Locus Related Problem Questions in Hindi

(C) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(a \cos \theta, a \sin \theta)$,$B(b \sin \theta, -b \cos \theta)$ और $C(1, 0)$ हैं।
माना केंद्रक $(x, y)$ है।
केंद्रक सूत्र के अनुसार,$x = \frac{a \cos \theta + b \sin \theta + 1}{3}$ और $y = \frac{a \sin \theta - b \cos \theta}{3}$ है।
अतः,$a \cos \theta + b \sin \theta = 3x - 1$ और $a \sin \theta - b \cos \theta = 3y$ है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(a \cos \theta + b \sin \theta)^2 + (a \sin \theta - b \cos \theta)^2 = (3x - 1)^2 + (3y)^2$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर:
$a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta + a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta - 2ab \sin \theta \cos \theta = (3x - 1)^2 + 9y^2$.
$a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + b^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = (3x - 1)^2 + 9y^2$.
चूँकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए $a^2 + b^2 = (3x - 1)^2 + 9y^2$ प्राप्त होता है।

(B) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिए गए बिंदु $A(1, 1)$,$B(-1, 1)$ और $C(-1, -1)$ हैं।
प्रतिबंध $PA^2 = PB^2 + PC^2$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर:
$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = [(x + 1)^2 + (y - 1)^2] + [(x + 1)^2 + (y + 1)^2]$
सरल करने पर:
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 + x^2 + 2x + 1 + y^2 + 2y + 1$
$x^2 + y^2 - 2x - 2y + 2 = 2x^2 + 2y^2 + 4x + 4$
अतः,$P$ के बिंदु पथ का समीकरण $x^2 + y^2 + 6x + 2y + 2 = 0$ है।

(D) माना $P(x_0, y_0)$ वृत्त $x^2+y^2=1$ पर एक बिंदु है। माना $P'(h, k)$ रेखा $x+y-1=0$ में इसका प्रतिबिंब है।
रेखा $ax+by+c=0$ में बिंदु $(x_0, y_0)$ के प्रतिबिंब के सूत्र के अनुसार:
$\frac{h-x_0}{a} = \frac{k-y_0}{b} = -2 \frac{ax_0+by_0+c}{a^2+b^2}$
यहाँ,$a=1, b=1, c=-1$ है। अतः,
$\frac{h-x_0}{1} = \frac{k-y_0}{1} = -2 \frac{x_0+y_0-1}{1^2+1^2} = -(x_0+y_0-1) = 1-x_0-y_0$
इससे,$h = 1-y_0$ और $k = 1-x_0$ प्राप्त होता है।
अतः,$x_0 = 1-k$ और $y_0 = 1-h$ है।
चूंकि $(x_0, y_0)$ वृत्त $x^2+y^2=1$ पर स्थित है,इसलिए:
$(1-k)^2 + (1-h)^2 = 1$
$1 - 2k + k^2 + 1 - 2h + h^2 = 1$
$h^2 + k^2 - 2h - 2k + 1 = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ प्राप्त होता है।

(A) माना बिंदु $P(x, y)$ है।
दिया गया है कि $P$ की $(1, 4)$ से दूरी $5$ है,अतः: $\sqrt{(x-1)^2 + (y-4)^2} = 5 \implies (x-1)^2 + (y-4)^2 = 25 \implies x^2 + y^2 - 2x - 8y - 8 = 0$.
साथ ही,$P$ की रेखा $2x + 3y - 1 = 0$ से दूरी $5$ है,अतः: $\frac{|2x + 3y - 1|}{\sqrt{2^2 + 3^2}} = 5 \implies |2x + 3y - 1| = 5\sqrt{13}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(2x + 3y - 1)^2 = 325 \implies 4x^2 + 12xy + 9y^2 - 4x - 6y - 324 = 0$.

(B) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
दी गई शर्त के अनुसार,$P$ की $(1, 1)$ से दूरी और रेखा $x-y+2=0$ से दूरी का अनुपात $1: \sqrt{2}$ है।
$\frac{\sqrt{(h-1)^2+(k-1)^2}}{\frac{|h-k+2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
$\frac{\sqrt{2} \sqrt{(h-1)^2+(k-1)^2}}{|h-k+2|} = \frac{1}{\sqrt{2}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{2((h-1)^2+(k-1)^2)}{(h-k+2)^2} = \frac{1}{2}$
$4(h^2-2h+1+k^2-2k+1) = (h-k+2)^2$
$4(h^2+k^2-2h-2k+2) = h^2+k^2+4-2hk+4h-4k$
$4h^2+4k^2-8h-8k+8 = h^2+k^2-2hk+4h-4k+4$
$3h^2+3k^2+2hk-12h-4k+4 = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ $3x^2+3y^2+2xy-12x-4y+4=0$ है।

(A) माना बिंदु $Q$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं और बिंदु $B$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है कि $AQ = 2AB$,जिसका अर्थ है कि $B$,रेखाखंड $AQ$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु सूत्र का उपयोग करने पर,$x = \frac{h+0}{2} = \frac{h}{2}$ और $y = \frac{k+3}{2}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $B(x, y)$ वृत्त $(x+2)^2+(y-3)^2=4$ पर स्थित है।
$x$ और $y$ के मानों को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$(\frac{h}{2}+2)^2 + (\frac{k+3}{2}-3)^2 = 4$
$(\frac{h+4}{2})^2 + (\frac{k-3}{2})^2 = 4$
$\frac{(h+4)^2}{4} + \frac{(k-3)^2}{4} = 4$
$(h+4)^2 + (k-3)^2 = 16$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,$Q$ का बिंदुपथ $(x+4)^2+(y-3)^2=16$ है।

(A) माना $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ छड़ के अंतिम बिंदु हैं और $P(h, k)$ मध्य-बिंदु है।
चूंकि $P$ मध्य-बिंदु है,इसलिए $h = \frac{a}{2}$ और $k = \frac{b}{2}$ है।
अतः,$a = 2h$ और $b = 2k$ है।
छड़ की लंबाई $6$ इकाई दी गई है,इसलिए $\sqrt{a^2 + b^2} = 6$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2 + b^2 = 36$ प्राप्त होता है।
$a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,$(2h)^2 + (2k)^2 = 36$ प्राप्त होता है।
$4h^2 + 4k^2 = 36$ है।
$4$ से विभाजित करने पर,$h^2 + k^2 = 9$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $x^2 + y^2 = 9$ है।

(C) माना $P(x, y)$ कोई बिंदु है।
दिया गया है कि इसके निर्देशांकों के वर्गों का योग उनके गुणनफल के बराबर है:
$x^2 + y^2 = xy$
दोनों पक्षों को $xy$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $x \neq 0$ और $y \neq 0$ क्योंकि मूल बिंदु को बाहर रखा गया है):
$\frac{x^2}{xy} + \frac{y^2}{xy} = \frac{xy}{xy}$
$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 1$
अतः,$P$ का बिंदुपथ $\frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 1$ है।

(C) दी गई शर्त $|PA - PB| = 2$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर $PA = \sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2}$ और $PB = \sqrt{(x - 3)^2 + (y + 2)^2}$ है।
अतः,$|\sqrt{(x - 2)^2 + (y - 3)^2} - \sqrt{(x - 3)^2 + (y + 2)^2}| = 2$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4 + (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + 4\sqrt{(x - 3)^2 + (y + 2)^2}$.
सरलीकरण करने पर:
$2x - 10y - 4 = 4\sqrt{(x - 3)^2 + (y + 2)^2}$.
$2$ से विभाजित करने पर:
$x - 5y - 2 = 2\sqrt{(x - 3)^2 + (y + 2)^2}$.
पुनः वर्ग करने पर:
$(x - 5y - 2)^2 = 4[(x - 3)^2 + (y + 2)^2]$.

(C) माना बिंदु $P(x, y)$ इस प्रकार है कि दो बिंदुओं $A(1, 2)$ और $B(2, 1)$ के लिए $PA+PB=3$ है।
$\sqrt{(x-1)^2+(y-2)^2} + \sqrt{(x-2)^2+(y-1)^2} = 3$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर,हमें $32x^2+8xy+32y^2-108x-108y+135=0$ प्राप्त होता है। विकल्पों के अनुसार,विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(A) मान लीजिए $(x, y)$ कोई ऐसा बिंदु है जिसकी $(-3, 0)$ से दूरी $2$ इकाई से अधिक है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,शर्त $\sqrt{(x - (-3))^2 + (y - 0)^2} > 2$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(x + 3)^2 + y^2 > 2^2$ प्राप्त होता है।
व्यंजक का विस्तार करने पर,$x^2 + 6x + 9 + y^2 > 4$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$x^2 + y^2 + 6x + 9 - 4 > 0$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $x^2 + y^2 + 6x + 5 > 0$ है।

(C) माना चर बिंदु के निर्देशांक $P(h, k)$ हैं।
दिया गया है कि $A(1, 2)$ और $B(2, 1)$ हैं और $|PA-PB|=3$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने और सरल करने पर:
$2h - 2k - 9 = 6\sqrt{(h-2)^2+(k-1)^2}$.
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(2h-2k-9)^2 = 36((h-2)^2+(k-1)^2)$.
सरल करने पर हमें प्राप्त होता है:
$32h^2+32k^2+8hk-108h-108k+99=0$.
अतः,$P$ का बिंदुपथ $32x^2+8xy+32y^2-108x-108y+99=0$ है।

(D) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
चूंकि $P$,$QR$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$h = \frac{x_1 + 1}{2}$ और $k = \frac{y_1 + 0}{2}$
इससे $x_1 = 2h - 1$ और $y_1 = 2k$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $Q(x_1, y_1)$ वृत्त $x^2 + y^2 = 1$ पर स्थित है,इसलिए $x_1$ और $y_1$ के मानों को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$(2h - 1)^2 + (2k)^2 = 1$
$4h^2 - 4h + 1 + 4k^2 = 1$
$4h^2 + 4k^2 - 4h = 0$
$4$ से भाग देने पर,$h^2 + k^2 - h = 0$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु $P$ का बिंदुपथ $x^2 + y^2 - x = 0$ है।

(B) माना जीवा का समीकरण $lx + my = 1$ है।
वक्र $3x^2 - y^2 - 2x + 4y = 0$ को जीवा के समीकरण के साथ समघातीय बनाने पर:
$3x^2 - y^2 - 2x(lx + my) + 4y(lx + my) = 0$
$3x^2 - y^2 - 2lx^2 - 2mxy + 4lxy + 4my^2 = 0$
$(3 - 2l)x^2 + (4l - 2m)xy + (4m - 1)y^2 = 0$
चूंकि जीवा मूल बिंदु पर समकोण अंतरित करती है,इसलिए रेखाओं का युग्म परस्पर लंबवत होना चाहिए।
अतः,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होगा:
$(3 - 2l) + (4m - 1) = 0$
$2 - 2l + 4m = 0$
$l - 2m = 1$
$lx + my = 1$ की तुलना $l(1) + m(-2) = 1$ से करने पर,रेखा सदैव $(1, -2)$ बिंदु से होकर गुजरती है।

