Equations of circle Questions in Hindi

(B) माना $A$ के निर्देशांक $(a, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(0, b)$ हैं।
समकोण त्रिभुज $OAB$ के परिवृत्त का व्यास $AB$ है।
आकृति से स्पष्ट है कि वृत्त का व्यास $m + n$ है।

(B) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ होता है।
दिए गए समीकरण $x^2 + y^2 + 2x \cos \theta + 2y \sin \theta - 8 = 0$ की तुलना सामान्य रूप से करने पर:
$2g = 2 \cos \theta \implies g = \cos \theta$
$2f = 2 \sin \theta \implies f = \sin \theta$
$c = -8$
वृत्त की त्रिज्या $R$ का सूत्र $R = \sqrt{g^2 + f^2 - c}$ है।
मान रखने पर:
$R = \sqrt{(\cos \theta)^2 + (\sin \theta)^2 - (-8)}$
$R = \sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta + 8}$
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,इसलिए:
$R = \sqrt{1 + 8} = \sqrt{9} = 3$.

(A) रेखा $l_1x + m_1y + n_1 = 0$,$x$-अक्ष को $A \equiv \left( -\frac{n_1}{l_1}, 0 \right)$ पर और $y$-अक्ष को $B \equiv \left( 0, -\frac{n_1}{m_1} \right)$ पर काटती है।
रेखा $l_2x + m_2y + n_2 = 0$,$x$-अक्ष को $C \equiv \left( -\frac{n_2}{l_2}, 0 \right)$ पर और $y$-अक्ष को $D \equiv \left( 0, -\frac{n_2}{m_2} \right)$ पर काटती है।
चूंकि बिंदु $A, B, C, D$ एकवृत्तीय हैं,प्रतिच्छेदी जीवा प्रमेय के अनुसार $OA \cdot OC = OB \cdot OD$ होगा।
मान रखने पर:
$\left| -\frac{n_1}{l_1} \right| \cdot \left| -\frac{n_2}{l_2} \right| = \left| -\frac{n_1}{m_1} \right| \cdot \left| -\frac{n_2}{m_2} \right|$
$\left| \frac{n_1n_2}{l_1l_2} \right| = \left| \frac{n_1n_2}{m_1m_2} \right|$
अतः $|l_1l_2| = |m_1m_2|$,जिसका अर्थ है $l_1l_2 = m_1m_2$।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(A) वृत्त का केंद्र $(h, k) = (-2, 1)$ है।
चूँकि वृत्त $(4, 3)$ बिंदु से होकर गुजरता है,त्रिज्या $r$ केंद्र $(-2, 1)$ और बिंदु $(4, 3)$ के बीच की दूरी है।
$r^2 = (4 - (-2))^2 + (3 - 1)^2 = (6)^2 + (2)^2 = 36 + 4 = 40$.
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है।
$(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 40$.
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 40$.
$x^2 + y^2 + 4x - 2y - 35 = 0$.

(B) वृत्त का केंद्र $(h, k) = (2, 2)$ है।
चूंकि वृत्त बिंदु $(4, 5)$ से गुजरता है,त्रिज्या $r$ केंद्र और बिंदु के बीच की दूरी है:
$r = \sqrt{(4 - 2)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$।
वृत्त का मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है।
मान रखने पर:
$(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{13})^2$
पदों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 4y + 4) = 13$
समीकरण को सरल करने पर:
$x^2 + y^2 - 4x - 4y + 8 = 13$
$x^2 + y^2 - 4x - 4y - 5 = 0$।

(A) वृत्त का सामान्य समीकरण $A(x-h)^2 + A(y-k)^2 = r^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x^2$ और $y^2$ के गुणांक समान होने चाहिए।
दिया गया समीकरण: $\frac{K(x + 1)^2}{3} + \frac{(y + 2)^2}{4} = 1$.
$(x+1)^2$ और $(y+2)^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{K}{3} = \frac{1}{4}$.
दोनों पक्षों को $3$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है:
$K = \frac{3}{4}$.

(A) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूंकि केंद्र रेखा $y = x - 1$ पर स्थित है,इसलिए $k = h - 1$ या $h - k = 1$ ... $(i)$।
वृत्त की त्रिज्या $r = 3$ है। वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = 9$ होगा।
चूंकि वृत्त बिंदु $(7, 3)$ से गुजरता है,इसलिए $(7 - h)^2 + (3 - k)^2 = 9$ ... $(ii)$।
समीकरण $(i)$ से $k = h - 1$ का मान $(ii)$ में रखने पर:
$(7 - h)^2 + (3 - (h - 1))^2 = 9$
$(7 - h)^2 + (4 - h)^2 = 9$
$49 - 14h + h^2 + 16 - 8h + h^2 = 9$
$2h^2 - 22h + 56 = 0$
$h^2 - 11h + 28 = 0$
$(h - 4)(h - 7) = 0$।
यदि $h = 4$ है,तो $k = 3$। समीकरण $(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 9$ अर्थात $x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 = 0$ प्राप्त होता है।

(D) व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
दिए गए बिंदुओं $(-4, 3)$ और $(12, -1)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - (-4))(x - 12) + (y - 3)(y - (-1)) = 0$
$(x + 4)(x - 12) + (y - 3)(y + 1) = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 12x + 4x - 48) + (y^2 + y - 3y - 3) = 0$
$x^2 + y^2 - 8x - 2y - 51 = 0$.

(C) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ है। चूंकि वृत्त $(3, -2)$ और $(-2, 0)$ से होकर गुजरता है,इसलिए केंद्र से इन बिंदुओं की दूरी समान (त्रिज्या का वर्ग) होगी:
$(h - 3)^2 + (k + 2)^2 = (h + 2)^2 + (k - 0)^2$
$h^2 - 6h + 9 + k^2 + 4k + 4 = h^2 + 4h + 4 + k^2$
$-6h + 4k + 13 = 4h + 4$
$10h - 4k = 9$ --- $(1)$
केंद्र $(h, k)$ रेखा $2x - y = 3$ पर स्थित है,इसलिए:
$2h - k = 3$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $4$ से गुणा करने पर,$8h - 4k = 12$ प्राप्त होता है। समीकरण $(1)$ से घटाने पर:
$(10h - 4k) - (8h - 4k) = 9 - 12$
$2h = -3 \Rightarrow h = -\frac{3}{2}$
$h$ का मान $(2)$ में रखने पर:
$2(-\frac{3}{2}) - k = 3 \Rightarrow -3 - k = 3 \Rightarrow k = -6$
केंद्र $(-\frac{3}{2}, -6)$ है। त्रिज्या का वर्ग $r^2$:
$r^2 = (-\frac{3}{2} + 2)^2 + (-6 - 0)^2 = (\frac{1}{2})^2 + 36 = \frac{1}{4} + 36 = \frac{145}{4}$
समीकरण $(x + \frac{3}{2})^2 + (y + 6)^2 = \frac{145}{4}$ होगा।
$x^2 + 3x + \frac{9}{4} + y^2 + 12y + 36 = \frac{145}{4}$
$x^2 + y^2 + 3x + 12y + 2 = 0$.

(A) द्वितीय-कोटि वक्र का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ द्वारा दिया जाता है।
इस समीकरण के एक वृत्त को निरूपित करने के लिए,दो शर्तों को पूरा किया जाना चाहिए:
$1$. $x^2$ का गुणांक $y^2$ के गुणांक के बराबर होना चाहिए,जिसका अर्थ है $a = b$।
$2$. $xy$ पद का गुणांक शून्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है $h = 0$।
दिए गए समीकरण $ax^2 + 2hxy + 3y^2 + 4x + 8y - 6 = 0$ के लिए,हम गुणांकों की तुलना सामान्य रूप से करते हैं।
यहाँ,$b = 3$ है।
इसलिए,समीकरण के एक वृत्त को निरूपित करने के लिए,$a = 3$ और $h = 0$ होना चाहिए।

(B) माना बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x - \alpha}{\cos \theta} = \frac{y - \beta}{\sin \theta} = k$ है,जहाँ $k$ रेखा पर किसी बिंदु $(x, y)$ की बिंदु $P(\alpha, \beta)$ से दूरी है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(\alpha + k \cos \theta, \beta + k \sin \theta)$ के रूप में होता है।
चूँकि यह बिंदु वृत्त $x^2 + y^2 = r^2$ पर स्थित है,इसलिए:
$(\alpha + k \cos \theta)^2 + (\beta + k \sin \theta)^2 = r^2$
$k^2 + 2k(\alpha \cos \theta + \beta \sin \theta) + (\alpha^2 + \beta^2 - r^2) = 0$
यह $k$ में एक द्विघात समीकरण है। इसके मूल $k_1$ और $k_2$ दूरियों $PA$ और $PB$ को दर्शाते हैं।
मूलों का गुणनफल $k_1 k_2 = PA \cdot PB = \alpha^2 + \beta^2 - r^2$ होगा।

(B) वृत्त के दिए गए प्राचलिक समीकरण:
$x = -1 + 2\cos \theta \Rightarrow \frac{x + 1}{2} = \cos \theta$
$y = 3 + 2\sin \theta \Rightarrow \frac{y - 3}{2} = \sin \theta$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{x + 1}{2}\right)^2 + \left(\frac{y - 3}{2}\right)^2 = 1$
$(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 2^2$
इसे वृत्त के मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ से तुलना करने पर,जहाँ $(h, k)$ केंद्र है:
यहाँ,$h = -1$ और $k = 3$ है।
अतः,वृत्त का केंद्र $(-1, 3)$ है।

(C) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
यह $(2, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $4 + 4g + c = 0$,जिसका अर्थ है $c = -4g - 4$.
$x$-अक्ष पर अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{g^2 - c} = 5$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$4(g^2 - c) = 25$.
$c = -4g - 4$ प्रतिस्थापित करने पर,$4(g^2 + 4g + 4) = 25$.
$4g^2 + 16g + 16 = 25 \Rightarrow 4g^2 + 16g - 9 = 0$.
$g$ के लिए हल करने पर,$(2g + 9)(2g - 1) = 0$,इसलिए $g = -\frac{9}{2}$ या $g = \frac{1}{2}$.
वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है। चूंकि केंद्र प्रथम चतुर्थांश में है,$-g > 0$,इसलिए $g < 0$.
अतः,हम $g = -\frac{9}{2}$ चुनते हैं।
तब $c = -4(-\frac{9}{2}) - 4 = 18 - 4 = 14$.
समीकरण $x^2 + y^2 - 9x + 2fy + 14 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त प्रथम चतुर्थांश में है और मूल बिंदु से $5$ की दूरी पर दोनों अक्षों को स्पर्श करता है।
अतः,वृत्त का केंद्र $(h, k) = (5, 5)$ और त्रिज्या $r = 5$ है।
वृत्त का मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
मान रखने पर,हमें $(x - 5)^2 + (y - 5)^2 = 5^2$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर,$(x^2 - 10x + 25) + (y^2 - 10y + 25) = 25$ मिलता है।
सरल करने पर,$x^2 + y^2 - 10x - 10y + 25 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) त्रिभुज $x = 0$,$y = 0$,और $2x + 3y = 5$ रेखाओं द्वारा बनता है।
त्रिभुज के शीर्ष हैं: $(0, 0)$,$(5/2, 0)$,और $(0, 5/3)$।
चूंकि वृत्त मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है,इसका समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0$ के रूप में होगा।
बिंदु $(5/2, 0)$ रखने पर,$g = -5/4$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(0, 5/3)$ रखने पर,$f = -5/6$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,$x^2 + y^2 - (5/2)x - (5/3)y = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $6$ से गुणा करने पर,$6(x^2 + y^2) - 5(3x + 2y) = 0$ प्राप्त होता है।

(C) वृत्त का केंद्र $(\alpha, \beta)$ है और यह मूल बिंदु $(0, 0)$ से होकर गुजरता है।
त्रिज्या $r$ केंद्र $(\alpha, \beta)$ और मूल बिंदु $(0, 0)$ के बीच की दूरी है:
$r = \sqrt{(\alpha - 0)^2 + (\beta - 0)^2} = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2}$.
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
$h = \alpha$,$k = \beta$,और $r^2 = \alpha^2 + \beta^2$ रखने पर:
$(x - \alpha)^2 + (y - \beta)^2 = \alpha^2 + \beta^2$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$x^2 - 2\alpha x + \alpha^2 + y^2 - 2\beta y + \beta^2 = \alpha^2 + \beta^2$
समीकरण को सरल करने पर:
$x^2 + y^2 - 2\alpha x - 2\beta y = 0$.

