Locus Related Problem Questions in Hindi

(B) माना चर वृत्त का केंद्र $O(h, k)$ है और इसकी त्रिज्या $r$ है। माना दो दिए गए वृत्तों के केंद्र $O_1$ और $O_2$ हैं और उनकी त्रिज्याएँ क्रमशः $r_1$ और $r_2$ हैं।
चूंकि चर वृत्त दो दिए गए वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,इसलिए केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है:
$OO_1 = r + r_1$
$OO_2 = r + r_2$
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$OO_2 - OO_1 = (r + r_2) - (r + r_1) = r_2 - r_1$
चूंकि $r_1$ और $r_2$ स्थिरांक हैं,इसलिए बिंदु $O$ की दो निश्चित बिंदुओं $O_1$ और $O_2$ से दूरी का अंतर स्थिर रहता है। परिभाषा के अनुसार,यह एक अतिपरवलय का बिंदु पथ है।

(A) माना $\theta = \angle APB$ है। निर्देशांक $A(0, a)$,$B(0, b)$,और $P(x, 0)$ हैं।
$\triangle APB$ में कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$AB^2 = PA^2 + PB^2 - 2(PA)(PB) \cos \theta$
$(a - b)^2 = (x^2 + a^2) + (x^2 + b^2) - 2 \sqrt{x^2 + a^2} \sqrt{x^2 + b^2} \cos \theta$
$a^2 - 2ab + b^2 = 2x^2 + a^2 + b^2 - 2 \sqrt{x^2 + a^2} \sqrt{x^2 + b^2} \cos \theta$
$2 \sqrt{x^2 + a^2} \sqrt{x^2 + b^2} \cos \theta = 2x^2 + 2ab$
$\cos \theta = \frac{x^2 + ab}{\sqrt{x^2 + a^2} \sqrt{x^2 + b^2}}$
$\theta$ को अधिकतम करने के लिए,हम $\cos \theta$ को न्यूनतम करते हैं। गणना करने पर $x^2 = ab$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया ध्रुवीय समीकरण: $r \cos \theta = 2a \sin^2 \theta$.
हम जानते हैं कि: $x = r \cos \theta$,$y = r \sin \theta$,और $r^2 = x^2 + y^2$.
दिए गए समीकरण को $r^2$ से गुणा करने पर:
$r^3 \cos \theta = 2a (r \sin \theta)^2$.
$r^2 (r \cos \theta) = 2a (r \sin \theta)^2$
$(x^2 + y^2)x = 2a y^2$
$x^3 + xy^2 = 2a y^2$
$x^3 = 2a y^2 - xy^2$
$x^3 = y^2(2a - x)$.
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(A) वृत्त $x^{2}+y^{2}=4$ है। $x$-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु $A(2,0)$ और $B(-2,0)$ हैं।
मान लीजिए $AQ$ और $BP$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $R(h,k)$ है।
$BP$ की ढाल $m_{BP} = \tan \frac{\alpha}{2}$ है।
$AQ$ की ढाल $m_{AQ} = -\cot \frac{\beta}{2}$ है।
दिया है कि $\frac{\alpha}{2} - \frac{\beta}{2} = \frac{\pi}{4}$ है।
समीकरणों को हल करने पर,हमें $h^2 + k^2 - 4k - 4 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $x^2 + y^2 - 4y - 4 = 0$ पर स्थित है।

(C) वृत्त मूल बिंदु $O(0,0)$,$A(-\sqrt{3}a, 0)$,और $B(0, -\sqrt{2}b)$ से होकर गुजरता है।
चूँकि वृत्त मूल बिंदु से गुजरता है,इसका समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ के रूप का है।
$A(-\sqrt{3}a, 0)$ को समीकरण में रखने पर: $(-\sqrt{3}a)^2 + 2g(-\sqrt{3}a) = 0 \implies 3a^2 - 2g\sqrt{3}a = 0 \implies 2g = \sqrt{3}a$.
$B(0, -\sqrt{2}b)$ को समीकरण में रखने पर: $(-\sqrt{2}b)^2 + 2f(-\sqrt{2}b) = 0 \implies 2b^2 - 2f\sqrt{2}b = 0 \implies 2f = \sqrt{2}b$.
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + (\sqrt{3}a)x + (\sqrt{2}b)y = 0$ है।
वृत्त की त्रिज्या $R = \sqrt{g^2 + f^2} = 4$ है।
अतः,$g^2 + f^2 = 16 \implies (\frac{\sqrt{3}a}{2})^2 + (\frac{\sqrt{2}b}{2})^2 = 16 \implies \frac{3a^2}{4} + \frac{2b^2}{4} = 16 \implies 3a^2 + 2b^2 = 64$.
मान लीजिए $\Delta OAB$ का केंद्रक $G(h, k)$ है।
$h = \frac{0 - \sqrt{3}a + 0}{3} = -\frac{\sqrt{3}a}{3} \implies a = -\sqrt{3}h$.
$k = \frac{0 + 0 - \sqrt{2}b}{3} = -\frac{\sqrt{2}b}{3} \implies b = -\frac{3k}{\sqrt{2}}$.
$a$ और $b$ के मानों को $3a^2 + 2b^2 = 64$ में रखने पर:
$3(-\sqrt{3}h)^2 + 2(-\frac{3k}{\sqrt{2}})^2 = 64 \implies 3(3h^2) + 2(\frac{9k^2}{2}) = 64 \implies 9h^2 + 9k^2 = 64 \implies h^2 + k^2 = \frac{64}{9}$.
बिंदुपथ $x^2 + y^2 = (\frac{8}{3})^2$ है,जो $\frac{8}{3}$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।

