उन वृत्तों के केंद्रों का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जिनके लिए बिंदु $(2, 3)$ जीवा $5x + 2y = 16$ का मध्य बिंदु है:

$5$ इकाई त्रिज्या वाले दो वृत्त एक-दूसरे को $(1,2)$ पर स्पर्श करते हैं और $4x+3y=10$ उनकी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है। दिए गए दो वृत्तों में से उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए,जिसका कुछ भाग प्रत्येक चतुर्थांश में स्थित है।

वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ पर उन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं जहाँ यह वृत्त $x^2 + y^2 - (\lambda + 6)x + (8 - 2\lambda)y - 3 = 0$ से मिलता है,जहाँ $\lambda$ एक चर है। इन स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का बिंदुपथ है:

मूल बिंदु से वृत्त $x^2 + y^2 + 20(x + y) + 20 = 0$ पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म खींचा गया है। स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण है

$a$ के मानों का वह परिसर ज्ञात कीजिए जिसके लिए बिंदु $(a, 0)$ से वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ को संतुष्ट करता है:

यदि मूलबिंदु से तीन वृत्तों $x^2 + y^2 - 2\lambda_i x = c^2$ $(i = 1, 2, 3)$ के केंद्रों की दूरियाँ $G.P.$ में हैं,तो वृत्त $x^2 + y^2 = c^2$ पर स्थित किसी भी बिंदु से उन पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई किसमें होगी?