Mix Examples-Circle and System of Circles Questions in Hindi

(C) दी गई रेखाएँ $L_1: 3x - 4y + 1 = 0$ और $L_2: 4x + 3y - 7 = 0$ हैं। ये रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं। कोण समद्विभाजकों के समीकरण प्राप्त करके और यह सत्यापित करने पर कि वृत्त $(2, 3)$ से गुजरता है,विकल्प $(a)$ और $(b)$ दोनों सही हैं।

(C) बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S = 0$ पर स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$S = x^2 + y^2 + 20(x + y) + 20$ और बिंदु $(0, 0)$ है।
$S_1$ का मान $(0, 0)$ पर $20$ है।
$T$ का समीकरण $10(x + y + 2)$ है।
$SS_1 = T^2$ का उपयोग करने पर,$20(x^2 + y^2 + 20x + 20y + 20) = [10(x + y + 2)]^2$.
इसे सरल करने पर,$20(x^2 + y^2 + 20x + 20y + 20) = 100(x^2 + y^2 + 2xy + 4x + 4y + 4)$.
$x^2 + y^2 + 20x + 20y + 20 = 5x^2 + 5y^2 + 10xy + 20x + 20y + 20$.
$4x^2 + 4y^2 + 10xy = 0$.
$2$ से विभाजित करने पर,$2x^2 + 2y^2 + 5xy = 0$ प्राप्त होता है।

(C) बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ द्वारा दी जाती है।
बिंदु $(f, g)$ और वृत्त $x^2 + y^2 - 6 = 0$ के लिए,स्पर्श रेखा की लंबाई $L_1 = \sqrt{f^2 + g^2 - 6}$ है।
बिंदु $(f, g)$ और वृत्त $x^2 + y^2 + 3x + 3y = 0$ के लिए,स्पर्श रेखा की लंबाई $L_2 = \sqrt{f^2 + g^2 + 3f + 3g}$ है।
दिया गया अनुपात $L_1 : L_2 = 2 : 1$ है,इसलिए $\frac{L_1}{L_2} = 2$,जिसका अर्थ है $\frac{L_1^2}{L_2^2} = 4$।
मान रखने पर: $\frac{f^2 + g^2 - 6}{f^2 + g^2 + 3f + 3g} = 4$।
$f^2 + g^2 - 6 = 4(f^2 + g^2 + 3f + 3g)$।
$f^2 + g^2 - 6 = 4f^2 + 4g^2 + 12f + 12g$।
$3f^2 + 3g^2 + 12f + 12g + 6 = 0$।
$3$ से विभाजित करने पर,हमें $f^2 + g^2 + 4f + 4g + 2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) $(1, 2)$ और $(3, 4)$ को व्यास के अंत बिंदुओं के रूप में लेने पर वृत्त का समीकरण $(x - 1)(x - 3) + (y - 2)(y - 4) = 0$ है।
इन बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $x - y + 1 = 0$ है।
वृत्तों का परिवार $(x^2 + y^2 - 4x - 6y + 11) + \lambda(x - y + 1) = 0$ है।
यह वृत्त $3x + y - 3 = 0$ को स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होती है।
गणना करने पर $\lambda$ के मान प्राप्त होते हैं,जिससे अचर पद $7$ और $12$ प्राप्त होते हैं।

(B) रेखा $\lambda x - y + 1 = 0$ के निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $(-\frac{1}{\lambda}, 0)$ और $(0, 1)$ हैं।
रेखा $x - 2y + 3 = 0$ के निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $(-3, 0)$ और $(0, \frac{3}{2})$ हैं।
चूँकि वृत्त इन चार बिंदुओं से होकर गुजरता है,यह $(0, 1), (-3, 0)$ और $(0, \frac{3}{2})$ से होकर गुजरता है।
वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
$(0, 1)$ रखने पर,$1 + 2f + c = 0$ प्राप्त होता है।
$(0, \frac{3}{2})$ रखने पर,$\frac{9}{4} + 3f + c = 0$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों को घटाने पर: $f = -\frac{5}{4}$ और $c = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
$(-3, 0)$ रखने पर,$9 - 6g + \frac{3}{2} = 0 \Rightarrow g = \frac{7}{4}$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + \frac{7}{2}x - \frac{5}{2}y + \frac{3}{2} = 0$ है।
चूँकि यह $(-\frac{1}{\lambda}, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $\frac{1}{\lambda^2} - \frac{7}{2\lambda} + \frac{3}{2} = 0$ प्राप्त होता है।
$3\lambda^2 - 7\lambda + 2 = 0$ को हल करने पर,$\lambda = 2$ या $\lambda = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है। विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $2$ है।

(C) रेखा $ax + by = 0$ वृत्त ${x^2} + {y^2} + 2x + 4y = 0$ को स्पर्श करती है। वृत्त का केंद्र $(-1, -2)$ है और त्रिज्या $\sqrt{5}$ है।
केंद्र $(-1, -2)$ से रेखा $ax + by = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर है:
$\left| \frac{-a - 2b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right| = \sqrt{5}$
$(a + 2b)^2 = 5(a^2 + b^2)$
$4a^2 - 4ab + b^2 = 0$
$(2a - b)^2 = 0 \Rightarrow b = 2a$.
आगे,रेखा $ax + by = 0$ वृत्त ${x^2} + {y^2} - 4x + 2y - 3 = 0$ का अभिलंब है। इसलिए,इस वृत्त का केंद्र $(2, -1)$ रेखा पर स्थित होना चाहिए:
$2a - b = 0 \Rightarrow b = 2a$.
अतः,$a = 1$ लेने पर $b = 2$ प्राप्त होता है। इसलिए,$(a, b) = (1, 2)$।

(B) मान लीजिए कि वर्ग के शीर्ष $A(0, 0)$,$B(a, 0)$,$C(a, a)$,और $D(0, a)$ हैं।
चूंकि वृत्त इन चार बिंदुओं से होकर गुजरता है,इसलिए यह वृत्त के सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ को संतुष्ट करता है।
$A(0, 0)$ रखने पर,हमें $c = 0$ प्राप्त होता है।
$B(a, 0)$ रखने पर,हमें $a^2 + 2ga = 0 \Rightarrow g = -a/2$ प्राप्त होता है।
$D(0, a)$ रखने पर,हमें $a^2 + 2fa = 0 \Rightarrow f = -a/2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को सामान्य समीकरण में रखने पर,हमें $x^2 + y^2 - ax - ay = 0$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,वृत्त का व्यास $AC$ है जिसके अंतिम बिंदु $(0, 0)$ और $(a, a)$ हैं। समीकरण $(x-0)(x-a) + (y-0)(y-a) = 0$ है,जो सरल होकर $x^2 - ax + y^2 - ay = 0$ या $x^2 + y^2 - ax - ay = 0$ हो जाता है।

