Parabola Questions in Hindi

(D) परवलय $y^2=4ax$ की जीवा का समीकरण जिसका मध्यबिंदु $(x_1, y_1)$ है,$T=S_1$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,परवलय $y^2=12x$ है,इसलिए $4a=12$,जिसका अर्थ है $a=3$ है।
मध्यबिंदु $(x_1, y_1)$ $(4, 1)$ है।
जीवा का समीकरण $yy_1 - 2a(x+x_1) = y_1^2 - 4ax_1$ है।
मान रखने पर,हमें $y(1) - 2(3)(x+4) = (1)^2 - 12(4)$ प्राप्त होता है।
$y - 6(x+4) = 1 - 48$.
$y - 6x - 24 = -47$.
$6x - y = 23$.
अब,हम जाँचते हैं कि कौन सा बिंदु समीकरण $6x - y = 23$ को संतुष्ट करता है।
विकल्प $D$ के लिए: $6\left(\frac{1}{2}\right) - (-20) = 3 + 20 = 23$.
अतः,बिंदु $\left(\frac{1}{2}, -20\right)$ रेखा पर स्थित है।

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए,$4a = 12$,इसलिए $a = 3$ है। नाभि $S$ बिंदु $(3, 0)$ है।
मान लीजिए नाभीय जीवा $AB$,$x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है। नाभीय जीवा की लंबाई $l = 4a \operatorname{cosec}^2 \theta = 12 \operatorname{cosec}^2 \theta$ द्वारा दी जाती है।
जीवा की मूल बिंदु $(0, 0)$ से दूरी $d$,बिंदु $(3, 0)$ से गुजरने वाली और $m = \tan \theta$ ढाल वाली रेखा की लंबवत दूरी है। रेखा का समीकरण $y - 0 = \tan \theta (x - 3)$ है,जो $x \sin \theta - y \cos \theta - 3 \sin \theta = 0$ है।
दूरी $d = \frac{|0 \cdot \sin \theta - 0 \cdot \cos \theta - 3 \sin \theta|}{\sqrt{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}} = |3 \sin \theta| = 3 \sin \theta$ है।
अतः,$d^2 = 9 \sin^2 \theta$,जिसका अर्थ है $\sin^2 \theta = \frac{d^2}{9}$।
इस मान को $l$ के व्यंजक में रखने पर: $l = 12 \cdot \frac{1}{\sin^2 \theta} = 12 \cdot \frac{9}{d^2} = \frac{108}{d^2}$।
इसलिए,$l \cdot d^2 = 108$।

(B) दिया गया है कि $P(x, y)$ शांकव $C$ पर एक बिंदु है जहाँ $x \geq 3$ है। $P$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \left( \frac{y - (-5)}{x - 3} \right) = \frac{y+5}{2(x-3)}$ है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y+5} = \frac{dx}{2(x-3)}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\ln(y+5) = \frac{1}{2} \ln(x-3) + C_1$,जिसका अर्थ है $2 \ln(y+5) = \ln(x-3) + C$.
चूंकि शांकव $(4,-2)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $2 \ln(-2+5) = \ln(4-3) + C \Rightarrow 2 \ln(3) = 0 + C \Rightarrow C = 2 \ln(3)$.
$C$ का मान रखने पर,$2 \ln(y+5) = \ln(x-3) + 2 \ln(3) = \ln(9(x-3))$ प्राप्त होता है।
अतः,$(y+5)^2 = 9(x-3)$,जो एक परवलय है जिसका शीर्ष $(3, -5)$ है और $4a = 9$,इसलिए $a = \frac{9}{4}$ है।
परवलय पर स्थित बिंदु $(x, y)$ के लिए नाभीय दूरी $d = x+a = x + \frac{9}{4}$ होती है।
प्रश्न में दिए गए बिंदु $(4, -2)$ के लिए,$d = 4 + 2.25 = 6.25 = \frac{25}{4}$ है।
अतः $12d = 12 \times \frac{25}{4} = 3 \times 25 = 75$।

(A) परवलय का समीकरण $9x^2+12x+18y-14=0$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$(3x+2)^2 = -18(y-1)$ प्राप्त होता है।
$P(0,1)$ से गुजरने वाली रेखाएँ $y = mx+1$ हैं।
परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(3x+2)^2 = -18mx \implies 9x^2+(12+18m)x+4 = 0$.
स्पर्श रेखा होने के कारण,विविक्तकर $D = 0$.
$(12+18m)^2 - 144 = 0 \implies 12+18m = \pm 12$.
$m_1 = 0$ और $m_2 = -4/3$.
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = 4/3$.
$\triangle PQR$ समद्विबाहु होने के लिए,$QR$ की ढाल $m = -\cot(\theta/2)$ होगी।
$\tan(\theta/2)$ के लिए द्विघात समीकरण हल करने पर $\tan(\theta/2) = 1/2$ या $-2$ प्राप्त होता है।
अतः $m_1 = -2$ और $m_2 = 1/2$.
$16(m_1^2+m_2^2) = 16(4 + 1/4) = 68$.

(A) माना परवलय $P: y^2=8x$ पर बिंदु $(x_1, y_1) = (2t^2, 4t)$ है।
वृत्त $C: x^2+y^2=4$ की जीवा का समीकरण जो $(x_1, y_1)$ पर समद्विभाजित होती है,$T=S_1$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ का मान $xx_1+yy_1-4$ है और $S_1$ का मान $x_1^2+y_1^2-4$ है।
अतः,$xx_1+yy_1 = x_1^2+y_1^2$.
चूंकि यह जीवा $(\alpha, 0)$ से गुजरती है,हमारे पास $\alpha x_1 = x_1^2+y_1^2$ है।
$x_1=2t^2$ और $y_1=4t$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\alpha(2t^2) = (2t^2)^2 + (4t)^2 = 4t^4 + 16t^2$ प्राप्त होता है।
$2t^2$ से विभाजित करने पर ($t \neq 0$ मानते हुए),हमें $\alpha = 2t^2 + 8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $t^2 = \frac{\alpha-8}{2}$।
जीवा के वृत्त के भीतर अस्तित्व के लिए,मध्य बिंदु $(x_1, y_1)$ वृत्त के अंदर होना चाहिए,इसलिए $x_1^2+y_1^2 < 4$।
$x_1^2+y_1^2 = \alpha x_1 = \alpha(2t^2)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमारे पास $2\alpha t^2 < 4$,या $\alpha t^2 < 2$ है।
$t^2 = \frac{\alpha-8}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\alpha \left(\frac{\alpha-8}{2}\right) < 2$ प्राप्त होता है,जो $\alpha^2 - 8\alpha - 4 < 0$ में सरल हो जाता है।
$\alpha^2 - 8\alpha - 4 = 0$ के मूल $\alpha = \frac{8 \pm \sqrt{64+16}}{2} = 4 \pm 2\sqrt{5}$ हैं।
अतः,$4-2\sqrt{5} < \alpha < 4+2\sqrt{5}$।
इसके अलावा,चूंकि $t^2 > 0$,हमारे पास $\frac{\alpha-8}{2} > 0$ है,इसलिए $\alpha > 8$।
इन दोनों को मिलाने पर,$\alpha \in (8, 4+2\sqrt{5})$।
अतः,$p=8$ और $q=4+2\sqrt{5}$।
तब $(2q-p)^2 = (2(4+2\sqrt{5})-8)^2 = (8+4\sqrt{5}-8)^2 = (4\sqrt{5})^2 = 16 \times 5 = 80$।

