Equations of circle Questions in Hindi

(C) व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
दिए गए बिंदुओं $(-4, 3)$ और $(12, -1)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x + 4)(x - 12) + (y - 3)(y + 1) = 0$
$x^2 - 12x + 4x - 48 + y^2 + y - 3y - 3 = 0$
$x^2 + y^2 - 8x - 2y - 51 = 0$।
$y$-अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई $2 \sqrt{f^2 - c}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
यहाँ,$2f = -2 \implies f = -1$ और $c = -51$ है।
अंतःखंड की लंबाई $= 2 \sqrt{(-1)^2 - (-51)} = 2 \sqrt{1 + 51} = 2 \sqrt{52} = 2 \sqrt{4 \times 13} = 4 \sqrt{13}$।

(B) चूंकि वृत्त $X$-अक्ष को मूल बिंदु $(0, 0)$ पर स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $Y$-अक्ष पर $(0, a)$ या $(0, -a)$ पर स्थित होना चाहिए।
अतः,त्रिज्या $a$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - 0)^2 + (y \mp a)^2 = a^2$ होगा।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^2 + y^2 \mp 2ay + a^2 = a^2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,समीकरण $x^2 + y^2 \pm 2ay = 0$ है।

(A) वृत्त का केंद्र $(h, k) = (2, 1)$ है।
चूंकि वृत्त $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r$,केंद्र के $y$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होगी।
अतः,$r = |1| = 1$.
वृत्त का मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
मान रखने पर,$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1^2$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 1$ मिलता है।
सरल करने पर,$x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $c = 0$ है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है।
केंद्र $y$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए केंद्र का $x$-निर्देशांक शून्य होगा,अतः $-g = 0$,जिसका अर्थ है $g = 0$ है।
अतः वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2fy = 0$ हो जाता है।
वृत्त की त्रिज्या $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = |f|$ है।
त्रिज्या $3$ दी गई है,इसलिए $|f| = 3$,जिसका अर्थ है $f = 3$ या $f = -3$ है।
यदि $f = 3$ है,तो समीकरण $x^2 + y^2 + 6y = 0$ प्राप्त होता है।
यदि $f = -3$ है,तो समीकरण $x^2 + y^2 - 6y = 0$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$x^2 + y^2 + 6y = 0$ सही उत्तर है।

(A) वृत्त का केंद्र दो व्यासों $2x + 3y + 1 = 0$ और $3x - y - 4 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
दूसरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर,$9x - 3y - 12 = 0$ प्राप्त होता है।
पहले समीकरण में जोड़ने पर: $(2x + 3y + 1) + (9x - 3y - 12) = 0 \implies 11x - 11 = 0 \implies x = 1$.
$x = 1$ को $3x - y - 4 = 0$ में रखने पर,$3(1) - y - 4 = 0 \implies y = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,केंद्र $(h, k) = (1, -1)$ है।
परिधि $2\pi r = 10\pi$ है,जिससे $r = 5$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है।
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5^2$.
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 25$.
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 23 = 0$.

(A) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
इस वृत्त की त्रिज्या $R$,$R = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ द्वारा दी जाती है।
वृत्त के बिंदु वृत्त होने के लिए,इसकी त्रिज्या शून्य होनी चाहिए,अर्थात $R = 0$।
इसलिए,$\sqrt{g^2 + f^2 - c} = 0$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $g^2 + f^2 - c = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $g^2 + f^2 = c$।

(A) दो वृत्त संकेंद्रित होते हैं यदि उनका केंद्र समान हो। दिया गया वृत्त $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 20 = 0$ है।
इस वृत्त के संकेंद्रित किसी भी वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x + 4y + c = 0$ के रूप में होता है।
चूंकि यह वृत्त बिंदु $(4, -2)$ से गुजरता है,हम समीकरण में $x = 4$ और $y = -2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(4)^2 + (-2)^2 - 2(4) + 4(-2) + c = 0$
$16 + 4 - 8 - 8 + c = 0$
$20 - 16 + c = 0$
$4 + c = 0$
$c = -4$

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2gx + f^2 = 0$ है।
इस वृत्त का केंद्र $(g, 0)$ है।
अभीष्ट वृत्त का केंद्र $(a, b)$ है और यह बिंदु $(g, 0)$ से होकर गुजरता है।
अतः,त्रिज्या $r$ केंद्र $(a, b)$ और बिंदु $(g, 0)$ के बीच की दूरी है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$r = \sqrt{(a - g)^2 + (b - 0)^2} = \sqrt{(a - g)^2 + b^2}$.

