रेडिकल अक्ष पर स्थित एक बिंदु $P$ से दो वृत्तों पर दो स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं जो उन्हें क्रमशः $Q$ और $R$ पर स्पर्श करती हैं। तो $P, Q,$ और $R$ को जोड़ने पर बनने वाला त्रिभुज है:

तीन वृत्तों पर विचार करें: $S_{1} \equiv x^{2}+y^{2}-6x-6y+4=0$,$S_{2} \equiv x^{2}+y^{2}-2x-4y+3=0$,और $S_{3} \equiv x^{2}+y^{2}+2kx+2y+1=0$. यदि इन तीन वृत्तों का रेडिकल केंद्र मौजूद है,तो निम्नलिखित में से $k$ का मान क्या नहीं हो सकता है?

यदि $x^2 + y^2 + px + 3y - 5 = 0$ और $x^2 + y^2 + 5x + py + 7 = 0$ लंबकोणीय (orthogonally) प्रतिच्छेद करते हैं,तो $p$ का मान है

$(a, 0)$ और $(b, 0)$ दो वृत्तों के केंद्र हैं जो एक कोएक्सियल सिस्टम का हिस्सा हैं,जिसकी रेडिकल अक्ष $y$-अक्ष है। यदि एक वृत्त की त्रिज्या $r$ है,तो दूसरे वृत्त की त्रिज्या क्या होगी?

वृत्तों $x^2+y^2-4x-6y-12=0$ और $x^2+y^2+6x+18y+26=0$ को उनके स्पर्श बिंदु पर स्पर्श करने वाले और बिंदु $(1, -1)$ से गुजरने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए।

यदि वृत्तों $x^2+y^2+2x-4y+1=0$ और $x^2+y^2-4x-2y+c=0$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है,तो $c=$