वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ पर स्थित एक बिंदु से वृत्त $x^2 + y^2 = b^2$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा,वृत्त $x^2 + y^2 = c^2$ को स्पर्श करती है,तो $a, b, c$ किसमें हैं?

मान लीजिए $L_1$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है और $L_2$ सीधी रेखा $x + y = 1$ है। यदि वृत्त $x^2 + y^2 - x + 3y = 0$ द्वारा $L_1$ और $L_2$ पर बनाए गए अंतःखंड समान हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा समीकरण $L_1$ का प्रतिनिधित्व कर सकता है?

मान लीजिए $P$ परवलय $y^2=4x$ पर स्थित वह बिंदु है जो वृत्त $x^2+y^2-4x-16y+64=0$ के केंद्र $S$ से न्यूनतम दूरी पर है। मान लीजिए $Q$ वृत्त पर स्थित वह बिंदु है जो रेखाखंड $SP$ को आंतरिक रूप से विभाजित करता है। तो
$(A)$ $SP=2\sqrt{5}$
$(B)$ $SQ:QP=(\sqrt{5}+1):2$
$(C)$ $P$ पर परवलय के अभिलंब का $x$-अंतःखंड $6$ है
$(D)$ $Q$ पर वृत्त की स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{1}{2}$ है

यदि रेखा $lx + my = 1$ का वह भाग जो वृत्त ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ के अंदर आता है,मूल बिंदु पर $45^\circ$ का कोण अंतरित करता है,तो

मान लीजिए $M = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : x^2 + y^2 \leq r^2\}$,जहाँ $r > 0$ है। गुणोत्तर श्रेणी $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$,$n = 1, 2, 3, \ldots$ पर विचार करें। मान लीजिए $S_0 = 0$ है और,$n \geq 1$ के लिए,$S_n$ इस श्रेणी के पहले $n$ पदों का योग दर्शाता है। $n \geq 1$ के लिए,$C_n$ उस वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(S_{n-1}, 0)$ और त्रिज्या $a_n$ है,और $D_n$ उस वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $(S_{n-1}, S_{n-1})$ और त्रिज्या $a_n$ है।
$(1)$ $r = \frac{1025}{513}$ के साथ $M$ पर विचार करें। मान लीजिए $k$ उन सभी वृत्तों $C_n$ की संख्या है जो $M$ के अंदर हैं। मान लीजिए $l$ इन $k$ वृत्तों में से उन वृत्तों की अधिकतम संभव संख्या है ताकि कोई भी दो वृत्त एक-दूसरे को न काटें। तब
$(A)$ $k + 2l = 22$ $(B)$ $2k + l = 26$ $(C)$ $2k + 3l = 34$ $(D)$ $3k + 2l = 40$
$(2)$ $r = \frac{(2^{199}-1)\sqrt{2}}{2^{198}}$ के साथ $M$ पर विचार करें। $M$ के अंदर स्थित उन सभी वृत्तों $D_n$ की संख्या है
$(A)$ $198$ $(B)$ $199$ $(C)$ $200$ $(D)$ $201$

एक चर वृत्त स्थिर बिंदु $A(p, q)$ से होकर गुजरता है और $x$-अक्ष को स्पर्श करता है। $A$ से होकर जाने वाले व्यास के दूसरे सिरे का बिंदुपथ है