System of circles Questions in Gujarati

(D) કોએક્સિયલ સિસ્ટમનું આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2+2 \lambda x+c=0$ છે.
લિમિટિંગ પોઈન્ટ્સ એ સિસ્ટમના પોઈન્ટ સર્કલના કેન્દ્રો છે.
જ્યારે ત્રિજ્યા $r=0$ હોય ત્યારે પોઈન્ટ સર્કલ મળે છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$g=\lambda$,$f=0$,અને અચળ પદ $c$ છે.
તેથી,$r = \sqrt{\lambda^2-c}$.
લિમિટિંગ પોઈન્ટ્સ અલગ હોવા માટે,ત્રિજ્યા કાલ્પનિક હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે $\lambda^2-c < 0$,અથવા $c > \lambda^2$.
જોકે,સિસ્ટમ પાસે વાસ્તવિક અને અલગ લિમિટિંગ પોઈન્ટ્સ હોવા માટેની શરત $c > 0$ છે.

(C) વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2+2x-2y+2=0$ અને $S_2: x^2+y^2-\frac{2}{5}x-\frac{16}{5}y+\frac{13}{5}=0$ છે.
સહ-અક્ષીય પ્રણાલીના સીમિત બિંદુઓ એ બિંદુ વર્તુળોના કેન્દ્રો છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ એ બિંદુ વર્તુળ છે જો $g^2+f^2-c=0$ હોય.
રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0 \Rightarrow 4x + 2y - 1 = 0$ છે.
પ્રણાલીનું કોઈપણ વર્તુળ $S_1 + \lambda(4x+2y-1) = 0$ સ્વરૂપમાં હોય.
બિંદુ વર્તુળ માટે,$(1+2\lambda)^2 + (-1+\lambda)^2 - (2-\lambda) = 0$ ઉકેલતા,$\lambda = 0$ અથવા $\lambda = -\frac{3}{5}$ મળે છે.
$\lambda = 0$ માટે કેન્દ્ર $(-1, 1)$ અને $\lambda = -\frac{3}{5}$ માટે કેન્દ્ર $(\frac{1}{5}, \frac{8}{5})$ મળે છે.

(C) ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતા અને વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ ને લંબછેદી વર્તુળનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$\left|\begin{array}{ccc} x^2+y^2 & x & y \\ c_1 & g_1 & f_1 \\ c_2 & g_2 & f_2 \end{array}\right| = 0$
અહીં,$c_1=12, g_1=2, f_1=3$ અને $c_2=9, g_2=2, f_2=-3$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\left|\begin{array}{ccc} x^2+y^2 & x & y \\ 12 & 2 & 3 \\ 9 & 2 & -3 \end{array}\right| = 0$
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2+y^2)(-6-6) - x(-36-27) + y(24-18) = 0$
$-12(x^2+y^2) + 63x + 6y = 0$
$x^2+y^2 - \frac{63}{12}x - \frac{6}{12}y = 0$
$x^2+y^2 - \frac{21}{4}x - \frac{1}{2}y = 0$
કેન્દ્ર $(h, k) = (\frac{21}{8}, \frac{1}{4})$ મળે.
તેથી,$k-2h = \frac{1}{4} - 2(\frac{21}{8}) = \frac{1}{4} - \frac{21}{4} = -\frac{20}{4} = -5$.

