Mix Examples-Circle and System of Circles Questions in Hindi

(A) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
जीवा का समीकरण $5x + 2y = 16$ है,जिसे $5x + 2y - 16 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस जीवा की ढाल $m_1 = -\frac{5}{2}$ है।
केंद्र $(h, k)$ और जीवा के मध्य बिंदु $(2, 3)$ को जोड़ने वाली रेखा जीवा पर लंब होती है।
इस रेखाखंड की ढाल $m_2 = \frac{k - 3}{h - 2}$ है।
चूंकि रेखाखंड जीवा पर लंब है,इसलिए $m_1 \times m_2 = -1$ होगा।
$-\frac{5}{2} \times \frac{k - 3}{h - 2} = -1$
$5(k - 3) = 2(h - 2)$
$5k - 15 = 2h - 4$
$2h - 5k + 11 = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $2x - 5y + 11 = 0$ है।

(B) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0$ है।
वृत्त का केंद्र $C(-2, 3)$ है और त्रिज्या $R = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 - (-12)} = 5$ है।
जीवा परिधि पर $\frac{\pi}{3} = 60^\circ$ का कोण बनाती है।
वृत्त के गुणधर्म के अनुसार,जीवा केंद्र पर $2 \times 60^\circ = 120^\circ$ का कोण बनाती है।
माना $(h, k)$ जीवा का मध्य बिंदु है। केंद्र $C(-2, 3)$ से जीवा की दूरी $p = R \cos(60^\circ) = 5 \times 0.5 = 2.5$ है।
अतः,$(h + 2)^2 + (k - 3)^2 = (2.5)^2 = 6.25$ है।
इसलिए,बिंदुपथ $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 6.25$ है।

(B) वृत्तों के केंद्र $C_1 = (1, 0)$ और $C_2 = (0, 2)$ हैं,और उनकी त्रिज्याएँ $r_1 = \sqrt{10}$ और $r_2 = \sqrt{5}$ हैं।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$ है।
दो वृत्तों के बीच प्रतिच्छेदन कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \frac{r_1^2 + r_2^2 - d^2}{2 r_1 r_2}$ है।
मान रखने पर,$\cos \theta = \frac{10 + 5 - 5}{2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{5}} = \frac{10}{2 \cdot \sqrt{50}} = \frac{10}{10\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{4}$।

(B) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 + 2x - 1 = 0$ है।
वर्ग पूरा करने पर,हमें $(x + 1)^2 + y^2 = 2$ प्राप्त होता है।
यह केंद्र $(-1, 0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ वाला एक वृत्त है।
रेखा $x - y + c = 0$ है।
रेखा के वृत्त को केवल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करने के लिए,केंद्र $(-1, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
दूरी $d = \frac{|(-1) - (0) + c|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|c - 1|}{\sqrt{2}}$ है।
$d = r$ रखने पर,हमें $\frac{|c - 1|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
$|c - 1| = 2$।
इससे $c - 1 = 2$ या $c - 1 = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$c = 3$ या $c = -1$।

(C) माना दो वृत्तों का समीकरण $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ है।
यह $x^2 + y^2 - 2rx - 2ry + r^2 = 0$ के रूप में सरल होता है।
दो वृत्तों के लंबकोणीय होने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ है।
यहाँ $4r_1r_2 = r_1^2 + r_2^2$ प्राप्त होता है।
चूँकि वृत्त $(a, b)$ से गुजरता है,इसलिए $r^2 - 2r(a+b) + (a^2+b^2) = 0$ है।
यहाँ $r_1 + r_2 = 2(a+b)$ और $r_1r_2 = a^2 + b^2$ है।
शर्त $6r_1r_2 = (r_1 + r_2)^2$ में मान रखने पर:
$6(a^2 + b^2) = 4(a+b)^2 = 4(a^2 + b^2 + 2ab)$।
$2a^2 - 8ab + 2b^2 = 0$,अर्थात $a^2 - 4ab + b^2 = 0$।

(D) माना वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ है। त्रिज्या $r = 1$ और केंद्र $(0, 0)$ है।
माना बिंदु $P(a, 0)$ है। केंद्र से $P$ की दूरी $d = |a|$ है।
माना स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है। तब $\sin(\theta/2) = \frac{r}{d} = \frac{1}{|a|}$.
दिया गया है $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$,इसलिए $\frac{\pi}{4} < \frac{\theta}{2} < \frac{\pi}{2}$.
$\sin$ फलन लेने पर,$\sin(\frac{\pi}{4}) < \sin(\frac{\theta}{2}) < \sin(\frac{\pi}{2})$.
इससे $\frac{1}{\sqrt{2}} < \frac{1}{|a|} < 1$ प्राप्त होता है।
व्युत्क्रम लेने पर,$1 < |a| < \sqrt{2}$.
इसका अर्थ है $|a| > 1$ और $|a| < \sqrt{2}$.
अतः,$a \in (-\sqrt{2}, -1) \cup (1, \sqrt{2})$.

(C) माना वृत्त का केंद्र $C(h, 0)$ है क्योंकि यह $x$-अक्ष पर स्थित है।
चूंकि वृत्त रेखा $x + y = 0$ को $P(2, -2)$ पर स्पर्श करता है,त्रिज्या $r$,$CP$ की दूरी है।
$r^2 = (h - 2)^2 + (0 - (-2))^2 = (h - 2)^2 + 4$।
रेखा $CP$,स्पर्शरेखा $x + y = 0$ (ढाल $-1$) के लंबवत है।
अतः,$CP$ की ढाल $= \frac{0 - (-2)}{h - 2} = \frac{2}{h - 2}$।
चूंकि $CP \perp$ स्पर्शरेखा,$(\frac{2}{h - 2}) \times (-1) = -1$ $\Rightarrow \frac{2}{h - 2} = 1$ $\Rightarrow h - 2 = 2$ $\Rightarrow h = 4$।
केंद्र $C(4, 0)$ है।
$r^2 = (4 - 2)^2 + 4 = 4 + 4 = 8$,इसलिए $r = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$।
वृत्त का समीकरण $(x - 4)^2 + y^2 = 8$ है।
$\alpha$ ($x$-निर्देशांक) का अधिकतम मान $h + r = 4 + 2\sqrt{2}$ है।

(C) माना कि तीन संकेंद्रित वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1, r_2, r_3$ $A.P.$ में हैं,जहाँ $r_3 = 1$ (सबसे बड़ी) है। माना सार्व अंतर $d > 0$ है। तब $r_3 = 1$,$r_2 = 1 - d$,और $r_1 = 1 - 2d$ है।
रेखा $x - y + 1 = 0$ द्वारा सभी वृत्तों को दो वास्तविक और भिन्न बिंदुओं पर काटने के लिए,केंद्र $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी सबसे छोटे वृत्त की त्रिज्या $r_1$ से कम होनी चाहिए।
लंबवत दूरी $p = \frac{|0 - 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,हमें $r_1 > p$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $1 - 2d > \frac{1}{\sqrt{2}}$।
$d$ के लिए हल करने पर: $2d < 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}$।
$d < \frac{\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}$।
चूंकि $d > 0$,इसलिए $d$ के लिए अंतराल $\left( 0, \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \right)$ है।

(B) माना वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ पर स्थित बिंदु $(a \cos \theta, a \sin \theta)$ है।
$(a \cos \theta, a \sin \theta)$ से वृत्त $x^2 + y^2 = b^2$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा का समीकरण $x(a \cos \theta) + y(a \sin \theta) = b^2$ है।
यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = c^2$ को स्पर्श करती है।
केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $x(a \cos \theta) + y(a \sin \theta) - b^2 = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $c$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|-b^2|}{\sqrt{(a \cos \theta)^2 + (a \sin \theta)^2}} = c$.
$\frac{b^2}{\sqrt{a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)}} = c$.
$\frac{b^2}{a} = c$,जिसका अर्थ है $b^2 = ac$.
चूँकि $b^2 = ac$,इसलिए $a, b, c$ गुणोत्तर श्रेणी $(G.P.)$ में हैं।

(B) दोनों वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरते हैं।
माना केंद्र $C_1 = (-g_1, -f_1)$ और $C_2 = (-g_2, -f_2)$ हैं।
चूंकि वृत्त एक-दूसरे को मूल बिंदु $(0, 0)$ पर स्पर्श करते हैं,इसलिए केंद्र $C_1$,$C_2$ और स्पर्श बिंदु $(0, 0)$ संरेख होने चाहिए।
$C_1$ और $(0, 0)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $\frac{-f_1 - 0}{-g_1 - 0} = \frac{f_1}{g_1}$ है।
$C_2$ और $(0, 0)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढाल $\frac{-f_2 - 0}{-g_2 - 0} = \frac{f_2}{g_2}$ है।
चूंकि बिंदु संरेख हैं,इसलिए ढाल समान होनी चाहिए:
$\frac{f_1}{g_1} = \frac{f_2}{g_2}$.

(A) माना स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ है। वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ के लिए $(x_1, y_1)$ से खींची गई स्पर्श जीवा का समीकरण $xx_1 + yy_1 - 1 = 0$ है $... (1)$.
दो वृत्तों $S_1: x^2 + y^2 - 1 = 0$ और $S_2: x^2 + y^2 - (\lambda + 6)x + (8 - 2\lambda)y - 3 = 0$ की उभयनिष्ठ जीवा $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा दी जाती है।
$(\lambda + 6)x - (8 - 2\lambda)y + 2 = 0$ $... (2)$.
चूँकि स्पर्श जीवा और उभयनिष्ठ जीवा समान हैं,समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$\frac{x_1}{\lambda + 6} = \frac{y_1}{-(8 - 2\lambda)} = \frac{-1}{2}$
$\lambda$ को विलुप्त करने पर,हमें $2x - y + 10 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना शीर्ष $A$ के निर्देशांक $(a, b)$ हैं और केंद्रक $G$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
चूंकि $\angle BAC = 90^o$ है और $B(3, 0), C(-3, 0)$ है,बिंदु $A$ उस वृत्त पर स्थित है जिसका व्यास $BC$ है। इस वृत्त का केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $3$ है। अतः,वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = 9$ है। इसलिए $a^2 + b^2 = 9$ है।
$\Delta ABC$ का केंद्रक $G(h, k)$,$h = \frac{a + 3 - 3}{3} = \frac{a}{3}$ और $k = \frac{b + 0 + 0}{3} = \frac{b}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
इससे $a = 3h$ और $b = 3k$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $a^2 + b^2 = 9$ में रखने पर,$(3h)^2 + (3k)^2 = 9$ प्राप्त होता है।
$9h^2 + 9k^2 = 9$,जो सरल होकर $h^2 + k^2 = 1$ हो जाता है।
अतः,बिंदुपथ का समीकरण $x^2 + y^2 = 1$ है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - ax - \frac{b}{2}y = 0$ है।
माना जीवा $P(a, b/2)$ से होकर गुजरती है और $x$-अक्ष पर बिंदु $Q(h, 0)$ पर समद्विभाजित होती है।
जीवा का मध्य बिंदु $Q(h, 0)$ है। रेखाखंड $PQ$ वृत्त की एक जीवा है।
वृत्त का केंद्र $C(a/2, b/4)$ है।
रेखा $CQ$ जीवा $PQ$ पर लंब होनी चाहिए।
$PQ$ की ढाल $m_1 = \frac{b}{2(a - h)}$ है।
$CQ$ की ढाल $m_2 = \frac{-b}{4h - 2a}$ है।
चूँकि $PQ \perp CQ$,$m_1 \times m_2 = -1$ होगा।
इससे $8h^2 - 12ah + 4a^2 + b^2 = 0$ प्राप्त होता है।
दो अलग-अलग जीवाओं के लिए,$h$ के दो अलग-अलग मान होने चाहिए,इसलिए विविक्तकर $D > 0$ होगा।
$16a^2 > 32b^2 \Rightarrow a^2 > 2b^2$।

(C) माना रेखा पर स्थित बिंदु $P(x_1, y_1)$ है। चूँकि $P$ रेखा $2x + y = 4$ पर स्थित है,इसलिए $2x_1 + y_1 = 4$ ... $(1)$.
इकाई वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ के लिए $P(x_1, y_1)$ से खींची गई स्पर्श जीवा का समीकरण $xx_1 + yy_1 = 1$ है।
माना $(h, k)$ इस जीवा का मध्य बिंदु है। वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ के लिए $(h, k)$ मध्य बिंदु वाली जीवा का समीकरण $xh + yk = h^2 + k^2$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{x_1}{h} = \frac{y_1}{k} = \frac{1}{h^2 + k^2}$
अतः,$x_1 = \frac{h}{h^2 + k^2}$ और $y_1 = \frac{k}{h^2 + k^2}$.
इन मानों को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$2 \left( \frac{h}{h^2 + k^2} \right) + \frac{k}{h^2 + k^2} = 4$
$2h + k = 4(h^2 + k^2)$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $4(x^2 + y^2) = 2x + y$ प्राप्त होता है।

