Mix Examples-Circle and System of Circles Questions in Hindi

(B) वृत्त के व्यासों के समीकरण हैं:
$2x - 3y + 1 = 0$ ...$(i)$
$4x - 5y - 1 = 0$ ...(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को हल करने पर,हमें वृत्त का केंद्र $C = (-g, -f) = (3, 4)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $g = -3$ और $f = -4$.
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x - 8y - 11 = 0$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = CQ = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 - (-11)} = \sqrt{9 + 16 + 11} = \sqrt{36} = 6$.
केंद्र $C(3, 4)$ और बिंदु $P(-2, -2)$ के बीच की दूरी $CP = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (4 - (-2))^2} = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}$.
समकोण त्रिभुज $\triangle CQP$ में,स्पर्श रेखा की लंबाई $PQ = \sqrt{CP^2 - CQ^2} = \sqrt{61 - 36} = \sqrt{25} = 5$.
चतुर्भुज $PQCR$ का क्षेत्रफल $\triangle CQP$ और $\triangle CRP$ के क्षेत्रफलों का योग है।
$PQCR$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \text{Area}(\triangle CQP) = 2 \times (\frac{1}{2} \times CQ \times PQ) = 6 \times 5 = 30$ वर्ग इकाइयाँ।

(C) बिंदु $P(0, b)$ से वृत्त $x^2+y^2=16$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के युग्म का समीकरण $SS_1 = T^2$ के अनुसार $(x^2+y^2-16)(b^2-16) = (by-16)^2$ है।
$X$-अक्ष पर बिंदुओं $A$ और $B$ के लिए,समीकरण में $y=0$ रखने पर:
$(x^2-16)(b^2-16) = (-16)^2 = 256$
$x^2-16 = \frac{256}{b^2-16}$
$x^2 = \frac{16b^2}{b^2-16} \Rightarrow x = \pm \frac{4b}{\sqrt{b^2-16}}$
अतः,$A$ और $B$ के निर्देशांक $(\pm \frac{4b}{\sqrt{b^2-16}}, 0)$ हैं।
$\triangle PAB$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{8b}{\sqrt{b^2-16}} \right) \times |b| = \frac{4b^2}{\sqrt{b^2-16}}$.
क्षेत्रफल को न्यूनतम करने के लिए,$b$ के सापेक्ष अवकलन करके $0$ के बराबर रखने पर:
$\frac{d\Delta}{db} = 0 \Rightarrow b^2 = 32$.
$b^2=32$ के लिए,$x$-निर्देशांक $\pm 4\sqrt{2}$ प्राप्त होते हैं।
शीर्ष $P(0, 4\sqrt{2})$,$A(4\sqrt{2}, 0)$ और $B(-4\sqrt{2}, 0)$ हैं।
अतः,परिवृत्त का समीकरण $x^2+y^2=32$ प्राप्त होता है।

(C) माना दो वृत्त $C_1$ और $C_2$ हैं।
$C_1: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ जिसका केंद्र $O(-g, -f)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{g^2+f^2-c}$ है।
$C_2: x^2+y^2+2gx+2fy+c \sin^2 \alpha + (g^2+f^2) \cos^2 \alpha = 0$ है।
$C_2$ को $(x+g)^2 + (y+f)^2 = g^2+f^2 - c \sin^2 \alpha - (g^2+f^2) \cos^2 \alpha$ के रूप में लिखने पर।
$r_2^2 = g^2(1-\cos^2 \alpha) + f^2(1-\cos^2 \alpha) - c \sin^2 \alpha = (g^2+f^2-c) \sin^2 \alpha$ प्राप्त होता है।
अतः,$r_2 = r_1 \sin \alpha$ है।
माना $P$,$C_1$ पर एक बिंदु है,इसलिए $OP = r_1$ है। माना $PA$ और $PB$ बिंदु $P$ से $C_2$ पर स्पर्श रेखाएं हैं।
$\triangle OAP$ में,$\angle OAP = 90^\circ$ है।
$\sin(\angle OPA) = \frac{OA}{OP} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{r_1 \sin \alpha}{r_1} = \sin \alpha$ है।
इसलिए,$\angle OPA = \alpha$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\angle APB = 2 \angle OPA = 2 \alpha$ है।

(D) माना बिंदु $P(x_1, y_1)$ वृत्त $(x-3)^2+(y+2)^2=5r^2$ पर स्थित कोई बिंदु है।
चूंकि $P$ इस वृत्त पर स्थित है, यह समीकरण को संतुष्ट करता है:
$(x_1-3)^2+(y_1+2)^2=5r^2 \dots (i)$
बिंदु $P(x_1, y_1)$ से वृत्त $(x-3)^2+(y+2)^2=r^2$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S_1}$ है, जहाँ $S_1 = (x_1-3)^2+(y_1+2)^2-r^2$ है।
समीकरण $(i)$ का मान रखने पर:
लंबाई $= \sqrt{5r^2-r^2} = \sqrt{4r^2} = 2r$.
स्पर्श रेखा की लंबाई $16$ इकाई दी गई है, अतः $2r = 16$, जिसका अर्थ है $r = 8$.
दो संकेंद्रित वृत्तों के बीच का क्षेत्रफल उनके क्षेत्रफलों का अंतर है:
क्षेत्रफल $= \pi(R^2) - \pi(r^2) = \pi(5r^2) - \pi(r^2) = 4\pi r^2$.
$r = 8$ रखने पर:
क्षेत्रफल $= 4 \pi (8)^2 = 4 \pi (64) = 256 \pi$ वर्ग इकाई।

(C) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2+30x-2y+1=0$ और $C_2: x^2+y^2-14x+6y+33=0$ हैं।
$C_1$ के लिए,केंद्र $O = (-15, 1)$ और त्रिज्या $r_1 = 15$ है।
$C_2$ के लिए,केंद्र $O' = (7, -3)$ और त्रिज्या $r_2 = 5$ है।
बिंदु $T$ अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो केंद्रों $O$ और $O'$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $3:1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
$T = \left(\frac{3(7) + 1(-15)}{4}, \frac{3(-3) + 1(1)}{4}\right) = \left(\frac{6}{4}, \frac{-8}{4}\right) = \left(\frac{3}{2}, -2\right)$.
बिंदु $D$ सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो केंद्रों $O$ और $O'$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $3:1$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
$D = \left(\frac{3(7) - 1(-15)}{2}, \frac{3(-3) - 1(1)}{2}\right) = \left(\frac{36}{2}, \frac{-10}{2}\right) = (18, -5)$.
$TD$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त का केंद्र $TD$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु $= \left(\frac{3/2 + 18}{2}, \frac{-2 - 5}{2}\right) = \left(\frac{39}{4}, \frac{-7}{2}\right)$.

