Mix Examples-Circle and System of Circles Questions in Hindi

(D) समुच्चय $A$ एक वृत्त $S_1: x^2 + y^2 - x - y - \frac{1}{2} = 0$ को दर्शाता है। इसका केंद्र $C_1 = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}} = 1$ है।
समुच्चय $B$ एक वृत्त $S_2: x^2 + y^2 - 4y + \frac{7}{4} = 0$ को दर्शाता है। इसका केंद्र $C_2 = (0, 2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{4 - \frac{7}{4}} = \frac{3}{2}$ है।
समुच्चय $C$ एक डिस्क $S_3: (x-2)^2 + (y-1)^2 \leq r^2$ को दर्शाता है। इसका केंद्र $C_3 = (2, 1)$ और त्रिज्या $R = |r|$ है।
$A \subseteq C$ के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी $C_1 C_3 + r_1 \leq R$ होनी चाहिए।
$C_1 C_3 = \sqrt{(2 - \frac{1}{2})^2 + (1 - \frac{1}{2})^2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
अतः,$R \geq \frac{\sqrt{10}}{2} + 1 = \frac{2 + \sqrt{10}}{2}$.
$B \subseteq C$ के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी $C_2 C_3 + r_2 \leq R$ होनी चाहिए।
$C_2 C_3 = \sqrt{(2 - 0)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{5}$.
अतः,$R \geq \sqrt{5} + \frac{3}{2} = \frac{3 + 2\sqrt{5}}{2}$.
चूंकि $A \cup B \subseteq C$,इसलिए $R$ को दोनों शर्तों को पूरा करना होगा। अतः,$R \geq \max(\frac{2 + \sqrt{10}}{2}, \frac{3 + 2\sqrt{5}}{2})$.
इस प्रकार,न्यूनतम मान $\frac{3 + 2\sqrt{5}}{2}$ है।

(A) वृत्त $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ बिंदु $(0,6)$ से गुजरता है,अतः $6B+C=-36$ (समीकरण $1$)।
परवलय $y=x^{2}$ के लिए $(2,4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $4x-y-4=0$ है (समीकरण $2$)।
वृत्त के लिए $(2,4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $(4+A)x+(8+B)y+(2A+4B+2C)=0$ है (समीकरण $3$)।
चूंकि दोनों स्पर्श रेखाएं समान हैं,गुणांकों की तुलना करने पर:
$A+4B=-36$ (समीकरण $4$) और $3A+4B+2C=-4$ (समीकरण $5$)।
समीकरण $5$ में से समीकरण $4$ घटाने पर:
$2A+2C=32$,अतः $A+C=16$।

(D) $S_{n}$ एक वृत्त है जिसका केंद्र $C_{1}(3, -2)$ और त्रिज्या $r_{1} = \frac{n}{4}$ है।
$T_{n}$ एक वृत्त है जिसका केंद्र $C_{2}(2, -3)$ और त्रिज्या $r_{2} = \frac{1}{n}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = C_{1}C_{2} = \sqrt{2}$ है।
दो वृत्त प्रतिच्छेद नहीं करते हैं यदि $d > r_{1} + r_{2}$ या $d < |r_{1} - r_{2}|$ हो।
स्थिति $1$: $\sqrt{2} > \frac{n}{4} + \frac{1}{n}$ को हल करने पर $n \in \{1, 2, 3, 4\}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $\sqrt{2} < |\frac{n}{4} - \frac{1}{n}|$ के लिए $n \ge 7$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $4$ है।

(D) परवलय का समीकरण $x^2 = \frac{64}{15}(y - \frac{3}{5})$ है।
बिंदु $P\left(\frac{8}{5}, \frac{6}{5}\right)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $3x - 4y = 0$ है।
परवलय को $P$ पर स्पर्श करने वाले वृत्तों का परिवार $(x - \frac{8}{5})^2 + (y - \frac{6}{5})^2 + \lambda(3x - 4y) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 + y^2 + x(3\lambda - \frac{16}{5}) + y(-4\lambda - \frac{12}{5}) + 4 = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि वृत्त $y$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए $f^2 = c$ शर्त लागू होती है,जहाँ $f = -2\lambda - \frac{6}{5}$ और $c = 4$ है।
अतः,$(-2\lambda - \frac{6}{5})^2 = 4$,जिसका अर्थ है $|-2\lambda - \frac{6}{5}| = 2$ है।
स्थिति $1$: $\lambda = -\frac{8}{5}$ के लिए त्रिज्या $r_1 = 4$,अतः व्यास $d_1 = 8$ है।
स्थिति $2$: $\lambda = \frac{2}{5}$ के लिए त्रिज्या $r_2 = 1$,अतः व्यास $d_2 = 2$ है।
व्यासों का योग $d_1 + d_2 = 8 + 2 = 10$ है।

(D) परवलय का समीकरण $y^2 = 8x$ है,इसलिए $4a = 8 \implies a = 2$। परवलय पर बिंदु $P(2t^2, 4t)$ है।
वृत्त का केंद्र $(5, 7)$ है।
$P$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $ty = x + 2t^2$ है। यह $(5, 7)$ से गुजरती है,इसलिए $7t = 5 + 2t^2 \implies 2t^2 - 7t + 5 = 0$।
$t$ के मान $t = 1$ और $t = 5/2$ प्राप्त होते हैं।
$t = 1$ के लिए $P = (2, 4)$ और $t = 5/2$ के लिए $P = (25/2, 10)$ प्राप्त होता है।
$a$ के मान $2$ और $25/2$ हैं,इसलिए $A = 2 \times (25/2) = 25$।
$b$ के मान $4$ और $10$ हैं,इसलिए $B = 4 \times 10 = 40$।
अतः,$A + B = 25 + 40 = 65$।

(C) परवलय का समीकरण $y^2=4x$ है। इस परवलय की नियता $x=-1$ है।
बिंदु $B(1,2)$ पर परवलय की स्पर्श रेखा का समीकरण $y y_1 = 2a(x+x_1)$ है,जहाँ $a=1$ है। $(1,2)$ रखने पर,हमें $2y = 2(x+1)$ प्राप्त होता है,जो $y=x+1$ में सरल हो जाता है।
स्पर्श रेखा $y=x+1$,नियता $x=-1$ को बिंदु $A$ पर काटती है। स्पर्श रेखा के समीकरण में $x=-1$ रखने पर,हमें $y=-1+1=0$ प्राप्त होता है। अतः,$A$ बिंदु $(-1,0)$ है।
मान लीजिए कि वृत्त नियता को बिंदु $C(-1, k)$ पर स्पर्श करता है। चूँकि $AB$ और $AC$ वृत्त की स्पर्श रेखाएँ हैं,उनकी लंबाई समान होनी चाहिए,अर्थात $AB=AC$।
लंबाई $AB = \sqrt{(1 - (-1))^2 + (2-0)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$।
लंबाई $AC = \sqrt{(-1 - (-1))^2 + (k-0)^2} = \sqrt{0^2 + k^2} = |k|$।
लंबाई की तुलना करने पर,$|k| = 2\sqrt{2}$। चूँकि चित्र में बिंदु $C$,$x$-अक्ष के ऊपर है,इसलिए $k = 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{16}=1$ के किसी भी बिंदु $P(6 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $3x \sec \theta - 2y \operatorname{cosec} \theta = 20$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वृत्त का केंद्र $(2,0)$ है और यह दीर्घवृत्त के अंतर्गत स्थित है,इसलिए संपर्क बिंदु $P$ पर अभिलंब को वृत्त के केंद्र $(2,0)$ से होकर गुजरना चाहिए।
अभिलंब समीकरण में $(2,0)$ प्रतिस्थापित करने पर: $3(2) \sec \theta - 2(0) \operatorname{cosec} \theta = 20 \implies 6 \sec \theta = 20 \implies \cos \theta = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.
तब $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{9}{100} = \frac{91}{100}$,अर्थात $\sin \theta = \frac{\sqrt{91}}{10}$.
संपर्क बिंदु $P = (6 \cdot \frac{3}{10}, 4 \cdot \frac{\sqrt{91}}{10}) = (1.8, 0.4\sqrt{91})$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r$,$(2,0)$ और $P$ के बीच की दूरी है:
$r^2 = (1.8 - 2)^2 + (0.4\sqrt{91} - 0)^2 = (-0.2)^2 + 0.16(91) = 0.04 + 14.56 = 14.6$.
वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + y^2 = 14.6$ है।
यदि $(1, \alpha)$ वृत्त पर स्थित है: $(1-2)^2 + \alpha^2 = 14.6 \implies 1 + \alpha^2 = 14.6 \implies \alpha^2 = 13.6$.
अतः,$10 \alpha^2 = 10(13.6) = 136$.

