Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Hindi

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$C_1: x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0$
$C_2: x^2 + y^2 = 1$
$C_1$ के लिए,केंद्र $(3, 4)$ है और त्रिज्या $R_1 = \sqrt{3^2 + 4^2 - 9} = 4$ है।
$C_2$ के लिए,केंद्र $(0, 0)$ है और त्रिज्या $R_2 = 1$ है।
केंद्रों $C_1(3, 4)$ और $C_2(0, 0)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = 5$ है।
यहाँ $R_1 + R_2 = 4 + 1 = 5$ है।
चूंकि केंद्रों के बीच की दूरी $d = R_1 + R_2$ है,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,तो उनकी $3$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ होती हैं।

(B) दिए गए वृत्त $x^{2}+y^{2}-y=0$ और $x^{2}+y^{2}+y=0$ हैं।
पहले वृत्त $x^{2}+y^{2}-y=0$ के लिए,केंद्र $C_{1}(0, 1/2)$ और त्रिज्या $r_{1} = 1/2$ है।
दूसरे वृत्त $x^{2}+y^{2}+y=0$ के लिए,केंद्र $C_{2}(0, -1/2)$ और त्रिज्या $r_{2} = 1/2$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_{1}C_{2} = \sqrt{(0-0)^{2} + (1/2 - (-1/2))^{2}} = 1$ है।
चूंकि $r_{1} + r_{2} = 1/2 + 1/2 = 1$,इसलिए $C_{1}C_{2} = r_{1} + r_{2}$ है।
यह स्थिति दर्शाती है कि दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,तो उनकी कुल $3$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ होती हैं।

(D) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$C_{1}: x^{2}+y^{2}=4$,जिसका केंद्र $O_{1}=(0,0)$ और त्रिज्या $r_{1}=2$ है।
$C_{2}: x^{2}+y^{2}-6x-8y-24=0$,जिसका केंद्र $O_{2}=(3,4)$ और त्रिज्या $r_{2}=\sqrt{3^{2}+4^{2}-(-24)}=\sqrt{9+16+24}=\sqrt{49}=7$ है।
अब,केंद्रों $O_{1}$ और $O_{2}$ के बीच की दूरी ज्ञात करें:
$d = \sqrt{(3-0)^{2}+(4-0)^{2}} = \sqrt{9+16} = 5$.
दूरी $d$ की तुलना त्रिज्याओं के योग और अंतर से करें:
$r_{1}+r_{2} = 2+7 = 9$.
$|r_{1}-r_{2}| = |2-7| = 5$.
चूंकि $d = |r_{1}-r_{2}|$,इसलिए वृत्त एक-दूसरे को आंतरिक रूप से स्पर्श करते हैं।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $1$ है।

(C) दिए गए वक्र $x^{2}+y^{2}=4x$ और $x^{2}+y^{2}=8$ हैं।
प्रथम वक्र $x^{2}+y^{2}=4x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 4$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{dy}{dx} = \frac{2-x}{y}$।
बिंदु $(2,2)$ पर,ढाल $m_{1} = \frac{2-2}{2} = 0$ है।
दूसरे वक्र $x^{2}+y^{2}=8$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है,अतः $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$।
बिंदु $(2,2)$ पर,ढाल $m_{2} = -\frac{2}{2} = -1$ है।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan \theta = \left| \frac{0 - (-1)}{1 + (0)(-1)} \right| = \left| \frac{1}{1} \right| = 1$।
चूंकि $\tan \theta = 1$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$ है।
यह दिया गया है कि $\theta = \sin^{-1} a$,अतः $\sin^{-1} a = 45^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $a = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(C) दिए गए वृत्त का समीकरण $(x+1)^{2}+(y-3)^{2}=64$ है।
इसे मानक रूप $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$ से तुलना करने पर,त्रिज्या $r = \sqrt{64} = 8$ प्राप्त होती है।
वृत्त के अंतर्गत बने आयत का क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब वह एक वर्ग हो।
इस वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है,जो $d = 2r = 2 \times 8 = 16$ है।
मान लीजिए वर्ग की भुजा $a$ है। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$a^{2} + a^{2} = d^{2}$।
$2a^{2} = 16^{2} = 256$।
$a^{2} = 128$।
अतः,वर्ग का क्षेत्रफल $a^{2} = 128 \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(B) तीन रेखाओं $L_1=0, L_2=0, L_3=0$ से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $L_1 L_2 + \lambda L_2 L_3 + \mu L_3 L_1 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $L_1: x+y-6=0$,$L_2: 2x+y-4=0$,$L_3: x+2y-5=0$ है।
वृत्त के लिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांक समान होने चाहिए और $xy$ का गुणांक शून्य होना चाहिए।
इन शर्तों को लागू करने पर,हमें $\mu = 1$ और $\lambda = -6/5$ प्राप्त होता है।
समीकरण में मान रखने और सरल करने पर,हमें $x^2+y^2-17x-19y+50=0$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई रेखाएँ $L_1: x+y-4=0$,$L_2: x-y+2=0$ और $L_3: y-2=0$ हैं।
ये तीन रेखाएँ एक त्रिभुज बनाती हैं।
तीनों रेखाओं को स्पर्श करने वाला वृत्त उस त्रिभुज का अंतःवृत्त (incircle) या बहिर्वृत्त (excircle) होता है।
किसी भी त्रिभुज के लिए,एक अंतःवृत्त और तीन बहिर्वृत्त होते हैं।
अतः,दी गई तीनों रेखाओं को स्पर्श करने वाले कुल $1+3=4$ वृत्त हैं।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ है।
केंद्र $C(1, 2)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
$P(-1, -1)$ से $C(1, 2)$ की दूरी $d = \sqrt{13}$ है।
स्पर्श रेखा की लंबाई $L = \sqrt{d^2 - r^2} = \sqrt{13 - 9} = 2$ है।
त्रिभुज $PAB$ का क्षेत्रफल $\frac{24}{13}$ है।

(B) वृत्त के दो अभिलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र होता है।
दिए गए अभिलंबों के समीकरण हैं:
$2x - 3y + 4 = 0$ ... $(i)$
$x + y - 3 = 0$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर,$2x + 2y - 6 = 0$ ... $(iii)$
$(iii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$(2x + 2y - 6) - (2x - 3y + 4) = 0$
$5y - 10 = 0 \implies y = 2$
$y = 2$ को $(ii)$ में रखने पर:
$x + 2 - 3 = 0 \implies x = 1$
अतः,वृत्त का केंद्र $(1, 2)$ है।
वृत्त बिंदु $(4, 6)$ से गुजरता है।
त्रिज्या $r$,$(1, 2)$ और $(4, 6)$ के बीच की दूरी है:
$r = \sqrt{(4 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
वृत्त की परिधि $2 \pi r = 2 \pi (5) = 10 \pi$ है।

(NONE) त्रिभुज की भुजाओं को व्यास मानकर खींचे गए वृत्तों का रेडिकल केंद्र त्रिभुज का लंबकेंद्र (orthocentre) होता है।
माना लंबकेंद्र $H = (-6,5)$ है।
माना $A = (3,2)$,$B = (2,1)$,और $C = (x,y)$ है।
$BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{y-1}{x-2}$ है।
चूंकि $AH \perp BC$,$AH$ की ढाल $m_{AH} = \frac{5-2}{-6-3} = -\frac{1}{3}$ है।
अतः,$m_{BC} = 3$ है।
इस प्रकार,$3x-y = 5$ $(1)$ प्राप्त होता है।
$AC$ की ढाल $m_{AC} = \frac{y-2}{x-3}$ है।
चूंकि $BH \perp AC$,$BH$ की ढाल $m_{BH} = \frac{5-1}{-6-2} = -\frac{1}{2}$ है।
अतः,$m_{AC} = 2$ है।
इस प्रकार,$2x-y = -4$ $(2)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर,$x = 9$ और $y = 22$ प्राप्त होता है।
अतः,$C = (9,22)$ है।

(B) वृत्त $x^2 + y^2 - 2x + 4y + c = 0$ का केंद्र $O(1, -2)$ है।
बिंदु $P(-1, 2)$ और प्रतिलोम बिंदु $P'(\frac{1}{10}, \frac{-1}{5})$ है।
सूत्र $OP \cdot OP' = r^2$ के अनुसार,जहाँ $r^2 = 5 - c$ है।
$OP = (-2, 4)$ और $OP' = (-\frac{9}{10}, \frac{9}{5})$ है।
$OP \cdot OP' = (-2)(-\frac{9}{10}) + (4)(\frac{9}{5}) = 1.8 + 7.2 = 9$ है।
अतः,$5 - c = 9$,जिससे $c = -4$ प्राप्त होता है।

(A) चारों वृत्तों के केंद्र $(\pm r, \pm r)$ हैं और त्रिज्या $r$ है।
मान लीजिए कि मूल बिंदु $(0,0)$ पर केंद्रित और $R$ त्रिज्या वाला वृत्त इन चारों वृत्तों को स्पर्श करता है।
मूल बिंदु से किसी भी वृत्त के केंद्र की दूरी $\sqrt{r^2 + r^2} = r\sqrt{2}$ है।
बाह्य रूप से स्पर्श करने वाले वृत्त के लिए,$R + r = r\sqrt{2} \implies R = r(\sqrt{2}-1)$।
आंतरिक रूप से स्पर्श करने वाले वृत्त के लिए,$R - r = r\sqrt{2} \implies R = r(\sqrt{2}+1)$।
अतः,$r_1 = r(\sqrt{2}-1)$ और $r_2 = r(\sqrt{2}+1)$।
इसलिए,$r_1 + r_2 = r(\sqrt{2}-1 + \sqrt{2}+1) = 2r\sqrt{2}$।
अतः,$\frac{r_1+r_2}{r} = 2\sqrt{2}$।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-4x+1=0$ है।
इसे $(x-2)^2+y^2=3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,केंद्र $C = (2, 0)$ और त्रिज्या का वर्ग $r^2 = 3$ है।
वृत्त के सापेक्ष बिंदु $P(x_1, y_1)$ का प्रतिलोम बिंदु $Q(h, k)$ ज्ञात करने का सूत्र:
$h = x_0 + \frac{r^2(x_1-x_0)}{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$ और $k = y_0 + \frac{r^2(y_1-y_0)}{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$.
यहाँ,$(x_0, y_0) = (2, 0)$,$(x_1, y_1) = (1, 2)$,और $r^2 = 3$ है।
हर $(1-2)^2+(2-0)^2 = 1+4 = 5$ है।
इसलिए,$h = 2 + \frac{3(-1)}{5} = 2 - \frac{3}{5} = \frac{7}{5}$.
और $k = 0 + \frac{3(2)}{5} = \frac{6}{5}$.
अतः,$2h+k = 2(\frac{7}{5}) + \frac{6}{5} = \frac{14}{5} + \frac{6}{5} = \frac{20}{5} = 4$.

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2\alpha x + 6y + \alpha^2 - 16 = 0$ है।
बिंदु $(4, 2)$ पर शक्ति $9$ है:
$16 + 4 - 8\alpha + 12 + \alpha^2 - 16 = 9
$ $\Rightarrow \alpha^2 - 8\alpha + 7 = 0$ $\Rightarrow \alpha = 1, 7$.
स्थिति $1$: $\alpha = 1$ के लिए,$x$-अंतःखंड $8$ और $y$-अंतःखंड $4\sqrt{6}$ है।
स्थिति $2$: $\alpha = 7$ के लिए,$x$-अंतःखंड $8$ है और $y$-अंतःखंड वास्तविक नहीं है।
कुल योग $= 8 + 4\sqrt{6} + 8 = 16 + 4\sqrt{6}$.

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x - 8y - 11 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -3$ और $f = -4$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C(-g, -f) = (3, 4)$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 - (-11)} = \sqrt{9 + 16 + 11} = \sqrt{36} = 6$ है।
बिंदु $P(15, 9)$ और केंद्र $C(3, 4)$ के बीच की दूरी $CP = \sqrt{(15 - 3)^2 + (9 - 4)^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ है।
बिंदु $P$ से वृत्त की सबसे बड़ी दूरी $CP + r = 13 + 6 = 19$ है।

(A) $x^2+y^2+px+qy+r=0$ दिए गए वृत्त को $(-1,-1)$ पर स्पर्श करता है।
अतः $(-1)^2+(-1)^2-p-q+r=0$
$\Rightarrow p+q-r=2$.

(B) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-6x+6y+17=0$ है। इसका केंद्र $C_1 = (3, -3)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{3^2+(-3)^2-17} = 1$ है।
रेखाएँ $x^2-3xy-3x+9y=0$ अभीष्ट वृत्त के अभिलंब हैं। गुणनखंड करने पर: $(x-3)(x-3y) = 0$। अतः,रेखाएँ $x=3$ और $y=x/3$ हैं। इन अभिलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु अभीष्ट वृत्त का केंद्र $C_2 = (3, 1)$ है।
चूँकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों के बीच की दूरी $d = C_1C_2 = 4$ है।
बाह्य स्पर्श के लिए,$d = r_1 + r_2$। अतः,$4 = 1 + r_2$,जिससे $r_2 = 3$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(3, 1)$ और त्रिज्या $3$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 3^2$ है।
विस्तार करने पर: $x^2 + y^2 - 6x - 2y + 1 = 0$।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2=25$ है।
अतः,केंद्र $O$ $(0,0)$ है और त्रिज्या $r=5$ है।
अब,$QR$ की दूरी ज्ञात करें:
$QR = \sqrt{(-4-3)^2 + (3-4)^2} = \sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \sqrt{49+1} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
चूंकि $O$ केंद्र है,$OQ = OR = 5$.
$\triangle OQR$ में कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए:
$\cos(\angle QOR) = \frac{OQ^2 + OR^2 - QR^2}{2 \times OQ \times OR} = \frac{25 + 25 - 50}{2 \times 5 \times 5} = \frac{0}{50} = 0$.
इस प्रकार,$\angle QOR = \frac{\pi}{2}$.
हम जानते हैं कि वृत्त के केंद्र पर चाप द्वारा अंतरित कोण,वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर उसी चाप द्वारा अंतरित कोण का दोगुना होता है।
इसलिए,$\angle QOR = 2 \angle QPR$.
$\frac{\pi}{2} = 2 \angle QPR \implies \angle QPR = \frac{\pi}{4}$.

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-8x+10y+5=0$ है। इसका केंद्र $C(4, -5)$ है।
माना जीवा का मध्यबिंदु $P(h, k)$ है। चूँकि $P$ रेखा $2x+y+2=0$ पर स्थित है,इसलिए $2h+k+2=0$ ... $(i)$।
रेखाखंड $CP$ जीवा पर लंब है। जीवा की ढाल $-2$ है,इसलिए $CP$ की ढाल $\frac{1}{2}$ होगी।
$CP$ की ढाल $\frac{k+5}{h-4} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow 2k+10 = h-4$ $\Rightarrow h-2k=14$ ... (ii)।
समीकरणों $(i)$ और (ii) को हल करने पर,हमें $h=2$ और $k=-6$ प्राप्त होता है।
अतः,$k+4h = -6+4(2) = 2$।

