System of circles Questions in Gujarati

(B) આપેલ વર્તુળો $C_1: x^2+y^2+2x+4y-20=0$ અને $C_2: x^2+y^2+6x-8y+9=0$ છે.
$C_1$ માટે,કેન્દ્ર $O_1 = (-1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 5$.
$C_2$ માટે,કેન્દ્ર $O_2 = (-3, 4)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 4$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{40}$.
અહીં $r_1 - r_2 < d < r_1 + r_2$ હોવાથી,$n = 2$.
સમાનતાના કેન્દ્રમાંથી સ્પર્શકની લંબાઈ $l = 4\sqrt{39}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{l}{n^2} = \frac{4\sqrt{39}}{4} = \sqrt{39}$.

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2-6x-4y-23=0$ અને $S_2: x^2+y^2+2x+2y+1=0$ છે.
બે વર્તુળોની રેડિકલ અક્ષ એ રેખા છે જેના પર સામાન્ય સ્પર્શકો છેદે છે અથવા સંપાતી થાય છે,તેથી આપણે $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા રેડિકલ અક્ષ શોધીએ છીએ.
$(x^2+y^2-6x-4y-23) - (x^2+y^2+2x+2y+1) = 0$.
$-8x - 6y - 24 = 0$.
$-2$ વડે ભાગતા,આપણને $4x + 3y + 12 = 0$ મળે છે.
આમ,સામાન્ય સ્પર્શકનું સમીકરણ $4x + 3y + 12 = 0$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) વર્તુળ $x^2+y^2+2x=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(-1,0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1=1$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-2y-3=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2(0,1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2=2$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{2}$ છે.
બાહ્ય સમાનતાનું કેન્દ્ર $P$ એ $C_1C_2$ નું $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં બાહ્ય વિભાજન કરે છે,તેથી $P(-2,-1)$ મળે છે.
$P(-2,-1)$ માંથી પસાર થતી રેખાઓ $y+1 = m(x+2)$ છે.
$C_1(-1,0)$ થી રેખાનું અંતર $1$ લેતા,$m=0$ અને અનંત ઢાળ મળે છે.
તેથી સ્પર્શકો $y+1=0$ અને $x+2=0$ છે.
સંયુક્ત સમીકરણ $(y+1)(x+2) = 0 \Rightarrow xy+x+2y+2=0$ છે.

(A) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો $x^2+y^2-2x-2y-23=0 \dots (1)$ અને $x^2+y^2-4x-4y-1=0 \dots (2)$ છે.
વર્તુળ $(1)$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (1, 1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{1^2+1^2-(-23)} = \sqrt{25} = 5$.
વર્તુળ $(2)$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (2, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{2^2+2^2-(-1)} = \sqrt{9} = 3$.
કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(2-1)^2+(2-1)^2} = \sqrt{2} \approx 1.414$ છે.
આપણે $d$ ની સરખામણી ત્રિજ્યાઓના તફાવત $|r_1 - r_2| = |5 - 3| = 2$ સાથે કરીએ છીએ.
અહીં $d < |r_1 - r_2|$ (કારણ કે $\sqrt{2} < 2$) હોવાથી,નાનું વર્તુળ મોટા વર્તુળની અંદર સંપૂર્ણપણે આવેલું છે.
તેથી,દોરી શકાય તેવા સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $0$ છે.

(D) બે વર્તુળોનો રેડિકલ અક્ષ એ એવા બિંદુઓનો બિંદુપથ છે જ્યાંથી બે વર્તુળો પર દોરેલા સ્પર્શકોની લંબાઈ સમાન હોય છે.
જ્યારે બે વર્તુળો એકબીજાને સ્પર્શે છે,ત્યારે તેમનો રેડિકલ અક્ષ એ સંપર્ક બિંદુ પરનો સામાન્ય સ્પર્શક હોય છે.
આથી,વર્તુળો $(0,0)$ પર સ્પર્શતા હોવાથી,તેમનો રેડિકલ અક્ષ $(0,0)$ પરનો સામાન્ય સ્પર્શક છે.

(B) આપેલ વર્તુળો:
$S_1: x^2+y^2-8x-6y+21=0$
$S_2: x^2+y^2-2y-15=0$
વર્તુળ $S_1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(4,3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{4^2+3^2-21} = 2$ છે.
વર્તુળ $S_2$ માટે,કેન્દ્ર $C_2(0,1)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{0^2+1^2-(-15)} = 4$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(4-0)^2+(3-1)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$ છે.
અહીં $|r_1-r_2| < C_1C_2 < r_1+r_2$ હોવાથી,વર્તુળો બે બિંદુઓમાં છેદે છે,તેથી તેમની પાસે માત્ર એક બાહ્ય સામાન્ય સ્પર્શકનું છેદબિંદુ છે.
બાહ્ય સમાનતાનું કેન્દ્ર $P$ એ કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ ને જોડતા રેખાખંડનું તેમની ત્રિજ્યાઓના ગુણોત્તર $r_1:r_2 = 1:2$ માં બાહ્ય વિભાજન કરે છે.
બાહ્ય વિભાજનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P = \left( \frac{1(0) - 2(4)}{1-2}, \frac{1(1) - 2(3)}{1-2} \right) = (8,5)$.