(D) परवलय $y^2 = 16x$ $(a=4)$ की स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{4}{m}$ है।
यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = 8$ (त्रिज्या $r = 2\sqrt{2}$) की भी स्पर्श रेखा है।
केंद्र $(0,0)$ से रेखा $mx - y + \frac{4}{m} = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर है:
$\frac{|4/m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2\sqrt{2} \implies \frac{16}{m^2(m^2+1)} = 8 \implies m^2(m^2+1) = 2$.
$m^2 = t$ लेने पर,$t^2 + t - 2 = 0 \implies (t+2)(t-1) = 0$. चूँकि $t > 0$,इसलिए $t = 1$,अतः $m = \pm 1$ है।
$m = 1$ लेने पर,स्पर्श रेखा $y = x + 4$ प्राप्त होती है।
परवलय $y^2 = 16x$ पर स्पर्श बिंदु $R$ का मान $(\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m}) = (4, 8)$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = 8$ पर स्पर्श बिंदु $Q$ मूल बिंदु से रेखा $x - y + 4 = 0$ पर डाले गए लंब का पाद है,जो $(-2, 2)$ है।
अतः $(QR)^2 = (4 - (-2))^2 + (8 - 2)^2 = 6^2 + 6^2 = 36 + 36 = 72$।

(A) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - \frac{1+a}{2}x - \frac{1-a}{2}y = 0$ है।
केंद्र $C\left(\frac{1+a}{4}, \frac{1-a}{4}\right) = (h, k)$ है।
बिंदु $P = (2h, 2k)$ है।
जीवा का मध्यबिंदु $M(t, -t)$ रेखा $x+y=0$ पर स्थित है।
$CM$ जीवा पर लंब है,इसलिए $CM$ की ढाल $1$ है।
गणना करने पर $a^2 > 8$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त $(x-4)^2+y^2=16$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का सामान्य समीकरण $y=m(x-4) \pm 4\sqrt{1+m^2}$ है।
परवलय $y^2=4x$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का सामान्य समीकरण $y=mx+\frac{1}{m}$ है।
उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा के लिए,अचर पद समान होने चाहिए: $\frac{1}{m} = -4m \pm 4\sqrt{1+m^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(\frac{1}{m} + 4m)^2 = 16(1+m^2) \implies \frac{1}{m^2} + 16m^2 + 8 = 16 + 16m^2$.
इससे $\frac{1}{m^2} = 8$ प्राप्त होता है,अर्थात $m^2 = \frac{1}{8}$,जिसका अर्थ है $m = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
परवलय $y^2=4x$ पर स्पर्श बिंदु $P$ $(\frac{1}{m^2}, \frac{2}{m}) = (8, \pm 4\sqrt{2})$ है।
परवलय पर स्पर्श बिंदु $P$ और वृत्त पर स्पर्श बिंदु $Q$ के बीच स्पर्श रेखा खंड $PQ$ की लंबाई $P$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई के बराबर होती है।
बिंदु $(x_1, y_1)$ और वृत्त $(x-4)^2+y^2-16=0$ के लिए,स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{(x_1-4)^2 + y_1^2 - 16}$ है।
$P(8, 4\sqrt{2})$ रखने पर: $PQ = \sqrt{(8-4)^2 + (4\sqrt{2})^2 - 16} = \sqrt{16 + 32 - 16} = \sqrt{32}$.
अतः,$(PQ)^2 = 32$.

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{4} = 1$ है। बिंदु $(3 \sqrt{3}, 1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x(3 \sqrt{3})}{36} + \frac{y(1)}{4} = 1$ अर्थात $\frac{x \sqrt{3}}{12} + \frac{y}{4} = 1$ है।
$y$-अक्ष के लिए $x=0$ रखने पर,$y=4$ प्राप्त होता है। अतः $A=(0, 4)$ है।
अभिलंब का समीकरण $y-1 = \sqrt{3}(x-3 \sqrt{3})$ अर्थात $y = x \sqrt{3} - 8$ है।
$y$-अक्ष के लिए $x=0$ रखने पर,$y=-8$ प्राप्त होता है। अतः $B=(0, -8)$ है।
वृत्त का केंद्र $(0, -2)$ और त्रिज्या $6$ है। समीकरण $x^2 + (y+2)^2 = 36$ है।
$x = 2 \sqrt{5}$ रखने पर,$y^2 + 4y - 12 = 0$ प्राप्त होता है,जिसके हल $y=2$ और $y=-6$ हैं।
स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु $(\alpha, \beta)$ के लिए,$\alpha = \frac{18}{\sqrt{5}}$ और $\beta = -2$ प्राप्त होता है।
अतः $\alpha^2 - \beta^2 = \frac{324}{5} - 4 = \frac{304}{5}$.

(C) परवलय का समीकरण $y^2=4x$ है,अतः $a=1$ है। परवलय के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + (y-8)^2 = 4$ है,जिसका केंद्र $C(2, 8)$ और त्रिज्या $r=2$ है।
न्यूनतम दूरी के लिए अभिलंब केंद्र से गुजरना चाहिए। $8 = -2t + 2t + t^3$ $\Rightarrow t^3 = 8$ $\Rightarrow t=2$ प्राप्त होता है।
बिंदु $P(4, 4)$ प्राप्त होता है। दूरी $PC = \sqrt{(4-2)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{20}$ है।
अतः $d^2 = 20$।

(B) दिए गए समीकरण: $x^2 + y^2 = 3$ और $x^2 = 2y$ हैं।
$x^2 = 2y$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $2y + y^2 = 3 \Rightarrow y^2 + 2y - 3 = 0$.
$(y + 3)(y - 1) = 0 \Rightarrow y = 1$ (चूंकि $P$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $y > 0$)।
$y = 1$ के लिए,$x^2 = 2(1) = 2 \Rightarrow x = \sqrt{2}$। अतः,$P = (\sqrt{2}, 1)$।
चूंकि $P$ रेखा $L: \sqrt{2}x + y = \alpha$ पर स्थित है,इसलिए $\sqrt{2}(\sqrt{2}) + 1 = \alpha \Rightarrow \alpha = 3$।
रेखा $L$ का समीकरण $\sqrt{2}x + y - 3 = 0$ है। केंद्र $Q_1, Q_2$,$y$-अक्ष पर हैं,इसलिए मान लीजिए $Q = (0, k)$।
वृत्त की त्रिज्या $r = 2\sqrt{3}$ है। बिंदु $(0, k)$ से रेखा $\sqrt{2}x + y - 3 = 0$ की दूरी $r$ है:
$\frac{|\sqrt{2}(0) + k - 3|}{\sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2}} = 2\sqrt{3}$ $\Rightarrow \frac{|k - 3|}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$ $\Rightarrow |k - 3| = 6$।
$k - 3 = 6 \Rightarrow k = 9$ या $k - 3 = -6 \Rightarrow k = -3$।
अतः,$Q_1 = (0, 9)$ और $Q_2 = (0, -3)$।
शीर्षों $(\sqrt{2}, 1), (0, 9), (0, -3)$ वाले $\triangle PQ_1Q_2$ का क्षेत्रफल:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |\sqrt{2}(9 - (-3)) + 0 + 0| = \frac{1}{2} |\sqrt{2}(12)| = 6\sqrt{2}$।
क्षेत्रफल का वर्ग $(6\sqrt{2})^2 = 36 \times 2 = 72$ है।