(A) माना बिंदु $P$ $(x, y)$ है। दिए गए $Q(0,2)$ और $R(-1,0)$ के लिए,शर्त $PQ = \frac{1}{\sqrt{2}} PR$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$2(PQ)^2 = (PR)^2$ प्राप्त होता है।
निर्देशांक रखने पर,$2(x^2 + (y-2)^2) = (x+1)^2 + y^2$।
पदों का विस्तार करने पर: $2(x^2 + y^2 - 4y + 4) = x^2 + 2x + 1 + y^2$।
$2x^2 + 2y^2 - 8y + 8 = x^2 + 2x + 1 + y^2$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x^2 + y^2 - 2x - 8y + 7 = 0$।
यह एक वृत्त का समीकरण है।
केंद्र $(-\frac{-2}{2}, -\frac{-8}{2}) = (1, 4)$ है।
त्रिज्या $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{1^2 + 4^2 - 7} = \sqrt{1 + 16 - 7} = \sqrt{10}$ है।
अतः,बिंदुपथ $(1, 4)$ केंद्र और $\sqrt{10}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।

(C) माना वृत्त का केंद्र $O(\alpha, \beta)$ है और $A(1,1)$ से गुजरने वाले व्यास का दूसरा सिरा $Q(h, k)$ है।
चूंकि वृत्त $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,त्रिज्या $|\beta|$ है। अतः,वृत्त का समीकरण $(x-\alpha)^2 + (y-\beta)^2 = \beta^2$ है।
चूंकि $A(1,1)$ वृत्त पर स्थित है,$(1-\alpha)^2 + (1-\beta)^2 = \beta^2$,जो सरल होकर $(1-\alpha)^2 + 1 - 2\beta = 0$ हो जाता है,इसलिए $2\beta = (1-\alpha)^2 + 1$।
$O(\alpha, \beta)$ व्यास $AQ$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $\alpha = \frac{h+1}{2}$ और $\beta = \frac{k+1}{2}$ है।
इन मानों को $2\beta = (1-\alpha)^2 + 1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$k+1 = (1 - \frac{h+1}{2})^2 + 1$
$k+1 = (\frac{2-h-1}{2})^2 + 1$
$k+1 = \frac{(1-h)^2}{4} + 1$
$k = \frac{(h-1)^2}{4}$
$4k = (h-1)^2$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $(x-1)^2 = 4y$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया बिंदु $A(a, 0)$ और रेखा $x+y=0$ है।
माना बिंदु $P$ $(h, k)$ है।
प्रश्न के अनुसार,$P$ से $A$ की दूरी,$P$ से रेखा $x+y=0$ की लंबवत दूरी के बराबर है:
$\sqrt{(h-a)^2+(k-0)^2} = \frac{|h+k|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{|h+k|}{\sqrt{2}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(h-a)^2 + k^2 = \frac{(h+k)^2}{2}$.
$2(h^2 - 2ha + a^2 + k^2) = h^2 + k^2 + 2hk$.
$2h^2 - 4ha + 2a^2 + 2k^2 = h^2 + k^2 + 2hk$.
$h^2 + k^2 - 2hk - 4ha + 2a^2 = 0$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ का समीकरण है:
$x^2 + y^2 - 2xy - 4ax + 2a^2 = 0$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि यह $(a, b)$ से गुजरता है,हमारे पास $a^2+b^2+2ga+2fb+c=0$ है,जिसका अर्थ है $c = -a^2-b^2-2ga-2fb$।
चूंकि वृत्त $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ को लंबकोणीय रूप से काटता है,शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ के अनुसार:
$2g(-1) + 2f(2) = c - 4$।
$c$ का मान रखने पर:
$-2g + 4f = -a^2-b^2-2ga-2fb - 4$।
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$g(2a-2) + f(2b+4) = -a^2-b^2-4$।
केंद्र $(x, y) = (-g, -f)$ है,इसलिए $g = -x$ और $f = -y$।
ये मान रखने पर:
$-x(2a-2) - y(2b+4) = -a^2-b^2-4$।
$x(2a-2) + y(2b+4) = a^2+b^2+4$।
$2$ से विभाजित करने पर:
$(a-1)x + (b+2)y = \frac{a^2+b^2+4}{2}$।

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है,जहाँ केंद्र $(-g, -f)$ है।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2-20x+4=0$ का केंद्र $(10, 0)$ है।
दो वृत्तों के लंबकोणीय कटने की शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ है।
यहाँ,$g_1 = -10, f_1 = 0, c_1 = 4$ और $g_2 = g, f_2 = f, c_2 = c$ है।
अतः,$2(-10)(g) + 2(0)(f) = 4+c$,जिससे $c = -20g-4$ प्राप्त होता है।
वृत्त रेखा $x=2$ को स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र $(-g, -f)$ से रेखा की दूरी त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ के बराबर है।
$| -g - 2 | = \sqrt{g^2+f^2-c} \Rightarrow (g+2)^2 = g^2+f^2-c$.
$g^2+4g+4 = g^2+f^2-c \Rightarrow f^2-c-4g-4 = 0$.
$c = -20g-4$ को समीकरण में रखने पर:
$f^2 - (-20g-4) - 4g - 4 = 0$ $\Rightarrow f^2 + 20g + 4 - 4g - 4 = 0$ $\Rightarrow f^2 + 16g = 0$.
$(-g, -f)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,$g = -x$ और $f = -y$ प्राप्त होता है।
$(-y)^2 + 16(-x) = 0$ $\Rightarrow y^2 - 16x = 0$ $\Rightarrow y^2 = 16x$.

