Geometrical problems regarding circle and its properties Questions in Hindi

(D) वृत्त $S^{\prime}$ का केंद्र $C^{\prime}(3, -3)$ और त्रिज्या $r^{\prime} = 4$ है।
$S$ एक इकाई वृत्त है,अतः त्रिज्या $r = 1$ है।
माना $S$ का केंद्र $C(h, k)$ है। चूँकि $S$ और $S^{\prime}$ बिंदु $P(-1, -3)$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,बिंदु $P$ रेखाखंड $CC^{\prime}$ को $1:4$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$-1 = \frac{4h + 3}{5} \implies h = -2$ और $-3 = \frac{4k - 3}{5} \implies k = -3$।
अतः $S$ का केंद्र $C(-2, -3)$ है।
$S$ का समीकरण $(x+2)^2+(y+3)^2 = 1$ अर्थात $x^2+y^2+4x+6y+12 = 0$ है।
तुलना करने पर $g=2, f=3, c=12$ प्राप्त होता है।
अतः $g+f+c = 2+3+12 = 17$।

(B) वृत्त $x^2+y^2=1$ की जीवा $x+y-1=0$ द्वारा केंद्र पर अंतरित कोण ज्ञात करने के लिए,हम निम्नलिखित चरणों का पालन करते हैं:
चरण $1$: वृत्त और जीवा की पहचान करें।
वृत्त $x^2+y^2=1$ का केंद्र मूल बिंदु $O(0,0)$ पर है और त्रिज्या $r=1$ है।
जीवा का समीकरण $x+y-1=0$ है।
चरण $2$: मूल बिंदु से जीवा की लंबवत दूरी $d$ ज्ञात करें।
$(0,0)$ से $x+y-1=0$ की दूरी $d = \frac{|1(0)+1(0)-1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
चरण $3$: कोण की गणना करें।
मान लीजिए जीवा वृत्त को बिंदुओं $A$ और $B$ पर काटती है। समद्विबाहु त्रिभुज $OAB$ में,$O$ से $AB$ पर डाला गया लंब $\angle AOB$ को समद्विभाजित करता है। मान लीजिए $\angle AOB = 2\theta$ है।
मूल बिंदु,जीवा के मध्य बिंदु और जीवा के एक अंतिम बिंदु द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में,हमारे पास $\cos(\theta) = \frac{d}{r} = \frac{1/\sqrt{2}}{1} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,$\theta = 45^{\circ}$ या $\frac{\pi}{4}$ रेडियन है।
केंद्र पर अंतरित कुल कोण $\angle AOB = 2\theta = 2 \times 45^{\circ} = 90^{\circ}$ या $\frac{\pi}{2}$ रेडियन है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4 x - 6 y + 9 = 0$ है।
केंद्र $(2, 3)$ और त्रिज्या $r = 2$ है।
रेखा $6 x + 8 y + \alpha = 0$ वृत्त को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटती है यदि केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या से कम हो।
दूरी $d = \frac{|36 + \alpha|}{10} < 2 \Rightarrow |36 + \alpha| < 20$.
अतः $-56 < \alpha < -16$.
चूंकि $\alpha = 8k$,इसलिए $-56 < 8k < -16 \Rightarrow -7 < k < -2$.
$k$ के संभावित मान $-6, -5, -4, -3$ हैं।
अतः $S$ में अवयवों की संख्या $4$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+10x+8y-23=0$ है। वृत्त का केंद्र $O$ $(-5, -4)$ है।
चूंकि $M$ जीवा $AB$ का मध्यबिंदु है,रेखा $OM$ जीवा $AB$ पर लंब है।
$OM$ की ढाल $m_1 = \frac{-4 - (-5/2)}{-5 - (-7/2)} = \frac{-4 + 2.5}{-5 + 3.5} = \frac{-1.5}{-1.5} = 1$ है।
चूंकि $OM \perp AB$,जीवा $AB$ की ढाल $m_2 = -1/m_1 = -1$ है।
बिंदु $M\left(\frac{-7}{2}, \frac{-5}{2}\right)$ से गुजरने वाली और $-1$ ढाल वाली रेखा $AB$ का समीकरण:
$y - (-5/2) = -1(x - (-7/2))$
$y + 5/2 = -x - 7/2$
$x + y + 6 = 0$
$ax + by + 1 = 0$ के रूप में बदलने के लिए,हम $6$ से विभाजित करते हैं:
$\frac{1}{6}x + \frac{1}{6}y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे $ax + by + 1 = 0$ के साथ तुलना करने पर,$a = 1/6$ और $b = 1/6$ प्राप्त होता है।
अतः,$3a + 3b = 3(1/6) + 3(1/6) = 1/2 + 1/2 = 1$।

(D) वृत्त $x^2+y^2=4$ के लिए,केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $r_1=2$ है। रेखा $2x-2y-3=0$ पर केंद्र $(0,0)$ से लंबवत दूरी $p_1 = \frac{|2(0)-2(0)-3|}{\sqrt{2^2+(-2)^2}} = \frac{3}{\sqrt{8}}$ है।
अंतःखंड की लंबाई $d_1 = 2\sqrt{r_1^2-p_1^2} = 2\sqrt{4-\frac{9}{8}} = 2\sqrt{\frac{23}{8}}$ है।
वृत्त $x^2+y^2-10x-14y+65=0$ के लिए,केंद्र $(5,7)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{5^2+7^2-65} = \sqrt{25+49-65} = \sqrt{9} = 3$ है।
रेखा $2x-2y-3=0$ पर केंद्र $(5,7)$ से लंबवत दूरी $p_2 = \frac{|2(5)-2(7)-3|}{\sqrt{2^2+(-2)^2}} = \frac{|10-14-3|}{\sqrt{8}} = \frac{7}{\sqrt{8}}$ है।
अतः,$d_2 = 2\sqrt{r_2^2-p_2^2} = 2\sqrt{9-\frac{49}{8}} = 2\sqrt{\frac{72-49}{8}} = 2\sqrt{\frac{23}{8}}$ है।
इस प्रकार,$d_1=d_2$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 6x + 8y = 0$ है।
इसे $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,केंद्र $C = (3, -4)$ और त्रिज्या $r = 5$ प्राप्त होती है।
केंद्र $(3, -4)$ से रेखा $3x + 4y - 25 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|3(3) + 4(-4) - 25|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{32}{5}$ है।
रेखा से वृत्त की न्यूनतम दूरी $d - r = \frac{32}{5} - 5 = \frac{7}{5}$ है।