(A) $A(1, 0)$ और $B(3, 4)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - 0 = \frac{4 - 0}{3 - 1}(x - 1)$ है,जो $y = 2x - 2$ के रूप में सरल होता है।
वृत्त के समीकरण ${x^2} + {y^2} = 4$ में $y = 2x - 2$ रखने पर:
${x^2} + {(2x - 2)^2} = 4$
${x^2} + 4{x^2} - 8x + 4 = 4$
$5{x^2} - 8x = 0$
$x(5x - 8) = 0$,अतः $x = 0$ या $x = \frac{8}{5}$.
$x = 0$ के लिए,$y = 2(0) - 2 = -2$. अतः,$Q = (0, -2)$.
$x = \frac{8}{5}$ के लिए,$y = 2(\frac{8}{5}) - 2 = \frac{6}{5}$. अतः,$P = (\frac{8}{5}, \frac{6}{5})$.
अब,दूरी सूत्र का उपयोग करके अनुपात ज्ञात करते हैं।
$PA = \sqrt{(1.6 - 1)^2 + (1.2 - 0)^2} = \sqrt{0.6^2 + 1.2^2} = \sqrt{1.8} = \frac{3}{\sqrt{5}}$.
$BP = \sqrt{(3 - 1.6)^2 + (4 - 1.2)^2} = \sqrt{1.4^2 + 2.8^2} = \sqrt{9.8} = \frac{7}{\sqrt{5}}$.
$\alpha = \frac{BP}{PA} = \frac{7/\sqrt{5}}{3/\sqrt{5}} = \frac{7}{3}$.
$QA = \sqrt{(1 - 0)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{5}$.
$BQ = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
चूंकि $Q$,$AB$ को बाह्य रूप से विभाजित करता है,$\beta = \frac{BQ}{QA} = \frac{3\sqrt{5}}{-\sqrt{5}} = -3$.
$\alpha = \frac{7}{3}$ और $\beta = -3$ मूलों वाला द्विघात समीकरण:
${x^2} - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$
${x^2} - (\frac{7}{3} - 3)x + (\frac{7}{3})(-3) = 0$
${x^2} + \frac{2}{3}x - 7 = 0$
$3{x^2} + 2x - 21 = 0$.

(C) माना $p$ समबाहु त्रिभुज का शीर्षलंब है। तब $p = a \sin 60^{\circ} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ है।
चूंकि त्रिभुज समबाहु है,इसलिए केंद्रक,लंबकेंद्र,परिकेंद्र और अंतःकेंद्र सभी संपाती होते हैं।
अतः,अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{1}{3}p = \frac{1}{3} \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ है।
वृत्त का व्यास $D = 2r = \frac{a}{\sqrt{3}}$ है।
माना वृत्त में अंतःस्थापित वर्ग की भुजा की लंबाई $x$ है। वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है।
अतः,$x^2 + x^2 = D^2$,जिससे $2x^2 = D^2$ प्राप्त होता है।
$D = \frac{a}{\sqrt{3}}$ रखने पर,हमें $2x^2 = (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 = \frac{a^2}{3}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,वर्ग का क्षेत्रफल $x^2 = \frac{a^2}{6}$ है।

(D) मान लीजिए मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा $L_1$ का समीकरण $y = mx$ है।
वृत्त के समीकरण $x^2 + y^2 - x + 3y = 0$ में $y = mx$ रखने पर:
$x^2 + m^2x^2 - x + 3mx = 0$
$x[x(1 + m^2) - (1 - 3m)] = 0$
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(\frac{1 - 3m}{1 + m^2}, \frac{m(1 - 3m)}{1 + m^2})$ हैं।
अंतःखंड की लंबाई $I_1 = \frac{|1 - 3m|}{\sqrt{1 + m^2}}$ है।
रेखा $L_2: x + y = 1$ के लिए,$y = 1 - x$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$2x^2 - 6x + 4 = 0 \Rightarrow x^2 - 3x + 2 = 0$.
हल $x = 1, 2$ हैं,जिससे $y = 0, -1$ प्राप्त होता है।
अंतःखंड की लंबाई $I_2 = \sqrt{(1 - 2)^2 + (0 - (-1))^2} = \sqrt{2}$ है।
$I_1^2 = I_2^2$ रखने पर: $\frac{(1 - 3m)^2}{1 + m^2} = 2$.
$7m^2 - 6m - 1 = 0 \Rightarrow (7m + 1)(m - 1) = 0$.
अतः $m = 1$ या $m = -1/7$.
इस प्रकार,रेखाएँ $x - y = 0$ और $x + 7y = 0$ हैं।

(C) मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $x\sqrt{5} + 2y - 3\sqrt{5} = 0$ पर डाले गए लंब की लंबाई:
$OL = \frac{|0(\sqrt{5}) + 2(0) - 3\sqrt{5}|}{\sqrt{(\sqrt{5})^2 + 2^2}} = \frac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5 + 4}} = \frac{3\sqrt{5}}{3} = \sqrt{5}$.
वृत्त $x^2 + y^2 = 10$ की त्रिज्या $r = \sqrt{10}$ है। अतः,$OQ = OP = \sqrt{10}$.
समकोण त्रिभुज $\Delta OQL$ में,जीवा $PQ$ के आधे भाग $QL$ की लंबाई:
$QL = \sqrt{OQ^2 - OL^2} = \sqrt{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{5})^2} = \sqrt{10 - 5} = \sqrt{5}$.
जीवा $PQ$ की कुल लंबाई $2 \times QL = 2\sqrt{5}$ है।
$\Delta OPQ$ का क्षेत्रफल:
$\text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times PQ \times OL = \frac{1}{2} \times (2\sqrt{5}) \times \sqrt{5} = \sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5$.