(A) . $x^2+y^2+2x+8y-23=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(-1,-4)$,ત્રિજ્યા $r_1=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$. $x^2+y^2-4x-10y+19=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2(2,5)$,ત્રિજ્યા $r_2=\sqrt{10}$. અંતર $C_1C_2=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$. $C_1C_2=r_1+r_2$ હોવાથી,વર્તુળો બહારથી સ્પર્શે છે,તેથી $3$ સામાન્ય સ્પર્શકો છે.
$B$. $x^2+y^2=1$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(0,0)$,ત્રિજ્યા $r_1=1$. $x^2+y^2-2x-6y+6=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2(1,3)$,ત્રિજ્યા $r_2=2$. અંતર $C_1C_2=\sqrt{10}$. $C_1C_2 > r_1+r_2$ $(\sqrt{10} > 3)$ હોવાથી,વર્તુળો અલગ છે,તેથી $4$ સામાન્ય સ્પર્શકો છે.
$C$. $x^2+y^2-8x+2y=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(4,-1)$,ત્રિજ્યા $r_1=\sqrt{17}$. $x^2+y^2-2x-16y+25=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2(1,8)$,ત્રિજ્યા $r_2=2\sqrt{10}$. અંતર $C_1C_2=\sqrt{90}=3\sqrt{10}$. $|r_1-r_2| < C_1C_2 < r_1+r_2$ હોવાથી,વર્તુળો બે બિંદુઓમાં છેદે છે,તેથી $2$ સામાન્ય સ્પર્શકો છે.
$D$. $x^2+y^2=4$ માટે,કેન્દ્ર $C_1(0,0)$,ત્રિજ્યા $r_1=2$. $x^2+y^2-2x=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2(1,0)$,ત્રિજ્યા $r_2=1$. અંતર $C_1C_2=1$. $C_1C_2=|r_1-r_2|=1$ હોવાથી,વર્તુળો અંદરથી સ્પર્શે છે,તેથી $1$ સામાન્ય સ્પર્શક છે.
આમ,સાચી જોડ $A-IV, B-V, C-III, D-II$ છે.

(B) આપેલ વર્તુળો $S_1 \equiv x^2+y^2-14x+6y+33=0$ અને $S_2 \equiv x^2+y^2-a^2=0$ છે.
બે વર્તુળોને $4$ સામાન્ય સ્પર્શકો હોય તે માટે,તેઓ એકબીજાથી અલગ હોવા જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d > r_1 + r_2$.
$S_1$ નું કેન્દ્ર $C_1 = (7, -3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{7^2 + (-3)^2 - 33} = \sqrt{49 + 9 - 33} = \sqrt{25} = 5$ છે.
$S_2$ નું કેન્દ્ર $C_2 = (0, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = a$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(7-0)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$ છે.
શરત: $r_1 + r_2 < d \Rightarrow 5 + a < \sqrt{58}$.
$\sqrt{58} \approx 7.61$ હોવાથી,$5 + a < 7.61$,જેનો અર્થ છે કે $a < 2.61$.
$a \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ) હોવાથી,$a$ માટે શક્ય કિંમતો $1$ અને $2$ છે.
આમ,$2$ શક્ય વર્તુળો છે.

(B) પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2+4x=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-2, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-2)^2 + 0^2 - 0} = 2$ છે.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2-2x=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (1, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(1)^2 + 0^2 - 0} = 1$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{3^2} = 3$ છે.
અહીં $r_1 + r_2 = 2 + 1 = 3$ હોવાથી,$C_1C_2 = r_1 + r_2$ થાય છે.
આ શરત સૂચવે છે કે બંને વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
જ્યારે બે વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શતા હોય,ત્યારે સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $3$ હોય છે (બે સીધા સામાન્ય સ્પર્શકો અને એક સામાન્ય સ્પર્શક જે બંને વર્તુળોની વચ્ચેથી પસાર થાય છે).

(B) વર્તુળોના સમીકરણો $x^2+y^2-8x+2y=0$ અને $x^2+y^2-2x-16y+25=0$ છે.
પ્રથમ વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (4, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{17}$ છે.
બીજા વર્તુળ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (1, 8)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{40}$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{90}$ છે.
અહીં $|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$ હોવાથી,બંને વર્તુળો બે બિંદુઓમાં છેદે છે.
તેથી,સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા $2$ છે.

(D) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ છે,જેને $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ તરીકે લખી શકાય. તેનું કેન્દ્ર $(-1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $1$ છે.
વર્તુળો $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ અને $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$ ની રેડિકલ અક્ષ $(2g-\frac{3}{2})x+(2f-4)y=0$ છે.
આ રેખા પ્રથમ વર્તુળનો સ્પર્શક હોવાથી,કેન્દ્ર $(-1, -1)$ થી રેખાનું લંબ અંતર $1$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{|-(2g-\frac{3}{2})-(2f-4)|}{\sqrt{(2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2}} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(2g+2f-\frac{11}{2})^2 = (2g-\frac{3}{2})^2+(2f-4)^2$.
ધારો કે $A = 2g-\frac{3}{2}$ અને $B = 2f-4$. સમીકરણ $(A+B+4)^2 = A^2+B^2$ બને છે,જેનું સાદું રૂપ $AB+4A+4B+8=0$ થાય છે.
આના અવયવો $(A+4)(B+4)=0$ પડે છે.
આમ,$A=-4$ અથવા $B=-4$.
જો $A=-4$,તો $2g-\frac{3}{2}=-4 \implies g=-\frac{5}{4}$.
જો $B=-4$,તો $2f-4=-4 \implies f=0$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $g=\frac{3}{4}$ અથવા $f=2$ છે.