(C) माना उभयनिष्ठ जीवा $AB$ है और यह केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा $O_1O_2$ को $M$ पर काटती है। माना $PM = h$ उभयनिष्ठ जीवा की आधी लंबाई है।
$\triangle O_1PM$ में,$\angle PO_1M = 90^\circ / 2 = 45^\circ$। अतः,$h = O_1M \tan 45^\circ = O_1M$।
$\triangle O_2PM$ में,$\angle PO_2M = 60^\circ / 2 = 30^\circ$। अतः,$h = O_2M \tan 30^\circ = O_2M / \sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $O_2M = h\sqrt{3}$।
केंद्रों के बीच की दूरी $O_1M + O_2M = h + h\sqrt{3} = h(1 + \sqrt{3})$ है।
दिया गया है $O_1O_2 = \sqrt{3} + 1$,इसलिए $h(1 + \sqrt{3}) = \sqrt{3} + 1$,जिसका अर्थ है $h = 1$।
$c_1$ की त्रिज्या $r_1 = O_1P = h / \sin 45^\circ = 1 / (1/\sqrt{2}) = \sqrt{2}$।
$c_2$ की त्रिज्या $r_2 = O_2P = h / \sin 30^\circ = 1 / (1/2) = 2$।
अतः,त्रिज्याएँ $\sqrt{2}$ और $2$ हैं।

(D) माना वृत्तों के केंद्र $C_1, C_2, C_3$ हैं और त्रिज्याएँ $r_1=3, r_2=3, r_3=1$ हैं। त्रिभुज $C_1C_2C_3$ की भुजाएँ $C_1C_2 = 6, C_1C_3 = 4, C_2C_3 = 4$ हैं।
यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है। ऊँचाई $C_3M = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7}$ है।
समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म से,त्रिभुज $ABC$ की भुजा $AB = \frac{1}{4} \times 6 = \frac{3}{2}$ प्राप्त होती है।
त्रिभुज $ABC$ की ऊँचाई $\frac{\sqrt{7}}{4}$ है।
अतः,त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{16}$.

(B) माना वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ है,अतः त्रिज्या $r = 1$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $60^o$ है,इसलिए स्पर्श रेखा और मूल बिंदु को $A$ से जोड़ने वाली रेखा के बीच का कोण $30^o$ है।
$\triangle OPA$ में,$\angle OPA = 90^o$ और $\angle OAP = 30^o$ है।
अतः,$PA = r \cot(30^o) = \sqrt{3}$।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल $2 \times (\triangle OPA$ का क्षेत्रफल) $= 2 \times (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1) = \sqrt{3}$ है।
वृत्त के केंद्र पर बनने वाला कोण $180^o - 60^o = 120^o = \frac{2\pi}{3}$ रेडियन है।
वृत्तीय सेक्टर का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} r^2 \theta = \frac{\pi}{3}$ है।
घिरा हुआ क्षेत्रफल $= \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}$ है।

(D) वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ के लिए,केंद्र $C_1 = (0, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 - 6 \sqrt{3} x - 6y + 20 = 0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (3 \sqrt{3}, 3)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(3 \sqrt{3})^2 + 3^2 - 20} = 4$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(3 \sqrt{3})^2 + 3^2} = 6$ है।
चूंकि $C_1C_2 = r_1 + r_2 = 6$,वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
स्पर्श बिंदु पर उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है।
$(x^2 + y^2 - 4) - (x^2 + y^2 - 6 \sqrt{3} x - 6y + 20) = 0$ $\Rightarrow 6 \sqrt{3} x + 6y = 24$ $\Rightarrow \sqrt{3} x + y = 4$।
दोनों पक्षों को $2$ से भाग देने पर,$\frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{1}{2} y = 2$।
$x \cos \theta + y \sin \theta = 2$ से तुलना करने पर,$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\sin \theta = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{6}$।

(C) माना छोटे वृत्त की त्रिज्या $r_1 = 2$ है और बड़े वृत्त की त्रिज्या $r_2$ है।
प्रश्न के अनुसार,छोटे वृत्त का क्षेत्रफल दोनों वृत्तों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल के बराबर है।
$\pi r_1^2 = \pi r_2^2 - \pi r_1^2$
$2 \pi r_1^2 = \pi r_2^2$
$r_2^2 = 2 r_1^2$
$r_2 = \sqrt{2} r_1 = 2\sqrt{2}$.
माना $L$ बड़े वृत्त पर स्थित बिंदु $P$ से छोटे वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई है।
छोटे वृत्त की त्रिज्या $(r_1)$,स्पर्श रेखा $(L)$ और केंद्र से बिंदु $P$ की दूरी $(r_2)$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में:
$L^2 + r_1^2 = r_2^2$
$L^2 = r_2^2 - r_1^2$
$L^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2^2 = 8 - 4 = 4$
$L = 2$.

(A) रेखा की ढाल $m = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ है। माना रेखा का समीकरण $y = x + c$ या $x - y + c = 0$ है।
प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 = 4$ के लिए,केंद्र $O(0, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है। अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{r_1^2 - d_1^2}$ है,जहाँ $d_1$ केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी है।
$d_1 = \frac{|c|}{\sqrt{2}}$.
अंतःखंड की लंबाई $L_1 = 2\sqrt{4 - \frac{c^2}{2}}$.
दूसरे वृत्त $x^2 + y^2 - 10x - 14y + 65 = 0$ के लिए,केंद्र $C(5, 7)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है। लंबवत दूरी $d_2 = \frac{|5 - 7 + c|}{\sqrt{2}} = \frac{|c - 2|}{\sqrt{2}}$.
अंतःखंड की लंबाई $L_2 = 2\sqrt{9 - \frac{(c - 2)^2}{2}}$.
चूँकि $L_1 = L_2$,इसलिए $4 - \frac{c^2}{2} = 9 - \frac{(c - 2)^2}{2}$.
$4 = 7 + 2c \Rightarrow c = -\frac{3}{2}$.
अतः,रेखा का समीकरण $2x - 2y - 3 = 0$ है।

(A) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 4 = 0$ है।
इसका केंद्र $(1, 2)$ और त्रिज्या $r = 1$ है।
रेखा $x - y - 3 = 0$ के सापेक्ष $(1, 2)$ का प्रतिबिंब $(a, b)$ है।
सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{a - 1}{1} = \frac{b - 2}{-1} = -2 \frac{1 - 2 - 3}{1^2 + (-1)^2} = 4$
जिससे $a = 5$ और $b = -2$ प्राप्त होता है।
अतः नए वृत्त का केंद्र $(5, -2)$ और त्रिज्या $r = 1$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - 5)^2 + (y + 2)^2 = 1^2$ होगा।
$x^2 + y^2 - 10x + 4y + 28 = 0$।