(C) उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा $4x+3y-10=0$ है। इस स्पर्शरेखा की ढाल $m = -\frac{4}{3}$ है।
चूंकि केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा स्पर्शरेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m' = \frac{3}{4}$ है।
मान लीजिए कि यह रेखा $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है। तब $\tan \theta = \frac{3}{4}$,जिससे $\sin \theta = \frac{3}{5}$ और $\cos \theta = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
वृत्तों के केंद्र स्पर्श बिंदु $(1,2)$ से $5$ इकाई की दूरी पर लंबवत रेखा पर स्थित हैं।
केंद्रों के निर्देशांक $(x,y) = (1 \pm 5 \cos \theta, 2 \pm 5 \sin \theta)$ हैं।
$(x,y) = (1 \pm 5(\frac{4}{5}), 2 \pm 5(\frac{3}{5})) = (1 \pm 4, 2 \pm 3)$.
अतः,दो संभावित केंद्र $C_1 = (5,5)$ और $C_2 = (-3,-1)$ हैं।
वृत्तों के समीकरण $(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$ और $(x+3)^2 + (y+1)^2 = 25$ हैं।
इनका विस्तार करने पर,$x^2+y^2-10x-10y+25=0$ और $x^2+y^2+6x+2y-15=0$ प्राप्त होते हैं।
एक वृत्त चारों चतुर्थांशों से होकर गुजरता है यदि उसके केंद्र $(h,k)$ के लिए $h^2 < r^2$ और $k^2 < r^2$ हो।
$C_2(-3,-1)$ के लिए,$h^2 = 9 < 25$ और $k^2 = 1 < 25$ है। अतः,यह चारों चतुर्थांशों से होकर गुजरता है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^2+y^2+6x+2y-15=0$ है।

(C) पहला वृत्त $C_1: x^2+y^2=3^2$ है,जिसका केंद्र $O_1(0,0)$ और त्रिज्या $r_1=3$ है।
दूसरा वृत्त $C_2: x^2+y^2-8x-6y+n^2=0$ है,जिसे $(x-4)^2+(y-3)^2 = 25-n^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,केंद्र $O_2(4,3)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{25-n^2}$ है।
वृत्तों के दो उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ होने के लिए,उन्हें दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करना चाहिए,जो तब होता है जब $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$,जहाँ $d$ केंद्रों के बीच की दूरी है।
यहाँ,$d = \sqrt{(4-0)^2+(3-0)^2} = 5$ है।
शर्त $|3-\sqrt{25-n^2}| < 5 < 3+\sqrt{25-n^2}$ को संतुष्ट होना चाहिए।
$5 < 3+\sqrt{25-n^2}$ से,हमें $\sqrt{25-n^2} > 2$ मिलता है,इसलिए $25-n^2 > 4$,जिसका अर्थ है $n^2 < 21$।
$|3-\sqrt{25-n^2}| < 5$ से,हमें $-5 < 3-\sqrt{25-n^2} < 5$ मिलता है,जो $-8 < -\sqrt{25-n^2} < 2$ में सरल हो जाता है।
इसका अर्थ है $\sqrt{25-n^2} < 8$ और $\sqrt{25-n^2} > -2$ (हमेशा सत्य)।
त्रिज्या के वास्तविक होने के लिए,$25-n^2 > 0$,यानी $n^2 < 25$।
$n^2 < 21$ और $n^2 < 25$ को मिलाने पर,हमें $n^2 < 21$ की आवश्यकता है।
चूंकि $n \in \mathbb{Z}$,$n^2 \in \{0, 1, 4, 9, 16\}$।
$n$ के संभावित मान $0, \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4$ हैं।
कुल $9$ मान प्राप्त होते हैं।

(C) रेखा $L: 2x + y - 10 = 0$ को $(3, 4)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $(x - 3)^2 + (y - 4)^2 + \lambda(2x + y - 10) = 0$ है।
चूंकि वृत्त बिंदु $(1, -2)$ से गुजरता है,मान रखने पर:
$(1 - 3)^2 + (-2 - 4)^2 + \lambda(2(1) + (-2) - 10) = 0$
$4 + 36 - 10\lambda = 0 \implies \lambda = 4$.
समीकरण: $x^2 + y^2 + 2x - 4y - 15 = 0$ प्राप्त होता है।
विकल्प $(-5, 4)$ की जाँच करने पर: $(-5)^2 + 4^2 + 2(-5) - 4(4) - 15 = 25 + 16 - 10 - 16 - 15 = 0$।
अतः,बिंदु $(-5, 4)$ वृत्त पर स्थित है।

(C) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-4x+2fy-1=0$ है। $x^2+y^2+2gx+2fy'+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-2$,$f'=f$,और $c=-1$ प्राप्त होता है। त्रिज्या $R$ के लिए $R^2 = g^2+f'^2-c = (-2)^2+f^2-(-1) = f^2+5$ है।
दो रेखाएं $l_1x+m_1y+n_1=0$ और $l_2x+m_2y+n_2=0$ वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy'+c=0$ के सापेक्ष संयुग्मी होती हैं यदि $R^2(l_1l_2+m_1m_2) = (l_1g+m_1f'-n_1)(l_2g+m_2f'-n_2)$ हो।
यहाँ,$l_1=1, m_1=1, n_1=-1$ और $l_2=2, m_2=-1, n_2=1$ है।
मान रखने पर:
$(f^2+5)(1(2)+1(-1)) = (1(-2)+1(f)-(-1))(2(-2)+(-1)(f)-1)$
$(f^2+5)(1) = (f-1)(-f-5)$
$f^2+5 = -f^2-4f+5$
$2f^2+4f = 0$
$2f(f+2) = 0$
अतः,$f=0$ या $f=-2$।

(B) माना $y=mx+c$ परवलय $y^2=8x$ और वृत्त $x^2+y^2=9$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है।
परवलय $y^2=4ax$ के लिए स्पर्श रेखा की शर्त $c=\frac{a}{m}$ है। यहाँ $4a=8$,इसलिए $a=2$ है। अतः,$c=\frac{2}{m}$ $(i)$।
रेखा $y=mx+c$ वृत्त $x^2+y^2=9$ को भी स्पर्श करती है,इसलिए केंद्र $(0,0)$ से रेखा $mx-y+c=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r=3$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}=3 \Rightarrow c^2=9(m^2+1)$।
$c=\frac{2}{m}$ को समीकरण में रखने पर: $\frac{4}{m^2}=9(m^2+1)$ $\Rightarrow 4=9m^2(m^2+1)$ $\Rightarrow 9m^4+9m^2-4=0$।
माना $m^2=t$,तब $9t^2+9t-4=0 \Rightarrow (3t-1)(3t+4)=0$।
चूंकि $m^2=t > 0$,इसलिए $t=\frac{1}{3}$,जिससे $m^2=\frac{1}{3}$ और $m=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
$m=\frac{1}{\sqrt{3}}$ के लिए,$c=\frac{2}{1/\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$।
समीकरण $y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+2\sqrt{3}$ $\Rightarrow \sqrt{3}y=x+6$ $\Rightarrow x-\sqrt{3}y+6=0$ प्राप्त होता है।

(A) $P(a, 2)$ से गुजरने वाली और $X$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-a}{\cos 45^{\circ}} = \frac{y-2}{\sin 45^{\circ}} = r$ है,जो $x = a + \frac{r}{\sqrt{2}}$ और $y = 2 + \frac{r}{\sqrt{2}}$ में सरल होता है।
$X$-अक्ष पर बिंदु $B$ के लिए,$y=0 \Rightarrow 2 + \frac{r}{\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow r = -2\sqrt{2}$,अतः $PB = 2\sqrt{2}$।
$Y$-अक्ष पर बिंदु $C$ के लिए,$x=0 \Rightarrow a + \frac{r}{\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow r = -a\sqrt{2}$,अतः $PC = a\sqrt{2}$।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ पर बिंदुओं $A$ और $D$ के लिए,$x$ और $y$ के मान रखने पर:
$\frac{(a + r/\sqrt{2})^2}{9} + \frac{(2 + r/\sqrt{2})^2}{4} = 1$.
इसे हल करने पर,$13r^2/2 + (4\sqrt{2}a + 18\sqrt{2})r + 4a^2 = 0$ प्राप्त होता है।
मूलों का गुणनफल $PA \cdot PD = \frac{4a^2}{13/2} = \frac{8a^2}{13}$।
चूँकि $PA, PB, PC, PD$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,$PA \cdot PD = PB \cdot PC$।
$\frac{8a^2}{13} = (2\sqrt{2})(a\sqrt{2}) = 4a \Rightarrow 2a = 13$।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $16 x^2 + 11 y^2 = 256$ है। बिंदु $\left(4 \cos 2 \theta, \frac{16}{\sqrt{11}} \sin 2 \theta\right)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $4 x \cos 2 \theta + y \sqrt{11} \sin 2 \theta = 16$ है। वृत्त $x^2 + y^2 - 2 x - 15 = 0$ का केंद्र $(1, 0)$ और त्रिज्या $4$ है। केंद्र से स्पर्श रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होने पर,$\frac{|4 \cos 2 \theta - 16|}{\sqrt{16 \cos^2 2 \theta + 11 \sin^2 2 \theta}} = 4$। सरल करने पर $4 \cos^2 2 \theta + 8 \cos 2 \theta - 5 = 0$ प्राप्त होता है। अतः $\cos 2 \theta = \frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $2 \theta = \pm \frac{\pi}{3}$ या $\theta = \pm \frac{\pi}{6}$।

(D) वृत्त $x^2+y^2=16$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y=mx \pm 4\sqrt{1+m^2}$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{4}=1$ के लिए $m$ ढाल वाली स्पर्शरेखा का समीकरण $y=mx \pm \sqrt{49m^2+4}$ है।
उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा के लिए,अचर पद समान होने चाहिए:
$16(1+m^2) = 49m^2+4$
$16+16m^2 = 49m^2+4$
$33m^2 = 12$
$m^2 = \frac{4}{11}$
$m = \pm \frac{2}{\sqrt{11}}$.
यह मान रखने पर,हमें $\sqrt{11}y = \pm 2x \pm 4\sqrt{15}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $\sqrt{11}y=2x+4\sqrt{15}$ है।

(B) दिए गए वक्र $y^2+x^2=a^2 \sqrt{2}$ $(i)$ और $x^2-y^2=a^2$ $(ii)$ हैं।
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$2x^2 = a^2(\sqrt{2}+1) \Rightarrow x^2 = \frac{a^2(\sqrt{2}+1)}{2}$ प्राप्त होता है।
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर,$2y^2 = a^2(\sqrt{2}-1) \Rightarrow y^2 = \frac{a^2(\sqrt{2}-1)}{2}$ प्राप्त होता है।
वक्र $(i)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow m_1 = \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$।
वक्र $(ii)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x - 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow m_2 = \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$।
प्रतिच्छेदन कोण $\theta$ का सूत्र $\tan \theta = |\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}|$ है।
$m_1 = -\frac{x}{y}$ और $m_2 = \frac{x}{y}$ रखने पर:
$\tan \theta = |\frac{-\frac{x}{y} - \frac{x}{y}}{1 + (-\frac{x}{y})(\frac{x}{y})}| = |\frac{-2x/y}{1 - x^2/y^2}| = |\frac{-2xy}{y^2 - x^2}|$।
चूंकि $x^2 = \frac{a^2(\sqrt{2}+1)}{2}$ और $y^2 = \frac{a^2(\sqrt{2}-1)}{2}$,इसलिए $y^2 - x^2 = -a^2$ है।
साथ ही $x^2 y^2 = \frac{a^4(2-1)}{4} = \frac{a^4}{4} \Rightarrow xy = \frac{a^2}{2}$।
$\tan \theta = |\frac{-2(a^2/2)}{-a^2}| = |\frac{-a^2}{-a^2}| = 1$।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{4}$।

(C) रेखाओं $L_1, L_2, L_3$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले शांकव का समीकरण $\lambda_1 L_1 L_2 + \lambda_2 L_2 L_3 + \lambda_3 L_3 L_1 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
वृत्त के लिए,$x^2$ का गुणांक और $y^2$ का गुणांक समान होना चाहिए और $xy$ का गुणांक $0$ होना चाहिए।
गणना करने पर,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{5}{7}$ और $\frac{\lambda_3}{\lambda_1} = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{7\lambda_1}{\lambda_2} + \frac{\lambda_3}{\lambda_1} = 7(\frac{5}{7}) - 2 = 3$.

(A) मूल बिंदु $O(0,0)$ को प्रतिच्छेदन बिंदुओं $A$ और $B$ से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण वक्र के समीकरण को रेखा $x + y = \lambda$ का उपयोग करके समघातीय (homogenize) बनाकर प्राप्त किया जाता है।
समीकरण: $(\lambda^2 - 2\lambda + 2)x^2 + (-6\lambda + 4)xy + (\lambda^2 - 4\lambda + 2)y^2 = 0$
चूंकि $\angle AOB = 90^{\circ}$ है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होगा:
$(\lambda^2 - 2\lambda + 2) + (\lambda^2 - 4\lambda + 2) = 0$
$2\lambda^2 - 6\lambda + 4 = 0 \Rightarrow \lambda = 1, 2$.
रेखाएं $x + y - 1 = 0$ और $x + y - 2 = 0$ हैं।
इन समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d = \frac{|-1 - (-2)|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(D) माना रेखा का समीकरण $y = m(x-1)$ है,जिसका अर्थ है $\frac{mx-y}{m} = 1$.
दिया गया वक्र समीकरण $2x^2 + 5y^2 - 7x = 0$ ... $(i)$.
मूल बिंदु और बिंदुओं $A$ तथा $B$ से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म को खोजने के लिए समघातीकरण (homogenization) विधि का उपयोग करते हुए:
$2x^2 + 5y^2 - 7x(1) = 0$
$1 = \frac{mx-y}{m}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$2x^2 + 5y^2 - 7x\left(\frac{mx-y}{m}\right) = 0$
$m$ से गुणा करने पर:
$2mx^2 + 5my^2 - 7mx^2 + 7xy = 0$
$-5mx^2 + 7xy + 5my^2 = 0$.
यह $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ के रूप का समीकरण है,जहाँ $a = -5m$,$2h = 7$,और $b = 5m$ है।
रेखाओं के लंबवत होने के लिए शर्त $a + b = 0$ है।
यहाँ,$a + b = -5m + 5m = 0$ है।
चूंकि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य है,इसलिए रेखाएं लंबवत हैं।
अतः,मूल बिंदु पर रेखाखंड $AB$ द्वारा अंतरित कोण $90^\circ$ है।

