Parabola Questions in Hindi

(D) दी गई रेखा $x - y + 1 = 0$ है। वक्र $x = y^2$ है।
माना वक्र पर एक बिंदु $P(y^2, y)$ है।
बिंदु $P$ से रेखा $x - y + 1 = 0$ की दूरी $d = \frac{|y^2 - y + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|y^2 - y + 1|}{\sqrt{2}}$ है।
चूंकि सभी वास्तविक $y$ के लिए $y^2 - y + 1 > 0$ है,इसलिए $d = \frac{y^2 - y + 1}{\sqrt{2}}$ होगा।
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,हम $f(y) = y^2 - y + 1$ का न्यूनतम मान ज्ञात करते हैं।
अवकलन करने पर,$f'(y) = 2y - 1$ प्राप्त होता है। $f'(y) = 0$ रखने पर $y = \frac{1}{2}$ मिलता है।
न्यूनतम मान $f(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4}$ है।
अतः,न्यूनतम दूरी $d = \frac{3/4}{\sqrt{2}} = \frac{3}{4 \sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{8}$ है।

(D) परवलय का समीकरण $x^2 = 12y$ है। इसे $x^2 = 4ay$ से तुलना करने पर,हमें $4a = 12$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 3$ है।
परवलय का शीर्ष $(0, 0)$ पर है।
नाभिलंब के सिरे $(2a, a)$ और $(-2a, a)$ हैं,जो $(6, 3)$ और $(-6, 3)$ हैं।
त्रिभुज $(0, 0)$,$(6, 3)$ और $(-6, 3)$ शीर्षों द्वारा बनता है।
त्रिभुज का आधार नाभिलंब की लंबाई है,जो $4a = 12$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई शीर्ष से नाभिलंब तक की दूरी है,जो $a = 3$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 12 \times 3 = 18$ वर्ग इकाई है।

(D) दिया गया द्विघात व्यंजक $y = ax^2 + bx + c$ है।
चूंकि $a > 0$,परवलय ऊपर की ओर खुलता है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 0$ का अर्थ है कि द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के दो समान वास्तविक मूल हैं।
इसका मतलब है कि वक्र $x$-अक्ष को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करता है।
चूंकि $a > 0$,परवलय का शीर्ष अपने न्यूनतम मान पर है,जो $x$-अक्ष पर $0$ है,और वक्र का शेष भाग $x$-अक्ष के ऊपर स्थित है।
अतः,वक्र $x$-अक्ष को स्पर्श करता है और उसके ऊपर स्थित है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2 + 6x - 4y + 15 = 0$ है।
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^2 + 6x + 9) - 9 - 4y + 15 = 0$.
$(x + 3)^2 - 4y + 6 = 0$.
$(x + 3)^2 = 4y - 6$.
$(x + 3)^2 = 4(y - \frac{3}{2})$.
इसे रूपांतरित समीकरण $(x - \alpha)^2 = 8a(y - \beta)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x - \alpha = x + 3 \Rightarrow \alpha = -3$.
$y - \beta = y - \frac{3}{2} \Rightarrow \beta = \frac{3}{2}$.
$8a = 4 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$.
अब,$2\alpha + 8\beta^2$ की गणना करने पर:
$2(-3) + 8(\frac{3}{2})^2 = -6 + 8(\frac{9}{4}) = -6 + 18 = 12$.

(C) मान लीजिए $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं। $P(x, y)$ की $A(1, 1)$ से दूरी $\sqrt{(x-1)^2 + (y-1)^2}$ है।
$P(x, y)$ की रेखा $x+y+2=0$ से दूरी $\frac{|x+y+2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|x+y+2|}{\sqrt{2}}$ है।
दी गई शर्त के अनुसार,ये दूरियाँ समान हैं:
$(x-1)^2 + (y-1)^2 = \frac{(x+y+2)^2}{2}$
$2(x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1) = x^2 + y^2 + 4 + 2xy + 4x + 4y$
$2x^2 + 2y^2 - 4x - 4y + 4 = x^2 + y^2 + 2xy + 4x + 4y + 4$
$x^2 + y^2 - 2xy - 8x - 8y = 0$
यह समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के रूप का है,जहाँ $a=1, b=1, h=-1, g=-4, f=-4, c=0$ है।
यहाँ,$h^2 - ab = (-1)^2 - (1)(1) = 1 - 1 = 0$ है।
चूँकि $h^2 - ab = 0$,इसलिए बिंदुपथ एक परवलय है।

(C) बिंदु $(x_1, y_1)$ से परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$S = y^2 - 4x$,$S_1 = (-2)^2 - 4(-1) = 8$,और $T = -2y - 2x + 2$ है।
$SS_1 = T^2$ में मान रखने पर:
$(y^2 - 4x)(8) = (-2y - 2x + 2)^2$.
$4$ से विभाजित करने पर:
$2(y^2 - 4x) = (x + y - 1)^2$.
$x^2 + 2xy - y^2 + 6x - 2y + 1 = 0$.
यह रेखाओं का युग्म $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है,जहाँ $a = 1, h = 1, b = -1$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = |\frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}|$ है।
चूँकि $a + b = 1 + (-1) = 0$ है,हर $0$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\tan \theta = \infty$।

(D) वक्र $y^2 = 4x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 4$,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$। बिंदु $(2, -2)$ पर,$m_1 = \frac{2}{-2} = -1$।
वक्र $x^2 = -2y$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x = -2 \frac{dy}{dx}$,अतः $\frac{dy}{dx} = -x$। बिंदु $(2, -2)$ पर,$m_2 = -2$।
ढाल का गुणनफल $m_1 \times m_2 = (-1) \times (-2) = 2 \neq -1$। अतः,वक्र $(2, -2)$ पर लंबकोणीय प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।
मूल बिंदु $(0,0)$ पर,स्पर्श रेखाएँ $x=0$ (ऊर्ध्वाधर) और $y=0$ (क्षैतिज) हैं,जो लंबवत हैं,लेकिन कथन में $(1,2)$ बिंदु का उल्लेख है जो गलत है क्योंकि $(1,2)$ बिंदु वक्रों पर स्थित नहीं है।
इसलिए,कथन $(A)$ असत्य है और कारण $(R)$ सत्य है।

(B) वृत्तों के समीकरण $C_1: x^2+y^2-6x-6y+13=0$ और $C_2: x^2+y^2-8y+9=0$ हैं।
उभयनिष्ठ जीवा $AB$ का समीकरण $C_1 - C_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है:
$(x^2+y^2-6x-6y+13) - (x^2+y^2-8y+9) = 0$
$-6x+2y+4 = 0 \Rightarrow 3x-y-2 = 0$.
यह परवलय की नियता है।
नियता की ढाल $m_D = 3$ है।
परवलय का अक्ष नियता के लंबवत है और शीर्ष $O(0,0)$ से गुजरता है।
अक्ष की ढाल $m_A = -1/3$ है।
अक्ष का समीकरण $y - 0 = -1/3(x - 0) \Rightarrow x+3y = 0$ है।
शीर्ष से नियता पर लंब का पाद $3x-y-2=0$ और $x+3y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इन्हें हल करने पर,हमें $x = 3/5$ और $y = -1/5$ प्राप्त होता है। यह बिंदु $Z(3/5, -1/5)$ है।
चूंकि शीर्ष $O(0,0)$ नाभि $S(\alpha, \beta)$ और लंब के पाद $Z(3/5, -1/5)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य बिंदु है:
$0 = (\alpha + 3/5)/2 \Rightarrow \alpha = -3/5$
$0 = (\beta - 1/5)/2 \Rightarrow \beta = 1/5$.
अतः,नाभि $(-3/5, 1/5)$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x^2-4x+4y-8=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाकर समीकरण को फिर से लिखने पर:
$x^2-4x+4 = -4y+8+4$
$(x-2)^2 = -4(y-3)$
इसे $(x-h)^2 = 4a(y-k)$ से तुलना करने पर,$h=2, k=3$ और $4a = -4 \Rightarrow a = -1$ प्राप्त होता है।
$(B)$ शीर्ष $(h, k) = (2, 3)$ है।
$(A)$ नाभि $(h, k+a) = (2, 3-1) = (2, 2)$ है।
$(C)$ नाभिलंब का एक सिरा $(h+2a, k+a) = (2-2, 3-1) = (0, 2)$ या $(h-2a, k+a) = (2+2, 3-1) = (4, 2)$ है। विकल्पों के अनुसार,$(4, 2)$ सही है।
$(D)$ अक्ष और नियता का प्रतिच्छेदन बिंदु $(h, k-a) = (2, 3-(-1)) = (2, 4)$ है।
अतः,सही मिलान $A-V, B-III, C-I, D-IV$ है।

(D) परवलय के लिए,परवलय पर स्थित किसी बिंदु $P(x, y)$ की नाभि $S$ से दूरी,$P$ की नियता $L$ से लंबवत दूरी के बराबर होती है।
$PS = PN$
$\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+(y+3)^2} = \left|\frac{3x-2y+5}{\sqrt{3^2+(-2)^2}}\right|$
$\Rightarrow (x-2)^2+(y+3)^2 = \frac{(3x-2y+5)^2}{13}$
$\Rightarrow 13(x^2-4x+4+y^2+6y+9) = 9x^2+4y^2+25-12xy-20y+30x$
$\Rightarrow 13x^2-52x+52+13y^2+78y+117 = 9x^2+4y^2-12xy+30x-20y+25$
$\Rightarrow 4x^2+12xy+9y^2-82x+98y+144 = 0$
इसकी तुलना दिए गए समीकरण $ax^2+2hxy+by^2-82x+98y+144=0$ से करने पर,हमें $a=4, h=6, b=9$ प्राप्त होता है।
अब,समीकरण $ax^2+2hxy+by^2=0$,$4x^2+12xy+9y^2=0$ बन जाता है।
इसे $(2x+3y)^2=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि विविक्तकर $h^2-ab = 6^2-(4)(9) = 36-36=0$ है,इसलिए यह दो संपाती रेखाओं को दर्शाता है।

(B) दिए गए परवलय का समीकरण $(2 x - 3 y - 5)^2 = 20(3 x + 2 y + 1)$ है।
हम इसे $\left( \frac{2 x - 3 y - 5}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} \right)^2 = \frac{20}{13} \left( \frac{3 x + 2 y + 1}{\sqrt{3^2 + 2^2}} \right) \sqrt{13}$ के रूप में फिर से लिखते हैं।
मान लीजिए $Y = \frac{2 x - 3 y - 5}{\sqrt{13}}$ और $X = \frac{3 x + 2 y + 1}{\sqrt{13}}$ है।
समीकरण $Y^2 = \frac{20}{\sqrt{13}} X$ बन जाता है।
$Y^2 = 4 a X$ के साथ तुलना करने पर,हमें $4 a = \frac{20}{\sqrt{13}}$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = \frac{5}{\sqrt{13}}$ है।
नियता $X = -a$ द्वारा दी जाती है,जो $\frac{3 x + 2 y + 1}{\sqrt{13}} = -\frac{5}{\sqrt{13}}$ है।
अतः,$3 x + 2 y + 1 = -5$,या $3 x + 2 y + 6 = 0$ है।

(A) परवलय की नाभि $S(0,0)$ दी गई है।
नियता का समीकरण $x+y-4=0$ है।
माना $P(x, y)$ परवलय पर कोई बिंदु है।
परिभाषा के अनुसार,$P$ की नाभि से दूरी,$P$ की नियता से दूरी के बराबर होती है,इसलिए $SP^2 = PM^2$।
$SP^2 = (x-0)^2 + (y-0)^2 = x^2 + y^2$।
$P(x, y)$ से रेखा $x+y-4=0$ की लंबवत दूरी $PM = \frac{|x+y-4|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|x+y-4|}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,$x^2 + y^2 = \left(\frac{x+y-4}{\sqrt{2}}\right)^2$।
$x^2 + y^2 = \frac{(x+y-4)^2}{2}$।
$2(x^2 + y^2) = x^2 + y^2 + 16 + 2xy - 8x - 8y$।
$x^2 + y^2 - 2xy + 8x + 8y - 16 = 0$।

(A) दिया गया परवलय का समीकरण: $x^2 - 2x - 4y + 5 = 0$.
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^2 - 2x + 1 = 4y - 5 + 1$.
$(x - 1)^2 = 4(y - 1)$.
इसे मानक रूप $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ से तुलना करने पर,$h = 1, k = 1$ और $4a = 4$ प्राप्त होता है,अतः $a = 1$.
परवलय $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ पर स्थित बिंदु $(x_1, y_1)$ की नाभीय दूरी $|y_1 - k + a|$ होती है।
बिंदु $(5, 5)$ और मान $k = 1, a = 1$ रखने पर:
नाभीय दूरी $= |5 - 1 + 1| = |5| = 5$.

