Parabola Questions in Hindi

(B) दिया गया परवलय का समीकरण $(x-2)^2+(y-3)^2=\frac{1}{25}(3x-4y+7)^2$ है।
यहाँ नाभि $S = (2, 3)$ है और नियता का समीकरण $3x-4y+7=0$ है।
नाभि से नियता की लंबवत दूरी $d = \frac{|3(2)-4(3)+7|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \frac{|6-12+7|}{5} = \frac{1}{5}$ है।
परवलय के लिए नाभिलंब की लंबाई $2d$ होती है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $= 2 \times \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$.

(A) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x=t^2+t+1$ और $y=t^2-t+1$ हैं।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $x+y = 2t^2+2 = 2(t^2+1)$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $x-y = 2t$,जिसका अर्थ है $t = \frac{x-y}{2}$.
$t$ का मान योग समीकरण में रखने पर: $x+y = 2\left(\left(\frac{x-y}{2}\right)^2+1\right)$.
$x+y = 2\left(\frac{(x-y)^2}{4}+1\right) = \frac{(x-y)^2}{2}+2$.
$2$ से गुणा करने पर: $2(x+y) = (x-y)^2+4$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(x-y)^2 = 2(x+y-2)$.
यह $Y^2 = 4aX$ के रूप में है,जहाँ $Y = x-y$,$X = x+y-2$,और $4a = 2$.
अतः नाभिलंब की लंबाई $4a = 2$ है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2-6x+4y+\lambda=0$ है।
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x-3)^2-9+4y+\lambda=0$,जो $(x-3)^2 = -4(y - \frac{9-\lambda}{4})$ में सरल होता है।
इसे मानक रूप $(x-h)^2 = -4a(y-k)$ से तुलना करने पर,$h=3$,$k=\frac{9-\lambda}{4}$,और $a=1$ प्राप्त होता है।
इस परवलय की नियता $y = k+a$ है।
चूंकि नियता $y+1=0$ अर्थात $y=-1$ दी गई है,इसलिए $k+a = -1$ रखने पर।
$k$ और $a$ का मान रखने पर: $\frac{9-\lambda}{4} + 1 = -1$.
$\frac{9-\lambda}{4} = -2 \implies 9-\lambda = -8 \implies \lambda = 17$.
नाभि $(h, k-a) = (3, -2-1) = (3, -3)$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $x^2+8x+12y+4=0$ है।
$x$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$x^2+8x = -12y-4$
$(x+4)^2 - 16 = -12y-4$
$(x+4)^2 = -12y+12$
$(x+4)^2 = -12(y-1)$।
इसे मानक रूप $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ से तुलना करने पर,हमें $4a = -12$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = -3$।
शीर्ष $(h, k) = (-4, 1)$ है।
नीचे की ओर खुलने वाले परवलय के लिए नियता का समीकरण $y = k - a$ होता है।
मान रखने पर: $y = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4$।
अतः,नियता का समीकरण $y-4=0$ है।

(D) परवलय की नाभि $(0, -a) = (0, -3)$ है,जिसका अर्थ है $a = 3$ है।
नियता $y = a = 3$ है।
चूंकि नाभि $y$-अक्ष पर स्थित है और मूलबिंदु के नीचे है,इसलिए परवलय नीचे की ओर खुलता है।
ऐसे परवलय का मानक समीकरण $x^2 = -4ay$ होता है।
समीकरण में $a = 3$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x^2 = -4 \times 3y$
$x^2 = -12y$

(D) परवलय का शीर्ष मूल बिंदु $(0,0)$ पर है और इसकी अक्ष $y$-अक्ष के अनुदिश है।
अतः,परवलय का समीकरण $x^2 = 4ay$ या $x^2 = -4ay$ के रूप का है।
चूंकि परवलय $(6,-2)$ से होकर गुजरता है,जो चौथे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए परवलय नीचे की ओर खुलता है।
अतः,समीकरण $x^2 = -4ay$ है।
बिंदु $(6,-2)$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(6)^2 = -4a(-2)$
$36 = 8a$
$a = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$.
$a = \frac{9}{2}$ को वापस समीकरण $x^2 = -4ay$ में रखने पर:
$x^2 = -4 \left(\frac{9}{2}\right)y$
$x^2 = -18y$.

(A) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x=5t^2+2$ और $y=10t+4$ हैं।
दूसरे समीकरण से,$t = \frac{y-4}{10}$ प्राप्त होता है।
$t$ का मान पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x-2 = 5\left(\frac{y-4}{10}\right)^2 = 5\left(\frac{(y-4)^2}{100}\right) = \frac{(y-4)^2}{20}$।
अतः,$(y-4)^2 = 20(x-2)$।
इसे मानक रूप $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ से तुलना करने पर,$h=2, k=4$ और $4a=20$ प्राप्त होता है,जिससे $a=5$ मिलता है।
परवलय $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ की नाभि $(h+a, k)$ होती है।
मान रखने पर,नाभि $(2+5, 4) = (7,4)$ प्राप्त होती है।

(B) परवलय के नाभिलंब और अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु परवलय की नाभि (focus) होती है।
दिया गया समीकरण: $y^2+4x+2y-8=0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $y^2+2y = -4x+8$.
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $y^2+2y+1 = -4x+8+1$.
$(y+1)^2 = -4x+9$.
$(y+1)^2 = -4\left(x-\frac{9}{4}\right)$.
इसे मानक रूप $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ से तुलना करने पर,हमें $h = \frac{9}{4}$,$k = -1$,और $4a = -4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = -1$.
नाभि $(h+a, k)$ द्वारा दी जाती है।
नाभि $= \left(\frac{9}{4}-1, -1\right) = \left(\frac{5}{4}, -1\right)$.

(C) परवलय का शीर्ष $V = (2,0)$ है।
नियता $Y$-अक्ष है,जो रेखा $x = 0$ है।
चूँकि शीर्ष,नाभि $F(a, 0)$ और नियता पर स्थित बिंदु $D(0, 0)$ (जहाँ परवलय का अक्ष नियता को काटता है) का मध्य-बिंदु होता है,इसलिए:
$V = \left( \frac{a + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = (2, 0)$
$\frac{a}{2} = 2 \implies a = 4$
अतः,नाभि $(4, 0)$ है।

(B) दिया गया परवलय है:
$y^2 - x + 4y + 5 = 0$
$y^2 + 4y = x - 5$
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए दोनों पक्षों में $4$ जोड़ने पर:
$y^2 + 4y + 4 = x - 5 + 4$
$(y + 2)^2 = (x - 1)$
इसे मानक रूप $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
शीर्ष $(h, k) = (1, -2)$ और $4a = 1$,इसलिए $a = \frac{1}{4}$।
$(y - k)^2 = 4a(x - h)$ के रूप वाले परवलय के लिए नियता का समीकरण $X = -a$ होता है,जहाँ $X = x - h$ है।
मान रखने पर:
$x - 1 = -\frac{1}{4}$
$x = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
$4x = 3$
$4x - 3 = 0$

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $169\{(x-1)^2+(y-3)^2\}=(5x-12y+17)^2$ है।
$169$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x-1)^2+(y-3)^2 = \left(\frac{5x-12y+17}{13}\right)^2$.
यह $SP^2 = PM^2$ के रूप में है,जहाँ $S$ नाभि $(1, 3)$ है और $PM$ बिंदु $P(x, y)$ से नियता $5x-12y+17=0$ की लंबवत दूरी है।
नाभि और नियता के बीच की दूरी $2a$ है।
$2a = \left|\frac{5(1)-12(3)+17}{\sqrt{5^2+(-12)^2}}\right| = \left|\frac{5-36+17}{13}\right| = \left|\frac{-14}{13}\right| = \frac{14}{13}$.
नाभिलंब की लंबाई $4a$ है।
चूँकि $2a = \frac{14}{13}$,इसलिए $4a = 2 \times \frac{14}{13} = \frac{28}{13}$.

(A) नियता $x = -5$ है और शीर्ष $V(-3, 0)$ है।
चूंकि नियता शीर्ष के बाईं ओर है,परवलय दाईं ओर खुलता है।
शीर्ष से नियता की दूरी $a = |-3 - (-5)| = 2$ है।
परवलय का मानक समीकरण $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ है।
मान रखने पर,$(y-0)^2 = 4(2)(x - (-3))$
$y^2 = 8(x+3)$

(D) दिया गया परवलय का समीकरण: $5x^2 = -12y$।
$5$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है $x^2 = -\frac{12}{5}y$।
इसे मानक रूप $x^2 = 4ay$ से तुलना करने पर,$4a = -\frac{12}{5}$।
$a$ का मान ज्ञात करने पर,$a = -\frac{12}{5 \times 4} = -\frac{3}{5}$।
$x^2 = 4ay$ रूप के परवलय की नाभि $(0, a)$ होती है।
$a$ का मान रखने पर,नाभि $\left(0, -\frac{3}{5}\right)$ है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $(x+3)^2 = 2(y-5)$ है।
इसे मानक रूप $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ से तुलना करने पर,शीर्ष $(h, k) = (-3, 5)$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$4a = 2$,जिसका अर्थ है $a = 1/2$ है।
$(x-h)^2 = 4a(y-k)$ रूप वाले परवलय की नाभि $(h, k+a)$ होती है।
मान रखने पर,नाभि $(-3, 5 + 1/2) = (-3, 11/2)$ प्राप्त होती है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) परवलय के लिए,अर्ध-नाभिलंब की लंबाई नाभीय जीवा के खंडों का हरात्मक माध्य (harmonic mean) होती है।
माना $l$ अर्ध-नाभिलंब है। तब,$\frac{1}{PS} + \frac{1}{QS} = \frac{2}{l}$.
दिया है $PS = 3$ और $QS = 2$,अतः $\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{2}{l}$.
$\frac{2+3}{6} = \frac{2}{l} \implies \frac{5}{6} = \frac{2}{l}$.
$l = \frac{12}{5}$.
नाभिलंब की लंबाई $2l = 2 \times \frac{12}{5} = \frac{24}{5}$ है।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण $2 y^2+25 x=0$ है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2 y^2 = -25 x$ प्राप्त होता है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $y^2 = -\frac{25}{2} x$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना परवलय के मानक रूप $y^2 = -4 a x$ से करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$4 a = \frac{25}{2}$
$a = \frac{25}{8}$
परवलय $y^2 = -4 a x$ के लिए नियता का समीकरण $x = a$ होता है।
$a$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x = \frac{25}{8}$ प्राप्त होता है।
इसे $8 x = 25$ या $8 x - 25 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $20(x^2+y^2-6x-2y+10) = (4x-2y-5)^2$ है।
$20$ से भाग देने पर,हमें $(x-3)^2 + (y-1)^2 = \left(\frac{4x-2y-5}{\sqrt{20}}\right)^2$ प्राप्त होता है।
यह $SP^2 = PM^2$ के रूप में है,जहाँ $S(3,1)$ नाभि है और $4x-2y-5=0$ नियता (directrix) है।
नाभि से नियता की दूरी $2a = \frac{|4(3)-2(1)-5|}{\sqrt{4^2+(-2)^2}} = \frac{|12-2-5|}{\sqrt{16+4}} = \frac{5}{\sqrt{20}} = \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।
नाभिलंब की लंबाई $4a = 2(2a) = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$ है।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2-8x-4y-12=0$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(y^2-4y+4)-4-8x-12=0$
$(y-2)^2=8x+16$
$(y-2)^2=8(x+2)$।
इसे मानक रूप $(y-k)^2=4a(x-h)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $h=-2, k=2$ और $4a=8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a=2$।
$(y-k)^2=4a(x-h)$ के लिए प्राचलिक समीकरण $x=h+at^2$ और $y=k+2at$ हैं।
मान रखने पर,हमें $x=-2+2t^2$ और $y=2+2(2)t$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x=-2+2t^2$ और $y=2+4t$ हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया परवलय: $y^2+6y-2x+5=0$
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$y^2+6y+9 = 2x-5+9$
$(y+3)^2 = 2(x+2)$
$(y-k)^2 = 4a(x-h)$ से तुलना करने पर:
शीर्ष $(h, k) = (-2, -3)$। यह $(F)$ से मेल खाता है।
$4a = 2 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$।
नाभि $(h+a, k) = (-2+\frac{1}{2}, -3) = (-\frac{3}{2}, -3)$। यह $(A)$ से मेल खाता है।
नियता का समीकरण: $x = h-a$ $\Rightarrow x = -2-\frac{1}{2}$ $\Rightarrow x = -\frac{5}{2}$ $\Rightarrow 2x+5=0$। यह $(C)$ से मेल खाता है।
अक्ष का समीकरण: $y = k \Rightarrow y+3=0$। यह $(E)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(I-F, II-A, III-C, IV-E)$ है।

(C) क्षैतिज अक्ष वाले परवलय का समीकरण $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ है।
दिए गए बिंदुओं $(-2, 1)$,$(1, 2)$ और $(-1, 3)$ को समीकरण में रखने पर:
$(-2, 1)$ के लिए: $(1 - k)^2 = 4a(-2 - h) \implies 1 - 2k + k^2 = -8a - 4ah$ $(i)$
$(1, 2)$ के लिए: $(2 - k)^2 = 4a(1 - h) \implies 4 - 4k + k^2 = 4a - 4ah$ (ii)
$(-1, 3)$ के लिए: $(3 - k)^2 = 4a(-1 - h) \implies 9 - 6k + k^2 = -4a - 4ah$ (iii)
$(i)$ में से (ii) घटाने पर: $-3 + 2k = -12a \implies 2k = 3 - 12a$ (iv)
(ii) में से (iii) घटाने पर: $-5 + 2k = 8a$ $(v)$
(iv) को $(v)$ में रखने पर: $(3 - 12a) - 5 = 8a \implies -2 = 20a \implies a = -\frac{1}{10}$.
नाभिलंब की लंबाई $|4a| = |4 \times -\frac{1}{10}| = \frac{2}{5}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $y^2+6y-2x+5=0$
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(y^2+6y+9) - 9 - 2x + 5 = 0$
$(y+3)^2 = 2x + 4$
$(y+3)^2 = 2(x+2)$
$(y-k)^2 = 4a(x-h)$ से तुलना करने पर,शीर्ष $V(h, k) = (-2, -3)$ प्राप्त होता है। यह $F$ से मेल खाता है।
यहाँ,$4a = 2$,इसलिए $a = \frac{1}{2}$।
नाभि $(h+a, k) = (-2 + \frac{1}{2}, -3) = (-\frac{3}{2}, -3)$ है। यह $A$ से मेल खाता है।
नियता का समीकरण $x = h - a = -2 - \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$ है,जिसका अर्थ $2x + 5 = 0$ है। यह $C$ से मेल खाता है।
अक्ष का समीकरण $y = k$ है,इसलिए $y = -3$,जिसका अर्थ $y + 3 = 0$ है। यह $E$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $I-F, II-A, III-C, IV-E$ है।

(B) शीर्ष $V(4,3)$ है और नियता $3x+2y-7=0$ है।
परवलय का अक्ष नियता के लंबवत होता है और शीर्ष से गुजरता है।
गणना करने पर नाभिलंब का समीकरण $3x+2y-29=0$ प्राप्त होता है।

(B) $X$-अक्ष के समांतर अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $x = Ay^2 + By + C$ है।
दिए गए बिंदुओं $(-2, 1)$,$(1, 2)$ और $(-1, 3)$ को समीकरण में रखने पर:
$(-2, 1)$ के लिए: $A + B + C = -2 \quad (i)$
$(1, 2)$ के लिए: $4A + 2B + C = 1 \quad (ii)$
$(-1, 3)$ के लिए: $9A + 3B + C = -1 \quad (iii)$
समीकरणों को हल करने पर,हमें $A = -\frac{5}{2}$,$B = \frac{21}{2}$ और $C = -10$ प्राप्त होता है।
अतः,परवलय का समीकरण $x = -\frac{5}{2}y^2 + \frac{21}{2}y - 10$ है।
इसे सरल करने पर $5y^2 + 2x - 21y + 20 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) $X$-अक्ष के समानांतर अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $x = ay^2 + by + c$ है।
परवलय $(0,1)$ से गुजरता है,इसलिए $0 = a(1)^2 + b(1) + c \implies a + b + c = 0$ है।
यह $(0,-2)$ से गुजरता है,इसलिए $0 = a(-2)^2 + b(-2) + c \implies 4a - 2b + c = 0$ है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $3a - 3b = 0 \implies a = b$ प्राप्त होता है।
$a + b + c = 0$ में $b = a$ रखने पर,$2a + c = 0 \implies c = -2a$ मिलता है।
परवलय $(3,0)$ से गुजरता है,इसलिए $3 = a(0)^2 + b(0) + c \implies c = 3$ है।
अतः,$c = 3$,$a = -\frac{3}{2}$,और $b = -\frac{3}{2}$ है।
समीकरण $x = -\frac{3}{2}y^2 - \frac{3}{2}y + 3$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर: $(A) (3,-1)$ के लिए,$3 = -\frac{3}{2}(-1)^2 - \frac{3}{2}(-1) + 3 = 3$ है। यह बिंदु परवलय पर स्थित है।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण:
$x^2-2x+3y-2=0$
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2-2x = -3y+2$
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर:
$x^2-2x+1 = -3y+2+1$
$(x-1)^2 = -3y+3$
$(x-1)^2 = -3(y-1)$
इसे मानक रूप $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ से तुलना करने पर,हमें $4a = -3$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = -\frac{3}{4}$।
शीर्ष $(h, k)$ और नाभि के बीच की दूरी $|a|$ द्वारा दी जाती है।
दूरी $= |-\frac{3}{4}| = \frac{3}{4}$।

(B) माना समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $a$ है।
चूंकि त्रिभुज $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,एक शीर्ष मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है।
अन्य दो शीर्ष $(x, y)$ और $(x, -y)$ पर हैं।
$a$ भुजा वाले समबाहु त्रिभुज के लिए,ऊँचाई $\frac{\sqrt{3}}{2}a$ है और $x$-अक्ष से शीर्षों की लंबवत दूरी $\frac{a}{2}$ है।
अतः,परवलय पर स्थित शीर्ष के निर्देशांक $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}a, \frac{a}{2}\right)$ हैं।
चूंकि यह बिंदु परवलय $y^2 = 8x$ पर स्थित है,हम निर्देशांक प्रतिस्थापित करते हैं:
$\left(\frac{a}{2}\right)^2 = 8 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)$
$\frac{a^2}{4} = 4\sqrt{3}a$
चूंकि $a \neq 0$,$a$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a}{4} = 4\sqrt{3}$
$a = 16\sqrt{3} \text{ इकाई}$.

(A) परवलय की नाभि $(3,4)$ है और नियता का समीकरण $2x - 3y + 5 = 0$ है।
नाभि $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$d = \frac{|2(3) - 3(4) + 5|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \frac{|6 - 12 + 5|}{\sqrt{4 + 9}} = \frac{|-1|}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}}$.
परवलय के नाभिलंब की लंबाई $= 2 \times$ (नाभि से नियता की दूरी)।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $= 2 \times \frac{1}{\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$.