(B) परवलय $y^2=4ax$ के लिए,$4a=6$,इसलिए $a=\frac{3}{2}$ है। मान लीजिए बिंदु $A, B, C$ क्रमशः $(at_1^2, 2at_1), (at_2^2, 2at_2), (at_3^2, 2at_3)$ हैं।
रेखा $L$,$C$ से होकर गुजरती है और $x$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए इसका समीकरण $y=2at_3$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $y(t_1+t_2)=2x+2at_1t_2$ है।
बिंदु $D$,$AB$ और $L$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए $2at_3(t_1+t_2)=2x_D+2at_1t_2$,जिससे $x_D=a(t_1t_3+t_2t_3-t_1t_2)$ प्राप्त होता है।
$AM = |2at_1 - 2at_3| = |2a(t_1-t_3)|$.
$BN = |2at_2 - 2at_3| = |2a(t_2-t_3)|$.
$CD = |x_D - at_3^2| = |a(t_1t_3+t_2t_3-t_1t_2-t_3^2)| = a|(t_3-t_1)(t_3-t_2)|$.
अतः,$\frac{AM \cdot BN}{CD} = \frac{|2a(t_1-t_3)| \cdot |2a(t_2-t_3)|}{a|(t_3-t_1)(t_3-t_2)|} = 4a$.
चूंकि $a=\frac{3}{2}$ है,इसलिए $4a = 4 \times \frac{3}{2} = 6$ है।
अतः,$\left(\frac{AM \cdot BN}{CD}\right)^2 = 6^2 = 36$।

(A) दिए गए परवलय का समीकरण: $y = -\frac{1}{2}x^2 + x + 1$ है।
सममिति का अक्ष ज्ञात करने के लिए,हम पूर्ण वर्ग बनाते हैं:
$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x) + 1$
$y = -\frac{1}{2}(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1$
$y = -\frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{2} + 1$
$y - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}(x - 1)^2$ है।
यह $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ के रूप में है,जो रेखा $x = h$ के परितः सममित परवलय को दर्शाता है। यहाँ,$h = 1$ है,इसलिए वक्र $x = 1$ के परितः सममित है।
$Statement-1$ सत्य है। $Statement-2$ परवलय का एक मानक गुण है,जो कि सत्य है। अतः $Statement-2$,$Statement-1$ की सही व्याख्या है।

(A) मान लीजिए बिंदु $P$ $(at^2, 2at)$ है। $P$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है।
$x$-अक्ष के लिए,$y = 0$ रखने पर,$0 = -tx + 2at + at^3$,जिससे $x = 2a + at^2$ प्राप्त होता है। अतः,$Q$ $(2a + at^2, 0)$ है।
नाभि $F$ $(a, 0)$ है।
$\triangle PFQ$ का क्षेत्रफल $= a^2|t|(1 + t^2)$ है।
अभिलंब की ढाल $m = -t$ है,इसलिए $t = -m$। चूँकि $m > 0$,इसलिए $|t| = m$।
क्षेत्रफल $= a^2 m(1 + m^2) = 120$।
यदि $a = 2$ और $m = 3$ लें,तो क्षेत्रफल $= 2^2 \times 3(1 + 3^2) = 4 \times 3(10) = 120$।
अतः,युग्म $(a, m)$ $(2, 3)$ है।

(D) परवलय का समीकरण $y^2=16x$ है।
जीवा का समीकरण $2x+y=p$ है।
मध्यबिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ द्वारा दिया जाता है।
$yk-8(x+h) = k^2-16h$
$yk-8x = k^2-8h$
दिए गए जीवा समीकरण $2x+y=p$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{k}{1} = \frac{-8}{2} = \frac{k^2-8h}{p}$
$\frac{k}{1} = -4$ से,$k=-4$ प्राप्त होता है।
$\frac{-8}{2} = \frac{k^2-8h}{p}$ से,$-4 = \frac{16-8h}{p}$ प्राप्त होता है।
$-4p = 16-8h \Rightarrow 2h-p = 4$.
विकल्प $D$ की जाँच करने पर: $p=2, h=3, k=-4$.
$2(3)-2 = 4$. यह शर्त को संतुष्ट करता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना बिंदु $P$ $(at^2, 2at)$ है।
$P$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $ty = x + at^2$ है। यह अक्ष $(y=0)$ को $T(-at^2, 0)$ पर मिलती है।
$P$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है। यह अक्ष $(y=0)$ को $N(2a + at^2, 0)$ पर मिलता है।
माना $\triangle PTN$ का केंद्रक $R(h, k)$ है।
$h = \frac{at^2 - at^2 + 2a + at^2}{3} = \frac{2a + at^2}{3}$
$k = \frac{2at + 0 + 0}{3} = \frac{2at}{3} \Rightarrow t = \frac{3k}{2a}$.
$h$ के समीकरण में $t$ का मान रखने पर:
$3h = 2a + a\left(\frac{3k}{2a}\right)^2 = 2a + \frac{9k^2}{4a}$.
$9k^2 = 4a(3h - 2a) \Rightarrow k^2 = \frac{4a}{3}\left(h - \frac{2a}{3}\right)$.
बिंदुपथ $y^2 = \frac{4a}{3}\left(x - \frac{2a}{3}\right)$ है।
$Y^2 = 4AX$ से तुलना करने पर,$4A = \frac{4a}{3} \Rightarrow A = \frac{a}{3}$.
शीर्ष $\left(\frac{2a}{3}, 0\right)$ है।
नाभि $\left(\frac{2a}{3} + A, 0\right) = \left(\frac{2a}{3} + \frac{a}{3}, 0\right) = (a, 0)$ है।
अतः,$(A)$ और $(D)$ सही हैं।

(C) मान लीजिए कि बिंदुओं $A$ और $B$ के निर्देशांक क्रमशः $(t_1^2, 2t_1)$ और $(t_2^2, 2t_2)$ हैं।
$AB$ को व्यास मानकर बनाए गए वृत्त का केंद्र $AB$ का मध्यबिंदु है,जो $\left(\frac{t_1^2+t_2^2}{2}, t_1+t_2\right)$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r$ है। चूंकि परवलय का अक्ष ($x$-अक्ष,$y=0$) वृत्त को स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र के $y$-निर्देशांक का निरपेक्ष मान त्रिज्या $r$ के बराबर होना चाहिए।
अतः,$|t_1+t_2| = r$,जिसका अर्थ है $t_1+t_2 = \pm r$.
$A$ और $B$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{2t_2 - 2t_1}{t_2^2 - t_1^2} = \frac{2(t_2 - t_1)}{(t_2 - t_1)(t_2 + t_1)} = \frac{2}{t_1+t_2}$ है।
$t_1+t_2 = \pm r$ रखने पर,हमें $m = \pm \frac{2}{r}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,ढाल के संभावित मान $\frac{2}{r}$ और $-\frac{2}{r}$ हैं,जो विकल्प $C$ और $D$ के अनुरूप हैं।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2=8x$ है,जो $y^2=4ax$ के रूप में है। अतः,$4a=8$,जिससे $a=2$ प्राप्त होता है।
नाभिलंब के अंतिम बिंदु $(a, 2a)$ और $(a, -2a)$ हैं,जो $(2, 4)$ और $(2, -4)$ हैं।
बिंदुओं $(2, 4)$,$(2, -4)$ और $P\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta_1 = 6$ है।
$y^2=8x$ के लिए $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 4(x+x_1)$ है।
$(2, 4)$ पर स्पर्श रेखा: $y = x+2$.
$(2, -4)$ पर स्पर्श रेखा: $y = -x-2$.
$(0.5, 2)$ पर स्पर्श रेखा: $y = 2x+1$.
स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 0)$,$(1, 3)$ और $(-1, -1)$ हैं।
इन बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta_2 = 3$ है।
अतः,$\frac{\Delta_1}{\Delta_2} = \frac{6}{3} = 2$.

(C) मान लीजिए $P$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
चूंकि $P$ बिंदु $(0, 0)$ और $(x, y)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $1:3$ के अनुपात में विभाजित करता है,विभाजन सूत्र के अनुसार:
$h = \frac{x}{4}$ और $k = \frac{y}{4}$
अतः,$x = 4h$ और $y = 4k$ है।
चूंकि बिंदु $(x, y)$ परवलय $y^2 = 4x$ पर स्थित है,इसलिए:
$(4k)^2 = 4(4h)$
$16k^2 = 16h$
$k^2 = h$
अतः,$P$ का बिंदु पथ $y^2 = x$ है।

(C) परवलय $y^2=4ax$ (जहाँ $a=1$) के अभिलंब का समीकरण $y=mx-2am-am^3$ होता है।
$a=1$ रखने पर,$y=mx-2m-m^3$ प्राप्त होता है।
चूँकि अभिलंब $(9,6)$ से गुजरता है,इसलिए:
$6 = 9m - 2m - m^3$
$m^3 - 7m + 6 = 0$
इस समीकरण के हल $m=1, 2, -3$ हैं।
$m=1$ के लिए: $y-x+3=0$.
$m=2$ के लिए: $y-2x+12=0$.
$m=-3$ के लिए: $y+3x-33=0$.
अतः,सही विकल्प $(A), (B)$ और $(D)$ हैं।

(D) परवलय $y^2=8x$ है,इसलिए $4a=8$,जिससे $a=2$ प्राप्त होता है। नाभि $F$,$(2,0)$ है और नियता $x=-2$ है।
बिंदु $P=(-2,4)$ नियता $x=-2$ पर स्थित है।
यह एक ज्ञात गुण है कि नियता पर स्थित किसी बिंदु से परवलय पर खींची गई स्पर्श रेखाएं एक-दूसरे पर लंब होती हैं,और स्पर्श जीवा $QQ^{\prime}$ नाभि $F$ से होकर गुजरती है।
चूंकि $PQ$ और $PQ^{\prime}$,$P$ से परवलय पर स्पर्श रेखाएं हैं,$\angle QPQ^{\prime} = 90^{\circ}$,इसलिए $(B)$ $TRUE$ है।
स्पर्श जीवा $QQ^{\prime}$ नाभि $F$ से होकर गुजरती है,इसलिए $(D)$ $TRUE$ है।
दूरी $PF = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ है। अतः,$(C)$ $FALSE$ है।
परवलय के लिए,स्पर्श जीवा द्वारा नाभि पर बनाया गया कोण $180^{\circ}$ होता है यदि स्पर्श रेखाएं लंबवत हों,लेकिन त्रिभुज $PFQ$ बिंदु $Q$ पर समकोण है क्योंकि $Q$ पर स्पर्श रेखा नाभि और स्पर्श बिंदु को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत होती है। इसलिए,$(A)$ $TRUE$ है।
अतः,सही कथन $(A), (B),$ और $(D)$ हैं।

(B,D) माना $P$ के निर्देशांक $(at^2, 2at)$ और $Q$ के $(a/t^2, -2a/t)$ हैं क्योंकि $PQ$ एक नाभिलंब जीवा है।
$P$ और $Q$ पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $R = (-a, a(t - 1/t))$ है।
दिया है कि $R$,$y = 2x + a$ पर स्थित है,इसलिए $a(t - 1/t) = 2(-a) + a = -a$,अर्थात $t - 1/t = -1$ है।
$1.$ जीवा $PQ$ की लंबाई $a(t + 1/t)^2$ है।
$(t + 1/t)^2 = (t - 1/t)^2 + 4 = (-1)^2 + 4 = 5$,इसलिए $PQ = 5a$ है। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।
$2.$ शीर्ष पर बने कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \frac{2(t + 1/t)}{-3}$ है।
चूंकि $t + 1/t = \sqrt{5}$,इसलिए $\tan \theta = \frac{2\sqrt{5}}{-3} = -\frac{2}{3}\sqrt{5}$ है। अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(D) माना परवलय $y^2=16x$ पर बिंदु $F$ $(4t^2, 8t)$ है।
$F(4t^2, 8t)$ पर परवलय की स्पर्श रेखा $yt = x + 4t^2$ है।
यह स्पर्श रेखा $y$-अक्ष को $G(0, 4t)$ पर काटती है,इसलिए $y_1 = 4t$ है।
रेखा $L: y=mx+3$,$F(4t^2, 8t)$ से गुजरती है,इसलिए $8t = m(4t^2) + 3$,जिससे $m = \frac{8t-3}{4t^2}$ प्राप्त होता है।
$\triangle EFG$ के शीर्ष $E(0, 3)$,$F(4t^2, 8t)$,और $G(0, 4t)$ हैं।
$\triangle EFG$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} |x_E(y_F-y_G) + x_F(y_G-y_E) + x_G(y_E-y_F)| = \frac{1}{2} |0 + 4t^2(4t-3) + 0| = 2t^2|4t-3|$ है।
चूंकि $0 \leq y \leq 6$,इसलिए $0 \leq 8t \leq 6$,जिसका अर्थ है $0 \leq t \leq 3/4$।
$t < 3/4$ के लिए,$A = 2t^2(3-4t) = 6t^2 - 8t^3$ है।
$\frac{dA}{dt} = 12t - 24t^2 = 12t(1-2t)$ है।
$\frac{dA}{dt} = 0$ रखने पर $t = 1/2$ प्राप्त होता है (क्योंकि $t=0$ न्यूनतम है)।
$t=1/2$ पर,$m = \frac{8(1/2)-3}{4(1/2)^2} = \frac{4-3}{1} = 1$ है।
अधिकतम क्षेत्रफल $A = 2(1/2)^2(3-4(1/2)) = 2(1/4)(1) = 1/2$ है।
$y_0 = 8t = 8(1/2) = 4$ है।
$y_1 = 4t = 4(1/2) = 2$ है।

(D,B) $1.$ चूँकि $PQ$ एक नाभीय जीवा है,$t \cdot t' = -1$,इसलिए $t' = -\frac{1}{t}$।
$PK$ की ढाल $m_{PK} = \frac{2at - 0}{at^2 - 2a} = \frac{2at}{a(t^2-2)} = \frac{2t}{t^2-2}$ है।
$QR$ की ढाल $m_{QR} = \frac{2ar - 2at'}{ar^2 - at'^2} = \frac{2a(r-t')}{a(r-t')(r+t')} = \frac{2}{r+t'}$ है।
चूँकि $QR \parallel PK$,$m_{QR} = m_{PK} \implies \frac{2}{r+t'} = \frac{2t}{t^2-2}$।
$r+t' = \frac{t^2-2}{t} = t - \frac{2}{t}$।
$t' = -\frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $r - \frac{1}{t} = t - \frac{2}{t} \implies r = t - \frac{1}{t} = \frac{t^2-1}{t}$ प्राप्त होता है।
अतः,$1$ के लिए सही विकल्प $(D)$ है।
$2.$ $P(at^2, 2at)$ पर स्पर्शरेखा $ty = x + at^2$ है।
$S(as^2, 2as)$ पर अभिलंब $y = -sx + 2as + as^3$ है,या $y + sx = 2as + as^3$।
दिया गया है कि $st = 1$,इसलिए $s = \frac{1}{t}$।
अभिलंब का समीकरण $y + \frac{1}{t}x = 2a(\frac{1}{t}) + a(\frac{1}{t^3}) = \frac{2at^2+a}{t^3}$ हो जाता है।
$ty + x = \frac{2at^2+a}{t^2}$।
हमारे पास निकाय है:
$ty - x = at^2$
$ty + x = \frac{2at^2+a}{t^2}$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2ty = at^2 + \frac{2at^2+a}{t^2} = \frac{at^4 + 2at^2 + a}{t^2} = \frac{a(t^2+1)^2}{t^2}$।
$y = \frac{a(t^2+1)^2}{2t^3}$।
अतः,$2$ के लिए सही विकल्प $(B)$ है।

(A) रेखा $y = -5$ का रेखा $x + y + 4 = 0$ के सापेक्ष प्रतिबिंब $x = 1$ है।
चूंकि वक्र $C$,$y^2 = 4x$ का प्रतिबिंब है,इसलिए $C$ और $y = -5$ के प्रतिच्छेदन बिंदु,$y^2 = 4x$ और $x = 1$ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के समान दूरी पर होंगे।
$x = 1$ रखने पर,$y^2 = 4$,जिससे $y = \pm 2$ प्राप्त होता है।
अतः,दूरी $|2 - (-2)| = 4$ है।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 2x$ है,इसलिए $4a = 2$,जिससे $a = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $P = (\frac{t_1^2}{2}, t_1)$ और $Q = (\frac{t_2^2}{2}, t_2)$ परवलय पर स्थित बिंदु हैं।
चूंकि $PQ$ व्यास वाला वृत्त मूल बिंदु $O(0,0)$ से गुजरता है,सदिश $\vec{OP}$ और $\vec{OQ}$ लंबवत हैं,इसलिए $\vec{OP} \cdot \vec{OQ} = 0$.
$(\frac{t_1^2}{2})(\frac{t_2^2}{2}) + t_1 t_2 = 0 \Rightarrow t_1 t_2 (\frac{t_1 t_2}{4} + 1) = 0$.
चूंकि $P$ और $Q$ भिन्न हैं,$t_1 t_2 = -4$.
मान लीजिए $t_1 = t$,तो $t_2 = -\frac{4}{t}$.
निर्देशांक $P = (\frac{t^2}{2}, t)$ और $Q = (\frac{8}{t^2}, -\frac{4}{t})$ हैं।
$\Delta OPQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_P y_Q - x_Q y_P| = \frac{1}{2} |(\frac{t^2}{2})(-\frac{4}{t}) - (\frac{8}{t^2})(t)| = \frac{1}{2} |-2t - \frac{8}{t}| = |t + \frac{4}{t}|$.
क्षेत्रफल $3\sqrt{2}$ दिया गया है,इसलिए $|t + \frac{4}{t}| = 3\sqrt{2}$.
चूंकि $P$ प्रथम चतुर्थांश में है,$t > 0$,इसलिए $t^2 - 3\sqrt{2}t + 4 = 0$.
$t$ के लिए हल करने पर: $t = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{18 - 16}}{2} = \frac{3\sqrt{2} \pm \sqrt{2}}{2}$.
$t_1 = 2\sqrt{2}$ और $t_2 = \sqrt{2}$.
$t = 2\sqrt{2}$ के लिए,$P = (\frac{(2\sqrt{2})^2}{2}, 2\sqrt{2}) = (4, 2\sqrt{2})$.
$t = \sqrt{2}$ के लिए,$P = (\frac{(\sqrt{2})^2}{2}, \sqrt{2}) = (1, \sqrt{2})$.
अतः,$P$ के निर्देशांक $(4, 2\sqrt{2})$ और $(1, \sqrt{2})$ हैं,जो विकल्प $(D)$ के अनुरूप है।

(B, C) परवलय $y^2=4x$ (जहाँ $a=1$) की स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx+\frac{1}{m}$ है।
चूंकि यह $P=(-2,1)$ से गुजरती है,हमारे पास $1=-2m+\frac{1}{m}$ है,जो $2m^2+m-1=0$ में सरल हो जाता है।
$m$ के लिए हल करने पर,हमें $(2m-1)(m+1)=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $m=\frac{1}{2}$ या $m=-1$ है।
स्पर्श बिंदु $(\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m})$ द्वारा दिए जाते हैं।
$m=\frac{1}{2}$ के लिए,बिंदु $P_1=(4,4)$ है। $m=-1$ के लिए,बिंदु $P_2=(1,-2)$ है।
नाभि $S$,$(1,0)$ है।
रेखा $SP_1$,$(1,0)$ और $(4,4)$ से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $y-0=\frac{4-0}{4-1}(x-1)$ है,जो $4x-3y-4=0$ है।
रेखा $SP_2$,$(1,0)$ और $(1,-2)$ से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $x=1$ है।
लंबाई $PQ_1$,$P(-2,1)$ से $4x-3y-4=0$ तक की लंबवत दूरी है,जो $PQ_1 = \frac{|4(-2)-3(1)-4|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = \frac{|-15|}{5} = 3$ है।
इसी प्रकार,$PQ_2$,$P(-2,1)$ से $x=1$ तक की लंबवत दूरी है,जो $PQ_2 = |-2-1| = 3$ है।
$\triangle SPQ_1$ में,$SQ_1 = \sqrt{SP^2 - PQ_1^2}$ है। यहाँ $SP = \sqrt{(-2-1)^2+(1-0)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$ है।
इसलिए $SQ_1 = \sqrt{10-9} = 1$ है। इसी प्रकार,$SQ_2 = 1$ है।
अतः,विकल्प $(B)$ और $(C)$ सही हैं।

(B) परवलय का समीकरण $x^2 = -4ay$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2a}$ प्राप्त होता है।
अभिलंब की ढाल $\frac{1}{t} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ है,इसलिए $t = \sqrt{6}$ है।
अभिलंब $(0, -\alpha)$ से गुजरता है,जिससे $\alpha = 8a$ प्राप्त होता है।
$A$ और $B$ के लिए,$x^2 = -4a(-8a) = 32a^2$,इसलिए $x = \pm 4\sqrt{2}a$ है।
$AB^2 = s = (8\sqrt{2}a)^2 = 128a^2$ है।
चूंकि $r = 4a$,इसलिए $\frac{r}{s} = \frac{4a}{128a^2} = \frac{1}{32a} = \frac{1}{16}$ है।
अतः $32a = 16$,जिसका अर्थ है $a = \frac{1}{2}$।
इस प्रकार,$24a = 24 \times \frac{1}{2} = 12$।