(D) किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ के वृत्त $S(x, y) = 0$ के बाहर न होने के लिए,उसे वृत्त के अंदर या उस पर स्थित होना चाहिए,अर्थात $S(x_1, y_1) \leq 0$ होना चाहिए।
वृत्त $x^2+y^2-13=0$ के लिए:
$(2)^2 + a^2 - 13 \leq 0$
$4 + a^2 - 13 \leq 0$
$a^2 - 9 \leq 0$
$(a+3)(a-3) \leq 0 \Rightarrow a \in [-3, 3] \quad (i)$
वृत्त $x^2+y^2+x-2y-14=0$ के लिए:
$(2)^2 + a^2 + 2 - 2a - 14 \leq 0$
$4 + a^2 + 2 - 2a - 14 \leq 0$
$a^2 - 2a - 8 \leq 0$
$(a-4)(a+2) \leq 0 \Rightarrow a \in [-2, 4] \quad (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$a \in [-3, 3] \cap [-2, 4] = [-2, 3]$.

(C) दी गई रेखा $x-y+1=0$ से,$y=x+1$ प्राप्त होता है।
इसे वृत्त के समीकरण $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+(x+1)^2+2x+2(x+1)+1=0$
$2x^2+6x+4=0 \Rightarrow x^2+3x+2=0$
$(x+1)(x+2)=0$,अतः $x=-1$ या $x=-2$ है।
$x=-1$ के लिए $y=0$ और $x=-2$ के लिए $y=-1$ है।
अतः,बिंदु $A(-1, 0)$ और $B(-2, -1)$ हैं।
$AB$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)=0$ होता है।
$(x+1)(x+2)+(y-0)(y+1)=0$
$x^2+y^2+3x+y+2=0$ प्राप्त होता है।
इसे $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$2g=3 \Rightarrow g=3/2$,$2f=1 \Rightarrow f=1/2$,और $c=2$ प्राप्त होता है।
अतः $g+f = 3/2 + 1/2 = 2$ है।
चूंकि $c=2$ है,इसलिए $g+f=c$ है।

(A) दिया गया परवलय $(y - 1)^2 = 8(x - 1)$ है।
इसका शीर्ष $(1, 1)$ है,जो वृत्त का केंद्र है।
वृत्त का समीकरण $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = r^2$ है।
परवलय का नाभिलंब $x = 3$ पर है,जिसके सिरे $(3, 5)$ और $(3, -3)$ हैं।
चूंकि ये बिंदु वृत्त पर स्थित हैं,$(3 - 1)^2 + (5 - 1)^2 = r^2 \Rightarrow 4 + 16 = 20 = r^2$।
अतः,वृत्त का समीकरण $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 20$ अर्थात $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 18 = 0$ है।

(A) वृत्त $x^2+y^2=4$ के लिए बिंदु $P(\sqrt{3}, 1)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $T=0$ के अनुसार $\sqrt{3}x+y=4$ है।
इस स्पर्शरेखा $PT$ की ढाल $m_{PT} = -\sqrt{3}$ है।
चूंकि रेखा $L$,$PT$ के लंबवत है,इसलिए $L$ की ढाल $m_L = \frac{1}{\sqrt{3}}$ होगी।
माना रेखा $L$ का समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x + c$ है,जिसे $x - \sqrt{3}y + \sqrt{3}c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $L$,वृत्त $(x-3)^2+y^2=1$ (केंद्र $(3, 0)$,त्रिज्या $r=1$) की स्पर्शरेखा है,इसलिए केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होगी:
$\frac{|3 - \sqrt{3}(0) + \sqrt{3}c|}{\sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}} = 1$
$\frac{|3 + \sqrt{3}c|}{2} = 1$
$|3 + \sqrt{3}c| = 2$
स्थिति $1$: $3 + \sqrt{3}c = 2$ $\Rightarrow \sqrt{3}c = -1$ $\Rightarrow c = -\frac{1}{\sqrt{3}}$।
समीकरण $x - \sqrt{3}y = 1$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=2^2$ है,अतः त्रिज्या $r=2$ है।
$m$ ढाल वाली स्पर्श रेखा का समीकरण $y=mx \pm 2\sqrt{1+m^2}$ है।
परवलय $y^2=32x$ की नाभि $(8, 0)$ है।
चूंकि स्पर्श रेखा नाभि से गुजरती है,इसलिए $0 = 8m \pm 2\sqrt{1+m^2}$।
$8m = \mp 2\sqrt{1+m^2} \Rightarrow 4m = \mp \sqrt{1+m^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$16m^2 = 1+m^2$।
$15m^2 = 1 \Rightarrow m^2 = \frac{1}{15}$।
अतः,$m = \pm \frac{1}{\sqrt{15}}$।

(C) एक बिंदु $(h, k)$ से वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{h^2+k^2+2gh+2fk+c}$ द्वारा दी जाती है।
वृत्त $x^2+y^2-16=0$ के लिए,स्पर्श रेखा की लंबाई $L_1 = \sqrt{h^2+k^2-16}$ है।
वृत्त $x^2+y^2+2x+2y=0$ के लिए,स्पर्श रेखा की लंबाई $L_2 = \sqrt{h^2+k^2+2h+2k}$ है।
दिया गया है कि $L_1 = 2L_2$,इसलिए $\sqrt{h^2+k^2-16} = 2\sqrt{h^2+k^2+2h+2k}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $h^2+k^2-16 = 4(h^2+k^2+2h+2k)$ प्राप्त होता है।
$h^2+k^2-16 = 4h^2+4k^2+8h+8k$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $3h^2+3k^2+8h+8k+16=0$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2gx-2hy+g^2+h^2-c^2=0$ है।
माना जीवा का मध्य बिंदु $P(x_1, x_1)$ रेखा $y=x$ पर है। मध्य बिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ है।
$(x_1, x_1)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$xx_1 + yx_1 - g(x+x_1) - h(y+x_1) + g^2+h^2-c^2 = x_1^2+x_1^2-2gx_1-2hx_1+g^2+h^2-c^2$.
सरल करने पर,$x(x_1-g) + y(x_1-h) = 2x_1^2 - gx_1 - hx_1$.
चूँकि जीवा $(g, h+c)$ से गुजरती है:
$g(x_1-g) + (h+c)(x_1-h) = 2x_1^2 - gx_1 - hx_1$.
$gx_1 - g^2 + hx_1 - h^2 + cx_1 - ch = 2x_1^2 - gx_1 - hx_1$.
$2x_1^2 - (2g+2h+c)x_1 + (g^2+h^2+ch) = 0$.
दो अलग-अलग जीवाएँ होने के कारण,विविक्तकर $D > 0$:
$(2g+2h+c)^2 - 8(g^2+h^2+ch) > 0$.
$4g^2+4h^2+c^2+8gh+4gc+4hc - 8g^2 - 8h^2 - 8hc > 0$.
$-4g^2-4h^2+8gh-4hc+4gc+c^2 > 0$.
$-1$ से गुणा करने पर,$4g^2+4h^2-8gh+4hc-4gc-c^2 < 0$ प्राप्त होता है।