(D) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x-8y-5=0$ है।
वृत्त का केंद्र $(2, 4)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{2^2+4^2-(-5)} = \sqrt{25} = 5$ है।
रेखा $3x-4y-m=0$ वृत्त को दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती है,इसके लिए केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी $d < r$ होनी चाहिए।
$d = \frac{|3(2)-4(4)-m|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \frac{|-10-m|}{5} = \frac{|m+10|}{5}$.
शर्त $d < 5$ के अनुसार,$|m+10| < 25$,अर्थात $-25 < m+10 < 25$.
अतः,$-35 < m < 15$.
इस अंतराल में पूर्णांकों की संख्या $14 - (-34) + 1 = 49$ है।

(A) दिया गया वृत्त समीकरण: $x^2+y^2-6x-4y-12=0$.
केंद्र: $(3, 2)$ और त्रिज्या: $r = 5$.
चूँकि रेखाएँ $x$-अक्ष के समानांतर हैं,उनका समीकरण $y = k$ के रूप में होगा।
केंद्र $(3, 2)$ से रेखा $y = k$ की दूरी त्रिज्या $5$ के बराबर होनी चाहिए।
इसलिए,$|k - 2| = 5$.
इससे $k = 7$ या $k = -3$ प्राप्त होता है।
रेखाओं के समीकरण $y = 7$ और $y = -3$ हैं।
रेखाओं का युग्म: $(y - 7)(y + 3) = 0$.
इसे हल करने पर $y^2 - 4y - 21 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना वृत्त की त्रिज्या $r$ है। चूंकि वृत्त चौथे चतुर्थांश में स्थित है और रेखाओं $x=0$ तथा $y=0$ को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $(r, -r)$ होगा,जहाँ $r > 0$ है।
केंद्र $(r, -r)$ से रेखा $3x+4y-12=0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
लंबवत दूरी के सूत्र का उपयोग करने पर:
$\left| \frac{3(r) + 4(-r) - 12}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| = r$
$\left| \frac{3r - 4r - 12}{5} \right| = r$
$\left| \frac{-r - 12}{5} \right| = r$
$|r + 12| = 5r$
चूंकि $r > 0$ है,इसलिए $r + 12 = 5r$ या $r + 12 = -5r$ होगा।
स्थिति $1$: $4r = 12 \Rightarrow r = 3$.
स्थिति $2$: $6r = -12 \Rightarrow r = -2$ ($r > 0$ होने के कारण अमान्य)।
अतः,त्रिज्या $3$ इकाई है।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-8x-2y-8=0$ है।
इसे व्यापक रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-4$,$f=-1$,और $c=-8$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (4, 1)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{16+1+8} = \sqrt{25} = 5$ है।
केंद्र $(4, 1)$ से रेखा $x+y+1=0$ की लंबवत दूरी $d = \left|\frac{4+1+1}{\sqrt{1^2+1^2}}\right| = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$ है।
जीवा की लंबाई $2\sqrt{r^2-d^2}$ द्वारा दी जाती है।
लंबाई $= 2\sqrt{5^2 - (3\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{25 - 18} = 2\sqrt{7}$ इकाई।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=16$ है,जो मूल बिंदु $(0,0)$ पर केंद्रित और $r=4$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
माना दो बिंदु $A = (4 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ और $B = (4 \cos (\theta+60^{\circ}), 4 \sin (\theta+60^{\circ}))$ हैं।
ये बिंदु वृत्त पर स्थित हैं जिनके ध्रुवीय कोण क्रमशः $\theta$ और $\theta+60^{\circ}$ हैं।
केंद्र $O(0,0)$ पर जीवा $AB$ द्वारा अंतरित कोण $\Delta \phi = (\theta+60^{\circ}) - \theta = 60^{\circ}$ है।
चूंकि $OA = OB = r = 4$ और बीच का कोण $\angle AOB = 60^{\circ}$ है,इसलिए $\triangle OAB$ एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,जीवा $AB$ की लंबाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर है।
$AB = r = 4$.