(A,C) परवलय $y^2=8x$ (जहाँ $4a=8$,अतः $a=2$) के लिए बिंदु $(2t^2, 4t)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ty = x + 2t^2$ है।
चूँकि स्पर्श रेखाएँ $C_1 = (-4, 0)$ से गुजरती हैं,हमारे पास $0 = -4 + 2t^2$ है,जिसका अर्थ है $t^2 = 2$,इसलिए $t = \pm \sqrt{2}$।
अतः,स्पर्श बिंदु $A_1 = (2(\sqrt{2})^2, 4\sqrt{2}) = (4, 4\sqrt{2})$ और $B_1 = (2(-\sqrt{2})^2, 4(-\sqrt{2})) = (4, -4\sqrt{2})$ हैं।
$(A)$ $OA_1$ की लंबाई $= \sqrt{4^2 + (4\sqrt{2})^2} = \sqrt{16 + 32} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$ है। अतः,$(A)$ $TRUE$ है।
$(B)$ $A_1 B_1$ की लंबाई $= |4\sqrt{2} - (-4\sqrt{2})| = 8\sqrt{2}$ है। अतः,$(B)$ $FALSE$ है।
$(C)$ $A_1 B_1$ की ढाल अपरिभाषित है (ऊर्ध्वाधर रेखा $x=4$)। $C_1(-4, 0)$ से $A_1 B_1$ पर खींचा गया शीर्षलंब क्षैतिज रेखा $y=0$ है।
$A_1 C_1$ की ढाल $\frac{4\sqrt{2}-0}{4-(-4)} = \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है। $B_1(4, -4\sqrt{2})$ से $A_1 C_1$ पर खींचे गए शीर्षलंब की ढाल $-\sqrt{2}$ है।
इस शीर्षलंब का समीकरण $y - (-4\sqrt{2}) = -\sqrt{2}(x - 4) \Rightarrow y + 4\sqrt{2} = -\sqrt{2}x + 4\sqrt{2} \Rightarrow y = -\sqrt{2}x$ है।
$y=0$ और $y=-\sqrt{2}x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ है। अतः,$(C)$ $TRUE$ है।

(C) दिया गया है कि $P(4, 4\sqrt{3})$ परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्थित है।
$P$ के निर्देशांकों को समीकरण में रखने पर: $(4\sqrt{3})^2 = 4a(4) \Rightarrow 48 = 16a \Rightarrow a = 3$.
परवलय का समीकरण $y^2 = 12x$ है। नाभि $S$ के निर्देशांक $(3, 0)$ हैं।
मान लीजिए $P$ का प्राचल $t_1$ है। $P = (at_1^2, 2at_1) = (3t_1^2, 6t_1) = (4, 4\sqrt{3})$,इसलिए $6t_1 = 4\sqrt{3} \Rightarrow t_1 = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
चूंकि $PQ$ एक नाभीय जीवा है,$t_1 t_2 = -1$,इसलिए $t_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$Q$ के निर्देशांक $(at_2^2, 2at_2) = (3(-\frac{\sqrt{3}}{2})^2, 2(3)(-\frac{\sqrt{3}}{2})) = (\frac{9}{4}, -3\sqrt{3})$ हैं।
नियता का समीकरण $x = -3$ है।
$P(4, 4\sqrt{3})$ से $x = -3$ की लंबवत दूरी $PM = 4 - (-3) = 7$ है।
$Q(\frac{9}{4}, -3\sqrt{3})$ से $x = -3$ की लंबवत दूरी $QN = \frac{9}{4} - (-3) = \frac{21}{4}$ है।
चतुर्भुज $PQMN$ एक समलंब चतुर्भुज है जिसकी समांतर भुजाएँ $PM$ और $QN$ हैं और ऊँचाई $MN$ है। $MN$ की लंबाई $y$-निर्देशांकों का अंतर है: $MN = |4\sqrt{3} - (-3\sqrt{3})| = 7\sqrt{3}$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (PM + QN) \times MN = \frac{1}{2} \times (7 + \frac{21}{4}) \times 7\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times \frac{49}{4} \times 7\sqrt{3} = \frac{343\sqrt{3}}{8}$।

(D) दी गई रेखा $3x - 2y + 12 = 0$ है और परवलय $4y = 3x^2$ है।
रेखा के समीकरण से,$2y = 3x + 12$.
इसे परवलय के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2(3x + 12) = 3x^2$.
$3x^2 - 6x - 24 = 0 \Rightarrow x^2 - 2x - 8 = 0$.
$(x - 4)(x + 2) = 0$,अतः $x = 4$ या $x = -2$.
यदि $x = 4$,तो $4y = 3(16) = 48 \Rightarrow y = 12$. बिंदु $B = (4, 12)$.
यदि $x = -2$,तो $4y = 3(4) = 12 \Rightarrow y = 3$. बिंदु $A = (-2, 3)$.
परवलय $4y = 3x^2$ का शीर्ष $O(0, 0)$ है।
$OA$ की ढाल $m_1 = \frac{3 - 0}{-2 - 0} = -\frac{3}{2}$ है।
$OB$ की ढाल $m_2 = \frac{12 - 0}{4 - 0} = 3$ है।
शीर्ष $O$ पर $AB$ द्वारा अंतरित कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left| \frac{3 - (-3/2)}{1 + (3)(-3/2)} \right| = \left| \frac{9/2}{1 - 9/2} \right| = \left| \frac{9/2}{-7/2} \right| = \frac{9}{7}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{9}{7}\right)$।

(D) परवलय का अक्ष नियता $x + 2y = 0$ के लंबवत है और शीर्ष $V \left(\frac{3}{2}, 3\right)$ से गुजरता है।
अतः,अक्ष की ढाल $2$ है। अक्ष का समीकरण $y - 3 = 2 \left(x - \frac{3}{2}\right)$ है,जो $y = 2x$ में सरल होता है।
नियता का पाद $x + 2y = 0$ और $y = 2x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो $(0, 0)$ है।
चूंकि शीर्ष नाभि $S$ और नियता के पाद $(0, 0)$ का मध्यबिंदु है,इसलिए $\frac{x_S + 0}{2} = \frac{3}{2}$ और $\frac{y_S + 0}{2} = 3$ है,जिससे नाभि $S(3, 6)$ प्राप्त होती है।
परवलय की परिभाषा के अनुसार,$PS^2 = PM^2$,जहाँ $P(x, y)$ परवलय पर एक बिंदु है:
$(x - 3)^2 + (y - 6)^2 = \left(\frac{x + 2y}{\sqrt{5}}\right)^2$
$5(x^2 - 6x + 9 + y^2 - 12y + 36) = x^2 + 4y^2 + 4xy$
$4x^2 + y^2 - 4xy - 30x - 60y + 225 = 0$
$\alpha = 4, \beta = 1, \gamma = 4$ की तुलना करने पर,$\alpha + \beta + \gamma = 4 + 1 + 4 = 9$ प्राप्त होता है।

(A) परवलय $y^2=4ax$ है जहाँ $a=1$ है। मान लीजिए $A$ के निर्देशांक $(t_1^2, 2t_1)$ और $C$ के $(t_2^2, 2t_2)$ हैं। चूँकि $AD$ और $BC$,$y$-अक्ष के समांतर हैं,$A$ और $D$ का $x$-निर्देशांक समान है,और $B$ और $C$ का $x$-निर्देशांक समान है। अतः,$D$ का मान $(t_1^2, -2t_1)$ और $B$ का $(t_2^2, -2t_2)$ है।
चूँकि विकर्ण $AC$ नाभि $S(1,0)$ से होकर गुजरता है,बिंदु $A, S, C$ संरेख हैं। नाभि से गुजरने वाली जीवा के लिए $t_1 t_2 = -1$,इसलिए $t_2 = -\frac{1}{t_1}$ है।
निर्देशांक $A(t_1^2, 2t_1)$ और $C(\frac{1}{t_1^2}, -\frac{2}{t_1})$ हैं।
$AC$ की लंबाई $\sqrt{(t_1^2 - \frac{1}{t_1^2})^2 + (2t_1 + \frac{2}{t_1})^2} = \frac{25}{4}$ है।
सरल करने पर,$(t_1 + \frac{1}{t_1})^2 = \frac{25}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,$t_1 + \frac{1}{t_1} = \frac{5}{2}$,जिससे $t_1 = 2$ या $t_1 = \frac{1}{2}$ मिलता है।
$t_1 = 2$ लेने पर,$A(4, 4)$ और $D(4, -4)$ प्राप्त होते हैं। फिर $t_2 = -\frac{1}{2}$,इसलिए $C(\frac{1}{4}, -1)$ और $B(\frac{1}{4}, 1)$ प्राप्त होते हैं।
समांतर भुजाएँ $AD = 8$ और $BC = 2$ हैं। समलंब की ऊँचाई $x$-निर्देशांकों का अंतर है: $h = 4 - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} (AD + BC) \times h = \frac{1}{2} (8 + 2) \times \frac{15}{4} = \frac{75}{4}$।