(A) दिया गया परवलय $y = x^2 - 3x + 2$ है। इसे $(x - \frac{3}{2})^2 = y + \frac{1}{4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(x-h)^2 = 4a(y-k)$ से तुलना करने पर,$h = \frac{3}{2}$,$k = -\frac{1}{4}$,और $4a = 1 \implies a = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
$1$. $Q$ शीर्ष है,जो $(h, k) = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{4})$ है। अतः,$B-II$.
$2$. $S$ नाभि $(h, k+a) = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{4} + \frac{1}{4}) = (\frac{3}{2}, 0)$ है। अतः,$C-III$.
$3$. $Z$ अक्ष $(x = \frac{3}{2})$ और नियता $(y = k-a = -\frac{1}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{1}{2})$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है,इसलिए $Z = (\frac{3}{2}, -\frac{1}{2})$ है। अतः,$D-IV$.
$4$. $P$ नाभिलंब का एक अंतिम बिंदु $(h \pm 2a, k+a) = (\frac{3}{2} \pm \frac{1}{2}, 0)$ है। $(2, 0)$ के लिए,हमें $A-I$ प्राप्त होता है।
अतः,सही मिलान $A-I, B-II, C-III, D-IV$ है।

(A) दिया गया समीकरण $25[(x-2)^2+(y+5)^2]=(3x+4y-1)^2$ है। यह $SP^2 = e^2 PM^2$ के रूप में है,जहाँ $S(2, -5)$ नाभि है और $3x+4y-1=0$ नियता है,जहाँ $e=1$ है।
$I$. शीर्ष: शीर्ष,नाभि $S(2, -5)$ और नियता पर नाभि के प्रक्षेप का मध्यबिंदु है। $S(2, -5)$ का $3x+4y-1=0$ पर प्रक्षेप $P' = (x, y)$ है,जहाँ $\frac{x-2}{3} = \frac{y+5}{4} = -\frac{3(2)+4(-5)-1}{3^2+4^2} = \frac{3}{5}$ है। अतः $x = \frac{19}{5}$ और $y = -\frac{13}{5}$ है। शीर्ष $S(2, -5)$ और $(\frac{19}{5}, -\frac{13}{5})$ का मध्यबिंदु है,जो $(\frac{29}{10}, \frac{-38}{10})$ है। अतः,$I-B$.
$II$. नाभिलंब की लंबाई: नाभि $(2, -5)$ से नियता $3x+4y-1=0$ की दूरी $d = \frac{|3(2)+4(-5)-1|}{5} = 3$ है। नाभिलंब की लंबाई $2d = 6$ है। अतः,$II-E$.
$III$. नियता: $3x+4y-1=0$ दी गई है। अतः,$III-C$.
$IV$. नाभिलंब का एक सिरा: नाभिलंब नाभि $(2, -5)$ से गुजरने वाली और नियता के समानांतर रेखा है,यानी $3x+4y+14=0$ है। इस रेखा और परवलय का प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{-2}{5}, \frac{-16}{5})$ है। अतः,$IV-D$.

(B) माना नाभि $(2,3)$ से नियता $x-y+3=0$ पर डाले गए लंब का पाद $(h, k)$ है।
नाभि से गुजरने वाली और नियता के लंबवत रेखा का समीकरण $\frac{x-2}{1} = \frac{y-3}{-1} = \lambda$ है,जिससे $x = 2+\lambda$ और $y = 3-\lambda$ प्राप्त होता है।
नियता के समीकरण में मान रखने पर: $(2+\lambda) - (3-\lambda) + 3 = 0$ $\Rightarrow 2\lambda + 2 = 0$ $\Rightarrow \lambda = -1$.
अतः,लंब का पाद $(1, 4)$ है।
शीर्ष,नाभि $(2,3)$ और लंब के पाद $(1,4)$ का मध्यबिंदु है,जो $(\frac{2+1}{2}, \frac{3+4}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ है।
शीर्ष पर स्पर्श रेखा नियता $x-y+3=0$ के समानांतर होती है,इसलिए इसका समीकरण $x-y+c=0$ है।
शीर्ष $(\frac{3}{2}, \frac{7}{2})$ का मान रखने पर: $\frac{3}{2} - \frac{7}{2} + c = 0$ $\Rightarrow -2 + c = 0$ $\Rightarrow c = 2$.
अतः,शीर्ष पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x-y+2=0$ है।

(C) नियता $x+y+1=0$ की ढाल $-1$ है। चूँकि परवलय का अक्ष नियता के लंबवत होता है,इसलिए अक्ष की ढाल $1$ है।
शीर्ष $(1, 1)$ दिया गया है,अतः अक्ष का समीकरण $y-1=1(x-1)$ है,जो $y=x$ में सरल हो जाता है।
बिंदु $(c, d)$ ज्ञात करने के लिए,हम नियता और अक्ष के समीकरणों को हल करते हैं:
$x+y+1=0$ और $y=x$।
$y=x$ को नियता के समीकरण में रखने पर: $x+x+1=0$ $\Rightarrow 2x=-1$ $\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$।
अतः,$c=-\frac{1}{2}$ और $d=-\frac{1}{2}$ प्राप्त होते हैं।
शीर्ष $(1, 1)$ नाभि $(a, b)$ और बिंदु $(c, d)$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर: $1=\frac{a+c}{2}$ $\Rightarrow 1=\frac{a-1/2}{2}$ $\Rightarrow 2=a-\frac{1}{2}$ $\Rightarrow a=\frac{5}{2}$।
इसी प्रकार,$1=\frac{b+d}{2}$ $\Rightarrow 1=\frac{b-1/2}{2}$ $\Rightarrow 2=b-\frac{1}{2}$ $\Rightarrow b=\frac{5}{2}$।
अंत में,$a+b+c+d = \frac{5}{2} + \frac{5}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 5 - 1 = 4$।

