Parabola Questions in Hindi

(A) दिया गया परवलय $(y - 3)^2 = 12(x - 2)$ है।
इसकी तुलना $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ से करने पर,$h = 2, k = 3$ और $4a = 12$ प्राप्त होता है,अतः $a = 3$ है।
परवलय की नियता (directrix) $x = h - a = 2 - 3 = -1$ है।
परवलय का एक ज्ञात गुण यह है कि दो लंबवत स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु नियता पर स्थित होता है।
चूंकि दोनों स्पर्श रेखाएं लंबवत हैं और बिंदु $P$ पर मिलती हैं,इसलिए बिंदु $P$ को नियता $x = -1$ पर स्थित होना चाहिए।
प्रथम स्पर्श रेखा के समीकरण $y = 3x - 2$ में $x = -1$ रखने पर:
$y = 3(-1) - 2 = -3 - 2 = -5$.
अतः,बिंदु $P$ $(-1, -5)$ है।

(C) दी गई रेखा का समीकरण $m x - y + (10 + m^2) = 0$ है।
इसे $m$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $m^2 + m x + (10 - y) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखा परवलय की स्पर्शरेखा है,इसलिए इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D$ शून्य होना चाहिए।
$a m^2 + b m + c = 0$ के लिए,$D = b^2 - 4ac = 0$ होता है।
यहाँ,$a = 1$,$b = x$,और $c = (10 - y)$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 - 4(1)(10 - y) = 0$।
$x^2 - 40 + 4y = 0$।
$x^2 = -4(y - 10)$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) मान लीजिए कि डबल ऑर्डिनेट के अंतिम बिंदुओं के निर्देशांक $A(x_1, y_1)$ और $B(x_1, -y_1)$ हैं।
दिया गया है कि डबल ऑर्डिनेट की लंबाई $AB = 2y_1 = 16$,इसलिए $y_1 = 8$ है।
अतः,निर्देशांक $A(x_1, 8)$ और $B(x_1, -8)$ हैं।
चूंकि $A$ और $B$ परवलय $y^2 = 8x$ पर स्थित हैं,इसलिए $8^2 = 8x_1$,जिससे $64 = 8x_1$ प्राप्त होता है,अतः $x_1 = 8$ है।
$A$ और $B$ के निर्देशांक $(8, 8)$ और $(8, -8)$ हैं।
मान लीजिए $\alpha$ वह कोण है जो $OA$ द्वारा $X$-अक्ष के साथ बनाया गया है,जहाँ $O$ शीर्ष $(0, 0)$ है।
तब $\tan \alpha = \frac{8}{8} = 1$,जिसका अर्थ है $\alpha = \frac{\pi}{4}$।
शीर्ष पर डबल ऑर्डिनेट $AB$ द्वारा अंतरित कोण $2\alpha = 2 \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y^2=4ax$ है। नाभि $(a, 0)$ है और नियता $x=-a$ है।
नाभि और नियता के बीच की दूरी $2a$ है।
दिया गया है $2a = \frac{3}{2}$,इसलिए $a = \frac{3}{4}$ है।
परवलय पर बिंदु $(4a, -4a) = (4 \times \frac{3}{4}, -4 \times \frac{3}{4}) = (3, -3)$ है।
$(x_1, y_1)$ पर परवलय $y^2=4ax$ के अभिलंब का समीकरण $y-y_1 = -\frac{y_1}{2a}(x-x_1)$ है।
$x_1=3, y_1=-3$ और $a=\frac{3}{4}$ रखने पर:
$y - (-3) = -\frac{-3}{2(3/4)}(x-3)$
$y+3 = \frac{3}{3/2}(x-3)$
$y+3 = 2(x-3)$
$y+3 = 2x-6$
$2x-y=9$.

(C) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,बिंदु $t$ पर स्पर्श रेखा $ty = x + at^2$ है। यहाँ,$4a = 1$,इसलिए $a = 1/4$.
$t_i$ और $t_j$ पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(at_it_j, a(t_i + t_j))$ है।
दिए गए $t_1 = 2, t_2 = -4, t_3 = 6$ और $a = 1/4$ के लिए:
बिंदु $L$ ($t_1, t_2$ का प्रतिच्छेदन) = $(-2, -0.5)$.
बिंदु $M$ ($t_2, t_3$ का प्रतिच्छेदन) = $(-6, 0.5)$.
बिंदु $N$ ($t_3, t_1$ का प्रतिच्छेदन) = $(3, 2)$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} |(-2)(0.5 - 2) + (-6)(2 - (-0.5)) + 3(-0.5 - 0.5)| = 7.5$.

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए ढाल $m$ वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ होता है।
यहाँ,$4a = 8$,इसलिए $a = 2$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{2}{m}$ है।
चूंकि यह बिंदु $(1, 3)$ से गुजरती है,इसलिए $x = 1$ और $y = 3$ रखने पर:
$3 = m + \frac{2}{m}$
$m^2 - 3m + 2 = 0$
$(m - 1)(m - 2) = 0$
अतः,$m = 1$ या $m = 2$ है।
$m = 1$ के लिए,स्पर्श रेखा $y = x + 2$ है।
$m = 2$ के लिए,स्पर्श रेखा $y = 2x + 1$ है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$y = 2x + 1$ सही उत्तर है।

(C) शीर्ष पर स्पर्शरेखा का समीकरण $x-y+1=0 \dots (i)$ है।
परवलय की नाभि $S(0,0)$ है।
नाभि से शीर्ष पर स्पर्शरेखा की लंबवत दूरी $a = \left|\frac{0-0+1}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\right| = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
नियता,शीर्ष पर स्पर्शरेखा के समानांतर होती है,इसलिए इसका समीकरण $x-y+c=0$ के रूप में होगा।
नाभि से नियता की लंबवत दूरी $2a = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।
अतः,$\left|\frac{0-0+c}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\right| = \sqrt{2}$ $\Rightarrow \frac{|c|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ $\Rightarrow |c| = 2$.
चूंकि नाभि $(0,0)$ और शीर्ष पर स्पर्शरेखा $x-y+1=0$ नियता के एक ही तरफ स्थित हैं,हम $c=2$ लेते हैं।
इसलिए,नियता का समीकरण $x-y+2=0$ है।

(D) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x-2=t^2$ और $y=2t$ से,हमें $x=t^2+2$ और $y=2t$ प्राप्त होता है।
इन मानों को परवलय के समीकरण $y^2=a(x-b)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(2t)^2 = a(t^2+2-b)$
$4t^2 = at^2 + a(2-b)$
दोनों पक्षों में $t^2$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर:
$a = 4$
$a(2-b) = 0$ $\Rightarrow 4(2-b) = 0$ $\Rightarrow b = 2$
अतः,$a+b = 4+2 = 6$.

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 12x$ है,जो $y^2 = 4ax$ के रूप में है,जहाँ $4a = 12$,इसलिए $a = 3$ है।
माना स्पर्श बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ होता है।
$a = 3$ रखने पर,हमें $yy_1 = 6(x + x_1)$ प्राप्त होता है,जो $6x - y_1y + 6x_1 = 0$ में सरल हो जाता है।
हमें स्पर्श रेखा का समीकरण $x - \sqrt{3}y + 9 = 0$ दिया गया है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{6}{1} = \frac{-y_1}{-\sqrt{3}} = \frac{6x_1}{9}$।
$\frac{6}{1} = \frac{y_1}{\sqrt{3}}$ से,$y_1 = 6\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$\frac{6}{1} = \frac{6x_1}{9}$ से,$x_1 = 9$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श बिंदु $(9, 6\sqrt{3})$ है।

(C) परवलय का समीकरण $y^2=16x$ है,इसलिए $4a=16$,जिससे $a=4$ प्राप्त होता है।
दी गई रेखा $3x-4y+5=0$ है,जिसे $y=\frac{3}{4}x+\frac{5}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m_1=\frac{3}{4}$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा इस रेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m$ को $m \times m_1 = -1$ को संतुष्ट करना चाहिए।
अतः,$m = -\frac{4}{3}$।
परवलय $y^2=4ax$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\frac{a}{m}$ होता है।
$a=4$ और $m=-\frac{4}{3}$ रखने पर,हमें $y=-\frac{4}{3}x+\frac{4}{-4/3}$ प्राप्त होता है।
$y=-\frac{4}{3}x-3$।
$3$ से गुणा करने पर,हमें $3y=-4x-9$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $4x+3y+9=0$ मिलता है।

(D) दिया गया वक्र $y^2 = 4x$ और बिंदु $P(1, 2)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \cdot \frac{dy}{dx} = 4$
$\frac{dy}{dx} = \frac{4}{2y} = \frac{2}{y}$
बिंदु $P(1, 2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m$ है:
$m = \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1, 2)} = \frac{2}{2} = 1$
चूंकि ढाल $m = \tan \theta$ होता है,इसलिए:
$\tan \theta = 1$
$\theta = 45^{\circ}$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) परवलय $y^2=4ax$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x+x_1)$ होता है।
यहाँ,$4a = 12$,इसलिए $a = 3$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (3, -6)$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$y(-6) = 2(3)(x+3)$
$-6y = 6(x+3)$
$-y = x+3$
$x+y+3 = 0$
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) परवलय $y^2=4ax$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y=mx+\frac{a}{m}$ होता है।
यहाँ,परवलय $y^2=8x$ है,इसलिए $4a=8$,जिसका अर्थ है $a=2$ है।
ढाल $m=\tan(30^{\circ})=\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
इन मानों को स्पर्शरेखा के समीकरण में रखने पर:
$y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{2}{1/\sqrt{3}}$
$y=\frac{x}{\sqrt{3}}+2\sqrt{3}$
दोनों पक्षों को $\sqrt{3}$ से गुणा करने पर:
$\sqrt{3}y=x+6$
$x-\sqrt{3}y+6=0$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया परवलय $y^2 = 6x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 6 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3}{y}$.
स्पर्श रेखा का दिया गया समीकरण $5x - 2y + k = 0$ है,जिसे $y = \frac{5}{2}x + \frac{k}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{5}{2}$ है।
स्पर्श बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल को अवकलज के बराबर रखने पर:
$\frac{3}{y} = \frac{5}{2} \Rightarrow y = \frac{6}{5}$.
$y$ का मान परवलय के समीकरण $y^2 = 6x$ में रखने पर:
$\left(\frac{6}{5}\right)^2 = 6x$ $\Rightarrow \frac{36}{25} = 6x$ $\Rightarrow x = \frac{6}{25}$.
अतः,स्पर्श बिंदु $\left(\frac{6}{25}, \frac{6}{5}\right)$ है।