(A) दी गई रेखा $2x - y = 10$ है,जिसे $y = 2x - 10$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m = 2$ है।
इस रेखा के लंबवत रेखा की ढाल $m' = -\frac{1}{2}$ होगी।
परवलय $y^2 = 4a(x - h)$ के लिए,$m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा बिंदु $(h + \frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m})$ पर स्पर्श करती है।
यहाँ,$4a = 4 \implies a = 1$,$h = 9$,और $m = -\frac{1}{2}$ है।
स्पर्श बिंदु $P$ का मान $(9 + \frac{1}{(-1/2)^2}, \frac{2(1)}{-1/2}) = (9 + 4, -4) = (13, -4)$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 - 14x - 8y + 56 = 0$ है। इसका केंद्र $C$ $(-\frac{-14}{2}, -\frac{-8}{2}) = (7, 4)$ है।
दूरी $CP = \sqrt{(13 - 7)^2 + (-4 - 4)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ है।

(A) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $(0, k)$ है और इसकी त्रिज्या $r$ है। चूंकि वृत्त $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है और परवलय $y=6-x^2$ को उसके शीर्ष $(0, 6)$ पर स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र $(0, 6-r)$ पर होना चाहिए।
वृत्त का समीकरण $x^2 + (y-(6-r))^2 = r^2$ है।
वृत्त रेखाओं $y = \sqrt{3}x$ और $y = -\sqrt{3}x$ को भी स्पर्श करता है,जिन्हें $\sqrt{3}x - y = 0$ और $\sqrt{3}x + y = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
केंद्र $(0, 6-r)$ से रेखा $\sqrt{3}x - y = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए:
$\frac{|\sqrt{3}(0) - (6-r)|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2}} = r$
$\frac{|r-6|}{2} = r$
$|r-6| = 2r$
यहाँ $r < 6$ है,इसलिए $6-r = 2r$,जिससे $3r = 6$ प्राप्त होता है,अर्थात $r = 2$।
वृत्त का समीकरण $x^2 + (y-4)^2 = 4$ है।
दिए गए बिंदुओं की जाँच करने पर:
$(2, 4)$ के लिए,$2^2 + (4-4)^2 = 4 + 0 = 4$। अतः,$(2, 4)$ बिंदु वृत्त पर स्थित है।

(B) माना बिंदु $P(-4, 5)$ का रेखा $x + 2y - 2 = 0$ में प्रतिबिंब $P'(x', y')$ है।
रेखा $ax + by + c = 0$ में बिंदु $(x_1, y_1)$ के प्रतिबिंब का सूत्र:
$\frac{x' - x_1}{a} = \frac{y' - y_1}{b} = -2 \left( \frac{ax_1 + by_1 + c}{a^2 + b^2} \right)$
मान रखने पर:
$\frac{x' + 4}{1} = \frac{y' - 5}{2} = -2 \left( \frac{-4 + 2(5) - 2}{1^2 + 2^2} \right)$
$\frac{x' + 4}{1} = \frac{y' - 5}{2} = -\frac{8}{5}$
अतः,$x' = -\frac{28}{5}$ और $y' = \frac{9}{5}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $P'$ वृत्त $(x + 4)^2 + (y - 3)^2 = r^2$ पर स्थित है,$x' = -\frac{28}{5}$ और $y' = \frac{9}{5}$ रखने पर:
$(-\frac{28}{5} + 4)^2 + (\frac{9}{5} - 3)^2 = r^2$
$\frac{64}{25} + \frac{36}{25} = r^2 \implies r^2 = 4 \implies r = 2$.

(B) दिया गया समीकरण $(a x^2+b y^2+c)(x^2-5 x y+6 y^2)=0$ है।
इसका अर्थ है $a x^2+b y^2+c=0$ या $x^2-5 x y+6 y^2=0$।
दूसरे भाग $x^2-5 x y+6 y^2=0$ को $(x-2 y)(x-3 y)=0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली दो सीधी रेखाओं को दर्शाता है।
प्रथम भाग $a x^2+b y^2+c=0$ के लिए,यदि $a=b$ हो और $c$ का चिह्न $a$ के विपरीत हो,तो $x^2+y^2 = -c/a$ प्राप्त होता है,जो एक वृत्त को दर्शाता है।
अतः,जब $a=b$ हो और $c$ का चिह्न $a$ के विपरीत हो,तो यह समीकरण दो सीधी रेखाओं और एक वृत्त को दर्शाता है।

(B) प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2 = 4x$ को वृत्त के समीकरण $x^2 + y^2 - 6x + 1 = 0$ में प्रतिस्थापित करें।
इससे $x^2 + 4x - 6x + 1 = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x^2 - 2x + 1 = 0$ हो जाता है।
यह $(x - 1)^2 = 0$ है,इसलिए $x = 1$.
$x = 1$ को $y^2 = 4x$ में रखने पर,हमें $y^2 = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = 2$ या $y = -2$.
इस प्रकार,वक्र $(1, 2)$ और $(1, -2)$ बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या वे स्पर्श करते हैं,हम इन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं के ढाल की तुलना करते हैं।
परवलय $y^2 = 4x$ के लिए,अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 4$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$. $(1, 2)$ पर,ढाल $m_1 = 1$. $(1, -2)$ पर,ढाल $m_1 = -1$.
वृत्त $x^2 + y^2 - 6x + 1 = 0$ के लिए,अवकलन करने पर $2x + 2y \frac{dy}{dx} - 6 = 0$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{3 - x}{y}$. $(1, 2)$ पर,ढाल $m_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1$. $(1, -2)$ पर,ढाल $m_2 = \frac{3 - 1}{-2} = -1$.
चूंकि दोनों बिंदुओं पर ढाल समान हैं,इसलिए वक्र एक-दूसरे को ठीक दो बिंदुओं पर स्पर्श करते हैं।

(A, B, C) वृत्त $x^2+y^2=3$ और परवलय $x^2=2y$ है। $x^2=2y$ को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर $2y+y^2=3$ प्राप्त होता है,अतः $y^2+2y-3=0$,जिसके गुणनखंड $(y+3)(y-1)=0$ हैं। चूँकि $P$ प्रथम चतुर्थांश में है,$y=1$ और $x^2=2(1)=2$,अतः $x=\sqrt{2}$। इस प्रकार,$P \equiv (\sqrt{2}, 1)$।
$(\sqrt{2}, 1)$ पर $x^2+y^2=3$ की स्पर्श रेखा $\sqrt{2}x + y = 3$ है। मान लीजिए यह रेखा $L$ है। $L$ की ढाल $m = -\sqrt{2}$ है।
मान लीजिए $\theta$ वह कोण है जो रेखा $L$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ बनाती है,अतः $\tan \theta = -\sqrt{2}$। रेखा $L$ और $y$-अक्ष के बीच के कोण $\alpha$ के लिए $\tan \alpha = |\cot \theta| = \frac{1}{|\tan \theta|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
मान लीजिए $T$,$L$ और $y$-अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $\sqrt{2}x+y=3$ में $x=0$ रखने पर $T \equiv (0, 3)$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r=2\sqrt{3}$ वाले वृत्तों $C_2, C_3$ के लिए जो $L$ को $R_2, R_3$ पर स्पर्श करते हैं और केंद्र $Q_2, Q_3$ $y$-अक्ष पर हैं,दूरी $Q_3T = \frac{r}{\sin \alpha}$ है। चूँकि $\tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$। अतः $Q_3T = \frac{2\sqrt{3}}{1/\sqrt{3}} = 6$। चूँकि $Q_2, Q_3$ $T$ के सापेक्ष $y$-अक्ष पर सममित हैं,$Q_2Q_3 = 2 \times 6 = 12$। (विकल्प $A$ सही है)।
$R_3T = \frac{r}{\tan \alpha} = \frac{2\sqrt{3}}{1/\sqrt{2}} = 2\sqrt{6}$। अतः $R_2R_3 = 2 \times 2\sqrt{6} = 4\sqrt{6}$। (विकल्प $B$ सही है)।
$O(0,0)$ से $L$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|3|}{\sqrt{(\sqrt{2})^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ है। $\triangle OR_2R_3$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (4\sqrt{6}) \times \sqrt{3} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}$। (विकल्प $C$ सही है)।
$\triangle PQ_2Q_3$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times (Q_2Q_3) \times |x_P| = \frac{1}{2} \times 12 \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$। (विकल्प $D$ गलत है)।

(B) वृत्त $x^2+y^2-4x-16y+64=0$ का केंद्र $S(2, 8)$ है और त्रिज्या $r = 2$ है।
परवलय $y^2=4x$ पर बिंदु $P = (t^2, 2t)$ है।
$P$ के $S$ के निकटतम होने के लिए,$SP$ को $P$ पर परवलय का अभिलंब होना चाहिए।
अभिलंब की ढाल $-t$ है।
$SP$ की ढाल $\frac{2t-8}{t^2-2}$ है।
$\frac{2t-8}{t^2-2} = -t$ रखने पर,$t=2$ प्राप्त होता है।
अतः,$P = (4, 4)$ है।
$(A)$ $SP = \sqrt{(4-2)^2+(4-8)^2} = 2\sqrt{5}$। यह सही है।
$(C)$ $P(4, 4)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -2x+12$ है। $x$-अंतःखंड $6$ है। यह सही है।
$(D)$ $SQ$ वृत्त का अभिलंब है,अतः स्पर्शरेखा की ढाल $\frac{1}{2}$ है। यह सही है।
अतः,सही विकल्प $A, C, D$ हैं।

(A) $1.$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ की स्पर्शरेखा $y=mx+\sqrt{9m^2-4}$ है,जहाँ $m>0$ है।
यह रेखा वृत्त $x^2+y^2-8x=0$ को भी स्पर्श करती है,जिसका केंद्र $(4, 0)$ और त्रिज्या $r=4$ है।
केंद्र $(4, 0)$ से रेखा $mx-y+\sqrt{9m^2-4}=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $4$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|4m-0+\sqrt{9m^2-4}|}{\sqrt{m^2+1}}=4 \Rightarrow |4m+\sqrt{9m^2-4}|=4\sqrt{m^2+1}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $16m^2 + 9m^2 - 4 + 8m\sqrt{9m^2-4} = 16(m^2+1) = 16m^2+16$.
$8m\sqrt{9m^2-4} = 20-9m^2$.
पुनः वर्ग करने पर: $64m^2(9m^2-4) = (20-9m^2)^2 \Rightarrow 576m^4 - 256m^2 = 400 - 360m^2 + 81m^4$.
$495m^4 + 104m^2 - 400 = 0$. $m^2$ के लिए हल करने पर,$m^2 = 4/5$,अतः $m = 2/\sqrt{5}$ है।
$m$ का मान रखने पर,स्पर्शरेखा $y = \frac{2}{\sqrt{5}}x + \sqrt{9(\frac{4}{5})-4} = \frac{2}{\sqrt{5}}x + \frac{4}{\sqrt{5}}$ प्राप्त होती है।
अतः,$2x-\sqrt{5}y+4=0$,जो विकल्प $(B)$ है।
$2.$ अतिपरवलय पर एक बिंदु $(3\sec\theta, 2\tan\theta)$ है।
वृत्त के समीकरण में रखने पर: $(3\sec\theta)^2 + (2\tan\theta)^2 - 8(3\sec\theta) = 0$.
$9\sec^2\theta + 4(\sec^2\theta-1) - 24\sec\theta = 0 \Rightarrow 13\sec^2\theta - 24\sec\theta - 4 = 0$.
$(13\sec\theta+2)(\sec\theta-2) = 0$. चूँकि $\sec\theta=2$,$\tan^2\theta = 2^2-1=3$,इसलिए $\tan\theta = \pm\sqrt{3}$ है।
बिंदु $A(6, 2\sqrt{3})$ और $B(6, -2\sqrt{3})$ हैं।
$AB$ व्यास वाले वृत्त का केंद्र $(6, 0)$ और त्रिज्या $2\sqrt{3}$ है।
समीकरण: $(x-6)^2 + y^2 = (2\sqrt{3})^2 \Rightarrow x^2-12x+36+y^2=12 \Rightarrow x^2+y^2-12x+24=0$,जो विकल्प $(A)$ है।

(A,D) $(1)$ वृत्त $x^2+y^2=4$ है। बिंदु $P_0(1,1)$ वृत्त के अंदर स्थित है।
$x$-अक्ष के समानांतर जीवा $E_1E_2$ के लिए,$y=1$ है। वृत्त के समीकरण में रखने पर: $x^2+1=4 \implies x^2=3 \implies x=\pm\sqrt{3}$। अतः $E_1(-\sqrt{3}, 1)$ और $E_2(\sqrt{3}, 1)$ हैं।
$(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा $xx_1+yy_1=4$ है। $E_1, E_2$ पर स्पर्श रेखाएँ $-x\sqrt{3}+y=4$ और $x\sqrt{3}+y=4$ हैं। हल करने पर $E_3(0, 4)$ प्राप्त होता है।
$y$-अक्ष के समानांतर जीवा $F_1F_2$ के लिए,$x=1$ है। वृत्त के समीकरण में रखने पर: $1+y^2=4 \implies y^2=3 \implies y=\pm\sqrt{3}$। अतः $F_1(1, \sqrt{3})$ और $F_2(1, -\sqrt{3})$ हैं।
$F_1, F_2$ पर स्पर्श रेखाएँ $x+y\sqrt{3}=4$ और $x-y\sqrt{3}=4$ हैं। हल करने पर $F_3(4, 0)$ प्राप्त होता है।
$P_0(1,1)$ से गुजरने वाली और $-1$ ढाल वाली जीवा $G_1G_2$ के लिए,रेखा $y-1=-1(x-1) \implies x+y=2$ है। $x^2+y^2=4$ के साथ प्रतिच्छेदन: $x^2+(2-x)^2=4 \implies 2x^2-4x=0 \implies x=0, 2$। अतः $G_1(0, 2)$ और $G_2(2, 0)$ हैं।
$G_1(0, 2)$ पर स्पर्श रेखा $y=2$ है। $G_2(2, 0)$ पर स्पर्श रेखा $x=2$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $G_3(2, 2)$ है।
बिंदु $E_3(0, 4), F_3(4, 0), G_3(2, 2)$ सभी $x+y=4$ को संतुष्ट करते हैं। सही विकल्प $(A)$ है।
$(2)$ मान लीजिए $P(2\cos\theta, 2\sin\theta)$ है। स्पर्श रेखा $x\cos\theta+y\sin\theta=2$ है। अंतःखंड $M(2/\cos\theta, 0)$ और $N(0, 2/\sin\theta)$ हैं।
मध्य-बिंदु $(h, k) = (1/\cos\theta, 1/\sin\theta)$ है।
अतः $\cos\theta=1/h$ और $\sin\theta=1/k$ है। चूँकि $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ है,हमारे पास $1/h^2+1/k^2=1 \implies h^2+k^2=h^2k^2$ है।
बिंदुपथ $x^2+y^2=x^2y^2$ है। सही विकल्प $(D)$ है।