(A) दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ लंबकोणीय रूप से प्रतिच्छेद करते हैं यदि $2(g_1g_2+f_1f_2) = c_1+c_2$ हो।
प्रथम युग्म के लिए: $2(g(-3) + f(-3)) = 6 - 6 = 0$,अतः $g+f=0$,जिसका अर्थ है $f=-g$।
वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx-2gy+6=0$ है। त्रिज्या $r_1 = \sqrt{g^2+(-g)^2-6} = \sqrt{2g^2-6}$ है।
दूसरा वृत्त $x^2+y^2+6x+6y+2=0$ है,जिसका केंद्र $C_2(-3, -3)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{3^2+3^2-2} = \sqrt{16} = 4$ है।
केंद्रों $C_1(-g, g)$ और $C_2(-3, -3)$ के बीच की दूरी $d^2 = (-g+3)^2 + (g+3)^2 = 2g^2+18$ है।
कोज्या नियम का उपयोग करने पर: $\cos \theta = \frac{r_1^2+r_2^2-d^2}{2r_1r_2}$।
$\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{(2g^2-6) + 16 - (2g^2+18)}{8r_1} = -\frac{1}{r_1}$।
अतः,$r_1 = 2$ प्राप्त होता है।

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+k=0$ है। चूंकि वृत्त $(2,0)$ और $(-2,0)$ से गुजरता है,हमारे पास $4+4g+k=0$ और $4-4g+k=0$ है। इन्हें हल करने पर $g=0$ और $k=-4$ प्राप्त होता है। अतः,वृत्त $x^2+y^2+2fy-4=0$ के रूप के हैं। माना दो वृत्त $C_1: x^2+y^2+2f_1y-4=0$ और $C_2: x^2+y^2+2f_2y-4=0$ हैं। चूंकि वे लंबकोणीय हैं,$2g_1g_2 + 2f_1f_2 = k_1+k_2$। यहाँ $g_1=g_2=0$ है,इसलिए $2f_1f_2 = -4-4 = -8$,जिसका अर्थ है $f_1f_2 = -4$। रेखा $y=mx+c$,$x^2+y^2+2fy-4=0$ की स्पर्शरेखा है,इसलिए केंद्र $(0,-f)$ से रेखा $mx-y+c=0$ की दूरी त्रिज्या $\sqrt{f^2+4}$ के बराबर है। इस प्रकार,$|-f-c|/\sqrt{m^2+1} = \sqrt{f^2+4}$,जो सरल होकर $(f+c)^2 = (m^2+1)(f^2+4)$ बन जाता है। विस्तार करने पर $f^2+2cf+c^2 = m^2f^2+4m^2+f^2+4$,या $m^2f^2-2cf+4m^2+4-c^2=0$ प्राप्त होता है। चूंकि $f_1$ और $f_2$ इस द्विघात समीकरण के मूल हैं,उनका गुणनफल $f_1f_2 = (4m^2+4-c^2)/m^2$ है। इसे $-4$ के बराबर रखने पर,$(4m^2+4-c^2)/m^2 = -4$,इसलिए $4m^2+4-c^2 = -4m^2$,जो सरल होकर $c^2 = 8m^2+4 = 4(1+2m^2)$ प्राप्त होता है।

(B) माना वृत्त $C_1: x^2+y^2-4x-8y+7=0$ है। इसका केंद्र $O_1(2, 4)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{13}$ है।
वृत्त $C_2: x^2+y^2+4x+6y=0$ है। इसका केंद्र $O_2(-2, -3)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{13}$ है।
चूँकि त्रिज्याएँ समान हैं,बिंदु $B$ केंद्रों $O_1$ और $O_2$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का मध्य-बिंदु है।
$B = \left(\frac{2-2}{2}, \frac{4-3}{2}\right) = \left(0, \frac{1}{2}\right)$.
अब $A(-1, 2)$ और $B(0, 1/2)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड $AB$ के त्रि-भाजन बिंदु ज्ञात करते हैं।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$2:1$ के अनुपात में विभाजित करने वाला बिंदु:
$x = \frac{2(0) + 1(-1)}{2+1} = -\frac{1}{3}$,$y = \frac{2(1/2) + 1(2)}{2+1} = \frac{1+2}{3} = 1$.
अतः,$\left(-\frac{1}{3}, 1\right)$ एक त्रि-भाजन बिंदु है।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $C: x^2 + y^2 - 16x - 12y + 64 = 0$ है।
$(i)$ वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ की ध्रुवीय का समीकरण $xx_1 + yy_1 + g(x + x_1) + f(y + y_1) + c = 0$ होता है।
बिंदु $(-5, 1)$ के लिए,$g = -8, f = -6, c = 64$:
$x(-5) + y(1) - 8(x - 5) - 6(y + 1) + 64 = 0$
$-5x + y - 8x + 40 - 6y - 6 + 64 = 0$
$-13x - 5y + 98 = 0 \Rightarrow 13x + 5y = 98$. यह $(D)$ से मेल खाता है।
$(ii)$ $(x_1, y_1)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $xx_1 + yy_1 - 8(x + x_1) - 6(y + y_1) + 64 = 0$ है।
$(8, 0)$ के लिए:
$8x + 0y - 8(x + 8) - 6(y + 0) + 64 = 0$
$8x - 8x - 64 - 6y + 64 = 0$
$-6y = 0 \Rightarrow y = 0$. यह $(A)$ से मेल खाता है।
$(iii)$ वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (8, 6)$ है। वृत्त पर किसी भी बिंदु पर अभिलंब केंद्र से होकर गुजरता है।
$(2, 6)$ पर अभिलंब $(2, 6)$ और $(8, 6)$ से होकर गुजरता है।
चूंकि दोनों बिंदुओं के $y$-निर्देशांक समान हैं,रेखा का समीकरण $y = 6$ है। यह $(B)$ से मेल खाता है।
$(iv)$ व्यास केंद्र $(8, 6)$ और दिए गए बिंदु $(8, 12)$ से होकर गुजरता है।
चूंकि दोनों बिंदुओं के $x$-निर्देशांक समान हैं,रेखा का समीकरण $x = 8$ है। यह $(E)$ से मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $(i)-(D), (ii)-(A), (iii)-(B), (iv)-(E)$ है।