(C) केंद्र $(h, k)$ ज्ञात करने के लिए,समीकरणों को हल करें:
$2x - 3y = -4$ $(i)$
$3x + 4y = 5$ (ii)
$(i)$ को $4$ से और (ii) को $3$ से गुणा करने पर: $8x - 12y = -16$ और $9x + 12y = 15$.
जोड़ने पर $17x = -1$ प्राप्त होता है,अतः $x = -\frac{1}{17}$.
$(i)$ में $x$ का मान रखने पर: $2(-\frac{1}{17}) - 3y = -4 \implies -3y = -4 + \frac{2}{17} = -\frac{66}{17} \implies y = \frac{22}{17}$.
केंद्र $(h, k) = (-\frac{1}{17}, \frac{22}{17})$ है।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,त्रिज्या $r$ केंद्र से मूल बिंदु की दूरी है:
$r^{2} = h^{2} + k^{2} = (-\frac{1}{17})^{2} + (\frac{22}{17})^{2} = \frac{1 + 484}{289} = \frac{485}{289}$.
वृत्त का समीकरण $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ है:
$(x + \frac{1}{17})^{2} + (y - \frac{22}{17})^{2} = \frac{485}{289}$
$x^{2} + \frac{2x}{17} + \frac{1}{289} + y^{2} - \frac{44y}{17} + \frac{484}{289} = \frac{485}{289}$
$x^{2} + y^{2} + \frac{2x}{17} - \frac{44y}{17} = 0$
$17$ से गुणा करने पर: $17(x^{2} + y^{2}) + 2x - 44y = 0$.

(C) दिया गया वृत्त मूल बिंदु से होकर गुजरता है,इसलिए अचर पद शून्य होना चाहिए: $p - 3 = 0 \Rightarrow p = 3$.
$p = 3$ रखने पर,हमें $x^{2} + y^{2} + 9x - 3y = 0$ प्राप्त होता है।
इस वृत्त की त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(\frac{9}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2} = \sqrt{\frac{81}{4} + \frac{9}{4}} = \frac{3\sqrt{10}}{2}$ है।
वांछित वृत्त मूल बिंदु से होकर गुजरता है,इसलिए इसका समीकरण $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy = 0$ के रूप में है।
इसकी त्रिज्या $r_2 = \sqrt{g^2 + f^2}$ है।
दिया गया है कि $r_2 = 2r_1$,इसलिए $\sqrt{g^2 + f^2} = 2 \times \frac{3\sqrt{10}}{2} = 3\sqrt{10}$।
अतः,$g^2 + f^2 = 90$।
यदि वृत्त मूल बिंदु पर स्पर्शरेखा साझा करते हैं,तो $f = -3$ और $g = 9$ लेने पर,समीकरण $x^{2} + y^{2} + 18x - 6y = 0$ प्राप्त होता है।

(A) वर्ग के शीर्ष रेखाओं $x=2, x=3, y=1, y=2$ के प्रतिच्छेदन से बनते हैं।
ये शीर्ष $A(2, 1), B(3, 1), C(3, 2)$ और $D(2, 2)$ हैं।
वर्ग के विकर्ण $AC$ और $BD$ हैं।
यदि हम विकर्ण $AC$ को व्यास के रूप में लेते हैं,तो इसके अंतिम बिंदु $(2, 1)$ और $(3, 2)$ हैं।
व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
$AC$ के लिए मान रखने पर: $(x - 2)(x - 3) + (y - 1)(y - 2) = 0$.
इसका विस्तार करने पर: $x^2 - 5x + 6 + y^2 - 3y + 2 = 0$.
अतः,$x^2 + y^2 - 5x - 3y + 8 = 0$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,यदि हम विकर्ण $BD$ को व्यास के रूप में लेते हैं,तो अंतिम बिंदु $(2, 2)$ और $(3, 1)$ हैं।
समीकरण $(x - 2)(x - 3) + (y - 2)(y - 1) = 0$ होगा,जिसका परिणाम भी $x^2 + y^2 - 5x - 3y + 8 = 0$ ही आता है।

(A) मान लीजिए $A = (x_{1}, y_{1})$ और $B = (x_{2}, y_{2})$ हैं।
दिए गए समीकरणों से,हमारे पास है:
$x_{1} + x_{2} = -2a$ और $x_{1}x_{2} = -b^{2}$
$y_{1} + y_{2} = -2p$ और $y_{1}y_{2} = -q^{2}$
$AB$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x - x_{1})(x - x_{2}) + (y - y_{1})(y - y_{2}) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $x^{2} - (x_{1} + x_{2})x + x_{1}x_{2} + y^{2} - (y_{1} + y_{2})y + y_{1}y_{2} = 0$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,हमें $x^{2} + 2ax - b^{2} + y^{2} + 2py - q^{2} = 0$ प्राप्त होता है,जो $x^{2} + y^{2} + 2ax + 2py - (b^{2} + q^{2}) = 0$ है।
वृत्त का मानक रूप $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ है,जहाँ त्रिज्या $\sqrt{g^{2} + f^{2} - c}$ होती है।
यहाँ,$g = a$,$f = p$,और $c = -(b^{2} + q^{2})$ है।
अतः,त्रिज्या $\sqrt{a^{2} + p^{2} - (-(b^{2} + q^{2}))} = \sqrt{a^{2} + p^{2} + b^{2} + q^{2}}$ है।

(A) वृत्त का केंद्र दोनों व्यासों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
समीकरणों को हल करने पर:
$2x - 3y = 5$ $(i)$
$3x - 4y = 7$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $3$ से और $(ii)$ को $2$ से गुणा करने पर:
$6x - 9y = 15$
$6x - 8y = 14$
घटाने पर: $-y = 1 \Rightarrow y = -1$.
$y = -1$ को $(i)$ में रखने पर:
$2x - 3(-1) = 5$ $\Rightarrow 2x + 3 = 5$ $\Rightarrow 2x = 2$ $\Rightarrow x = 1$.
अतः,केंद्र $(h, k) = (1, -1)$ और त्रिज्या $r = 8$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ के अनुसार:
$(x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} = 8^{2}$
$x^{2} - 2x + 1 + y^{2} + 2y + 1 = 64$
$x^{2} + y^{2} - 2x + 2y - 62 = 0$.

(A) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ $(i)$ है।
चूंकि वृत्त $(1, 0)$ और $(0, 1)$ से गुजरता है:
$(1, 0)$ के लिए: $1 + 2g + c = 0$ $(ii)$.
$(0, 1)$ के लिए: $1 + 2f + c = 0$ $(iii)$.
$(ii)$ में से $(iii)$ घटाने पर,$2g - 2f = 0$,अतः $g = f$.
$f = g$ को $(ii)$ में रखने पर,$c = -(1 + 2g)$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $R = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{g^2 + g^2 - (-(1 + 2g))} = \sqrt{2g^2 + 2g + 1}$.
$R$ को न्यूनतम करने के लिए,$R^2 = 2g^2 + 2g + 1$ को न्यूनतम करते हैं।
$g$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dg}(2g^2 + 2g + 1) = 4g + 2 = 0$,जिससे $g = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $g = f$,इसलिए $f = -\frac{1}{2}$.
तब $c = -(1 + 2(-\frac{1}{2})) = -(1 - 1) = 0$.
$g, f, c$ के मान $(i)$ में रखने पर,समीकरण $x^2 + y^2 - x - y = 0$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,दो बिंदुओं से गुजरने वाले न्यूनतम त्रिज्या वाले वृत्त के लिए वे दो बिंदु व्यास के अंतिम बिंदु होते हैं।
समीकरण $(x - 1)(x - 0) + (y - 0)(y - 1) = 0$ होगा,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - x - y = 0$ हो जाता है।

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $2x^2 + 2y^2 = 3x - 5y + 7$ है।
$2$ से विभाजित करने पर,$x^2 + y^2 - \frac{3}{2}x + \frac{5}{2}y - \frac{7}{2} = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,$2g = -\frac{3}{2} \implies g = -\frac{3}{4}$ और $2f = \frac{5}{2} \implies f = \frac{5}{4}$ है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = \left( \frac{3}{4}, -\frac{5}{4} \right)$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{\left( -\frac{3}{4} \right)^2 + \left( \frac{5}{4} \right)^2 - \left( -\frac{7}{2} \right)}$ है।
$r = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{25}{16} + \frac{7}{2}} = \sqrt{\frac{9 + 25 + 56}{16}} = \sqrt{\frac{90}{16}} = \frac{3\sqrt{10}}{4}$।

(C) वृत्त का प्रारंभिक केंद्र $C(5, 5)$ है क्योंकि यह प्रथम चतुर्थांश में दोनों अक्षों को $5$ त्रिज्या के साथ स्पर्श करता है।
जब वृत्त $x-$ अक्ष पर एक पूर्ण चक्कर लगाता है,तो केंद्र द्वारा तय की गई दूरी वृत्त की परिधि के बराबर होती है,जो $2\pi r = 2\pi(5) = 10\pi$ है।
नया केंद्र $D$ के निर्देशांक $(5 + 10\pi, 5)$ होंगे और त्रिज्या $5$ ही रहेगी।
नई स्थिति में वृत्त का समीकरण $(x - (5 + 10\pi))^{2} + (y - 5)^{2} = 5^{2}$ होगा,जो सरल होकर $(x - 5 - 10\pi)^{2} + (y - 5)^{2} = 25$ प्राप्त होता है।

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
बिंदु $(2, 3)$ रखने पर: $4 + 9 + 4g + 6f + c = 0 \Rightarrow 4g + 6f + c = -13$.
बिंदु $(0, 2)$ रखने पर: $0 + 4 + 0g + 4f + c = 0 \Rightarrow 4f + c = -4$.
बिंदु $(4, 5)$ रखने पर: $16 + 25 + 8g + 10f + c = 0 \Rightarrow 8g + 10f + c = -41$.
समीकरणों को हल करने पर,हमें $g = 2.5, f = -9.5$ और $c = 34$ प्राप्त होता है।
अतः वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 5x - 19y + 34 = 0$ है।
अब,यदि बिंदु $(0, t)$ वृत्त पर स्थित है,तो $0^2 + t^2 + 5(0) - 19(t) + 34 = 0 \Rightarrow t^2 - 19t + 34 = 0$.
गुणनखंड करने पर: $(t - 2)(t - 17) = 0$. अतः $t = 2$ या $t = 17$. चूंकि बिंदु अलग-अलग होने चाहिए,इसलिए $t = 17$ सही उत्तर है।