(D) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x+2y-28=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $(x-3)^2+(y+1)^2 = 28+9+1 = 38$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त की त्रिज्या $r = \sqrt{38}$ है।
$r$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $A = \frac{3\sqrt{3}}{4} R^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।
यहाँ,$R = r = \sqrt{38}$ है।
इसलिए,क्षेत्रफल $\frac{3\sqrt{3}}{4} \times (\sqrt{38})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times 38 = \frac{3\sqrt{3} \times 19}{2} = \frac{57\sqrt{3}}{2}$ वर्ग इकाई है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-6x+8y-5=0$ है।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-3, f=4, c=-5$ प्राप्त होता है।
केंद्र $C = (-g, -f) = (3, -4)$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-3)^2+4^2-(-5)} = \sqrt{9+16+5} = \sqrt{30}$ है।
रेखा का समीकरण $2x-y-5=0$ है।
केंद्र $(3, -4)$ से रेखा की लंबवत दूरी $d$ है:
$d = \frac{|2(3)-(-4)-5|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}} = \frac{|6+4-5|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$।
जीवा की लंबाई $2\sqrt{r^2-d^2}$ द्वारा दी जाती है।
लंबाई $= 2\sqrt{(\sqrt{30})^2-(\sqrt{5})^2} = 2\sqrt{30-5} = 2\sqrt{25} = 2 \times 5 = 10$ इकाई।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) माना $M(a, b)$ से गुजरने वाली रेखा का झुकाव कोण $\theta$ है।
रेखा के प्राचलिक समीकरण $x = a + r \cos \theta$ और $y = b + r \sin \theta$ हैं,जहाँ $r$ बिंदु $M$ से दूरी है।
इन्हें वृत्त के समीकरण $x^2 + y^2 = k^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(a + r \cos \theta)^2 + (b + r \sin \theta)^2 = k^2$
$a^2 + 2ar \cos \theta + r^2 \cos^2 \theta + b^2 + 2br \sin \theta + r^2 \sin^2 \theta = k^2$
$r^2 + 2r(a \cos \theta + b \sin \theta) + (a^2 + b^2 - k^2) = 0$
यह $r$ में एक द्विघात समीकरण है जिसके मूल $r_1$ और $r_2$ दूरियों $MC$ और $MD$ को दर्शाते हैं।
मूलों का गुणनफल $r_1 \cdot r_2$ द्विघात समीकरण के अचर पद के बराबर होता है।
अतः,$MC \times MD = a^2 + b^2 - k^2$.

(B) भुजाओं के समीकरण इस प्रकार हैं:
$y=0$ ... $(i)$
$y=x$ ... (ii)
$2x+3y=10$ ... (iii)
$(i)$ और (iii) को हल करने पर शीर्ष $A(5,0)$ प्राप्त होता है।
$(i)$ और (ii) को हल करने पर शीर्ष $B(0,0)$ प्राप्त होता है।
(ii) और (iii) को हल करने पर शीर्ष $C(2,2)$ प्राप्त होता है।
माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ... (iv) है।
चूंकि यह $B(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $c=0$ है।
चूंकि यह $A(5,0)$ से गुजरता है,इसलिए $25+10g=0 \Rightarrow g=-5/2$ है।
चूंकि यह $C(2,2)$ से गुजरता है,इसलिए $4+4+4g+4f=0 \Rightarrow g+f+2=0$ है।
$g=-5/2$ रखने पर,हमें $-5/2+f+2=0 \Rightarrow f=1/2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (5/2, -1/2)$ है।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ $(c>0)$ है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ है।
चूंकि वृत्त दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए केंद्र की अक्षों से दूरी त्रिज्या के बराबर है,अतः $|-g| = |-f| = r = \sqrt{c}$।
चूंकि वृत्त तीसरे चतुर्थांश में स्थित है,इसलिए केंद्र $(-\sqrt{c}, -\sqrt{c})$ होगा।
अतः,वृत्त का समीकरण $(x+\sqrt{c})^2 + (y+\sqrt{c})^2 = c$ है।
वृत्त $x$-अक्ष को $(-\sqrt{c}, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $(0, -\sqrt{c})$ पर स्पर्श करता है।
मान लीजिए ये बिंदु $A(-\sqrt{c}, 0)$ और $B(0, -\sqrt{c})$ हैं।
हम जाँचते हैं कि क्या ये बिंदु रेखा $x+y+\sqrt{c}=0$ पर स्थित हैं:
बिंदु $A$ के लिए: $-\sqrt{c} + 0 + \sqrt{c} = 0$ (सत्य)।
बिंदु $B$ के लिए: $0 - \sqrt{c} + \sqrt{c} = 0$ (सत्य)।
अतः,रेखा द्वारा वृत्त पर अंतःखंडित जीवा रेखाखंड $AB$ है।
जीवा $AB$ की लंबाई $\sqrt{(0 - (-\sqrt{c}))^2 + (-\sqrt{c} - 0)^2} = \sqrt{(\sqrt{c})^2 + (-\sqrt{c})^2} = \sqrt{c+c} = \sqrt{2c}$ है।

(B) वृत्त का केंद्र $(h, k) = (1, 1)$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-1)^2 + (y-1)^2 = r^2$ है,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
केंद्र $(1, 1)$ से रेखा $x+y+1=0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|1+1+1|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$ है।
जीवा की लंबाई $L = 4\sqrt{2}$ है,इसलिए आधी जीवा की लंबाई $a = \frac{L}{2} = 2\sqrt{2}$ है।
संबंध $r^2 = d^2 + a^2$ का उपयोग करने पर,$r^2 = (\frac{3}{\sqrt{2}})^2 + (2\sqrt{2})^2 = \frac{9}{2} + 8 = 12.5$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $(x-1)^2 + (y-1)^2 = 12.5$ है,जिसे सरल करने पर $2x^2+2y^2-4x-4y-21=0$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ है। इसे $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=-2, f=3, c=-12$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (2, -3)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-2)^2+3^2-(-12)} = \sqrt{4+9+12} = \sqrt{25} = 5$ है।
केंद्र $(2, -3)$ से रेखा $4x+3y+1=0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|4(2)+3(-3)+1|}{\sqrt{4^2+3^2}} = \frac{|8-9+1|}{\sqrt{16+9}} = \frac{0}{5} = 0$ है।
चूँकि लंबवत दूरी $d=0$ है,रेखा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है,जिसका अर्थ है कि जीवा एक व्यास है।
जीवा की लंबाई $2 \times \sqrt{r^2-d^2} = 2 \times \sqrt{5^2-0^2} = 2 \times 5 = 10$ है।

(C) वृत्त $x^2+y^2=61$ का केंद्र $O(0,0)$ और त्रिज्या $r=\sqrt{61}$ है।
चूंकि $PA=PB=10$,$P$ जीवा $AB$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है। केंद्र $O$ भी जीवा $AB$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित है। अतः,रेखा $OP$ रेखा $l$ पर लंब है।
$OP$ की ढाल $m_{OP} = \frac{6-0}{-5-0} = -\frac{6}{5}$ है।
चूंकि $l \perp OP$,रेखा $l$ की ढाल $m_l = \frac{5}{6}$ है।
रेखा $l$ का समीकरण $5x-6y+k=0$ मानिए।
केंद्र $O(0,0)$ से जीवा $AB$ की दूरी $d = \frac{|k|}{\sqrt{61}}$ है।
गणना करने पर $d = \frac{11}{\sqrt{61}}$ प्राप्त होता है,इसलिए $|k|=11$। विकल्प $(c)$ $5x-6y+11=0$ सही है।

(A) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=r^2$ है,जिसका केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $r$ है।
रेखा का समीकरण $mx-y+c=0$ है।
रेखा वृत्त को दो भिन्न बिंदुओं पर काटती है यदि केंद्र $(0,0)$ से रेखा पर डाले गए लंब की लंबाई त्रिज्या $r$ से कम हो।
लंबवत दूरी $d$ इस प्रकार है:
$d = \left| \frac{m(0) - (0) + c}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} \right| = \frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}$.
दो भिन्न बिंदुओं के लिए,$d < r$ होना चाहिए:
$\frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}} < r$
$|c| < r \sqrt{m^2+1}$
$-r \sqrt{m^2+1} < c < r \sqrt{m^2+1}$.

(A) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 6y + c = 0$ है। केंद्र $C(2, 3)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{13 - c}$ है।
बिंदु $P(-1, -1)$ से केंद्र $C$ की दूरी $d = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta = 2\alpha$ है,जहाँ $\sin \alpha = \frac{r}{d}$ है।
सूत्र $\cos \theta = 1 - 2\sin^2 \alpha$ का उपयोग करने पर,$-\frac{7}{25} = 1 - 2\sin^2 \alpha \implies \sin^2 \alpha = \frac{16}{25} \implies \sin \alpha = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{r}{5} = \frac{4}{5}$,जिससे $r = 4$ प्राप्त होता है।

(A) चूंकि वृत्त प्रथम चतुर्थांश में दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसका केंद्र $(r, r)$ और त्रिज्या $r$ है,जहाँ $r > 0$ है।
वृत्त का समीकरण $(x-r)^2 + (y-r)^2 = r^2$ है।
केंद्र $(r, r)$ से रेखा $4x+3y-6=0$ की दूरी त्रिज्या $r$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|7r-6|}{5} = r$।
इससे दो स्थितियाँ मिलती हैं: $r = 3$ या $r = 1/2$।
यदि $r = 3$ है,तो समीकरण $x^2+y^2-6x-6y+9=0$ प्राप्त होता है।
यदि $r = 1/2$ है,तो समीकरण $4x^2+4y^2-4x-4y+1=0$ प्राप्त होता है।
रेखा $4x+3y-6=0$ के नीचे स्थित केंद्र के लिए,$4x+3y-6 < 0$ होना चाहिए,जो $r = 1/2$ के लिए सत्य है।
अतः,सही उत्तर $4x^2+4y^2-4x-4y+1=0$ है।

(D) दी गई रेखाएँ $L_1: 3x - 4y + 4 = 0$ और $L_2: 6x - 8y - 7 = 0$ हैं।
$L_2$ को $3x - 4y - 3.5 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि रेखाएँ समांतर हैं,उनके बीच की दूरी वृत्त का व्यास है।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ होती है।
यहाँ,$a = 3, b = -4, c_1 = 4, c_2 = -3.5$ है।
$d = \frac{|4 - (-3.5)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{7.5}{5} = 1.5$ है।
चूँकि व्यास $D = 1.5 = \frac{3}{2}$ है,इसलिए त्रिज्या $r = \frac{3}{4}$ होगी।
वृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9\pi}{16}$ वर्ग इकाई है।

(A) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-6x-4y-11=0$ है।
इसे $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,केंद्र $C = (-g, -f) = (3, 2)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $PA$ और $PB$ बिंदु $P(1, 8)$ से वृत्त पर स्पर्श रेखाएं हैं,इसलिए $\angle PAC$ और $\angle PBC$ का मान $90^{\circ}$ है।
अतः,बिंदु $P, A, C$ और $B$ एक ऐसे वृत्त पर स्थित हैं जिसका व्यास $PC$ है।
$P, A$ और $B$ से होकर गुजरने वाले वृत्त का केंद्र व्यास $PC$ का मध्य बिंदु है।
मध्य बिंदु $= \left(\frac{1+3}{2}, \frac{8+2}{2}\right) = \left(\frac{4}{2}, \frac{10}{2}\right) = (2, 5)$.

