Parabola Questions in Hindi

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $x^{2}+2y=8x-7$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $x^{2}-8x=-2y-7$ प्राप्त होता है।
बाईं ओर पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^{2}-8x+16=-2y-7+16$।
यह सरल होकर $(x-4)^{2}=-2y+9$ हो जाता है।
दाईं ओर से $-2$ कॉमन लेने पर: $(x-4)^{2}=-2(y-\frac{9}{2})$।
इसकी तुलना मानक रूप $(x-h)^{2}=4a(y-k)$ से करने पर,जहाँ नाभिलंब की लंबाई $|4a|$ होती है।
यहाँ,$4a = -2$,इसलिए नाभिलंब की लंबाई $|-2| = 2$ है।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण $3x^{2} = 16y$ है।
$3$ से भाग देने पर,हमें $x^{2} = \frac{16}{3}y$ प्राप्त होता है।
इसे मानक रूप $x^{2} = 4ay$ के साथ तुलना करने पर,$4a = \frac{16}{3}$ प्राप्त होता है,जिससे $a = \frac{4}{3}$ मिलता है।
परवलय $x^{2} = 4ay$ के लिए नियता का समीकरण $y = -a$ होता है।
$a$ का मान रखने पर,हमें $y = -\frac{4}{3}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $3y + 4 = 0$ मिलता है।

(D) दिया गया परवलय समीकरण $y^2 = -16x$ और प्राचल $t = \frac{1}{2}$ है।
$y^2 = -16x$ की तुलना मानक रूप $y^2 = -4ax$ से करने पर,हमें $4a = 16$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 4$.
परवलय $y^2 = -4ax$ पर किसी बिंदु के प्राचलिक निर्देशांक $P(t) = (-at^2, 2at)$ होते हैं।
$a = 4$ और $t = \frac{1}{2}$ का मान रखने पर:
$x = -a t^2 = -4 \times (\frac{1}{2})^2 = -4 \times \frac{1}{4} = -1$.
$y = 2at = 2 \times 4 \times \frac{1}{2} = 4$.
अतः,बिंदु के निर्देशांक $(-1, 4)$ हैं।

(A) दिए गए परवलय का समीकरण: $4x^{2}-4x-2y+3=0$
$4(x^{2}-x) = 2y-3$
$4(x-\frac{1}{2})^{2} = 2y-2$
$(x-\frac{1}{2})^{2} = 2(y-1)$
इसे मानक रूप $X^{2} = 4aY$ से तुलना करने पर,जहाँ $X = x-\frac{1}{2}$ और $Y = y-1$:
$4a = 2 \implies a = \frac{1}{2}$
नियता का समीकरण $Y = -a$ होता है
$y-1 = -\frac{1}{2}$
$y = \frac{1}{2} \implies 2y = 1$.

(D) माना नाभि-जीवा $PQ$ है जो नाभि $S(a, 0)$ से गुजरती है। $P$ के निर्देशांक $(at_{1}^{2}, 2at_{1})$ और $Q$ के निर्देशांक $(at_{2}^{2}, 2at_{2})$ हैं।
चूंकि यह एक नाभि-जीवा है,$t_{1}t_{2} = -1$ होगा।
परवलय पर किसी बिंदु $P(x, y)$ की नाभीय दूरी $SP = a + x = a + at_{1}^{2} = a(1 + t_{1}^{2})$ होती है।
दिया गया है कि नाभि-जीवा के अंतःखंड $b$ और $k$ हैं,अतः $b = a(1 + t_{1}^{2})$ और $k = a(1 + t_{2}^{2})$ है।
चूंकि $t_{2} = -1/t_{1}$,इसलिए $k = a(1 + 1/t_{1}^{2}) = a(\frac{t_{1}^{2} + 1}{t_{1}^{2}})$।
$b = a(1 + t_{1}^{2})$ से,$t_{1}^{2} = \frac{b-a}{a}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $k$ के सूत्र में रखने पर:
$k = a(1 + \frac{a}{b-a}) = a(\frac{b-a+a}{b-a}) = \frac{ab}{b-a}$।

(C) $(0,0)$ शीर्ष वाले और $x$-अक्ष की दिशा में खुलने वाले परवलय का मानक समीकरण $y^{2} = 4ax$ है।
नाभिलंब की लंबाई $4a = \frac{16}{3}$ दी गई है।
$4a = \frac{16}{3}$ को $y^{2} = 4ax$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y^{2} = \frac{16}{3}x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर,$3y^{2} = 16x$ प्राप्त होता है।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $y^{2}=12x$ है।
इसकी तुलना $y^{2}=4ax$ से करने पर,हमें $4a=12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a=3$।
बिंदु $P(x, y)$ के लिए,कोटि $y=6$ दी गई है।
चूंकि बिंदु $P$ परवलय पर स्थित है,इसलिए हम समीकरण में $y=6$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(6)^{2}=12x$ $\Rightarrow 36=12x$ $\Rightarrow x=3$।
परवलय $y^{2}=4ax$ पर स्थित बिंदु $P(x, y)$ की नाभीय दूरी का सूत्र $x+a$ होता है।
$x=3$ और $a=3$ का मान रखने पर:
नाभीय दूरी $= 3+3=6$।

(B) दिया गया परवलय $y^{2}=16x$ है। $y^{2}=4ax$ से तुलना करने पर,$4a=16$,अतः $a=4$ प्राप्त होता है।
माना परवलय पर बिंदु $(h, k)$ है।
दिया गया है कि कोटि,भुज की दोगुनी है,इसलिए $k=2h$ है।
परवलय के समीकरण में $k=2h$ रखने पर: $(2h)^{2}=16h$ $\Rightarrow 4h^{2}=16h$ $\Rightarrow 4h(h-4)=0$।
अतः,$h=0$ या $h=4$।
$h=0$ के लिए,$k=0$। $h=4$ के लिए,$k=8$।
बिंदु $(0,0)$ शीर्ष है,जहाँ नाभीय दूरी $a=4$ है।
बिंदु $(4,8)$ परवलय पर है,जहाँ नाभीय दूरी $h+a = 4+4 = 8$ है।
चूंकि प्रश्न में एक बिंदु की नाभीय दूरी पूछी गई है,इसलिए सही उत्तर $8$ है।

(C) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है,जहाँ $a = 1$ है।
बिंदु $(x_1, y_1) = (1, 4)$ है।
परवलय $y^2 = 4x$ की नियता (directrix) का समीकरण $x = -1$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से परवलय $y^2 = 4ax$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{\sqrt{y_1^2 - 4ax_1}}{x_1 + a} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $a = 1, x_1 = 1, y_1 = 4$।
$\tan \theta = \left| \frac{\sqrt{4^2 - 4(1)(1)}}{1 + 1} \right| = \frac{\sqrt{12}}{2} = \sqrt{3}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{3}$।

(B) दिया गया परवलय $y^2=8x$ है। $y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$4a=8$ प्राप्त होता है,इसलिए $a=2$ है।
रेखा $4x-y+3=0$ की ढाल $m=4$ है।
$m$ ढाल वाले परवलय $y^2=4ax$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\frac{a}{m}$ होता है।
सूत्र में $a=2$ और $m=4$ रखने पर:
$y=4x+\frac{2}{4}$
$y=4x+\frac{1}{2}$
$2y=8x+1$
$8x-2y+1=0$.

(C) परवलय का समीकरण $y^{2} = 4ax$ है।
माना रेखा $lx + my + n = 0$ परवलय की स्पर्श रेखा है।
रेखा के समीकरण को $y = -\frac{l}{m}x - \frac{n}{m}$ के रूप में लिखने पर,जो $y = Mx + C$ के रूप में है,जहाँ ढाल $M = -\frac{l}{m}$ और अंतःखंड $C = -\frac{n}{m}$ है।
रेखा $y = Mx + C$ के परवलय $y^{2} = 4ax$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $C = \frac{a}{M}$ है।
$M$ और $C$ के मान रखने पर:
$-\frac{n}{m} = \frac{a}{-l/m} = -\frac{am}{l}$।
दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{n}{m} = \frac{am}{l}$ प्राप्त होता है।
तिर्यक गुणा करने पर $nl = am^{2}$ प्राप्त होता है।

(B) बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर परवलय $y^{2} = 4ax$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_{1} = 2a(x + x_{1})$ होता है।
यहाँ,परवलय $y^{2} = 16x$ है,इसलिए $4a = 16$,जिसका अर्थ है $a = 4$ है।
बिंदु $(x_{1}, y_{1}) = (3, 6)$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$y(6) = 2(4)(x + 3)$
$6y = 8(x + 3)$
$6y = 8x + 24$
$2$ से विभाजित करने पर:
$3y = 4x + 12$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$3y - 4x - 12 = 0$.

(B) दिए गए परवलय $y^2 = 32x$ $(4a = 32 \implies a = 8)$ और $x^2 = 108y$ $(4b = 108 \implies b = 27)$ हैं।
$y^2 = 32x$ की कोई भी स्पर्श रेखा $y = mx + \frac{8}{m}$ के रूप में होती है।
यह रेखा $x^2 = 108y$ की भी स्पर्श रेखा है। $y = mx + \frac{8}{m}$ को $x^2 = 108y$ में प्रतिस्थापित करने पर,$x^2 = 108(mx + \frac{8}{m}) \implies x^2 - 108mx - \frac{864}{m} = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह स्पर्श रेखा है,विविक्तकर $D = 0$:
$(-108m)^2 - 4(1)(-\frac{864}{m}) = 0 \implies 11664m^2 + \frac{3456}{m} = 0$.
$11664m^3 = -3456 \implies m^3 = -\frac{8}{27}$.
अतः,$m = -\frac{2}{3}$.
$Y$-अंतःखंड $c = \frac{8}{m} = \frac{8}{-2/3} = -12$.

(A) परवलय $y^2 = 4(x-1)$ के लिए,शीर्ष $(1, 0)$ है और $a = 1$ है। नाभिलंब $x = 2$ है। नाभिलंब के अंत्य बिंदु $(2, 2)$ और $(2, -2)$ हैं।
परवलय $x^2 = -4(y-3)$ के लिए,शीर्ष $(0, 3)$ है और $a = 1$ है। नाभिलंब $y = 2$ है। नाभिलंब के अंत्य बिंदु $(2, 2)$ और $(-2, 2)$ हैं।
उभयनिष्ठ बिंदु $(2, 2)$ है।
$y^2 = 4(x-1)$ के लिए,अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$. बिंदु $(2, 2)$ पर,$m_1 = 1$.
$x^2 = -4(y-3)$ के लिए,अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}$. बिंदु $(2, 2)$ पर,$m_2 = -1$.
चूंकि $m_1 \times m_2 = -1$,स्पर्श रेखाएं लंबवत हैं।
अतः,कोण $\frac{\pi}{2}$ है।