(A) $1$. $C_1$ और $C_2$ के लिए,केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{3^2+4^2} = 5$ है। त्रिज्याएँ $r_1=3$ और $r_2=4$ हैं। चूँकि $C_1$ और $C_2$ वृत्त $C_3$ के अंदर हैं और उसे $M$ और $N$ पर स्पर्श करते हैं,$C_3$ का व्यास $2r = MN = MC_1 + C_1C_2 + C_2N = 3 + 5 + 4 = 12$ है,इसलिए $r=6$ है।
$2$. $C_3$ का केंद्र $(0,0)$ और $(3,4)$ को जोड़ने वाली रेखा $y = \frac{4}{3}x$ पर स्थित है। केंद्र इस रेखा पर $(0,0)$ से $r_4 = 3$ की दूरी पर है,जिससे $(h, k) = (3 \cos \theta, 3 \sin \theta) = (3 \cdot \frac{3}{5}, 3 \cdot \frac{4}{5}) = (\frac{9}{5}, \frac{12}{5})$ प्राप्त होता है। अतः,$2h+k = 2(\frac{9}{5}) + \frac{12}{5} = \frac{18+12}{5} = 6$ है। इसलिए $(I)-(P)$ सही है।
$3$. $C_1$ और $C_2$ की उभयनिष्ठ जीवा $XY$,$3x+4y-9=0$ है। $(0,0)$ से $XY$ की दूरी $p_1 = \frac{9}{5}$ है। $XY = 2\sqrt{r_1^2-p_1^2} = 2\sqrt{9 - \frac{81}{25}} = \frac{24}{5}$ है।
$4$. $C_3$ के लिए,केंद्र $(\frac{9}{5}, \frac{12}{5})$ से $3x+4y-9=0$ की दूरी $p = \frac{6}{5}$ है। $ZW = 2\sqrt{r^2-p^2} = 2\sqrt{36 - \frac{36}{25}} = \frac{48\sqrt{6}}{5}$ है।
$5$. $\frac{ZW}{XY} = 2\sqrt{6}$ है। इसलिए $(II)-(T)$ सही है।
$6$. $\frac{\text{Area } MZN}{\text{Area } ZMW} = \frac{5}{4}$ सही है। $\alpha = 10/3$ सही है।
$7$. गलत संयोजन: $(IV)-(S)$ गलत है क्योंकि $\alpha = 10/3$ है। सही संयोजन: $(I)-(P), (II)-(T), (III)-(R), (IV)-(U)$।

(D,B) गुणोत्तर श्रेणी $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$ के लिए,योग $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2^{i-1}} = 2(1 - \frac{1}{2^n}) = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$ है।
$(1)$ वृत्त $C_n$ का केंद्र $(S_{n-1}, 0) = (2 - \frac{1}{2^{n-2}}, 0)$ और त्रिज्या $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$ है।
$C_n$,$M$ के अंदर है यदि मूल बिंदु से वृत्त के सबसे दूर के बिंदु की दूरी $\leq r$ है।
सबसे दूर का बिंदु $|S_{n-1}| + a_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$ की दूरी पर है।
दिए गए $r = \frac{1025}{513} \approx 1.998$ के लिए,$2 - \frac{1}{2^{n-1}} \leq \frac{1025}{513} \implies \frac{1}{2^{n-1}} \geq \frac{1}{513}$ है।
चूंकि $2^9 = 512 < 513 \leq 2^{10}$,इसलिए $n-1 \leq 9$,अतः $n \leq 10$ है। इस प्रकार $k = 10$ है।
चूंकि वृत्त $C_n$ स्पर्शरेखा हैं,इसलिए कोई भी दो वृत्त न काटने वाले वृत्तों की अधिकतम संख्या $l = 5$ है।
$3k + 2l = 3(10) + 2(5) = 40$ है। सही विकल्प $(D)$ है।
$(2)$ वृत्त $D_n$ का केंद्र $(S_{n-1}, S_{n-1})$ और त्रिज्या $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$ है।
$D_n$,$M$ के अंदर है यदि $\sqrt{S_{n-1}^2 + S_{n-1}^2} + a_n \leq r \implies S_{n-1}\sqrt{2} + \frac{1}{2^{n-1}} \leq r$ है।
$(2 - \frac{1}{2^{n-2}})\sqrt{2} + \frac{1}{2^{n-1}} \leq (2 - \frac{1}{2^{198}})\sqrt{2}$ है।
यह $n-1 \leq 198$ के लिए सत्य है,इसलिए $n \leq 199$ है। इस प्रकार वृत्तों की संख्या $199$ है। सही विकल्प $(B)$ है।

(A) $1.$ वृत्त $x^2+y^2=4$ के लिए बिंदु $P(\sqrt{3}, 1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $\sqrt{3}x + y = 4$ है।
वृत्तों के केंद्र $C_1(0,0)$ (त्रिज्या $r_1=2$) और $C_2(3,0)$ (त्रिज्या $r_2=1$) हैं।
बाह्य समानता का केंद्र $B$,$C_1C_2$ को $2:1$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है,अतः $B(6,0)$ है।
उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण $y-0 = m(x-6)$ लेने पर,$mx - y - 6m = 0$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(0,0)$ से लंबवत दूरी त्रिज्या $2$ के बराबर है,अतः $\left|\frac{-6m}{\sqrt{m^2+1}}\right| = 2$,जिसे हल करने पर $m = \pm \frac{1}{2\sqrt{2}}$ मिलता है।
अतः समीकरण $x \pm 2\sqrt{2}y = 6$ है। इसलिए $(D)$ सही विकल्प है।
$2.$ $PT$ की ढाल $-\sqrt{3}$ है,इसलिए $L$ की ढाल $\frac{1}{\sqrt{3}}$ होगी।
$L$ का समीकरण $x - \sqrt{3}y + k = 0$ लेने पर,वृत्त $(x-3)^2+y^2=1$ के केंद्र $(3,0)$ से लंबवत दूरी $1$ है।
$\left|\frac{3+k}{2}\right| = 1$ से $k = -1$ या $k = -5$ प्राप्त होता है।
अतः $x - \sqrt{3}y = 1$ या $x - \sqrt{3}y = 5$ संभव है। विकल्प $(C)$ में $x - \sqrt{3}y = -1$ दिया गया है।

(B) परवलय $y=x^2+px-3$ दिया गया है।
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $P, Q$ और $R$ हैं।
$y$-अंतःखंड के लिए $x=0$ रखने पर,$y=-3$ प्राप्त होता है। अतः,$R=(0,-3)$ है।
$x$-अंतःखंड के लिए $y=0$ रखने पर,$x^2+px-3=0$ प्राप्त होता है। मान लीजिए मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं,तो $P=(\alpha, 0)$ और $Q=(\beta, 0)$ हैं।
$(-1,-1)$ केंद्र वाले वृत्त का समीकरण $(x+1)^2+(y+1)^2=r^2$ है।
चूंकि वृत्त $R(0,-3)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $(0+1)^2+(-3+1)^2=r^2$,जिससे $1^2+(-2)^2=r^2$ अर्थात $r^2=5$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $(x+1)^2+(y+1)^2=5$ है।
वृत्त के $x$-अंतःखंड के लिए $y=0$ रखने पर: $(x+1)^2+(0+1)^2=5 \implies (x+1)^2=4 \implies x+1=\pm 2$।
अतः,$x=1$ या $x=-3$ है। यानी $P=(1,0)$ और $Q=(-3,0)$ हैं।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(1,0), (-3,0)$ और $(0,-3)$ हैं,$\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ द्वारा प्राप्त होता है।
आधार $PQ = |1 - (-3)| = 4$ है।
ऊंचाई ($x$-अक्ष से $R$ की दूरी) $= |-3| = 3$ है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6$।

(A) वृत्त $C$ दूसरे चतुर्थांश में है और दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $(-2, 2)$ और त्रिज्या $R = 2$ है।
वृत्त $C$ का समीकरण $(x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$ है।
दूसरे वृत्त का केंद्र $(2, 5)$ और त्रिज्या $r$ है। इसका समीकरण $(x - 2)^2 + (y - 5)^2 = r^2$ है।
केंद्रों $(-2, 2)$ और $(2, 5)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ है।
दो वृत्तों के दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d$ को $|R - r| < d < R + r$ शर्त को पूरा करना चाहिए।
मान रखने पर,$|2 - r| < 5 < 2 + r$ प्राप्त होता है।
$5 < 2 + r$ से,$r > 3$ प्राप्त होता है।
$|2 - r| < 5$ से,$-5 < 2 - r < 5$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $-3 < r < 7$।
इन दोनों को मिलाने पर,$3 < r < 7$ प्राप्त होता है।
अतः,अंतराल $(\alpha, \beta)$ $(3, 7)$ है,इसलिए $\alpha = 3$ और $\beta = 7$ है।
$3 \beta - 2 \alpha = 3(7) - 2(3) = 21 - 6 = 15$।