(D) $(0, 0)$ और $(1, 0)$ से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - x + \lambda y = 0$ मानिए।
इस वृत्त का केंद्र $\left( \frac{1}{2}, -\frac{\lambda}{2} \right)$ और त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{1 + \lambda^2}}{2}$ है।
दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 = 9$ है,जिसका केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $R = 3$ है।
चूंकि दोनों वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग या अंतर के बराबर होनी चाहिए: $d = |R \pm r|$.
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \frac{\sqrt{1 + \lambda^2}}{2}$ है।
अतः,$\frac{\sqrt{1 + \lambda^2}}{2} = |3 \pm \frac{\sqrt{1 + \lambda^2}}{2}|$.
हल करने पर,$\sqrt{1 + \lambda^2} = 3$ $\Rightarrow \lambda^2 = 8$ $\Rightarrow \lambda = \pm 2\sqrt{2}$.
इस प्रकार,केंद्र $\left( \frac{1}{2}, \mp \sqrt{2} \right)$ प्राप्त होते हैं।

(D) रेखा युग्म का दिया गया समीकरण $x^2 - 2x + 1 - y^2 = 0$ है,जिसे $(x - 1)^2 - y^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसके गुणनखंड $(x - y - 1)(x + y - 1) = 0$ हैं।
अतः,दो रेखाएँ $L_1: x - y - 1 = 0$ और $L_2: x + y - 1 = 0$ हैं।
माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूंकि वृत्त इन रेखाओं को स्पर्श करता है,केंद्र से दोनों रेखाओं की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
$r = \frac{|h - k - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{|h + k - 1|}{\sqrt{2}}$.
इसका अर्थ है $|h - k - 1| = |h + k - 1|$.
स्थिति $1$: $h - k - 1 = h + k - 1 \implies k = 0$.
स्थिति $2$: $h - k - 1 = -(h + k - 1) \implies h = 1$ (जो संभव नहीं है)।
अतः,$k = 0$ और केंद्र $(h, 0)$ है।
त्रिज्या $r = \frac{|h - 1|}{\sqrt{2}}$. वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + y^2 = \frac{(h - 1)^2}{2}$ है।
बिंदु $\left( 3, \sqrt{\frac{7}{2}} \right)$ रखने पर,$(3 - h)^2 + \frac{7}{2} = \frac{(h - 1)^2}{2}$.
$h^2 - 10h + 24 = 0 \implies (h - 6)(h - 4) = 0$.
अतः,$h = 4$ या $h = 6$. केंद्र $(4, 0)$ और $(6, 0)$ हैं।

(C) माना दोनों वृत्तों की त्रिज्या $r = 1$ है। केंद्र $A(1, 0)$ और $B(-1, 0)$ हैं।
राम $(0, 0)$ से शुरू होकर $(x-1)^2 + y^2 = 1$ वृत्त पर चलता है। माना $\theta_R$ केंद्र $A$ पर बना कोण है। गति $v_R = 2 \ m/s$ और $r=1$ होने के कारण,कोणीय वेग $\omega_R = 2 \ rad/s$ है। अतः,$\theta_R = 2t$। राम घड़ी की दिशा में चलता है,इसलिए उसकी स्थिति $R(1 - \cos(2t), -\sin(2t))$ है।
श्याम $(0, 0)$ से शुरू होकर $(x+1)^2 + y^2 = 1$ वृत्त पर चलता है। माना $\theta_S$ केंद्र $B$ पर बना कोण है। गति $v_S = 1 \ m/s$ और $r=1$ होने के कारण,कोणीय वेग $\omega_S = 1 \ rad/s$ है। अतः,$\theta_S = t$। श्याम घड़ी की विपरीत दिशा में चलता है,इसलिए उसकी स्थिति $S(-1 + \cos(t), \sin(t))$ है।
राम $x$-अक्ष को तब पार करता है जब $R$ का $y$-निर्देशांक $0$ हो,अर्थात $-\sin(2t) = 0$। पहली बार यह $2t = \pi$ पर होता है,इसलिए $t = \frac{\pi}{2}$।
$t = \frac{\pi}{2}$ पर,$R = (2, 0)$ और $S = (-1, 1)$।
दूरी $D^2 = (2 - \cos(2t) - \cos(t))^2 + (\sin(2t) + \sin(t))^2 = 6 - 4\cos(2t) - 2\cos(t)$।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2D \frac{dD}{dt} = 8\sin(2t) + 2\sin(t)$।
$t = \frac{\pi}{2}$ पर,$D = \sqrt{10}$।
$2\sqrt{10} \frac{dD}{dt} = 2$,अतः $\frac{dD}{dt} = \sqrt{\frac{5}{2}}$।

(B) $P$ केंद्र वाले वृत्त की त्रिज्या $r$ मानिए। चूंकि वृत्त ऋणात्मक $x$-अक्ष और ऋणात्मक $y$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $P(-r, -r)$ होगा।
केंद्र $P(-r, -r)$ और दिए गए वृत्त $C(-6, 0)$ के बीच की दूरी: $d = \sqrt{(-r - (-6))^2 + (-r - 0)^2} = \sqrt{(6 - r)^2 + r^2}$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होगी: $d = r + 2$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\sqrt{(6 - r)^2 + r^2} = r + 2$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(6 - r)^2 + r^2 = (r + 2)^2$।
$36 - 12r + r^2 + r^2 = r^2 + 4r + 4$।
$r^2 - 16r + 32 = 0$।
यह $r$ में एक द्विघात समीकरण है। संभावित त्रिज्याओं का योग इस समीकरण के मूलों का योग है,जो $-(\frac{b}{a}) = -(\frac{-16}{1}) = 16$ है।

(D) वृत्तों $C_1, C_2,$ और $C_3$ पर बिंदुओं की संख्या क्रमशः $4, 8,$ और $12$ है।
कुल बिंदुओं की संख्या $n = 4 + 8 + 12 = 24$ है।
$24$ बिंदुओं का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले कुल त्रिभुजों की संख्या $^{24}C_3$ है।
त्रिभुज का परिकेंद्र मूल बिंदु पर तभी होगा यदि तीनों शीर्ष एक ही वृत्त पर स्थित हों।
मूल बिंदु पर परिकेंद्र वाले त्रिभुजों की संख्या = ($C_1$ पर स्थित बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज) + ($C_2$ पर स्थित बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज) + ($C_3$ पर स्थित बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज) = $^4C_3 + ^8C_3 + ^{12}C_3$।
आवश्यक त्रिभुजों की संख्या = कुल त्रिभुज - मूल बिंदु पर परिकेंद्र वाले त्रिभुज।
आवश्यक संख्या = $^{24}C_3 - (^4C_3 + ^8C_3 + ^{12}C_3) = 2024 - (4 + 56 + 220) = 2024 - 280 = 1744$.

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 16x$ है,इसलिए $4a = 16$,जिससे $a = 4$ प्राप्त होता है। नाभि $(4, 0)$ है।
$(4, 0)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली नाभीय जीवा का समीकरण $y - 0 = m(x - 4)$ या $mx - y - 4m = 0$ है।
यह रेखा वृत्त $(x - 6)^2 + y^2 = 2$ की स्पर्श रेखा है,जिसका केंद्र $(6, 0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ है।
केंद्र $(6, 0)$ से रेखा $mx - y - 4m = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{2}$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{|m(6) - 0 - 4m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{2}$.
$\frac{|2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{4m^2}{m^2 + 1} = 2$.
$4m^2 = 2m^2 + 2$.
$2m^2 = 2$,इसलिए $m^2 = 1$,जिससे $m = \pm 1$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 2 = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4$ प्राप्त होता है।
माना $x - 1 = 2 \cos \theta$ और $y - 1 = 2 \sin \theta$ है।
इन मानों को व्यंजक $E = \frac{8}{(x - 1)^2} - \frac{(y - 1)^2}{4}$ में रखने पर:
$E = \frac{8}{4 \cos^2 \theta} - \frac{4 \sin^2 \theta}{4} = 2 \sec^2 \theta - \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है।
चूंकि $(x - 1)^2 = 4 - (y - 1)^2$,इसलिए $u = (y - 1)^2$ लेने पर,जहाँ $0 \le u \le 4$ है।
अतः $E = \frac{8}{4 - u} - \frac{u}{4}$ है।
$u = 0$ रखने पर,$E = 2$ प्राप्त होता है।
अतः न्यूनतम मान $2$ है।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 - 8x - 6y + 9 = 0$ है।
केंद्र $(4, 3)$ है और त्रिज्या $r = 4$ है।
माना $m = \frac{y}{x}$,जिससे $y = mx$ या $mx - y = 0$ प्राप्त होता है।
रेखा $mx - y = 0$ के वृत्त को प्रतिच्छेद करने के लिए,केंद्र $(4, 3)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $4$ के बराबर या उससे कम होनी चाहिए।
$\frac{|4m - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} \le 4$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(4m - 3)^2 \le 16(m^2 + 1)$.
$16m^2 - 24m + 9 \le 16m^2 + 16$.
$-24m \le 7$,जिससे $m \ge -\frac{7}{24}$ प्राप्त होता है।
अतः,$m$ का परिसर $[ -\frac{7}{24}, \infty )$ है।

(D) $S_1 : x^2 + y^2 + 24x - 10y + a = 0$. केंद्र $C_1 = (-12, 5)$,त्रिज्या $r_1 = \sqrt{169 - a}$.
$S_2 : x^2 + y^2 = 36$. केंद्र $C_2 = (0, 0)$,त्रिज्या $r_2 = 6$.
$(1)$ वास्तविक वृत्त के लिए,$169 - a \ge 0 \Rightarrow a \le 169$. $a$ गैर-ऋणात्मक है,अतः कुल $170$ मान हैं। कथन $A$ सही है।
$(2)$ कोई उभयनिष्ठ बिंदु न होने के लिए,$C_1C_2 > r_1 + r_2$ या $C_1C_2 < |r_1 - r_2|$। $C_1C_2 = 13$। गणना करने पर $a > 120$ प्राप्त होता है,जो $49$ से अधिक मान देता है। कथन $B$ सही है।
$(3)$ लंबकोणीय प्रतिच्छेदन के लिए,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2 \Rightarrow a = 36$। कथन $C$ सही है।
$(4)$ यदि $a = 0$ है,तो $r_1 = 13$ और $C_1C_2 = 13$। वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं,इसलिए उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $2$ है। कथन $D$ गलत है।

(D) $P(2, 8)$ के वृत्त $x^2 + y^2 - 2x + 4y - p = 0$ का आंतरिक बिंदु होने के लिए,बिंदु की शक्ति ऋणात्मक होनी चाहिए:
$2^2 + 8^2 - 2(2) + 4(8) - p < 0$
$4 + 64 - 4 + 32 - p < 0$
$96 - p < 0 \Rightarrow p > 96$ .........$(1)$
वृत्त के $x$-अक्ष को न काटने या स्पर्श न करने के लिए,$x$-अंतःखंड काल्पनिक होना चाहिए:
केंद्र $(1, -2)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{5 + p}$ है।
$x$-अक्ष के साथ कोई प्रतिच्छेदन न होने के लिए,$|y_{center}| > r$ $\Rightarrow |-2| > \sqrt{5 + p}$ $\Rightarrow 4 > 5 + p$ $\Rightarrow p < -1$ .........$(2)$
$y$-अक्ष के साथ कोई प्रतिच्छेदन न होने के लिए,$|x_{center}| > r$ $\Rightarrow |1| > \sqrt{5 + p}$ $\Rightarrow 1 > 5 + p$ $\Rightarrow p < -4$ .........$(3)$
$(1), (2),$ और $(3)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,$p > 96$ और $p < -4$ प्राप्त होता है,जो असंभव है।
अतः,$p$ के लिए समुच्चय $\phi$ है।

(C) वृत्त का समीकरण $(x+2)^2 + (y+8)^2 = 4$ है,जिसका केंद्र $C(-2, -8)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
परवलय $y^2 = 8x$ के लिए $a = 2$ है।
परवलय के अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 4t + 2t^3$ है। यह केंद्र $(-2, -8)$ से गुजरता है,जिससे $t^3 + 3t + 4 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका हल $t = -1$ है।
परवलय पर बिंदु $(2, -4)$ है।
केंद्र $C(-2, -8)$ और बिंदु $(2, -4)$ के बीच की दूरी $4\sqrt{2}$ है।
अतः,न्यूनतम दूरी $4\sqrt{2} - 2$ है।