(B) વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ દરેક આપેલ વર્તુળને વ્યાસના અંત્યબિંદુઓ પર છેદે છે,તેથી સામાન્ય જીવા સંબંધિત વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થશે.
$x^2+y^2=4$ માટે,કેન્દ્ર $(0,0)$ છે. સામાન્ય જીવા $2gx+2fy+c+4=0$ છે. તે $(0,0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$c+4=0$,એટલે કે $c=-4$.
$x^2+y^2-6x-8y+10=0$ માટે,કેન્દ્ર $(3,4)$ છે. સામાન્ય જીવા $(2g+6)x+(2f+8)y+(c-10)=0$ છે. $(3,4)$ અને $c=-4$ મૂકતા,$3(2g+6)+4(2f+8)-14=0$ મળે,જે $3g+4f+18=0$ $(i)$ માં પરિણમે છે.
$x^2+y^2+2x-4y-2=0$ માટે,કેન્દ્ર $(-1,2)$ છે. સામાન્ય જીવા $(2g-2)x+(2f+4)y+(c+2)=0$ છે. $(-1,2)$ અને $c=-4$ મૂકતા,$-1(2g-2)+2(2f+4)-2=0$ મળે,જે $g-2f-4=0$ $(ii)$ માં પરિણમે છે.
$(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા,$f=-3$ અને $g=-2$ મળે છે.
આમ,$g+f+c = -2-3-4 = -9$.

(D) ધારો કે આપેલ વર્તુળો $S_1: 2x^2+2y^2-2x+6y-3=0$ અને $S_2: x^2+y^2+4x+2y+1=0$ છે.
$S_1$ ને $x^2+y^2-x+3y-\frac{3}{2}=0$ તરીકે લખતા.
સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ $S_1 - 2S_2 = 0$ છે:
$(2x^2+2y^2-2x+6y-3) - 2(x^2+y^2+4x+2y+1) = 0$
$-10x + 2y - 5 = 0 \Rightarrow 10x - 2y + 5 = 0$.
$S_1$ અને $S_2$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળોનું કુળ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ છે:
$(2+\lambda)x^2 + (2+\lambda)y^2 + (4\lambda-2)x + (2\lambda+6)y + (\lambda-3) = 0$.
$(2+\lambda)$ વડે ભાગતા,કેન્દ્ર $(h, k) = \left(-\frac{2\lambda-1}{\lambda+2}, -\frac{\lambda+3}{\lambda+2}\right)$ મળે.
કેન્દ્ર સામાન્ય જીવા $10x - 2y + 5 = 0$ પર હોવાથી:
$10\left(-\frac{2\lambda-1}{\lambda+2}\right) - 2\left(-\frac{\lambda+3}{\lambda+2}\right) + 5 = 0$.
$-13\lambda + 26 = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
$\lambda = 2$ કિંમત મૂકતા: $4x^2+4y^2+6x+10y-1=0$ મળે છે.

(D) બે વર્તુળો $S_1 = x^2+y^2+4x-6y+c=0$ અને $S_2 = x^2+y^2-6x+4y-12=0$ ની સામાન્ય જીવા $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2+4x-6y+c) - (x^2+y^2-6x+4y-12) = 0$
$10x - 10y + c + 12 = 0$ $(i)$
જો એક વર્તુળ બીજા વર્તુળના પરિઘને દુભાગે,તો સામાન્ય જીવા તે વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે.
બીજા વર્તુળ $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ નું કેન્દ્ર $(3, -2)$ છે.
સમીકરણ $(i)$ માં $(3, -2)$ મૂકતા:
$10(3) - 10(-2) + c + 12 = 0$
$30 + 20 + c + 12 = 0$
$62 + c = 0$
$c = -62$

(A) વર્તુળો $S_1: x^2+y^2+2x-2y+1=0$ અને $S_2: x^2+y^2-2x+2y-2=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda(S_1 - S_2) = 0$ છે.
સામાન્ય જીવા $S_1 - S_2 = 0$ શોધતા:
$4x - 4y + 3 = 0$.
વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $x^2+y^2+(2+4\lambda)x + (-2-4\lambda)y + (1+3\lambda) = 0$ છે.
કેન્દ્ર $(h, k) = (-(1+2\lambda), (1+2\lambda))$ છે.
આથી,$h = -k$,એટલે કે $x+y=0$.
કેન્દ્ર હંમેશા $x+y=0$ રેખા પર આવેલું છે.

(A) વર્તુળ $C_1$ નું કેન્દ્ર $O_1 = (2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 5$ છે.
વર્તુળ $C_2$ નું કેન્દ્ર $O_2 = (-3, -9)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 8$ છે.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $O_1O_2 = 13$ છે,જે $r_1+r_2$ જેટલું છે,તેથી વર્તુળો બહારથી સ્પર્શે છે.
સ્પર્શબિંદુ $P$ એ $O_1O_2$ નું $5:8$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે,જે $P = \left(\frac{1}{13}, -\frac{21}{13}\right)$ મળે છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ એ $O_1$ અને $O_2$ ને જોડતી રેખા $12x-5y-9=0$ પર આવેલું છે.
વિકલ્પ $A$ ચકાસતા,તે રેખા પર આવેલું છે. તેથી જવાબ $\left(\frac{1}{3}, -1\right)$ છે.

(B) પ્રથમ વર્તુળ $(x-2)^2+(y-3)^2=5^2$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (2, 3)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = 5$ છે.
બીજા વર્તુળ $25x^2+25y^2-40x-70y-160=0$ માટે,$25$ વડે ભાગતા $x^2+y^2-\frac{8}{5}x-\frac{14}{5}y-\frac{32}{5}=0$ મળે છે.
પૂર્ણવર્ગ બનાવતા: $(x-\frac{4}{5})^2+(y-\frac{7}{5})^2 = \frac{32}{5} + \frac{16}{25} + \frac{49}{25} = 9 = 3^2$.
આમ,કેન્દ્ર $C_2 = (\frac{4}{5}, \frac{7}{5})$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
વર્તુળો આંતરિક રીતે સ્પર્શતા હોવાથી,સ્પર્શબિંદુ $(\alpha, \beta)$ એ કેન્દ્રો $C_1$ અને $C_2$ ને જોડતા રેખાખંડનું $r_1 : r_2$ ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે.
$(\alpha, \beta) = \left(\frac{5(\frac{4}{5}) - 3(2)}{5-3}, \frac{5(\frac{7}{5}) - 3(3)}{5-3}\right) = (-1, -1)$.
તેથી,$\alpha + \beta = -1 + (-1) = -2$.