(A) वृत्त $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के लिए दिए गए मध्य बिंदु $M(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ द्वारा दिया जाता है,जो $x x_1 + y y_1 + g(x+x_1) + f(y+y_1) + c = x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ है।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2-2x=0$ के लिए,$g=-1, f=0, c=0$ है।
जीवा बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरती है। समीकरण $T=S_1$ में $(0,0)$ रखने पर:
$0(x_1) + 0(y_1) - 1(0+x_1) + 0(0+y_1) + 0 = x_1^2 + y_1^2 - 2x_1$.
$-x_1 = x_1^2 + y_1^2 - 2x_1$.
$x_1^2 + y_1^2 - x_1 = 0$.
$(x_1, y_1)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2+y^2-x=0$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए $R(\alpha, \beta)$ अभीष्ट बिंदु है,$Q(x_0, y_0)$ वृत्त पर एक बिंदु है और $P(h, k)$ एक स्थिर बिंदु है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$R$ के निर्देशांक हैं:
$(\alpha, \beta) = \left(\frac{p x_0 + q h}{p+q}, \frac{p y_0 + q k}{p+q}\right)$
इससे हमें प्राप्त होता है:
$x_0 = \frac{(p+q)\alpha - qh}{p}$ और $y_0 = \frac{(p+q)\beta - qk}{p}$
चूंकि $Q(x_0, y_0)$ वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ पर स्थित है,हम $x_0$ और $y_0$ का मान रखते हैं:
$\left(\frac{(p+q)\alpha - qh}{p}\right)^2 + \left(\frac{(p+q)\beta - qk}{p}\right)^2 = a^2$
$\frac{(p+q)^2}{p^2}$ से विभाजित करने पर,हमें मिलता है:
$\left(\alpha - \frac{qh}{p+q}\right)^2 + \left(\beta - \frac{qk}{p+q}\right)^2 = \frac{p^2 a^2}{(p+q)^2}$
अतः,$R(x, y)$ का बिंदुपथ एक वृत्त है जिसका केंद्र $\left(\frac{qh}{p+q}, \frac{qk}{p+q}\right)$ है।

(C) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r = |k|$ है।
चूंकि वृत्त $(-1, 1)$ बिंदु से गुजरता है,इसलिए केंद्र से इस बिंदु की दूरी त्रिज्या के बराबर होगी।
अतः,$\sqrt{(h + 1)^2 + (k - 1)^2} = |k|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(h + 1)^2 + (k - 1)^2 = k^2$.
$(h + 1)^2 + k^2 - 2k + 1 = k^2$.
$(h + 1)^2 = 2k - 1$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,$(x + 1)^2 = 2(y - 1/2)$.
यह एक परवलय का समीकरण है जिसकी नाभि $(-1, 1)$ है।

(B) माना $P(x, y)$ बिंदु है। दिया गया है $PA + PB = 4$।
$\sqrt{(x-2)^2 + (y-0)^2} + \sqrt{(x-0)^2 + (y+2)^2} = 4$
$\sqrt{(x-2)^2 + y^2} = 4 - \sqrt{x^2 + (y+2)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x-2)^2 + y^2 = 16 + x^2 + (y+2)^2 - 8\sqrt{x^2 + (y+2)^2}$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 = 16 + x^2 + y^2 + 4y + 4 - 8\sqrt{x^2 + (y+2)^2}$
$-4x - 4y - 16 = -8\sqrt{x^2 + (y+2)^2}$
$x + y + 4 = 2\sqrt{x^2 + (y+2)^2}$
पुनः वर्ग करने पर:
$(x + y + 4)^2 = 4(x^2 + y^2 + 4y + 4)$
$x^2 + y^2 + 16 + 2xy + 8x + 8y = 4x^2 + 4y^2 + 16y + 16$
$3x^2 - 2xy + 3y^2 - 8x + 8y = 0$.

(C) माना $P = (x, y)$,$A = (0, 2)$,और $B = (-1, 0)$ है।
दिया है $PA = \frac{1}{\sqrt{2}} PB$,जिसका अर्थ है $2 PA^2 = PB^2$ है।
निर्देशांक रखने पर:
$2[(x - 0)^2 + (y - 2)^2] = (x + 1)^2 + (y - 0)^2$
$2(x^2 + y^2 - 4y + 4) = x^2 + 2x + 1 + y^2$
$2x^2 + 2y^2 - 8y + 8 = x^2 + y^2 + 2x + 1$
$x^2 + y^2 - 2x - 8y + 7 = 0$ है।
यह $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के रूप का एक वृत्त है।
तुलना करने पर,$2g = -2 \implies g = -1$ और $2f = -8 \implies f = -4$ है।
केंद्र $(-g, -f) = (1, 4)$ है।
त्रिज्या $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 - 7} = \sqrt{1 + 16 - 7} = \sqrt{10}$ इकाई है।