(B) ધારો કે વર્તુળ $S$ નું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
વર્તુળ $S$ એ $C_1$ અને $C_2$ ને લંબચ્છેદી હોવાથી:
$2g(-4) + 2f(-1) = c + 16 \implies -8g - 2f = c + 16 \quad (i)$
$2g(-2) + 2f(-2) = c - 1 \implies -4g - 4f = c - 1 \quad (ii)$
$(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા: $-4g + 2f = 17 \implies 2f = 4g + 17 \implies f = 2g + 8.5$.
$S=0$ અને $C_1=0$ ની સામાન્ય જીવા $S - C_1 = 0$ છે:
$(2g+8)x + (2f+2)y + (c-16) = 0$.
આપેલ જીવા $2x + 13y - 15 = 0$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{2g+8}{2} = \frac{2f+2}{13} = \frac{c-16}{-15} = k$.
$2g+8 = 2k \implies g = k-4$.
$2f+2 = 13k \implies f = \frac{13k-2}{2}$.
$2f = 4g + 17$ માં કિંમત મૂકતા: $13k-2 = 4(k-4) + 17 \implies 13k-2 = 4k-16+17 \implies 9k = 3 \implies k = \frac{1}{3}$.
તેથી $g = \frac{1}{3} - 4 = \frac{-11}{3}$ અને $f = \frac{13(1/3)-2}{2} = \frac{7/3}{2} = \frac{7}{6}$.
$S$ નું કેન્દ્ર $(-g, -f) = \left(\frac{11}{3}, \frac{-7}{6}\right)$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળ $S: x^2+y^2-4x-6y-12=0$ છે. કેન્દ્ર $C_1(2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 5$ છે.
ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $C_2(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
વર્તુળો $P(-1, -1)$ બિંદુએ અંતઃસ્પર્શતા હોવાથી,$P$ એ $C_1C_2$ નું $5:3$ ના ગુણોત્તરમાં બાહ્ય વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ:
$-1 = \frac{5h - 3(2)}{5-3} \implies h = \frac{4}{5}$.
$-1 = \frac{5k - 3(3)}{5-3} \implies k = \frac{7}{5}$.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - \frac{4}{5})^2 + (y - \frac{7}{5})^2 = 3^2$ થશે.
સાદુરૂપ આપતા: $5x^2 + 5y^2 - 8x - 14y - 32 = 0$ મળે છે.

(A) વર્તુળ $S$ એ $x^2+y^2-14x+6y+33=0$ છે.
$X$-અક્ષ સાથેના છેદબિંદુ માટે $y=0$ મૂકતા: $x^2-14x+33=0 \implies (x-3)(x-11)=0$.
આમ,બિંદુઓ $A(3, 0)$ અને $B(11, 0)$ છે કારણ કે $OB > OA$.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $C$ એ $(\frac{3+11}{2}, 0) = (7, 0)$ છે.
રેખા $L$ એ $(7, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $-1$ છે: $y-0 = -1(x-7) \implies x+y-7=0$.
$L$ એ $S$ અને $S^{\prime}$ ની રેડિકલ અક્ષ હોવાથી,$S^{\prime}$ નું સમીકરણ $S + kL = 0$ છે:
$x^2+y^2-14x+6y+33 + k(x+y-7) = 0$.
$x^2+y^2+(k-14)x+(k+6)y+(33-7k) = 0$.
$S^{\prime}$ નું કેન્દ્ર $(-\frac{k-14}{2}, -\frac{k+6}{2})$ છે.
$L$ એ $S^{\prime}$ નો વ્યાસ હોવાથી,કેન્દ્ર $L$ પર હોવું જોઈએ:
$-\frac{k-14}{2} - \frac{k+6}{2} - 7 = 0 \implies -k+14-k-6-14 = 0 \implies -2k-6=0 \implies k=-3$.
$k=-3$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2+y^2+(-3-14)x+(-3+6)y+(33-7(-3)) = 0$.
$x^2+y^2-17x+3y+54=0$.

(B) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે. કેન્દ્ર $(-\alpha, -\beta)$ છે જે $(\alpha, \beta)$ આપેલ છે,તેથી $g=-\alpha$ અને $f=-\beta$. વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ એ $x^2+y^2-2y-3=0$ ને લંબચ્છેદી રીતે છેદે છે. લંબચ્છેદી હોવાની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ છે. અહીં $g_1=g, f_1=f, c_1=c$ અને $g_2=0, f_2=-1, c_2=-3$. તેથી,$2g(0) + 2f(-1) = c-3 \implies -2f = c-3 \implies c = 3-2f = 3+2\beta$.
આગળ,તે $x^2+y^2+4x+3=0$ ને લંબચ્છેદી રીતે છેદે છે. અહીં $g_3=2, f_3=0, c_3=3$. તેથી,$2g(2) + 2f(0) = c+3 \implies 4g = c+3 \implies 4(-\alpha) = c+3 \implies c = -4\alpha-3$.
$c$ માટેના બંને સમીકરણો સરખાવતા: $3+2\beta = -4\alpha-3 \implies 4\alpha+2\beta = -6 \implies 2\alpha+\beta = -3$.
કેન્દ્ર $(\alpha, \beta)$ એ $2x-3y+4=0$ પર હોવાથી,$2\alpha-3\beta+4=0$.
$2\alpha+\beta = -3$ પરથી,$2\alpha = -3-\beta$. આ કિંમત રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $(-3-\beta)-3\beta+4=0 \implies -4\beta+1=0 \implies \beta=1/4$.
તેથી $2\alpha = -3-1/4 = -13/4 \implies \alpha = -13/8$.
આમ,$2\alpha+\beta = -3$.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે. કેન્દ્ર $(-\alpha, -\beta)$ છે જ્યાં $\alpha = -g$ અને $\beta = -f$.
વર્તુળ $x^2+y^2+2x-3y-5=0$ ને લંબચ્છેદી હોવાથી,$2g-3f = c-5$.
વર્તુળ $x^2+y^2-3x+2y+1=0$ ને લંબચ્છેદી હોવાથી,$-3g+2f = c+1$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $5g-5f = -6 \implies g-f = -1.2$.
બિંદુ $(1, -1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$2g-2f+c = -2$.
સમીકરણો ઉકેલતા $g=1$ અને $f=2.2$ મળે છે.
તેથી,$\alpha = -1$ અને $\beta = -2.2$.
આમ,$\alpha-5\beta = -1 - 5(-2.2) = 10$.

