Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Hindi

(B) दिए गए वक्र हैं: $x^2+y^2=4x$ $(i)$ और $x^2+y^2=8$ $(ii)$।
बिंदु $(2,2)$ पर वक्रों के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए,हम इस बिंदु पर स्पर्श रेखाओं की ढाल ज्ञात करते हैं।
वक्र $(i)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 4 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2-x}{y}$।
$(2,2)$ पर,$m_1 = \frac{2-2}{2} = 0$।
वक्र $(ii)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$।
$(2,2)$ पर,$m_2 = -\frac{2}{2} = -1$।
वक्रों के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{m_2 - m_1}{1 + m_1 m_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \left| \frac{-1 - 0}{1 + 0 \times (-1)} \right| = |-1| = 1$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$।
दिया गया है कि $\theta = \sin^{-1}(a)$,इसलिए $\sin^{-1}(a) = \frac{\pi}{4}$।
अतः,$a = \sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$।

(B) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x-6y-12=0$ है। इसका केंद्र $C_1(2,3)$ और त्रिज्या $r_1 = 5$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $C_2(h, k)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है। यह दिए गए वृत्त को बिंदु $A(-1,-1)$ पर आंतरिक रूप से स्पर्श करता है।
बिंदु $A$ केंद्रों $C_1$ और $C_2$ को जोड़ने वाली रेखा को $5:3$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$(-1, -1) = \left( \frac{5h-6}{2}, \frac{5k-9}{2} \right)$
जिससे $h = \frac{4}{5}$ और $k = \frac{7}{5}$ प्राप्त होता है।
अभीष्ट वृत्त का समीकरण $(x-\frac{4}{5})^2 + (y-\frac{7}{5})^2 = 3^2$ होगा।
सरल करने पर $5x^2 + 5y^2 - 8x - 14y - 32 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$S_1: (x-1)^2 + (y-3)^2 = r^2$ (केंद्र $C_1 = (1, 3)$,त्रिज्या $r_1 = r$)
$S_2: x^2 + y^2 - 8x + 2y + 8 = 0$
$S_2$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x-4)^2 + (y+1)^2 = 3^2$ (केंद्र $C_2 = (4, -1)$,त्रिज्या $r_2 = 3$)
दो वृत्तों के दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = C_1C_2$ को $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$d = \sqrt{(4-1)^2 + (-1-3)^2} = 5$.
अतः,$|r - 3| < 5 < r + 3$.
$r + 3 > 5$ से,$r > 2$ प्राप्त होता है।
$|r - 3| < 5$ से,$-2 < r < 8$ प्राप्त होता है।
अतः,$2 < r < 8$.
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(A) वृत्तों के समीकरण $x^2+y^2+4x-5=0$ और $x^2+y^2+2\lambda y-4=0$ हैं।
इन्हें व्यापक समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर:
प्रथम वृत्त के लिए: $g_1=2, f_1=0, c_1=-5$.
द्वितीय वृत्त के लिए: $g_2=0, f_2=\lambda, c_2=-4$.
दो वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ का सूत्र: $\cos \theta = \frac{2g_1g_2+2f_1f_2-c_1-c_2}{2\sqrt{g_1^2+f_1^2-c_1}\sqrt{g_2^2+f_2^2-c_2}}$.
यहाँ $\theta = \frac{\pi}{3}$ दिया गया है,इसलिए $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{2} = \frac{2(2)(0) + 2(0)(\lambda) - (-5) - (-4)}{2\sqrt{2^2+0^2-(-5)}\sqrt{0^2+\lambda^2-(-4)}}$.
$\frac{1}{2} = \frac{9}{2(3)\sqrt{\lambda^2+4}} = \frac{3}{2\sqrt{\lambda^2+4}}$.
$\sqrt{\lambda^2+4} = 3$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\lambda^2+4 = 9$.
$\lambda^2 = 5$,अतः $\lambda = \pm \sqrt{5}$.

(B) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$(x+a)^2+(y+b)^2 = a^2 \implies x^2+y^2+2ax+2by+b^2 = 0 \quad \dots (i)$
$(x+c)^2+(y+d)^2 = d^2 \implies x^2+y^2+2cx+2dy+c^2 = 0 \quad \dots (ii)$
सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर:
वृत्त $(i)$ के लिए,$g_1=a, f_1=b, c_1=b^2$.
वृत्त $(ii)$ के लिए,$g_2=c, f_2=d, c_2=c^2$.
चूंकि वृत्त लंबकोणीय काटते हैं,शर्त $2(g_1g_2 + f_1f_2) = c_1 + c_2$ है।
मान रखने पर:
$2(ac + bd) = b^2 + c^2$
$2ac + 2bd = b^2 + c^2$
$2ac - c^2 = b^2 - 2bd$
$c(2a - c) = b(b - 2d)$
अतः,$b(b-2d) = c(2a-c)$.

(B) दो वृत्तों $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{d^2-r_1^2-r_2^2}{2r_1r_2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d$ केंद्रों के बीच की दूरी है और $r_1, r_2$ त्रिज्याएँ हैं।
वृत्त $C_1$ के लिए: केंद्र $(6, 3)$ और $r_1 = 2$ है।
वृत्त $C_2$ के लिए: केंद्र $(-\frac{k}{2}, -3)$ और $r_2 = \sqrt{\frac{k^2}{4}+68}$ है।
दूरी $d^2 = (6+\frac{k}{2})^2 + 36$ है।
$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ रखने पर,गणना करने पर $k^2 = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = \pm 4$ है। इसलिए,$k$ का मान $-4$ है।

(B) वृत्त $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ के लिए,केंद्र $C_1(-g_1, -f_1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{g_1^2+f_1^2-c_1}$ है।
प्रथम वृत्त $x^2+y^2+4x-14y+28=0$ के लिए,$g_1=2, f_1=-7, c_1=28$. केंद्र $C_1(-2, 7)$,$r_1 = \sqrt{4+49-28} = 5$.
दूसरे वृत्त $x^2+y^2-12x-6y-4=0$ के लिए,$g_2=-6, f_2=-3, c_2=-4$. केंद्र $C_2(6, 3)$,$r_2 = \sqrt{36+9-(-4)} = 7$.
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (3 - 7)^2} = \sqrt{8^2 + (-4)^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$.
वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \left| \frac{r_1^2+r_2^2-d^2}{2r_1r_2} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\cos \theta = \left| \frac{25+49-80}{2 \times 5 \times 7} \right| = \left| \frac{-6}{70} \right| = \frac{3}{35}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1} \left(\frac{3}{35}\right)$.

(B) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2+2hx+2ky=0$ और $C_2: x^2+y^2+2h'x+2k'y=0$ हैं।
केंद्र $O_1 = (-h, -k)$ और $O_2 = (-h', -k')$ हैं।
त्रिज्याएँ $r_1 = \sqrt{h^2+k^2}$ और $r_2 = \sqrt{h'^2+k'^2}$ हैं।
चूँकि दोनों वृत्त मूलबिंदु $(0,0)$ से गुजरते हैं,वे एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं यदि और केवल यदि उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग या अंतर के बराबर हो।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = \sqrt{(h-h')^2 + (k-k')^2}$ है।
स्पर्श करने की शर्त $d^2 = (r_1 \pm r_2)^2$ है।
सरल करने पर,$(hk' - kh')^2 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$hk' = kh'$,जिसका अर्थ है कि $\frac{h'k}{hk'} = 1$।

(A) मान लीजिए कि दो वृत्तों की त्रिज्याएँ $r_1$ और $r_2$ हैं। चूँकि प्रत्येक वृत्त दूसरे के केंद्र से होकर गुजरता है,इसलिए उनके केंद्रों $c_1$ और $c_2$ के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के बराबर है,अर्थात $c_1 c_2 = r_1 = r_2 = d$ है।
दो केंद्रों $c_1, c_2$ और एक प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ द्वारा निर्मित त्रिभुज पर विचार करें। इस त्रिभुज की भुजाएँ $c_1 P = r_1$,$c_2 P = r_2$,और $c_1 c_2 = d$ हैं।
चूँकि $r_1 = r_2 = d$ है,इसलिए यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी सभी भुजाएँ $d$ हैं।
अतः,कोण $\angle P c_1 c_2 = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ और $\angle P c_2 c_1 = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण ही दो वृत्तों के बीच का कोण होता है। इस विन्यास में,स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $120^\circ = \frac{2 \pi}{3}$ है।

(D) दिया गया वृत्त $S \equiv x^2+y^2-14x+6y+33=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x-7)^2 + (y+3)^2 = 49+9-33 = 25$।
अतः,केंद्र $C = (7, -3)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
वृत्त $S' \equiv x^2+y^2=a^2$ के लिए,केंद्र $C' = (0, 0)$ और त्रिज्या $r' = a$ है।
$4$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं के लिए,वृत्तों को अलग होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि केंद्रों के बीच की दूरी $CC' > r + r'$ होनी चाहिए।
$CC' = \sqrt{(7-0)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{49+9} = \sqrt{58} \approx 7.616$।
शर्त: $7.616 > 5 + a$।
$a < 2.616$।
चूंकि $a \in \mathbb{N}$,$a$ के संभावित मान $1$ और $2$ हैं।
अतः,$a$ के लिए $2$ संभावित मान हैं।

(D) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0 \Rightarrow (x-3)^2 + (y+2)^2 = 2^2 \quad \dots(i)$
$x^2 + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0 \Rightarrow (x+1)^2 + (y-1)^2 = 1^2 \quad \dots(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से,केंद्र और त्रिज्याएँ हैं:
$C_1 = (3, -2), r_1 = 2$
$C_2 = (-1, 1), r_2 = 1$
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी की गणना करें:
$C_1C_2 = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$
सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा $AB$ की लंबाई का सूत्र है:
$AB = \sqrt{(C_1C_2)^2 - (r_1 - r_2)^2}$
$AB = \sqrt{5^2 - (2 - 1)^2} = \sqrt{25 - 1} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

(C) बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S_1} = \sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ होती है।
प्रथम वृत्त $C_1: x^2+y^2+x+y-4=0$ के लिए,$(1,2)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $L_1$:
$L_1 = \sqrt{1^2+2^2+1+2-4} = \sqrt{4} = 2$.
दूसरे वृत्त $C_2: 3x^2+3y^2-x-y-\lambda=0$ के लिए,समीकरण को $3$ से विभाजित करने पर:
$x^2+y^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y-\frac{\lambda}{3}=0$.
$(1,2)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $L_2$:
$L_2 = \sqrt{1^2+2^2-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}-\frac{\lambda}{3}} = \sqrt{4-\frac{\lambda}{3}}$.
दिया गया अनुपात $\frac{L_1}{L_2} = \frac{3}{4}$ के अनुसार:
$\frac{2}{\sqrt{4-\frac{\lambda}{3}}} = \frac{3}{4} \Rightarrow \sqrt{4-\frac{\lambda}{3}} = \frac{8}{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4-\frac{\lambda}{3} = \frac{64}{9} \Rightarrow \frac{\lambda}{3} = 4-\frac{64}{9} = -\frac{28}{9}$.
अतः,$\lambda = -\frac{28}{3}$.