(A) परवलय का दिया गया समीकरण $4x^2 - 12x + 4y + 5 = 0$ है।
$4$ से भाग देने पर,$x^2 - 3x + y + \frac{5}{4} = 0$ प्राप्त होता है।
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x - \frac{3}{2})^2 = -(y - 1)$।
यह $(x - h)^2 = -4a(y - k)$ के रूप में है,जहाँ $h = \frac{3}{2}$,$k = 1$,और $a = \frac{1}{4}$ है।
शीर्ष $V = (\frac{3}{2}, 1)$ है।
नाभि $S = (h, k - a) = (\frac{3}{2}, \frac{3}{4})$ है।
नियता $y = k + a = \frac{5}{4}$ है।
अक्ष $x = \frac{3}{2}$ है।
$Z$ अक्ष और नियता का प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए $Z = (\frac{3}{2}, \frac{5}{4})$।
$SZ$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु $P = (\frac{3}{2}, \frac{13}{12})$ है।

(C) परवलय $y^2 = 8x$ के लिए,$y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,हमें $4a = 8$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 2$ है।
परवलय की नाभि $(a, 0) = (2, 0)$ है।
बिंदु $(6, 4 \sqrt{3})$ और नाभि $(2, 0)$ के बीच की दूरी,दूरी सूत्र द्वारा दी जाती है:
$d = \sqrt{(6 - 2)^2 + (4 \sqrt{3} - 0)^2}$
$d = \sqrt{(4)^2 + (4 \sqrt{3})^2}$
$d = \sqrt{16 + 16 \times 3} = \sqrt{16 + 48} = \sqrt{64}$
$d = 8$.

(B) दिया गया परवलय $y^2 = 16x$ है।
इसे मानक रूप $y^2 = 4px$ के साथ तुलना करने पर,हमें $4p = 16$ प्राप्त होता है,इसलिए $p = 4$ है।
परवलय की नाभि $S = (4, 0)$ है।
नाभि से गुजरने वाली द्वि-कोटि रेखा $x = 4$ है।
चूंकि बिंदु $P(a, 2a)$ परवलय $y^2 - 16x = 0$ के आंतरिक क्षेत्र में स्थित है,इसलिए $y^2 - 16x < 0$ होना चाहिए।
बिंदु $(a, 2a)$ को असमिका में रखने पर:
$(2a)^2 - 16a < 0$
$4a^2 - 16a < 0$
$4a(a - 4) < 0$
इसका अर्थ है कि $0 < a < 4$ है।
इसके अतिरिक्त,बिंदु $P(a, 2a)$ को परिबद्ध क्षेत्र के भीतर होने के लिए द्वि-कोटि $x = 4$ के बाईं ओर स्थित होना चाहिए।
अतः,$a < 4$ है।
दोनों शर्तों को मिलाने पर,हमें $0 < a < 4$ प्राप्त होता है।

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 24x$ है,जो $y^2 = 4ax$ के रूप में है,जहाँ $4a = 24$,इसलिए $a = 6$ है।
परवलय की नियता (directrix) $x = -a$ है,जो $x = -6$ है।
परवलय की दो लंबवत स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ उसकी नियता होती है।
हमें रेखा $y = 6x + 1$ पर एक ऐसा बिंदु $P$ ज्ञात करना है जहाँ से परवलय पर खींची गई स्पर्श रेखा दी गई रेखा के लंबवत हो।
चूँकि बिंदु $P$ को नियता पर स्थित होना चाहिए,इसलिए हम रेखा $y = 6x + 1$ के समीकरण में $x = -6$ प्रतिस्थापित करते हैं।
$y = 6(-6) + 1 = -36 + 1 = -35$.
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $(-6, -35)$ हैं।

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,बिंदु $(x, y)$ की नाभीय दूरी $x + a$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए $y^2 = 32x$ से,$4a = 32$,इसलिए $a = 8$ है।
नाभीय दूरी $x + 8 = 10$ है,जिसका अर्थ है $x = 2$।
परवलय के समीकरण में $x = 2$ रखने पर: $y^2 = 32(2) = 64$,इसलिए $y = \pm 8$।
अतः,बिंदु $(2, 8)$ और $(2, -8)$ हैं।
यहाँ,$x_1 = 2, y_1 = 8$ और $x_2 = 2, y_2 = -8$ है।
हमें $2(x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2)$ की गणना करनी है।
$x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 = 2^2 + 2^2 + 8^2 + (-8)^2 = 4 + 4 + 64 + 64 = 136$।
इसलिए,$2(136) = 272$।