(A) दिया गया वृत्त $x^{2} + y^{2} - 8x + 6y - 5 = 0$ है।
इसकी तुलना $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ से करने पर,$g = -4$ और $f = 3$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (4, -3)$ है।
चूंकि अभीष्ट वृत्त दिए गए वृत्त के संकेंद्रित है,इसलिए इसका केंद्र भी $(4, -3)$ होगा।
वृत्त बिंदु $(-2, -7)$ से होकर गुजरता है।
त्रिज्या $r$,$(4, -3)$ और $(-2, -7)$ के बीच की दूरी है:
$r^{2} = (4 - (-2))^{2} + (-3 - (-7))^{2} = (6)^{2} + (4)^{2} = 36 + 16 = 52$.
वृत्त का समीकरण $(x - 4)^{2} + (y + 3)^{2} = 52$ है।
इसका विस्तार करने पर,$x^{2} - 8x + 16 + y^{2} + 6y + 9 = 52$,जो सरल होकर $x^{2} + y^{2} - 8x + 6y - 27 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) केंद्र $(3, 1)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = r^2$ है।
चूंकि वृत्त रेखा $8x - 15y + 25 = 0$ को स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r$ केंद्र $(3, 1)$ से रेखा की लंबवत दूरी के बराबर होगी।
$r = \frac{|8(3) - 15(1) + 25|}{\sqrt{8^2 + (-15)^2}}$
$r = \frac{|24 - 15 + 25|}{\sqrt{64 + 225}}$
$r = \frac{|34|}{\sqrt{289}} = \frac{34}{17} = 2$.
$r = 2$ का मान वृत्त के समीकरण में रखने पर:
$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 2^2$
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 2y + 1) = 4$
$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 10 = 4$
$x^2 + y^2 - 6x - 2y + 6 = 0$.

(A) चूंकि वृत्त प्रथम चतुर्थांश में दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसका केंद्र $(r, r)$ और त्रिज्या $r$ है,जहाँ $r > 0$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$ है,जो $x^2 + y^2 - 2rx - 2ry + r^2 = 0$ में सरल हो जाता है।
केंद्र $(r, r)$ से रेखा $4x + 3y - 6 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|4r + 3r - 6|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|7r - 6|}{5}$ है।
यदि वृत्त रेखा को स्पर्श करता है,तो $d = r$ होगा।
$\frac{|7r - 6|}{5} = r \implies |7r - 6| = 5r$.
स्थिति $1$: $7r - 6 = 5r \implies 2r = 6 \implies r = 3$.
स्थिति $2$: $7r - 6 = -5r \implies 12r = 6 \implies r = 0.5$.
$r = 0.5$ के लिए,वृत्त का समीकरण $(x - 0.5)^2 + (y - 0.5)^2 = 0.25$ अर्थात $4x^2 + 4y^2 - 4x - 4y + 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) माना बिंदु $A(1, 0)$ और $B(0, 1)$ हैं।
दो बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्त की त्रिज्या न्यूनतम होने के लिए,उन दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड वृत्त का व्यास होना चाहिए।
$AB$ का मध्यबिंदु वृत्त का केंद्र है: $C = (\frac{1+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$।
व्यास $AB$ की दूरी है: $AB = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$।
त्रिज्या $r = \frac{\text{व्यास}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ है।
मान रखने पर: $(x - \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{1}{2})^2 = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2$।
$x^2 - x + \frac{1}{4} + y^2 - y + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$।
$x^2 + y^2 - x - y + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$।
$x^2 + y^2 - x - y = 0$।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 = 4$ है।
यह $x^2 + y^2 = r^2$ के रूप में है,जहाँ $r^2 = 4$,इसलिए त्रिज्या $r = 2$ है।
वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ के लिए प्राचलिक समीकरण $x = r \cos \alpha$ और $y = r \sin \alpha$ होते हैं।
$r = 2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x = 2 \cos \alpha$ और $y = 2 \sin \alpha$ प्राप्त होता है।
अतः,वृत्त पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(2 \cos \alpha, 2 \sin \alpha)$ हैं।

(A) चूंकि वृत्त दोनों अक्षों को स्पर्श करता है और चौथे चतुर्थांश में स्थित है,जिसकी त्रिज्या $r = 1$ है,इसलिए वृत्त का केंद्र $(1, -1)$ होगा।
वृत्त का मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
$h = 1$,$k = -1$ और $r = 1$ रखने पर:
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 1^2$
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 1$
समीकरण का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) = 1$
$x^2 + y^2 - 2x + 2y + 2 = 1$
$x^2 + y^2 - 2x + 2y + 1 = 0$