(B) બે વર્તુળો $S_1: x^2+y^2+2x-2y-2=0$ અને $S_2: x^2+y^2-2x+2y-7=0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળના સમૂહનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(x^2+y^2+2x-2y-2) + \lambda(x^2+y^2-2x+2y-7) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + 2(1-\lambda)x + 2(\lambda-1)y - (2+7\lambda) = 0$
$(1+\lambda)$ વડે ભાગતા,આપણને વર્તુળનું સમીકરણ મળે છે:
$x^2 + y^2 + 2\left(\frac{1-\lambda}{1+\lambda}\right)x + 2\left(\frac{\lambda-1}{1+\lambda}\right)y - \frac{2+7\lambda}{1+\lambda} = 0$
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left(-\frac{1-\lambda}{1+\lambda}, -\frac{\lambda-1}{1+\lambda}\right) = \left(\frac{\lambda-1}{\lambda+1}, \frac{1-\lambda}{\lambda+1}\right)$ છે.
કેન્દ્ર રેખા $x-y-1=0$ પર હોવાથી,આપણે યામો મૂકીએ:
$\frac{\lambda-1}{\lambda+1} - \frac{1-\lambda}{\lambda+1} - 1 = 0$
$\frac{\lambda-1 - 1 + \lambda - \lambda - 1}{\lambda+1} = 0$
$\lambda - 3 = 0 \Rightarrow \lambda = 3$.
કેન્દ્રના યામમાં $\lambda = 3$ મૂકતા:
$x = \frac{3-1}{3+1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$y = \frac{1-3}{3+1} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
આમ,કેન્દ્ર $\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)$ છે.

(A) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણો મૂકતા:
$(x^2+y^2+2x+3y+1) + \lambda(x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$.
વર્તુળ $(-1, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી $x = -1$ અને $y = 1$ મૂકતા:
$((-1)^2 + (1)^2 + 2(-1) + 3(1) + 1) + \lambda((-1)^2 + (1)^2 + 4(-1) + 3(1) + 2) = 0$.
$4 + 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = -\frac{4}{3}$.
$\lambda = -\frac{4}{3}$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(x^2+y^2+2x+3y+1) - 4(x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$.
$x^2+y^2+10x+3y+5 = 0$.

(C) આપેલ વર્તુળો $S_1: x^2 + y^2 + kx - 4y - 1 = 0$ અને $S_2: x^2 + y^2 - \frac{14}{3}x + \frac{23}{3}y - 5 = 0$ છે.
વર્તુળો લંબકોણીય હોવાથી,શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ લાગુ પડે છે.
અહીં $g_1 = \frac{k}{2}, f_1 = -2, c_1 = -1$ અને $g_2 = -\frac{7}{3}, f_2 = \frac{23}{6}, c_2 = -5$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $2(\frac{k}{2})(-\frac{7}{3}) + 2(-2)(\frac{23}{6}) = -1 - 5$.
$-\frac{7k}{3} - \frac{46}{3} = -6$ $\Rightarrow -7k - 46 = -18$ $\Rightarrow k = -4$.
છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S_1 + \lambda(S_2') = 0$ છે.
$x^2 + y^2 - 4x - 4y - 1 + \lambda(x^2 + y^2 - \frac{14}{3}x + \frac{23}{3}y - 5) = 0$.
$(-1, -1)$ માંથી પસાર થતા,$9 - 6\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{3}{2}$.
સમીકરણમાં $\lambda = \frac{3}{2}$ મૂકતા,$5x^2 + 5y^2 - 22x + 15y - 17 = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-4x-2y-4=0$ છે.
આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $(2,1)$ છે.
વ્યાસ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ અને કેન્દ્ર $(2,1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી વ્યાસનું સમીકરણ $x-2y=0$ છે.
વર્તુળ $S=0$ અને રેખા $L=0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S+\lambda L=0$ છે.
તેથી,$x^2+y^2-4x-2y-4+\lambda(x-2y)=0$.
આ વર્તુળ $(1,2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=1$ અને $y=2$ મૂકતા:
$1+4-4-4-4+\lambda(1-4)=0$
$-7-3\lambda=0 \implies \lambda = -\frac{7}{3}$.
કિંમત મૂકતા:
$x^2+y^2-4x-2y-4-\frac{7}{3}(x-2y)=0$
$3x^2+3y^2-19x+8y-12=0$.

(A) આપેલ વર્તુળોના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળની સંહતિનું સમીકરણ $S_1 + \lambda S_2 = 0$ લો.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\lambda = -\frac{21}{31}$ મળે છે.
આ કિંમતને કેન્દ્રના સૂત્ર $(-g, -f)$ માં મૂકતા,આપણને કેન્દ્ર $\left(-\frac{27}{2}, -\frac{25}{2}\right)$ મળે છે.

(C) વર્તુળ $x^2+y^2+2kx-4y+1=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_1 = (-k, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{k^2+3}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2-8x-12y+43=0$ માટે,કેન્દ્ર $C_2 = (4, 6)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = 3$ છે.
બે વર્તુળો એકબીજાને સ્પર્શે ત્યારે તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = |r_1 \pm r_2|$ થાય.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(4+k)^2 + 4^2} = \sqrt{k^2+8k+32}$ છે.
$d = r_1 + r_2$ લેતા,$\sqrt{k^2+8k+32} = \sqrt{k^2+3} + 3$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$k^2+8k+32 = k^2+3 + 9 + 6\sqrt{k^2+3}$ $\Rightarrow 8k+20 = 6\sqrt{k^2+3}$ $\Rightarrow 4k+10 = 3\sqrt{k^2+3}$.
ફરીથી વર્ગ કરતા,$16k^2+80k+100 = 9k^2+27 \Rightarrow 7k^2+80k+73 = 0$.
ઉકેલતા $k = -1$ મળે છે.