(C) $Y$-अक्ष को $(0,3)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्त का समीकरण $(x-a)^2 + (y-3)^2 = a^2$ है,जो $x^2 + y^2 - 2ax - 6y + 9 = 0$ के रूप में सरल होता है।
चूंकि $X$-अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई $8$ इकाई है,हम सूत्र $2\sqrt{g^2 - c} = 8$ का उपयोग करते हैं,जहाँ $g = -a$ और $c = 9$ है।
$2\sqrt{(-a)^2 - 9} = 8$ $\Rightarrow \sqrt{a^2 - 9} = 4$ $\Rightarrow a^2 - 9 = 16$ $\Rightarrow a^2 = 25$ $\Rightarrow a = \pm 5$ है।
चूंकि केंद्र $C(a, 3)$ दूसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए $a$ ऋणात्मक होना चाहिए,अतः $a = -5$ है।
इस प्रकार,केंद्र $C(-5, 3)$ है।
बिंदु $(-2, -1)$ से $C(-5, 3)$ की दूरी $\sqrt{(-2 - (-5))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{(3)^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ है।

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2=4$ है,जिसे $x^2+y^2=2^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह मूल बिंदु $(0,0)$ पर केंद्र और त्रिज्या $r=2$ वाला एक वृत्त है।
आकृति से,मूल बिंदु को रेखा $L$ और वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाएँ निर्देशांक अक्ष हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु $A(2,0)$ और $B(0,2)$ हैं।
$(2,0)$ और $(0,2)$ से गुजरने वाली रेखा $L$ का समीकरण अंतःखंड रूप $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ द्वारा दिया जाता है।
$a=2$ और $b=2$ रखने पर,हमें $\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x+y=2$ हो जाता है।

(C) दिया गया वृत्त समीकरण $x^2 + y^2 - 2x + 4y - 20 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -1$,$f = 2$ और $c = -20$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (1, -2)$ है।
जाँच करें कि क्या रेखा $4x - 3y - 10 = 0$ केंद्र $(1, -2)$ से होकर गुजरती है:
$4(1) - 3(-2) - 10 = 4 + 6 - 10 = 0$।
चूँकि रेखा केंद्र से होकर गुजरती है,इसलिए अंतःखंड वृत्त का व्यास है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + (2)^2 - (-20)} = \sqrt{1 + 4 + 20} = \sqrt{25} = 5$।
अंतःखंड की लंबाई (व्यास) $2r = 2 \times 5 = 10$ है।

(A) माना बिंदु $A(1, 2)$, $B(5, 2)$, और $C(5, -2)$ हैं।
इन बिंदुओं को आलेखित करने पर, हम देखते हैं कि $AB$ लंबाई $4$ का एक क्षैतिज रेखाखंड है और $BC$ लंबाई $4$ का एक ऊर्ध्वाधर रेखाखंड है।
चूंकि $AB \perp BC$, त्रिभुज $\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जिसका समकोण $B$ पर है।
एक समकोण त्रिभुज के शीर्षों से गुजरने वाले वृत्त के लिए, कर्ण वृत्त का व्यास होता है।
कर्ण $AC = \sqrt{(5-1)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ है।
अतः, वृत्त का व्यास $4\sqrt{2}$ है।
त्रिज्या $r$ व्यास की आधी होती है, इसलिए $r = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$।
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \pi(2\sqrt{2})^2 = \pi(8) = 8\pi$ है।

(D) दी गई स्पर्श रेखाओं के समीकरण हैं:
$E_1: 3x - 4y + 4 = 0$
$E_2: 6x - 8y - 7 = 0 \Rightarrow 3x - 4y - \frac{7}{2} = 0$
चूंकि दोनों रेखाओं की ढाल $\frac{3}{4}$ है,इसलिए स्पर्श रेखाएं समानांतर हैं।
दो समानांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \left| \frac{c_1 - c_2}{\sqrt{a^2 + b^2}} \right|$ होती है।
यहाँ,$a = 3, b = -4, c_1 = 4, c_2 = -\frac{7}{2}$.
$d = \left| \frac{4 - (-\frac{7}{2})}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right| = \left| \frac{\frac{15}{2}}{5} \right| = \frac{3}{2}$.
वृत्त की दो समानांतर स्पर्श रेखाओं के बीच की दूरी वृत्त के व्यास के बराबर होती है।
अतः,व्यास $= \frac{3}{2}$.
त्रिज्या $= \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$.

(A) चूंकि वृत्त दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है,इसका केंद्र $(h, k)$ शर्त $|h| = |k| = r$ को संतुष्ट करता है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
अतः केंद्र $(r, r), (r, -r), (-r, r),$ या $(-r, -r)$ हो सकता है।
केंद्र रेखा $x-2y-3=0$ पर स्थित है।
स्थिति $1$: केंद्र $(r, r)$ है,तो $r-2r-3=0$ $\Rightarrow -r=3$ $\Rightarrow r=-3$. जो संभव नहीं है।
स्थिति $2$: केंद्र $(r, -r)$ है,तो $r-2(-r)-3=0$ $\Rightarrow 3r=3$ $\Rightarrow r=1$. केंद्र $(1, -1)$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-1)^2+(y+1)^2=1^2 \Rightarrow x^2+y^2-2x+2y+1=0$ है।

(A) मान लीजिए वृत्त का केंद्र $O = (c, 0)$ है।
वृत्त पर स्थित बिंदु $A = (0, a)$ और $B = (b, h)$ हैं।
चूंकि $O$ केंद्र है,इसलिए $O$ से $A$ की दूरी और $O$ से $B$ की दूरी समान होनी चाहिए,अतः $OA^2 = OB^2$ होगा।
$OA^2 = (c - 0)^2 + (0 - a)^2 = c^2 + a^2$.
$OB^2 = (c - b)^2 + (0 - h)^2 = (c - b)^2 + h^2$.
दोनों दूरियों की तुलना करने पर:
$c^2 + a^2 = (c - b)^2 + h^2$.
$c^2 + a^2 = c^2 - 2bc + b^2 + h^2$.
$a^2 = -2bc + b^2 + h^2$.
$2bc = b^2 + h^2 - a^2$.
$c = \frac{b^2 - a^2 + h^2}{2b}$.

(A) मान लीजिए कि वृत्त $A(1, \lambda)$,$B(\lambda, 1)$ और $C(\lambda, \lambda)$ से होकर गुजरता है।
चूंकि बिंदुओं $B(\lambda, 1)$ और $C(\lambda, \lambda)$ का $x$-निर्देशांक समान है,इसलिए $BC$ का लंब समद्विभाजक क्षैतिज रेखा $y = \frac{1+\lambda}{2}$ है।
चूंकि बिंदुओं $A(1, \lambda)$ और $C(\lambda, \lambda)$ का $y$-निर्देशांक समान है,इसलिए $AC$ का लंब समद्विभाजक ऊर्ध्वाधर रेखा $x = \frac{1+\lambda}{2}$ है।
वृत्त का केंद्र इन लंब समद्विभाजकों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
अतः,केंद्र $\left(\frac{1+\lambda}{2}, \frac{1+\lambda}{2}\right)$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-x+3y=0$ है। केंद्र $C = (\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ है।
मान लीजिए मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा $L_1$,$y = mx$ है,अर्थात $mx - y = 0$ है।
रेखा $L_2$,$x + y - 1 = 0$ है।
चूंकि वृत्त द्वारा $L_1$ और $L_2$ पर बनाए गए अंतःखंड समान हैं,इसलिए केंद्र $C$ से इन रेखाओं की लंबवत दूरियां समान होनी चाहिए।
केंद्र $C(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ से $L_1$ की लंबवत दूरी $d_1 = \frac{|m(\frac{1}{2}) - (-\frac{3}{2})|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|\frac{m+3}{2}|}{\sqrt{m^2+1}}$ है।
केंद्र $C(\frac{1}{2}, -\frac{3}{2})$ से $L_2$ की लंबवत दूरी $d_2 = \frac{|\frac{1}{2} - \frac{3}{2} - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ है।
$d_1^2 = d_2^2$ रखने पर,$\frac{(m+3)^2}{4(m^2+1)} = 2$ प्राप्त होता है।
$(m+3)^2 = 8(m^2+1) \Rightarrow m^2 + 6m + 9 = 8m^2 + 8$।
$7m^2 - 6m - 1 = 0$।
$(7m+1)(m-1) = 0$,अतः $m = 1$ या $m = -\frac{1}{7}$ है।
$m = 1$ के लिए,$L_1$,$y = x$ या $x - y = 0$ है।
$m = -\frac{1}{7}$ के लिए,$L_1$,$y = -\frac{1}{7}x$ या $x + 7y = 0$ है।

(C) दिया गया वृत्त समीकरण $x^2+y^2+4x-4y+4=0$ है।
इसे व्यापक रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=2$,$f=-2$,और $c=4$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-2, 2)$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{2^2+(-2)^2-4} = \sqrt{4+4-4} = \sqrt{4} = 2$ है।
चूंकि केंद्र के $x$-निर्देशांक का निरपेक्ष मान $|-2| = 2$ (जो त्रिज्या के बराबर है) और केंद्र के $y$-निर्देशांक का निरपेक्ष मान $|2| = 2$ (जो भी त्रिज्या के बराबर है) है,इसलिए वृत्त $X$-अक्ष और $Y$-अक्ष दोनों को स्पर्श करता है।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-3)^2+(y+2)^2=5^2$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(h, k) = (3, -2)$ और त्रिज्या $r=5$ है।
प्राचलिक निर्देशांक $x=3+5\cos\theta$ और $y=-2+5\sin\theta$ हैं।
बिंदु $A$ के लिए $\theta=30^{\circ}$ पर,$A = (3+\frac{5\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2})$ है।
बिंदु $B$ के लिए $\theta=90^{\circ}$ पर,$B = (3, 3)$ है।
जीवा $AB$ की ढाल $m = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
बिंदु $B(3, 3)$ का उपयोग करते हुए,समीकरण $y-3 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x-3)$ प्राप्त होता है।
अतः,$x+\sqrt{3}y-3(1+\sqrt{3}) = 0$।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-4x-6y+11=0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $2g=-4 \Rightarrow g=-2$ और $2f=-6 \Rightarrow f=-3$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (2, 3)$ है।
माना व्यास का दूसरा सिरा $(h, k)$ है।
चूंकि वृत्त का केंद्र व्यास का मध्य-बिंदु होता है,इसलिए:
$\frac{h+3}{2} = 2$ $\Rightarrow h+3 = 4$ $\Rightarrow h = 1$
$\frac{k+4}{2} = 3$ $\Rightarrow k+4 = 6$ $\Rightarrow k = 2$
अतः,व्यास का दूसरा सिरा $(1, 2)$ है।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-2x-6y-15=0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=-1$ और $f=-3$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (1, 3)$ है।
हम जानते हैं कि वृत्त का केंद्र व्यास का मध्य-बिंदु होता है।
माना व्यास के दूसरे सिरे के निर्देशांक $(a, b)$ हैं।
एक सिरा $(4, 1)$ दिया गया है,मध्य-बिंदु सूत्र के अनुसार:
$1 = \frac{4+a}{2}$ $\Rightarrow 2 = 4+a$ $\Rightarrow a = -2$.
$3 = \frac{1+b}{2}$ $\Rightarrow 6 = 1+b$ $\Rightarrow b = 5$.
अतः,दूसरे सिरे के निर्देशांक $(-2, 5)$ हैं।