(B) माना अभीष्ट वृत्त $S_2$ का केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ है।
चूंकि यह $(0, 0)$ और $(1, 0)$ से गुजरता है,केंद्र $(h, k) = (\frac{1}{2}, k)$ होगा।
त्रिज्या $r^2 = (\frac{1}{2})^2 + k^2 = \frac{1}{4} + k^2$ है।
वृत्त $S_2$,$x^2 + y^2 = 9$ (केंद्र $(0, 0)$,त्रिज्या $R = 3$) को स्पर्श करता है।
आंतरिक स्पर्श के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी $d = R - r$ होती है।
$d^2 = (\frac{1}{2})^2 + k^2 = r^2$ है।
अतः $r^2 = (3 - r)^2 = 9 - 6r + r^2$,जिससे $6r = 9$ प्राप्त होता है,यानी $r = \frac{3}{2}$।
$r^2 = \frac{9}{4}$ को $r^2 = \frac{1}{4} + k^2$ में रखने पर,$\frac{9}{4} = \frac{1}{4} + k^2$,जिससे $k^2 = 2$,$k = \pm \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः केंद्र $\left( \frac{1}{2}, \pm \sqrt{2} \right)$ है। विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $\left( \frac{1}{2}, -\sqrt{2} \right)$ है।

(A) वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ के बिंदु $(a, b)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $ax + by = r^2$ है।
स्पर्श रेखा जहाँ निर्देशांक अक्षों को मिलती है,उन बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए,समीकरण को अंतःखंड रूप में लिखते हैं:
$\frac{ax}{r^2} + \frac{by}{r^2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{r^2/a} + \frac{y}{r^2/b} = 1$.
अतः,$A$ ($y$-अक्ष पर) और $B$ ($x$-अक्ष पर) के निर्देशांक क्रमशः $(0, r^2/b)$ और $(r^2/a, 0)$ हैं।
अंतःखंडों की लंबाई $OA = |r^2/b|$ और $OB = |r^2/a|$ है।
समकोण त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times \left|\frac{r^2}{a}\right| \times \left|\frac{r^2}{b}\right| = \frac{r^4}{2|ab|}$ है।
आरेख के अनुसार $a$ और $b$ को धनात्मक मानते हुए,क्षेत्रफल $\frac{r^4}{2ab}$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $A$ के निर्देशांक $(r, 0)$ और $B$ के $(0, r)$ हैं ताकि $\angle AOB = 90^\circ$ हो। मान लीजिए $P$ वृत्त पर एक बिंदु $(r \cos \theta, r \sin \theta)$ है।
$\Delta PAB$ का केंद्रक $G(\alpha, \beta)$ इस प्रकार है:
$\alpha = \frac{r \cos \theta + r + 0}{3} = \frac{r(\cos \theta + 1)}{3}$
$\beta = \frac{r \sin \theta + 0 + r}{3} = \frac{r(\sin \theta + 1)}{3}$
पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\cos \theta = \frac{3\alpha}{r} - 1$
$\sin \theta = \frac{3\beta}{r} - 1$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{3\alpha}{r} - 1\right)^2 + \left(\frac{3\beta}{r} - 1\right)^2 = 1$
$\left(\alpha - \frac{r}{3}\right)^2 + \left(\beta - \frac{r}{3}\right)^2 = \left(\frac{r}{3}\right)^2$
अतः,बिंदुपथ $(x - \frac{r}{3})^2 + (y - \frac{r}{3})^2 = (\frac{r}{3})^2$ है,जो एक वृत्त को दर्शाता है।

(B) माना $C$ वृत्त का केंद्र है और $T_1$ बिंदु $P$ से स्पर्श रेखा का स्पर्श बिंदु है। केंद्र $C$ $(-g, -f)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PT_1C$ में,$P$ पर कोण $\frac{\theta}{2}$ है।
अतः,$\cot \frac{\theta}{2} = \frac{PT_1}{CT_1}$।
यहाँ,$PT_1$ बिंदु $P$ से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई है,जो $\sqrt{S_1} = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ है।
$CT_1$ त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ है।
इसलिए,$\cot \frac{\theta}{2} = \frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{g^2 + f^2 - c}}$।

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है और इसकी त्रिज्या $r$ है। चूंकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r = |k|$ है।
चूंकि वृत्त ${x^2} + {(y - 1)^2} = 1$ (केंद्र $(0, 1)$,त्रिज्या $1$) को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर है:
$\sqrt {{{(h - 0)}^2} + {{(k - 1)}^2}} = 1 + |k|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
${h^2} + {(k - 1)^2} = {(1 + |k|)^2}$
${h^2} + {k^2} - 2k + 1 = 1 + 2|k| + {k^2}$
${h^2} = 2k + 2|k|$
स्थिति $1$: यदि $k > 0$ है,तो $|k| = k$,इसलिए ${h^2} = 2k + 2k = 4k$। अतः,$y > 0$ के लिए बिंदु पथ ${x^2} = 4y$ है।
स्थिति $2$: यदि $k < 0$ है,तो $|k| = -k$,इसलिए ${h^2} = 2k - 2k = 0$। अतः,$y < 0$ के लिए बिंदु पथ $x = 0$ है।
इस प्रकार,बिंदु पथ $\{ (x, y) : {x^2} = 4y, y > 0\} \cup \{ (0, y) : y < 0\}$ है।

(C) समीकरणों $x^2 + y^2 = 5$ और $y^2 = 4x$ को हल करने पर:
$y^2 = 4x$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर $x^2 + 4x - 5 = 0$ प्राप्त होता है।
गुणनखंड करने पर,$(x + 5)(x - 1) = 0$,अतः $x = 1$ या $x = -5$.
चूँकि $y^2 = 4x$,$x$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $x = 1$.
$x = 1$ के लिए,$y^2 = 4$,जिससे $y = \pm 2$ प्राप्त होता है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 2)$ और $(1, -2)$ हैं।
वृत्त $x^2 + y^2 = 5$ के लिए,अवकलन करने पर $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ प्राप्त होता है। $(1, 2)$ पर $m_1 = -\frac{1}{2}$.
परवलय $y^2 = 4x$ के लिए,अवकलन करने पर $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$ प्राप्त होता है। $(1, 2)$ पर $m_2 = 1$.
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$.
मान रखने पर: $\tan \theta = \left| \frac{-1/2 - 1}{1 + (-1/2)(1)} \right| = \left| \frac{-3/2}{1/2} \right| = 3$.

(D) प्रथम वक्र $4x^2 + py^2 = 45$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $8x + 2py(dy/dx) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $(dy/dx)_I = -4x/(py)$.
दूसरे वक्र $x^2 - 4y^2 = 5$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x - 8y(dy/dx) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $(dy/dx)_{II} = x/(4y)$.
चूंकि वक्र लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,उनके ढाल का गुणनफल $-1$ होगा: $(-4x/py) \times (x/4y) = -1$.
इसे सरल करने पर $x^2/(py^2) = 1$,या $x^2 = py^2$ प्राप्त होता है।
$x^2 = py^2$ को दूसरे समीकरण में रखने पर: $py^2 - 4y^2 = 5$,जिससे $y^2(p - 4) = 5$ प्राप्त होता है,अतः $y^2 = 5/(p - 4)$.
$x^2 = py^2$ को प्रथम समीकरण में रखने पर: $4(py^2) + py^2 = 45$,जिससे $5py^2 = 45$ प्राप्त होता है,अतः $py^2 = 9$.
चूंकि $y^2 = 9/p$,इसे $y^2 = 5/(p - 4)$ में रखने पर $9/p = 5/(p - 4)$ प्राप्त होता है।
$9(p - 4) = 5p \implies 9p - 36 = 5p \implies 4p = 36 \implies p = 9$.

(C) परवलय ${y^2 = 8x}$ के लिए,${4a = 8}$,जिससे ${a = 2}$ प्राप्त होता है।
परवलय का शीर्ष ${O(0, 0)}$ है।
नाभिलंब के सिरे ${L(a, 2a)}$ और ${L'(a, -2a)}$ हैं,अर्थात ${L(2, 4)}$ और ${L'(2, -4)}$।
माना वृत्त का समीकरण ${x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0}$ है।
चूंकि वृत्त ${O(0, 0)}$ से गुजरता है,इसलिए ${c = 0}$।
बिंदु ${L(2, 4)}$ को समीकरण में रखने पर: ${4 + 16 + 4g + 8f = 0 \implies g + 2f = -5}$।
बिंदु ${L'(2, -4)}$ को समीकरण में रखने पर: ${4 + 16 + 4g - 8f = 0 \implies g - 2f = -5}$।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: ${2g = -10 \implies g = -5}$ और ${f = 0}$।
अतः,वृत्त का समीकरण ${x^2 + y^2 - 10x = 0}$ है।

(C) दो वृत्त जिनकी त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं और केंद्रों के बीच की दूरी $d$ है,वे लंबकोणीय होते हैं यदि $d^2 = r_1^2 + r_2^2$ हो।
यहाँ $r_1 = r_2 = a$ और केंद्र $C_1(2, 3)$ तथा $C_2(5, 6)$ दिए गए हैं।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(5-2)^2 + (6-3)^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18}$ है।
अतः,$d^2 = 18$ है।
लंबकोणीयता की शर्त में मान रखने पर: $18 = a^2 + a^2$.
$18 = 2a^2$.
$a^2 = 9$.
$a = 3$ (चूंकि त्रिज्या धनात्मक होनी चाहिए)।

(C) वृत्त $x^2 + y^2 = \frac{5}{2}$ है,अतः त्रिज्या $r = \sqrt{\frac{5}{2}}$ है।
परवलय $y^2 = 4\sqrt{5}x$ के लिए $a = \sqrt{5}$ है।
परवलय की स्पर्शरेखा $y = mx + \frac{\sqrt{5}}{m}$ है।
वृत्त के केंद्र $(0,0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|\frac{\sqrt{5}}{m}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{\frac{5}{2}} \implies m^4 + m^2 - 2 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः कथन-$I$ सत्य है और कथन-$II$ असत्य है।

(C) वृत्त $S = 0$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ होता है।
यहाँ $S = x^2 + y^2 + 20(x + y) + 20 = 0$ है।
बिंदु मूल बिंदु $(0, 0)$ है,इसलिए $S_1 = 0^2 + 0^2 + 20(0 + 0) + 20 = 20$ है।
$(0, 0)$ पर स्पर्श रेखा $T$ का समीकरण $10(x + y) + 20 = 0$ अर्थात $x + y + 2 = 0$ है।
$SS_1 = T^2$ में मान रखने पर:
$20(x^2 + y^2 + 20x + 20y + 20) = (10(x + y + 2))^2$
$20(x^2 + y^2 + 20x + 20y + 20) = 100(x + y + 2)^2$
$20$ से भाग देने पर:
$x^2 + y^2 + 20x + 20y + 20 = 5(x^2 + y^2 + 4 + 2xy + 4x + 4y)$
$x^2 + y^2 + 20x + 20y + 20 = 5x^2 + 5y^2 + 20 + 10xy + 20x + 20y$
$4x^2 + 4y^2 + 10xy = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$2x^2 + 2y^2 + 5xy = 0$.

(A) परवलय $y^2 = 16x$ की नाभि $(a, 0) = (4, 0)$ है।
वृत्त $(x - 6)^2 + y^2 = 2$ का केंद्र $(6, 0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ है।
माना $(4, 0)$ से गुजरने वाली स्पर्श रेखा की ढाल $m$ है।
रेखा का समीकरण $y - 0 = m(x - 4)$ अर्थात $mx - y - 4m = 0$ है।
चूंकि यह रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा है,इसलिए केंद्र $(6, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{2}$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|m(6) - 0 - 4m|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \sqrt{2}$
$\frac{|2m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \sqrt{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{4m^2}{m^2 + 1} = 2$
$4m^2 = 2m^2 + 2$
$2m^2 = 2$
$m^2 = 1$
$m = \pm 1$.

(D) दिया गया वृत्त समीकरण: $x^2 + y^2 + 4x - 7y + 12 = 0$।
$(1)$ बिंदु $(x_1, y_1)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 4x_1 - 7y_1 + 12}$ है।
$(1, 2)$ के लिए: $\sqrt{1^2 + 2^2 + 4(1) - 7(2) + 12} = \sqrt{1 + 4 + 4 - 14 + 12} = \sqrt{7}$।
अतः,विकल्प $A$ गलत है।
$(2)$ $y$-अंतःखंड के लिए,$x = 0$ रखने पर: $y^2 - 7y + 12 = 0 \implies (y - 3)(y - 4) = 0$।
मूल $y = 3$ और $y = 4$ हैं। अंतःखंड की लंबाई $|4 - 3| = 1 \neq 2$ है।
अतः,विकल्प $B$ गलत है।
$(3)$ $x$-अंतःखंड के लिए,$y = 0$ रखने पर: $x^2 + 4x + 12 = 0$।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = 16 - 4(1)(12) = 16 - 48 = -32 < 0$।
चूंकि $D < 0$,मूल काल्पनिक हैं,जिसका अर्थ है कि वृत्त $x$-अक्ष को नहीं काटता है।
अतः,विकल्प $C$ गलत है।
$(4)$ इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिए गए समीकरण $S_1: x^2 + y^2 - 8x = 0$ और $H: \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{4} = 1$ हैं।
$AB$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda H = 0$ के रूप में प्राप्त होता है।
गणना करने पर,सही उत्तर $x^2 + y^2 - 12x + 24 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ के लिए,उन बिंदुओं का बिंदुपथ जहाँ से लंबवत स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं,वह निर्देशक वृत्त $x^2 + y^2 = 2r^2$ है।
यहाँ,$r^2 = 169$,इसलिए निर्देशक वृत्त $x^2 + y^2 = 2(169) = 338$ है।
कथन-$1$ के लिए: जाँचें कि क्या $(17, 7)$,$x^2 + y^2 = 338$ पर स्थित है। $17^2 + 7^2 = 289 + 49 = 338$। चूँकि यह समीकरण को संतुष्ट करता है,स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं। कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$ के लिए: परिभाषा के अनुसार,निर्देशक वृत्त उन बिंदुओं का बिंदुपथ है जहाँ से वृत्त पर लंबवत स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं। अतः,$x^2 + y^2 = 338$ पर स्थित प्रत्येक बिंदु से $x^2 + y^2 = 169$ पर लंबवत स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं। कथन-$2$ सत्य है और कथन-$1$ की व्याख्या करता है।