(C) दिए गए परवलय $y^2=32x$ $(i)$ और $2x^2=27y$ (ii) हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{y^2}{32}$ को (ii) में प्रतिस्थापित करें:
$2(\frac{y^2}{32})^2 = 27y \implies 2 \cdot \frac{y^4}{1024} = 27y \implies \frac{y^4}{512} = 27y \implies y(y^3 - 512 \cdot 27) = 0$.
अतः,$y=0$ या $y^3 = (8^3)(3^3) = 24^3$,अर्थात $y=24$.
$y=24$ के लिए,$x = \frac{24^2}{32} = \frac{576}{32} = 18$. अतः $P = (18, 24)$.
$y^2=32x$ के लिए,अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 32 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{16}{y}$. $P(18, 24)$ पर,$m_1 = \frac{16}{24} = \frac{2}{3}$.
$2x^2=27y$ के लिए,अवकलन करने पर $4x = 27 \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{4x}{27}$. $P(18, 24)$ पर,$m_2 = \frac{4(18)}{27} = \frac{72}{27} = \frac{8}{3}$.
कोण $\theta$ का स्पर्शज्या $\tan \theta = |\frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2}| = |\frac{8/3 - 2/3}{1 + (8/3)(2/3)}| = |\frac{6/3}{1 + 16/9}| = |\frac{2}{25/9}| = \frac{18}{25}$ है।
इसलिए,$5\sqrt{\tan \theta} = 5\sqrt{\frac{18}{25}} = 5 \cdot \frac{3\sqrt{2}}{5} = 3\sqrt{2}$।

(A) माना परवलय $y^2=4ax$ के बिंदु $P(at^2, 2at)$ पर स्पर्श रेखा $yt = x + at^2$ है ... $(i)$।
चूंकि रेखा $NM$ स्पर्श रेखा पर लंब है और मूल बिंदु $O(0,0)$ से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $y = -tx$ है ... (ii)।
$N$ ज्ञात करने के लिए,$(i)$ में $y = -tx$ रखने पर: $t(-tx) = x + at^2 \implies -t^2x - x = at^2 \implies x = -\frac{at^2}{1+t^2}$।
तब $y = -t(-\frac{at^2}{1+t^2}) = \frac{at^3}{1+t^2}$। अतः,$N \equiv (-\frac{at^2}{1+t^2}, \frac{at^3}{1+t^2})$।
$M$ ज्ञात करने के लिए,$y^2 = 4ax$ में $y = -tx$ रखने पर: $(-tx)^2 = 4ax \implies t^2x^2 = 4ax$। चूंकि $x \neq 0$,इसलिए $x = \frac{4a}{t^2}$।
तब $y = -t(\frac{4a}{t^2}) = -\frac{4a}{t}$। अतः,$M \equiv (\frac{4a}{t^2}, -\frac{4a}{t})$।
अब,$ON = \sqrt{(-\frac{at^2}{1+t^2})^2 + (\frac{at^3}{1+t^2})^2} = \frac{at^2}{\sqrt{1+t^2}}$।
और $OM = \sqrt{(\frac{4a}{t^2})^2 + (-\frac{4a}{t})^2} = \frac{4a}{t^2} \sqrt{1+t^2}$।
अतः,$ON \cdot OM = \frac{at^2}{\sqrt{1+t^2}} \cdot \frac{4a}{t^2} \sqrt{1+t^2} = 4a^2$।

(D) मान लीजिए बिंदुओं $A$ और $B$ के निर्देशांक क्रमशः $(x_1, \alpha_1)$ और $(x_2, \alpha_2)$ हैं। चूंकि वे $y^2=4ax$ पर स्थित हैं,इसलिए $\alpha_1^2=4ax_1$ और $\alpha_2^2=4ax_2$ है।
बिंदु $(x_i, \alpha_i)$ पर स्पर्श रेखा $y\alpha_i = 2a(x+x_i)$ द्वारा दी जाती है।
$A$ और $B$ पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_3, \alpha_3)$,$\alpha_3 = \frac{\alpha_1+\alpha_2}{2}$ द्वारा प्राप्त होता है।
इससे,हमें $2\alpha_3 = \alpha_1+\alpha_2$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\alpha_3-\alpha_2 = \alpha_1-\alpha_3$ प्राप्त होता है।

(A) माना परवलय $y^2 = 8x$ पर बिंदु $P = (2t^2, 4t)$ है।
दिया है $A = (-2, 0)$,माना $Q = (h, k)$ रेखाखंड $\overline{AP}$ का मध्य-बिंदु है।
तब $h = \frac{2t^2 - 2}{2} = t^2 - 1$ और $k = \frac{4t + 0}{2} = 2t$ है।
$k = 2t$ से,हमें $t = \frac{k}{2}$ प्राप्त होता है।
$t$ का मान $h$ के समीकरण में रखने पर: $h = (\frac{k}{2})^2 - 1 = \frac{k^2}{4} - 1$ प्राप्त होता है।
इसे व्यवस्थित करने पर $k^2 = 4(h + 1)$ मिलता है।
$Q$ का बिंदुपथ $y^2 = 4(x + 1)$ है।
इसे मानक रूप $Y^2 = 4aX$ से तुलना करने पर,जहाँ $Y = y$,$X = x + 1$,और $4a = 4$,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।
इस परवलय का शीर्ष $(-1, 0)$ है।
अतः नाभि $(X + a, Y) = (-1 + 1, 0) = (0, 0)$ होगी।