(D) माना वृत्त का केंद्र $C(x, y)$ है।
चूंकि वृत्त बिंदुओं $A(5, 7)$ और $B(2, 3)$ से होकर गुजरता है,इसलिए दूरियाँ $CA$ और $CB$ त्रिज्या $r = 2.5$ के बराबर हैं।
$CA^2 = CB^2 = r^2 = (2.5)^2 = 6.25$.
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए:
$(x - 5)^2 + (y - 7)^2 = 6.25$ ---$(1)$
$(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 6.25$ ---$(2)$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$(x - 5)^2 - (x - 2)^2 + (y - 7)^2 - (y - 3)^2 = 0$
$(x^2 - 10x + 25 - x^2 + 4x - 4) + (y^2 - 14y + 49 - y^2 + 6y - 9) = 0$
$-6x + 21 - 8y + 40 = 0$
$6x + 8y = 61$
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(3.5, 5)$ के लिए: $6(3.5) + 8(5) = 21 + 40 = 61$. यह समीकरण को संतुष्ट करता है।
अब त्रिज्या की जाँच करने पर: $(3.5 - 2)^2 + (5 - 3)^2 = (1.5)^2 + (2)^2 = 2.25 + 4 = 6.25 = (2.5)^2$.
अतः,केंद्र $(3.5, 5)$ है।

(B) मान लीजिए वृत्त का समीकरण $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ है।
चूंकि वृत्त $(2,0)$,$(1,-2)$ और $(-1,1)$ से होकर गुजरता है,हमारे पास है:
$(2-a)^2+b^2=r^2$
$(1-a)^2+(-2-b)^2=r^2$
$(-1-a)^2+(1-b)^2=r^2$
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $a=\frac{3}{14}$,$b=-\frac{5}{14}$ और $r^2=\frac{325}{98}$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $\left(x-\frac{3}{14}\right)^2+\left(y+\frac{5}{14}\right)^2=\frac{325}{98}$ है।
मान लीजिए $S(x,y) = \left(x-\frac{3}{14}\right)^2+\left(y+\frac{5}{14}\right)^2-\frac{325}{98}$ है।
बिंदु $(1,2)$ के लिए,$S(1,2) = \left(1-\frac{3}{14}\right)^2+\left(2+\frac{5}{14}\right)^2-\frac{325}{98} = \frac{121}{196}+\frac{1089}{196}-\frac{650}{196} = \frac{560}{196} > 0$ है।
चूंकि $S(1,2) > 0$ है,इसलिए बिंदु $(1,2)$ वृत्त के बाहर स्थित है।

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 - 14x - 10y - 151 = 0$ है।
वर्ग पूरा करने पर,हमें $(x - 7)^2 + (y - 5)^2 = 225$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $C = (7, 5)$ और त्रिज्या $r = 15$ है।
माना $P = (2, -7)$ है। बिंदु $P$ से केंद्र $C$ की दूरी $d = \sqrt{(7 - 2)^2 + (5 - (-7))^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13$ है।
चूंकि $d < r$ है,इसलिए बिंदु $P$ वृत्त के अंदर स्थित है।
सबसे छोटी दूरी $r - d = 15 - 13 = 2$ है।
सबसे बड़ी दूरी $r + d = 15 + 13 = 28$ है।
अतः,सबसे बड़ी और सबसे छोटी दूरी का अनुपात $28 : 2 = 14 : 1$ है।

(C) दिए गए वृत्त $S_1 \equiv x^2 + y^2 + 8x + 2y + 10 = 0$ और $S_2 \equiv x^2 + y^2 + 7x + 3y + 10 = 0$ हैं।
रेडिकल अक्ष का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ द्वारा प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(x^2 + y^2 + 8x + 2y + 10) - (x^2 + y^2 + 7x + 3y + 10) = 0$।
यह $x - y = 0$ या $y = x$ में सरल हो जाता है।
रेखा $y = x$ के सापेक्ष बिंदु $(x_0, y_0)$ का प्रतिबिंब $(y_0, x_0)$ होता है।
अतः,रेखा $y = x$ के सापेक्ष बिंदु $(3, 4)$ का प्रतिबिंब $(4, 3)$ है।