(C) वृत्त के बाहर स्थित बिंदु $A$ के लिए,यदि $A$ से गुजरने वाली एक छेदक रेखा वृत्त को $C$ और $B$ बिंदुओं पर काटती है,तो $A$ से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखा $AT$ की लंबाई 'पावर ऑफ अ पॉइंट' प्रमेय द्वारा दी जाती है: $AT^2 = AC \cdot AB$.
सबसे पहले,दूरी सूत्र का उपयोग करके $AC$ और $AB$ की दूरियाँ ज्ञात करें:
$AC = \sqrt{(5-3)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$
$AB = \sqrt{(7-3)^2 + (-1-1)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16+4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$
अब,इन मानों को सूत्र में रखें:
$AT^2 = AC \cdot AB = \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = 2 \cdot 5 = 10$
$AT = \sqrt{10}$ इकाई।

(C) मान लीजिए कि वृत्त बिंदुओं $A(2,2)$ और $B(9,9)$ से होकर गुजरता है और $X$-अक्ष को बिंदु $P$ पर स्पर्श करता है।
पावर ऑफ अ पॉइंट प्रमेय के अनुसार,चूंकि $OP$ मूल बिंदु $O$ से वृत्त की स्पर्श रेखा है और $OAB$ एक छेदक रेखा है,इसलिए:
$OP^2 = OA \cdot OB$
मूल बिंदु $O(0,0)$ से $OA$ और $OB$ की दूरियों की गणना करने पर:
$OA = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
$OB = \sqrt{9^2 + 9^2} = \sqrt{81 + 81} = \sqrt{162} = 9\sqrt{2}$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$OP^2 = (2\sqrt{2}) \cdot (9\sqrt{2}) = 18 \cdot 2 = 36$
$OP = \sqrt{36} = 6$
अतः,$OP = 6$.

(D) वृत्त का समीकरण $S: x^2 + y^2 + 8x - 6y + k = 0$ है।
बाह्य बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S = 0$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S_1}$ होती है,जहाँ $S_1 = x_1^2 + y_1^2 + 8x_1 - 6y_1 + k$ है।
दिया गया बिंदु $(-2, 3)$ है और स्पर्श रेखा की लंबाई $4$ इकाई है:
$4 = \sqrt{(-2)^2 + (3)^2 + 8(-2) - 6(3) + k}$
$4 = \sqrt{4 + 9 - 16 - 18 + k}$
$4 = \sqrt{k - 21}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$16 = k - 21$
$k = 16 + 21 = 37$.

(D) एक बिंदु $(x_1, y_1)$ से वृत्त $S: x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ पर स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{S_1} = \sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ द्वारा दी जाती है।
प्रथम वृत्त $C_1: x^2+y^2+x+y-4=0$ के लिए,$(1,2)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $L_1$ है:
$L_1 = \sqrt{1^2+2^2+1+2-4} = \sqrt{1+4+1+2-4} = \sqrt{4} = 2$.
दूसरे वृत्त $C_2: 3x^2+3y^2-x-y-k=0$ के लिए,इसे मानक रूप में बदलने पर $x^2+y^2-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}y-\frac{k}{3}=0$ प्राप्त होता है।
$(1,2)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $L_2$ है:
$L_2 = \sqrt{1^2+2^2-\frac{1}{3}(1)-\frac{1}{3}(2)-\frac{k}{3}} = \sqrt{1+4-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}-\frac{k}{3}} = \sqrt{5-1-\frac{k}{3}} = \sqrt{4-\frac{k}{3}}$.
दिए गए अनुपात $\frac{L_1}{L_2} = \frac{4}{3}$ के अनुसार:
$\frac{2}{\sqrt{4-\frac{k}{3}}} = \frac{4}{3} \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{4-\frac{k}{3}}} = \frac{2}{3}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{4-\frac{k}{3}} = \frac{4}{9} \Rightarrow 4-\frac{k}{3} = \frac{9}{4}$.
$\frac{k}{3} = 4 - \frac{9}{4} = \frac{16-9}{4} = \frac{7}{4}$.
$k = 3 \times \frac{7}{4} = \frac{21}{4}$.

(C) माना बिंदु $P = (f, g)$ है।
वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के लिए बिंदु $(x_1, y_1)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $\sqrt{x_1^2+y_1^2+2gx_1+2fy_1+c}$ होती है।
वृत्त $S: x^2+y^2-6=0$ के लिए,स्पर्श रेखा की लंबाई $L_1 = \sqrt{f^2+g^2-6}$ है।
वृत्त $S': x^2+y^2+3x+3y=0$ के लिए,स्पर्श रेखा की लंबाई $L_2 = \sqrt{f^2+g^2+3f+3g}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$L_1 = 2L_2$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$L_1^2 = 4L_2^2$ प्राप्त होता है।
$f^2+g^2-6 = 4(f^2+g^2+3f+3g)$.
$f^2+g^2-6 = 4f^2+4g^2+12f+12g$.
$3f^2+3g^2+12f+12g+6 = 0$.
$3$ से विभाजित करने पर,$f^2+g^2+4f+4g+2 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$f^2+g^2+4f+4g+2$ का मान $0$ है।

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-12x-16y=0$ है। इसका केंद्र $C(6, 8)$ और त्रिज्या $r = 10$ है।
स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $60^{\circ}$ है,इसलिए केंद्र से जीवा पर लंब की दूरी $d = r \sin(30^{\circ}) = 10 \times \frac{1}{2} = 5$ होगी।
रेखा $5x-5y+k=0$ की केंद्र $(6, 8)$ से दूरी $d = \frac{|5(6)-5(8)+k|}{\sqrt{5^2+(-5)^2}} = \frac{|k-10|}{5\sqrt{2}}$ है।
अतः,$\frac{|k-10|}{5\sqrt{2}} = 5 \Rightarrow |k-10| = 25\sqrt{2}$।
इस प्रकार,$k = 10 \pm 25\sqrt{2} = 5(2 \pm 5\sqrt{2})$।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-4x+6y-12=0$ है।
वर्ग पूरा करने पर,$(x-2)^2+(y+3)^2 = 25 = 5^2$ प्राप्त होता है।
अतः केंद्र $(2, -3)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
प्राचलिक निर्देशांक $x = 2 + 5\cos\theta$ और $y = -3 + 5\sin\theta$ हैं।
बिंदु $P$ के लिए $\theta = \frac{\pi}{3}$,$P = (\frac{9}{2}, -3 + \frac{5\sqrt{3}}{2})$।
बिंदु $Q$ के लिए $\theta = \frac{2\pi}{3}$,$Q = (-\frac{1}{2}, -3 + \frac{5\sqrt{3}}{2})$।
दूरी $PQ = \sqrt{(\frac{9}{2} - (-\frac{1}{2}))^2 + 0^2} = 5$।