(B) આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+8x-4y+c=0$ માટે,તેનું કેન્દ્ર $C_1 = (-4, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r_1 = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 - c} = \sqrt{20-c}$ છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2x+4y-11=0$ માટે,તેનું કેન્દ્ર $C_2 = (-1, -2)$ અને ત્રિજ્યા $r_2 = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 - (-11)} = \sqrt{1+4+11} = 4$ છે.
વર્તુળો બહારથી સ્પર્શતા હોવાથી,$C_1C_2 = r_1 + r_2$.
$C_1C_2 = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = 5$.
તેથી,$5 = \sqrt{20-c} + 4$,જેનો અર્થ છે કે $\sqrt{20-c} = 1$,તેથી $20-c = 1$,એટલે કે $c = 19$.
હવે,વર્તુળ $x^2+y^2+8x-4y+19=0$ એ $x^2+y^2-6x+8y+k=0$ ને લંબછેદી રીતે કાપે છે.
લંબછેદી હોવાની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ છે.
અહીં,$g_1 = 4, f_1 = -2, c_1 = 19$ અને $g_2 = -3, f_2 = 4, c_2 = k$.
$2(4)(-3) + 2(-2)(4) = 19 + k$.
$-24 - 16 = 19 + k$.
$-40 = 19 + k$.
$k = -59$.

(A) ધારો કે વર્તુળ $S$ એ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
$S$ એ $S_1, S_2, S_3$ ને લંબચ્છેદી હોવાથી,$S_1, S_2, S_3$ નું રેડિકલ કેન્દ્ર એ $S$ નું કેન્દ્ર છે.
$S_1$ અને $S_2$ ની રેડિકલ અક્ષ $S_1-S_2=0 \implies 4x-y-7=0$ છે.
$S_2$ અને $S_3$ ની રેડિકલ અક્ષ $S_2-S_3=0 \implies x+y-3=0$ છે.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,$S$ નું કેન્દ્ર $(2, 1)$ મળે છે.
$S=0$ અને $S_1=0$ ની રેડિકલ અક્ષ $4x-y-7=0$ છે.

(C) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ની રેડિકલ અક્ષ $S_1-S_2=0$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ $S_1: x^2+y^2-5x+6y+12=0$ અને $S_2: x^2+y^2+6x-4y-14=0$.
$S_1$ માંથી $S_2$ બાદ કરતા:
$(x^2+y^2-5x+6y+12) - (x^2+y^2+6x-4y-14) = 0$
$-11x+10y+26=0$ અથવા $11x-10y-26=0$.
રેડિકલ અક્ષનો ઢાળ $m_1 = \frac{11}{10}$ છે.
રેડિકલ અક્ષને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{10}{11}$ થાય.
$(1,1)$ માંથી પસાર થતી અને $m_2 = -\frac{10}{11}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y-1 = -\frac{10}{11}(x-1)$
$11(y-1) = -10(x-1)$
$11y-11 = -10x+10$
$10x+11y-21=0$.

(D) ધારો કે વર્તુળોના સમીકરણો $S_1: x^2+y^2-1=0$,$S_2: x^2+y^2-2x-3=0$ અને $S_3: x^2+y^2-2y-3=0$ છે.
રેડિકલ કેન્દ્ર શોધવા માટે,આપણે રેડિકલ અક્ષોનું છેદબિંદુ શોધીએ છીએ.
$S_1-S_2=0 \implies 2x+2=0 \implies x=-1$.
$S_1-S_3=0 \implies 2y+2=0 \implies y=-1$.
આમ,રેડિકલ કેન્દ્ર $C(\alpha, \beta)$ એ $(-1, -1)$ છે.
વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ: $r_1 = 1$,$r_2 = 2$,$r_3 = 2$.
ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો $r = 1+2+2 = 5$.
કેન્દ્ર $(-1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $5$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x+1)^2+(y+1)^2=25$ થાય.

(C) $S$ અને $S^{\prime}$ ની રેડિકલ ધરી $S-S^{\prime}=0$ દ્વારા મળે છે:
$\Rightarrow (x^2+y^2+\alpha x+6y) - (x^2+y^2+2\alpha x+\alpha y+6) = 0$
$\Rightarrow -\alpha x + (6-\alpha)y - 6 = 0$
બિંદુ $\left(0, \frac{3}{4}\right)$ આ ધરી પર હોવાથી:
$-\alpha(0) + (6-\alpha)(\frac{3}{4}) - 6 = 0$
$\Rightarrow \frac{18-3\alpha}{4} = 6$
$\Rightarrow 18-3\alpha = 24$
$\Rightarrow -3\alpha = 6$ $\Rightarrow \alpha = -2$.
હવે,વર્તુળ $S^{\prime}$ એ $x^2+y^2-4x-2y+6 = 0$ છે.
$S^{\prime}$ નું કેન્દ્ર $C = (2, 1)$ છે.
રેડિકલ કેન્દ્ર $P = \left(0, \frac{3}{4}\right)$ છે.
અંતર $PC = \sqrt{(2-0)^2 + (1-\frac{3}{4})^2} = \sqrt{4 + \frac{1}{16}} = \frac{\sqrt{65}}{4}$.

(C) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ની રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ બે વર્તુળો માટે:
$(x^2 + y^2 + 2gx - 4y + 4) - (x^2 + y^2 + 6x + 2fy + 12) = 0$
$(2g - 6)x - (4 + 2f)y - 8 = 0$.
કારણ કે $(-1, -1)$ એ રેડિકલ કેન્દ્ર છે,તે રેડિકલ ધરીના સમીકરણનું પાલન કરવું જોઈએ:
$(2g - 6)(-1) - (4 + 2f)(-1) - 8 = 0$
$-2g + 6 + 4 + 2f - 8 = 0$
$-2g + 2f + 2 = 0$
$2f - 2g = -2$
$g - f = 1$.

(B) આપેલ વર્તુળો નીચે મુજબ છે:
$S_1 \equiv x^2+y^2-8x-2y+8=0$
$S_2 \equiv x^2+y^2+6x+8y-24=0$
$S_3 \equiv x^2+y^2-2x+2y+2=0$
$S_1$ અને $S_2$ ની રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2-8x-2y+8) - (x^2+y^2+6x+8y-24) = 0$
$-14x - 10y + 32 = 0 \Rightarrow 7x + 5y = 16 \quad \dots(1)$
$S_2$ અને $S_3$ ની રેડિકલ ધરી $S_2 - S_3 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2+6x+8y-24) - (x^2+y^2-2x+2y+2) = 0$
$8x + 6y - 26 = 0 \Rightarrow 4x + 3y = 13 \quad \dots(2)$
રેડિકલ કેન્દ્ર $(a, b)$ શોધવા માટે,આપણે સમીકરણો $(1)$ અને $(2)$ નો ઉકેલ મેળવીએ:
સમીકરણ $(2)$ પરથી,$y = \frac{13-4x}{3}$. આ કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$7x + 5(\frac{13-4x}{3}) = 16$
$21x + 65 - 20x = 48$
$x = -17$
$x = -17$ ની કિંમત $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = \frac{13 - 4(-17)}{3} = \frac{13 + 68}{3} = \frac{81}{3} = 27$
આમ,રેડિકલ કેન્દ્ર $(a, b) = (-17, 27)$ છે.
તેથી,$a+b = -17 + 27 = 10$.

(B) $S=0$ અને $S^{\prime}=0$ ની રેડિકલ અક્ષ $S-S^{\prime}=0$ દ્વારા મળે છે.
$ (x^2+y^2-6x-6y+4) - (x^2+y^2-2x-4y+3) = 0 $
$ -4x-2y+1=0 \Rightarrow 4x+2y-1=0 $.
$S$ અને $S^{\prime}$ ની કોએક્સિયલ સિસ્ટમનું કોઈપણ વર્તુળ $S+\lambda(S-S^{\prime})=0$ દ્વારા મળે છે.
$ (x^2+y^2-6x-6y+4) + \lambda(4x+2y-1) = 0 $
$ x^2+y^2 + x(4\lambda-6) + y(2\lambda-6) + (4-\lambda) = 0 $.
કેન્દ્ર $C = (3-2\lambda, 3-\lambda)$ છે.
ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(3-2\lambda)^2 + (3-\lambda)^2 - (4-\lambda)} = \sqrt{14}$.
$ (9-12\lambda+4\lambda^2) + (9-6\lambda+\lambda^2) - 4 + \lambda = 14 $.
$ 5\lambda^2 - 17\lambda + 14 = 14 \Rightarrow 5\lambda^2 - 17\lambda = 0 $.
$\lambda \neq 0$ હોવાથી,$\lambda = \frac{17}{5}$.
કેન્દ્ર $C = (3-2(\frac{17}{5}), 3-\frac{17}{5}) = (-\frac{19}{5}, -\frac{2}{5})$ છે.

(A) રેડિકલ કેન્દ્ર એ રેડિકલ અક્ષોનું છેદબિંદુ છે. $\left(0, \frac{3}{4}\right)$ એ રેડિકલ કેન્દ્ર હોવાથી,તે રેડિકલ અક્ષો $S_1-S_2=0$ અને $S_2-S_3=0$ ના સમીકરણોનું સમાધાન કરે છે.
પ્રથમ,રેડિકલ અક્ષ $S_1-S_2=0$ લો:
$(x^2+y^2-2x+6y) - (x^2+y^2+2gx-2y+6) = 0$
$(-2-2g)x + 8y - 6 = 0$.
આ સમીકરણમાં $\left(0, \frac{3}{4}\right)$ મૂકતા:
$(-2-2g)(0) + 8\left(\frac{3}{4}\right) - 6 = 0 \Rightarrow 6 - 6 = 0$. આ સુસંગત છે.
હવે,રેડિકલ અક્ષ $S_2-S_3=0$ લો:
$(x^2+y^2+2gx-2y+6) - (x^2+y^2-12x+2fy+3) = 0$
$(2g+12)x + (-2-2f)y + 3 = 0$.
આ સમીકરણમાં $\left(0, \frac{3}{4}\right)$ મૂકતા:
$(2g+12)(0) + (-2-2f)\left(\frac{3}{4}\right) + 3 = 0$
$(-2-2f)\left(\frac{3}{4}\right) = -3
$ $\Rightarrow -2-2f = -4$ $\Rightarrow 2f = 2$ $\Rightarrow f = 1$.
$S_2$ અને $S_3$ લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ લાગુ પડે છે:
$2(g)(-6) + 2(-1)(f) = 6 + 3$
$-12g - 2f = 9$.
$f=1$ મૂકતા:
$-12g - 2(1) = 9$ $\Rightarrow -12g = 11$ $\Rightarrow g = \frac{-11}{12}$.
આમ,$(g, f) = \left(\frac{-11}{12}, 1\right)$.