(C) વર્તુળ $S_1: x^2+y^2+2x-4y+4=0$ અને રેખા $L: x+y-2=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda L = 0$ છે.
$x^2+y^2+(2+\lambda)x + (\lambda-4)y + (4-2\lambda) = 0$.
આ વર્તુળ $S_2: x^2+y^2-2x-4y-4=0$ ને લંબ છે.
લંબ હોવાની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
અહીં,$g_1 = \frac{2+\lambda}{2}$,$f_1 = \frac{\lambda-4}{2}$,$c_1 = 4-2\lambda$ અને $g_2 = -1$,$f_2 = -2$,$c_2 = -4$.
કિંમતો મૂકતા: $2(\frac{2+\lambda}{2})(-1) + 2(\frac{\lambda-4}{2})(-2) = 4-2\lambda - 4$.
$-(2+\lambda) - 2(\lambda-4) = -2\lambda$.
$6 - 3\lambda = -2\lambda \implies \lambda = 6$.
$\lambda = 6$ મૂકતા વર્તુળનું સમીકરણ: $x^2+y^2+8x+2y-8=0$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4^2+1^2-(-8)} = \sqrt{25} = 5$.

(A) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-6x-12y+1=0$ છે. તેને $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ સાથે સરખાવતા,$g_1=-3, f_1=-6, c_1=1$ મળે છે.
ધારો કે વર્તુળ $C$ એ $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ છે. કેન્દ્ર $(-4, 2)$ આપેલ હોવાથી,$-g_2=-4 \Rightarrow g_2=4$ અને $-f_2=2 \Rightarrow f_2=-2$.
બે વર્તુળો લંબરૂપે છેદે ત્યારે $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $2(-3)(4) + 2(-6)(-2) = 1 + c_2$.
$-24 + 24 = 1 + c_2 \Rightarrow c_2 = -1$.
વર્તુળ $C$ ની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g_2^2+f_2^2-c_2}$ દ્વારા મળે છે.
$r = \sqrt{4^2+(-2)^2-(-1)} = \sqrt{16+4+1} = \sqrt{21}$.

(B) ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
તે આપેલ વર્તુળોને લંબચ્છેદી હોવાથી,દરેક માટે $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ શરતનું પાલન થાય છે.
$x^2+y^2-4x-4y+3=0$ માટે: $2g(-2) + 2f(-2) = c + 3 \implies -4g - 4f = c + 3$.
$x^2+y^2+4x-4y+3=0$ માટે: $2g(2) + 2f(-2) = c + 3 \implies 4g - 4f = c + 3$.
$x^2+y^2+4x+4y+3=0$ માટે: $2g(2) + 2f(2) = c + 3 \implies 4g + 4f = c + 3$.
પ્રથમ બે સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $8g = 0 \implies g = 0$.
છેલ્લા બે સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $8f = 0 \implies f = 0$.
$g=0$ અને $f=0$ ને કોઈપણ સમીકરણમાં મુકતા: $0 = c + 3 \implies c = -3$.
વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-3=0$ એટલે કે $x^2+y^2=3$ મળે છે.
તેથી ત્રિજ્યા $\sqrt{3}$ છે.