(C) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0$ है।
इसका केंद्र $(1, 3)$ है और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2 + 3^2 - 6} = \sqrt{4} = 2$ है।
इस वृत्त का व्यास दूसरे वृत्त की जीवा $AB$ है,जिसकी लंबाई $2 \times 2 = 4$ है।
दूसरे वृत्त का केंद्र $D(2, 1)$ है। जीवा का मध्य बिंदु $C(1, 3)$ है।
केंद्र $D(2, 1)$ से जीवा $AB$ पर लंब की दूरी $d = \sqrt{(2-1)^2 + (1-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{5}$ है।
दूसरे वृत्त की त्रिज्या $R = \sqrt{AC^2 + d^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{5})^2} = \sqrt{4 + 5} = \sqrt{9} = 3$ है।

(C) माना बिंदु $P(x_1, y_1)$ है। वृत्तों $x^{2} + y^{2} = a^{2}$,$x^{2} + y^{2} = b^{2}$ और $x^{2} + y^{2} = c^{2}$ पर $P$ से खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई इस प्रकार है:
$PT_1 = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 - a^2}$
$PT_2 = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 - b^2}$
$PT_3 = \sqrt{x_1^2 + y_1^2 - c^2}$
दिया गया है कि $PT_1^2, PT_2^2, PT_3^2$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं,इसलिए:
$2PT_2^2 = PT_1^2 + PT_3^2$
मान रखने पर:
$2(x_1^2 + y_1^2 - b^2) = (x_1^2 + y_1^2 - a^2) + (x_1^2 + y_1^2 - c^2)$
$2x_1^2 + 2y_1^2 - 2b^2 = 2x_1^2 + 2y_1^2 - a^2 - c^2$
$-2b^2 = -a^2 - c^2$
$2b^2 = a^2 + c^2$
यह दर्शाता है कि $a^2, b^2, c^2$ समांतर श्रेणी में हैं।

(B) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y = mx$ लें।
वृत्त के समीकरण में मान रखने पर: $x^{2} + (mx)^{2} - x + 3(mx) = 0$
$x^{2}(1 + m^{2}) - x(1 - 3m) = 0$
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(\frac{1 - 3m}{1 + m^{2}}, \frac{m(1 - 3m)}{1 + m^{2}})$ प्राप्त होते हैं।
अंतःखंड की लंबाई $I_1 = \frac{|1 - 3m|}{\sqrt{1 + m^{2}}}$.
रेखा $L_2: x + y = 1$ के लिए,$y = 1 - x$ रखने पर:
$x^{2} + (1 - x)^{2} - x + 3(1 - x) = 0 \implies 2x^{2} - 6x + 4 = 0 \implies x^{2} - 3x + 2 = 0$.
बिंदु $(1, 0)$ और $(2, -1)$ प्राप्त होते हैं।
अंतःखंड $I_2 = \sqrt{(2 - 1)^{2} + (-1 - 0)^{2}} = \sqrt{2}$.
$I_1 = I_2$ लेने पर,$\frac{(1 - 3m)^{2}}{1 + m^{2}} = 2 \implies 7m^{2} - 6m - 1 = 0$.
$(7m + 1)(m - 1) = 0 \implies m = 1, -\frac{1}{7}$.
अतः $y = x$ या $y = -\frac{1}{7}x$,जिसका अर्थ है $x - y = 0$ या $x + 7y = 0$.

(B) माना बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से गुजरने वाली रेखा का प्राचलिक रूप:
$\frac{x - \alpha}{\cos \theta} = \frac{y - \beta}{\sin \theta} = k$
जहाँ $k$ रेखा पर किसी बिंदु $(x, y)$ की बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से दूरी है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(\alpha + k \cos \theta, \beta + k \sin \theta)$ है।
चूंकि यह बिंदु वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ पर स्थित है,इसलिए:
$(\alpha + k \cos \theta)^2 + (\beta + k \sin \theta)^2 = r^2$
$\alpha^2 + 2k \alpha \cos \theta + k^2 \cos^2 \theta + \beta^2 + 2k \beta \sin \theta + k^2 \sin^2 \theta = r^2$
$k^2 + 2k(\alpha \cos \theta + \beta \sin \theta) + (\alpha^2 + \beta^2 - r^2) = 0$
यह $k$ में एक द्विघात समीकरण है। माना इसके मूल $k_1$ और $k_2$ हैं। ये मूल दूरियों $PA$ और $PB$ को दर्शाते हैं।
अतः,$PA \cdot PB = k_1 \cdot k_2 = \text{मूलों का गुणनफल} = \alpha^2 + \beta^2 - r^2$.
वैकल्पिक रूप से,पावर ऑफ अ पॉइंट प्रमेय के अनुसार,$PA \cdot PB = PT^2$,जहाँ $PT$ बिंदु $P$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई है,जो $\sqrt{\alpha^2 + \beta^2 - r^2}$ है। इसलिए,$PA \cdot PB = \alpha^2 + \beta^2 - r^2$.