(D) परवलय $y^2=4x$ है जिसकी नाभि $S(1,0)$ है।
रेखा $x+y+4=0$ के सापेक्ष परवलय का प्रतिबिंब लेने पर,नए परवलय की नाभि $S'(-4,-5)$ प्राप्त होती है।
चित्र से,$A$ और $B$ के बीच की दूरी $d=4$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई $5$ है।
क्षेत्रफल $a = \frac{1}{2} \times 4 \times 5 = 10$.
अतः,$a+d = 10+4 = 14$.

(A) परवलय की परिभाषा के अनुसार,परवलय पर स्थित बिंदु नाभि और नियता से समान दूरी पर होते हैं।
प्रथम परवलय के लिए: $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = y^2 \implies (x - 4)^2 = 6y - 9$.
दूसरे परवलय के लिए: $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = x^2 \implies (y - 3)^2 = 8x - 16$.
प्रतिच्छेदन बिंदुओं के लिए $x^2 = y^2$ है,अतः $y = x$ प्राप्त होता है।
$y = x$ को समीकरण में रखने पर: $(x - 4)^2 + (x - 3)^2 = x^2 \implies x^2 - 14x + 25 = 0$.
यहाँ $x_1 + x_2 = 14$ और $x_1 x_2 = 25$ है।
$(AB)^2 = 2(x_1 - x_2)^2 = 2[(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2] = 2[196 - 100] = 2(96) = 192$.

(A) परवलय $y^2=12x$ के लिए,$4a=12$,इसलिए $a=3$ है। नाभि $S$ बिंदु $(3,0)$ है।
मान लीजिए $P$ के निर्देशांक $(3t^2, 6t)$ और $Q$ के निर्देशांक $(3/t^2, -6/t)$ हैं जहाँ $t_1 t_2 = -1$ है।
नियत रेखा $x=-3$ से बिंदु $(3t^2, 6t)$ की दूरी $SP = 3t^2+3$ है।
इसी प्रकार,$SQ = 3/t^2+3$ है।
दिया गया है कि $(SP)(SQ) = (3t^2+3)(3/t^2+3) = 9(t^2+1)(1/t^2+1) = 9\frac{(t^2+1)^2}{t^2} = \frac{147}{4}$ है।
$\frac{(t^2+1)^2}{t^2} = \frac{147}{36} = \frac{49}{12}$ है।
$t^2$ के लिए हल करने पर,हमें $t^2 = 3/4$ या $t^2 = 4/3$ प्राप्त होता है।
$t^2 = 3/4$ लेने पर,हमें $P = (9/4, 3\sqrt{3})$ और $Q = (4, -4\sqrt{3})$ प्राप्त होता है।
$PQ$ व्यास वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ है।
$(x-9/4)(x-4) + (y-3\sqrt{3})(y+4\sqrt{3}) = 0$ है।
$x^2 - (25/4)x + 9 + y^2 + \sqrt{3}y - 36 = 0$ है।
$x^2 + y^2 - (25/4)x + \sqrt{3}y - 27 = 0$ है।
$64$ से गुणा करने पर: $64x^2 + 64y^2 - 400x + 64\sqrt{3}y - 1728 = 0$ है।
$64x^2 + 64y^2 - \alpha x - 64\sqrt{3}y = \beta$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = 400$ और $\beta = -1728$ प्राप्त होता है (या संकेतों को समायोजित करने पर,$\beta - \alpha = 1328$)।

(A) परवलय $y^2=4x$ है,इसलिए इसकी नाभि $S$ $(1, 0)$ है।
मान लीजिए $P$ $(t^2, 2t)$ है। नाभीय जीवा $PS$ की ढाल $\frac{2t-0}{t^2-1} = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ द्वारा दी गई है।
$2t = \sqrt{3}(t^2-1) \Rightarrow \sqrt{3}t^2 - 2t - \sqrt{3} = 0$.
$t$ के लिए हल करने पर,हमें $t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(\sqrt{3})(-\sqrt{3})}}{2\sqrt{3}} = \frac{2 \pm 4}{2\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $P$ प्रथम चतुर्थांश में है,$t > 0$,इसलिए $t = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \sqrt{3}$।
अतः,$P = ((\sqrt{3})^2, 2\sqrt{3}) = (3, 2\sqrt{3})$।
व्यास $PS$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ है,जहाँ $P=(3, 2\sqrt{3})$ और $S=(1, 0)$ है।
$(x-3)(x-1) + (y-2\sqrt{3})(y-0) = 0$.
$x^2 - 4x + 3 + y^2 - 2\sqrt{3}y = 0$.
चूँकि वृत्त $y$-अक्ष को $(0, \alpha)$ पर स्पर्श करता है,हम $x=0$ रखते हैं:
$3 + y^2 - 2\sqrt{3}y = 0$.
यह $y$ में एक द्विघात समीकरण है,इसलिए $y^2 - 2\sqrt{3}y + 3 = 0 \Rightarrow (y-\sqrt{3})^2 = 0$।
अतः,$\alpha = \sqrt{3}$।
इसलिए $5\alpha^2 = 5(\sqrt{3})^2 = 5 \times 3 = 15$।

(A) परवलय का समीकरण $y^2=16x$ है। इसे $y^2=4ax$ से तुलना करने पर,$a=4$ प्राप्त होता है। नाभि $S$ $(4, 0)$ है।
बिंदु $P$ के निर्देशांक $(at_1^2, 2at_1)$ हैं। दिया है $P = (1, -4)$,अतः $2at_1 = -4$ $\Rightarrow 2(4)t_1 = -4$ $\Rightarrow t_1 = -\frac{1}{2}$.
चूँकि $PQ$ एक नाभीय जीवा है,इसके अंत बिंदुओं के प्राचल का गुणनफल $t_1 t_2 = -1$ होता है। अतः,$t_2 = -\frac{1}{t_1} = 2$.
बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(at_2^2, 2at_2) = (4(2)^2, 2(4)(2)) = (16, 16)$ हैं।
माना नाभि $S(4, 0)$ जीवा $PQ$ को $m:n$ के अनुपात में विभाजित करती है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$4 = \frac{m(16) + n(1)}{m+n}$
$4m + 4n = 16m + n$
$3n = 12m \Rightarrow \frac{m}{n} = \frac{1}{4}$.
यहाँ $\operatorname{gcd}(1, 4) = 1$,अतः $m=1$ और $n=4$.
इसलिए,$m^2+n^2 = 1^2+4^2 = 17$.