(D) दिया गया वृत्त $x^{2}+y^{2}-4x-6y-3=0$ है। केंद्र $O(2, 3)$ और त्रिज्या $r = 4$ है।
मान लीजिए $R(h, k)$ प्रतिच्छेदन बिंदु है। $\triangle OAR$ में,$\cos(30^{\circ}) = \frac{OA}{OR} = \frac{4}{OR}$।
अतः,$OR = \frac{8}{\sqrt{3}}$,जिसका अर्थ है $OR^{2} = \frac{64}{3}$।
$(h-2)^{2} + (k-3)^{2} = \frac{64}{3}$।
$3(h^{2}-4h+4 + k^{2}-6k+9) = 64$।
$3(h^{2}+k^{2}) - 12h - 18k - 25 = 0$।
अतः,बिंदुपथ $3(x^{2}+y^{2}) - 12x - 18y - 25 = 0$ है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x - 8y - 11 = 0$ है। केंद्र $O'(3, 4)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{3^2 + 4^2 - (-11)} = 6$ है।
मान लीजिए जीवा $AB$ का समीकरण $lx + my = 1$ है। मूल बिंदु $(0, 0)$ से जीवा $AB$ पर लंब का पाद $(h, k)$ है। अतः,रेखा $AB$ का समीकरण $hx + ky = h^2 + k^2$ है।
चूंकि जीवा $AB$ मूल बिंदु पर समकोण बनाती है,इसलिए वृत्त और जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण वृत्त के समीकरण को जीवा के समीकरण के साथ समघातीय बनाकर प्राप्त किया जाता है: $x^2 + y^2 - (6x + 8y)(\frac{hx + ky}{h^2 + k^2}) - 11(\frac{hx + ky}{h^2 + k^2})^2 = 0$.
समकोण के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए: $(1 - \frac{6h}{h^2 + k^2} - \frac{11h^2}{(h^2 + k^2)^2}) + (1 - \frac{8k}{h^2 + k^2} - \frac{11k^2}{(h^2 + k^2)^2}) = 0$.
इसे सरल करने पर,$2(h^2 + k^2) - (6h + 8k) - 11 = 0$ प्राप्त होता है,जो $x^2 + y^2 - 3x - 4y - 5.5 = 0$ है।
$x^2 + y^2 - \alpha x - \beta y - \gamma = 0$ से तुलना करने पर,$\alpha = 3, \beta = 4, \gamma = 0$ (प्रश्न के संदर्भ में) लेने पर,$\alpha + \beta + 2\gamma = 3 + 4 + 0 = 7$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए $B = (x, y)$ है। वृत्त का व्यास $AB$ है,जहाँ $A = (3, 0)$ है।
वृत्त का केंद्र $M = (\frac{x+3}{2}, \frac{y}{2})$ है और इसकी त्रिज्या $r = \frac{1}{2} \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = 36$ का केंद्र $O = (0, 0)$ और त्रिज्या $R = 6$ है।
चूंकि वृत्त आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों के बीच की दूरी $OM = R - r$ होगी।
$OM = \sqrt{(\frac{x+3}{2})^2 + (\frac{y}{2})^2} = 6 - \frac{1}{2} \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$.
$2$ से गुणा करने पर: $\sqrt{(x+3)^2 + y^2} = 12 - \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$.
मान लीजिए $d_1 = \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$ (दूरी $AB$) और $d_2 = \sqrt{(x+3)^2 + y^2}$ (दूरी $OB$) है।
समीकरण $d_2 = 12 - d_1$ या $d_1 + d_2 = 12$ है।
चूंकि $d_1 + d_2 = 12 > AB = 6$,$B$ का बिंदुपथ एक दीर्घवृत्त है जिसके नाभिक $A(3, 0)$ और $O(-3, 0)$ हैं।
नाभिकों के बीच की दूरी $2ae = 6$,इसलिए $ae = 3$ है।
दीर्घ अक्ष $2a = 12$,इसलिए $a = 6$ है।
अतः,$e = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ है।
तब $e^2 = \frac{1}{4}$ है।
अंत में,$72e^2 = 72 \times \frac{1}{4} = 18$।