(D) मान लीजिए कि $P$ से परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्पर्श रेखाओं के स्पर्श बिंदु $A(at_1^2, 2at_1)$ और $B(at_2^2, 2at_2)$ हैं।
स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $P$,$P(at_1t_2, a(t_1 + t_2))$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $P = (x, y)$,तो $x = at_1t_2$ और $y = a(t_1 + t_2)$ है।
$A(at_1^2, 2at_1)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = \tan \theta_1 = \frac{1}{t_1}$ है।
$B(at_2^2, 2at_2)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_2 = \tan \theta_2 = \frac{1}{t_2}$ है।
दिया गया है कि $\tan \theta_1 + \tan \theta_2 = b$,इसलिए $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = b$ है।
यह $\frac{t_1 + t_2}{t_1t_2} = b$ में सरल हो जाता है।
$P$ के निर्देशांक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{y/a}{x/a} = b$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{y}{x} = b$ है।
अतः,$y = bx$।

(D) माना परवलय $y^2=4x$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\frac{1}{m}$ है।
परवलय $x^2=-32y$ के लिए,$m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx-am^2$ है,जहाँ $x^2=4ay$ से $a=-8$ प्राप्त होता है।
अतः,स्पर्श रेखा $y=mx-(-8)m^2$ अर्थात $y=mx+8m^2$ है।
दोनों स्पर्श रेखाओं के समीकरणों की तुलना करने पर,$\frac{1}{m}=8m^2$ प्राप्त होता है।
इससे $m^3=\frac{1}{8}$,अर्थात $m=\frac{1}{2}$ मिलता है।
$m=\frac{1}{2}$ को पहले समीकरण में रखने पर: $y=\frac{1}{2}x+2$ प्राप्त होता है।
अतः $2y=x+4$,या $x-2y+4=0$।

(A) दिए गए परवलय $y^2=32x$ और $x^2=256y$ हैं।
परवलयों $y^2=4ax$ और $x^2=4by$ की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण $b^{1/3}y + a^{1/3}x + (a^2b^2)^{1/3} = 0$ होता है।
$y^2=32x$ की तुलना $y^2=4ax$ से करने पर,$4a=32 \Rightarrow a=8$ प्राप्त होता है।
$x^2=256y$ की तुलना $x^2=4by$ से करने पर,$4b=256 \Rightarrow b=64$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$(64)^{1/3}y + (8)^{1/3}x + (8^2 \times 64^2)^{1/3} = 0$
$4y + 2x + 64 = 0$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) परवलय $y^2 = 32x$ के लिए,स्पर्श रेखा $y = mx + \frac{8}{m}$ है।
परवलय $x^2 = 256y$ के लिए,स्पर्श रेखा $y = \frac{1}{m}x + 64m^2$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर,$\frac{8}{m} = -64m^2$ प्राप्त होता है,जिसका हल $m = -\frac{1}{2}$ है।
यह मान रखने पर,स्पर्श रेखा का समीकरण $x + 2y + 32 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है,इसलिए $4a = 8$,जिससे $a = 2$ प्राप्त होता है।
प्राचल $t$ पर परवलय पर बिंदु $(at^2, 2at) = (2t^2, 4t)$ है।
$t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ के लिए,बिंदु $(1, 2\sqrt{2})$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ के अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2at + at^3$ है।
$a = 2$ और $t = \frac{1}{\sqrt{2}}$ रखने पर,अभिलंब $L$ का समीकरण $x + \sqrt{2}y = 5$ प्राप्त होता है।
परवलय की नाभि $(a, 0) = (2, 0)$ है।
रेखा $Ax + By + C = 0$ पर बिंदु $(x_1, y_1)$ से खींचे गए लंब का पाद $(h, k)$ ज्ञात करने के लिए सूत्र $\frac{h - x_1}{A} = \frac{k - y_1}{B} = -\frac{Ax_1 + By_1 + C}{A^2 + B^2}$ का उपयोग करने पर,हमें $(3, \sqrt{2})$ प्राप्त होता है।

(D) परवलय $y^2=4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y=mx-2am-am^3$ होता है।
यहाँ,$a=1$ है। अतः,अभिलंब का समीकरण $y=mx-2m-m^3$ है।
चूँकि अभिलंब $(5,2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $2=5m-2m-m^3$,जो सरल होकर $m^3-3m+2=0$ हो जाता है।
इस त्रिघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(m-1)^2(m+2)=0$ प्राप्त होता है।
मूल $m=1$ और $m=-2$ हैं।
दिए गए अभिलंब $x-y-3=0$ की ढाल $m=1$ है।
अतः,दूसरे अभिलंब की ढाल $m=-2$ है।

(D) दिए गए परवलय $y^2 = 8x$ के लिए,$4a = 8$,अतः $a = 2$ है।
परवलय पर स्थित बिंदु $(at^2, 2at)$ के लिए,$(2, -4) = (2t^2, 4t)$,जिससे $t = -1$ प्राप्त होता है।
प्राचल $t$ पर खींचा गया अभिलंब परवलय को पुनः प्राचल $t_2 = -t - \frac{2}{t}$ पर मिलता है।
$t = -1$ रखने पर,हमें $t_2 = -(-1) - \frac{2}{-1} = 1 + 2 = 3$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(\alpha, \beta)$ के निर्देशांक $(at_2^2, 2at_2) = (2(3)^2, 2(2)(3)) = (18, 12)$ हैं।
अतः,$\alpha + \beta = 18 + 12 = 30$।

(B) परवलय का समीकरण $y^2=6x$ है। इसे $y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$4a=6$,अतः $a=1.5$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ पर परवलय $y^2=4ax$ के अभिलंब का समीकरण $y-y_1 = -\frac{y_1}{2a}(x-x_1)$ है।
$x_1=24$,$y_1=12$,और $a=1.5$ के मान रखने पर:
$y-12 = -\frac{12}{2(1.5)}(x-24)$
$y-12 = -\frac{12}{3}(x-24)$
$y-12 = -4(x-24)$
$y-12 = -4x+96$
$4x+y = 108$.