(A) दिया गया परवलय समीकरण $y^{2} = 8x$ है।
$y^{2} = 4ax$ से तुलना करने पर,$a = 2$ प्राप्त होता है।
परवलय $y^{2} = 4ax$ के बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ पर अभिलंब की प्रवणता $m = -\frac{y_{1}}{2a}$ होती है।
दिया गया अभिलंब समीकरण $2x + y + \lambda = 0$ है,जिसे $y = -2x - \lambda$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $y = mx + c$ से तुलना करने पर,प्रवणता $m = -2$ प्राप्त होती है।
प्रवणताओं की तुलना करने पर: $-2 = -\frac{y_{1}}{2(2)}$ $\Rightarrow -2 = -\frac{y_{1}}{4}$ $\Rightarrow y_{1} = 8$.
चूंकि बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ परवलय $y^{2} = 8x$ पर स्थित है,इसलिए $8^{2} = 8x_{1}$ $\Rightarrow 64 = 8x_{1}$ $\Rightarrow x_{1} = 8$.
चूंकि बिंदु $(8, 8)$ रेखा $2x + y + \lambda = 0$ पर स्थित है,मान रखने पर:
$2(8) + 8 + \lambda = 0$
$16 + 8 + \lambda = 0$
$24 + \lambda = 0$
$\lambda = -24$.

(A) परवलय $y^{2}=4ax$ के नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक $(a, 2a)$ और $(a, -2a)$ हैं।
परवलय $y^{2}=4ax$ के लिए,$(x_{1}, y_{1})$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{2a}{y_{1}}$ है।
$(a, 2a)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{2a}{2a} = 1$ है,इसलिए अभिलंब की ढाल $-1$ है।
$(a, 2a)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2a = -1(x - a)$ है,जो $x + y - 3a = 0$ में सरल हो जाता है।
$(a, -2a)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{2a}{-2a} = -1$ है,इसलिए अभिलंब की ढाल $1$ है।
$(a, -2a)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - (-2a) = 1(x - a)$ है,जो $x - y - 3a = 0$ में सरल हो जाता है।
संयुक्त समीकरण $(x + y - 3a)(x - y - 3a) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,$((x - 3a) + y)((x - 3a) - y) = 0$ प्राप्त होता है,जो $(x - 3a)^{2} - y^{2} = 0$ है।
अतः,$x^{2} - 6ax + 9a^{2} - y^{2} = 0$,या $x^{2} - y^{2} - 6ax + 9a^{2} = 0$ है।

(A) परवलय $y^{2} = 4ax$ के लिए बिंदु $P(x_{1}, y_{1})$ की ध्रुवीय रेखा का समीकरण $yy_{1} = 2a(x + x_{1})$ होता है।
इसे $2ax - yy_{1} + 2ax_{1} = 0 \dots(i)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दी गई रेखा $lx + my + n = 0 \dots(ii)$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{2a}{l} = \frac{-y_{1}}{m} = \frac{2ax_{1}}{n}$.
पहले और तीसरे अनुपात से: $x_{1} = \frac{n}{l}$.
पहले और दूसरे अनुपात से: $y_{1} = \frac{-2am}{l}$.
अतः,ध्रुव $\left(\frac{n}{l}, \frac{-2am}{l}\right)$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है,जहाँ $4a = 4$,इसलिए $a = 1$ है।
रेखा $y = mx + c$ के परवलय $y^2 = 4ax$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c = a/m$ है।
दी गई रेखा $y = mx + 3$ के लिए,$c = 3$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर: $3 = 1/m$।
अतः,$m = 1/3$ है।

(D) माना वक्र $x^2=2y$ पर बिंदु $P(x, y)$ है। चूँकि $x^2=2y$,इसलिए $y = \frac{x^2}{2}$ है।
अतः,बिंदु $P$ $(x, \frac{x^2}{2})$ है।
बिंदु $P(x, \frac{x^2}{2})$ और $(0, 5)$ के बीच की दूरी $D$ का वर्ग $D^2 = (x-0)^2 + (\frac{x^2}{2}-5)^2$ है।
माना $f(x) = D^2 = x^2 + (\frac{x^2}{2}-5)^2 = x^2 + \frac{x^4}{4} - 5x^2 + 25 = \frac{x^4}{4} - 4x^2 + 25$ है।
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $f(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे $0$ के बराबर रखते हैं:
$f'(x) = x^3 - 8x = x(x^2 - 8) = 0$।
इससे $x = 0$ या $x^2 = 8$ प्राप्त होता है,अर्थात $x = \pm 2\sqrt{2}$।
$x=0$ के लिए,$y=0$,$D^2 = 25$,$D=5$ है।
$x^2=8$ के लिए,$y = \frac{8}{2} = 4$ है। तब $D^2 = 8 + (4-5)^2 = 8 + 1 = 9$,अर्थात $D=3$ है।
चूँकि $3 < 5$,निकटतम बिंदु $(2\sqrt{2}, 4)$ या $(-2\sqrt{2}, 4)$ है।
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,सही बिंदु $(2\sqrt{2}, 4)$ है।