(D) मान लीजिए वृत्त $S=0$ का केंद्र $(h, r)$ और त्रिज्या $r$ है। चूँकि यह $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसका केंद्र $(h, r)$ है।
दिए गए वृत्त $C_1: x^2 + y^2 = 20^2$ (केंद्र $O_1(0,0)$,त्रिज्या $R_1=20$) और $C_2: (x-5)^2 + (y-12)^2 = 7^2$ (केंद्र $O_2(5,12)$,त्रिज्या $R_2=7$) हैं।
चूँकि $S$,$C_1$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,केंद्रों के बीच की दूरी $O_1C = R_1 + r$ $\Rightarrow \sqrt{h^2 + r^2} = 20 + r$ $\Rightarrow h^2 = 400 + 40r$ है।
चूँकि $S$,$C_2$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,केंद्रों के बीच की दूरी $O_2C = R_2 + r \Rightarrow \sqrt{(h-5)^2 + (r-12)^2} = 7 + r$ है।
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $r = 240$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई रेखा $ax + by + c = 0$ जहाँ $a, b, c$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $a + c = 2b$,जिसका अर्थ है $a - 2b + c = 0$.
इसे $a(1) + b(-2) + c(1) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जिसका अर्थ है कि रेखा हमेशा निश्चित बिंदु $(1, -2)$ से गुजरती है।
चूंकि रेखा वृत्त $(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = \gamma$ के अभिलंब है,इसलिए वृत्त का केंद्र $(\alpha, \beta)$ $(1, -2)$ होना चाहिए।
अतः,वृत्त का समीकरण $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = \gamma$ है,जो $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 - \gamma = 0$ में सरल होता है।
यह वृत्त $x^2 + y^2 - 4x - 4y - 1 = 0$ के लंबकोणीय है।
लंबकोणीयता की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ का उपयोग करने पर:
$2(-1)(-2) + 2(2)(-2) = (5 - \gamma) + (-1)$.
$4 - 8 = 4 - \gamma$.
$-4 = 4 - \gamma \Rightarrow \gamma = 8$.
अंत में,$\alpha + \beta + \gamma = 1 + (-2) + 8 = 7$.

(A) परवलय $y = x^2$ के बिंदु $P(1, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए,अवकलन करने पर $\frac{dy}{dx} = 2x$ प्राप्त होता है। $x = 1$ पर ढाल $m = 2$ है। स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 1 = 2(x - 1)$ है,जो $2x - y - 1 = 0$ में सरल होता है।
रेखा $2x - y - 1 = 0$ को $(1, 1)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्त का समीकरण:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 + \lambda(2x - y - 1) = 0 \quad (i)$
चूंकि वृत्त बिंदु $Q(2, 2)$ से गुजरता है,मान रखने पर:
$(2 - 1)^2 + (2 - 1)^2 + \lambda(2(2) - 2 - 1) = 0$
$1 + 1 + \lambda(1) = 0$
$\lambda = -2$
$\lambda = -2$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 - 2(2x - y - 1) = 0$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 - 4x + 2y + 2 = 0$
$x^2 + y^2 - 6x + 4 = 0$

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 16x$ है,इसलिए $4a = 16$,जिससे $a = 4$ प्राप्त होता है। नाभि $(4, 0)$ है।
$(4, 0)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली नाभि जीवा का समीकरण $y - 0 = m(x - 4)$ या $mx - y - 4m = 0$ है।
यह रेखा वृत्त $(x - 6)^2 + y^2 = 2$ की स्पर्श रेखा है,जिसका केंद्र $(6, 0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ है।
केंद्र $(6, 0)$ से रेखा $mx - y - 4m = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{2}$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|m(6) - 0 - 4m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{2}$
$\frac{|2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{4m^2}{m^2 + 1} = 2$
$4m^2 = 2m^2 + 2$
$2m^2 = 2$
$m^2 = 1$
$m = \pm 1$.

(D) दिए गए वक्र $C_1 : y^2 = 2x$ और $C_2 : x^2 + y^2 - 3x + 2 = 0$ हैं।
$C_2$ के समीकरण में $y^2 = 2x$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + 2x - 3x + 2 = 0$
$x^2 - x + 2 = 0$।
इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D = (-1)^2 - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7$ है।
चूंकि $D < 0$,इसलिए $x$ का कोई वास्तविक मान समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
अतः,वक्र $C_1$ और $C_2$ न तो एक-दूसरे को प्रतिच्छेद करते हैं और न ही स्पर्श करते हैं।

(B) वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के सापेक्ष बिंदु $P(x_1, y_1)$ की शक्ति (power) $PA \cdot PB = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए वृत्त $x^2 + y^2 - 9 = 0$ और बिंदु $P(4, 7)$ के लिए:
$PA \cdot PB = (4)^2 + (7)^2 - 9$
$PA \cdot PB = 16 + 49 - 9$
$PA \cdot PB = 65 - 9 = 56$.

(D) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x - 10y + p = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 34 - p$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(3, 5)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{34 - p}$ है।
वृत्त द्वारा $x$-अक्ष को स्पर्श या प्रतिच्छेद न करने के लिए,त्रिज्या केंद्र के $y$-निर्देशांक से कम होनी चाहिए: $r < 5 \implies \sqrt{34 - p} < 5 \implies 34 - p < 25 \implies p > 9$.
वृत्त द्वारा $y$-अक्ष को स्पर्श या प्रतिच्छेद न करने के लिए,त्रिज्या केंद्र के $x$-निर्देशांक से कम होनी चाहिए: $r < 3 \implies \sqrt{34 - p} < 3 \implies 34 - p < 9 \implies p > 25$.
यदि बिंदु $(1, 4)$ वृत्त के अंदर स्थित है,तो केंद्र $(3, 5)$ से इसकी दूरी त्रिज्या से कम होनी चाहिए: $\sqrt{(3 - 1)^2 + (5 - 4)^2} < r \implies \sqrt{2^2 + 1^2} < \sqrt{34 - p} \implies \sqrt{5} < \sqrt{34 - p} \implies 5 < 34 - p \implies p < 29$.
सभी शर्तों को संयोजित करने पर,$p > 25$ और $p < 29$,अतः $p \in (25, 29)$।