(C) $y^2 = 4x$ को $C_2$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + 4x - 6x + 1 = 0$
$\Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 0$
$\Rightarrow (x - 1)^2 = 0$
$\Rightarrow x = 1$.
$x = 1$ के लिए,$y^2 = 4(1) = 4$,अतः $y = \pm 2$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 2)$ और $(1, -2)$ हैं।
$C_1$ के लिए,अवकलन $2y \frac{dy}{dx} = 4 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$. बिंदु $(1, 2)$ पर,ढाल $m_1 = 1$. बिंदु $(1, -2)$ पर,ढाल $m_1 = -1$.
$C_2$ के लिए,$2x + 2y \frac{dy}{dx} - 6 = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{3-x}{y}$. बिंदु $(1, 2)$ पर,ढाल $m_2 = \frac{3-1}{2} = 1$. बिंदु $(1, -2)$ पर,ढाल $m_2 = \frac{3-1}{-2} = -1$.
चूंकि दोनों बिंदुओं पर ढाल समान है,इसलिए वक्र एक दूसरे को ठीक दो बिंदुओं पर स्पर्श करते हैं।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = \frac{5}{2}$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \sqrt{\frac{5}{2}}$ है।
परवलय का समीकरण $y^2 = 4\sqrt{5}x$ है,इसलिए $a = \sqrt{5}$ है।
रेखा $y = mx + \frac{a}{m} = mx + \frac{\sqrt{5}}{m}$ परवलय की स्पर्शरेखा है।
इस रेखा के वृत्त की स्पर्शरेखा होने के लिए,केंद्र $(0,0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|\frac{\sqrt{5}}{m}|}{\sqrt{1 + m^2}} = \sqrt{\frac{5}{2}}$
$\frac{5}{m^2(1 + m^2)} = \frac{5}{2}$
$m^2(1 + m^2) = 2$
$m^4 + m^2 - 2 = 0$
$(m^2 + 2)(m^2 - 1) = 0$
चूंकि $m$ वास्तविक है,$m^2 = 1$,इसलिए $m = \pm 1$ है।
$m = 1$ के लिए,स्पर्शरेखा $y = x + \sqrt{5}$ है। अतः,कथन-$1$ सही है।
प्राप्त शर्त $m^4 + m^2 - 2 = 0$ है। कथन-$2$ में $m^4 - 3m^2 + 2 = 0$ दिया गया है,जो गलत है। इसलिए,कथन-$2$ गलत है।

(C) जीवा द्वारा मूल बिंदु पर अंतरित कोण ज्ञात करने के लिए,हम रेखा $lx + my = 1$ का उपयोग करके वृत्त ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ के समीकरण को समघात बनाते हैं।
${x^2} + {y^2} = {a^2}{(lx + my)^2}$
${x^2} + {y^2} = {a^2}({l^2}{x^2} + {m^2}{y^2} + 2lmxy)$
$({a^2}{l^2} - 1){x^2} + 2{a^2}lmxy + ({a^2}{m^2} - 1){y^2} = 0$
यह $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ के रूप में है,जहाँ $A = {a^2}{l^2} - 1$,$H = {a^2}lm$,और $B = {a^2}{m^2} - 1$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2\sqrt{H^2 - AB}}{A + B} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\theta = 45^\circ$,इसलिए $\tan 45^\circ = 1$ है।
$1 = \left| \frac{2\sqrt{({a^2}lm)^2 - ({a^2}{l^2} - 1)({a^2}{m^2} - 1)}}{{a^2}{l^2} - 1 + {a^2}{m^2} - 1} \right|$
$|{a^2}({l^2} + {m^2}) - 2| = 2\sqrt{{a^4}{l^2}{m^2} - ({a^4}{l^2}{m^2} - {a^2}{l^2} - {a^2}{m^2} + 1)}$
$|{a^2}({l^2} + {m^2}) - 2| = 2\sqrt{{a^2}({l^2} + {m^2}) - 1}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$[{a^2}({l^2} + {m^2}) - 2]^2 = 4[{a^2}({l^2} + {m^2}) - 1]$

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ है।
चूंकि यह मूल बिंदु से गुजरता है,इसलिए अचर पद $0$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2} = 3k$ दी गई है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$g^2 + f^2 = 9k^2$ प्राप्त होता है।
वृत्त $x$-अक्ष को $A$ पर और $y$-अक्ष को $B$ पर काटता है।
वृत्त के समीकरण में $y=0$ रखने पर,$x^2 + 2gx = 0$,जिससे $x = 0$ या $x = -2g$ मिलता है। अतः,$A = (-2g, 0)$ है।
वृत्त के समीकरण में $x=0$ रखने पर,$y^2 + 2fy = 0$,जिससे $y = 0$ या $y = -2f$ मिलता है। अतः,$B = (0, -2f)$ है।
$\Delta OAB$ का केंद्रक $(x, y)$ इस प्रकार है: $x = \frac{0 + (-2g) + 0}{3} = -\frac{2g}{3}$ और $y = \frac{0 + 0 + (-2f)}{3} = -\frac{2f}{3}$।
इसलिए,$g = -\frac{3x}{2}$ और $f = -\frac{3y}{2}$ है।
इन मानों को $g^2 + f^2 = 9k^2$ में प्रतिस्थापित करने पर,$\left(-\frac{3x}{2}\right)^2 + \left(-\frac{3y}{2}\right)^2 = 9k^2$ प्राप्त होता है।
$\frac{9x^2}{4} + \frac{9y^2}{4} = 9k^2$।
$9$ से विभाजित करने पर,$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} = k^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 = 4k^2$ हो जाता है।

(D) माना व्यास का दूसरा सिरा $B(\alpha, \beta)$ है।
वृत्त का व्यास $AB$ है,इसलिए इसका समीकरण $(x - p)(x - \alpha) + (y - q)(y - \beta) = 0$ है।
इसे विस्तारित करने पर,$x^2 + y^2 - (p + \alpha)x - (q + \beta)y + (p\alpha + q\beta) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए $y = 0$ रखने पर प्राप्त समीकरण का विविक्तकर शून्य होगा।
$y = 0$ रखने पर,$x^2 - (p + \alpha)x + (p\alpha + q\beta) = 0$ प्राप्त होता है।
स्पर्श करने की शर्त के अनुसार,विविक्तकर $D = 0$ है।
$D = (p + \alpha)^2 - 4(p\alpha + q\beta) = 0$.
$p^2 - 2p\alpha + \alpha^2 - 4q\beta = 0$.
$(p - \alpha)^2 = 4q\beta$.
$(\alpha, \beta)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $(x - p)^2 = 4qy$ प्राप्त होता है।

(C) बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c}$ होती है।
प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 + x + y - 4 = 0$ के लिए,$(1, 2)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $T_1 = \sqrt{1^2 + 2^2 + 1 + 2 - 4} = \sqrt{4} = 2$ है।
दूसरे वृत्त के लिए,समीकरण को $x^2 + y^2 - \frac{1}{3}x - \frac{1}{3}y + \frac{k}{3} = 0$ के रूप में लिखने पर,स्पर्श रेखा की लंबाई $T_2 = \sqrt{1^2 + 2^2 - \frac{1}{3}(1) - \frac{1}{3}(2) + \frac{k}{3}} = \sqrt{4 + \frac{k}{3}}$ है।
दिया गया अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \frac{4}{3}$ है,अतः $\frac{2}{\sqrt{4 + k/3}} = \frac{4}{3}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{4}{4 + k/3} = \frac{16}{9} \Rightarrow 36 = 64 + \frac{16k}{3}$।
$\frac{16k}{3} = -28 \Rightarrow k = -\frac{21}{4}$।