(D) वक्र पर किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर सबनॉर्मल की लंबाई का सूत्र $L = |y \frac{dy}{dx}|$ है।
यह दिया गया है कि सबनॉर्मल की लंबाई स्थिर है,मान लीजिए $L = k$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
अतः,$|y \frac{dy}{dx}| = k$।
मान लीजिए $y > 0$,तो $y \frac{dy}{dx} = k$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int y \, dy = \int k \, dx$।
इससे $\frac{y^2}{2} = kx + C$ प्राप्त होता है।
सरलता के लिए,$C = 0$ लेने पर,$y^2 = 2kx$ प्राप्त होता है।
यह एक परवलय (parabola) का समीकरण है।
परवलय की उत्केंद्रता $e = 1$ होती है।

(D) परवलय का दिया गया समीकरण: $4y^{2} + 3x + 3y + 1 = 0$.
$y$ वाले पदों को अलग करने पर: $4y^{2} + 3y = -3x - 1$.
$4$ से भाग देने पर: $y^{2} + \frac{3}{4}y = -\frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$.
बाईं ओर पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(y + \frac{3}{8})^{2} - \frac{9}{64} = -\frac{3}{4}x - \frac{1}{4}$.
$(y + \frac{3}{8})^{2} = -\frac{3}{4}x - \frac{1}{4} + \frac{9}{64}$.
$(y + \frac{3}{8})^{2} = -\frac{3}{4}x - \frac{7}{64}$.
$(y + \frac{3}{8})^{2} = -\frac{3}{4}(x + \frac{7}{48})$.
इसे मानक रूप $(y - k)^{2} = -4a(x - h)$ से तुलना करने पर,हमें $4a = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,नाभिलंब की लंबाई $4a = \frac{3}{4}$ है।

(A) परवलय की नाभि $(a, 0) = (6, 0)$ है,जिसका अर्थ है कि $a = 6$ है।
परवलय की नियता $x = -a$ है,जो $x = -6$ है।
चूँकि नाभि $x$-अक्ष पर स्थित है और नियता एक ऊर्ध्वाधर रेखा है,इसलिए परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ के रूप में होगा।
$a = 6$ का मान समीकरण में रखने पर,हमें $y^2 = 4(6)x$ प्राप्त होता है।
अतः,परवलय का समीकरण $y^2 = 24x$ है।

(B) दिए गए शांकव का समीकरण $3x^{2} - 4y + 6x - 3 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$3x^{2} + 6x = 4y + 3$ प्राप्त होता है।
$3$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$3(x^{2} + 2x) = 4y + 3$ प्राप्त होता है।
कोष्ठक के अंदर पूर्ण वर्ग बनाने पर,$3(x^{2} + 2x + 1 - 1) = 4y + 3$ प्राप्त होता है।
$3((x + 1)^{2} - 1) = 4y + 3$.
$3(x + 1)^{2} - 3 = 4y + 3$.
$3(x + 1)^{2} = 4y + 6$.
$(x + 1)^{2} = \frac{4}{3}(y + \frac{6}{4}) = \frac{4}{3}(y + \frac{3}{2})$.
इसे परवलय के मानक रूप $X^{2} = 4aY$ से तुलना करने पर,जहाँ $X = x + 1$ और $Y = y + \frac{3}{2}$,हमें $4a = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः नाभिलम्ब की लंबाई $4a = \frac{4}{3}$ है।

(C) दिए गए परवलय का समीकरण $y = 2x^{2} + x$ है।
$2$ से विभाजित करने पर,$x^{2} + \frac{x}{2} = \frac{y}{2}$ प्राप्त होता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$x^{2} + \frac{x}{2} + \frac{1}{16} = \frac{y}{2} + \frac{1}{16}$।
यह $(x + \frac{1}{4})^{2} = \frac{1}{2}(y + \frac{1}{8})$ में सरल हो जाता है।
इसे मानक रूप $X^{2} = 4AY$ से तुलना करने पर,जहाँ $X = x + \frac{1}{4}$,$Y = y + \frac{1}{8}$,और $4A = \frac{1}{2}$,हमें $A = \frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
$(X, Y)$ निर्देशांक प्रणाली में नाभि $(0, A) = (0, \frac{1}{8})$ है।
मान वापस रखने पर,$x + \frac{1}{4} = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}$ और $y + \frac{1}{8} = \frac{1}{8} \Rightarrow y = 0$।
अतः,दिए गए परवलय की नाभि $(-\frac{1}{4}, 0)$ है।

(D) परवलय का समीकरण $y^{2} = 4x$ है। इसकी तुलना $y^{2} = 4ax$ से करने पर,हमें $a = 1$ प्राप्त होता है।
परवलय पर किसी भी बिंदु $P(x, y)$ के लिए,नाभीय दूरी $x + a$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि नाभीय दूरी $17$ है,इसलिए $x + 1 = 17$,जिसका अर्थ है $x = 16$।
$x = 16$ को परवलय के समीकरण में रखने पर: $y^{2} = 4(16) = 64$।
अतः,$y = \pm 8$।
इसलिए,अभीष्ट बिंदु $(16, 8)$ या $(16, -8)$ हैं।