(C) वृत्तों के केंद्र $C_1(1, 1)$ और $C_2(9, 1)$ हैं।
उनकी त्रिज्याएँ $r_1 = 1$ और $r_2 = 2$ हैं।
रेखा $3x + 4y - \lambda = 0$ के विपरीत पक्षों पर वृत्त होने के लिए,केंद्रों पर व्यंजक $f(x, y) = 3x + 4y - \lambda$ के मानों के चिह्न विपरीत होने चाहिए और रेखा को वृत्तों को प्रतिच्छेद नहीं करना चाहिए।
$(7 - \lambda)(31 - \lambda) < 0 \implies \lambda \in (7, 31)$.
केंद्र से रेखा की दूरी त्रिज्या से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए:
$\frac{|7 - \lambda|}{5} \ge 1 \implies \lambda \le 2$ या $\lambda \ge 12$.
$\frac{|31 - \lambda|}{5} \ge 2 \implies \lambda \le 21$ या $\lambda \ge 41$.
इन शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर,$\lambda \in [12, 21]$ प्राप्त होता है।

(B) परवलय $y^2 = 4x$ के बिंदु $(1, 2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $2y = 4\left(\frac{x + 1}{2}\right)$ है,जो $y = x + 1$ में सरल हो जाता है।
$(1, 2)$ पर अभिलंब की प्रवणता $-1$ है और यह $(1, 2)$ से गुजरता है,इसलिए इसका समीकरण $y - 2 = -1(x - 1)$ है,जो $y = -x + 3$ है।
माना वृत्त का केंद्र $C(h, k)$ है। वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r = |k|$ है। केंद्र अभिलंब पर स्थित है,इसलिए $k = -h + 3$,अर्थात $h = 3 - k$ है। अतः केंद्र $C(3 - r, r)$ है।
केंद्र $C(3 - r, r)$ से बिंदु $P(1, 2)$ की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए:
$PC^2 = r^2$
$(3 - r - 1)^2 + (r - 2)^2 = r^2$
$2(r - 2)^2 = r^2$
$r^2 - 8r + 8 = 0$
द्विघाती सूत्र का उपयोग करने पर,$r = 4 \pm 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
छोटे वृत्त के लिए,$r = 4 - 2\sqrt{2}$ लेते हैं।
क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \pi (4 - 2\sqrt{2})^2 = 8\pi (3 - 2\sqrt{2})$.

(B) परवलय $y^2 = 4ax$ के स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{a}{m}$ है। यहाँ $4a = 4\sqrt{2}$ है,इसलिए $a = \sqrt{2}$ है। अतः स्पर्श रेखा $y = mx + \frac{\sqrt{2}}{m}$ है।
इस रेखा को $mx - y + \frac{\sqrt{2}}{m} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ को भी स्पर्श करती है,इसलिए केंद्र $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r = 1$ के बराबर होनी चाहिए।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\left| \frac{\frac{\sqrt{2}}{m}}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} \right| = 1$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{2}{m^2(m^2 + 1)} = 1 \Rightarrow m^4 + m^2 - 2 = 0$.
$t = m^2$ लेने पर,$t^2 + t - 2 = 0 \Rightarrow (t + 2)(t - 1) = 0$। चूँकि $m^2 > 0$,इसलिए $m^2 = 1$,यानी $m = \pm 1$ है।
$m = 1$ रखने पर: $y = x + \sqrt{2} \Rightarrow x - y + \sqrt{2} = 0$। $ax + y = c$ से तुलना करने पर $a = -1$ और $c = -\sqrt{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $|c| = \sqrt{2}$।
$m = -1$ रखने पर: $y = -x - \sqrt{2} \Rightarrow x + y = -\sqrt{2}$। $ax + y = c$ से तुलना करने पर $a = 1$ और $c = -\sqrt{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $|c| = \sqrt{2}$।

(N/A) दिए गए वक्र $C_1: y^{2}=4x$ और $C_2: x^{2}+y^{2}-6x+1=0$ हैं।
सबसे पहले,हम जांचते हैं कि क्या बिंदु $(1,2)$ दोनों वक्रों पर स्थित है:
$C_1$ के लिए: $(2)^{2} = 4(1) \implies 4 = 4$ (सत्य)।
$C_2$ के लिए: $(1)^{2} + (2)^{2} - 6(1) + 1 = 1 + 4 - 6 + 1 = 0$ (सत्य)।
अब,हम दोनों समीकरणों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करके $(1,2)$ पर स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करते हैं।
$C_1$ के लिए: $2y \frac{dy}{dx} = 4 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$।
$(1,2)$ पर,$m_1 = \frac{2}{2} = 1$।
$C_2$ के लिए: $2x + 2y \frac{dy}{dx} - 6 = 0 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{6-2x}{2y} = \frac{3-x}{y}$।
$(1,2)$ पर,$m_2 = \frac{3-1}{2} = \frac{2}{2} = 1$।
चूंकि बिंदु $(1,2)$ पर दोनों वक्रों की स्पर्श रेखाओं की ढाल समान है $(m_1 = m_2 = 1)$,इसलिए वक्र दिए गए बिंदु पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं।

(C) परवलय $y^{2}=4x$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y=mx+\frac{1}{m}$ है।
परवलय $x^{2}=4y$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y=mx-m^{2}$ है।
उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा के लिए,अंतःखंडों की तुलना करने पर: $\frac{1}{m}=-m^{2}$,जिसका अर्थ है $m^{3}=-1$,अतः $m=-1$.
$m=-1$ को स्पर्शरेखा के समीकरण में रखने पर,हमें $y=-x-1$ या $x+y+1=0$ प्राप्त होता है।
यह रेखा वृत्त $x^{2}+y^{2}=c^{2}$ को स्पर्श करती है। केंद्र $(0,0)$ से रेखा $x+y+1=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $c$ के बराबर होनी चाहिए।
सूत्र $d=\frac{|ax_{0}+by_{0}+k|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ का उपयोग करने पर,$c=\frac{|0+0+1|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(B) परवलय का समीकरण $y=x^{2}$ है।
बिंदु $(2,4)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(2,4)} = 2x|_{x=2} = 4$ है।
$(2,4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $(y-4) = 4(x-2)$ अर्थात $4x-y-4=0$ है।
परवलय को $(2,4)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्तों का परिवार $(x-2)^{2} + (y-4)^{2} + \lambda(4x-y-4) = 0$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वृत्त $(0,1)$ से गुजरता है,$x=0$ और $y=1$ रखने पर:
$(0-2)^{2} + (1-4)^{2} + \lambda(4(0)-1-4) = 0$
$4 + 9 - 5\lambda = 0$ $\Rightarrow 13 = 5\lambda$ $\Rightarrow \lambda = \frac{13}{5}$.
$\lambda = \frac{13}{5}$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$x^{2} + y^{2} + \frac{32}{5}x - \frac{53}{5}y + \frac{48}{5} = 0$.
वृत्त $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ का केंद्र $(-g, -f)$ होता है।
यहाँ,$g = \frac{16}{5}$ और $f = -\frac{53}{10}$ है।
अतः,केंद्र $(-\frac{16}{5}, \frac{53}{10})$ है।