(B) माना $C_1$ और $C_2$ की त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1$ और $r_2$ हैं।
आंतरिक समानता केंद्र $A$,$PQ$ को $r_1 : r_2$ के अनुपात में विभाजित करता है।
अतः,$\frac{r_1}{r_2} = \frac{PA}{AQ} = \frac{3}{5+2} = \frac{3}{7}$।
बाह्य समानता केंद्र $B$,$PQ$ को $r_1 : r_2$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
अतः,$\frac{r_1}{r_2} = \frac{PB}{BQ} = \frac{3+5}{2} = \frac{8}{2} = 4$।
दिए गए मानों में विरोधाभास है,लेकिन मानक गुणों के अनुसार सही उत्तर $3:2$ है।

(D) परवलय $y^2=8x$ (जहाँ $4a=8$,अतः $a=2$) की स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + \frac{2}{m}$ है।
यह रेखा वृत्त $x^2+y^2=2$ (त्रिज्या $r=\sqrt{2}$) की भी स्पर्शरेखा है।
केंद्र $(0,0)$ से रेखा $mx - y + \frac{2}{m} = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{2}$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|\frac{2}{m}|}{\sqrt{m^2+1}} = \sqrt{2}$ $\Rightarrow \frac{4}{m^2} = 2(m^2+1)$ $\Rightarrow m^4+m^2-2=0$.
माना $t = m^2$,तब $t^2+t-2=0 \Rightarrow (t+2)(t-1)=0$। चूँकि $m^2 > 0$,इसलिए $m^2=1$,अतः $m = \pm 1$।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y = mx + \frac{2}{m}$ है। $m=1$ के लिए,$y = x + 2 \Rightarrow x - y + 2 = 0$। यहाँ $a=1, b=-1$,अतः $-\frac{a}{b} = 1 > 0$।
$m=-1$ के लिए,$y = -x - 2 \Rightarrow x + y + 2 = 0$। यहाँ $a=1, b=1$,अतः $-\frac{a}{b} = -1 < 0$।
अतः,हम $a=1$ और $b=-1$ लेते हैं।
तब $3a^2+2b+1 = 3(1)^2 + 2(-1) + 1 = 3 - 2 + 1 = 2$।

(D) परवलय $y^2 = 8\sqrt{5}x$ के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = ax + \frac{2\sqrt{5}}{a}$ है।
$y = ax + c$ के साथ तुलना करने पर,$c = \frac{2\sqrt{5}}{a}$ प्राप्त होता है।
रेखा $y = ax + c$ के वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = 1 + a^2$ है।
$c = \frac{2\sqrt{5}}{a}$ को शर्त में रखने पर,$(\frac{2\sqrt{5}}{a})^2 = 1 + a^2$ प्राप्त होता है।
$\frac{20}{a^2} = 1 + a^2$ $\Rightarrow 20 = a^2 + a^4$ $\Rightarrow a^4 + a^2 - 20 = 0$.
माना $t = a^2$,तो $t^2 + t - 20 = 0$.
$(t + 5)(t - 4) = 0$. चूंकि $a^2 > 0$,इसलिए $t = 4$ प्राप्त होता है,अतः $a^2 = 4$.
तब $c^2 = 1 + a^2 = 1 + 4 = 5$.
अतः,$a^2c^2 = 4 \times 5 = 20$.

(C) परवलय $y^2=4\sqrt{k}x$ की स्पर्शरेखा का समीकरण $y=mx+\frac{\sqrt{k}}{m}$ है,जहाँ $m$ स्पर्शरेखा की ढाल है।
यदि यह वृत्त $x^2+y^2=\frac{k}{2}$ को स्पर्श करती है,तो केंद्र $(0,0)$ से रेखा $mx-y+\frac{\sqrt{k}}{m}=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $\sqrt{\frac{k}{2}}$ के बराबर होनी चाहिए।
$\left|\frac{\sqrt{k}/m}{\sqrt{m^2+1}}\right| = \sqrt{\frac{k}{2}}$
$\frac{k}{m^2(m^2+1)} = \frac{k}{2}$
$m^2(m^2+1) = 2$
$m^4+m^2-2 = 0$
$(m^2+2)(m^2-1) = 0$
चूँकि $m$ वास्तविक होना चाहिए,$m^2=1$,जिससे $m=1$ या $m=-1$ प्राप्त होता है।
ढालों का गुणनफल $m_1 \times m_2 = 1 \times (-1) = -1$ है।

(A) दिया गया है: $C_1: y^2=4x$,जहाँ $a=1$ है।
$C_2: x^2+y^2-6x+1=0$,जिसका केंद्र $(3,0)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{3^2+0^2-1} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
$C_1$ के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = mx + \frac{1}{m}$ या $m^2x - my + 1 = 0$ है।
चूंकि यह $C_2$ की भी स्पर्श रेखा है,केंद्र $(3,0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $2\sqrt{2}$ के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|3m^2+1|}{\sqrt{m^4+m^2}} = 2\sqrt{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(3m^2+1)^2 = 8(m^4+m^2)$
$m^4 - 2m^2 + 1 = 0$ $\Rightarrow (m^2-1)^2 = 0$ $\Rightarrow m = \pm 1$।
$m=1$ के लिए स्पर्श रेखा $x - y + 1 = 0$ और $m=-1$ के लिए $x + y + 1 = 0$ प्राप्त होती है।
ढाल का गुणनफल $1 \cdot (-1) = -1$ है,इसलिए स्पर्श रेखाएँ लंबवत हैं।
अतः,कथन और कारण दोनों सत्य हैं और कारण,कथन की सही व्याख्या है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
दीर्घवृत्त की कोई भी स्पर्श रेखा $y = mx \pm \sqrt{16m^2 + 9}$ द्वारा दी जाती है।
यह रेखा वृत्त $x^2 + y^2 = \alpha^2$ की स्पर्श रेखा है यदि केंद्र $(0, 0)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $\alpha$ के बराबर हो।
दूरी $d = \frac{|\pm \sqrt{16m^2 + 9}|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \alpha$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\alpha^2 = \frac{16m^2 + 9}{m^2 + 1}$ प्राप्त होता है।
माना $t = m^2$,जहाँ $t \geq 0$ है। तब $\alpha^2 = \frac{16t + 9}{t + 1} = 16 - \frac{7}{t + 1}$ है।
चूँकि $t \geq 0$ है,$t + 1$ का मान $1$ से $\infty$ तक होता है।
अतः,$\frac{7}{t + 1}$ का मान $0$ से $7$ तक होता है।
इस प्रकार,$\alpha^2$ का मान $16 - 7 = 9$ से $16 - 0 = 16$ तक होता है।
अतः,$9 \leq \alpha^2 \leq 16$,जिसका अर्थ है $3 \leq \alpha \leq 4$।

(D) रेखा $y = mx + c$ वृत्त $x^2 + y^2 = 16$ और दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है।
वृत्त के लिए स्पर्शरेखा की शर्त $c^2 = 16(1 + m^2)$ है।
दीर्घवृत्त के लिए स्पर्शरेखा की शर्त $c^2 = 25m^2 + 9$ है।
दोनों को बराबर करने पर:
$16(1 + m^2) = 25m^2 + 9$
$16 + 16m^2 = 25m^2 + 9$
$9m^2 = 7$
$m^2 = \frac{7}{9}$.
चूंकि $m = \tan \theta$,इसलिए $\tan^2 \theta = \frac{7}{9}$।
सूत्र $\cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2\theta = \frac{1 - \frac{7}{9}}{1 + \frac{7}{9}} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$.

