$(5, 2), (5, -2),$ और $(1, 2)$ बिंदुओं से होकर गुजरने वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। ($\pi$ में)

बिंदु $(1,2)$ से वृत्तों $x^2+y^2+x+y-4=0$ और $3x^2+3y^2-x-y-k=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई का अनुपात $4:3$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि रेखा $y = mx + 1$ वृत्त $x^2 + y^2 + 3x = 0$ को $y$-अक्ष से समान दूरी पर और विपरीत दिशाओं में दो बिंदुओं पर मिलती है,तो:

यदि $(-1, 0)$ से वृत्त $x^2+y^2-5x+4y-2=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ है,तो $\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

क्षेत्र $R = \{( x , y ) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : x \geq 0 \text{ और } y^2 \leq 4- x \}$ पर विचार करें। मान लीजिए $F$ उन सभी वृत्तों का परिवार है जो $R$ में निहित हैं और जिनके केंद्र $x$-अक्ष पर हैं। मान लीजिए $C$ वह वृत्त है जिसकी त्रिज्या $F$ के वृत्तों में सबसे बड़ी है। मान लीजिए $(\alpha, \beta)$ वह बिंदु है जहाँ वृत्त $C$ वक्र $y^2=4- x$ से मिलता है।
$(1)$ वृत्त $C$ की त्रिज्या है. . . . . .
$(2)$ $\alpha$ का मान है. . . . .
$(1)$ और $(2)$ के लिए उत्तर दें:

बिंदु $(4, 0)$ से वृत्त $x^2 + y^2 = 8$ पर खींची गई स्पर्श रेखा इसे प्रथम चतुर्थांश में बिंदु $A$ पर स्पर्श करती है। वृत्त पर स्थित दूसरे बिंदु $B$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ताकि जीवा $AB$ की लंबाई $4$ हो: