$P$ प्रथम चतुर्थांश में एक बिंदु $(a, b)$ है। यदि $P$ से गुजरने वाले और दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करने वाले दो वृत्त एक-दूसरे को समकोण पर काटते हैं,तो:

वृत्त $x^{2}+y^{2}=2$ और परवलय $y^{2}=8x$ की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण $x+y=k$ है। तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि रेखाओं $L_1 \equiv x+y=0$,$L_2 \equiv 2x+y-1=0$,और $L_3 \equiv x-3y+2=0$ द्वारा निर्मित त्रिभुज के परिवृत्त का समीकरण $\lambda_1 L_1 L_2 + \lambda_2 L_2 L_3 + \lambda_3 L_3 L_1 = 0$ है,तो $\frac{7 \lambda_1}{\lambda_2} + \frac{\lambda_3}{\lambda_1}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक चर रेखा,$3x + 4y - \lambda = 0$,इस प्रकार है कि दो वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ और $x^2 + y^2 - 18x - 2y + 78 = 0$ इसकी विपरीत दिशाओं में स्थित हैं,तो $\lambda$ के सभी मानों का समुच्चय कौन सा अंतराल है?

विभिन्न वास्तविक शून्येतर संख्याओं $x_1, x_2, x_3$ और $x_4$ के लिए,मान लीजिए कि बिंदु $(x_1, \frac{1}{x_1}), (x_2, \frac{1}{x_2}), (x_3, \frac{1}{x_3})$ और $(x_4, \frac{1}{x_4})$ त्रिज्या $4$ वाले एक वृत्त की परिधि पर स्थित हैं। तो,$x_1 x_2 x_3 x_4$ का मान है

बिंदु $(0,1)$ से गुजरने वाले और परवलय $y=x^{2}$ को बिंदु $(2,4)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए।