alpha - i\beta )} = \frac{2\alpha }{1 - (\alpha ^2 + \beta ^2)}$.
તેથી,$2x = \tan ^{-1} \left( \frac{2\alpha }{1 - \alpha ^2 - \beta ^2} \right)$.
આમ,$x = \frac{1}{2} \tan ^{-1} \left( \frac{2\alpha }{1 - \alpha ^2 - \beta ^2} \right)$.

(D) આપેલ છે કે $a = \cos \alpha + i\sin \alpha$,$b = \cos \beta + i\sin \beta$,અને $c = \cos \gamma + i\sin \gamma$.
ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$a = e^{i\alpha}$,$b = e^{i\beta}$,અને $c = e^{i\gamma}$.
તેથી,$\frac{b}{c} = e^{i(\beta - \gamma)} = \cos(\beta - \gamma) + i\sin(\beta - \gamma)$ $(i)$.
તે જ રીતે,$\frac{c}{a} = e^{i(\gamma - \alpha)} = \cos(\gamma - \alpha) + i\sin(\gamma - \alpha)$ $(ii)$.
અને $\frac{a}{b} = e^{i(\alpha - \beta)} = \cos(\alpha - \beta) + i\sin(\alpha - \beta)$ $(iii)$.
$(i)$,$(ii)$,અને $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$\frac{b}{c} + \frac{c}{a} + \frac{a}{b} = [\cos(\beta - \gamma) + \cos(\gamma - \alpha) + \cos(\alpha - \beta)] + i[\sin(\beta - \gamma) + \sin(\gamma - \alpha) + \sin(\alpha - \beta)] = 1$.
અહીં $1 = 1 + 0i$ હોવાથી,વાસ્તવિક ભાગોને સરખાવતા:
$\cos(\beta - \gamma) + \cos(\gamma - \alpha) + \cos(\alpha - \beta) = 1$.

(A) સંકર સંખ્યાઓ માટે ત્રિકોણ અસમતા મુજબ,આપણી પાસે $|z_1| + |z_2| \ge |z_1 + z_2|$ છે.
આપેલ પદાવલિ માટે આનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $|z| + |z - 1| = |z| + |1 - z|$ મળે છે.
ત્રિકોણ અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,$|z| + |1 - z| \ge |z + (1 - z)|$.
પદાવલિનું સાદુંરૂપ આપતા,$|z + 1 - z| = |1| = 1$.
તેથી,$|z| + |z - 1|$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $1$ છે.

(A) આપેલ અસમતા $\log_{1/3}|z + 1| > \log_{1/3}|z - 1|$ છે.
અહીં આધાર $a = 1/3$ એ $0 < a < 1$ શરતનું પાલન કરે છે, તેથી લઘુગણક દૂર કરતી વખતે અસમતા ઉલટાઈ જશે:
$|z + 1| < |z - 1|$.
ધારો કે $z = x + iy$. તો $|x + iy + 1| < |x + iy - 1|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, $(x + 1)^2 + y^2 < (x - 1)^2 + y^2$.
વર્ગનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + 2x + 1 + y^2 < x^2 - 2x + 1 + y^2$.
સાદુરૂપ આપતા, $2x < -2x$, જેનો અર્થ છે $4x < 0$, અથવા $x < 0$.
કારણ કે $x = Re(z)$, તેથી બિંદુપથ $Re(z) < 0$ છે.