(A) मान लीजिए व्यास $PR = 2r$ है। चूँकि $PQ$ और $RS$ क्रमशः $P$ और $R$ पर स्पर्श रेखाएँ हैं,$PQ \perp PR$ और $RS \perp PR$ है।
मान लीजिए $\angle PRQ = \theta$ है। $\triangle PQR$ में,$\tan \theta = \frac{PQ}{PR}$,अतः $PR = PQ \cot \theta$ है।
चूँकि $X$ वृत्त पर स्थित है और $PR$ व्यास है,$\angle PXR = 90^{\circ}$ है।
$\triangle PXR$ में,$\angle XPR = 90^{\circ} - \theta$ और $\angle XRP = \theta$ है।
$\triangle PXS$ में,$\angle XPS = 90^{\circ} - \theta$ और $\angle XSP = \theta$ है। अतः,$\tan \theta = \frac{RS}{PR}$,जिससे $PR = RS \tan \theta$ प्राप्त होता है।
$PR$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$PQ \cot \theta = RS \tan \theta$
$\tan^2 \theta = \frac{PQ}{RS} \Rightarrow \tan \theta = \sqrt{\frac{PQ}{RS}}$।
इस मान को $PR = RS \tan \theta$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$PR = RS \cdot \sqrt{\frac{PQ}{RS}} = \sqrt{PQ \cdot RS}$।
चूँकि $PR = 2r$ है,इसलिए $2r = \sqrt{PQ \cdot RS}$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x-2y-11=0$ है।
मानक रूप में: $(x-2)^2+(y-1)^2 = 16$।
अतः,केंद्र $C(2,1)$ और त्रिज्या $r = 4$ है।
बिंदु $P(4,5)$ से स्पर्श रेखा की लंबाई $AP = \sqrt{4^2+5^2-4(4)-2(5)-11} = \sqrt{4} = 2$ है।
निर्मित चतुर्भुज $PACB$ दो सर्वांगसम समकोण त्रिभुजों $\triangle PAC$ और $\triangle PBC$ से बना है।
$\triangle PAC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AC \times AP = \frac{1}{2} \times 4 \times 2 = 4$।
चतुर्भुज $PACB$ का कुल क्षेत्रफल $= 2 \times 4 = 8 \text{ वर्ग इकाई}$।

(D) दी गई रेखाएँ $L_1: 3x - 4y + 5 = 0$ और $L_2: 6x - 8y - 9 = 0$ हैं।
$L_2$ को $3x - 4y - \frac{9}{2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि रेखाएँ समांतर हैं,उनके बीच की दूरी वृत्त का व्यास है।
दो समांतर रेखाओं $ax + by + c_1 = 0$ और $ax + by + c_2 = 0$ के बीच की दूरी $d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ होती है।
यहाँ,$d = \frac{|5 - (-9/2)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{9.5}{5} = \frac{19}{10}$ है।
चूँकि व्यास $2r = d$ है,इसलिए $2r = \frac{19}{10}$,जिसका अर्थ है $r = \frac{19}{20}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ है। चूंकि वृत्त रेखाओं $4x-3y-24=0$ और $4x+3y-42=0$ को स्पर्श करता है,इसलिए $(h, k)$ से इन रेखाओं की लंबवत दूरी $r$ के बराबर है।
$r = \left|\frac{4h-3k-24}{5}\right| = \left|\frac{4h+3k-42}{5}\right|$
साथ ही,वृत्त $(2, 8)$ से गुजरता है,इसलिए $r^2 = (h-2)^2 + (k-8)^2$ है।
दूरी की समानता से,$4h-3k-24 = \pm(4h+3k-42)$।
स्थिति $1$: $4h-3k-24 = 4h+3k-42$ $\Rightarrow 6k = 18$ $\Rightarrow k = 3$।
त्रिज्या समीकरण में $k=3$ रखने पर:
$r^2 = \left(\frac{4h-3(3)-24}{5}\right)^2 = \left(\frac{4h-33}{5}\right)^2$
$(h-2)^2 + (3-8)^2 = (h-2)^2 + 25$ के साथ बराबर करने पर:
$\frac{(4h-33)^2}{25} = (h-2)^2 + 25$
$(4h-33)^2 = 25(h^2-4h+4+25) = 25(h^2-4h+29)$
$16h^2 - 264h + 1089 = 25h^2 - 100h + 725$
$9h^2 + 164h - 364 = 0$
$(h-2)(9h+182) = 0$
चूंकि $h \le 8$ है,हम $h=2$ लेते हैं। अतः,केंद्र $(2, 3)$ है और $r^2 = (2-2)^2 + (3-8)^2 = 25$ है।
समीकरण $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25 \Rightarrow x^2+y^2-4x-6y-12=0$ है।

(C) दिया गया वृत्त $x^2+y^2-2x+2y=0$ है। केंद्र $C(1, -1)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ है।
बिंदु $P(-1, 1)$ और केंद्र $C(1, -1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $x+y=0$ है।
प्रतिलोम बिंदु $Q$ हमेशा केंद्र और दिए गए बिंदु को जोड़ने वाली रेखा पर स्थित होता है।
अतः,$Q$ बिंदु $x+y=0$ रेखा पर स्थित है।