(D) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
चूंकि वृत्त $y$-अक्ष को $(0, 2)$ पर स्पर्श करता है,इसलिए त्रिज्या $r = |h|$ और केंद्र का $y$-निर्देशांक $k = 2$ है।
अतः,वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - 2)^2 = h^2$ है।
चूंकि वृत्त $(-1, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए इन निर्देशांकों को समीकरण में रखने पर:
$(-1 - h)^2 + (0 - 2)^2 = h^2$
$1 + 2h + h^2 + 4 = h^2$
$2h + 5 = 0$
$h = -5/2$.
अतः,वृत्त का समीकरण $(x + 5/2)^2 + (y - 2)^2 = (-5/2)^2$ है।
$(x + 5/2)^2 + (y - 2)^2 = 25/4$.
अब,बिंदुओं को समीकरण में रखकर विकल्पों की जाँच करने पर:
$(-4, 0)$ के लिए:
$(-4 + 5/2)^2 + (0 - 2)^2 = (-8/2 + 5/2)^2 + (-2)^2 = (-3/2)^2 + 4 = 9/4 + 4 = 25/4$.
चूंकि बिंदु $(-4, 0)$ समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए वृत्त $(-4, 0)$ से होकर गुजरता है।

(D) वृत्त रेखाओं $x = 0$ और $x = 2c$ को स्पर्श करता है। इन दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी $2c$ है। अतः,वृत्त का व्यास $2c$ है और त्रिज्या $r = c$ है।
चूंकि वृत्त $x = 0$ और $x = 2c$ को स्पर्श करता है,केंद्र का $x$-निर्देशांक $h = c$ होना चाहिए।
चूंकि वृत्त $y = 0$ को भी स्पर्श करता है,केंद्र का $y$-निर्देशांक $k = c$ या $k = -c$ होना चाहिए।
अतः,वृत्त का केंद्र $(c, c)$ या $(c, -c)$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - c)^2 + (y \mp c)^2 = c^2$ है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 - 2cx + c^2 + y^2 \mp 2cy + c^2 = c^2$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$x^2 + y^2 - 2cx \mp 2cy + c^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ होता है,जहाँ $x^2$ और $y^2$ के गुणांक समान होते हैं और इसमें $xy$ पद नहीं होता है।
विकल्प $A$ में $x^2$ और $y^2$ के गुणांक अलग-अलग हैं।
विकल्प $B$ में $x^2$ और $y^2$ के चिह्न अलग-अलग हैं।
विकल्प $C$ में $xy$ पद मौजूद है।
विकल्प $D$ को $3(x^2 + y^2) + 5x + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 + \frac{5}{3}x + \frac{1}{3} = 0$ हो जाता है। यह वृत्त के समीकरण के रूप से मेल खाता है।

(C) सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ के वृत्त को दर्शाने के लिए,निम्नलिखित शर्तें पूरी होनी चाहिए:
$1$. $x^2$ का गुणांक $y^2$ के गुणांक के बराबर होना चाहिए $(a = b)$.
$2$. $xy$ का गुणांक शून्य होना चाहिए $(h = 0)$.
दिए गए समीकरण $px^2 + (2 - q)xy + 3y^2 - 6qx + 30y + 6q = 0$ के लिए:
गुणांकों की तुलना करने पर:
$x^2$ का गुणांक $p$ है और $y^2$ का गुणांक $3$ है।
अतः,$p = 3$।
$xy$ का गुणांक $(2 - q)$ है।
$2 - q = 0$ रखने पर,हमें $q = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$p = 3$ और $q = 2$ है।

(A) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूँकि वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है और त्रिज्या $5$ है,केंद्र $(h, 5)$ होगा जहाँ $h > 0$ है।
वृत्त रेखा $3x - 4y = 0$ को भी स्पर्श करता है। केंद्र $(h, 5)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $5$ के बराबर होनी चाहिए।
$\Rightarrow \left|\frac{3h - 4(5)}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}}\right| = 5$
$\Rightarrow \left|\frac{3h - 20}{5}\right| = 5$
$\Rightarrow |3h - 20| = 25$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं: $3h - 20 = 25$ या $3h - 20 = -25$.
स्थिति $1$: $3h = 45 \Rightarrow h = 15$.
स्थिति $2$: $3h = -5 \Rightarrow h = -5/3$. चूँकि केंद्र प्रथम चतुर्थांश में है,$h > 0$,इसलिए $h = 15$ लेने पर।
वृत्त का समीकरण $(x - 15)^2 + (y - 5)^2 = 5^2$ होगा।
$x^2 - 30x + 225 + y^2 - 10y + 25 = 25$.
$x^2 + y^2 - 30x - 10y + 225 = 0$.

(C) $x$-अक्ष को $(3, 0)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्त का समीकरण $(x-3)^2 + (y-k)^2 = k^2$ है।
चूंकि वृत्त $(1, -2)$ से गुजरता है,इसलिए:
$(1-3)^2 + (-2-k)^2 = k^2$
$4 + 4 + 4k + k^2 = k^2$
$8 + 4k = 0 \Rightarrow k = -2$.
अतः,वृत्त का समीकरण $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 4$ या $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 9 = 0$ है।
बिंदु $(5, -2)$ के लिए: $25 + 4 - 30 - 8 + 9 = 0$। अतः,यह $(5, -2)$ से होकर गुजरता है।