(D) વર્તુળ $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ એ અન્ય વર્તુળ $x^{2}+y^{2}+2g_{i}x+2f_{i}y+c_{i}=0$ ને તેના વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ પર છેદે તે શરત લંબછેદી વર્તુળોની શરત $2(gg_{i}+ff_{i})=c+c_{i}$ ને સમાન છે.
પ્રથમ વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-5=0$ માટે,$g_{1}=0, f_{1}=0, c_{1}=-5$. શરત લાગુ પાડતા: $2(g(0)+f(0))=c-5 \Rightarrow c=5$.
બીજા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-8x-6y+10=0$ માટે,$g_{2}=-4, f_{2}=-3, c_{2}=10$. શરત લાગુ પાડતા: $2(g(-4)+f(-3))=c+10$ $\Rightarrow 2(-4g-3f)=5+10$ $\Rightarrow 4g+3f=-15/2$.
ત્રીજા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}-4x+2y-2=0$ માટે,$g_{3}=-2, f_{3}=1, c_{3}=-2$. શરત લાગુ પાડતા: $2(g(-2)+f(1))=c-2$ $\Rightarrow 2(-2g+f)=5-2$ $\Rightarrow -2g+f=3/2$.
સમીકરણો $4g+3f=-7.5$ અને $-2g+f=1.5$ ઉકેલતા:
બીજા સમીકરણ પરથી,$f=2g+1.5$. પ્રથમમાં મૂકતા: $4g+3(2g+1.5)=-7.5$ $\Rightarrow 10g+4.5=-7.5$ $\Rightarrow 10g=-12$ $\Rightarrow g=-1.2$.
તેથી $f=2(-1.2)+1.5 = -2.4+1.5 = -0.9$.
વિકલ્પ $D$ તપાસતા: $4f = 4(-0.9) = -3.6$ અને $3g = 3(-1.2) = -3.6$. આમ,$4f=3g$ સાચું છે.

(A) આપેલ વર્તુળનું સમીકરણ: $x^{2}+y^{2}-4x-6y+9=0$.
$x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,$g=-2, f=-3, c=9$ મળે.
કેન્દ્ર $B = (-g, -f) = (2, 3)$.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c} = \sqrt{(-2)^{2}+(-3)^{2}-9} = \sqrt{4+9-9} = 2$.
ધારો કે માંગેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર $A(1, 1)$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $AB = \sqrt{(2-1)^{2}+(3-1)^{2}} = \sqrt{1^{2}+2^{2}} = \sqrt{5}$.
પ્રથમ વર્તુળનો વ્યાસ એ બીજા વર્તુળની જીવા હોવાથી,બીજા વર્તુળની ત્રિજ્યા $R$ એ કેન્દ્રો વચ્ચેના અંતર અને પ્રથમ વર્તુળની ત્રિજ્યા દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણનો કર્ણ છે.
$R = \sqrt{AB^{2}+r^{2}} = \sqrt{(\sqrt{5})^{2}+2^{2}} = \sqrt{5+4} = \sqrt{9} = 3$.

(B) ધારો કે વર્તુળોનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+d=0 \quad \ldots(1)$ છે.
આ વર્તુળો $(0, a)$ અને $(0, -a)$ માંથી પસાર થતા હોવાથી,$a^2+2fa+d=0 \quad \ldots(2)$ અને $a^2-2fa+d=0 \quad \ldots(3)$ મળે.
$(2)$ અને $(3)$ ઉકેલતા,$f=0$ અને $d=-a^2$ મળે છે.
આ કિંમતો $(1)$ માં મૂકતા,$x^2+y^2+2gx-a^2=0 \quad \ldots(4)$ મળે.
રેખા $y=mx+c$ આ વર્તુળને સ્પર્શતી હોવાથી,કેન્દ્ર $(-g, 0)$ થી રેખા $mx-y+c=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $\sqrt{g^2+a^2}$ જેટલું થાય.
તેથી,$\frac{|-mg+c|}{\sqrt{1+m^2}} = \sqrt{g^2+a^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(c-mg)^2 = (1+m^2)(g^2+a^2)$.
વિસ્તરણ કરતા,$g^2 + 2mcg + a^2(1+m^2) - c^2 = 0$.
ધારો કે $g_1$ અને $g_2$ આ સમીકરણના બીજ છે.
તેથી બીજનો ગુણાકાર $g_1g_2 = a^2(1+m^2)-c^2 \quad \ldots(5)$ થાય.
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x-a^2=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x-a^2=0$ છે.
વર્તુળો લંબરૂપે છેદવા માટે,$2g_1g_2 = -2a^2$,એટલે કે $g_1g_2 = -a^2 \quad \ldots(6)$.
$(5)$ અને $(6)$ પરથી,$-a^2 = a^2(1+m^2) - c^2$.
તેથી,$c^2 = a^2(2+m^2)$.