(C) ધારો કે $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$.
તેથી $\left| z + \frac{1}{z} \right| = a \implies \left| z + \frac{1}{z} \right|^2 = a^2$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને મળે છે $\left( r + \frac{1}{r} \right)^2 \cos^2 \theta + \left( r - \frac{1}{r} \right)^2 \sin^2 \theta = a^2$.
જે $r^2 + \frac{1}{r^2} + 2 \cos 2\theta = a^2$ માં પરિણમે છે.
$r$ ને મહત્તમ કરવા માટે,આપણે $\cos 2\theta$ ને ન્યૂનતમ બનાવવું પડે. $\cos 2\theta$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $-1$ છે.
તેથી $r^2 + \frac{1}{r^2} - 2 = a^2$,જે $(r - \frac{1}{r})^2 = a^2$ થાય છે.
આમ $r - \frac{1}{r} = a$,જેનો ઉકેલ $r = \frac{a + \sqrt{a^2 + 4}}{2}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $z_1 = 10 + 6i$ અને $z_2 = 4 + 6i$. ધારો કે $z = x + iy$.
શરત $\text{amp}\left( \frac{z - z_1}{z - z_2} \right) = \frac{\pi}{4}$ એ $z_1$ અને $z_2$ માંથી પસાર થતા વર્તુળના ચાપને દર્શાવે છે.
બિંદુઓનો પથ $\frac{(y-6)(x-4) - (y-6)(x-10)}{(x-4)(x-10) + (y-6)^2} = \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ દ્વારા મળે છે.
સાદુરૂપ આપતા,$(y-6)(x-4 - x + 10) = (x-4)(x-10) + (y-6)^2$.
$6(y-6) = x^2 - 14x + 40 + y^2 - 12y + 36$.
$x^2 - 14x + y^2 - 18y + 112 = 0$.
પૂર્ણવર્ગ બનાવવા માટે બંને બાજુ $49 + 81$ ઉમેરતા:
$(x - 7)^2 + (y - 9)^2 = 18$.
આપણે $|z - 7 - 9i| = |(x-7) + i(y-9)| = \sqrt{(x-7)^2 + (y-9)^2}$ શોધવાનું છે.
વર્તુળના સમીકરણ પરથી કિંમત મૂકતા,આપણને $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ મળે છે.

(C) નિશ્ચાયક $\left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{array}} \right| = 0$ આપેલ છે.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $-(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc) = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = 0$.
અહીં $a, b, c$ એ શૂન્યતર સંકર સંખ્યાઓના માનાંક હોવાથી $a, b, c > 0$,તેથી $a+b+c \neq 0$.
આમ,$a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca = 0$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{2}((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) = 0$ થાય છે.
આથી $a=b=c$ મળે છે.
સંકર સંખ્યાઓના ભૌમિતિક ગુણધર્મો અને આપેલા વિકલ્પો મુજબ,પદાવલિ $arg{\left( {\frac{{{z_3} - {z_1}}}{{{z_2} - {z_1}}}} \right)^2}$ માં પરિણમે છે.

(D) ધારો કે $z = r(\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)$ અને $w = r(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$,જ્યાં $|z| = |w| = r$ છે.
આપેલ છે કે $arg(z) + arg(w) = \theta_1 + \theta_2 = \pi$,તેથી $\theta_1 = \pi - \theta_2$.
આ કિંમત $z$ માં મૂકતા:
$z = r(\cos(\pi - \theta_2) + i \sin(\pi - \theta_2))$
$z = r(-\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$
કારણ કે $\overline{w} = r(\cos \theta_2 - i \sin \theta_2)$,તેથી $-\overline{w} = r(-\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$ થાય.
આમ,$z = -\overline{w}$.

(B) આપેલ સંબંધો $c - a = r(b - a)$ અને $w - u = r(v - u)$ છે.
ધારો કે $r = \lambda e^{i\alpha}$,જ્યાં $\lambda = |r|$ અને $\alpha = \arg(r)$.
પ્રથમ સંબંધ પરથી,$c - a = \lambda e^{i\alpha}(b - a)$. માનાંક લેતા,$|c - a| = |r| |b - a|$,જે સૂચવે છે કે $AC = |r| AB$.
કોણ લેતા,$\arg(c - a) - \arg(b - a) = \arg(r) = \alpha$,જે સૂચવે છે કે $\angle CAB = \alpha$.
તે જ રીતે,બીજા સંબંધ $w - u = r(v - u)$ પરથી,આપણને $DF = |r| DE$ અને $\angle FDE = \alpha$ મળે છે.
કારણ કે $\frac{AC}{AB} = \frac{DF}{DE} = |r|$ અને $\angle CAB = \angle FDE = \alpha$,તેથી $SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,ત્રિકોણ સમરૂપ છે.