(C) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
चूँकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,इसकी त्रिज्या $R$ के लिए $R^2 = h^2 + k^2$ होगा।
वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = h^2 + k^2$ है,जो $x^2 + y^2 - 2hx - 2ky = 0$ में सरल हो जाता है।
वृत्त रेखा $x=1$ पर $2$ इकाई लंबाई की जीवा काटता है। जीवा की लंबाई $2\sqrt{R^2 - d^2} = 2$ है,जहाँ $d$ केंद्र $(h, k)$ से रेखा $x=1$ की लंबवत दूरी है।
अतः,$\sqrt{R^2 - d^2} = 1$,या $R^2 - d^2 = 1$ है।
यहाँ,$R^2 = h^2 + k^2$ और $d = |h-1|$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(h^2 + k^2) - (h-1)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
$h^2 + k^2 - (h^2 - 2h + 1) = 1$
$h^2 + k^2 - h^2 + 2h - 1 = 1$
$k^2 + 2h - 1 = 1$
$k^2 = 2 - 2h$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y^2 = 2(1-x)$ प्राप्त होता है,जो एक परवलय को दर्शाता है।

(D) दिया गया वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x+2y+3=0$ है।
तुलना करने पर,केंद्र $(2, -1)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{4+1-3} = \sqrt{2}$ प्राप्त होती है।
यदि स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\frac{\pi}{2}$ है,तो $P$ का बिंदुपथ निर्देशक वृत्त (director circle) होता है।
निर्देशक वृत्त का समीकरण $(x-h)^2+(y-k)^2 = 2r^2$ है।
मान रखने पर: $(x-2)^2+(y+1)^2 = 2(\sqrt{2})^2 = 4$.
सरल करने पर: $x^2+y^2-4x+2y+1 = 0$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(A) माना बिंदु $P(h, k)$,$A(1, 0)$,और $B(x_1, y_1)$ हैं। हमारे पास $AP=3AB$ है।
चूंकि $P$,$AB$ के विस्तार पर स्थित है,इसलिए $B$,$A$ और $P$ के बीच स्थित है।
अतः,$AP = AB + BP = 3AB$,जिसका अर्थ है $BP = 2AB$।
इसलिए,$B$,$AP$ को $1:2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,$B(x_1, y_1)$ के निर्देशांक हैं:
$x_1 = \frac{h+2}{3}$
$y_1 = \frac{k}{3}$
चूंकि $B(x_1, y_1)$ वृत्त $x^2+y^2-2x+2y+1=0$ पर स्थित है,हम इन मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\frac{h+2}{3})^2 + (\frac{k}{3})^2 - 2(\frac{h+2}{3}) + 2(\frac{k}{3}) + 1 = 0$
$9$ से गुणा करने पर:
$(h+2)^2 + k^2 - 6(h+2) + 6k + 9 = 0$
$h^2 + 4h + 4 + k^2 - 6h - 12 + 6k + 9 = 0$
$h^2 + k^2 - 2h + 6k + 1 = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,$P$ का बिंदुपथ $x^2+y^2-2x+6y+1=0$ है।

(B) माना वृत्त $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है,जहाँ $(h, k)$ केंद्र है।
यह $(3, 4)$ से गुजरता है,इसलिए $(3 - h)^2 + (4 - k)^2 = r^2$,जिसका अर्थ है $h^2 + k^2 - 6h - 8k + 25 = r^2$.
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + 6h + 8k - 25 = 0$ है।
यह वृत्त $x^2 + y^2 - a^2 = 0$ को लंबकोणीय काटता है,इसलिए $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$.
यहाँ $g_1 = -h, f_1 = -k, c_1 = 6h + 8k - 25$ और $g_2 = 0, f_2 = 0, c_2 = -a^2$.
अतः,$6h + 8k - 25 - a^2 = 0$.
केंद्र $(h, k)$ का बिंदु पथ $6x + 8y - (25 + a^2) = 0$ है।
इस रेखा की $(0, 0)$ से दूरी $\frac{|-(25 + a^2)|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = 25$ है।
$\frac{25 + a^2}{10} = 25$ $\Rightarrow 25 + a^2 = 250$ $\Rightarrow a^2 = 225$.

(B) माना बिंदु $A$ के निर्देशांक $(a \cos \theta, a \sin \theta)$ हैं।
चूँकि $AM$,$X$-अक्ष के समांतर है और इसकी लंबाई $a$ है,बिंदु $M(x, y)$ के निर्देशांक $(a \cos \theta + a, a \sin \theta)$ या $(a \cos \theta - a, a \sin \theta)$ होंगे।
स्थिति $1$: $x = a \cos \theta + a$ और $y = a \sin \theta$.
तब $x - a = a \cos \theta$ और $y = a \sin \theta$.
वर्ग करके जोड़ने पर,$(x - a)^2 + y^2 = a^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta = a^2$.
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = a^2 \implies x^2 + y^2 = 2ax$.
स्थिति $2$: $x = a \cos \theta - a$ और $y = a \sin \theta$.
तब $x + a = a \cos \theta$ और $y = a \sin \theta$.
वर्ग करके जोड़ने पर,$(x + a)^2 + y^2 = a^2 \cos^2 \theta + a^2 \sin^2 \theta = a^2$.
$x^2 + 2ax + a^2 + y^2 = a^2 \implies x^2 + y^2 = -2ax$.
अतः,बिंदुपथ $x^2 + y^2 = \pm 2ax$ है। दिए गए विकल्पों में से $x^2 + y^2 = 2ax$ सही विकल्प है।