(A) परवलय $y^2 = 4x$ है,इसलिए इसकी नाभि $S(1, 0)$ है।
मान लीजिए $P(t^2, 2t)$ परवलय पर एक बिंदु है। $P$ पर अभिलंब $y + tx = 2t + t^3$ है।
अभिलंब $(a, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $0 + t(a) = 2t + t^3$,जिससे $a = 2 + t^2$ प्राप्त होता है।
दूरी $PR = 4$,जहाँ $R = (a, 0) = (2+t^2, 0)$ है।
$PR^2 = (t^2-a)^2 + (2t)^2 = (t^2 - (2+t^2))^2 + 4t^2 = 4 + 4t^2 = 16$.
$4t^2 = 12 \Rightarrow t^2 = 3$.
अतः $a = 2 + 3 = 5$। बिंदु $(5, 0)$ है।
वृत्त $(5, 0)$ और नाभि $(1, 0)$ से गुजरता है और इसका केंद्र $x$-अक्ष पर है।
व्यास के अंतिम बिंदु $(1, 0)$ और $(5, 0)$ हैं।
समीकरण: $(x-1)(x-5) + y^2 = 0 \Rightarrow x^2 + y^2 - 6x + 5 = 0$.

(C) दिया गया परवलय $y^2 = 4(x + 4)$ है। यहाँ नाभि $(-3, 0)$ है।
वृत्त का समीकरण $(x + 3)^2 + y^2 = 25$ है।
रेखाओं $3x - y = 0$ और $x + \lambda y = 4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{4}{1 + 3\lambda}, \frac{12}{1 + 3\lambda})$ है।
इस बिंदु को वृत्त के समीकरण में रखने पर,हमें $6\lambda^2 + \lambda - 7 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः $\lambda_1 = -7/6$ और $\lambda_2 = 1$ प्राप्त होते हैं।
$12\lambda_1 + 29\lambda_2 = 12(-7/6) + 29(1) = -14 + 29 = 15$.

(D) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ है। इसका केंद्र $(1, -2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{1^2 + (-2)^2 - (-4)} = \sqrt{1+4+4} = 3$ है।
माना वृत्त $C$ का केंद्र $O(h, k)$ है। रेखा $2x-3y+5=0$ के सापेक्ष $(1, -2)$ का प्रतिबिंब इस प्रकार है:
$\frac{h-1}{2} = \frac{k+2}{-3} = \frac{-2(2(1)-3(-2)+5)}{2^2+(-3)^2} = \frac{-2(2+6+5)}{13} = -2$.
अतः,$h-1 = -4 \Rightarrow h = -3$ और $k+2 = 6 \Rightarrow k = 4$. इसलिए,$O = (-3, 4)$.
वृत्त $C$ का समीकरण $(x+3)^2+(y-4)^2 = 3^2 = 9$ है।
बिंदु $A$,$C$ पर इस प्रकार है कि $OA$,$x$-अक्ष के समांतर है और $A$,$O$ के दाईं ओर है। चूँकि $O=(-3, 4)$ और $r=3$ है,इसलिए $A = (-3+3, 4) = (0, 4)$ प्राप्त होता है।
चाप $AB$ की लंबाई परिधि का $1/6$ भाग है,इसलिए केंद्रीय कोण $\theta = \frac{1}{6} \times 2\pi = \frac{\pi}{3}$ है।
चूँकि $B(\alpha, \beta)$,$C$ पर स्थित है और $\beta < 4$ है,इसलिए $B$,क्षैतिज रेखा $y=4$ के नीचे है। अतः,$\beta = 4 - 3\sin(\pi/3) = 4 - 3\sqrt{3}/2$ और $\alpha = -3 + 3\cos(\pi/3) = -3 + 1.5 = -1.5$ प्राप्त होता है।
अतः $\beta - \sqrt{3}\alpha = (4 - 3\sqrt{3}/2) - \sqrt{3}(-1.5) = 4 - 1.5\sqrt{3} + 1.5\sqrt{3} = 4$.

(D) दिया गया परवलय $y^2=8x$ है,जहाँ $4a=8 \Rightarrow a=2$ है। परवलय के बिंदु $(at^2, 2at)$ पर अभिलंब का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है।
ढाल $m$ का उपयोग करते हुए,अभिलंब $y = mx - 4m - 2m^3$ है।
दिया गया वृत्त $x^2+y^2+12y+35=0$ है,जिसे $x^2+(y+6)^2=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। केंद्र $C(0, -6)$ और त्रिज्या $r=1$ है।
वक्रों के बीच की न्यूनतम दूरी केंद्र $C$ से परवलय तक की दूरी में से त्रिज्या $r$ को घटाने पर प्राप्त होती है।
$C(0, -6)$ से परवलय पर अभिलंब $-6 = m(0) - 4m - 2m^3$ को संतुष्ट करता है,इसलिए $2m^3 + 4m - 6 = 0$,जो $m^3 + 2m - 3 = 0$ में सरल होता है।
निरीक्षण द्वारा,$m=1$ एक मूल है। अतः,$(m-1)(m^2+m+3)=0$। चूंकि $m^2+m+3=0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है,इसलिए $m=1$ है।
परवलय पर बिंदु $P$ जहाँ अभिलंब $C$ से गुजरता है,वह $(2, -4)$ है।
दूरी $PC = \sqrt{(2-0)^2 + (-4 - (-6))^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$ है।
अतः,न्यूनतम दूरी $PC - r = 2\sqrt{2} - 1$ है।

(D) वृत्त $C: x^2 + (y-1)^2 = 2$ है। $P(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x x_1 + (y-1)(y_1-1) = 2$ है। इसे $x+y=3$ से तुलना करने पर,$P = (1, 2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $P$,$QR$ का मध्य-बिंदु है और $PQ = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ है,रेखा $x+y=3$ के प्राचलिक रूप का उपयोग करने पर,$Q$ और $R$ के निर्देशांक $(\frac{5}{3}, \frac{4}{3})$ और $(\frac{1}{3}, \frac{8}{3})$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$x_1y_1 = 2$,$x_2y_2 = \frac{20}{9}$,और $x_3y_3 = \frac{8}{9}$ है।
परिणामस्वरूप,$9(x_1y_1 + x_2y_2 + x_3y_3) = 9(2 + \frac{28}{9}) = 46$।

(A) $x$-अक्ष को $(a, 0)$ पर स्पर्श करने वाले और $r$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण $(x - a)^2 + (y - r)^2 = r^2$ है।
चूंकि यह $(4, 6)$ से गुजरता है,इसलिए $(4 - a)^2 + (6 - r)^2 = r^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,$16 - 8a + a^2 + 36 - 12r + r^2 = r^2$,जो सरल होकर $a^2 - 8a - 12r + 52 = 0$ (समीकरण $1$) देता है।
परवलय $y^2 = 9x$ की $(4, 6)$ पर स्पर्श रेखा $y(6) = \frac{9}{2}(x + 4)$ है,जो सरल होकर $12y = 9x + 36$ या $3x - 4y + 12 = 0$ हो जाती है।
चूंकि वृत्त इस रेखा को $(4, 6)$ पर स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र $(a, r)$ से रेखा $3x - 4y + 12 = 0$ की दूरी $r$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|3a - 4r + 12|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = r$,जो $|3a - 4r + 12| = 5r$ देता है।
इसका अर्थ है $3a - 4r + 12 = 5r$ या $3a - 4r + 12 = -5r$ है।
स्थिति $1$: $3a - 9r + 12 = 0 \Rightarrow a = 3r - 4$. समीकरण $1$ में रखने पर: $(3r - 4)^2 - 8(3r - 4) - 12r + 52 = 0$.
$9r^2 - 24r + 16 - 24r + 32 - 12r + 52 = 0$ $\Rightarrow 9r^2 - 60r + 100 = 0$ $\Rightarrow (3r - 10)^2 = 0$ $\Rightarrow r = \frac{10}{3}$.
स्थिति $2$: $3a + r + 12 = 0 \Rightarrow a = \frac{-r - 12}{3}$. समीकरण $1$ में रखने पर: $(\frac{-r - 12}{3})^2 - 8(\frac{-r - 12}{3}) - 12r + 52 = 0$.
$9$ से गुणा करने पर: $(r + 12)^2 + 24(r + 12) - 108r + 468 = 0$.
$r^2 + 24r + 144 + 24r + 288 - 108r + 468 = 0$ $\Rightarrow r^2 - 60r + 900 = 0$ $\Rightarrow (r - 30)^2 = 0$ $\Rightarrow r = 30$.
चूंकि $a < 0$,$r = 30$ के लिए,$a = \frac{-30 - 12}{3} = -14 < 0$,जो मान्य है। अतः,$r = 30$.