(D) दिए गए परवलय रेखा $y = x$ के सापेक्ष सममित हैं।
बिंदुओं $A$ और $B$ पर स्पर्श रेखाएं रेखा $y = x$ के समानांतर होनी चाहिए,इसलिए स्पर्श रेखाओं की ढाल $1$ है।
परवलय $y = x^2 + 2$ के लिए,$\frac{dy}{dx} = 2x = 1$,जिससे $x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
$x = \frac{1}{2}$ को $y = x^2 + 2$ में रखने पर,हमें $y = (\frac{1}{2})^2 + 2 = \frac{1}{4} + 2 = \frac{9}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $B = (\frac{1}{2}, \frac{9}{4})$ है। सममिति द्वारा,बिंदु $A = (\frac{9}{4}, \frac{1}{2})$ है।
दूरी $AB = \sqrt{(\frac{9}{4} - \frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2} - \frac{9}{4})^2} = \sqrt{(\frac{7}{4})^2 + (-\frac{7}{4})^2} = \sqrt{\frac{49}{16} + \frac{49}{16}} = \sqrt{\frac{98}{16}} = \frac{7 \sqrt{2}}{4}$ है।
सबसे छोटे वृत्त का व्यास दूरी $AB$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{AB}{2} = \frac{7 \sqrt{2}}{8}$ है।

(B) शीर्ष $V$ मूल बिंदु से $y=x$ रेखा पर $\sqrt{2}$ की दूरी पर है,इसलिए $V = (1, 1)$ है।
नाभि $S$ मूल बिंदु से $y=x$ रेखा पर $2\sqrt{2}$ की दूरी पर है,इसलिए $S = (2, 2)$ है।
शीर्ष और नाभि के बीच की दूरी $a = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2}$ है।
नियता (directrix) अक्ष $y=x$ के लंबवत है और बिंदु $Z$ से गुजरती है जहाँ $V$,$SZ$ का मध्य बिंदु है। चूँकि $S=(2,2)$ और $V=(1,1)$ है,इसलिए $Z = (0,0)$ होगा।
नियता का समीकरण $x+y=0$ है।
परवलय की परिभाषा के अनुसार,परवलय पर स्थित किसी बिंदु $P(1, k)$ की नाभि $S(2, 2)$ से दूरी,$P$ की नियता $x+y=0$ से दूरी के बराबर होती है।
$PS = \sqrt{(1-2)^2 + (k-2)^2} = \sqrt{1 + (k-2)^2}$.
$PM = \frac{|1+k|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|1+k|}{\sqrt{2}}$.
$PS^2 = PM^2$ रखने पर:
$1 + (k-2)^2 = \frac{(1+k)^2}{2}$
$2(1 + k^2 - 4k + 4) = 1 + k^2 + 2k$
$2k^2 - 8k + 10 = 1 + k^2 + 2k$
$k^2 - 10k + 9 = 0$
$(k-1)(k-9) = 0$.
अतः,$k=1$ या $k=9$ है। चूँकि $k=1$ शीर्ष को दर्शाता है,इसलिए दूसरा संभावित मान $k=9$ है।

(A) परवलय की परिभाषा के अनुसार,परवलय पर स्थित किसी बिंदु $P(x, y)$ की नाभि से दूरी और नियता से लंबवत दूरी समान होती है।
दी गई नाभि $S = (-2, 1)$ और नियता $L: 2x + y + 2 = 0$ है।
परवलय का समीकरण $(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = \left(\frac{2x + y + 2}{\sqrt{2^2 + 1^2}}\right)^2$ है।
$5[(x + 2)^2 + (y - 1)^2] = (2x + y + 2)^2$.
$x = -2$ वाले बिंदुओं की कोटि ज्ञात करने के लिए,समीकरण में $x = -2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$5[(-2 + 2)^2 + (y - 1)^2] = (2(-2) + y + 2)^2$.
$5(y - 1)^2 = (y - 2)^2$.
$5(y^2 - 2y + 1) = y^2 - 4y + 4$.
$5y^2 - 10y + 5 = y^2 - 4y + 4$.
$4y^2 - 6y + 1 = 0$.
यह $y$ में एक द्विघात समीकरण है। मान लीजिए इसके मूल $y_1$ और $y_2$ हैं। कोटियों का योग मूलों का योग है,जो $-\frac{b}{a} = -\frac{-6}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ है।

(B) मान लीजिए जीवा का मध्य-बिंदु $(h, k)$ है। परवलय $y^2=x$ के लिए मध्य-बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ के अनुसार $ky - \frac{1}{2}(x+h) = k^2 - h$,अर्थात $x - 2ky + 2k^2 - h = 0$ है।
परवलय $y^2=4ax$ और जीवा के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल $\frac{4}{3} (h-k^2)^{3/2} = \frac{4}{3}$ होता है।
अतः,$(h-k^2)^{3/2} = 1$,जिसका अर्थ है $h-k^2=1$,या $x-y^2=1$। यह वक्र $S$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर: $(4, \sqrt{3})$ के लिए,$4-(\sqrt{3})^2 = 4-3=1$। अतः $(4, \sqrt{3}) \in S$। $(5, \sqrt{2})$ के लिए,$5-(\sqrt{2})^2 = 5-2=3 \neq 1$। अतः $(B)$ गलत है।
क्षेत्र $R$,$x=1$ से $x=4$ तक $y^2=x$ और $y^2=x-1$ द्वारा घिरा है।
क्षेत्रफल $= \int_1^4 (\sqrt{x} - \sqrt{x-1}) dx = [\frac{2}{3} x^{3/2} - \frac{2}{3} (x-1)^{3/2}]_1^4 = \frac{2}{3} (8 - 3\sqrt{3} - 1) = \frac{14}{3} - 2\sqrt{3}$।
अतः,$(A)$ और $(C)$ सत्य हैं।

(A) दिया गया वक्र समीकरण $4y^2 - 4y + 2x - 1 = 0$ है।
जब स्पर्शरेखा $Y$-अक्ष के समांतर होती है,तो $\frac{dx}{dy} = 0$ होता है।
$y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dy}(4y^2 - 4y + 2x - 1) = 0$
$8y - 4 + 2\frac{dx}{dy} = 0$
$2\frac{dx}{dy} = 4 - 8y$
$\frac{dx}{dy} = 2 - 4y$
$\frac{dx}{dy} = 0$ रखने पर,$2 - 4y = 0 \implies y = \frac{1}{2}$।
अब,$y = \frac{1}{2}$ को मूल समीकरण में रखने पर:
$4(\frac{1}{2})^2 - 4(\frac{1}{2}) + 2x - 1 = 0$
$1 - 2 + 2x - 1 = 0$
$2x - 2 = 0 \implies x = 1$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(1, \frac{1}{2})$ है।

(D) दिया गया वक्र $y^2=2(x-3)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2y \frac{dy}{dx} = 2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}$।
किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m_t = \frac{1}{y}$ है।
अभिलंब की ढाल $m_n = -\frac{1}{m_t} = -y$ है।
दी गई रेखा $y - 2x + 1 = 0$ है,जिसे $y = 2x - 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $2$ है।
चूंकि अभिलंब रेखा के समांतर है,इसलिए उनकी ढाल समान होनी चाहिए,अतः $-y = 2$,जिससे $y = -2$ प्राप्त होता है।
$y = -2$ को वक्र के समीकरण में रखने पर: $(-2)^2 = 2(x - 3) \Rightarrow 4 = 2(x - 3) \Rightarrow 2 = x - 3 \Rightarrow x = 5$।
अतः,अभीष्ट बिंदु $(5, -2)$ है।