(B) माना वृत्त का केंद्र $C(h, k)$ है। चूँकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है,इसकी त्रिज्या $r$ का मान $r^2 = h^2 + k^2$ होगा।
केंद्र $C(h, k)$ से रेखा $x=3$ की लंबवत दूरी $d = |h-3|$ है।
रेखा $x=3$ द्वारा काटे गए जीवा की लंबाई $4$ इकाई है। अतः,जीवा की आधी लंबाई $2$ इकाई है।
त्रिज्या,लंबवत दूरी और जीवा की आधी लंबाई से बने समकोण त्रिभुज में:
$r^2 = d^2 + 2^2$
$h^2 + k^2 = (h-3)^2 + 4$
$h^2 + k^2 = h^2 - 6h + 9 + 4$
$k^2 = -6h + 13$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ $y^2 = -6x + 13$ या $y^2 + 6x = 13$ प्राप्त होता है।

(B) माना $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिए गए वृत्तों के समीकरण:
$S_1: x^2+y^2+2x-4y-20=0$
$S_2: x^2+y^2-4x+2y-44=0$
बिंदु $P(x, y)$ से वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई का वर्ग $x^2+y^2+2gx+2fy+c$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,स्पर्श रेखाओं की लंबाई के वर्गों का अनुपात:
$\frac{x^2+y^2+2x-4y-20}{x^2+y^2-4x+2y-44} = \frac{2}{3}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$3(x^2+y^2+2x-4y-20) = 2(x^2+y^2-4x+2y-44)$
$3x^2+3y^2+6x-12y-60 = 2x^2+2y^2-8x+4y-88$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$x^2+y^2+14x-16y+28 = 0$
यह $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के रूप में एक वृत्त का समीकरण है,जहाँ $2g=14$ और $2f=-16$ है।
अतः,$g=7$ और $f=-8$ है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-7, 8)$ है।

(C) माना $(h, k)$ वृत्त $x^2+y^2=16$ की जीवा का मध्य-बिंदु है। मध्य-बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ द्वारा दिया जाता है,जो $hx+ky=h^2+k^2$ है।
इसे $y = -\frac{h}{k}x + \frac{h^2+k^2}{k}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह रेखा अतिपरवलय $9x^2-16y^2=144$ को स्पर्श करती है,जिसे $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा $y=mx+c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ को स्पर्श करने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
यहाँ $a^2=16$,$b^2=9$,$m = -\frac{h}{k}$,और $c = \frac{h^2+k^2}{k}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\left(\frac{h^2+k^2}{k}\right)^2 = 16\left(-\frac{h}{k}\right)^2 - 9$.
$\frac{(h^2+k^2)^2}{k^2} = \frac{16h^2}{k^2} - 9$.
$(h^2+k^2)^2 = 16h^2 - 9k^2$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $16x^2-9y^2=(x^2+y^2)^2$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $X$-अक्ष पर बिंदु $S = (x, 0)$ है और दिया गया बिंदु $P = (3, 4)$ है।
$S$ और $P$ के बीच की दूरी $d$ है,इसलिए $d^2 = (x - 3)^2 + (0 - 4)^2$.
$d^2 = (x - 3)^2 + 16$.
$(x - 3)^2 = d^2 - 16$.
यदि $d < 4$ है,तो $d^2 < 16$,जिसका अर्थ है कि $d^2 - 16 < 0$.
चूंकि किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $d < 4$ के लिए $x$ का कोई वास्तविक मान नहीं है।
अतः,यदि $d < 4$ है तो $S$ एक रिक्त समुच्चय है।

(A) दिया गया है कि $A(5, -4)$ और $B(7, 6)$ एक समतल में बिंदु हैं। मान लीजिए $P(x, y)$ एक ऐसा बिंदु है कि $AP:PB = 2:3$ है।
अतः,$\frac{AP}{PB} = \frac{2}{3} \Rightarrow 3AP = 2PB$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $9AP^2 = 4PB^2$ प्राप्त होता है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$AP^2 = (x-5)^2 + (y+4)^2$ और $PB^2 = (x-7)^2 + (y-6)^2$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$9[(x-5)^2 + (y+4)^2] = 4[(x-7)^2 + (y-6)^2]$.
$9[x^2 - 10x + 25 + y^2 + 8y + 16] = 4[x^2 - 14x + 49 + y^2 - 12y + 36]$.
$9[x^2 + y^2 - 10x + 8y + 41] = 4[x^2 + y^2 - 14x - 12y + 85]$.
$9x^2 + 9y^2 - 90x + 72y + 369 = 4x^2 + 4y^2 - 56x - 48y + 340$.
$5x^2 + 5y^2 - 34x + 120y + 29 = 0$.
यह $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के रूप का समीकरण है,जो एक वृत्त को दर्शाता है।