(A) બે વર્તુળો $x^{2}+y^{2}+2g_{1}x+2f_{1}y+c_{1}=0$ અને $x^{2}+y^{2}+2g_{2}x+2f_{2}y+c_{2}=0$ લંબછેદી હોય જો અને માત્ર જો $2(g_{1}g_{2}+f_{1}f_{2})=c_{1}+c_{2}$ હોય.
આપેલ વર્તુળો માટે:
વર્તુળ $1$: $g_{1}=1, f_{1}=k, c_{1}=6$
વર્તુળ $2$: $g_{2}=0, f_{2}=k, c_{2}=k$
શરતમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$2((1)(0) + (k)(k)) = 6 + k$
$2k^{2} = 6 + k$
$2k^{2} - k - 6 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$2k^{2} - 4k + 3k - 6 = 0$
$2k(k-2) + 3(k-2) = 0$
$(k-2)(2k+3) = 0$
આમ,$k = 2$ અથવા $k = -\frac{3}{2}$.

(B) બે વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d$ એ શરત $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2-10x+16=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1$ એ $(5, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{5^2 + 0^2 - 16} = \sqrt{25-16} = 3$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2=a^2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2$ એ $(0, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $r_2 = |a|$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(5-0)^2 + (0-0)^2} = 5$ છે.
શરત $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ લાગુ પાડતા:
$|3 - |a|| < 5 < 3 + |a|$.
$5 < 3 + |a|$ પરથી,આપણને $|a| > 2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે $a > 2$ અથવા $a < -2$.
$|3 - |a|| < 5$ પરથી,આપણને $-5 < 3 - |a| < 5$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $-8 < -|a| < 2$ અથવા $-2 < |a| < 8$ થાય છે.
આ બંનેને જોડતા,આપણને $2 < |a| < 8$ મળે છે. $a$ ત્રિજ્યા હોવાથી,$a > 0$,તેથી $2 < a < 8$.

(A) ધારો કે $S_{1} = x^{2}+y^{2}-6x-8=0$ અને $S_{2} = x^{2}+y^{2}-6=0$.
$S_{1}$ અને $S_{2}$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S_{1} + \lambda S_{2} = 0$ છે.
$(x^{2}+y^{2}-6x-8) + \lambda(x^{2}+y^{2}-6) = 0 \quad \dots(i)$
આ વર્તુળ બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=1$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(1^{2}+1^{2}-6(1)-8) + \lambda(1^{2}+1^{2}-6) = 0$
$(1+1-6-8) + \lambda(1+1-6) = 0$
$-12 - 4\lambda = 0$
$-4\lambda = 12 \Rightarrow \lambda = -3$.
$\lambda = -3$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$(x^{2}+y^{2}-6x-8) - 3(x^{2}+y^{2}-6) = 0$
$x^{2}+y^{2}-6x-8 - 3x^{2}-3y^{2}+18 = 0$
$-2x^{2}-2y^{2}-6x+10 = 0$
$-2$ વડે ભાગતા,$x^{2}+y^{2}+3x-5 = 0$ મળે છે.

(A) વર્તુળ $S: x^2+y^2-6x-8y=0$ અને રેખા $L: x+y-1=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા કોઈપણ વર્તુળનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x^2+y^2-6x-8y + \lambda(x+y-1) = 0$
$x^2+y^2 + (\lambda-6)x + (\lambda-8)y - \lambda = 0$.
$AB$ વ્યાસ હોવાથી,આ વર્તુળનું કેન્દ્ર રેખા $x+y-1=0$ પર હોવું જોઈએ.
વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-\frac{\lambda-6}{2}, -\frac{\lambda-8}{2})$ છે.
કેન્દ્રને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$-\frac{\lambda-6}{2} - \frac{\lambda-8}{2} - 1 = 0$
$-(\lambda-6) - (\lambda-8) - 2 = 0$
$-2\lambda + 12 = 0 \implies \lambda = 6$.
$\lambda = 6$ ને વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$x^2+y^2-2y-6=0$.