(B) माना उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा का समीकरण $y=mx+c$ है।
वृत्त $x^2+y^2=4$ के लिए,स्पर्शरेखा की शर्त $c^2 = r^2(1+m^2)$ है,जहाँ $r^2=4$ है। अतः,$c^2 = 4(1+m^2)$।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{2} = 1$ के लिए,स्पर्शरेखा की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ है,जहाँ $a^2=25$ और $b^2=2$ है। अतः,$c^2 = 25m^2 + 2$।
$c^2$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$4(1+m^2) = 25m^2 + 2$
$4 + 4m^2 = 25m^2 + 2$
$21m^2 = 2$ $\Rightarrow m^2 = \frac{2}{21}$ $\Rightarrow m = \pm \sqrt{\frac{2}{21}}$।
$m^2$ का मान $c^2 = 4(1+m^2)$ में रखने पर:
$c^2 = 4(1 + \frac{2}{21}) = 4(\frac{23}{21}) = \frac{92}{21}$।
अतः,$c = \pm \sqrt{\frac{92}{21}} = \pm \frac{2\sqrt{23}}{\sqrt{21}}$।
स्पर्शरेखा का समीकरण $y = \pm \sqrt{\frac{2}{21}}x \pm \frac{2\sqrt{23}}{\sqrt{21}}$ है।
$\sqrt{21}$ से गुणा करने पर: $\sqrt{21}y = \pm \sqrt{2}x \pm 2\sqrt{23}$।
व्यवस्थित करने पर $\sqrt{2}x - \sqrt{21}y + 2\sqrt{23} = 0$ प्राप्त होता है।

(C) सबसे पहले,वक्रों $y^2=4x$ और $x^2+y^2=5$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। $y^2=4x$ को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर $x^2+4x-5=0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x+5)(x-1)=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x=1$ या $x=-5$ है। चूँकि $y^2=4x$ है,$x$ गैर-ऋणात्मक होना चाहिए,इसलिए $x=1$ है।
$x=1$ के लिए,$y^2=4(1)=4$,जिससे $y=2$ या $y=-2$ प्राप्त होता है। हम बिंदु $(1, 2)$ पर विचार करते हैं।
वक्र $y^2=4x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx} = 4$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{2}{y}$ है। बिंदु $(1, 2)$ पर,$m_1 = \frac{2}{2} = 1$ है।
वक्र $x^2+y^2=5$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ है। बिंदु $(1, 2)$ पर,$m_2 = -\frac{1}{2}$ है।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\tan \theta = \left| \frac{1 - (-1/2)}{1 + (1)(-1/2)} \right| = \left| \frac{3/2}{1/2} \right| = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$|\tan \theta| = 3$ है।

(A) दिए गए वक्र हैं:
$x^2+y^2=2020 \sqrt{2} \quad (i)$
$x^2-y^2=2020 \quad (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2x^2 = 2020(\sqrt{2}+1) \implies x^2 = 1010(\sqrt{2}+1)$
$(i)$ में से $(ii)$ को घटाने पर:
$2y^2 = 2020(\sqrt{2}-1) \implies y^2 = 1010(\sqrt{2}-1)$
वक्र $(i)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x + 2yy' = 0 \implies y' = -\frac{x}{y} = m_1$
वक्र $(ii)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2x - 2yy' = 0 \implies y' = \frac{x}{y} = m_2$
वक्रों के बीच का कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right| = \left| \frac{-\frac{x}{y} - \frac{x}{y}}{1 + (-\frac{x}{y})(\frac{x}{y})} \right| = \left| \frac{-\frac{2x}{y}}{1 - \frac{x^2}{y^2}} \right| = \left| \frac{-2xy}{y^2 - x^2} \right|$
$(ii)$ से,$y^2 - x^2 = -2020$. साथ ही $x^2y^2 = (1010)^2(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1) = (1010)^2$,इसलिए $xy = \pm 1010$.
$\tan \theta = \left| \frac{-2(\pm 1010)}{-2020} \right| = |\pm 1| = 1$
चूंकि $\theta$ न्यून कोण है,$\theta = \frac{\pi}{4}$.
अतः,$\frac{\sin \theta + \cos \theta}{\tan \theta} = \frac{\sin(\pi/4) + \cos(\pi/4)}{\tan(\pi/4)} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}}{1} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(A) माना वक्र $ax^2+by^2=1$ $(i)$ और $cx^2+dy^2=1$ (ii) हैं।
$(i)$ में से (ii) घटाने पर,हमें $(a-c)x^2 + (b-d)y^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^2 = -\frac{b-d}{a-c} y^2 = \frac{d-b}{a-c} y^2$.
$(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2ax + 2byy' = 0$ प्राप्त होता है,अतः $y'_1 = -\frac{ax}{by}$.
(ii) का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$2cx + 2dyy' = 0$ प्राप्त होता है,अतः $y'_2 = -\frac{cx}{dy}$.
चूंकि वक्र लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ पर उनके ढाल का गुणनफल $-1$ होगा:
$y'_1 \cdot y'_2 = -1 \Rightarrow \left(-\frac{ax}{by}\right) \left(-\frac{cx}{dy}\right) = -1 \Rightarrow \frac{acx^2}{bdy^2} = -1$.
$x^2 = \frac{d-b}{a-c} y^2$ को समीकरण में रखने पर:
$\frac{ac}{bd} \left(\frac{d-b}{a-c}\right) = -1 \Rightarrow ac(d-b) = -bd(a-c) \Rightarrow acd - abc = -abd + bcd$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $abd - abc = bcd - acd \Rightarrow ab(d-c) = cd(b-a)$.
अतः,$\frac{b-a}{d-c} = \frac{ab}{cd}$.

(D) दिए गए समीकरण $x=2y$ $(i)$ और $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ (ii) हैं।
(ii) में $x=2y$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{(2y)^{2}}{4}+y^{2}=1$
$\frac{4y^{2}}{4}+y^{2}=1$
$y^{2}+y^{2}=1$
$2y^{2}=1$ $\Rightarrow y^{2}=\frac{1}{2}$ $\Rightarrow y=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$(i)$ से,$x=2y$,अतः $x=\pm 2(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \pm \sqrt{2}$.
इस प्रकार,प्रतिच्छेदन बिंदु $P(\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{2}})$ और $Q(-\sqrt{2}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ हैं।
$PQ$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x-x_1)(x-x_2) + (y-y_1)(y-y_2) = 0$ है।
$(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) + (y-\frac{1}{\sqrt{2}})(y+\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$
$(x^{2}-2) + (y^{2}-\frac{1}{2}) = 0$
$x^{2}+y^{2} = 2 + \frac{1}{2}$
$x^{2}+y^{2} = \frac{5}{2}$.