(A) चतुर्भुज $PQCR$ का क्षेत्रफल दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों $\Delta PQC$ और $\Delta PRC$ के क्षेत्रफलों का योग है।
क्षेत्रफल $(PQCR) = 2 \times \text{Area}(\Delta PQC) = 2 \times (\frac{1}{2} \times PQ \times QC) = PQ \times r$.
यहाँ,$r$ वृत्त की त्रिज्या है और $PQ$ बिंदु $P$ से स्पर्श रेखा की लंबाई है।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 20 = 0$ है।
केंद्र $C$ $(1, 2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{1 + 4 + 20} = 5$ है।
स्पर्श रेखा की लंबाई $L = PQ = \sqrt{S_1} = \sqrt{16^2 + 7^2 - 2(16) - 4(7) - 20} = \sqrt{225} = 15$.
अतः,चतुर्भुज $PQCR$ का क्षेत्रफल $= 15 \times 5 = 75 \text{ sq. units}$।

(C) प्रथम वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0$ के लिए,केंद्र $(1, 0)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
द्वितीय वृत्त $x^2 + y^2 - 4y - 6 = 0$ के लिए,केंद्र $(0, 2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{10}$ है।
चूंकि रेखा $ax + by = 2$ प्रथम वृत्त को स्पर्श करती है,केंद्र $(1, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होगी:
$\frac{|a(1) + b(0) - 2|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 2 \implies |a - 2| = 2\sqrt{a^2 + b^2} \dots (i)$.
चूंकि रेखा दूसरे वृत्त के अभिलंब है,यह उसके केंद्र $(0, 2)$ से होकर गुजरेगी:
$a(0) + b(2) = 2 \implies 2b = 2 \implies b = 1$.
$b = 1$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$|a - 2| = 2\sqrt{a^2 + 1^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(a - 2)^2 = 4(a^2 + 1) \implies a^2 - 4a + 4 = 4a^2 + 4$.
$3a^2 + 4a = 0 \implies a(3a + 4) = 0$.
चूंकि $a \neq 0$,इसलिए $a = -\frac{4}{3}$।
अतः,$a = -\frac{4}{3}$ और $b = 1$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्तों का समीकरण $x^2 + y^2 - 2\lambda_i x - c^2 = 0$ है।
प्रत्येक वृत्त का केंद्र $(\lambda_i, 0)$ है और मूलबिंदु से दूरी $|\lambda_i|$ है।
चूंकि $|\lambda_1|, |\lambda_2|, |\lambda_3|$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $\lambda_2^2 = \lambda_1 \lambda_3$ है।
माना $(x_0, y_0)$ वृत्त $x^2 + y^2 = c^2$ पर कोई बिंदु है,इसलिए $x_0^2 + y_0^2 = c^2$ है।
$(x_0, y_0)$ से वृत्त $x^2 + y^2 - 2\lambda_i x - c^2 = 0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $L_i = \sqrt{x_0^2 + y_0^2 - 2\lambda_i x_0 - c^2}$ है।
$x_0^2 + y_0^2 = c^2$ रखने पर,$L_i = \sqrt{c^2 - 2\lambda_i x_0 - c^2} = \sqrt{-2\lambda_i x_0}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $L_i^2 = -2\lambda_i x_0$,स्पर्श रेखाओं की लंबाई के वर्ग $\lambda_i$ के समानुपाती हैं।
चूंकि $\lambda_i$ $G.P.$ में हैं,इसलिए उनके वर्ग $L_i^2$ भी $G.P.$ में हैं,जिसका अर्थ है कि लंबाई $L_i$ भी $G.P.$ में है।

(C) दिया गया दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ है। यहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
उत्केंद्रता $e$ के लिए $b^2 = a^2(1 - e^2)$,अतः $9 = 16(1 - e^2)$ है।
$1 - e^2 = \frac{9}{16} \implies e^2 = 1 - \frac{9}{16} = \frac{7}{16} \implies e = \frac{\sqrt{7}}{4}$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}, 0) = (\pm \sqrt{7}, 0)$ हैं।
वृत्त का केंद्र $(0, 3)$ है और यह $(\sqrt{7}, 0)$ से होकर गुजरता है।
त्रिज्या $r$,$(0, 3)$ और $(\sqrt{7}, 0)$ के बीच की दूरी है:
$r = \sqrt{(\sqrt{7} - 0)^2 + (0 - 3)^2} = \sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4$।

(D) माना परवलय $x$-अक्ष को $A(\alpha, 0)$ और $B(\beta, 0)$ पर काटता है।
चूंकि परवलय $y = ax^2 + bx + c$ इन बिंदुओं से गुजरता है,इसलिए $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।
मूलों के गुणों से,मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = \frac{c}{a}$ होता है।
माना वृत्त $A$ और $B$ से होकर गुजरता है। मूल बिंदु $O(0, 0)$ $x$-अक्ष पर स्थित है।
वृत्त के सापेक्ष बिंदु $O$ की शक्ति $OT^2 = OA \cdot OB$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ स्पर्श बिंदु है।
चूंकि $A$ और $B$ मूल बिंदु से क्रमशः $\alpha$ और $\beta$ दूरी पर हैं,इसलिए $OA = \alpha$ और $OB = \beta$ है।
अतः,$OT^2 = \alpha \beta = \frac{c}{a}$।
इस प्रकार,स्पर्श रेखा की लंबाई $OT = \sqrt{\frac{c}{a}}$ है।

(B) परवलय का समीकरण $y^2 = 4x$ है,जिसका शीर्ष $(0, 0)$ पर है और यह दाईं ओर खुलता है।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2px = 0$ है,जिसे $(x + p)^2 + y^2 = p^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $C = (-p, 0)$ और त्रिज्या $r = |p|$ है।
वृत्त के परवलय को बाह्य रूप से स्पर्श करने के लिए,वृत्त का केंद्र ऋणात्मक $x$-अक्ष पर होना चाहिए (क्योंकि परवलय $x \ge 0$ क्षेत्र में है)।
यदि $p > 0$ है,तो केंद्र $(-p, 0)$ ऋणात्मक $x$-अक्ष पर है। वृत्त $y$-अक्ष के बाईं ओर स्थित है और मूल बिंदु $(0, 0)$ पर परवलय को बाह्य रूप से स्पर्श करता है।
यदि $p < 0$ है,तो केंद्र $(-p, 0)$ धनात्मक $x$-अक्ष पर है। इस स्थिति में,वृत्त परवलय को आंतरिक रूप से स्पर्श करेगा।
अतः,बाह्य स्पर्श के लिए शर्त $p > 0$ है।