(A) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-6x-4y-12=0$ है।
वर्ग पूरा करने पर,$(x-3)^2+(y-2)^2 = 25$ प्राप्त होता है।
अतः,दिए गए वृत्त का केंद्र $C(3, 2)$ है और इसकी त्रिज्या $r_1 = 5$ है।
माना वृत्त $S$ का केंद्र $B$ है और इसकी त्रिज्या $r_2 = 5$ है।
दोनों वृत्त $P(-1, -1)$ पर स्पर्श करते हैं। केंद्रों $B$ और $C$ के बीच की दूरी $BC = r_1 + r_2 = 5 + 5 = 10$ है।
माना $A$ वृत्त $C$ पर स्पर्श बिंदु है। चूँकि $BA$ वृत्त $C$ की स्पर्श रेखा है,इसलिए $\triangle BAC$ एक समकोण त्रिभुज है जहाँ $\angle BAC = 90^{\circ}$ है।
$\triangle BAC$ में,$BC$ कर्ण है,$AC$ दिए गए वृत्त की त्रिज्या $(5)$ है,और $AB$ स्पर्श रेखा की लंबाई है।
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$AB^2 + AC^2 = BC^2$।
$AB^2 + 5^2 = 10^2$।
$AB^2 + 25 = 100$।
$AB^2 = 75$।
$AB = \sqrt{75} = 5 \sqrt{3}$।

(B) दिए गए वृत्त:
$x^2+y^2-4x-2y+k=0$
केंद्र $C_1 = (2, 1)$,त्रिज्या $r_1 = 2$
$x^2+y^2-6x-4y+l=0$
केंद्र $C_2 = (3, 2)$,त्रिज्या $r_2 = 3$
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(3-2)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \approx 1.414$.
त्रिज्याओं का योग $r_1 + r_2 = 2 + 3 = 5$.
त्रिज्याओं का अंतर $|r_1 - r_2| = |2 - 3| = 1$.
चूंकि $|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$ (अर्थात $1 < 1.414 < 5$),वृत्त दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $2$ है।

(D) वृत्त $x^2+y^2-2x+4y+4=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (1, -2)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{1^2 + (-2)^2 - 4} = 1$ है।
वृत्त $x^2+y^2+4x-2y+1=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (-2, 1)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 - 1} = 2$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी $d = \sqrt{(-2-1)^2 + (1-(-2))^2} = \sqrt{18}$ है।
अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई $L = \sqrt{d^2 - (r_1+r_2)^2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$L = \sqrt{18 - (1+2)^2} = \sqrt{18 - 9} = \sqrt{9} = 3$.

(C) वृत्त $x^2+y^2+2x+8y-23=0$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-1, -4)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2 - (-23)} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ है।
वृत्त $x^2+y^2-4x-10y+19=0$ के लिए,केंद्र $C_2 = (2, 5)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{(2)^2 + (5)^2 - 19} = \sqrt{10}$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = C_1C_2 = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (5 - (-4))^2} = \sqrt{3^2 + 9^2} = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$ है।
चूंकि $r_1 + r_2 = 2\sqrt{10} + \sqrt{10} = 3\sqrt{10}$,इसलिए $d = r_1 + r_2$ है।
चूंकि केंद्रों के बीच की दूरी त्रिज्याओं के योग के बराबर है,इसलिए दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं।
जब दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,तो उनकी कुल $3$ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ होती हैं।

(D) दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 6y + 6 = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,$(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 4$ प्राप्त होता है।
इस वृत्त का केंद्र $(1, 3)$ और त्रिज्या $2$ है।
चूंकि अभीष्ट वृत्त की जीवा दिए गए वृत्त का व्यास है,इसलिए जीवा के सिरे $(1, 1)$ और $(1, 5)$ हैं।
अभीष्ट वृत्त का केंद्र $(2, 1)$ है और यह $(1, 1)$ से होकर गुजरता है।
अतः त्रिज्या $r = \sqrt{(2 - 1)^2 + (1 - 1)^2} = 1$।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x+4y+3=0$ है।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-2, f=2, c=3$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $C(-g, -f) = (2, -2)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+4-3} = \sqrt{5}$ है।
रेखा का समीकरण $x-3y-13=0$ है।
केंद्र $(2, -2)$ से रेखा $x-3y-13=0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|(1)(2) - 3(-2) - 13|}{\sqrt{1^2+(-3)^2}} = \frac{|2+6-13|}{\sqrt{10}} = \frac{5}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ है।
जीवा की लंबाई $2\sqrt{r^2-d^2} = 2\sqrt{5 - \frac{10}{4}} = 2\sqrt{2.5} = \sqrt{10}$ है।