(D) मान लीजिए $O(h, k)$ वृत्त का केंद्र है जो $A(2,3)$,$B(3,-1)$ और $C(-3,2)$ से गुजरता है।
चूंकि $O$ केंद्र है,इसलिए $OA = OB = OC$ (वृत्त की त्रिज्याएँ)।
$OA^2 = OC^2 \Rightarrow (h-2)^2 + (k-3)^2 = (h+3)^2 + (k-2)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 + 6h + 9 + k^2 - 4k + 4$
$-4h - 6k = 6h - 4k$
$10h + 2k = 0 \Rightarrow k = -5h \quad ... (i)$
$OA^2 = OB^2 \Rightarrow (h-2)^2 + (k-3)^2 = (h-3)^2 + (k+1)^2$
$h^2 - 4h + 4 + k^2 - 6k + 9 = h^2 - 6h + 9 + k^2 + 2k + 1$
$-4h - 6k + 13 = -6h + 2k + 10$
$2h - 8k = -3 \quad ... (ii)$
$(i)$ को $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2h - 8(-5h) = -3$
$2h + 40h = -3$ $\Rightarrow 42h = -3$ $\Rightarrow h = -\frac{1}{14}$
$k = -5h = -5(-\frac{1}{14}) = \frac{5}{14}$
अब,$2k - 4h$ की गणना करने पर:
$2(\frac{5}{14}) - 4(-\frac{1}{14}) = \frac{10}{14} + \frac{4}{14} = \frac{14}{14} = 1$

(C) दिया गया है कि बिंदु $P(\alpha, 1)$ रेखा $y=1$ पर स्थित है। मान लीजिए जीवा $PQ$ है और इसका मध्य बिंदु $x$-अक्ष पर $M(h, 0)$ है।
वृत्त $x^2+y^2-\alpha x-y=0$ के लिए मध्य बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ है।
यहाँ,$T = xh + yk - \frac{\alpha}{2}(x+h) - \frac{1}{2}(y+k)$ और $S_1 = h^2+k^2-\alpha h-k$ है।
चूंकि मध्य बिंदु $(h, 0)$ है,इसलिए $T = xh - \frac{\alpha}{2}(x+h) - \frac{1}{2}y$ और $S_1 = h^2-\alpha h$ है।
अतः,$xh - \frac{\alpha}{2}x - \frac{\alpha}{2}h - \frac{1}{2}y = h^2-\alpha h$ है।
चूंकि यह जीवा $P(\alpha, 1)$ से होकर गुजरती है,इसलिए $x=\alpha$ और $y=1$ रखने पर:
$\alpha h - \frac{\alpha^2}{2} - \frac{\alpha h}{2} - \frac{1}{2} = h^2 - \alpha h$ प्राप्त होता है।
$2$ से गुणा करने पर: $2\alpha h - \alpha^2 - \alpha h - 1 = 2h^2 - 2\alpha h$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2h^2 - 3\alpha h + \alpha^2 + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
दो अलग-अलग जीवाओं के अस्तित्व के लिए,$h$ में द्विघात समीकरण के दो अलग-अलग वास्तविक मूल होने चाहिए।
अतः,विविक्तकर $D > 0$:
$(-3\alpha)^2 - 4(2)(\alpha^2+1) > 0$ है।
$9\alpha^2 - 8\alpha^2 - 8 > 0$ है।
$\alpha^2 - 8 > 0 \Rightarrow \alpha^2 > 8$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2=a^2$ है और जीवा का समीकरण $x+y=1$ है।
मूलबिंदु को वृत्त और जीवा के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं के युग्म का समीकरण ज्ञात करने के लिए,जीवा के समीकरण का उपयोग करके वृत्त के समीकरण को समघात बनाने पर:
$x^2+y^2=a^2(1)^2$
$x^2+y^2=a^2(x+y)^2$
$x^2+y^2=a^2(x^2+y^2+2xy)$
$(1-a^2)x^2 - 2a^2xy + (1-a^2)y^2 = 0$.
चूंकि जीवा मूलबिंदु पर समकोण बनाती है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$(1-a^2) + (1-a^2) = 0$
$2(1-a^2) = 0$
$1-a^2 = 0$
$a^2 = 1$
चूंकि $a$ त्रिज्या को दर्शाता है,इसलिए $a=1$.

(C) जीवा का समीकरण $y = 2x + 3$ है।
इसे वृत्त के समीकरण $x^2 + y^2 + 6x - 4y + 4 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2 + (2x + 3)^2 + 6x - 4(2x + 3) + 4 = 0$
$5x^2 + 10x + 1 = 0$.
मध्यबिंदु का $x$-निर्देशांक $a$ मूलों का औसत है: $a = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-10/5}{2} = -1$.
चूंकि $(a, b)$ जीवा $y = 2x + 3$ पर स्थित है,इसलिए $b = 2a + 3 = 2(-1) + 3 = 1$.
अतः,$2a + 3b = 2(-1) + 3(1) = -2 + 3 = 1$.

(B) वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x-8y+16=0$ है।
जीवा का मध्य-बिंदु $(x_1, y_1) = (1,3)$ दिया गया है।
मध्य-बिंदु $(x_1, y_1)$ वाली जीवा का समीकरण $T = S_1$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $x(1) + y(3) - 2(x+1) - 4(y+3) + 16 = 1^2 + 3^2 - 4(1) - 8(3) + 16$.
$x + 3y - 2x - 2 - 4y - 12 + 16 = 1 + 9 - 4 - 24 + 16$.
$-x - y + 2 = -2$.
$-x - y = -4$,जो $x + y = 4$ में सरल हो जाता है।
यह जीवा निर्देशांक अक्षों को $A(0,4)$ और $B(4,0)$ पर काटती है।
जीवा और निर्देशांक अक्षों द्वारा बना त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है,जिसका आधार $OB = 4$ और ऊँचाई $OA = 4$ है।
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8$.