(C) दिए गए समीकरण हैं:
$1$) दीर्घवृत्त: $9x^2 + 16y^2 = 144 \Rightarrow \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$
$2$) परवलय: $y^2 = x - 4$
$3$) वृत्त: $x^2 + y^2 - 12x + 32 = 0 \Rightarrow (x-6)^2 + y^2 = 4$
परवलय $y^2 = x-4$ के लिए स्पर्श रेखा $x=4$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ के लिए $x=4$ बिंदु $(4, 0)$ पर स्पर्श रेखा है।
वृत्त $(x-6)^2 + y^2 = 4$ के लिए $x=4$ बिंदु $(4, 0)$ पर स्पर्श रेखा है।
अतः,$x=4$ एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है।

(D) परवलय $y^2 = 4ax$ है और वृत्त $x^2 + y^2 + 2bx = 0$ है।
वृत्त के समीकरण में $y^2 = 4ax$ प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 + 4ax + 2bx = 0$.
$x(x + 4a + 2b) = 0$.
स्पर्श करने के लिए,$x = 0$ एक दोहरा मूल होना चाहिए,इसलिए $4a + 2b = 0$ अर्थात $b = -2a$.
बाह्य रूप से स्पर्श करने के लिए,$a$ और $b$ के चिह्न विपरीत होने चाहिए।

(A) दी गई स्पर्श रेखा $2x - y + 1 = 0$ है। इस रेखा की ढाल $m_1 = 2$ है।
चूंकि त्रिज्या स्पर्श बिंदु $A(2, 5)$ पर स्पर्श रेखा के लंबवत होती है,इसलिए अभिलंब $OA$ की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{2}$ होगी।
बिंदु $A(2, 5)$ से गुजरने वाली अभिलंब रेखा का समीकरण $(y - 5) = -\frac{1}{2}(x - 2)$ है।
$2y - 10 = -x + 2 \Rightarrow x + 2y = 12$.
वृत्त का केंद्र $O$,अभिलंब रेखा $x + 2y = 12$ और दी गई रेखा $x - 2y = 4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(x + 2y) + (x - 2y) = 12 + 4$ $\Rightarrow 2x = 16$ $\Rightarrow x = 8$.
$x = 8$ को $x - 2y = 4$ में रखने पर: $8 - 2y = 4$ $\Rightarrow 2y = 4$ $\Rightarrow y = 2$.
अतः,केंद्र $O(8, 2)$ है।
त्रिज्या $r$,$O(8, 2)$ और $A(2, 5)$ के बीच की दूरी है:
$r = \sqrt{(8 - 2)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}$.

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 12x - 4y + 30 = 0$ है।
वृत्त का केंद्र $(6, 2)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{10}$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से केंद्र की दूरी $d = \sqrt{6^2 + 2^2} = 2\sqrt{10}$ है।
मूल बिंदु से सबसे दूर स्थित बिंदु,मूल बिंदु और केंद्र को मिलाने वाली रेखा पर केंद्र के दूसरी ओर त्रिज्या के बराबर दूरी पर स्थित होता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,बिंदु $P = (12, 4)$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - ax - by = 0$ है। इसका केंद्र $C = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2} \right)$ है और त्रिज्या $R = \sqrt{\left( \frac{a}{2} \right)^2 + \left( \frac{b}{2} \right)^2} = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$ है।
माना $(h, k)$ जीवा का मध्य बिंदु है। केंद्र $C$ से जीवा की दूरी $d = \sqrt{(h - a/2)^2 + (k - b/2)^2}$ है।
चूंकि जीवा केंद्र पर समकोण बनाती है,केंद्र और जीवा के अंतिम बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है।
अतः,केंद्र से जीवा की दूरी $d = R \sin(45^\circ) = \frac{R}{\sqrt{2}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$d^2 = \frac{R^2}{2}$।
मान रखने पर: $\left( h - \frac{a}{2} \right)^2 + \left( k - \frac{b}{2} \right)^2 = \frac{1}{2} \left( \frac{a^2 + b^2}{4} \right) = \frac{a^2 + b^2}{8}$।
इसका विस्तार करने पर,$h^2 - ah + \frac{a^2}{4} + k^2 - bk + \frac{b^2}{4} = \frac{a^2 + b^2}{8}$।
$h^2 + k^2 - ah - bk + \frac{a^2 + b^2}{4} - \frac{a^2 + b^2}{8} = 0$।
$h^2 + k^2 - ah - bk + \frac{a^2 + b^2}{8} = 0$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 - ax - by + \frac{a^2 + b^2}{8} = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए वृत्त $C_1: x^2 + y^2 - 4x - 12 = 0$ (केंद्र $(2, 0)$,त्रिज्या $r = 4$) और $C_2: x^2 + y^2 + 4x - 12 = 0$ (केंद्र $(-2, 0)$,त्रिज्या $r = 4$) हैं।
केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा $x$-अक्ष $(y = 0)$ है।
उभयनिष्ठ जीवा $x = 0$ ($y$-अक्ष) है।
समचतुर्भुज के विकर्णों की लंबाई $d_1 = 4$ और $d_2 = 4\sqrt{3}$ है।
समचतुर्भुज का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 4 \times 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ वर्ग इकाई है।

(D) $\Delta ABC$ में,$\angle A = 90^\circ$ है। मान लीजिए $\angle C = \theta$ है। तब $\angle B = 90^\circ - \theta$ होगा।
चूंकि $AC$ अर्धवृत्त का व्यास है,इसलिए $\angle ADC = 90^\circ$ (अर्धवृत्त में बना कोण)।
$\Delta ADC$ में,$\cos \theta = \frac{AD}{AC} \Rightarrow AC = \frac{AD}{\cos \theta}$।
$\Delta ABC$ में,$\tan \theta = \frac{AB}{AC} \Rightarrow \cos \theta = \frac{AC}{\sqrt{AB^2 + AC^2}}$।
$\cos \theta$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $AC = \frac{AD \cdot \sqrt{AB^2 + AC^2}}{AC}$।
$AC^2 = AD \sqrt{AB^2 + AC^2} \Rightarrow AC^4 = AD^2(AB^2 + AC^2)$।
$AC^2(AC^2 - AD^2) = AD^2 \cdot AB^2$।
$AC^2 = \frac{AD^2 \cdot AB^2}{AC^2 - AD^2}$।
वर्गमूल लेने पर,$AC = \frac{AB \cdot AD}{\sqrt{AC^2 - AD^2}}$।
वैकल्पिक रूप से,समरूप त्रिभुजों $\Delta ADC \sim \Delta BAC$ का उपयोग करने पर,$AC = \frac{AB \cdot AD}{\sqrt{AB^2 - AD^2}}$ प्राप्त होता है।