(C) વર્તુળો $x^2+y^2+2 \alpha x+2 \beta y+c=0$ અને $x^2+y^2+\frac{3}{2} x+4 y+c=0$ ની રેડિકલ ધરી સમીકરણોની બાદબાકી કરીને મળે છે:
$(2 \alpha - \frac{3}{2})x + (2 \beta - 4)y = 0$
$(4 \alpha - 3)x + 4(\beta - 2)y = 0$
$(4 \alpha - 3)x + (4 \beta - 8)y = 0$.
આ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ ને સ્પર્શે છે,જેનું કેન્દ્ર $(-1, -1)$ અને ત્રિજ્યા $r = \sqrt{1^2+1^2-1} = 1$ છે.
કેન્દ્ર $(-1, -1)$ થી રેખા $(4 \alpha - 3)x + (4 \beta - 8)y = 0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $1$ જેટલું હોવું જોઈએ:
$1 = \frac{|(4 \alpha - 3)(-1) + (4 \beta - 8)(-1)|}{\sqrt{(4 \alpha - 3)^2 + (4 \beta - 8)^2}}$
$|-(4 \alpha - 3 + 4 \beta - 8)| = \sqrt{(4 \alpha - 3)^2 + (4 \beta - 8)^2}$
$|-(4 \alpha + 4 \beta - 11)| = \sqrt{(4 \alpha - 3)^2 + (4 \beta - 8)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(4 \alpha + 4 \beta - 11)^2 = (4 \alpha - 3)^2 + (4 \beta - 8)^2$
$16 \alpha^2 + 16 \beta^2 + 121 + 32 \alpha \beta - 88 \alpha - 88 \beta = 16 \alpha^2 - 24 \alpha + 9 + 16 \beta^2 - 64 \beta + 64$
$32 \alpha \beta - 64 \alpha - 24 \beta = -48$
$8$ વડે ભાગતા:
$4 \alpha \beta - 8 \alpha - 3 \beta = -6$
બંને બાજુ $10$ ઉમેરતા:
$4 \alpha \beta - 8 \alpha - 3 \beta + 10 = -6 + 10 = 4$.

(B) પ્રથમ વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2-36=0$ છે.
ધારો કે બીજા વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે.
બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ની રેડિકલ ધરી $S_1-S_2=0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ રેડિકલ ધરી $x-4=0$ છે,તેથી બીજા વર્તુળને $x^2+y^2-36+k(x-4)=0$ તરીકે લખી શકાય,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2+kx-4k-36=0$ થાય છે.
બે વર્તુળો $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ અને $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ લંબરૂપે છેદે તે માટેની શરત $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ છે.
અહીં,$g_1=0, f_1=0, c_1=-36$ અને $g_2=k/2, f_2=0, c_2=-4k-36$ છે.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા: $2(0)(k/2) + 2(0)(0) = -36 + (-4k-36)$.
$0 = -72 - 4k$ $\Rightarrow 4k = -72$ $\Rightarrow k = -18$.
$k=-18$ ને બીજા વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2+y^2-18x-4(-18)-36=0$.
$x^2+y^2-18x+72-36=0 \Rightarrow x^2+y^2-18x+36=0$.

(C) બે વર્તુળો $S_1 = 0$ અને $S_2 = 0$ ની રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ધારો.
$C$ અને $x^2 + y^2 - a^2 = 0$ ની રેડિકલ અક્ષ $(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c) - (x^2 + y^2 - a^2) = 0$ છે,જે $2gx + 2fy + c + a^2 = 0$ માં સરળ બને છે.
આપેલ રેડિકલ અક્ષ $2x = a$ અથવા $x - a/2 = 0$ છે.
સરખામણી કરતા,$f = 0$ અને વર્તુળ $C$ એ $x^2 + y^2 + 2gx + c = 0$ છે.
પરિવારની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,સમીકરણ $(x^2 + y^2 - a^2) + \lambda(x - a/2) = 0$ મળે છે.
$(2a, 0)$ માંથી પસાર થતા,$\lambda = -2a$ મળે છે.
આમ,વર્તુળ $C$ નું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2ax = 0$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(a, 0)$ છે અને તે $(0, 0)$ અને $(a, a)$ માંથી પસાર થાય છે.

(D) વર્તુળોના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$S_1: x^2+y^2-4x-6y+5=0$
$S_2: x^2+y^2-2x-4y-1=0$
$S_3: x^2+y^2-6x-2y=0$
રેડિકલ કેન્દ્ર શોધવા માટે,આપણે સમીકરણોની બાદબાકી કરીને રેડિકલ અક્ષો શોધીએ છીએ:
$S_1 - S_2 = 0$ $\Rightarrow -2x-2y+6=0$ $\Rightarrow x+y-3=0$ (સમીકરણ $i$)
$S_2 - S_3 = 0 \Rightarrow 4x-2y-1=0$ (સમીકરણ $ii$)
સમીકરણો $(i)$ અને $(ii)$ ઉકેલતા:
$x = \frac{7}{6}$ અને $y = \frac{11}{6}$ મળે છે.
રેડિકલ કેન્દ્ર $(\frac{7}{6}, \frac{11}{6})$ છે.
વિકલ્પ $D$ માં કિંમત મૂકતા: $18(\frac{7}{6}) - 12(\frac{11}{6}) + 1 = 21 - 22 + 1 = 0$.
તેથી,રેડિકલ કેન્દ્ર $18x-12y+1=0$ રેખા પર આવેલું છે.