(A) माना जीवा की ढाल $m = 2$ है। जीवा का समीकरण $y = 2x + c$ है।
$y^2 = 4x$ में प्रतिस्थापित करने पर,$(2x + c)^2 = 4x$,अर्थात $4x^2 + (4c - 4)x + c^2 = 0$।
विभाजन सूत्र के अनुसार,$R(h, k)$ बिंदु के लिए $h = \frac{x_2 + 2x_1}{3}$ और $k = \frac{y_2 + 2y_1}{3}$ है।
इससे $c = k - 2h$ प्राप्त होता है।
समीकरण को हल करने पर,बिंदुपथ का शीर्ष $\left(\frac{2}{9}, \frac{8}{9}\right)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया परवलय समीकरण: $x^2-4x-4y+16=0$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x-4-4\frac{dy}{dx}=0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2x-4}{4} = \frac{x-2}{2}$।
स्पर्श रेखा $2x-y-5=0$ की ढाल $m=2$ है।
अवकलज को ढाल के बराबर रखने पर: $\frac{x-2}{2} = 2$ $\Rightarrow x-2=4$ $\Rightarrow x=6$।
स्पर्श रेखा के समीकरण में $x=6$ रखने पर: $2(6)-y-5=0$ $\Rightarrow 12-y-5=0$ $\Rightarrow y=7$।
अतः,स्पर्श बिंदु $P(6, 7)$ है।
$P$ पर अभिलंब की ढाल $m' = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{2}$ है।
अभिलंब का समीकरण: $(y-7) = -\frac{1}{2}(x-6)$।
$2y-14 = -x+6 \Rightarrow x+2y-20=0$।
$ax+y+c=0$ के रूप में लाने के लिए $2$ से भाग देने पर: $\frac{1}{2}x+y-10=0$।
$ax+y+c=0$ से तुलना करने पर,$a=\frac{1}{2}$ और $c=-10$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$ac = \frac{1}{2} \times (-10) = -5$।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2 - 4y - 3x + 7 = 0$ है।
इसे $(y - 2)^2 = 3(x - 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ शीर्ष $(1, 2)$ है और $4a = 3$,इसलिए $a = \frac{3}{4}$ है।
नाभि $(h + a, k) = (1 + \frac{3}{4}, 2) = (\frac{7}{4}, 2)$ है।
नाभीय जीवा $(\frac{7}{4}, 2)$ और $(4, 5)$ से होकर गुजरती है।
जीवा की ढाल $m = \frac{5 - 2}{4 - 7/4} = \frac{4}{3}$ है।
जीवा का समीकरण $y - 5 = \frac{4}{3}(x - 4) \Rightarrow 4x - 3y - 1 = 0$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी $d = \frac{|-1|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{1}{5}$ है।

(C) परवलय $y^2=5x$ है,इसलिए $4a=5 \Rightarrow a=\frac{5}{4}$. नाभि $S$,$\left(\frac{5}{4}, 0\right)$ है।
नाभीय जीवा $P(5,5)$ और $S\left(\frac{5}{4}, 0\right)$ से होकर गुजरती है।
जीवा $PS$ की ढाल $m = \frac{5-0}{5-\frac{5}{4}} = \frac{5}{15/4} = \frac{4}{3}$ है।
नाभीय जीवा का समीकरण $y-0 = \frac{4}{3}\left(x-\frac{5}{4}\right)$ $\Rightarrow 3y = 4x-5$ $\Rightarrow 4x-3y=5$ है।
$Q$ ज्ञात करने के लिए,$y^2=5x$ में $x = \frac{3y+5}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 = 5\left(\frac{3y+5}{4}\right)$ $\Rightarrow 4y^2 - 15y - 25 = 0$ $\Rightarrow (4y+5)(y-5) = 0$.
चूंकि $P(5,5)$ है,इसलिए $Q$ का निर्देशांक $\left(\frac{5}{16}, -\frac{5}{4}\right)$ होगा।
$Q(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा $yy_1 = \frac{5}{2}(x+x_1)$ है।
$Q\left(\frac{5}{16}, -\frac{5}{4}\right)$ रखने पर: $y\left(-\frac{5}{4}\right) = \frac{5}{2}\left(x+\frac{5}{16}\right) \Rightarrow -\frac{1}{2}y = x+\frac{5}{16}$.
परवलय का अक्ष $y=0$ है। स्पर्श रेखा के समीकरण में $y=0$ रखने पर $x = -\frac{5}{16}$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट बिंदु $\left(-\frac{5}{16}, 0\right)$ है।

(C) दिया गया परवलय $y^2=8x$ है।
इसे मानक रूप $y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$4a=8$,अतः $a=2$ प्राप्त होता है।
परवलय पर एक बिंदु $(at^2, 2at) = (2t^2, 4t)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि नाभीय जीवा का एक सिरा $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ है,इसलिए $4t=2$,जिसका अर्थ है $t=\frac{1}{2}$।
पैरामीटर $t$ वाली नाभीय जीवा की लंबाई का सूत्र $L = a\left(t + \frac{1}{t}\right)^2$ है।
$a=2$ और $t=\frac{1}{2}$ रखने पर:
$L = 2\left(\frac{1}{2} + \frac{1}{1/2}\right)^2 = 2\left(\frac{1}{2} + 2\right)^2$.
$L = 2\left(\frac{5}{2}\right)^2 = 2 \times \frac{25}{4} = \frac{25}{2}$ इकाई।

(D) दिया गया परवलय $x^2 = 4ay$ है।
माना नाभीय जीवा के सिरों के निर्देशांक $(2at_1, at_1^2)$ और $(2at_2, at_2^2)$ हैं।
चूंकि जीवा एक नाभीय जीवा है,इसलिए प्राचलों का गुणनफल $t_1 t_2 = -1$ होता है।
हमें $y_1 y_2$ का मान ज्ञात करना है।
$y_1 y_2 = (at_1^2)(at_2^2) = a^2(t_1 t_2)^2$.
$t_1 t_2 = -1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$y_1 y_2 = a^2(-1)^2 = a^2$.

(D) दिए गए परवलय का समीकरण $y^2 = 9x$ है। यहाँ,$4a = 9$,इसलिए $a = \frac{9}{4}$ है।
बिंदु $t$ पर अभिलंब जीवा का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है।
$a = \frac{9}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = -tx + \frac{9}{2}t + \frac{9}{4}t^3$ प्राप्त होता है,जिसे $tx + y = \frac{9}{2}t + \frac{9}{4}t^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि जीवा शीर्ष $V(0,0)$ पर समकोण बनाती है,इसलिए रेखा समीकरण का उपयोग करके परवलय $y^2 = 9x$ को समघात (homogenize) करने पर:
$y^2 = 9x \left( \frac{tx + y}{\frac{9}{2}t + \frac{9}{4}t^3} \right)$
$y^2 = 9x \left( \frac{tx + y}{\frac{9}{4}t(2 + t^2)} \right) = \frac{4x(tx + y)}{t(2 + t^2)}$
$t(2 + t^2)y^2 = 4tx^2 + 4xy$
$4tx^2 + 4xy - t(2 + t^2)y^2 = 0$
मूल बिंदु पर समकोण के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$4t - t(2 + t^2) = 0$
चूंकि $t \neq 0$,$t$ से विभाजित करने पर:
$4 - (2 + t^2) = 0$
$4 - 2 - t^2 = 0$
$t^2 = 2 \Rightarrow t = \pm \sqrt{2}$।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(D) माना नाभीय जीवा के खंडों की लंबाई $l_1 = 5$ और $l_2 = 3$ है।
परवलय के लिए,अर्ध-नाभिलंब $L$ किसी भी नाभीय जीवा के खंडों का हरात्मक माध्य होता है।
अतः,$L = \frac{2 l_1 l_2}{l_1 + l_2}$.
मान रखने पर,$L = \frac{2 \times 5 \times 3}{5 + 3} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}$.
नाभिलंब की लंबाई $2L$ होती है।
इसलिए,नाभिलंब की लंबाई $= 2 \times \frac{15}{4} = \frac{15}{2}$ इकाई।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,जहाँ $a = 1$,नाभीय जीवा $X$-अक्ष के साथ $\theta = 45^{\circ}$ का कोण बनाती है। नाभीय जीवा की प्रवणता $m_c = \tan(45^{\circ}) = 1$ है।
माना नाभीय जीवा के सिरे $P(at_1^2, 2at_1)$ और $Q(at_2^2, 2at_2)$ हैं। नाभीय जीवा होने के कारण,$t_1 t_2 = -1$ है।
जीवा की प्रवणता $m_c = \frac{2}{t_1 + t_2} = 1$ है,जिसका अर्थ है $t_1 + t_2 = 2$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ पर किसी बिंदु $t$ पर अभिलंब की प्रवणता $m = -t$ होती है।
अतः,सिरों पर अभिलंबों की प्रवणता $m_1 = -t_1$ और $m_2 = -t_2$ है।
हमें वह समीकरण ज्ञात करना है जिसे $m_1$ और $m_2$ संतुष्ट करते हैं। मूलों का योग $m_1 + m_2 = -(t_1 + t_2) = -2$ है।
मूलों का गुणनफल $m_1 m_2 = (-t_1)(-t_2) = t_1 t_2 = -1$ है।
$m_1$ और $m_2$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $m^2 - (m_1 + m_2)m + m_1 m_2 = 0$ है।
मान रखने पर,हमें $m^2 - (-2)m + (-1) = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $m^2 + 2m - 1 = 0$ हो जाता है।

(C) परवलय $y^2=4ax$ की नाभि $S(a, 0)$ है।
माना $P$ के निर्देशांक $(at^2, 2at)$ और $Q$ के निर्देशांक $(\frac{a}{t^2}, -\frac{2a}{t})$ हैं।
चूंकि $SP = \alpha$,$S(a, 0)$ से $P(at^2, 2at)$ की दूरी $\alpha = a(t^2+1)$ है।
इसी प्रकार,$SQ = \alpha^{\prime}$ के लिए,$S(a, 0)$ से $Q(\frac{a}{t^2}, -\frac{2a}{t})$ की दूरी $\alpha^{\prime} = \frac{a(1+t^2)}{t^2}$ है।
अब,$\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\alpha^{\prime}} = \frac{1}{a(t^2+1)} + \frac{t^2}{a(1+t^2)} = \frac{1+t^2}{a(1+t^2)} = \frac{1}{a}$.