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2-6x-8y+9=0$ है।
इसका केंद्र $C=(3,4)$ है और त्रिज्या $R=\sqrt{3^2+4^2-9}=\sqrt{9+16-9}=\sqrt{16}=4$ है।
माना $AB$ जीवा है जिसकी लंबाई $2\sqrt{3}$ है। केंद्र $C(3,4)$ से जीवा $2x+3y+k=0$ पर लंबवत दूरी $CM$ का मान $CM = \frac{|2(3)+3(4)+k|}{\sqrt{2^2+3^2}} = \frac{|6+12+k|}{\sqrt{4+9}} = \frac{|18+k|}{\sqrt{13}}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle ACM$ में,$AC^2 = CM^2 + AM^2$,जहाँ $AM = \frac{AB}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ है।
मान रखने पर,$4^2 = \left(\frac{|18+k|}{\sqrt{13}}\right)^2 + (\sqrt{3})^2$.
$16 = \frac{(18+k)^2}{13} + 3$.
$13 = \frac{(18+k)^2}{13} \Rightarrow (18+k)^2 = 169$.
वर्गमूल लेने पर,$18+k = \pm 13$.
स्थिति $1$: $18+k = 13 \Rightarrow k = -5$.
स्थिति $2$: $18+k = -13 \Rightarrow k = -31$.
अतः,$k$ का एक मान $-5$ है।

(A) माना वृत्त का केंद्र $C(h, k)$ है। चूंकि $C$ तीसरे चतुर्थांश में है,इसलिए $h < 0$ और $k < 0$ है।
रेखा $AB$ बिंदुओं $(1, 2)$ और $(2, 1)$ से होकर गुजरती है। रेखा $AB$ का समीकरण $x + y - 3 = 0$ है।
$C(h, k)$ की $AB$ से दूरी $\frac{|h + k - 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$ है।
चूंकि $C$ तीसरे चतुर्थांश में है,इसलिए $h + k - 3 < 0$,अतः $-(h + k - 3) = 7 \Rightarrow h + k = -4$ है।
चूंकि $C$,$A(1, 2)$ और $B(2, 1)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $CA^2 = CB^2 \Rightarrow (h-1)^2 + (k-2)^2 = (h-2)^2 + (k-1)^2$ है।
इससे $h = k$ प्राप्त होता है।
$h = k$ को $h + k = -4$ में रखने पर,$2h = -4 \Rightarrow h = -2, k = -2$ प्राप्त होता है। अतः $C = (-2, -2)$ है।
त्रिज्या $R = CA = \sqrt{(-2-1)^2 + (-2-2)^2} = 5$ है।
$P(1, -2)$ की $C(-2, -2)$ से दूरी $\sqrt{(1 - (-2))^2 + (-2 - (-2))^2} = 3$ है।
चूंकि $3 < 5$,इसलिए बिंदु $P(1, -2)$ वृत्त $S$ के अंदर स्थित है।

(D) माना वृत्त का केंद्र $O(h, k)$ और त्रिज्या $r$ है। चूँकि $L_1$ एक स्पर्शरेखा है,$(h, k)$ से $3x - 4y - 8 = 0$ की लंबवत दूरी $r$ के बराबर है।
$\frac{|3h - 4k - 8|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = r \Rightarrow |3h - 4k - 8| = 5r$. चूँकि $L_1$ स्पर्शरेखा है,$r = 2$,इसलिए $|3h - 4k - 8| = 10$.
साथ ही,$(h, k)$ से $L_2 \equiv x + y - 1 = 0$ की दूरी $\sqrt{2}$ है।
$\frac{|h + k - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \sqrt{2} \Rightarrow |h + k - 1| = 2$.
दिया है $h^2 + k^2 = 13$। इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $(h, k) = (3, 2)$ या $(-2, 3)$ प्राप्त होता है।
$(h, k) = (3, 2)$ के लिए,जीवा $L_2$ का मध्यबिंदु $(\alpha, \beta)$ केंद्र $(3, 2)$ का $x + y - 1 = 0$ पर प्रक्षेप है।
$\frac{\alpha - 3}{1} = \frac{\beta - 2}{1} = -\frac{3 + 2 - 1}{1^2 + 1^2} = -\frac{4}{2} = -2$.
$\alpha = 3 - 2 = 1, \beta = 2 - 2 = 0$. अतः,$\alpha + \beta = 1$.
चूँकि $r = 2$ है,इसलिए $\alpha + \beta + r = 1 + 2 = 3$.

(D) वृत्त $S=0$ के लिए $(x_1, y_1)$ मध्य-बिंदु वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$S = x^2+y^2-9=0$ और $(x_1, y_1) = (1, 2)$ है।
$T = x(1) + y(2) - 9 = x+2y-9$.
$S_1 = (1)^2 + (2)^2 - 9 = 1+4-9 = -4$.
$T=S_1$ को बराबर करने पर,हमें $x+2y-9 = -4$ प्राप्त होता है।
अतः,$x+2y-5=0$।

(A) दिए गए वृत्त $S_1: x^2+y^2-4x-6y-3=0$ और $S_2: x^2+y^2+8x-4y+11=0$ हैं।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर:
$S_1$ के लिए: $g_1 = -2, f_1 = -3, c_1 = -3$.
$S_2$ के लिए: $g_2 = 4, f_2 = -2, c_2 = 11$.
दो वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ का सूत्र: $\cos \theta = \frac{|2g_1g_2 + 2f_1f_2 - c_1 - c_2|}{2\sqrt{g_1^2+f_1^2-c_1}\sqrt{g_2^2+f_2^2-c_2}}$.
मान रखने पर:
अंश: $|-16 + 12 + 3 - 11| = 12$.
हर: $2\sqrt{16}\sqrt{9} = 24$.
अतः,$\cos \theta = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$\theta = \frac{\pi}{3}$.