(D) ધારો કે વર્તુળોના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$C_1: x^2+y^2-1=0$
$C_2: x^2+y^2-2x-3=0$
$C_3: x^2+y^2-2y-3=0$
$C_1$ અને $C_2$ ની રેડિકલ ધરી $C_1 - C_2 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2-1) - (x^2+y^2-2x-3) = 0$
$2x+2 = 0 \implies x = -1$
$C_1$ અને $C_3$ ની રેડિકલ ધરી $C_1 - C_3 = 0$ દ્વારા મળે છે:
$(x^2+y^2-1) - (x^2+y^2-2y-3) = 0$
$2y+2 = 0 \implies y = -1$
આમ,રેડિકલ કેન્દ્ર રેડિકલ ધરીઓનું છેદબિંદુ છે,જે $(-1, -1)$ છે.

(B) ધારો કે $(a, 0)$ કેન્દ્ર અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-a)^2 + y^2 = r^2$ છે,જે $S_1 \equiv x^2 + y^2 - 2ax + a^2 - r^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
ધારો કે $(b, 0)$ કેન્દ્ર અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ $(x-b)^2 + y^2 = R^2$ છે,જે $S_2 \equiv x^2 + y^2 - 2bx + b^2 - R^2 = 0$ તરીકે લખી શકાય.
બે વર્તુળોની રેડિકલ ધરી $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2 + y^2 - 2ax + a^2 - r^2) - (x^2 + y^2 - 2bx + b^2 - R^2) = 0$.
$-2ax + 2bx + a^2 - b^2 - r^2 + R^2 = 0$.
$2x(b-a) + (a^2 - b^2 - r^2 + R^2) = 0$.
રેડિકલ ધરી $y$-અક્ષ હોવાથી,તેનું સમીકરણ $x = 0$ છે.
$2x(b-a) + (a^2 - b^2 - r^2 + R^2) = 0$ ને $x = 0$ સાથે સરખાવતા,અચળ પદ શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$a^2 - b^2 - r^2 + R^2 = 0$.
$R^2 = r^2 + b^2 - a^2$.
$R = (r^2 + b^2 - a^2)^{1/2}$.

(C) વર્તુળોના સમીકરણો $7x^2+7y^2-7x+14y+18=0$ અને $4x^2+4y^2-7x+8y+20=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણને $7$ વડે ભાગતા: $x^2+y^2-x+2y+\frac{18}{7}=0$ $(S_1=0)$.
બીજા સમીકરણને $4$ વડે ભાગતા: $x^2+y^2-\frac{7}{4}x+2y+5=0$ $(S_2=0)$.
રેડિકલ ધરી $S_1-S_2=0$ દ્વારા મળે છે.
$(x^2+y^2-x+2y+\frac{18}{7}) - (x^2+y^2-\frac{7}{4}x+2y+5) = 0$.
$(-x + \frac{7}{4}x) + (\frac{18}{7} - 5) = 0$.
$\frac{3}{4}x + (\frac{18-35}{7}) = 0$.
$\frac{3}{4}x - \frac{17}{7} = 0$.
$21x - 68 = 0$.

(B) બે વર્તુળો $S_1=0$ અને $S_2=0$ ની રેડિકલ ધરીનું સમીકરણ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $S_1: x^2+y^2+5x+4y-5=0$
આપેલ $S_2: x^2+y^2-3x+5y-6=0$
$S_1$ માંથી $S_2$ બાદ કરતા:
$(x^2+y^2+5x+4y-5) - (x^2+y^2-3x+5y-6) = 0$
$(5x - (-3x)) + (4y - 5y) + (-5 - (-6)) = 0$
$8x - y + 1 = 0$

(A) આપેલ કોએક્સિયલ વર્તુળ પ્રણાલી $4x^2 + 4y^2 - 12x + 6y - 3 + \lambda(x + 2y - 6) = 0$ છે.
$4$ વડે ભાગતા,$x^2 + y^2 - 3x + \frac{3}{2}y - \frac{3}{4} + \frac{\lambda}{4}(x + 2y - 6) = 0$ મળે.
રેડિકલ અક્ષ $x + 2y - 6 = 0$ છે. કેન્દ્રોની રેખા રેડિકલ અક્ષને લંબ હોય છે,તેથી તે $2x - y + k = 0$ સ્વરૂપમાં છે.
મૂળ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 3x + \frac{3}{2}y - \frac{3}{4} = 0$ નું કેન્દ્ર $(\frac{3}{2}, -\frac{3}{4})$ છે.
કેન્દ્રોની રેખા આ બિંદુમાંથી પસાર થતી હોવાથી,આપણે તેને $2x - y + k = 0$ માં મૂકીએ:
$2(\frac{3}{2}) - (-\frac{3}{4}) + k = 0 \implies 3 + \frac{3}{4} + k = 0 \implies k = -\frac{15}{4}$.
આમ,કેન્દ્રોની રેખાનું સમીકરણ $2x - y - \frac{15}{4} = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $8x - 4y - 15 = 0$ થાય છે.

(D) કોએક્સિયલ સિસ્ટમનું આપેલ સમીકરણ $x^2+y^2+2 \lambda x+c=0$ છે.
લિમિટિંગ પોઈન્ટ્સ એ સિસ્ટમના પોઈન્ટ સર્કલના કેન્દ્રો છે.
જ્યારે ત્રિજ્યા $r=0$ હોય ત્યારે પોઈન્ટ સર્કલ મળે છે.
વર્તુળ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ની ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$g=\lambda$,$f=0$,અને અચળ પદ $c$ છે.
તેથી,$r = \sqrt{\lambda^2-c}$.
લિમિટિંગ પોઈન્ટ્સ અલગ હોવા માટે,ત્રિજ્યા કાલ્પનિક હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે $\lambda^2-c < 0$,અથવા $c > \lambda^2$.
જોકે,સિસ્ટમ પાસે વાસ્તવિક અને અલગ લિમિટિંગ પોઈન્ટ્સ હોવા માટેની શરત $c > 0$ છે.