(D) वृत्त का समीकरण $4x^{2}+4y^{2}+120x+675=0$ है,जिसे $x^{2}+y^{2}+30x+\frac{675}{4}=0$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x+15)^{2}+y^{2} = 225 - \frac{675}{4} = \frac{225}{4}$।
अतः,केंद्र $(-15, 0)$ और त्रिज्या $R = \frac{15}{2}$ है।
बिंदु $(-30, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y = m(x+30)$ या $mx - y + 30m = 0$ है।
यह रेखा परवलय $y^{2}=30x$ की स्पर्श रेखा है। $y=mx+c$ के $y^{2}=4ax$ को स्पर्श करने की शर्त $c = \frac{a}{m}$ है।
यहाँ $4a=30 \Rightarrow a = \frac{15}{2}$ है। रेखा $y = mx + 30m$ है,इसलिए $c = 30m$ है।
अतः,$30m = \frac{15/2}{m}$ $\Rightarrow 60m^{2} = 15$ $\Rightarrow m^{2} = \frac{1}{4}$ $\Rightarrow m = \pm \frac{1}{2}$।
$m = \frac{1}{2}$ लेने पर,रेखा $x - 2y + 30 = 0$ प्राप्त होती है।
केंद्र $(-15, 0)$ से रेखा $x - 2y + 30 = 0$ की लंबवत दूरी $P$:
$P = \frac{|-15 - 2(0) + 30|}{\sqrt{1^{2} + (-2)^{2}}} = \frac{15}{\sqrt{5}} = 3\sqrt{5}$।
जीवा की लंबाई $2\sqrt{R^{2}-P^{2}} = 2\sqrt{(\frac{15}{2})^{2} - (3\sqrt{5})^{2}} = 2\sqrt{\frac{225}{4} - 45} = 2\sqrt{\frac{45}{4}} = 3\sqrt{5}$।

(C) रेखा $3x + 4y - \alpha = 0$ दो वृत्तों के बीच स्थित है यदि केंद्र $(1, 1)$ और $(9, 1)$ रेखा के विपरीत पक्षों पर स्थित हों।
केंद्रों को रेखा के समीकरण में रखने पर: $f(1, 1) = 7 - \alpha$ और $f(9, 1) = 31 - \alpha$.
विपरीत पक्षों के लिए,$(7 - \alpha)(31 - \alpha) < 0$,जिससे $\alpha \in (7, 31)$ प्राप्त होता है।
साथ ही,रेखा किसी भी वृत्त को नहीं काटती है,इसलिए केंद्र से रेखा की दूरी त्रिज्या से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए।
वृत्त $1$ के लिए: $\frac{|7 - \alpha|}{5} \geq 1 \Rightarrow \alpha \leq 2$ या $\alpha \geq 12$.
वृत्त $2$ के लिए: $\frac{|31 - \alpha|}{5} \geq 2 \Rightarrow \alpha \leq 21$ या $\alpha \geq 41$.
शर्तों को संयोजित करने पर: $\alpha \in [12, 21]$.
$\alpha$ के पूर्णांक मान $12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21$ हैं।
योग $= 165$.

(B) वक्रों $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$ और $x^{2}+y^{2}=3$ का प्रथम चतुर्थांश में प्रतिच्छेदन बिंदु $P(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ है।
दीर्घवृत्त के लिए स्पर्श रेखा की ढाल $m_{1} = -\frac{x}{9y} = -\frac{3/2}{9(\sqrt{3}/2)} = -\frac{1}{3\sqrt{3}}$.
वृत्त के लिए स्पर्श रेखा की ढाल $m_{2} = -\frac{x}{y} = -\frac{3/2}{\sqrt{3}/2} = -\sqrt{3}$.
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\tan \theta = |\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}| = |\frac{-1/(3\sqrt{3}) + \sqrt{3}}{1 + 1/3}| = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(A) परवलय का समीकरण $y^{2}=-64x$ है। $y^{2}=-4ax$ से तुलना करने पर,$a=16$ प्राप्त होता है। नाभि $(-16, 0)$ है।
चूंकि $y=mx+c$ एक नाभीय जीवा है,यह $(-16, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $0 = m(-16) + c$,जिससे $c=16m$ प्राप्त होता है।
रेखा $y=mx+c$ वृत्त $(x+10)^{2}+y^{2}=4$ को स्पर्श करती है। वृत्त का केंद्र $(-10, 0)$ है और त्रिज्या $r=2$ है।
केंद्र $(-10, 0)$ से रेखा $mx-y+c=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r=2$ के बराबर है।
$\frac{|m(-10)-0+c|}{\sqrt{m^{2}+(-1)^{2}}} = 2$
$|c-10m| = 2\sqrt{m^{2}+1}$.
$c=16m$ प्रतिस्थापित करने पर,$|16m-10m| = 2\sqrt{m^{2}+1}$,इसलिए $|6m| = 2\sqrt{m^{2}+1}$.
चूंकि $m>0$,$3m = \sqrt{m^{2}+1}$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$9m^{2} = m^{2}+1$,इसलिए $8m^{2}=1$,जिससे $m=\frac{1}{2\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
तब $c = 16m = 16 \times \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}}$.
अंत में,$4\sqrt{2}(m+c) = 4\sqrt{2}(\frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{8}{\sqrt{2}}) = 4\sqrt{2}(\frac{1+16}{2\sqrt{2}}) = 2(17) = 34$.

(C) दिया गया वृत्त $x^{2} + y^{2} + 2x + 4y - 4 = 0$ है। इसका केंद्र $C$ $(-1, -2)$ है और त्रिज्या $R = 3$ है।
बिंदु $P(-4, 1)$ और केंद्र $C$ के बीच की दूरी $CP = 3 \sqrt{2}$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r$,केंद्र $O$ (जो वृत्त $C$ पर है) और बिंदु $P$ के बीच की दूरी है।
न्यूनतम त्रिज्या $r_{2} = CP - R = 3 \sqrt{2} - 3$ और अधिकतम त्रिज्या $r_{1} = CP + R = 3 \sqrt{2} + 3$ है।
$\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{3 \sqrt{2} + 3}{3 \sqrt{2} - 3} = 3 + 2 \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः $a = 3$ और $b = 2$ है।
इसलिए $a + b = 3 + 2 = 5$।