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ है। बिंदु $P$ $(2a, 2a\sqrt{2})$ है।
$P(2a, 2a\sqrt{2})$ की तुलना $(at^2, 2at)$ से करने पर,$t = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$t$ पर अभिलंब परवलय को $t_1 = -t - \frac{2}{t} = -\sqrt{2} - \frac{2}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$ पर मिलता है।
$Q$ के निर्देशांक $(at_1^2, 2at_1) = (a(-2\sqrt{2})^2, 2a(-2\sqrt{2})) = (8a, -4a\sqrt{2})$ हैं।
शीर्ष $O(0, 0)$ है।
$OP$ की ढाल $m_1 = \frac{2a\sqrt{2}}{2a} = \sqrt{2}$ है।
$OQ$ की ढाल $m_2 = \frac{-4a\sqrt{2}}{8a} = -\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
चूंकि $m_1 \times m_2 = \sqrt{2} \times (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -1$,रेखाएं $OP$ और $OQ$ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,$\theta = 90^{\circ}$।

(C) परवलय $y^2 = 4px$ के लिए अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2pm - pm^3$ होता है।
दिए गए अभिलंब समीकरण $ax + by = 1$ को $y = -\frac{a}{b}x + \frac{1}{b}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर, $m = -\frac{a}{b}$ और $-2pm - pm^3 = \frac{1}{b}$ प्राप्त होता है।
$m = -\frac{a}{b}$ का मान रखने पर:
$-2p(-\frac{a}{b}) - p(-\frac{a}{b})^3 = \frac{1}{b}$
$\frac{2pa}{b} + \frac{pa^3}{b^3} = \frac{1}{b}$
दोनों पक्षों को $b^3$ से गुणा करने पर, $2pab^2 + pa^3 = b^2$ प्राप्त होता है, जिसे $pa^3 = b^2 - 2pab^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(D) परवलय $y^2=4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y=mx-2am-am^3$ होता है।
दिए गए परवलय $y^2=4x$ की तुलना $y^2=4ax$ से करने पर,$a=1$ प्राप्त होता है।
दी गई रेखा $y=2x+k$ है,अतः ढाल $m=2$ है।
$a=1$ और $m=2$ का मान अभिलंब के समीकरण में रखने पर:
$k = -2(1)(2) - (1)(2)^3$
$k = -4 - 8$
$k = -12$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) परवलय $y^2=4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y=mx-2am-am^3$ है।
यदि यह अभिलंब बिंदु $(h, k)$ से गुजरता है,तो $k=mh-2am-am^3$,जो $m$ में एक त्रिघात समीकरण है: $am^3 + (2a-h)m + k = 0$।
मान लीजिए कि इसके मूल $m_1, m_2, m_3$ हैं।
चूंकि अभिलंब लंबवत हैं,इसलिए $m_1m_2 = -1$।
मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $m_1m_2m_3 = -k/a$ होता है।
$m_1m_2 = -1$ रखने पर,$(-1)m_3 = -k/a$,अतः $m_3 = k/a$।
चूंकि $m_3$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा: $a(k/a)^3 + (2a-h)(k/a) + k = 0$।
इसे सरल करने पर: $k^3/a^2 + 2k - hk/a + k = 0$।
$k$ से भाग देने पर: $k^2/a^2 + 3 - h/a = 0$।
$k^2 = ah - 3a^2$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y^2 = ax - 3a^2$ या $y^2 - ax + 3a^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए परवलय का समीकरण $y^2=4x$ है,जिसका अर्थ है $a=1$ है।
परवलय $y^2=4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y=mx-2am-am^3$ होता है।
$a=1$ प्रतिस्थापित करने पर,अभिलंब का समीकरण $y=mx-2m-m^3 \dots(I)$ प्राप्त होता है।
दी गई रेखा $x+3y+1=0$ है,जिसे $y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{1}{3}$ है।
चूंकि अभिलंब इस रेखा पर लंब है,इसलिए उनकी ढालों का गुणनफल $-1$ होना चाहिए। यदि अभिलंब की ढाल $m$ है,तो $m \times (-\frac{1}{3}) = -1$,जिससे $m=3$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(I)$ में $m=3$ रखने पर:
$y = 3x - 2(3) - (3)^3$
$y = 3x - 6 - 27$
$y = 3x - 33$
$3x - y = 33$.

(A) परवलय का अक्ष नाभि $S(1,-1)$ और शीर्ष $A(1,1)$ से गुजरने वाली रेखा है। चूंकि $x$-निर्देशांक समान हैं,अक्ष ऊर्ध्वाधर रेखा $x=1$ है।
शीर्ष $A(1,1)$ और नाभि $S(1,-1)$ के बीच की दूरी $a = \sqrt{(1-1)^2 + (1 - (-1))^2} = 2$ है।
चूंकि शीर्ष नाभि के ऊपर है,परवलय नीचे की ओर खुलता है। नियता (directrix) शीर्ष $A(1,1)$ से $a=2$ की दूरी पर ऊपर स्थित एक क्षैतिज रेखा है।
नियता का समीकरण $y = 1 + 2 = 3$ है।
परवलय की परिभाषा के अनुसार,उस पर स्थित किसी भी बिंदु $P(x,y)$ के लिए,नाभि से दूरी नियता से दूरी के बराबर होती है: $PS^2 = PM^2$.
$(x-1)^2 + (y+1)^2 = (y-3)^2$.
$(x-1)^2 + y^2 + 2y + 1 = y^2 - 6y + 9$.
$(x-1)^2 = -8y + 8 = 8(1-y)$.
विकल्प $A$ की जाँच करने पर: $\left(3, \frac{1}{2}\right)$ के लिए,$(3-1)^2 = 2^2 = 4$ और $8(1 - \frac{1}{2}) = 8(\frac{1}{2}) = 4$.
चूंकि $4=4$,बिंदु $\left(3, \frac{1}{2}\right)$ परवलय पर स्थित है।

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ के बिंदु $t_1$ पर अभिलंब का समीकरण $y + t_1x = 2at_1 + at_1^3$ होता है।
चूंकि यह अभिलंब परवलय को बिंदु $t_2 = (at_2^2, 2at_2)$ पर पुनः मिलता है,इसलिए यह बिंदु अभिलंब के समीकरण को संतुष्ट करेगा।
$x = at_2^2$ और $y = 2at_2$ रखने पर:
$2at_2 + t_1(at_2^2) = 2at_1 + at_1^3$.
$a$ से विभाजित करने पर:
$2t_2 + t_1t_2^2 = 2t_1 + t_1^3$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$t_1(t_2^2 - t_1^2) + 2(t_2 - t_1) = 0$.
$t_1(t_2 - t_1)(t_2 + t_1) + 2(t_2 - t_1) = 0$.
$(t_2 - t_1)$ से विभाजित करने पर:
$t_1(t_2 + t_1) + 2 = 0$.
$t_1t_2 + t_1^2 + 2 = 0$.
अतः,$t_1t_2 = -2 - t_1^2$.

(D) परवलय $x^2=4ay$ के लिए,अभिलंबों के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ $x^2=a(y-3a)$ होता है।
यहाँ $4a=8$ है,इसलिए $a=2$ है।
अतः,बिंदुपथ $x^2=2(y-3(2)) = 2(y-6) = 2y-12$ होगा।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है,इसलिए $a = 1$ है।
बिंदु $(-2, -1)$ परवलय के बाहर स्थित है क्योंकि $(-1)^2 - 4(-2) = 9 > 0$ है।
$m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ है।
$a = 1$ और बिंदु $(-2, -1)$ रखने पर,$-1 = -2m + \frac{1}{m}$ प्राप्त होता है।
$m$ से गुणा करने पर,$-m = -2m^2 + 1$,अर्थात $2m^2 - m - 1 = 0$।
गुणनखंड करने पर,$(2m + 1)(m - 1) = 0$,जिससे ढाल $m_1 = 1$ और $m_2 = -1/2$ प्राप्त होते हैं।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$।
$\tan \theta = |\frac{1 - (-1/2)}{1 + (1)(-1/2)}| = 3$।
$\tan 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 - \tan^2 \theta} = \frac{2(3)}{1 - 3^2} = \frac{6}{-8} = -\frac{3}{4}$।

(D) दिए गए परवलय $y^2 = 4x$ के लिए, $a = 1$ है। बिंदु $P(-1, 2)$ है।
स्पर्श जीवा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है।
$x_1 = -1, y_1 = 2, a = 1$ रखने पर, $2y = 2(x - 1)$, जो $x - y - 1 = 0$ में सरल होता है।
स्पर्श जीवा की लंबाई $L = \frac{\sqrt{(y_1^2 - 4ax_1)^3}}{2a} = \frac{\sqrt{(2^2 - 4(1)(-1))^3}}{2(1)} = \frac{\sqrt{8^3}}{2} = 8\sqrt{2}$ है।
बिंदु $(-1, 2)$ से जीवा $x - y - 1 = 0$ की लंबवत दूरी $h = \frac{|-1 - 2 - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{h^3}{2a} = \frac{(2\sqrt{2})^3}{2} = 8\sqrt{2}$ है।

(A) दिए गए परवलय $y^2=12x$ के लिए,$4a=12$,अतः $a=3$ है। मान लीजिए बिंदुओं $P$ और $Q$ के प्राचल (parameters) क्रमशः $t_1$ और $t_2$ हैं। कोटियाँ $y_1=2at_1$ और $y_2=2at_2$ हैं। $y_1:y_2=1:2$ दिया गया है,इसलिए $t_1:t_2=1:2$,जिससे $t_2=2t_1$ प्राप्त होता है। मान लीजिए $t_1=t$,तो $t_2=2t$ है।
$t_1$ और $t_2$ पर अभिलंबों के प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ के निर्देशांक:
$x = 2a + a(t_1^2 + t_2^2 + t_1t_2) = 6 + 21t^2$
$y = -at_1t_2(t_1+t_2) = -18t^3$
$x=6+21t^2$ से,$t^2 = \frac{x-6}{21}$ प्राप्त होता है,अतः $t = \left(\frac{x-6}{21}\right)^{1/2}$ है।
$y=-18t^3$ में $t$ का मान रखने पर,$y = -18 \left(\frac{x-6}{21}\right)^{3/2}$,अर्थात $y+18\left(\frac{x-6}{21}\right)^{3/2}=0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया परवलय $y^2=12x$ है। $y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$a=3$ प्राप्त होता है। नाभि $(3, 0)$ है।
माना $Q(3t^2, 6t)$ परवलय पर एक बिंदु है।
बिंदु $P(x, y)$,$(3, 0)$ और $(3t^2, 6t)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P(x, y) = \left(\frac{1(3t^2) + 2(3)}{1+2}, \frac{1(6t) + 2(0)}{1+2}\right) = \left(\frac{3t^2+6}{3}, \frac{6t}{3}\right) = (t^2+2, 2t)$.
अतः,$x = t^2+2$ और $y = 2t$.
$y = 2t$ से,$t = \frac{y}{2}$ प्राप्त होता है।
$x$ के समीकरण में $t$ का मान रखने पर: $x = (\frac{y}{2})^2 + 2 = \frac{y^2}{4} + 2$.
$x - 2 = \frac{y^2}{4} \Rightarrow y^2 = 4(x-2)$.

(A) दिए गए परवलय $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 4ay$ हैं।
इन्हें हल करने पर,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(4a, 4a)$ प्राप्त होते हैं।
रेखा $2bx + 3cy + 4d = 0$ इन दोनों बिंदुओं से गुजरती है।
$(0, 0)$ के लिए: $2b(0) + 3c(0) + 4d = 0 \Rightarrow d = 0$.
$(4a, 4a)$ के लिए: $2b(4a) + 3c(4a) + 4d = 0$.
चूंकि $d = 0$,यह $8ab + 12ac = 0$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $4a(2b + 3c) = 0$.
$a \neq 0$ मानते हुए,$2b + 3c = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$d = 0$ और $2b + 3c = 0$ से $d^2 + (2b + 3c)^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 4(x+4)$ है।
परवलय पर एक बिंदु $P(x, y) = (t^2-4, 2t)$ मान लीजिए।
मूल बिंदु $(0,0)$ से परवलय पर किसी भी बिंदु की दूरी का वर्ग $d^2 = x^2 + y^2 = (t^2-4)^2 + (2t)^2$ है।
$d^2 = t^4 - 8t^2 + 16 + 4t^2 = t^4 - 4t^2 + 16$.
वृत्त $x^2+y^2=k^2$ के परवलय के अंदर स्थित होने के लिए,सभी $t$ के लिए $k^2 \leq d^2$ होना चाहिए।
माना $u = t^2$,जहाँ $u \geq 0$ है। तब $f(u) = u^2 - 4u + 16$ है।
$f(u)$ का न्यूनतम मान $u = 2$ पर प्राप्त होता है।
न्यूनतम मान $f(2) = 2^2 - 4(2) + 16 = 12$ है।
अतः,$k^2 \leq 12$,जिसका अर्थ है $k \leq 2\sqrt{3}$।
$k$ का अधिकतम मान $2\sqrt{3}$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है। इसकी तुलना $y^2 = 4ax$ से करने पर,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है। नाभि $S$ का निर्देशांक $(a, 0) = (1, 0)$ है।
चूंकि बिंदु $P = (4, 4)$ परवलय पर स्थित है,हम $x = at_1^2$ और $y = 2at_1$ का उपयोग करके बिंदु $P$ के लिए प्राचल $t_1$ ज्ञात कर सकते हैं। अतः,$4 = 1 \cdot t_1^2 \implies t_1 = 2$.
नाभीय जीवा के लिए,सिरों $P$ और $Q$ के प्राचल $t_1$ और $t_2$ का संबंध $t_1 t_2 = -1$ होता है। इसलिए,$t_2 = -\frac{1}{t_1} = -\frac{1}{2}$.
परवलय $y^2 = 4ax$ पर प्राचल $t$ वाले बिंदु की नाभीय दूरी $a(1 + t^2)$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $Q$ के लिए जिसका प्राचल $t_2 = -\frac{1}{2}$ है,नाभीय दूरी $SQ = a(1 + t_2^2) = 1 \cdot (1 + (-\frac{1}{2})^2) = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाने वाली नाभि जीवा की लंबाई $L = 4a \csc^2 \theta$ होती है।
यहाँ $4a = 16$,इसलिए $a = 4$ है। लंबाई $L = 25$ है।
अतः,$25 = 16 \csc^2 \theta \implies \csc^2 \theta = \frac{25}{16} \implies \sin^2 \theta = \frac{16}{25} \implies \sin \theta = \pm \frac{4}{5}$।
दो नाभि जीवाओं के बीच का कोण $2\theta$ है। चूँकि $\sin \theta = \frac{4}{5}$,इसलिए $\cos \theta = \frac{3}{5}$ होगा।
अतः $\sin(2\theta) = 2 \sin \theta \cos \theta = 2 \times \frac{4}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times L_1 \times L_2 \times \sin(2\theta) = \frac{1}{2} \times 25 \times 25 \times \frac{24}{25} = 300$ वर्ग इकाई।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 15x$ है,इसलिए $4a = 15$,जिससे $a = \frac{15}{4}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P = \left(\frac{15}{2}, \frac{15}{\sqrt{2}}\right)$ है। माना $P = (at^2, 2at)$।
$at^2 = \frac{15}{2} \implies \frac{15}{4}t^2 = \frac{15}{2} \implies t^2 = 2 \implies t = \sqrt{2}$।
$t$ पर अभिलंब परवलय को फिर से $t_1 = -t - \frac{2}{t} = -\sqrt{2} - \frac{2}{\sqrt{2}} = -2\sqrt{2}$ पर मिलता है।
शीर्ष $V(0,0)$ है। जीवा $PQ$ द्वारा शीर्ष पर अंतरित कोण $\theta$,सदिशों $\vec{VP}$ और $\vec{VQ}$ के बीच का कोण है।
$P = (\frac{15}{2}, \frac{15}{\sqrt{2}})$ और $Q = (30, -15\sqrt{2})$।
प्रवणता $m_1 = \sqrt{2}$ और $m_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
$\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}| = \infty$,अतः $\theta = 90^\circ$।
$\sin(30^\circ) + \cos(60^\circ) - \sec(120^\circ) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - (-2) = 3$।