(A) नियता $x+2y-1=0$ है और नाभि $S(1,0)$ है।
माना $P(x, y)$ परवलय पर कोई बिंदु है।
परिभाषा के अनुसार,$P$ से नाभि की दूरी,$P$ से नियता की लंबवत दूरी के बराबर होती है $(PS = PM)$।
$PS^2 = PM^2$
$(x-1)^2 + (y-0)^2 = \frac{(x+2y-1)^2}{1^2+2^2}$
$5((x-1)^2 + y^2) = (x+2y-1)^2$
$5(x^2 - 2x + 1 + y^2) = x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 2x - 4y$
$5x^2 - 10x + 5 + 5y^2 = x^2 + 4y^2 + 4xy - 2x - 4y + 1$
$4x^2 - 4xy + y^2 - 8x + 4y + 4 = 0$

(C) दिए गए परवलय $P_1: y^2=5x$ और $P_2: x^2=5y$ हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर: $y = \frac{x^2}{5}$ को $y^2=5x$ में प्रतिस्थापित करने पर $(\frac{x^2}{5})^2 = 5x$ प्राप्त होता है,जो $x^4 = 125x$ में सरल हो जाता है। अतः,$x(x^3 - 125) = 0$,जिससे $x=0$ या $x=5$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(5,5)$ हैं।
$(0,0)$ और $(5,5)$ से गुजरने वाली रेखा $L$,$y=x$ है।
$P_1$ की नियता ($y^2=4ax$ जहाँ $4a=5 \Rightarrow a=5/4$) $x = -\frac{5}{4}$ है।
$P_2$ का नाभिलंब ($x^2=4ay$ जहाँ $4a=5 \Rightarrow a=5/4$) $y = \frac{5}{4}$ है।
त्रिभुज के शीर्ष इन तीन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$. $x = -\frac{5}{4}$ और $y = \frac{5}{4}$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $C(-\frac{5}{4}, \frac{5}{4})$ है।
$2$. $x = -\frac{5}{4}$ और $y=x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $B(-\frac{5}{4}, -\frac{5}{4})$ है।
$3$. $y = \frac{5}{4}$ और $y=x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A(\frac{5}{4}, \frac{5}{4})$ है।
शीर्षों $A(\frac{5}{4}, \frac{5}{4})$,$B(-\frac{5}{4}, -\frac{5}{4})$,और $C(-\frac{5}{4}, \frac{5}{4})$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |\frac{5}{4}(-\frac{5}{4} - \frac{5}{4}) + (-\frac{5}{4})(\frac{5}{4} - \frac{5}{4}) + (-\frac{5}{4})(\frac{5}{4} - (-\frac{5}{4}))|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-\frac{50}{16} - \frac{50}{16}| = \frac{25}{8}$.

(D) माना समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $a$ है।
चूँकि एक शीर्ष मूलबिंदु $(0,0)$ पर है और त्रिभुज $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है, अन्य दो शीर्ष परवलय $y^2=12x$ पर $x$-अक्ष के साथ $30^{\circ}$ और $-30^{\circ}$ के कोण पर स्थित हैं।
शीर्ष $A$ के निर्देशांक $(a \cos 30^{\circ}, a \sin 30^{\circ})$ हैं।
चूँकि $A$ परवलय पर स्थित है:
$(a \sin 30^{\circ})^2 = 12(a \cos 30^{\circ})$
$a^2 (1/4) = 12a (\sqrt{3}/2)$
$a = 24\sqrt{3}$.
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} (24\sqrt{3})^2 = 432\sqrt{3}$ वर्ग इकाई।

(B) परवलय का समीकरण $y^2=16x$ है,जो $y^2=4ax$ के रूप में है। अतः,$4a=16$,जिससे $a=4$ प्राप्त होता है।
माना बिंदुओं $A$ और $B$ के प्राचल $t_1$ और $t_2$ हैं। चूंकि $AB$ एक नाभिलंब जीवा है,इसलिए $t_1 \cdot t_2 = -1$ होगा।
बिंदु $A(1, -4)$ के लिए,$at_1^2 = 1$ और $2at_1 = -4$ है।
$a=4$ रखने पर,$4t_1^2 = 1$ $\Rightarrow t_1^2 = 1/4$ $\Rightarrow t_1 = -1/2$ (क्योंकि $A$ पर $y < 0$ है)।
चूंकि $t_1 \cdot t_2 = -1$ है,इसलिए $(-1/2) \cdot t_2 = -1$,जिससे $t_2 = 2$ प्राप्त होता है।
बिंदु $B$ का मान $(at_2^2, 2at_2) = (4(2)^2, 2(4)(2)) = (16, 16)$ है।
परवलय $y^2=4ax$ के लिए बिंदु $t$ पर अभिलंब का समीकरण $y + tx = 2at + at^3$ होता है।
$t_2 = 2$ और $a=4$ के लिए,$B$ पर अभिलंब का समीकरण $y + 2x = 2(4)(2) + 4(2)^3$ होगा।
$y + 2x = 16 + 32$.
$y + 2x = 48$.
अतः,अभिलंब का समीकरण $2x + y - 48 = 0$ है।