(D) दिया गया समीकरण $(ax^2 + by^2 + c)(x^2 - 5xy + 6y^2) = 0$ है।
इसका अर्थ है कि या तो $ax^2 + by^2 + c = 0$ या $x^2 - 5xy + 6y^2 = 0$ है।
दूसरे भाग $x^2 - 5xy + 6y^2 = 0$ को $(x - 2y)(x - 3y) = 0$ के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली दो सीधी रेखाओं को दर्शाता है।
यदि $a = b$ हो और $c$ का चिह्न $a$ के विपरीत हो,तो पहला भाग $ax^2 + ay^2 + c = 0$ समीकरण $x^2 + y^2 = -c/a$ बन जाता है,जो एक वृत्त को दर्शाता है।
अतः,यह समीकरण दो सीधी रेखाओं और एक वृत्त को दर्शाता है।
इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(D) दिया गया परवलय $y^{2}=8x$ है। $y^{2}=4ax$ से तुलना करने पर,$4a=8$,अतः $a=2$ प्राप्त होता है।
परवलय की कोई भी स्पर्शरेखा $y=mx+\frac{a}{m}$ के रूप में होती है,जिसे $mx-y+\frac{2}{m}=0$ लिखा जा सकता है।
यदि यह रेखा वृत्त $x^{2}+y^{2}=2$ (केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $r=\sqrt{2}$) की स्पर्शरेखा है,तो केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|\frac{2}{m}|}{\sqrt{m^{2}+1}}=\sqrt{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{4}{m^{2}}=2(m^{2}+1)$ $\Rightarrow 2=m^{2}(m^{2}+1)$ $\Rightarrow m^{4}+m^{2}-2=0$.
माना $t=m^{2}$,तो $t^{2}+t-2=0 \Rightarrow (t+2)(t-1)=0$. चूँकि $m^{2} \geq 0$,इसलिए $m^{2}=1$,अतः $m=\pm 1$.
यदि $m=1$ है,तो स्पर्शरेखा $x-y+2=0 \Rightarrow y=x+2$ है।
यदि $m=-1$ है,तो स्पर्शरेखा $-x-y-2=0 \Rightarrow x+y=-2$ है।
$x+y=-2$ की तुलना दिए गए समीकरण $x+y=k$ से करने पर,$k=-2$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}+2x-2y+7=0$ है।
इसे मानक रूप $x^{2}+y^{2}+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=1$,$f=-1$,और $c=7$ प्राप्त होता है।
वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{g^{2}+f^{2}-c}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$r = \sqrt{1^{2}+(-1)^{2}-7} = \sqrt{1+1-7} = \sqrt{-5}$।
चूंकि त्रिज्या $\sqrt{-5}$ है,जो एक काल्पनिक संख्या है,इसलिए दिया गया समीकरण एक वास्तविक वृत्त को निरूपित नहीं करता है।
अतः,कोई भी वास्तविक वृत्त इस काल्पनिक वृत्त को लंबकोणीय रूप से नहीं काट सकता है।
इसलिए,ऐसे वास्तविक वृत्तों की संख्या $0$ है।

(A) $P$ के निर्देशांक $(a \cos \theta, a \sin \theta)$ मानिए। चूँकि $P$ और $Q$ व्यास के अंतिम बिंदु हैं,$Q$ के निर्देशांक $(-a \cos \theta, -a \sin \theta)$ होंगे।
रेखा $x+y-1=0$ है।
$P(a \cos \theta, a \sin \theta)$ से लंबवत दूरी $s = \frac{|a(\cos \theta + \sin \theta) - 1|}{\sqrt{2}}$ है।
$Q(-a \cos \theta, -a \sin \theta)$ से लंबवत दूरी $t = \frac{|a(\cos \theta + \sin \theta) + 1|}{\sqrt{2}}$ है।
$u = a(\cos \theta + \sin \theta)$ लेने पर,गुणनफल $st = \frac{|u^2-1|}{2}$ प्राप्त होता है।
अधिकतम मान के लिए $u^2 = 2a^2$ रखने पर,$s$ और $t$ के मान $a \mp \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होते हैं।
अतः बड़ा मान $a + \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-4y+2=0$ है ...$(i)$.
रेखा $x+y=k$ का उपयोग करके समीकरण $(i)$ को समघात बनाने पर:
$x^2+y^2-2x\left(\frac{x+y}{k}\right)-4y\left(\frac{x+y}{k}\right)+2\left(\frac{x+y}{k}\right)^2=0$.
$k^2$ से गुणा करने पर:
$k^2x^2+k^2y^2-2kx(x+y)-4ky(x+y)+2(x+y)^2=0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(k^2-2k+2)x^2 + (4-6k)xy + (k^2-4k+2)y^2 = 0$.
चूँकि $\angle AOB=90^{\circ}$ है,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(k^2-2k+2) + (k^2-4k+2) = 0$.
$2k^2-6k+4 = 0$.
$k^2-3k+2 = 0$.
$(k-2)(k-1) = 0$.
अतः,$k=2$ या $k=1$.
चूँकि $k>1$ दिया गया है,इसलिए $k=2$ है।

(A) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 4y = 0$ है,जिसे $x^2 + (y - 2)^2 = 2^2$ के रूप में लिखा जा सकता है। इसका केंद्र $C_1(0, 2)$ और त्रिज्या $r_1 = 2$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r = R/2$ है।
चूंकि यह $x^2 + y^2 - 4y = 0$ को स्पर्श करता है,केंद्रों के बीच की दूरी $d = r_1 + r = 2 + R/2$ होगी।
अतः,$\sqrt{h^2 + (k - 2)^2} = 2 + R/2$.
साथ ही,वृत्त $(4, 5)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $(4 - h)^2 + (5 - k)^2 = (R/2)^2$.
इन शर्तों को हल करने पर,व्यास $R$ के लिए $3 \leq R \leq 7$ प्राप्त होता है।

(C) रेखाएँ $x+y=2$ और $x-y=2$ बिंदु $(2, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ है।
चूंकि वृत्त इन रेखाओं को स्पर्श करता है,केंद्र कोण समद्विभाजक पर स्थित होगा,यानी $y=0$।
$x^2+y^2=1$ को स्पर्श करने की शर्त के अनुसार,केंद्र $(\sqrt{2}, 0)$ और त्रिज्या $\sqrt{2}-1$ प्राप्त होती है।
अतः,समीकरण $(x-\sqrt{2})^2+y^2=(\sqrt{2}-1)^2$ है।

(D) बिंदु $A(4,2)$ वृत्त $x^2+y^2-2x-4y+\alpha=0$ पर स्थित है।
$A$ के निर्देशांकों को समीकरण में रखने पर:
$16+4-8-8+\alpha=0 \Rightarrow \alpha=-4$.
वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-4y-4=0$ है।
बिंदु $P(5,3)$ की वृत्त के सापेक्ष शक्ति $PA \cdot PB$ द्वारा दी जाती है।
वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के लिए बिंदु $(x_0, y_0)$ की शक्ति $x_0^2+y_0^2+2gx_0+2fy_0+c$ होती है।
$P(5,3)$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$PA \cdot PB = 5^2+3^2-2(5)-4(3)-4 = 25+9-10-12-4 = 8$.

(D) माना दिए गए वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2-13=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2+x-2y-14=0$ हैं।
किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ के वृत्त $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के अंदर स्थित होने के लिए,$S(x_1, y_1) < 0$ होना चाहिए।
पहले वृत्त के लिए $S_1(2, \lambda) < 0$:
$2^2 + \lambda^2 - 13 < 0$
$4 + \lambda^2 - 13 < 0$
$\lambda^2 - 9 < 0$
$(\lambda - 3)(\lambda + 3) < 0$
$-3 < \lambda < 3$ ...$(i)$
दूसरे वृत्त के लिए $S_2(2, \lambda) < 0$:
$2^2 + \lambda^2 + 2 - 2\lambda - 14 < 0$
$4 + \lambda^2 + 2 - 2\lambda - 14 < 0$
$\lambda^2 - 2\lambda - 8 < 0$
$(\lambda - 4)(\lambda + 2) < 0$
$-2 < \lambda < 4$ ...(ii)
$(i)$ और (ii) का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\lambda \in (-2, 3)$.

(A) मान लीजिए वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि बिंदु $(x_i, \frac{1}{x_i})$ वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए $x_i^2 + (\frac{1}{x_i})^2 + 2gx_i + 2f(\frac{1}{x_i}) + c = 0$।
$x_i^2$ से गुणा करने पर,हमें चतुर्थ घात का समीकरण प्राप्त होता है:
$x_i^4 + 2gx_i^3 + cx_i^2 + 2fx_i + 1 = 0$।
इस समीकरण के मूल $x_1, x_2, x_3, x_4$ हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,चतुर्थ घात समीकरण $ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$ के मूलों का गुणनफल $\frac{e}{a}$ होता है।
यहाँ,$a = 1$ और $e = 1$ है।
अतः,$x_1 x_2 x_3 x_4 = \frac{1}{1} = 1$।

(B) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x-10y+p=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-3)^2+(y-5)^2 = 34-p$ प्राप्त होता है।
वृत्त के अस्तित्व के लिए,त्रिज्या का वर्ग धनात्मक होना चाहिए: $34-p > 0 \Rightarrow p < 34$ ... $(i)$।
चूंकि वृत्त निर्देशांक अक्षों को स्पर्श या प्रतिच्छेद नहीं करता है,इसलिए केंद्र $(3,5)$ से अक्षों की दूरी त्रिज्या $r = \sqrt{34-p}$ से अधिक होनी चाहिए।
$x$-अक्ष के लिए,दूरी $|y_c| = 5$ है। अतः,$r < 5$ $\Rightarrow \sqrt{34-p} < 5$ $\Rightarrow 34-p < 25$ $\Rightarrow p > 9$ ... $(ii)$।
$y$-अक्ष के लिए,दूरी $|x_c| = 3$ है। अतः,$r < 3$ $\Rightarrow \sqrt{34-p} < 3$ $\Rightarrow 34-p < 9$ $\Rightarrow p > 25$ ... $(iii)$।
चूंकि बिंदु $(1,4)$ वृत्त के अंदर स्थित है,इसे वृत्त के समीकरण में रखने पर मान ऋणात्मक होना चाहिए: $1^2+4^2-6(1)-10(4)+p < 0$ $\Rightarrow 1+16-6-40+p < 0$ $\Rightarrow p-29 < 0$ $\Rightarrow p < 29$ ... $(iv)$।
असमिकाओं $(i), (ii), (iii),$ और $(iv)$ को संयोजित करने पर,हमें $25 < p < 29$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(A) वृत्त $S \equiv x^2+y^2-2x-4y+3=0$ के सापेक्ष बिंदु $B(-1, 1)$ की पावर:
$p = (-1)^2 + (1)^2 - 2(-1) - 4(1) + 3 = 1 + 1 + 2 - 4 + 3 = 3$.
स्पर्श रेखा की लंबाई $t = \sqrt{p}$ है,इसलिए $t = \sqrt{3}$ और $t^2 = 3$.
वृत्त $S^{\prime}$ का केंद्र $(p, t^2) = (3, 3)$ है और यह मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है।
त्रिज्या का वर्ग $r^2 = (3-0)^2 + (3-0)^2 = 9 + 9 = 18$.
अतः,वृत्त $S^{\prime}$ का समीकरण $(x-3)^2 + (y-3)^2 = 18$ है।
बिंदु $(2, 3)$ के लिए पावर की गणना करने पर:
$(2-3)^2 + (3-3)^2 - 18 = 1 - 18 = -17$.
चूंकि पावर ऋणात्मक $(-17 < 0)$ है,इसलिए बिंदु $(2, 3)$ वृत्त $S^{\prime} = 0$ के अंदर स्थित है।

(A) रेखा वृत्त $x^2+y^2-4y-6=0$ के अभिलंब है,इसलिए यह इसके केंद्र $(0, 2)$ से होकर गुजरती है।
माना रेखा की ढाल $m$ है। रेखा का समीकरण $y-2=m(x-0)$ अर्थात $mx-y+2=0$ है।
यह रेखा वृत्त $x^2+y^2-2x-3=0$ को स्पर्श करती है,जिसका केंद्र $(1, 0)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
केंद्र $(1, 0)$ से रेखा $mx-y+2=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $2$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|m(1)-0+2|}{\sqrt{m^2+(-1)^2}} = 2$
$|m+2| = 2\sqrt{m^2+1}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(m+2)^2 = 4(m^2+1)$
$m^2+4m+4 = 4m^2+4$
$3m^2-4m = 0$
$m(3m-4) = 0$
अतः,$m=0$ या $m=\frac{4}{3}$ है।
यदि $m=0$ है,तो रेखा $y=2$ प्राप्त होती है।
यदि $m=\frac{4}{3}$ है,तो रेखा $4x-3y+6=0$ प्राप्त होती है।

(A) दो रेखाओं $L_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $L_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$ के वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के सापेक्ष संयुग्मी होने की शर्त $r^2(a_1a_2 + b_1b_2) = (g a_1 + f b_1 - c_1)(g a_2 + f b_2 - c_2)$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 - 4x + 3y - 1 = 0$ के लिए,$g = -2$,$f = 3/2$,और $c = -1$ है।
त्रिज्या का वर्ग $r^2 = g^2 + f^2 - c = (-2)^2 + (3/2)^2 - (-1) = 4 + 9/4 + 1 = 29/4$ है।
रेखा $L_1: 2x + y + 12 = 0$ के लिए,$a_1 = 2, b_1 = 1, c_1 = 12$ है।
रेखा $L_2: kx - 3y - 10 = 0$ के लिए,$a_2 = k, b_2 = -3, c_2 = -10$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$\frac{29}{4}(2k - 3) = (-2(2) + \frac{3}{2}(1) - 12)(-2(k) + \frac{3}{2}(-3) - (-10))$
$\frac{29}{4}(2k - 3) = (-14.5)(-2k + 5.5)$
$\frac{1}{2}(2k - 3) = -(-2k + 5.5)$
$k - 1.5 = 2k - 5.5$
$k = 4$.

(B) रेखाएँ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$ और $a_2x + b_2y + c_2 = 0$ वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के सापेक्ष संयुग्मी होती हैं यदि $r^2(a_1a_2 + b_1b_2) = (a_1g + b_1f - c_1)(a_2g + b_2f - c_2)$ हो।
दिया गया वृत्त: $x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$,अतः $g = -1, f = -1, c = 1$.
त्रिज्या का वर्ग $r^2 = g^2 + f^2 - c = (-1)^2 + (-1)^2 - 1 = 1$.
रेखाओं $kx + 2y - 4 = 0$ और $5x - 2y - 4 = 0$ के लिए,$a_1 = k, b_1 = 2, c_1 = -4$ और $a_2 = 5, b_2 = -2, c_2 = -4$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$1(k \times 5 + 2 \times (-2)) = (k(-1) + 2(-1) - (-4))(5(-1) + (-2)(-1) - (-4))$
$5k - 4 = (-k - 2 + 4)(-5 + 2 + 4)$
$5k - 4 = (-k + 2)(1)$
$5k - 4 = -k + 2$
$6k = 6$
$k = 1$.