(C) બે ઉપવલયોના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વક્રના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $S_1: x^{2}+2y^{2}-6x-12y+20=0$ અને $S_2: 2x^{2}+y^{2}-10x-6y+15=0$ છે.
$(x^{2}+2y^{2}-6x-12y+20) + \lambda(2x^{2}+y^{2}-10x-6y+15) = 0$
$(1+2\lambda)x^{2} + (2+\lambda)y^{2} - (6+10\lambda)x - (12+6\lambda)y + (20+15\lambda) = 0$
આ વર્તુળ દર્શાવે તે માટે,$x^{2}$ અને $y^{2}$ ના સહગુણકો સમાન હોવા જોઈએ:
$1+2\lambda = 2+\lambda \Rightarrow \lambda = 1$
સમીકરણમાં $\lambda = 1$ મૂકતા:
$3x^{2} + 3y^{2} - 16x - 18y + 35 = 0$
$x^{2} + y^{2} - \frac{16}{3}x - 6y + \frac{35}{3} = 0$
વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left(-\frac{g}{2}, -\frac{f}{2}\right)$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $2g = -\frac{16}{3}$ અને $2f = -6$ છે.
કેન્દ્ર $= \left(\frac{16/3}{2}, \frac{6}{2}\right) = \left(\frac{8}{3}, 3\right)$.

(D) ધારો કે ઉપવલયોના સમીકરણો $S_{1} = x^{2}+2y^{2}-6x-12y+23=0$ અને $S_{2} = 4x^{2}+2y^{2}-20x-12y+35=0$ છે.
આ બે ઉપવલયોના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વક્રનું સમીકરણ $S_{1} + \lambda S_{2} = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^{2}+2y^{2}-6x-12y+23) + \lambda(4x^{2}+2y^{2}-20x-12y+35) = 0$.
$(1+4\lambda)x^{2} + (2+2\lambda)y^{2} - (6+20\lambda)x - (12+12\lambda)y + (23+35\lambda) = 0$.
આ વર્તુળ હોવા માટે,$x^{2}$ નો સહગુણક અને $y^{2}$ નો સહગુણક સમાન હોવા જોઈએ:
$1+4\lambda = 2+2\lambda$ $\Rightarrow 2\lambda = 1$ $\Rightarrow \lambda = \frac{1}{2}$.
સમીકરણમાં $\lambda = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$3x^{2} + 3y^{2} - 16x - 18y + 40.5 = 0$.
$3$ વડે ભાગતા: $x^{2} + y^{2} - \frac{16}{3}x - 6y + 13.5 = 0$.
કેન્દ્ર $(a, b) = (\frac{8}{3}, 3)$ છે.
ત્રિજ્યા $r^{2} = \frac{47}{18}$ મળે છે.
તેથી,$ab + 18r^{2} = (\frac{8}{3} \times 3) + 18(\frac{47}{18}) = 8 + 47 = 55$.

(A) પ્રથમ વર્તુળ $C_1: (x+1)^2+(y+4)^2=r^2$ છે,જેનું કેન્દ્ર $O_1(-1, -4)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = |r|$ છે.
બીજું વર્તુળ $C_2: x^2+y^2-4x-2y-4=0$ છે. પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં: $(x-2)^2+(y-1)^2 = 9$,તેથી કેન્દ્ર $O_2(2, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
બે વર્તુળો બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે તે માટે,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = O_1O_2$ એ $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ શરતનું પાલન કરવું જોઈએ.
$d = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (1 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{34}$ મેળવીએ.
તેથી,$|r - 3| < \sqrt{34} < |r| + 3$.
$|r - 3| < \sqrt{34}$ પરથી,$3 - \sqrt{34} < r < 3 + \sqrt{34}$ મળે.
$|r| + 3 > \sqrt{34}$ પરથી,$|r| > \sqrt{34} - 3$ મળે. $r > 0$ હોવાથી,$r \in (\sqrt{34} - 3, \sqrt{34} + 3)$ મળે.
આમ,$\alpha = \sqrt{34} - 3$ અને $\beta = \sqrt{34} + 3$.
$\alpha\beta = (\sqrt{34} - 3)(\sqrt{34} + 3) = 34 - 9 = 25$.