(A) परवलय का अक्ष $y=x$ है। शीर्ष $A$ और नाभि $S$ प्रथम चतुर्थांश में इस रेखा पर स्थित हैं।
चूंकि $A$ की $(0,0)$ से दूरी $\sqrt{2}$ है,$A$ के निर्देशांक $(1,1)$ हैं।
चूंकि $S$ की $(0,0)$ से दूरी $2\sqrt{2}$ है,$S$ के निर्देशांक $(2,2)$ हैं।
दूरी $AS = a = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2}$ है।
नियता रेखा $y=x$ के लंबवत है और बिंदु $Z$ से गुजरती है जहाँ $A$,$SZ$ का मध्यबिंदु है। $S=(2,2)$ और $A=(1,1)$ होने के कारण,$Z=(0,0)$ है।
नियता का समीकरण $x+y=0$ है।
परवलय की परिभाषा के अनुसार,किसी भी बिंदु $(x,y)$ की नाभि $(2,2)$ से दूरी,नियता $x+y=0$ से दूरी के बराबर होती है:
$(x-2)^2 + (y-2)^2 = \frac{(x+y)^2}{2}$.
$2(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 4y + 4) = x^2 + y^2 + 2xy$.
$x^2 + y^2 - 2xy - 8x - 8y + 16 = 0$,जो $(x-y)^2 = 8(x+y-2)$ है।
$x=(t+1)^2$ और $y=(t-1)^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$((t+1)^2 - (t-1)^2)^2 = (4t)^2 = 16t^2$.
$8((t+1)^2 + (t-1)^2 - 2) = 8(t^2 + 2t + 1 + t^2 - 2t + 1 - 2) = 8(2t^2) = 16t^2$.
दोनों पक्ष समान हैं,इसलिए प्राचलिक रूप $x=(t+1)^2, y=(t-1)^2$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $2x^2 + 5y - 6x + 1 = 0$
$2$ से भाग देने पर: $x^2 - 3x + \frac{5}{2}y + \frac{1}{2} = 0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 3x = -\frac{5}{2}y - \frac{1}{2}$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x^2 - 3x + (\frac{3}{2})^2 = -\frac{5}{2}y - \frac{1}{2} + \frac{9}{4}$
$(x - \frac{3}{2})^2 = -\frac{5}{2}y + \frac{7}{4}$
$(x - \frac{3}{2})^2 = -\frac{5}{2}(y - \frac{7}{10})$
$(x - h)^2 = -4a(y - k)$ से तुलना करने पर,$h = \frac{3}{2}$,$k = \frac{7}{10}$,और $4a = \frac{5}{2} \Rightarrow a = \frac{5}{8}$।
शीर्ष $(h, k) = (\frac{3}{2}, \frac{7}{10})$ है।
नाभि $(h, k - a) = (\frac{3}{2}, \frac{7}{10} - \frac{5}{8}) = (\frac{3}{2}, \frac{3}{40})$ है।

(D) दिया गया परवलय $y^2=16x$ है,जो $y^2=4ax$ के रूप में है,इसलिए $a=4$.
परवलय की नाभि $S$ $(4, 0)$ है।
नाभिलंब $LL^{\prime}$ के अंतिम बिंदु $(a, 2a)$ और $(a, -2a)$ हैं,इसलिए $L=(4, 8)$ और $L^{\prime}=(4, -8)$.
चूंकि $PQ$ एक नाभिय जीवा है जो $P(1, 4)$ और $S(4, 0)$ से गुजरती है,$PQ$ की ढाल $m = \frac{0-4}{4-1} = -\frac{4}{3}$ है।
रेखा $PQ$ का समीकरण $4x + 3y - 16 = 0$ है।
$Q$ के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{y^2}{16}$ को रेखा के समीकरण में रखने पर: $y^2 + 12y - 64 = 0$.
गुणनखंड करने पर $(y+16)(y-4) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $y=4$ (बिंदु $P$) या $y=-16$ (बिंदु $Q$)।
$y=-16$ के लिए,$x = 16$,इसलिए $Q=(16, -16)$.
अब,दूरी $LQ = \sqrt{(16-4)^2 + (-16-8)^2} = \sqrt{12^2 + (-24)^2} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5}$.

(D) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2 = 8x$ है,जो $y^2 = 4ax$ के रूप में है। तुलना करने पर,$a = 2$ प्राप्त होता है।
परवलय की नाभि $(a, 0) = (2, 0)$ है।
परवलय $y^2 = 4ax$ पर स्थित बिंदु $(x_1, y_1)$ की नाभीय दूरी $|x_1 + a|$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया बिंदु $(2t^2, 4t)$ है और नाभीय दूरी $3$ है,इसलिए:
$|2t^2 + 2| = 3$
वास्तविक $t$ के लिए $2t^2 + 2$ हमेशा धनात्मक होता है,इसलिए:
$2t^2 + 2 = 3$
$2t^2 = 1$
$t^2 = \frac{1}{2}$
$t = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(D) दिया गया समीकरण: $y^2-4x-8y-12=0$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $y^2-8y = 4x+12$
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $y^2-8y+16 = 4x+12+16$
$(y-4)^2 = 4x+28$
$(y-4)^2 = 4(x+7)$
माना $Y = y-4$ और $X = x+7$ है। तब समीकरण $Y^2 = 4X$ हो जाता है।
मानक रूप $Y^2 = 4aX$ से तुलना करने पर,$4a = 4$,इसलिए $a = 1$ है।
$Y^2 = 4aX$ के लिए प्राचलिक समीकरण $X = at^2$ और $Y = 2at$ हैं।
$a = 1$ रखने पर: $X = t^2$ और $Y = 2t$ प्राप्त होता है।
$X = x+7$ और $Y = y-4$ वापस रखने पर:
$x+7 = t^2 \Rightarrow x = -7+t^2$
$y-4 = 2t \Rightarrow y = 4+2t$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) परवलय का सामान्य समीकरण $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ है,जहाँ $(h, k)$ शीर्ष है।
दिया गया शीर्ष $(h, k) = (1, -2)$ और नाभि $(h + a, k) = \left(\frac{5}{4}, -2\right)$ है।
$a$ की गणना करने पर: $h + a = \frac{5}{4}$ $\Rightarrow 1 + a = \frac{5}{4}$ $\Rightarrow a = \frac{1}{4}$.
समीकरण में मान रखने पर:
$(y + 2)^2 = 4 \times \frac{1}{4}(x - 1)$
$(y + 2)^2 = (x - 1)$.
अब,दिए गए विकल्पों की जाँच करने पर:
विकल्प $(D)$ के लिए,$(10, 1)$ को समीकरण में रखने पर:
$(1 + 2)^2 = 3^2 = 9$
$(10 - 1) = 9$.
अतः,बिंदु $(10, 1)$ परवलय पर स्थित है।