(A) मान लीजिए बिंदु $A(2,0)$ और $B(0,4)$ हैं। दो बिंदुओं से गुजरने वाले न्यूनतम त्रिज्या वाले वृत्त के लिए,उन बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड उसका व्यास होता है।
वृत्त का व्यास $AB = \sqrt{(0-2)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$ है।
त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5}$ है।
वृत्त का केंद्र $AB$ का मध्यबिंदु है,जो $(\frac{2+0}{2}, \frac{0+4}{2}) = (1, 2)$ है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है।
मान रखने पर,$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 5$ प्राप्त होता है।
विस्तार करने पर,$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 5$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दो बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वृत्त $x^2+y^2=r^2$ के सापेक्ष संयुग्मी होते हैं यदि $x_1x_2 + y_1y_2 = r^2$ हो।
दिए गए वृत्त $x^2+y^2=25$ के लिए,$r^2=25$ है।
बिंदुओं $(1, a)$ और $(b, 2)$ को शर्त में रखने पर:
$(1)(b) + (a)(2) = 25$
$b + 2a = 25$
हमें $4a + 2b$ का मान ज्ञात करना है।
समीकरण $b + 2a = 25$ को $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2(b + 2a) = 2(25)$
$2b + 4a = 50$
अतः,$4a + 2b = 50$.

(C) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-2x+4y-4=0$ है।
केंद्र $(h, k) = (1, -2)$ और त्रिज्या $r = 3$ है।
बिंदु $P(\alpha, \beta)$ का वृत्त के सापेक्ष प्रतिलोम बिंदु $(l, m)$ के लिए:
$l = h + \frac{r^2(\alpha-h)}{(\alpha-h)^2+(\beta-k)^2}$ और $m = k + \frac{r^2(\beta-k)}{(\alpha-h)^2+(\beta-k)^2}$.
यहाँ $(\alpha, \beta) = (3, 2)$,$(h, k) = (1, -2)$ और $r^2 = 9$ है।
हर का मान: $(\alpha-h)^2 + (\beta-k)^2 = 2^2 + 4^2 = 20$.
अतः,$l = 1 + \frac{9}{20}(2) = 1 + \frac{18}{20} = \frac{38}{20}$.
$m = -2 + \frac{9}{20}(4) = -2 + \frac{36}{20} = -\frac{4}{20}$.
अब,$2l + 19m = 2(\frac{38}{20}) + 19(-\frac{4}{20}) = \frac{76}{20} - \frac{76}{20} = 0$.

(B) दो बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के सापेक्ष संयुग्मी होते हैं यदि $x_1x_2 + y_1y_2 + g(x_1+x_2) + f(y_1+y_2) + c = 0$ हो।
दिए गए $P(2,3)$ और $Q(-1,2)$ तथा वृत्त $x^2+y^2+2gx+3y-2=0$ के लिए,$f = \frac{3}{2}$ और $c = -2$ है।
मान रखने पर: $(2)(-1) + (3)(2) + g(2-1) + \frac{3}{2}(3+2) - 2 = 0$.
$-2 + 6 + g + \frac{15}{2} - 2 = 0$.
$2 + g + 7.5 = 0 \Rightarrow g = -9.5 = -\frac{19}{2}$.
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-\frac{19}{2})^2 + (\frac{3}{2})^2 - (-2)}$.
$r = \sqrt{\frac{361}{4} + \frac{9}{4} + 2} = \sqrt{\frac{370}{4} + \frac{8}{4}} = \sqrt{\frac{378}{4}} = \sqrt{\frac{189}{2}} = \sqrt{\frac{9 \times 21}{2}} = \frac{3\sqrt{21}}{\sqrt{2}}$.

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x-6y+k=0$ है। केंद्र $C(2, 3)$ है।
दिया गया है कि $CP \cdot CQ = r^2 = 4$ है।
प्रतिलोम बिंदुओं के लिए $\vec{CQ} = \frac{r^2}{CP^2} \vec{CP}$ होता है।
यहाँ $CP^2 = (1-2)^2 + (2-3)^2 = 2$ है।
अतः $\vec{CQ} = \frac{4}{2} \vec{CP} = 2 \vec{CP}$ है।
$\vec{CP} = (1-2, 2-3) = (-1, -1)$ है।
इसलिए $\vec{CQ} = 2(-1, -1) = (-2, -2)$ है।
$Q = C + (-2, -2) = (2-2, 3-2) = (0, 1)$ है।
अतः $a=0$ और $b=1$ है।
इसलिए $2a = 2(0) = 0$ है।

(C) वृत्त पर किसी भी बिंदु पर अभिलंब हमेशा उसके केंद्र से होकर गुजरता है। अभिलंब $(4,3)$ और $(2,1)$ से होकर गुजरता है।
इस अभिलंब का समीकरण $y-1 = \frac{3-1}{4-2}(x-2)$ $\Rightarrow y-1 = 1(x-2)$ $\Rightarrow y = x-1 \dots(1)$ है।
वृत्त का केंद्र इस अभिलंब पर स्थित है। हमें यह भी दिया गया है कि $2x-y-2=0$ एक व्यास है,इसलिए केंद्र इस रेखा पर भी स्थित है $\dots(2)$।
$(1)$ और $(2)$ को हल करने पर,$y = x-1$ को $2x-(x-1)-2=0$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x-1=0 \Rightarrow x=1$ प्राप्त होता है। तब $y=0$। अतः,केंद्र $(1,0)$ है।
त्रिज्या $r$,केंद्र $(1,0)$ और वृत्त पर स्थित बिंदु $(2,1)$ के बीच की दूरी है: $r = \sqrt{(2-1)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$।
केंद्र $(1,0)$ और त्रिज्या $\sqrt{2}$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-1)^2 + (y-0)^2 = (\sqrt{2})^2$ $\Rightarrow x^2-2x+1+y^2=2$ $\Rightarrow x^2+y^2-2x-1=0$ है।