(B) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = a t^{2}$ और $y = 2 a t$ परवलय $y^{2} = 4 a x$ को दर्शाते हैं।
यदि स्पर्श रेखा $X$-अक्ष के लंबवत है,तो यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा होनी चाहिए।
स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$ द्वारा दी जाती है।
स्पर्श रेखा के $X$-अक्ष के लंबवत होने के लिए,इसकी ढाल अपरिभाषित होनी चाहिए,जो $t = 0$ पर होती है।
प्राचलिक समीकरणों में $t = 0$ रखने पर:
$x = a(0)^{2} = 0$
$y = 2a(0) = 0$
अतः,स्पर्श बिंदु $(0, 0)$ है।

(B) दिया गया वक्र समीकरण $x^{2} = -4y$ है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $2x = -4 \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{2}$।
बिंदु $P(-4, -4)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $m = -\frac{-4}{2} = 2$ है।
बिंदु $P(x_1, y_1) = (-4, -4)$ से गुजरने वाली और $m = 2$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $y - (-4) = 2(x - (-4))$ प्राप्त होता है।
$y + 4 = 2(x + 4)$।
$y + 4 = 2x + 8$।
$2x - y + 4 = 0$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y^{2}=12x$ है। इसे $y^{2}=4ax$ से तुलना करने पर,हमें $4a=12$ प्राप्त होता है,इसलिए $a=3$ है।
परवलय $y^{2}=4ax$ के बिंदु $(at^{2}, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^{3}$ होता है।
दिया गया अभिलंब $x+y=k$ है,जिसे $y = -x + k$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$y = -tx + 2at + at^{3}$ की तुलना $y = -x + k$ से करने पर,हमें $t=1$ प्राप्त होता है।
$t=1$ और $a=3$ का मान $k$ के व्यंजक में रखने पर:
$k = 2at + at^{3} = 2(3)(1) + 3(1)^{3} = 6 + 3 = 9$.
अतः,$k=9$।

(B) दिया गया परवलय समीकरण $x^{2}=12y$ है।
इसे मानक रूप $x^{2}=4ay$ से तुलना करने पर,हमें $4a=12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a=3$ है।
परवलय का शीर्ष मूल बिंदु $O(0,0)$ पर है।
नाभिलंब के सिरे $(2a, a)$ और $(-2a, a)$ द्वारा दिए जाते हैं।
$a=3$ प्रतिस्थापित करने पर,निर्देशांक $L_{1}(6, 3)$ और $L_{2}(-6, 3)$ प्राप्त होते हैं।
त्रिभुज शीर्षों $O(0,0)$,$L_{1}(6, 3)$,और $L_{2}(-6, 3)$ द्वारा बनता है।
त्रिभुज का आधार $L_{1}L_{2}$ नाभिलंब की लंबाई है,जो $4a = 12$ है।
शीर्ष $O$ से रेखा $L_{1}L_{2}$ तक त्रिभुज की ऊँचाई नाभिलंब का $y$-निर्देशांक है,जो $a = 3$ है।
इसलिए,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18 \text{ वर्ग इकाई}$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) परवलय का समीकरण $x^2 = 20y$ है। इसे $x^2 = 4ay$ से तुलना करने पर,$4a = 20$,अतः $a = 5$ प्राप्त होता है।
परवलय का शीर्ष $(0, 0)$ पर है।
नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक $(2a, a)$ और $(-2a, a)$ हैं,जो $(10, 5)$ और $(-10, 5)$ हैं।
त्रिभुज $(0, 0)$,$(10, 5)$ और $(-10, 5)$ बिंदुओं द्वारा बनता है।
त्रिभुज का आधार नाभिलंब की लंबाई है,जो $4a = 20$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई शीर्ष से नाभिलंब तक की दूरी है,जो $a = 5$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 20 \times 5 = 50 \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(D) दिया गया परवलय का समीकरण: $y^2+4y+4x+2=0$.
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर:
$y^2+4y = -4x-2$.
दोनों पक्षों में $4$ जोड़ने पर:
$y^2+4y+4 = -4x-2+4$.
$(y+2)^2 = -4x+2$.
$(y+2)^2 = -4(x-\frac{1}{2})$.
इसे मानक रूप $(y-k)^2 = -4a(x-h)$ से तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$h = \frac{1}{2}$,$k = -2$,और $4a = 4 \implies a = 1$.
बाईं ओर खुलने वाले परवलय के लिए नियता का समीकरण $x = h+a$ होता है।
मान रखने पर: $x = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) परवलय के नाभिलंब की लंबाई $4a$ होती है,जहाँ $a$ नाभि से नियता की लंबवत दूरी है।
दी गई नाभि $S = (3,3)$ और नियता $L: 3x - 4y - 2 = 0$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंबवत दूरी का सूत्र $a = \frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$a = \frac{|3(3) - 4(3) - 2|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}$
$a = \frac{|9 - 12 - 2|}{\sqrt{9 + 16}}$
$a = \frac{|-5|}{\sqrt{25}}$
$a = \frac{5}{5} = 1$.
अतः,नाभिलंब की लंबाई $4a = 4 \times 1 = 4$ इकाई है।

(B) परवलय की नाभि $S = (1, -2)$ है।
नियता का समीकरण $x + y + 3 = 0$ है।
नाभि से नियता की दूरी $d$ है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ की दूरी का सूत्र $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
मान रखने पर,$d = \frac{|1(1) + 1(-2) + 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|1 - 2 + 3|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
परवलय के नाभिलंब की लंबाई $= 2 \times (\text{नाभि से नियता की दूरी})$.
नाभिलंब की लंबाई $= 2 \times \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ इकाई।

(B) $(0, 0)$ पर शीर्ष और $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित परवलय का समीकरण $x^2 = 4ay$ के रूप का होता है।
चूंकि बिंदु $(4, 4)$ परवलय पर स्थित है,इसलिए $4^2 = 4a(4)$,जिसका अर्थ है $16 = 16a$,अतः $a = 1$ है।
परवलय का समीकरण $x^2 = 4y$ है।
इस परवलय की नाभि $(0, a) = (0, 1)$ है।
परवलय $x^2 = 4ay$ पर स्थित बिंदु $(x_1, y_1)$ की नाभीय दूरी $|y_1 + a|$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,नाभीय दूरी $|4 + 1| = 5$ प्राप्त होती है।

(D) परवलय का समीकरण $y^{2} = x$ है। मानक रूप $y^{2} = 4ax$ से तुलना करने पर,$4a = 1$ प्राप्त होता है,अतः $a = \frac{1}{4}$।
प्राचल $t$ के पदों में परवलय $y^{2} = 4ax$ पर स्थित बिंदु के निर्देशांक $(at^{2}, 2at)$ होते हैं।
दिए गए प्राचल $t = -\frac{4}{3}$ के लिए,$a = \frac{1}{4}$ और $t = -\frac{4}{3}$ रखने पर:
$x = at^{2} = \frac{1}{4} \times \left(-\frac{4}{3}\right)^{2} = \frac{1}{4} \times \frac{16}{9} = \frac{4}{9}$।
$y = 2at = 2 \times \frac{1}{4} \times \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{2}{3}$।
अतः,बिंदु के निर्देशांक $\left(\frac{4}{9}, -\frac{2}{3}\right)$ हैं।