(A) रेखाएँ $x = 0$ (y-अक्ष),$y = 0$ (x-अक्ष) और $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 1$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$1$. $x=0$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $O(0, 0)$ है।
$2$. $x=0$ और $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, -b)$ है।
$3$. $y=0$ और $\frac{x}{a} - \frac{y}{b} = 1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(a, 0)$ है।
चूंकि यह एक समकोण त्रिभुज है जिसके शीर्ष $(0,0)$,$(a,0)$ और $(0,-b)$ हैं,इसलिए कर्ण $(a,0)$ और $(0,-b)$ को जोड़ने वाला रेखाखंड है।
समकोण त्रिभुज के परिवृत्त का व्यास उसका कर्ण होता है।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
$(a, 0)$ और $(0, -b)$ रखने पर:
$(x - a)(x - 0) + (y - 0)(y - (-b)) = 0$
$x(x - a) + y(y + b) = 0$
$x^2 - ax + y^2 + by = 0$
$x^2 + y^2 - ax + by = 0$.

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4$ है।
यह $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ के रूप में है,जहाँ केंद्र $(h, k) = (1, 1)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{4} = 2$ है।
वृत्त पर किसी बिंदु के प्राचलिक निर्देशांक $(h + r \cos \alpha, k + r \sin \alpha)$ द्वारा दिए जाते हैं।
मान रखने पर,हमें $(1 + 2 \cos \alpha, 1 + 2 \sin \alpha)$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 - 4x - 6y + 4 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $2g = -4 \implies g = -2$ और $2f = -6 \implies f = -3$ प्राप्त होता है,जहाँ $c = 4$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ है।
मान रखने पर: $r = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 - 4} = \sqrt{4 + 9 - 4} = \sqrt{9} = 3$.
व्यास $d = 2 \times r = 2 \times 3 = 6$ है।

(A) चरण-$1$: वृत्त की त्रिज्या $r$ ज्ञात कीजिए।
त्रिज्या केंद्र $(2, -1)$ और वृत्त पर स्थित बिंदु $(3, 6)$ के बीच की दूरी है।
दूरी सूत्र $r = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ का उपयोग करते हुए:
$r = \sqrt{(3 - 2)^2 + (6 - (-1))^2}$
$r = \sqrt{(1)^2 + (7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50}$.
चरण-$2$: वृत्त के मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ का उपयोग करें,जहाँ $(h, k)$ केंद्र है।
$(x - 2)^2 + (y - (-1))^2 = (\sqrt{50})^2$
$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 50$
$x^2 - 4x + 4 + y^2 + 2y + 1 = 50$
$x^2 + y^2 - 4x + 2y + 5 = 50$
$x^2 + y^2 - 4x + 2y - 45 = 0$.

(B) वृत्त $x$-अक्ष को बिंदु $(-3, 0)$ पर स्पर्श करता है।
चूंकि वृत्त की त्रिज्या $r = 4$ है,इसलिए वृत्त का केंद्र $(-3, 4)$ या $(-3, -4)$ होगा।
स्थिति $1$: केंद्र $(-3, 4)$ और त्रिज्या $r = 4$ है।
समीकरण $(x - (-3))^2 + (y - 4)^2 = 4^2$ होगा।
$(x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$.
$x^2 + 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = 16$.
$x^2 + y^2 + 6x - 8y + 9 = 0$.
स्थिति $2$: केंद्र $(-3, -4)$ और त्रिज्या $r = 4$ है।
समीकरण $(x - (-3))^2 + (y - (-4))^2 = 4^2$ होगा।
$(x + 3)^2 + (y + 4)^2 = 16$.
$x^2 + 6x + 9 + y^2 + 8y + 16 = 16$.
$x^2 + y^2 + 6x + 8y + 9 = 0$.
दोनों स्थितियों को मिलाने पर,समीकरण $x^2 + y^2 + 6x \pm 8y + 9 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 + 6y = 0$ है।
$y$-पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$x^2 + (y^2 + 6y + 9) = 9$
$x^2 + (y + 3)^2 = 3^2$
इसे मानक रूप $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ से तुलना करने पर,केंद्र $(0, -3)$ और त्रिज्या $r = 3$ प्राप्त होती है।
चूंकि केंद्र $(0, -3)$ से $x$-अक्ष की दूरी $|-3| = 3$ है,जो त्रिज्या के बराबर है,इसलिए वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है।
चूंकि केंद्र का $x$-निर्देशांक $0$ है,इसलिए वृत्त $x$-अक्ष को मूलबिंदु $(0, 0)$ पर स्पर्श करता है।

(B) $x = a, x = 2a, y = -a, y = a$ रेखाएँ $(a, -a), (2a, -a), (2a, a),$ और $(a, a)$ शीर्षों वाला एक आयत बनाती हैं।
चूँकि चतुर्भुज एक आयत है,इसके परिवृत्त का व्यास इसका विकर्ण है।
$(a, -a)$ और $(2a, a)$ को जोड़ने वाले विकर्ण के लिए,वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ है।
निर्देशांक रखने पर: $(x - a)(x - 2a) + (y - (-a))(y - a) = 0$.
विस्तार करने पर: $(x^2 - 3ax + 2a^2) + (y + a)(y - a) = 0$.
$(x^2 - 3ax + 2a^2) + (y^2 - a^2) = 0$.
$x^2 + y^2 - 3ax + a^2 = 0$.