(B) वृत्त $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के सापेक्ष दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ के संयुग्मी होने की शर्त है:
$x_1x_2 + y_1y_2 + g(x_1 + x_2) + f(y_1 + y_2) + c = 0$
दिए गए वृत्त $x^2 + y^2 + 6x + 4y + 12 = 0$ के लिए,$g = 3$,$f = 2$,और $c = 12$ है।
बिंदुओं $(6, -k)$ और $(-3, 2)$ को शर्त में रखने पर:
$(6)(-3) + (-k)(2) + 3(6 - 3) + 2(-k + 2) + 12 = 0$
$-18 - 2k + 9 - 2k + 4 + 12 = 0$
$-4k + 7 = 0$
$4k = 7$
$k = \frac{7}{4}$

(A) वृत्त $S$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-1, 1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{2-c}$ है।
वृत्त $S'$ के लिए,केंद्र $C_2 = (3, 4)$ और त्रिज्या $r_2 = 4$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $d = 5$ है।
सूत्र $\cos \theta = \frac{d^2 - r_1^2 - r_2^2}{2r_1r_2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{5}{16} = \frac{7+c}{8\sqrt{2-c}}$ प्राप्त होता है।
हल करने पर $c = -2$ मिलता है।
अतः,त्रिज्या $r_1 = \sqrt{2 - (-2)} = 2$ है।

(D) वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ मानिए।
$X$-अक्ष पर अंतःखंड $2\sqrt{h^2 - r^2} = 4 \implies h^2 - r^2 = 4$.
$Y$-अक्ष पर अंतःखंड $2\sqrt{k^2 - r^2} = 2\sqrt{11} \implies k^2 - r^2 = 11$.
वृत्त $(1,0)$ से गुजरता है,इसलिए $(1-h)^2 + k^2 = r^2$.
$1 - 2h + h^2 + k^2 = r^2$.
$1 - 2h + (r^2 + 4) + (r^2 + 11) = r^2 \implies r^2 - 2h + 16 = 0$.
गणना करने पर,सही उत्तर $5$ प्राप्त होता है।

(A) माना बिंदु $A(1,2)$ और $B(2,-1)$ हैं। जीवा $AB$ की लंबाई $L = \sqrt{(2-1)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{10}$ है।
यदि वृत्त की त्रिज्या $R$ है,तो परिधि पर बना कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।
सूत्र $L = 2R \sin(\theta)$ का उपयोग करने पर,$\sqrt{10} = 2R \sin(\frac{\pi}{4}) = R\sqrt{2}$,जिससे $R^2 = 5$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = 5$ है। चूँकि $A$ और $B$ वृत्त पर स्थित हैं,हल करने पर केंद्र $(3,1)$ प्राप्त होता है।
अतः समीकरण $(x-3)^2 + (y-1)^2 = 5$ अर्थात $x^2+y^2-6x-2y+5=0$ है।

(C) माना वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है।
चूंकि वृत्त $(2,4)$ पर $y=x^2$ को स्पर्श करता है,इसलिए $(2,4)$ पर अभिलंब केंद्र $(h,k)$ से होकर गुजरेगा।
$y=x^2$ का अवकलन $\frac{dy}{dx} = 2x$ है। $x=2$ पर ढाल $4$ है।
अभिलंब की ढाल $-\frac{1}{4}$ है।
$(2,4)$ पर अभिलंब का समीकरण $y-4 = -\frac{1}{4}(x-2) \Rightarrow x+4y-18=0$ है।
अतः,$h+4k=18$ (समीकरण $1$)।
$(h,k)$ से $(2,4)$ की दूरी और $(h,k)$ से $(0,1)$ की दूरी समान है:
$(h-2)^2 + (k-4)^2 = (h-0)^2 + (k-1)^2$.
$-4h-6k+19=0 \Rightarrow 4h+6k=19$ (समीकरण $2$)।
$h+4k=18$ और $4h+6k=19$ को हल करने पर:
$k=\frac{53}{10}$ और $h=-\frac{16}{5}$।
केंद्र $(-\frac{16}{5}, \frac{53}{10})$ है।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण: $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$.
यहाँ,$a^2=16$ और $b^2=9$,इसलिए $a=4$ और $b=3$.
चूँकि $a > b$,उत्केंद्रता $e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1-\frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}, 0) = (\pm \sqrt{7}, 0)$ हैं।
वृत्त $(\sqrt{7}, 0)$ और $(-\sqrt{7}, 0)$ से होकर गुजरता है और इसका केंद्र $(0, 3)$ है।
त्रिज्या $r$,केंद्र $(0, 3)$ और एक नाभि $(\sqrt{7}, 0)$ के बीच की दूरी है।
$r = \sqrt{(\sqrt{7}-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{7 + 9} = \sqrt{16} = 4$.