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 9x$ है। $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$a = \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
नाभि $S = (\frac{9}{4}, 0)$ है।
बिंदु $P(9, 9)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -2x + 27$ है।
यह रेखा परवलय को दूसरे बिंदु $Q(\frac{81}{4}, -\frac{27}{2})$ पर काटती है।
$SP$ की ढाल $m_1 = \frac{4}{3}$ और $SQ$ की ढाल $m_2 = -\frac{3}{4}$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = -1$,इसलिए नाभि पर अंतरित कोण $90^{\circ}$ है।

(C) दिया गया परवलय $y^2 = 4ax$ है,जहाँ $4a = 5$,इसलिए $a = \frac{5}{4}$ है।
माना नाभीय जीवा के अंतिम बिंदु $(x_1, y_1) = (at_1^2, 2at_1)$ और $(x_2, y_2) = (at_2^2, 2at_2)$ हैं।
नाभीय जीवा के लिए शर्त $t_1t_2 = -1$ होती है।
तब $x_1x_2 = (at_1^2)(at_2^2) = a^2(t_1t_2)^2 = a^2(-1)^2 = a^2$ होगा।
साथ ही,$y_1y_2 = (2at_1)(2at_2) = 4a^2(t_1t_2) = 4a^2(-1) = -4a^2$ होगा।
हमें $4x_1x_2 + y_1y_2$ का मान ज्ञात करना है।
मान रखने पर: $4(a^2) + (-4a^2) = 4a^2 - 4a^2 = 0$।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है,जिसका अर्थ है $4a = 8$,इसलिए $a = 2$ है।
माना बिंदु $P$ $(x_1, y_1) = (1, 3)$ है।
बिंदु $P(1, 3)$ से परवलय $y^2 = 8x$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा $AB$ का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है।
मान रखने पर,हमें $3y = 2(2)(x + 1)$ प्राप्त होता है,जो $3y = 4x + 4$ या $4x - 3y + 4 = 0$ में सरल हो जाता है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{(y_1^2 - 4ax_1)^{3/2}}{2a}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$a = 2$,$x_1 = 1$,और $y_1 = 3$ रखने पर:
$\text{Area} = \frac{(3^2 - 4(2)(1))^{3/2}}{2(2)} = \frac{(9 - 8)^{3/2}}{4} = \frac{1^{3/2}}{4} = \frac{1}{4}$ वर्ग इकाई।

(A) परवलय का मानक रूप $y^2=4ax$ है। नाभि $(a, 0) = (\frac{1}{4}, k)$ दी गई है।
तुलना करने पर,$a = \frac{1}{4}$ और $k = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,परवलय $y^2 = x$ है।
रेखा $x - 2y - 3 = 0$ से $x = 2y + 3$ मिलता है।
परवलय के समीकरण में $x$ का मान रखने पर: $y^2 = 2y + 3 \Rightarrow y^2 - 2y - 3 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(y-3)(y+1) = 0$,अतः $y = 3$ या $y = -1$ है।
यदि $y = 3$,तो $x = 9$ है। अतः $Q = (9, 3)$ है।
यदि $y = -1$,तो $x = 1$ है। अतः $P = (1, -1)$ है।
दूरी $PQ = \sqrt{(9-1)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$ है।
चूंकि $a = \frac{1}{4}$ है,इसलिए $16a = 4$ होता है।
अतः,$PQ = 16a\sqrt{5}$।

(B) परवलय का समीकरण $x^2=4ay$ है और रेखा $y=2x+1$ है। यहाँ $m=2$ और $c=1$ है।
$x = \frac{y-1}{2}$ को परवलय के समीकरण में रखने पर:
$(\frac{y-1}{2})^2 = 4ay$ $\Rightarrow y^2 - 2y + 1 = 16ay$ $\Rightarrow y^2 - (16a+2)y + 1 = 0$.
माना मूल $y_1$ और $y_2$ हैं। तब $y_1+y_2 = 16a+2$ और $y_1y_2 = 1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ हैं।
अंतःखंड की लंबाई $L = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ है।
चूंकि $y=2x+1$,$x_2-x_1 = \frac{y_2-y_1}{2}$.
$L = \sqrt{\frac{5}{4}(y_2-y_1)^2} = \frac{\sqrt{5}}{2} \sqrt{(y_1+y_2)^2 - 4y_1y_2}$.
$L = \sqrt{40}$ दिया गया है,इसलिए $40 = \frac{5}{4} ((16a+2)^2 - 4)$.
$32 = (16a+2)^2 - 4 \Rightarrow (16a+2)^2 = 36$.
$16a+2 = 6$ या $16a+2 = -6$.
$16a = 4$ $\Rightarrow a = 1/4$ $\Rightarrow 4a = 1$ (विकल्पों में नहीं है)।
$16a = -8$ $\Rightarrow a = -1/2$ $\Rightarrow 4a = -2$.
अतः,$4a$ का मान $-2$ है।