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ है।
मानक रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $g = -2$,$f = -1$,और $c = -20$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C = (-g, -f) = (2, 1)$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 - (-20)} = \sqrt{4 + 1 + 20} = \sqrt{25} = 5$ है।
माना बिंदु $P = (10, 7)$ है। बिंदु $P$ और केंद्र $C$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(10 - 2)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ है।
चूंकि दूरी $d = 10$ त्रिज्या $r = 5$ से अधिक है,इसलिए बिंदु वृत्त के बाहर स्थित है।
वृत्त से बिंदु की न्यूनतम दूरी $d - r = 10 - 5 = 5$ इकाई है।

(C) वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के सापेक्ष बिंदु $(x_1, y_1)$ की शक्ति का सूत्र $x_1^2 + y_1^2 + 2gx_1 + 2fy_1 + c$ है।
दिए गए बिंदु $(1, 6)$ और वृत्त $x^2 + y^2 + 4x - 6y - a = 0$ के लिए,शक्ति है:
$1^2 + 6^2 + 4(1) - 6(6) - a = -16$
$1 + 36 + 4 - 36 - a = -16$
$5 - a = -16$
$a = 5 + 16$
$a = 21$

(C) किसी बिंदु $(x_1, y_1)$ के वृत्त $x^2+y^2-r^2=0$ के अंदर स्थित होने के लिए शर्त $x_1^2+y_1^2-r^2 < 0$ है।
दिए गए बिंदु $(\lambda, 1+\lambda)$ और वृत्त $x^2+y^2-1=0$ के लिए:
$\lambda^2 + (1+\lambda)^2 - 1 < 0$
$\lambda^2 + 1 + 2\lambda + \lambda^2 - 1 < 0$
$2\lambda^2 + 2\lambda < 0$
$2\lambda(\lambda+1) < 0$
$2$ से भाग देने पर,हमें $\lambda(\lambda+1) < 0$ प्राप्त होता है।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $\lambda$,$-1$ और $0$ के बीच स्थित हो।
अतः,$-1 < \lambda < 0$.

(C) माना वृत्त पर बिंदु $(h, k)$ है। चूँकि यह $x^2+y^2=4$ पर स्थित है,इसलिए $h^2+k^2=4$ है।
रेखा $4x+3y-12=0$ से $(h, k)$ की दूरी $\frac{|4h+3k-12|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{4}{5}$ है।
इससे $|4h+3k-12|=4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $4h+3k=16$ या $4h+3k=8$।
स्थिति $1$: $4h+3k=16$ के लिए कोई वास्तविक हल नहीं है।
स्थिति $2$: $4h+3k=8$ के लिए $25h^2-64h+28=0$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण को हल करने पर $h=2$ या $h=\frac{14}{25}$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $(2,0)$ और $(\frac{14}{25}, \frac{48}{25})$ हैं।

(B) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x-10y+p=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-3)^2+(y-5)^2 = 34-p$ प्राप्त होता है।
वृत्त के अस्तित्व के लिए,$34-p > 0$,अतः $p < 34$।
केंद्र $(3,5)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{34-p}$ है।
चूंकि बिंदु $(1,4)$ वृत्त के अंदर स्थित है,इसलिए $1^2+4^2-6(1)-10(4)+p < 0$ $\Rightarrow 1+16-6-40+p < 0$ $\Rightarrow p < 29$ $(i)$।
चूंकि वृत्त निर्देशांक अक्षों को न तो काटता है और न ही स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र $(3,5)$ से अक्षों की दूरी त्रिज्या $r$ से अधिक होनी चाहिए।
$y$-अक्ष से दूरी $|3| = 3$ है,अतः $r < 3$ $\Rightarrow \sqrt{34-p} < 3$ $\Rightarrow 34-p < 9$ $\Rightarrow p > 25$ (ii)।
$x$-अक्ष से दूरी $|5| = 5$ है,अतः $r < 5$ $\Rightarrow \sqrt{34-p} < 5$ $\Rightarrow 34-p < 25$ $\Rightarrow p > 9$ (iii)।
$(i)$,(ii) और (iii) को मिलाने पर,हमें $25 < p < 29$ प्राप्त होता है।

(C) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 2y - 20 = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 25$ प्राप्त होता है।
इस वृत्त का केंद्र $C(2, 1)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{25} = 5$ है।
बिंदु $K(10, 7)$ और केंद्र $C(2, 1)$ के बीच की दूरी $CK = \sqrt{(10 - 2)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$ है।
वृत्त से बिंदु $K$ की अधिकतम दूरी $CK + r = 10 + 5 = 15 \text{ इकाई}$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x+4y-93=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x-1)^2+(y+2)^2 = 98$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(h, k) = (1, -2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{98} = 7\sqrt{2}$ है।
निर्देशांक अक्षों के समानांतर भुजाओं वाले अंतर्निहित वर्ग के शीर्ष $(h \pm r\cos(\pi/4), k \pm r\sin(\pi/4))$ द्वारा दिए जाते हैं।
चूँकि $\cos(\pi/4) = \sin(\pi/4) = 1/\sqrt{2}$,शीर्ष $(1 \pm 7, -2 \pm 7)$ होंगे।
संभावित शीर्ष $(8, 5), (8, -9), (-6, 5)$ और $(-6, -9)$ हैं।
दिए गए विकल्पों में से,$(8, 5)$ एक वैध शीर्ष है।