(B) रेखा $2x + 5y + \alpha = 0$ निर्देशांक अक्षों को बिंदुओं $A$ और $B$ पर काटती है। चूंकि त्रिभुज धनात्मक निर्देशांक अक्षों के साथ बनता है,इसलिए अंतःखंड धनात्मक होने चाहिए। मान लीजिए $\alpha = -k$ जहाँ $k > 0$ है। समीकरण $2x + 5y = k$ या $\frac{x}{k/2} + \frac{y}{k/5} = 1$ बन जाता है।
इस प्रकार,समकोण त्रिभुज के शीर्ष $O(0, 0)$,$A(\frac{k}{2}, 0)$,और $B(0, \frac{k}{5})$ हैं।
कर्ण $AB$ परिवृत्त का व्यास है। कर्ण की लंबाई $d = \sqrt{(\frac{k}{2})^2 + (\frac{k}{5})^2} = \sqrt{\frac{k^2}{4} + \frac{k^2}{25}} = \sqrt{\frac{29k^2}{100}} = \frac{k\sqrt{29}}{10}$ है।
परिवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{k\sqrt{29}}{20}$ है।
परिवृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \pi \left(\frac{k^2 \cdot 29}{400}\right) = \frac{29\pi k^2}{400}$ है।
चूंकि क्षेत्रफल $\frac{29\pi}{4}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{29\pi k^2}{400} = \frac{29\pi}{4}$ है।
इसे सरल करने पर $k^2 = 100$,अतः $k = 10$ प्राप्त होता है।
चूंकि $k = |\alpha|$ है,इसलिए $|\alpha| = 10$ है।

(D) भुजा वाले समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ है।
त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $s = \frac{3a}{2}$ है।
अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} a^2}{\frac{3a}{2}} = \frac{a}{2 \sqrt{3}}$ है।
$r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतःस्थापित वर्ग का विकर्ण वृत्त के व्यास के बराबर होता है,जो $2r$ है।
वर्ग का विकर्ण $= 2 \times \frac{a}{2 \sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$ है।
$d$ विकर्ण वाले वर्ग का क्षेत्रफल $\frac{d^2}{2}$ होता है।
वर्ग का क्षेत्रफल $= \frac{(\frac{a}{\sqrt{3}})^2}{2} = \frac{\frac{a^2}{3}}{2} = \frac{a^2}{6}$.

(A) रेखा $x-2y-4=0$ निर्देशांक अक्षों को $A(4, 0)$ और $B(0, -2)$ पर काटती है।
चूंकि त्रिभुज निर्देशांक अक्षों के साथ बनता है,यह मूल बिंदु $O(0, 0)$ पर समकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है।
कर्ण $AB$ है,इसलिए परिवृत्त $S$ का केंद्र $AB$ का मध्य बिंदु है।
केंद्र $C = \left(\frac{4+0}{2}, \frac{0-2}{2}\right) = (2, -1)$.
त्रिज्या $r$,$C(2, -1)$ से $O(0, 0)$ तक की दूरी है,इसलिए $r = \sqrt{(2-0)^2 + (-1-0)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.
$P(-2, -4)$ से केंद्र $C(2, -1)$ तक की दूरी $PC = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (-1 - (-4))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = 5$.
वृत्त के बाहर स्थित बिंदु $P$ से वृत्त पर स्थित बिंदु $Q$ तक की न्यूनतम दूरी $PQ = PC - r$ होती है।
अतः,$PQ = 5 - \sqrt{5}$.

(D) दिए गए वक्र $x^2+y^2-x-y=0$ $(i)$ और $x^2+y^2-2y=0$ $(ii)$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$(i)$ को $(ii)$ से घटाने पर: $(x^2+y^2-2y) - (x^2+y^2-x-y) = 0 \Rightarrow x-y=0 \Rightarrow x=y$.
$x=y$ को $(ii)$ में रखने पर: $x^2+x^2=2x \Rightarrow 2x^2-2x=0 \Rightarrow 2x(x-1)=0$. अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं।
वक्र $(i)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x+2y\frac{dy}{dx}=1+\frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1-2x}{2y-1} = m_1$.
वक्र $(ii)$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2x+2y\frac{dy}{dx}=2\frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{x}{1-y} = m_2$.
बिंदु $(1,1)$ पर,$m_1 = \frac{1-2}{2-1} = -1$ और $m_2 = \frac{1}{1-1}$ (अपरिभाषित,ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा)।
चूंकि एक स्पर्शरेखा ऊर्ध्वाधर है,कोण $\theta$ इस प्रकार प्राप्त होता है: $|\tan \theta| = |\frac{1}{m_1}| = |\frac{1}{-1}| = 1$.
अतः,$\theta = \frac{\pi}{4}$.

(A) दिया गया है $x^2+y^2=25$.
माना $z = 3x + 4y$.
कोशी-श्वार्ट्ज असमिका के अनुसार,किन्हीं भी वास्तविक संख्याओं $a, b, x, y$ के लिए,$(ax + by)^2 \leq (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)$ होता है।
$a=3, b=4$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $(3x + 4y)^2 \leq (3^2 + 4^2)(x^2 + y^2)$.
$(3x + 4y)^2 \leq (9 + 16)(25) = 25 \times 25 = 625$.
वर्गमूल लेने पर,$-(25) \leq 3x + 4y \leq 25$ प्राप्त होता है।
अतः,$3x + 4y$ का अधिकतम मान $25$ है।
इसलिए,$\log _5[\max (3x + 4y)] = \log _5(25) = \log _5(5^2) = 2 \log _5(5) = 2(1) = 2$.