(B) मान लीजिए शीर्ष $C$ को सम्मिश्र संख्या $z = x + iy$ द्वारा दर्शाया गया है। $A$ के निर्देशांक $(0, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(2a, 0)$ हैं।
चूंकि कोण $\angle ACB = \alpha$ है,इसलिए सदिशों $\vec{CA}$ और $\vec{CB}$ के अनुपात का कोणांक $\alpha$ है।
$\arg \left( \frac{0 - z}{2a - z} \right) = \alpha$
$\arg \left( \frac{-z}{2a - z} \right) = \alpha$
$\arg \left( \frac{z}{z - 2a} \right) = \alpha$
$\arg \left( \frac{z - z_1}{z - z_2} \right) = \alpha$ के गुण का उपयोग करते हुए,बिंदु पथ $A(0,0)$ और $B(2a,0)$ से गुजरने वाला एक वृत्त है।
वृत्त का समीकरण $(x^2 + y^2) - 2ax - 2ay \cot \alpha = 0$ है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}+4x-6y+9 \sin^{2} \alpha + 13 \cos^{2} \alpha = 0$ है।
केंद्र $C = (-2, 3)$ और त्रिज्या $r = 2 \sin \alpha$ है।
माना $P(h, k)$ बिंदुपथ पर एक बिंदु है। स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $2 \alpha$ है,इसलिए $\triangle PAC$ में $\sin \alpha = \frac{r}{PC}$ होगा।
अतः,$PC = \frac{2 \sin \alpha}{\sin \alpha} = 2$.
$PC^{2} = 4 \Rightarrow (h+2)^{2} + (k-3)^{2} = 4$.
सरल करने पर,$h^{2}+k^{2}+4h-6k+9 = 0$.
अतः,बिंदुपथ का समीकरण $x^{2}+y^{2}+4x-6y+9=0$ है।

(A) मान लीजिए वृत्त $C$ का केंद्र $O(x_0, y_0)$ और त्रिज्या $r$ है। वृत्त पर किसी भी बिंदु $P$ के निर्देशांक $P(x_0 + r \cos \theta, y_0 + r \sin \theta)$ के रूप में दर्शाए जा सकते हैं।
मान लीजिए $Q$ स्थिर बिंदु $(a, b)$ है।
मान लीजिए $R(h, k)$ रेखाखंड $PQ$ का मध्यबिंदु है।
तब,$h = \frac{x_0 + r \cos \theta + a}{2}$ और $k = \frac{y_0 + r \sin \theta + b}{2}$ होगा।
इन समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2h - (x_0 + a) = r \cos \theta$
$2k - (y_0 + b) = r \sin \theta$
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(2h - (x_0 + a))^2 + (2k - (y_0 + b))^2 = r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$
$4(h - \frac{x_0 + a}{2})^2 + 4(k - \frac{y_0 + b}{2})^2 = r^2$
$(h - \frac{x_0 + a}{2})^2 + (k - \frac{y_0 + b}{2})^2 = (\frac{r}{2})^2$
यह एक वृत्त का समीकरण है जिसका केंद्र $(\frac{x_0 + a}{2}, \frac{y_0 + b}{2})$ और त्रिज्या $\frac{r}{2}$ है।

(C) माना $M$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया है $A(0, 3)$ और $AM = 2AB$,इसका अर्थ है कि $B$ रेखाखंड $AM$ का मध्य-बिंदु है।
अतः,$B$ के निर्देशांक $\left(\frac{0+x}{2}, \frac{3+y}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}, \frac{y+3}{2}\right)$ होंगे।
चूंकि $B$ वृत्त $x^{2}+4x+(y-3)^{2}=0$ पर स्थित है,इसलिए $B$ के निर्देशांकों को वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$\left(\frac{x}{2}\right)^{2} + 4\left(\frac{x}{2}\right) + \left(\frac{y+3}{2} - 3\right)^{2} = 0$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{4} + 2x + \left(\frac{y-3}{2}\right)^{2} = 0$
$\Rightarrow \frac{x^{2}}{4} + 2x + \frac{y^{2}-6y+9}{4} = 0$
पूरे समीकरण को $4$ से गुणा करने पर:
$x^{2} + 8x + y^{2} - 6y + 9 = 0$
अतः,$M$ का बिंदुपथ $x^{2}+y^{2}+8x-6y+9=0$ है।

(C) दिया गया वृत्त का समीकरण $x^{2}+y^{2}+2x-2y-2=0$ है।
इसे $(x+1)^{2}+(y-1)^{2}=4$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,केंद्र $(-1, 1)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
माना $P(h, k)$ जीवा $AB$ का मध्य-बिंदु है।
केंद्र $O(-1, 1)$ से मध्य-बिंदु $P(h, k)$ की दूरी $OP = \sqrt{(h+1)^{2}+(k-1)^{2}}$ है।
चूंकि जीवा $AB$ केंद्र पर $90^{\circ}$ का कोण बनाती है,$\triangle OAP$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle OAP = 45^{\circ}$ है।
$\triangle OAP$ में,$\sin 45^{\circ} = \frac{OP}{OA}$।
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{(h+1)^{2}+(k-1)^{2}}}{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{2} = \frac{(h+1)^{2}+(k-1)^{2}}{4}$।
$(h+1)^{2}+(k-1)^{2} = 2$।
विस्तार करने पर,$h^{2}+2h+1+k^{2}-2k+1 = 2$।
$h^{2}+k^{2}+2h-2k = 0$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $x^{2}+y^{2}+2x-2y=0$ है।