(C) दिए गए प्राचलिक समीकरण $y=2+4t$ और $x=-2+2t^2$ हैं।
पहले समीकरण से,$t = \frac{y-2}{4}$।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x = -2 + 2\left(\frac{y-2}{4}\right)^2 = -2 + 2\frac{(y-2)^2}{16} = -2 + \frac{(y-2)^2}{8}$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $(y-2)^2 = 8(x+2)$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ से करने पर,हमें $h=-2, k=2$ और $4a=8$ मिलता है,इसलिए $a=2$।
नाभिलंब के सिरे $(h+a, k \pm 2a)$ पर होते हैं,जो $(-2+2, 2 \pm 4)$ अर्थात $(0, 6)$ और $(0, -2)$ हैं।
$y=6$ के लिए,$2+4t=6 \implies 4t=4 \implies t=1$।
$y=-2$ के लिए,$2+4t=-2 \implies 4t=-4 \implies t=-1$।
अतः,$\alpha=1$ और $\beta=-1$।
इसलिए,$\alpha \beta = (1)(-1) = -1$।

(B) क्षैतिज अक्ष वाले परवलय का समीकरण $x = ay^2 + by + c$ है।
दिए गए बिंदुओं $(-2, 1)$,$(1, 2)$ और $(-1, 3)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$1) -2 = a + b + c$
$2) 1 = 4a + 2b + c$
$3) -1 = 9a + 3b + c$
$(2)$ में से $(1)$ घटाने पर: $3a + b = 3$ $(4)$
$(3)$ में से $(2)$ घटाने पर: $5a + b = -2$ $(5)$
$(5)$ में से $(4)$ घटाने पर: $2a = -5 \Rightarrow a = -\frac{5}{2}$.
$a$ का मान $(4)$ में रखने पर: $3(-\frac{5}{2}) + b = 3 \Rightarrow b = 3 + \frac{15}{2} = \frac{21}{2}$.
$a$ और $b$ का मान $(1)$ में रखने पर: $-\frac{5}{2} + \frac{21}{2} + c = -2$ $\Rightarrow 8 + c = -2$ $\Rightarrow c = -10$.
परवलय का समीकरण $x = -\frac{5}{2}y^2 + \frac{21}{2}y - 10$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $x = -\frac{5}{2}(y - \frac{21}{10})^2 + \frac{41}{40}$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(y - \frac{21}{10})^2 = -\frac{2}{5}(x - \frac{41}{40})$.
यह $(y - k)^2 = 4A(x - h)$ के रूप में है,जहाँ $k = \frac{21}{10}$.
अतः नाभि का $y$-निर्देशांक $k = \frac{21}{10}$ है।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण $x^2-8 x+12 y+15=0$ है।
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$x^2-8 x+16 = -12 y - 15 + 16$
$(x-4)^2 = -12 y + 1$
$(x-4)^2 = -12(y - \frac{1}{12})$।
इसे मानक रूप $(x-h)^2 = -4a(y-k)$ से तुलना करने पर,हमें $h=4$,$k=\frac{1}{12}$,और $4a=12$,अर्थात $a=3$ प्राप्त होता है।
$(x-h)^2 = -4a(y-k)$ के लिए प्राचलिक समीकरण $x = h + 2at$ और $y = k - at^2$ हैं।
मान रखने पर,हमें $x = 4 + 2(3)t = 4 + 6t$ और $y = \frac{1}{12} - 3t^2$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $x^2=16y$ है।
इसे मानक रूप $x^2=4ay$ के साथ तुलना करने पर,हमें $4a=16$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a=4$।
परवलय की नाभि $F(0, a) = (0, 4)$ है।
नाभिलंब रेखा $y=4$ है।
परवलय समीकरण $x^2=16y$ में $y=4$ रखने पर,हमें $x^2=16(4)=64$ प्राप्त होता है,इसलिए $x=\pm 8$।
नाभिलंब के सिरे $P(8, 4)$ और $Q(-8, 4)$ हैं।
परवलय का शीर्ष $O(0, 0)$ है।
त्रिभुज शीर्षों $O(0, 0)$,$P(8, 4)$,और $Q(-8, 4)$ द्वारा निर्मित है।
त्रिभुज का आधार $PQ$ की लंबाई $8 - (-8) = 16$ इकाई है।
शीर्ष $O$ से रेखा $PQ$ तक त्रिभुज की ऊँचाई नाभिलंब का $y$-निर्देशांक है,जो $4$ इकाई है।
$\triangle OPQ$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 16 \times 4 = 32$ वर्ग इकाई।

(A) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2+2x+2y-3=0$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाकर समीकरण को फिर से लिखने पर:
$(y^2+2y+1)-1+2x-3=0$
$(y+1)^2+2x-4=0$
$(y+1)^2 = -2(x-2)$
इसे मानक रूप $(y-k)^2 = -4a(x-h)$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
शीर्ष $(h, k) = (2, -1)$
$-4a = -2 \Rightarrow a = \frac{1}{2}$
अक्ष: $y-k=0 \Rightarrow y+1=0$
नाभि: $(h-a, k) = (2-\frac{1}{2}, -1) = (\frac{3}{2}, -1)$
नियता: $x = h+a$ $\Rightarrow x = 2+\frac{1}{2}$ $\Rightarrow x = \frac{5}{2}$ $\Rightarrow 2x-5=0$
इस प्रकार,मिलान इस प्रकार हैं:
$A \rightarrow III$ (नियता का समीकरण $2x-5=0$ है)
$B \rightarrow II$ (नाभि $(\frac{3}{2}, -1)$ है)
$C \rightarrow IV$ (अक्ष का समीकरण $y+1=0$ है)
$D \rightarrow I$ (शीर्ष $(2, -1)$ है)
अतः,सही मिलान $A-III, B-II, C-IV, D-I$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $y = \frac{h^3}{3} x^2 + \frac{h^2}{2} x - h + \frac{3}{4 h^3}$.
पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करके,समीकरण को $(x - h_0)^2 = 4a(y - k_0)$ के रूप में परिवर्तित करने पर।
नियता का समीकरण $y = k_0 - a$ होता है।
गणना करने पर,$k = -\frac{19h}{16}$ प्राप्त होता है।
अतः,$k : h = -19 : 16$.