(B) माना $O(h, k)$ त्रिभुज $ABC$ का परिकेंद्र है,जिसके शीर्ष $A(-2, 1)$,$B(0, -2)$,और $C(1, 2)$ हैं।
परिकेंद्र होने के कारण,$OA = OB = OC$ होगा।
$OA^2 = OB^2 \Rightarrow (h+2)^2 + (k-1)^2 = h^2 + (k+2)^2$
$4h - 6k + 1 = 0$ --- $(i)$
$OB^2 = OC^2 \Rightarrow h^2 + (k+2)^2 = (h-1)^2 + (k-2)^2$
$2h + 8k - 1 = 0$ --- $(ii)$
समीकरणों $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,हमें $h = -\frac{1}{22}$ और $k = \frac{3}{22}$ प्राप्त होता है।
रेखा $BC$ का समीकरण: $4x - y - 2 = 0$
परिकेंद्र $O(-\frac{1}{22}, \frac{3}{22})$ से रेखा $BC$ की लंबवत दूरी:
$d = \frac{|4(-\frac{1}{22}) - \frac{3}{22} - 2|}{\sqrt{4^2 + (-1)^2}} = \frac{51}{22\sqrt{17}} = \frac{3\sqrt{17}}{22}$

(B) दी गई रेखाएँ $3x - 4y + 4 = 0$ और $6x - 8y - 7 = 0$ हैं।
दूसरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर: $3x - 4y - 3.5 = 0$।
चूँकि रेखाएँ समांतर हैं,उनके बीच की दूरी वृत्त का व्यास $(d)$ है।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ होती है।
यहाँ,$a = 3, b = -4, c_1 = 4, c_2 = -3.5$ है।
$d = \frac{|4 - (-3.5)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{7.5}{5} = 1.5$।
वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{1.5}{2} = 0.75 = \frac{3}{4}$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $= \pi r^2 = \pi \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9\pi}{16}$।

(C) माना $A$ के निर्देशांक $(a, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(0, b)$ हैं। $\triangle OAB$ का परिवृत्त $(0, 0)$,$(a, 0)$ और $(0, b)$ से होकर गुजरता है।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - ax - by = 0$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ पर इस वृत्त की स्पर्श रेखा $-ax - by = 0$ अर्थात $ax + by = 0$ है।
$A(a, 0)$ से रेखा $ax + by = 0$ की लंबवत दूरी $m = \frac{|a(a) + b(0)|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
$B(0, b)$ से रेखा $ax + by = 0$ की लंबवत दूरी $n = \frac{|a(0) + b(b)|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ है।
इन दूरियों को जोड़ने पर,$m + n = \frac{a^2 + b^2}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \sqrt{a^2 + b^2}$ प्राप्त होता है।
वृत्त $x^2 + y^2 - ax - by = 0$ का व्यास $\sqrt{a^2 + b^2}$ है।
अतः,व्यास $m + n$ है।

(D) दी गई रेखाएँ $4x + 3y - 15 = 0$ और $4x + 3y - 5 = 0$ हैं। चूँकि $x$ और $y$ के गुणांक समान हैं,इसलिए रेखाएँ समांतर हैं।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$d = \frac{|-15 - (-5)|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|-10|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{10}{5} = 2$.
चूँकि वृत्त दोनों रेखाओं को स्पर्श करता है,इसलिए इसका व्यास रेखाओं के बीच की दूरी के बराबर है,अतः $2r = 2$,जिसका अर्थ है $r = 1$.
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = \pi(1)^2 = \pi \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(A) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2-2x-2y+k=0$ और $C_2: x^2+y^2+4x+6y+4=0$ हैं।
$C_1$ के लिए,केंद्र $c_1(1, 1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{2-k}$ है।
$C_2$ के लिए,केंद्र $c_2(-2, -3)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों के बीच की दूरी $d = c_1c_2 = r_1+r_2$ होगी।
$d = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (1 - (-3))^2} = 5$।
अतः,$5 = \sqrt{2-k} + 3 \Rightarrow k = -2$।
स्पर्श बिंदु $P$,केंद्रों $c_1$ और $c_2$ को जोड़ने वाली रेखा को $r_1:r_2 = 2:3$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P = \left(\frac{2(-2) + 3(1)}{5}, \frac{2(-3) + 3(1)}{5}\right) = \left(-\frac{1}{5}, -\frac{3}{5}\right)$।

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है। केंद्र $(-g, -f) = (\alpha, \beta)$ है।
चूँकि वृत्त $Y$-अक्ष को $(0, 3)$ पर स्पर्श करता है,केंद्र का $Y$-निर्देशांक $3$ होगा,अतः $-f = 3 \Rightarrow f = -3$.
बिंदु $(0, 3)$ वृत्त पर स्थित है,इसलिए $9 + 6f + c = 0$ $\Rightarrow 9 - 18 + c = 0$ $\Rightarrow c = 9$.
$X$-अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{g^2 - c} = 2$ है,अतः $g^2 - c = 1$ $\Rightarrow g^2 - 9 = 1$ $\Rightarrow g^2 = 10$ $\Rightarrow g = \pm \sqrt{10}$.
केंद्र $(\alpha, \beta) = (-g, -f)$ है और $\alpha < 0$ दिया गया है,इसलिए $-g < 0 \Rightarrow g > 0$। अतः $g = \sqrt{10}$।
इस प्रकार,$\alpha = -\sqrt{10}$ और $\beta = 3$। अतः केंद्र $(-\sqrt{10}, 3)$ है।

(D) $X$-अंतःखंड $2\sqrt{g^2-c} = 6 \Rightarrow g^2-c = 9$ ...$(1)$
$Y$-अंतःखंड $2\sqrt{f^2-c} = 8 \Rightarrow f^2-c = 16$ ...$(2)$
रेखा $gx+fy+1=0$ बिंदु $(1, -1)$ से गुजरती है,अतः $g(1) + f(-1) + 1 = 0 \Rightarrow g-f = -1$ ...$(3)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर: $g^2-f^2 = -7 \Rightarrow (g-f)(g+f) = -7$.
$g-f = -1$ रखने पर,हमें $g+f = 7$ प्राप्त होता है ...$(4)$
$(3)$ और $(4)$ को हल करने पर: $2g = 6 \Rightarrow g = 3$ और $f = 4$.
$(1)$ से,$c = g^2-9 = 3^2-9 = 0$.
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{3^2+4^2-0} = \sqrt{9+16} = 5$.