(B) माना $(h, k)$ वृत्त $x^{2}+y^{2}=1$ की एक जीवा का मध्य-बिंदु है। मध्य-बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ के अनुसार $hx+ky = h^{2}+k^{2}$ है।
वृत्त और जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण जीवा के समीकरण का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है:
$x^{2}+y^{2} = 1 \cdot \left(\frac{hx+ky}{h^{2}+k^{2}}\right)^{2}$
$(h^{2}+k^{2})^{2}(x^{2}+y^{2}) = (hx+ky)^{2}$
$(h^{2}+k^{2})^{2}(x^{2}+y^{2}) = h^{2}x^{2} + k^{2}y^{2} + 2hkxy$
चूंकि जीवा मूल बिंदु पर समकोण अंतरित करती है,इसलिए $x^{2}$ और $y^{2}$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(h^{2}+k^{2})^{2} - h^{2} + (h^{2}+k^{2})^{2} - k^{2} = 0$
$2(h^{2}+k^{2})^{2} - (h^{2}+k^{2}) = 0$
चूंकि $h^{2}+k^{2} \neq 0$,इसलिए $2(h^{2}+k^{2}) = 1$,अर्थात $h^{2}+k^{2} = \frac{1}{2}$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^{2}+y^{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) माना $P(h, k)$ बिंदुपथ पर कोई बिंदु है।
दिया गया है कि $A(1, 2)$ और $B(-2, 1)$ से उसकी दूरियों के वर्गों का योग $6$ है।
$(PA)^2 + (PB)^2 = 6$
$(h - 1)^2 + (k - 2)^2 + (h + 2)^2 + (k - 1)^2 = 6$
$(h^2 - 2h + 1) + (k^2 - 4k + 4) + (h^2 + 4h + 4) + (k^2 - 2k + 1) = 6$
$2h^2 + 2k^2 + 2h - 6k + 10 = 6$
$2h^2 + 2k^2 + 2h - 6k + 4 = 0$
$h^2 + k^2 + h - 3k + 2 = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 + x - 3y + 2 = 0$ है।
यह एक वृत्त का समीकरण है।
इसका केंद्र $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ और त्रिज्या $\sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 - 2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4} - 2} = \sqrt{\frac{10}{4} - 2} = \sqrt{\frac{5}{2} - 2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।

(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
चूंकि वृत्त $(a, 0)$ और $(-a, 0)$ बिंदुओं से होकर गुजरता है,इसलिए केंद्र $(h, k)$ से दोनों बिंदुओं की दूरी समान (त्रिज्या $r$) होगी।
अतः,$\sqrt{(h-a)^2 + (k-0)^2} = \sqrt{(h-(-a))^2 + (k-0)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(h-a)^2 + k^2 = (h+a)^2 + k^2$.
सरल करने पर,$h^2 - 2ah + a^2 + k^2 = h^2 + 2ah + a^2 + k^2$.
इससे $-2ah = 2ah$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $4ah = 0$.
चूंकि $a \neq 0$,इसलिए $h = 0$ होगा।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,केंद्र का बिंदु पथ $x = 0$ है,जो कि $y$-अक्ष है।

(A) मान लीजिए दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ पर बिंदु $P(3\cos\theta, 2\sin\theta)$ है।
$P$ से गुजरने वाली $Y$-अक्ष के समांतर रेखा का समीकरण $x = 3\cos\theta$ है।
यह रेखा वृत्त $x^{2}+y^{2}=9$ को $Q$ पर मिलती है। वृत्त के समीकरण में $x = 3\cos\theta$ रखने पर:
$(3\cos\theta)^{2} + y^{2} = 9$ $\Rightarrow 9\cos^{2}\theta + y^{2} = 9$ $\Rightarrow y^{2} = 9\sin^{2}\theta$.
चूंकि $P$ और $Q$,$X$-अक्ष के एक ही ओर हैं,इसलिए $Q = (3\cos\theta, 3\sin\theta)$ होगा।
$PQ$ पर बिंदु $R(h, k)$ इस प्रकार है कि $\frac{PR}{RQ} = \frac{1}{2}$ है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$h = \frac{1(3\cos\theta) + 2(3\cos\theta)}{3} = 3\cos\theta$
$k = \frac{1(3\sin\theta) + 2(2\sin\theta)}{3} = \frac{7\sin\theta}{3}$
अतः,$\cos\theta = \frac{h}{3}$ और $\sin\theta = \frac{3k}{7}$ है।
सर्वसमिका $\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$(\frac{h}{3})^{2} + (\frac{3k}{7})^{2} = 1 \Rightarrow \frac{h^{2}}{9} + \frac{9k^{2}}{49} = 1$.
अतः,$R$ का बिंदुपथ $\frac{x^{2}}{9} + \frac{9y^{2}}{49} = 1$ है।

(D) माना चर वृत्त का केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ है।
चूंकि चर वृत्त $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होगी:
$\sqrt{h^{2}+k^{2}} = r + a \implies h^{2}+k^{2} = (r+a)^{2} \quad (1)$
चूंकि यह $x^{2}+y^{2}=4ax$ (जिसका केंद्र $(2a, 0)$ और त्रिज्या $2a$ है) को भी बाह्य रूप से स्पर्श करता है:
$\sqrt{(h-2a)^{2}+k^{2}} = r + 2a \implies (h-2a)^{2}+k^{2} = (r+2a)^{2} \quad (2)$
समीकरण $(2)$ से $(1)$ को घटाने पर:
$(h-2a)^{2} - h^{2} = (r+2a)^{2} - (r+a)^{2}$
$-4ah + 4a^{2} = 2ar + 3a^{2}$
$r = \frac{a-4h}{2}$
$r$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$h^{2}+k^{2} = (\frac{3a-4h}{2})^{2}$
$12h^{2} - 4k^{2} - 24ah + 9a^{2} = 0$
अतः,बिंदु पथ $12x^{2}-4y^{2}-24ax+9a^{2}=0$ है,जो एक अतिपरवलय को दर्शाता है।