(A) माना परवलय $y^{2} = 4ax$ पर बिंदुओं $P$ और $Q$ के निर्देशांक $(at_{1}^{2}, 2at_{1})$ और $(at_{2}^{2}, 2at_{2})$ हैं।
चूंकि $PQ$ एक नाभि जीवा है,इसलिए $t_{1}t_{2} = -1$ है।
बिंदुओं $P$ और $Q$ की नाभीय दूरियाँ $r_{1} = a(1 + t_{1}^{2})$ और $r_{2} = a(1 + t_{2}^{2})$ हैं।
व्युत्क्रमों का योग $\frac{1}{r_{1}} + \frac{1}{r_{2}} = \frac{1}{a(1 + t_{1}^{2})} + \frac{1}{a(1 + t_{2}^{2})}$ है।
$t_{2} = -\frac{1}{t_{1}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{1}{a(1 + t_{1}^{2})} + \frac{1}{a(1 + \frac{1}{t_{1}^{2}})} = \frac{1}{a(1 + t_{1}^{2})} + \frac{t_{1}^{2}}{a(t_{1}^{2} + 1)}$ प्राप्त होता है।
$= \frac{1 + t_{1}^{2}}{a(1 + t_{1}^{2})} = \frac{1}{a}$।

(C) दिया गया परवलय समीकरण: $y = \alpha x^{2} - 6x + \beta \dots (i)$
चूंकि परवलय बिंदु $(0, 2)$ से गुजरता है,हम समीकरण $(i)$ में $x = 0$ और $y = 2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$2 = \alpha(0)^{2} - 6(0) + \beta \implies \beta = 2$
अब,समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2\alpha x - 6$
$x = \frac{3}{2}$ पर स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के समांतर है,जिसका अर्थ है कि $x = \frac{3}{2}$ पर ढाल $\frac{dy}{dx} = 0$ है:
$\left(\frac{dy}{dx}\right)_{x = 3/2} = 2\alpha \left(\frac{3}{2}\right) - 6 = 0$
$3\alpha - 6 = 0 \implies 3\alpha = 6 \implies \alpha = 2$
अतः,मान $\alpha = 2$ और $\beta = 2$ हैं।

(D) दिया गया है,परवलय का समीकरण $y^{2}=4x$ है।
$y^{2}=4ax$ से तुलना करने पर,$a=1$ प्राप्त होता है।
ढाल रूप में परवलय की स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\frac{a}{m}$ है।
$a=1$ प्रतिस्थापित करने पर,$y=mx+\frac{1}{m} \quad (i)$ प्राप्त होता है।
स्पर्श रेखा $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाती है,इसलिए ढाल $m = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ है।
समीकरण $(i)$ में $m=1$ रखने पर,$y = (1)x + \frac{1}{1}$ प्राप्त होता है।
यह $y = x + 1$ में सरल हो जाता है,अर्थात $x - y + 1 = 0$।

(C) परवलय का समीकरण $x^{2}=-8y$ है। इसकी तुलना $x^{2}=4ay$ से करने पर,हमें $4a=-8$ प्राप्त होता है,इसलिए $a=-2$ है। परवलय की नाभि $(0, a) = (0, -2)$ है।
माना नाभीय जीवा के सिरे $P(x_1, y_1)$ और $P'(x_2, y_2)$ हैं। परवलय की नाभीय जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएं नियता (directrix) पर प्रतिच्छेद करती हैं।
परवलय $x^{2}=4ay$ की नियता $y=-a$ होती है।
यहाँ,$a=-2$ है,इसलिए नियता $y=-(-2) = 2$ है।
अतः,स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ रेखा $y=2$ है।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $y^{2}=16x$ है।
इसे मानक रूप $y^{2}=4ax$ से तुलना करने पर,हमें $4a=16$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a=4$।
परवलय का एक मानक गुण यह है कि किसी भी नाभीय जीवा के सिरों पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ परवलय की नियता (directrix) पर समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं।
परवलय $y^{2}=4ax$ के लिए नियता का समीकरण $x=-a$ होता है।
$a=4$ रखने पर,नियता का समीकरण $x=-4$ प्राप्त होता है,जिसे $x+4=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,स्पर्श रेखाएँ $x+4=0$ रेखा पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(A) परवलय का समीकरण $y^{2}=4ax$ दिया गया है। मान लीजिए परवलय पर प्राचलिक बिंदु $(at^{2}, 2at)$ है।
इस बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{2a}{y} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$ है।
अभिलंब की ढाल $-t$ है। मान लीजिए अभिलंब की ढाल $m$ है,इसलिए $m = -t$,जिसका अर्थ है $t = -m$ है।
बिंदु $(at^{2}, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y - 2at = -t(x - at^{2})$ है।
$t = -m$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y - 2a(-m) = -(-m)(x - a(-m)^{2})$ प्राप्त होता है।
$y + 2am = m(x - am^{2})$.
$y + 2am = mx - am^{3}$.
$y = mx - 2am - am^{3}$.
इसे दी गई रेखा $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $c = -2am - am^{3}$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय का समीकरण $y^{2} = 12x$ है,जो $y^{2} = 4ax$ के रूप में है,जहाँ $a = 3$ है।
किसी भी बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ के लिए,स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_{1} = T^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$S = y^{2} - 12x$,$S_{1} = (2)^{2} - 12(-3) = 40$,और $T = 2y - 6x + 18$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$(y^{2} - 12x)(40) = (2y - 6x + 18)^{2}$
$10y^{2} - 120x = y^{2} + 9x^{2} + 81 - 6xy - 54x + 18y$
$9x^{2} - 9y^{2} - 6xy + 66x + 18y + 81 = 0$.
द्विघात समीकरण $Ax^{2} + 2Hxy + By^{2} + 2Gx + 2Fy + C = 0$ के लिए,रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{H^{2} - AB}}{A + B} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$A = 9$,$B = -9$ है।
चूँकि $A + B = 0$,रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $90^{\circ}$ है।