(C) केंद्र $C(2,3)$ से जीवा $AB$ $(x+y+1=0)$ पर लंब $CD$ की लंबाई:
$CD = \left|\frac{2+3+1}{\sqrt{1^2+1^2}}\right| = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
$\triangle CAD$ में,केंद्र पर कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए $\angle ACD = 30^{\circ}$.
$\triangle CAD$ में त्रिकोणमिति का उपयोग करने पर:
$\cos 30^{\circ} = \frac{CD}{AC} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{AC}$.
$AC = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{6}$.
त्रिज्या $r = AC$,इसलिए $r^2 = (2\sqrt{6})^2 = 4 \times 6 = 24$.
केंद्र $(2,3)$ और त्रिज्या का वर्ग $24$ वाले वृत्त का समीकरण:
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 24$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 24$
$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 13 = 24$
$x^2 + y^2 - 4x - 6y - 11 = 0$.

(C) माना रेखाएँ $L_1: 2x - 3y + 3 = 0$,$L_2: 2x + y + 1 = 0$,और $L_3: 6x + 4y + 1 = 0$ हैं।
ढाल की जाँच करने पर,$L_1$ की ढाल $m_1 = 2/3$ और $L_3$ की ढाल $m_3 = -3/2$ है।
चूँकि $m_1 \times m_3 = -1$,इसलिए $L_1$ और $L_3$ परस्पर लंबवत हैं।
अतः,यह एक समकोण त्रिभुज है और $L_2$ कर्ण है।
वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ का उपयोग करने पर,हमें $8x^2 + 8y^2 + 18x - 20y + 17 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) समानांतर रेखाओं $x+y-2=0$ और $x+y-6=0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|-2 - (-6)|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ है।
अंतर्निहित वृत्त की त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \sqrt{2}$ है।
वृत्त का केंद्र वर्ग की मध्य-रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है। मध्य-रेखाएं $x+y-4=0$ और $x-y+3=0$ हैं।
इन समीकरणों को हल करने पर: $(x+y=4)$ और $(x-y=-3)$। जोड़ने पर $2x=1$,अतः $x=\frac{1}{2}$। $x$ का मान रखने पर $y=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $(\frac{1}{2}, \frac{7}{2})$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-\frac{1}{2})^2 + (y-\frac{7}{2})^2 = (\sqrt{2})^2$ है।
$x^2 - x + \frac{1}{4} + y^2 - 7y + \frac{49}{4} = 2$.
$x^2 + y^2 - x - 7y + 12.5 = 2$.
$x^2 + y^2 - x - 7y + 10.5 = 0$.
$2$ से गुणा करने पर,$2x^2 + 2y^2 - 2x - 14y + 21 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) चारों वृत्तों के केंद्र $(\lambda, \lambda), (\lambda, -\lambda), (-\lambda, \lambda),$ और $(-\lambda, -\lambda)$ हैं और त्रिज्या $\lambda$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र मूल बिंदु $(0, 0)$ है और त्रिज्या $r$ है।
मूल बिंदु से किसी भी चार वृत्तों के केंद्र की दूरी $\sqrt{\lambda^2 + \lambda^2} = \sqrt{2} \lambda$ है।
चूंकि अभीष्ट वृत्त इन चार वृत्तों को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,इसलिए अभीष्ट वृत्त के केंद्र और चार वृत्तों में से किसी के भी केंद्र के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होनी चाहिए,अर्थात $r + \lambda$।
अतः,$r + \lambda = \sqrt{2} \lambda$।
$r$ के लिए हल करने पर,हमें $r = \sqrt{2} \lambda - \lambda = (\sqrt{2} - 1) \lambda$ प्राप्त होता है।

(A) माना अभीष्ट वृत्त $S_2 = 0$ है। स्पर्श बिंदु $P(1,2)$ है। दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2+2x+8y-23=0$ का केंद्र $C_1(-1,-4)$ है और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-1)^2+(-4)^2-(-23)} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ है।
चूंकि वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = r_1 + r_2 = 2\sqrt{10} + \sqrt{10} = 3\sqrt{10}$ है।
केंद्र $C_2(h,k)$,$C_1(-1,-4)$ और $P(1,2)$ को जोड़ने वाली रेखा पर स्थित है। सदिश $\vec{C_1P} = (2,6)$ है।
$\vec{C_1P}$ की दिशा में इकाई सदिश $\frac{(2,6)}{2\sqrt{10}} = (\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}})$ है।
चूंकि $C_2$,$P(1,2)$ से $\sqrt{10}$ की दूरी पर है,$C_2 = (1,2) + \sqrt{10}(\frac{1}{\sqrt{10}}, \frac{3}{\sqrt{10}}) = (2,5)$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(2,5)$ और त्रिज्या $\sqrt{10}$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + (y-5)^2 = 10$ अर्थात $x^2+y^2-4x-10y+19 = 0$ है।
यहाँ $a=-4, b=-10, c=19$ है।
अतः $|a+b+c| = |-4-10+19| = 5$.