(A) व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
दिए गए बिंदुओं $(4, 3)$ और $(-12, -1)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - 4)(x - (-12)) + (y - 3)(y - (-1)) = 0$
$(x - 4)(x + 12) + (y - 3)(y + 1) = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$(x^2 + 12x - 4x - 48) + (y^2 + y - 3y - 3) = 0$
$x^2 + y^2 + 8x - 2y - 51 = 0$

(A) व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
दिए गए बिंदु $(0, 1)$ और $(1, 1)$ हैं।
सूत्र में मान रखने पर:
$(x - 0)(x - 1) + (y - 1)(y - 1) = 0$
$x(x - 1) + (y - 1)^2 = 0$
$x^2 - x + y^2 - 2y + 1 = 0$
$x^2 + y^2 - x - 2y + 1 = 0$.

(D) वृत्त $C$ का केंद्र $PQ$ पर लंबवत $D$ से गुजरने वाली रेखा पर स्थित है। अतः,$C$ का केंद्र $y - \frac{3}{2} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)(x - \frac{3\sqrt{3}}{2}) \Rightarrow x = \sqrt{3}y$ पर स्थित है।
मान लीजिए वृत्त $C$ का केंद्र $(\sqrt{3}y_1, y_1)$ है। तो,
$(\frac{3\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}y_1)^2 + (\frac{3}{2} - y_1)^2 = 1$
$\Rightarrow 3(\frac{3}{2} - y_1)^2 + (\frac{3}{2} - y_1)^2 = 1$
$\Rightarrow 4(\frac{3}{2} - y_1)^2 = 1$ $\Rightarrow \frac{3}{2} - y_1 = \pm \frac{1}{2}$ $\Rightarrow y_1 = 1$ या $y_1 = 2$.
इस प्रकार,$C$ का केंद्र $(\sqrt{3}, 1)$ या $(2\sqrt{3}, 2)$ हो सकता है। चूंकि वृत्त का केंद्र और मूल बिंदु $\sqrt{3}x + y - 6 = 0$ के एक ही तरफ स्थित हैं,और $\sqrt{3}(0) + 0 - 6 < 0$ तथा $\sqrt{3}(\sqrt{3}) + 1 - 6 = -2 < 0$,इसलिए वृत्त $C$ का केंद्र $(\sqrt{3}, 1)$ है।
अतः,वृत्त का समीकरण $(x - \sqrt{3})^2 + (y - 1)^2 = 1$ है।

(A) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ के लिए,$a^2 = 16$ और $b^2 = 9$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ है।
नाभियों के निर्देशांक $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{7}, 0)$ हैं।
वृत्त $(\pm \sqrt{7}, 0)$ से गुजरता है और इसका केंद्र $(0, 3)$ है।
वृत्त की त्रिज्या $r$ के लिए $r^2 = (\sqrt{7} - 0)^2 + (0 - 3)^2 = 7 + 9 = 16$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 16$ अर्थात $x^2 + y^2 - 6y - 7 = 0$ है।

(D) वृत्त का केंद्र दो व्यासों $3x - 4y - 7 = 0$ और $2x - 3y - 5 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इन समीकरणों को हल करने पर: $3x - 4y = 7$ और $2x - 3y = 5$ प्राप्त होता है।
पहले समीकरण को $3$ से और दूसरे को $4$ से गुणा करने पर: $9x - 12y = 21$ और $8x - 12y = 20$ प्राप्त होता है।
घटाने पर $x = 1$ मिलता है। $x = 1$ को $2x - 3y = 5$ में रखने पर $2 - 3y = 5$ मिलता है,अतः $y = -1$ है।
केंद्र $(1, -1)$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = 49\pi$ है,इसलिए $r^2 = 49$ और $r = 7$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 7^2$ है।
विस्तार करने पर: $x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 49$ प्राप्त होता है।
अतः,$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 47 = 0$।

(B) $x$-अक्ष को स्पर्श करने वाले और $(h, k)$ केंद्र वाले वृत्त का समीकरण $(x-h)^{2} + (y-k)^{2} = k^{2}$ है।
चूंकि वृत्त बिंदु $(-1, 1)$ से होकर गुजरता है,हम इन निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(-1-h)^{2} + (1-k)^{2} = k^{2}$
$1 + 2h + h^{2} + 1 - 2k + k^{2} = k^{2}$
$h^{2} + 2h + 2 - 2k = 0$
$h$ के वास्तविक निर्देशांक होने के लिए,$h$ में इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D$ शून्य या शून्य से बड़ा होना चाहिए:
$D = (2)^{2} - 4(1)(2 - 2k) \ge 0$
$4 - 8 + 8k \ge 0$
$8k - 4 \ge 0$
$8k \ge 4$
$k \ge \frac{1}{2}$

(C) माना वृत्त का समीकरण $(x-3)^2 + (y-0)^2 + \lambda y = 0$ है।
चूंकि यह $(1, -2)$ से गुजरता है:
$(1-3)^2 + (-2)^2 + \lambda(-2) = 0$
$4 + 4 - 2\lambda = 0$
$8 = 2\lambda \Rightarrow \lambda = 4$.
अतः,वृत्त का समीकरण $(x-3)^2 + y^2 + 4y = 0$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(5, -2)$ के लिए: $(5-3)^2 + (-2)^2 + 4(-2) = 2^2 + 4 - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$.
इसलिए,वृत्त $(5, -2)$ से होकर गुजरता है।

(A) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ है,जहाँ $a = 4$ और $b = 3$ है।
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ है।
नाभियाँ $(\pm ae, 0) = (\pm \sqrt{7}, 0)$ हैं।
वृत्त का केंद्र $(0, 3)$ है और यह $(\sqrt{7}, 0)$ से होकर गुजरता है।
त्रिज्या $r^2 = (\sqrt{7} - 0)^2 + (0 - 3)^2 = 7 + 9 = 16$ है।
वृत्त का समीकरण $(x - 0)^2 + (y - 3)^2 = 16$ अर्थात $x^2 + y^2 - 6y + 9 = 16$ या $x^2 + y^2 - 6y - 7 = 0$ है।

(B) चूँकि वृत्त दूसरे चतुर्थांश में स्थित है और दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $(-r, r)$ होगा,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
दिया गया है $r = 4$,अतः केंद्र $(-4, 4)$ है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
मान रखने पर,$(x - (-4))^2 + (y - 4)^2 = 4^2$ प्राप्त होता है।
$(x + 4)^2 + (y - 4)^2 = 16$।
विस्तार करने पर,$(x^2 + 8x + 16) + (y^2 - 8y + 16) = 16$।
$x^2 + y^2 + 8x - 8y + 16 = 0$।

(A) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
दिए गए समीकरण $x^2 + y^2 + 2x + 4y + 1 = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर:
$2g = 2 \implies g = 1$
$2f = 4 \implies f = 2$
$c = 1$
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (-1, -2)$ है।
वृत्त की त्रिज्या $\sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{1^2 + 2^2 - 1} = \sqrt{1 + 4 - 1} = \sqrt{4} = 2$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = r^2$ है। त्रिज्या $r = 4$ दी गई है,अतः समीकरण $x^2 + y^2 = 16$ है।
चूंकि बिंदु $(t, 1/t)$ वृत्त पर स्थित हैं,इसलिए वे समीकरण को संतुष्ट करेंगे:
$t^2 + (1/t)^2 = 16$
$t^2$ से गुणा करने पर,हमें $t^4 - 16t^2 + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
यह $t$ में एक चतुर्थ घात समीकरण है जिसके मूल $a, b, c, d$ हैं।
समीकरण $t^4 + 0t^3 - 16t^2 + 0t + 1 = 0$ के मूलों का गुणनफल अचर पद और प्रथम पद के गुणांक का अनुपात होता है।
अतः,$abcd = 1/1 = 1$.

(C) रेखा $y = x$ में बिंदु $(3, 4)$ का प्रतिबिंब प्राप्त करने के लिए निर्देशांकों को आपस में बदलने पर,वृत्त का केंद्र $(h, k) = (4, 3)$ प्राप्त होता है।
चूंकि वृत्त $y$-अक्ष को स्पर्श करता है,इसलिए वृत्त की त्रिज्या $r$,केंद्र के $x$-निर्देशांक के निरपेक्ष मान के बराबर होगी,अतः $r = |h| = 4$ है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
मान रखने पर,$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 4^2$ प्राप्त होता है।
विस्तार करने पर,$x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 = 16$ मिलता है।
सरल करने पर,$x^2 + y^2 - 8x - 6y + 9 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का केंद्र व्यास का मध्य बिंदु है: $(\frac{3-5}{2}, \frac{8+2}{2}) = (-1, 5)$.
त्रिज्या का वर्ग $r^2$ केंद्र $(-1, 5)$ से $(3, 8)$ तक की दूरी का वर्ग है: $r^2 = (3 - (-1))^2 + (8 - 5)^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$.
वृत्त का समीकरण $(x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 25$ है।
बिंदु $(k, 10)$ को समीकरण में रखने पर: $(k + 1)^2 + (10 - 5)^2 = 25$.
$(k + 1)^2 + 5^2 = 25$.
$(k + 1)^2 + 25 = 25$.
$(k + 1)^2 = 0$.
$k + 1 = 0$,इसलिए $k = -1$.
चूंकि $k = -1$ एक पूर्णांक है,इसलिए $k$ का ठीक एक पूर्णांक मान प्राप्त होता है।

(B) समबाहु त्रिभुज में,परिकेंद्र और केंद्रक एक ही बिंदु पर होते हैं। परिकेंद्र $(-1, 2)$ है।
परित्रिज्या $R = \frac{2}{3} \times \text{माध्यिका की लंबाई} = \frac{2}{3}(2b) = \frac{4b}{3}.$
वृत्त का समीकरण $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = (\frac{4b}{3})^2$ होगा।
सरल करने पर: $9x^2 + 9y^2 + 18x - 36y + 45 - 16b^2 = 0.$