(C) दिए गए प्राचलिक समीकरण:
$x = t^{2} + 2$
$y = 2t$
दूसरे समीकरण से,$t = \frac{y}{2}$ प्राप्त होता है।
$t$ का यह मान पहले समीकरण में रखने पर:
$x = (\frac{y}{2})^{2} + 2$
$x = \frac{y^{2}}{4} + 2$
$x - 2 = \frac{y^{2}}{4}$
$y^{2} = 4(x - 2)$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना नाभि $S(a, 0)$ है।
परवलय $y^{2}=4ax$ पर कोई बिंदु $P(at^{2}, 2at)$ है।
माना $SP$ का मध्य-बिंदु $(x, y)$ है।
अतः,$x = \frac{a + at^{2}}{2}$ और $y = \frac{0 + 2at}{2} = at$ है।
$y = at$ से,$t = \frac{y}{a}$ प्राप्त होता है।
$x$ के समीकरण में $t$ का मान रखने पर:
$x = \frac{a + a(\frac{y}{a})^{2}}{2} = \frac{a + \frac{y^{2}}{a}}{2}$।
$2x = a + \frac{y^{2}}{a} \implies \frac{y^{2}}{a} = 2x - a \implies y^{2} = 2a(x - \frac{a}{2})$।
यह $Y^{2} = 4AX$ के रूप का परवलय है जहाँ $A = \frac{a}{2}$ और $X = x - \frac{a}{2}$ है।
$Y^{2} = 4AX$ की नियता $X = -A$ होती है।
इसलिए,$x - \frac{a}{2} = -\frac{a}{2}$।
$x = 0$।

(B) परवलय का समीकरण $x^{2} = 4ay$ है।
चूंकि परवलय बिंदु $(2, 1)$ से होकर गुजरता है,हम समीकरण में $x = 2$ और $y = 1$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2)^{2} = 4a(1)$
$4 = 4a$
परवलय $x^{2} = 4ay$ के नाभिलंब की लंबाई $4a$ होती है।
समीकरण $4 = 4a$ से,नाभिलंब की लंबाई $4$ प्राप्त होती है।

(B) दिया गया वक्र $y^{2} = \left|\begin{array}{ll}x+1 & x+2 \\ x+3 & x+5\end{array}\right|$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर:
$y^{2} = (x+1)(x+5) - (x+2)(x+3)$
$y^{2} = (x^{2} + 6x + 5) - (x^{2} + 5x + 6)$
$y^{2} = x - 1$,जो एक परवलय है।
मान लीजिए परवलय पर स्थित बिंदु $Q$ के प्राचलिक निर्देशांक $Q(t^{2}+1, t)$ हैं।
दिया गया है कि $P(x, y)$,$A(1, 0)$ और $Q(t^{2}+1, t)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु है:
$x = \frac{1 + t^{2} + 1}{2} = \frac{t^{2} + 2}{2} \Rightarrow t^{2} = 2x - 2$
$y = \frac{0 + t}{2} = \frac{t}{2} \Rightarrow t = 2y$
$x$ के समीकरण में $t$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(2y)^{2} = 2x - 2$
$4y^{2} = 2(x - 1)$
$y^{2} = \frac{1}{2}(x - 1)$
यह एक परवलय है जिसकी अक्ष $x$-अक्ष के अनुदिश है। अतः,$P$ का बिंदुपथ $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण $x^{2}=12y$ है।
इसे मानक रूप $x^{2}=4ay$ के साथ तुलना करने पर,हमें $4a=12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a=3$।
परवलय का शीर्ष $(0,0)$ पर है।
नाभिलंब के सिरे $(2a, a)$ और $(-2a, a)$ हैं,जो $(6, 3)$ और $(-6, 3)$ हैं।
शीर्ष $(0,0)$ और बिंदुओं $(6, 3)$ तथा $(-6, 3)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$
यहाँ,आधार नाभिलंब की लंबाई है,जो $4a = 12$ है।
ऊंचाई शीर्ष से नाभिलंब तक की दूरी है,जो $a = 3$ है।
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18 \text{ वर्ग इकाई}$।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है। रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है,जिसे $\frac{y-mx}{c} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $(0,0)$ को रेखा और परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं का संयुक्त समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम रेखा के समीकरण का उपयोग करके परवलय के समीकरण को समघातीय बनाते हैं:
$y^2 - 4ax \left( \frac{y-mx}{c} \right) = 0$
$cy^2 - 4axy + 4amx^2 = 0$
$4amx^2 - 4axy + cy^2 = 0$
चूंकि ये रेखाएँ मूल बिंदु पर समकोण अंतरित करती हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$4am + c = 0$
रेखा के समीकरण $y = mx + c$ में $c = -4am$ रखने पर:
$y = mx - 4am$
$y = m(x - 4a)$
यह समीकरण एक निश्चित बिंदु $(4a, 0)$ से गुजरने वाली रेखाओं के परिवार को दर्शाता है।
अतः,संगामी बिंदु $(4a, 0)$ है।