(B) दो बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वृत्त $x^2+y^2=r^2$ के सापेक्ष संयुग्मी होते हैं यदि $x_1x_2 + y_1y_2 = r^2$ हो।
दिए गए बिंदु $(1, a)$ और $(b, 2)$ तथा वृत्त $x^2+y^2=25$ के लिए,$r^2=25$ है।
निर्देशांकों को शर्त में रखने पर,हमें $(1)(b) + (a)(2) = 25$ प्राप्त होता है।
यह $b + 2a = 25$ में सरल हो जाता है।
हमें $4a + 2b$ का मान ज्ञात करना है।
समीकरण $2a + b = 25$ को $2$ से गुणा करने पर,हमें $2(2a + b) = 2(25)$ प्राप्त होता है,जो $4a + 2b = 50$ है।

(B) दिया गया वृत्त: $x^2+y^2+6x+4y-12=0$.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=3, f=2, c=-12$ प्राप्त होता है।
केंद्र $O = (-g, -f) = (-3, -2)$.
त्रिज्या $R = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{3^2+2^2-(-12)} = \sqrt{9+4+12} = \sqrt{25} = 5$.
माना $P = (2, -14)$ है। दूरी $OP = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (-14 - (-2))^2} = \sqrt{5^2 + (-12)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$.
न्यूनतम दूरी $d = OP - R = 13 - 5 = 8$.
स्पर्श रेखा की लंबाई $l = \sqrt{OP^2 - R^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$.
अतः,$\sqrt{d+l} = \sqrt{8+12} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+4x-10y-7=0$ है।
इसे $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $g=2$,$f=-5$,और $c=-7$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C(-g, -f) = (-2, 5)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{2^2+(-5)^2-(-7)} = \sqrt{4+25+7} = \sqrt{36} = 6$ है।
माना $P$ बिंदु $(4, -3)$ है। केंद्र $C(-2, 5)$ और बिंदु $P(4, -3)$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ है।
बिंदु से वृत्त की न्यूनतम दूरी $|d - r| = |10 - 6| = 4$ है।
बिंदु से वृत्त की अधिकतम दूरी $d + r = 10 + 6 = 16$ है।
न्यूनतम और अधिकतम दूरियों का योग $4 + 16 = 20$ है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 9 = 0$ है।
इसे $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$g = -2$,$f = -3$,और $c = 9$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C(-g, -f) = (2, 3)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 - 9} = 2$ है।
माना $P(1, 3)$ दिया गया बिंदु है।
वृत्त के सापेक्ष $P$ का प्रतिलोम बिंदु $P'(x', y')$ ज्ञात करने का सूत्र:
$x' - h = \frac{r^2(x_1 - h)}{(x_1 - h)^2 + (y_1 - k)^2}$ और $y' - k = \frac{r^2(y_1 - k)}{(x_1 - h)^2 + (y_1 - k)^2}$,जहाँ $(h, k) = (2, 3)$ है।
मान रखने पर:
$x' - 2 = \frac{4(1 - 2)}{(1 - 2)^2 + (3 - 3)^2} = -4 \implies x' = -2$.
$y' - 3 = \frac{4(3 - 3)}{(1 - 2)^2 + (3 - 3)^2} = 0 \implies y' = 3$.
अतः,प्रतिलोम बिंदु $(-2, 3)$ है।

(D) माना दिया गया बिंदु $P(4, -3)$ है और दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 + 4x - 10y - 7 = 0$ है।
वृत्त का केंद्र $C(-2, 5)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{(-2)^2 + (5)^2 - (-7)} = \sqrt{4 + 25 + 7} = \sqrt{36} = 6$ है।
बिंदु $P$ और केंद्र $C$ के बीच की दूरी $CP = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-3 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ है।
बिंदु से वृत्त की अधिकतम दूरी $d_{max} = CP + r = 10 + 6 = 16$ है।
बिंदु से वृत्त की न्यूनतम दूरी $d_{min} = |CP - r| = |10 - 6| = 4$ है।
न्यूनतम और अधिकतम दूरी का योग $d_{max} + d_{min} = 16 + 4 = 20$ है।

(B) माना व्यास के सिरे $A(2\cos\theta, 2\sin\theta)$ और $B(-2\cos\theta, -2\sin\theta)$ हैं।
रेखा $x+y+1=0$ पर लंब की लंबाई $d = \frac{|x_1+y_1+1|}{\sqrt{2}}$ है।
गुणनफल $P = d_1 d_2 = \frac{|1-4(\cos\theta+\sin\theta)^2|}{2} = \frac{3+4\sin(2\theta)}{2}$ प्राप्त होता है।
$P$ को अधिकतम होने के लिए $\sin(2\theta) = 1$ होना चाहिए,अतः $\theta = \frac{\pi}{4}$।
यह मान रखने पर,सिरे $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ और $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ प्राप्त होते हैं।