(C) दिए गए परवलय का समीकरण $y^2 = 2px$ है। फोकस $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$ है और नियता $x = -\frac{p}{2}$ है।
चूंकि वृत्त का केंद्र फोकस पर है और यह नियता को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r = p$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - \frac{p}{2})^2 + y^2 = p^2$ है।
$y^2 = 2px$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$(x - \frac{p}{2})^2 + 2px = p^2$
$x^2 + px - \frac{3p^2}{4} = 0$
$(x + \frac{3p}{2})(x - \frac{p}{2}) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $x = \frac{p}{2}$ मिलता है।
$x = \frac{p}{2}$ को $y^2 = 2px$ में रखने पर $y = \pm p$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(\frac{p}{2}, p\right)$ और $\left(\frac{p}{2}, -p\right)$ हैं।

(A) परवलय का समीकरण $y^2=16x$ है। परवलय का शीर्ष मूल बिंदु $O(0,0)$ पर है। मान लीजिए समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $O(0,0)$,$A(4t^2, 8t)$,और $B(4t^2, -8t)$ हैं।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,$\angle AOM = 30^{\circ}$ होगा,जहाँ $M$,$A$ का $X$-अक्ष पर प्रक्षेप है।
$\triangle AOM$ में,$\tan 30^{\circ} = \frac{AM}{OM} = \frac{8t}{4t^2} = \frac{2}{t}$।
चूंकि $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{t}$,जिससे $t = 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $A$ के निर्देशांक $(4(2\sqrt{3})^2, 8(2\sqrt{3})) = (48, 16\sqrt{3})$ हैं।
त्रिभुज की भुजा की लंबाई $OA = \sqrt{(48-0)^2 + (16\sqrt{3}-0)^2} = \sqrt{2304 + 768} = \sqrt{3072} = 32\sqrt{3}$ है।
अतः,समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $32\sqrt{3}$ है।

(B) परवलय $y^2=4x$ है,जो $y^2=4ax$ के रूप में है,जहाँ $a=1$ है। नाभि $S(a,0) = (1,0)$ है।
चूंकि $PQ$ एक नाभिलंब जीवा है,$PS$ और $SQ$ का हरात्मक माध्य अर्ध-नाभिलंब $l=2a=2$ के साथ संबंधित है: $\frac{1}{PS} + \frac{1}{SQ} = \frac{1}{a} = \frac{1}{1} = 1$.
$P=(4,4)$ और $S=(1,0)$ दिया गया है,इसलिए दूरी $PS = \sqrt{(4-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.
संबंध में $PS=5$ रखने पर: $\frac{1}{5} + \frac{1}{SQ} = 1$.
$\frac{1}{SQ} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
अतः,$SQ = \frac{5}{4}$.

(C) कथन $I$ के लिए: $x = ly^2 + my + n \Rightarrow x - n = l(y^2 + \frac{m}{l}y) \Rightarrow x - n + \frac{m^2}{4l} = l(y + \frac{m}{2l})^2 \Rightarrow (y + \frac{m}{2l})^2 = \frac{1}{l}(x - (n - \frac{m^2}{4l}))$. शीर्ष $(n - \frac{m^2}{4l}, -\frac{m}{2l})$ है। अतः,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ के लिए: $y = lx^2 + mx + n \Rightarrow y - n = l(x^2 + \frac{m}{l}x) \Rightarrow y - n + \frac{m^2}{4l} = l(x + \frac{m}{2l})^2 \Rightarrow (x + \frac{m}{2l})^2 = \frac{1}{l}(y - (n - \frac{m^2}{4l}))$. यहाँ $4a = \frac{1}{l} \Rightarrow a = \frac{1}{4l}$. नाभि $(h, k+a) = (-\frac{m}{2l}, n - \frac{m^2-1}{4l})$ है। प्रश्न में दी गई नाभि गलत है। अतः,कथन $II$ असत्य है।
कथन $III$ के लिए: परवलय $x^2 = 4ay$ के सापेक्ष रेखा $lx + my + n = 0$ का ध्रुव $(-\frac{2al}{m}, -\frac{n}{m})$ होता है। अतः कथन $III$ भी असत्य है।

(A) परवलय का समीकरण $y^2=4ax$ है,जहाँ $4a=4$,इसलिए $a=1$ है।
रेखा $y=mx+c$ के परवलय $y^2=4ax$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c = \frac{a}{m}$ है।
दी गई रेखा $y=mx+1$ के लिए,$c=1$ है।
मान रखने पर,हमें $1 = \frac{1}{m}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $m=1$।

(C) माना समबाहु त्रिभुज की भुजा की लंबाई $l$ है। चूँकि एक शीर्ष मूल बिंदु $(0,0)$ पर है और त्रिभुज $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए अन्य दो शीर्ष $A\left(\frac{\sqrt{3}l}{2}, \frac{l}{2}\right)$ और $B\left(\frac{\sqrt{3}l}{2}, -\frac{l}{2}\right)$ हैं।
चूँकि शीर्ष $A$ परवलय $y^2=16ax$ पर स्थित है,हम इसके निर्देशांक प्रतिस्थापित करते हैं:
$\left(\frac{l}{2}\right)^2 = 16a\left(\frac{\sqrt{3}l}{2}\right)$
$\frac{l^2}{4} = 8\sqrt{3}al$
चूँकि $l \neq 0$,इसलिए $l = 32\sqrt{3}a$ है।
अब,शीर्षों के निर्देशांक $O(0,0)$,$A(48a, 16\sqrt{3}a)$ और $B(48a, -16\sqrt{3}a)$ हैं।
केंद्रक $G = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$:
$G = \left(\frac{0+48a+48a}{3}, \frac{0+16\sqrt{3}a-16\sqrt{3}a}{3}\right) = \left(\frac{96a}{3}, 0\right) = (32a, 0)$.