(C) दिया गया शीर्ष $O = (2,3)$ और नाभि $S = (3,2)$ है।
माना नियता अक्ष को बिंदु $A = (x_1, y_1)$ पर काटती है। चूँकि शीर्ष $O$,$AS$ का मध्य बिंदु है,इसलिए:
$\frac{x_1+3}{2} = 2 \Rightarrow x_1 = 1$
$\frac{y_1+2}{2} = 3 \Rightarrow y_1 = 4$
अतः,$A = (1,4)$ है।
अक्ष $AS$ की ढाल $m_1 = \frac{2-3}{3-2} = -1$ है।
नियता अक्ष के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = 1$ होगी।
बिंदु $(1,4)$ से गुजरने वाली और $1$ ढाल वाली नियता का समीकरण:
$y-4 = 1(x-1) \Rightarrow y-x-3 = 0$ है।
परवलय की परिभाषा के अनुसार,उस पर स्थित किसी भी बिंदु $P(x,y)$ के लिए,नाभि से दूरी = नियता से दूरी:
$PS^2 = PM^2$
$(x-3)^2 + (y-2)^2 = \left(\frac{|x-y+3|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}\right)^2$
$(x^2-6x+9) + (y^2-4y+4) = \frac{(x-y+3)^2}{2}$
$2(x^2+y^2-6x-4y+13) = x^2+y^2+9-2xy+6x-6y$
$x^2+2xy+y^2-18x-2y+17 = 0$।

(A) परवलय की परिभाषा के अनुसार,बिंदु $P(x, y)$ की नाभि से दूरी और नियता से लंबवत दूरी समान होती है।
दी गई नाभि $S(1, 0)$ और नियता $x+2y-1=0$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{|x+2y-1|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \sqrt{(x-1)^2 + (y-0)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{(x+2y-1)^2}{5} = (x-1)^2 + y^2$
$(x+2y-1)^2 = 5(x^2-2x+1+y^2)$
$x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 2x - 4y = 5x^2 - 10x + 5 + 5y^2$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$4x^2 - 4xy + y^2 - 8x + 4y + 4 = 0$
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(A) दिए गए परवलय का समीकरण $2y^2 + 5x - 6y + 1 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$2(y^2 - 3y) = -5x - 1$ प्राप्त होता है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $2(y^2 - 3y + \frac{9}{4}) = -5x - 1 + \frac{9}{2}$।
$2(y - \frac{3}{2})^2 = -5x + \frac{7}{2}$।
$2(y - \frac{3}{2})^2 = -5(x - \frac{7}{10})$।
$(y - \frac{3}{2})^2 = 4(-\frac{5}{8})(x - \frac{7}{10})$।
इसे मानक रूप $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ से तुलना करने पर,शीर्ष $(h, k) = (\frac{7}{10}, \frac{3}{2})$ और $a = -\frac{5}{8}$ प्राप्त होता है।
नाभि $(h + a, k) = (\frac{7}{10} - \frac{5}{8}, \frac{3}{2}) = (\frac{28 - 25}{40}, \frac{3}{2}) = (\frac{3}{40}, \frac{3}{2})$ द्वारा दी जाती है।
अतः,शीर्ष और नाभि क्रमशः $(\frac{7}{10}, \frac{3}{2})$ और $(\frac{3}{40}, \frac{3}{2})$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण $y^2-4x+6y+17=0$ है।
$y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(y^2+6y+9)-9-4x+17=0$
$(y+3)^2-4x+8=0$
$(y+3)^2=4(x-2)$.
इसे मानक रूप $Y^2=4aX$ से तुलना करने पर,जहाँ $Y=y+3$ और $X=x-2$,हम देखते हैं कि मूल बिंदु को $(h, k) = (2, -3)$ पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए।
अतः,$h=2$ और $k=-3$ है।
$h^2+k^2$ की गणना करने पर:
$h^2+k^2 = (2)^2+(-3)^2 = 4+9 = 13$.
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(B) परवलय $y^2 = 2px$ है। $y^2 = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = 2p$,अतः $a = \frac{p}{2}$।
परवलय की नाभि $S = (\frac{p}{2}, 0)$ है।
परवलय की नियता $x = -\frac{p}{2}$ है।
वृत्त का केंद्र $(\frac{p}{2}, 0)$ है और यह नियता $x = -\frac{p}{2}$ को स्पर्श करता है।
वृत्त की त्रिज्या $r = p$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - \frac{p}{2})^2 + y^2 = p^2$ है।
$y^2 = 2px$ रखने पर,$x^2 + px - \frac{3p^2}{4} = 0$ प्राप्त होता है।
हल करने पर $x = \frac{p}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः $y^2 = p^2$,यानी $y = \pm p$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{p}{2}, p)$ और $(\frac{p}{2}, -p)$ हैं।