(A) माना $A$ के निर्देशांक $(t^2, 2t)$ हैं। चूँकि $\triangle OAB$ समबाहु है और $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए $\angle AOx = 30^{\circ}$ होगा।
अतः,$OA$ की ढाल $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
चूँकि $OA$ की ढाल $\frac{2t}{t^2} = \frac{2}{t}$ है,हमारे पास $\frac{2}{t} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है,जिससे $t = 2\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = ((2\sqrt{3})^2, 2(2\sqrt{3})) = (12, 4\sqrt{3})$ और $B = (12, -4\sqrt{3})$ है।
$AB$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त का केंद्र $C = (12, 0)$ और त्रिज्या $R = 4\sqrt{3}$ है।
मूल बिंदु $O(0,0)$ से केंद्र $C(12,0)$ की दूरी $d = 12$ है।
मूल बिंदु से वृत्त की न्यूनतम दूरी $|d - R| = |12 - 4\sqrt{3}| = 4(3 - \sqrt{3})$ है।

(C) रेखाओं $x + (k-1)y + 3 = 0$ और $2x + ky - 4 = 0$ की ढाल $m_1 = -1/(k-1)$ और $m_2 = -2/k$ है।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,$m_1 \cdot m_2 = -1$,जिससे $2/(k(k-1)) = -1$ प्राप्त होता है,यानी $k^2 - k + 2 = 0$। इस समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।
हालाँकि,यदि हम प्रतिच्छेदन बिंदु $(h, k')$ ज्ञात करते हैं,तो वृत्त का केंद्र $(h, k')$ होगा।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,त्रिज्या का वर्ग $r^2 = h^2 + k'^2$ होगा।
केंद्र $(h, k')$ से रेखा $x - y + 2 = 0$ की लंबवत दूरी $d = |h - k' + 2| / \sqrt{1^2 + (-1)^2}$ है।
जीवा $AB$ की लंबाई $AB = 2\sqrt{r^2 - d^2}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$(AB)^2 = 4(r^2 - d^2)$।
ज्यामितीय मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(AB)^2 = 18$ प्राप्त होता है।

(B) परवलय का समीकरण $y = (x-3)^2 + 3$ है,इसलिए शीर्ष $P(3, 3)$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 2$ है,जिसका केंद्र $O(1, 2)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ है।
दूरी $PO = \sqrt{(3-1)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$ है।
मान लीजिए कि $P$ से गुजरने वाली रेखा $PO$ के साथ $\theta$ कोण बनाती है। यदि $O$ से रेखा $RS$ पर लंबवत दूरी $d$ है,तो $d = PO \sin \theta = \sqrt{5} \sin \theta$ है।
$PR$ और $PS$ रेखा के समीकरण को वृत्त के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त द्विघात समीकरण के मूल हैं। $PR$ और $PS$ के मान $d \pm \sqrt{r^2 - d^2}$ के रूप में होते हैं। अतः $PR+PS = 2 \sqrt{PO^2 - d^2} = 2 \sqrt{5 - d^2}$ है।
$(PR+PS)^2 = 4(5 - d^2)$ को अधिकतम करने के लिए,हमें $d^2$ को न्यूनतम करना होगा। $d$ का न्यूनतम मान $0$ है (जब रेखा केंद्र $O$ से गुजरती है)।
अतः,अधिकतम मान $4(5 - 0) = 20$ है।

(D) मान लीजिए $Q(x_Q, y_Q)$ और $R(x_R, y_R)$ हैं। त्रिभुज $PQR$ के केंद्रक का सूत्र $(\frac{x_P + x_Q + x_R}{3}, \frac{y_P + y_Q + y_R}{3})$ है।
दिए गए केंद्रक $(2 + \cos \alpha, 3 + \frac{2}{3} \sin \alpha)$ से:
$\frac{3 \cos \alpha + x_Q + x_R}{3} = 2 + \cos \alpha \implies x_Q + x_R = 6$.
$\frac{2 \sin \alpha + y_Q + y_R}{3} = 3 + \frac{2}{3} \sin \alpha \implies y_Q + y_R = 9$.
बिंदु $Q$ वृत्त $x^2 + y^2 - 14x - 14y + 82 = 0$ पर स्थित है,जिसे $(x-7)^2 + (y-7)^2 = 16$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $R$ रेखा $x + y = 5$ पर स्थित है,इसलिए $y_R = 5 - x_R$.
$y_R$ का मान केंद्रक समीकरण में रखने पर: $y_Q + (5 - x_R) = 9 \implies y_Q = 4 + x_R$.
साथ ही,$x_Q = 6 - x_R$.
$x_Q$ और $y_Q$ के मानों को वृत्त के समीकरण में रखने पर: $(6 - x_R - 7)^2 + (4 + x_R - 7)^2 = 16$.
$(-1 - x_R)^2 + (x_R - 3)^2 = 16$.
$1 + x_R^2 + 2x_R + x_R^2 - 6x_R + 9 = 16$.
$2x_R^2 - 4x_R - 6 = 0 \implies x_R^2 - 2x_R - 3 = 0$.
$x_R$ के लिए हल करने पर,$(x_R - 3)(x_R + 1) = 0$,इसलिए $x_R = 3$ या $x_R = -1$.
तदनुरूप कोटियाँ $y_R = 5 - x_R$ हैं $y_R = 5 - 3 = 2$ और $y_R = 5 - (-1) = 6$.
कोटियों का योग $2 + 6 = 8$ है।

(C) $C_1$ का केंद्र $O(0, 0)$ है और इसकी त्रिज्या $R = r$ है।
$C_2$ का केंद्र $C(3, 4)$ है और इसकी त्रिज्या $r' = 5$ है।
केंद्रों $O$ और $C$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ है।
चूंकि $C_2, C_1$ के भीतर स्थित है,इसलिए शर्त $R \ge d + r'$ संतुष्ट होनी चाहिए,जो $R \ge 5 + 5 = 10$ देती है।
दो वृत्तों के बिंदुओं के बीच की न्यूनतम दूरी,जहाँ एक वृत्त दूसरे के अंदर हो,$\min |z_1 - z_2| = R - (d + r')$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $\min |z_1 - z_2| = 2$,इसलिए $R - (5 + 5) = 2$,जिसका अर्थ है $R - 10 = 2$,अर्थात $R = 12$।
दो वृत्तों के बिंदुओं के बीच की अधिकतम दूरी,जहाँ एक वृत्त दूसरे के अंदर हो,$\max |z_1 - z_2| = R + d + r'$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$\max |z_1 - z_2| = 12 + 5 + 5 = 22$।