(A-(IV), B-(VI), C-(I), D-(II)) . परवलय $y^2 = 4ax$ के लिए $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yy_1 = 2a(x + x_1)$ है।
$y^2 = 4x$ के लिए,$a = 1$ है। $(2, \sqrt{8})$ पर,स्पर्श रेखा $y(\sqrt{8}) = 2(1)(x + 2) \Rightarrow \sqrt{8}y = 2x + 4 \Rightarrow 2\sqrt{2}y = 2x + 4 \Rightarrow x - \sqrt{2}y + 2 = 0$ है। अतः,$A \rightarrow (iv)$।
$B$. $y^2 = 4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y = mx - 2am - am^3$ है।
$y^2 = 16x$ के लिए,$4a = 16 \Rightarrow a = 4$ है। अभिलंब अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है,इसलिए $m = \tan(135^{\circ}) = -1$ या $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ है।
$m = 1$ के लिए,$y = 1(x) - 2(4)(1) - 4(1)^3 = x - 8 - 4 = x - 12 \Rightarrow x - y - 12 = 0$ है। अतः,$B \rightarrow (vi)$।
$C$. $y^2 = 12x$ के लिए,$4a = 12 \Rightarrow a = 3$ है। परवलय पर बिंदु $(at_1^2, 2at_1)$ और $(at_2^2, 2at_2)$ हैं।
जीवा एक नाभिलंब जीवा होती है यदि $t_1 t_2 = -1$ हो।
अतः $y_1 y_2 = (2at_1)(2at_2) = 4a^2(t_1 t_2) = 4(3)^2(-1) = 36(-1) = -36$ है। अतः,$C \rightarrow (i)$।
$D$. समीकरण $y^2 - kx + 16 = 0$ को $y^2 = k(x - 16/k)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$Y^2 = 4AX$ से तुलना करने पर,$4A = k \Rightarrow A = k/4$ है।
नियता $X = -A \Rightarrow x - 16/k = -k/4 \Rightarrow x = 16/k - k/4$ है।
दी गई नियता $x = 3$ है,इसलिए $16/k - k/4 = 3 \Rightarrow 64 - k^2 = 12k \Rightarrow k^2 + 12k - 64 = 0$ है।
$(k + 16)(k - 4) = 0 \Rightarrow k = 4$ या $k = -16$ है। अतः,$D \rightarrow (ii)$।

(A) नाभि $S$ का मान $(-1, -1)$ है और नियता $x+y+4=0$ है।
शीर्ष,नाभि और परवलय के अक्ष तथा नियता के प्रतिच्छेदन बिंदु का मध्य-बिंदु होता है।
परवलय का अक्ष नियता के लंबवत होता है और नाभि से होकर गुजरता है। नियता की ढाल $-1$ है,इसलिए अक्ष की ढाल $1$ होगी और यह $(-1, -1)$ से गुजरता है।
अक्ष का समीकरण $y - (-1) = 1(x - (-1)) \Rightarrow y = x$ है।
अक्ष $y=x$ और नियता $x+y+4=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $x+x+4=0$ $\Rightarrow 2x = -4$ $\Rightarrow x = -2$ है। अतः,$y = -2$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $Z(-2, -2)$ है।
शीर्ष,$S(-1, -1)$ और $Z(-2, -2)$ का मध्य-बिंदु है।
शीर्ष $= \left(\frac{-1-2}{2}, \frac{-1-2}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}\right)$.

(B) दिया गया समीकरण: $y^2+6y-2x=-5$
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$y^2+6y+9 = 2x-5+9$
$(y+3)^2 = 2x+4$
$(y+3)^2 = 2(x+2)$
इसे मानक रूप $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ से तुलना करने पर:
शीर्ष $(h, k) = (-2, -3)$ है। अतः,कथन $I$ सही है।
यहाँ,$4a = 2$,इसलिए $a = \frac{1}{2}$ है।
परवलय $(y-k)^2 = 4a(x-h)$ की नियता $x = h-a$ द्वारा दी जाती है।
$x = -2 - \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$
$2x = -5 \Rightarrow 2x+5 = 0$ है।
कथन $II$ कहता है कि नियता $y+3=0$ है,जो गलत है।
अतः,$I$ सही है और $II$ गलत है।

(C) परवलयों के दिए गए समीकरण:
$y^2=5x$ $(i)$
$x^2=5y$ (ii)
समीकरण (ii) से,$y = \frac{x^2}{5}$ प्राप्त होता है।
इसे समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{x^2}{5})^2 = 5x$
$\frac{x^4}{25} = 5x$
$x^4 = 125x$
$x^4 - 125x = 0$
$x(x^3 - 125) = 0$
इससे $x = 0$ या $x^3 = 125$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x = 5$।
यदि $x = 0$,तो $y = 0$। यदि $x = 5$,तो $y = \frac{5^2}{5} = 5$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(5,5)$ हैं।
विकल्पों की जाँच करने पर,दोनों बिंदु रेखा $x - y = 0$ को संतुष्ट करते हैं।

(A) माना $P(x, y)$ परवलय पर कोई बिंदु है। $P$ की नाभि $S(1, -1)$ से दूरी,उसकी नियता $x+y+3=0$ से लंबवत दूरी के बराबर होती है।
$\therefore PS = PQ \implies PS^2 = PQ^2$
दूरी सूत्र और लंबवत दूरी के सूत्र का उपयोग करने पर:
$(x-1)^2 + (y+1)^2 = \left(\frac{x+y+3}{\sqrt{1^2+1^2}}\right)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = \frac{(x+y+3)^2}{2}$
$2(x^2 + y^2 - 2x + 2y + 2) = x^2 + y^2 + 9 + 2xy + 6y + 6x$
$2x^2 + 2y^2 - 4x + 4y + 4 = x^2 + y^2 + 2xy + 6x + 6y + 9$
$x^2 + y^2 - 2xy - 10x - 2y - 5 = 0$

(D) परवलय $y^2=lx$ का अक्ष $x$-अक्ष है,जिसका समीकरण $y=0$ है।
चूंकि रेखा $y=mx+c$,$x$-अक्ष के समांतर है,इसलिए इसका ढाल $m=0$ होगा।
अतः,रेखा का समीकरण $y=c$ हो जाता है।
यह दिया गया है कि रेखा परवलय को $\left(\frac{c^2}{8}, c\right)$ पर प्रतिच्छेद करती है,इसलिए यह बिंदु परवलय के समीकरण $y^2=lx$ को संतुष्ट करेगा।
समीकरण $y^2=lx$ में $y=c$ और $x=\frac{c^2}{8}$ रखने पर:
$c^2 = l \left(\frac{c^2}{8}\right)$
यह मानते हुए कि $c \neq 0$,दोनों पक्षों को $c^2$ से विभाजित करने पर:
$1 = \frac{l}{8}$
$l = 8$
परवलय $y^2=lx$ के नाभिलंब की लंबाई $l$ है।
इसलिए,नाभिलंब की लंबाई $8$ है।