(A) चूंकि परवलय की अक्ष $X$-अक्ष के समांतर है,परवलय का समीकरण $x = ay^2 + by + c$ के रूप में है $(i)$.
दिए गए बिंदु $(0, -1)$,$(6, 1)$ और $(-2, -3)$ परवलय पर स्थित हैं,इसलिए:
$0 = a - b + c$ $(ii)$
$6 = a + b + c$ $(iii)$
$-2 = 9a - 3b + c$ $(iv)$
समीकरण $(iii)$ से $(ii)$ घटाने पर,$2b = 6$ प्राप्त होता है,अतः $b = 3$.
$b = 3$ को $(ii)$ और $(iii)$ में रखने पर,$a + c = 3$ प्राप्त होता है।
$b = 3$ को $(iv)$ में रखने पर,$-2 = 9a - 9 + c$,अतः $9a + c = 7$.
$a + c = 3$ और $9a + c = 7$ को हल करने पर,$8a = 4$ प्राप्त होता है,अतः $a = \frac{1}{2}$.
तब $c = 3 - \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
समीकरण $x = \frac{1}{2}y^2 + 3y + \frac{5}{2}$ है।
$X$-अक्ष पर काटने वाला बिंदु ज्ञात करने के लिए $y = 0$ रखें:
$x = \frac{1}{2}(0)^2 + 3(0) + \frac{5}{2} = \frac{5}{2}$.
अतः,बिंदु $\left(\frac{5}{2}, 0\right)$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $9y^2+12y+9x-14=0$
$(y + \frac{2}{3})^2 = -(x - 2)$
शीर्ष $(h', k') = (2, -2/3)$ और $a = 1/4$ प्राप्त होता है।
नियता $l$ का समीकरण $x = 2 + 1/4 = 9/4$ है।
रेखा $l_1$,$(2, -2/3)$ और $(0, 0)$ से गुजरती है,इसलिए इसकी ढाल $m = -1/3$ है।
$l_1$ का समीकरण: $y = -x/3$।
$l$ $(x = 9/4)$ और $l_1$ $(y = -x/3)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
$h = 9/4$,$k = -3/4$।
अतः,$h+k = 9/4 - 3/4 = 3/2$।

(D) $Y$-अक्ष के समांतर अक्ष वाले परवलय का समीकरण $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ है।
दिए गए बिंदुओं $(0, 2/5)$,$(4, -2)$ और $(1, 8/5)$ को समीकरण में रखने पर:
$(0 - h)^2 = 4a(2/5 - k) \implies h^2 = 4a(2/5 - k) \quad (i)$
$(4 - h)^2 = 4a(-2 - k) \quad (ii)$
$(1 - h)^2 = 4a(8/5 - k) \quad (iii)$
समीकरणों को हल करने पर,हमें $h = 3/2$,$k = 7/4$ और $a = -5/12$ प्राप्त होता है।
परवलय का समीकरण $(x - 3/2)^2 = -5/3(y - 7/4)$ है।
बिंदु $(2, 8/5)$ की जाँच करने पर:
$(2 - 3/2)^2 = 1/4$ और $-5/3(8/5 - 7/4) = 1/4$.
अतः,बिंदु $(2, 8/5)$ परवलय पर स्थित है।

(A) माना परवलय का समीकरण $y = ax^2 + bx + c$ है।
यह $(0,4), (1,9)$ और $(4,5)$ से होकर गुजरता है।
$(0,4)$ को समीकरण में रखने पर: $4 = a(0)^2 + b(0) + c \implies c = 4$.
$(1,9)$ को समीकरण में रखने पर: $9 = a(1)^2 + b(1) + 4 \implies a + b = 5 \dots (1)$.
$(4,5)$ को समीकरण में रखने पर: $5 = a(4)^2 + b(4) + 4 \implies 16a + 4b = 1 \dots (2)$.
समीकरण $(1)$ को $4$ से गुणा करने पर: $4a + 4b = 20 \dots (3)$.
समीकरण $(2)$ से $(3)$ घटाने पर: $12a = -19 \implies a = -\frac{19}{12}$.
$a$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर: $b = \frac{79}{12}$.
अतः समीकरण $y = -\frac{19}{12}x^2 + \frac{79}{12}x + 4$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर: $19x^2 + 12y - 79x - 48 = 0$.

(B) विकल्प $(A)$ के लिए: $x=4 \cos t, y=4 \sin t$. वर्ग करके जोड़ने पर,$x^2+y^2=16(\cos^2 t + \sin^2 t) = 16$. यह एक वृत्त का समीकरण है।
विकल्प $(B)$ के लिए: $x^2-2=-2 \cos t$ और $y=\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)$.
सर्वसमिका $\cos t = 2\cos^2\left(\frac{t}{2}\right)-1$ का उपयोग करने पर,$y = \frac{1+\cos t}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\cos t = 2y-1$.
इस मान को पहले समीकरण में रखने पर: $x^2-2 = -2(2y-1) = -4y+2$.
अतः,$x^2 = -4y+4$,यानी $x^2 = -4(y-1)$. यह एक परवलय का समीकरण है।

(D) नाभि $(4, -3)$ पर है और शीर्ष $(4, -1)$ पर है।
चूंकि $x$-निर्देशांक समान हैं,परवलय का अक्ष ऊर्ध्वाधर रेखा $x=4$ है।
चूंकि नाभि शीर्ष के नीचे स्थित है,परवलय नीचे की ओर खुलता है।
शीर्ष $(4, -1)$ और नाभि $(4, -3)$ के बीच की दूरी $a = |-1 - (-3)| = 2$ है।
नीचे की ओर खुलने वाले परवलय का मानक समीकरण $(x-h)^2 = -4a(y-k)$ है।
$h=4, k=-1, a=2$ रखने पर:
$(x-4)^2 = -4(2)(y - (-1))$
$(x-4)^2 = -8(y+1)$
$x^2 - 8x + 16 = -8y - 8$
$x^2 - 8x + 8y + 24 = 0$.