(C) माना $P(t, -1/t)$ वक्र $xy = -1$ पर एक बिंदु है। $P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x(-1/t) + y(t) = -2$ है,जिसे $y = x/t^2 + 2/t$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यदि यह रेखा परवलय $y^2 = 8x$ (जहाँ $a = 2$) की स्पर्श रेखा है,तो शर्त $c = a/m$ संतुष्ट होनी चाहिए।
यहाँ,$m = 1/t^2$ और $c = 2/t$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $2/t = 2 / (1/t^2) \implies 2/t = 2t^2 \implies t^3 = 1 \implies t = 1$।
$t = 1$ को स्पर्श रेखा के समीकरण $y = x/t^2 + 2/t$ में रखने पर,हमें $y = x + 2$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 4ay$ रेखा $y = x$ के सापेक्ष सममित हैं।
इसलिए,रेखा $y = x$ उनके प्रतिच्छेदन बिंदुओं से होकर गुजरती है।
$y^2 = 4ax$ और $y = x$ को हल करने पर:
$x^2 = 4ax \Rightarrow x(x - 4a) = 0 \Rightarrow x = 0$ या $x = 4a$।
जब $x = 0$ है,तो $y = 0$। जब $x = 4a$ है,तो $y = 4a$।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(4a, 4a)$ हैं।
चूंकि रेखा $2bx + 3cy + 4d = 0$ बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरती है:
$2b(0) + 3c(0) + 4d = 0 \Rightarrow 4d = 0 \Rightarrow d = 0$।
चूंकि यह $(4a, 4a)$ से भी गुजरती है:
$2b(4a) + 3c(4a) + 4d = 0 \Rightarrow 8ab + 12ac + 4d = 0$।
$d = 0$ और $a \neq 0$ होने के कारण,$8ab + 12ac = 0 \Rightarrow 4a(2b + 3c) = 0 \Rightarrow 2b + 3c = 0$।
इसलिए,$d^2 + (2b + 3c)^2 = 0^2 + 0^2 = 0$।

(D) माना प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ है।
वक्र $y^2 = 4ax$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 4a$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y}$।
इस प्रकार,$(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m_1 = \frac{2a}{y_1}$ है।
वक्र $xy = c^2$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $x \frac{dy}{dx} + y = 0$,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$।
इस प्रकार,$(x_1, y_1)$ पर स्पर्शरेखा की ढाल $m_2 = -\frac{y_1}{x_1}$ है।
चूंकि वक्र लंबकोणीय रूप से प्रतिच्छेद करते हैं,$m_1 \times m_2 = -1$।
$\frac{2a}{y_1} \times (-\frac{y_1}{x_1}) = -1 \Rightarrow \frac{2a}{x_1} = 1 \Rightarrow x_1 = 2a$।
चूंकि $(x_1, y_1)$,$y^2 = 4ax$ पर स्थित है,$y_1^2 = 4a(2a) = 8a^2$।
चूंकि $(x_1, y_1)$,$xy = c^2$ पर स्थित है,$x_1 y_1 = c^2$,अतः $(x_1 y_1)^2 = c^4$।
$x_1 = 2a$ और $y_1^2 = 8a^2$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $c^4 = x_1^2 y_1^2 = (2a)^2 (8a^2) = 4a^2 \times 8a^2 = 32a^4$।

(B) दिए गए वक्र $x^2=4y$ $(i)$ और $y^2=4x$ $(ii)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = \frac{x^2}{4}$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करें:
$\left(\frac{x^2}{4}\right)^2 = 4x \implies \frac{x^4}{16} = 4x \implies x^4 = 64x \implies x(x^3 - 64) = 0$.
अतः,$x=0$ या $x=4$ है। $x=4$ के लिए,$y = \frac{16}{4} = 4$ है। इस प्रकार,मूल बिंदु के अलावा प्रतिच्छेदन बिंदु $(4,4)$ है।
अब,$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x = 4 \frac{dy}{dx} \implies \frac{dy}{dx} = \frac{x}{2}$।
बिंदु $(4,4)$ पर,ढाल $m_1 = \frac{4}{2} = 2$ है।
$(ii)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = 4 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$।
बिंदु $(4,4)$ पर,ढाल $m_2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left| \frac{2 - \frac{1}{2}}{1 + 2 \times \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{3}{2}}{2} \right| = \frac{3}{4}$।
चूंकि $\tan \theta = \frac{3}{4}$ है,इसलिए $\sin \theta = \frac{3}{5}$,अर्थात $\theta = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$।

(C) दिया गया परवलय $y^2 = 6x$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 6$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{3}{y}$।
दी गई स्पर्श रेखा $5x - 2y + k = 0$ को $y = \frac{5}{2}x + \frac{k}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस रेखा की ढाल $m = \frac{5}{2}$ है।
स्पर्श बिंदु पर,परवलय की स्पर्श रेखा की ढाल रेखा की ढाल के बराबर होनी चाहिए: $\frac{3}{y} = \frac{5}{2}$।
$y$ के लिए हल करने पर,हमें $y = \frac{6}{5}$ प्राप्त होता है।
$y = \frac{6}{5}$ को परवलय के समीकरण $y^2 = 6x$ में रखने पर:
$(\frac{6}{5})^2 = 6x$
$\frac{36}{25} = 6x$
$x = \frac{36}{25 \times 6} = \frac{6}{25}$।
अतः,स्पर्श बिंदु $(\frac{6}{25}, \frac{6}{5})$ है।