(D) दिया गया समीकरण $2x^2 + 2y^2 + 4x + 8y + 15 = 0$ है।
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$x^2 + y^2 + 2x + 4y + \frac{15}{2} = 0$.
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(x^2 + 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) + \frac{15}{2} - 1 - 4 = 0$.
$(x + 1)^2 + (y + 2)^2 + \frac{5}{2} = 0$.
$(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = -\frac{5}{2}$.
चूंकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग ऋणात्मक नहीं हो सकता है,इसलिए यह समीकरण किसी वास्तविक बिंदु-पथ को नहीं दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) वृत्त का केंद्र व्यास $2x + 3y = 3$ और $16x - y = 4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
दूसरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर,हमें $48x - 3y = 12$ प्राप्त होता है।
पहले समीकरण में जोड़ने पर: $(2x + 3y) + (48x - 3y) = 3 + 12$ $\Rightarrow 50x = 15$ $\Rightarrow x = \frac{3}{10}$.
$x = \frac{3}{10}$ को $16x - y = 4$ में रखने पर: $16(\frac{3}{10}) - y = 4$ $\Rightarrow \frac{48}{10} - 4 = y$ $\Rightarrow y = \frac{4}{5}$.
अतः केंद्र $(\frac{3}{10}, \frac{4}{5})$ है।
वृत्त $(4, 6)$ से गुजरता है,इसलिए त्रिज्या का वर्ग $r^2$ केंद्र से $(4, 6)$ तक की दूरी का वर्ग है:
$r^2 = (4 - \frac{3}{10})^2 + (6 - \frac{4}{5})^2 = \frac{4073}{100}$.
समीकरण $(x - \frac{3}{10})^2 + (y - \frac{4}{5})^2 = \frac{4073}{100}$ है।
इसे विस्तारित करने पर: $5(x^2 + y^2) - 3x - 8y = 200$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $(x - 1)(x - 3) + (y - 2)(y - 4) = 0$ है।
यह $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ के रूप में है,जो व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त को दर्शाता है।
यहाँ,व्यास के अंत बिंदु $(1, 2)$ और $(3, 4)$ हैं।
व्यास की लंबाई $d = \sqrt{(3 - 1)^2 + (4 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ है।
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$ है।

(A) वृत्त का केंद्र $3x - y - 4 = 0$ और $x + 3y + 2 = 0$ रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
इन समीकरणों को हल करने पर: $y = 3x - 4$. दूसरे समीकरण में रखने पर: $x + 3(3x - 4) + 2 = 0$ $\Rightarrow 10x = 10$ $\Rightarrow x = 1$.
अतः $y = -1$. केंद्र $(1, -1)$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2 = 154$ है। $\pi = \frac{22}{7}$ लेने पर,$r^2 = 49 \Rightarrow r = 7$.
वृत्त का समीकरण $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 49$ होगा।
इसे सरल करने पर $x^2 + y^2 - 2x + 2y - 47 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 - 8x + 4y + 4 = 0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाकर समीकरण को फिर से लिखने पर:
$(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 16$
$(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 4^2$।
वृत्त का मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है,जहाँ $(h, k)$ केंद्र है और $r$ त्रिज्या है।
तुलना करने पर,केंद्र $(h, k) = (4, -2)$ और त्रिज्या $r = 4$ प्राप्त होती है।
एक वृत्त $x$-अक्ष को स्पर्श करता है यदि $|k| = r$ और $y$-अक्ष को स्पर्श करता है यदि $|h| = r$ हो।
यहाँ,$|h| = |4| = 4 = r$,इसलिए वृत्त $y$-अक्ष को स्पर्श करता है।
साथ ही,$|k| = |-2| = 2 \neq r$,इसलिए यह $x$-अक्ष को स्पर्श नहीं करता है।
अतः,वृत्त केवल $y$-अक्ष को स्पर्श करता है।

(B) वृत्त की त्रिज्या केंद्र $(1, 2)$ से स्पर्शरेखा रेखा $x + y - 5 = 0$ की लंबवत दूरी है।
$r = \frac{|1 + 2 - 5|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
केंद्र $(h, k) = (1, 2)$ और त्रिज्या $r = \sqrt{2}$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ द्वारा दिया जाता है।
$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = (\sqrt{2})^2$
$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) = 2$
$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 2$
$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 3 = 0$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) चूंकि वृत्त तीसरे चतुर्थांश में निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $(-r, -r)$ होना चाहिए,जहाँ $r$ त्रिज्या है।
दी गई त्रिज्या $r = 5$ है,इसलिए वृत्त का केंद्र $(-5, -5)$ है।
केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
$h = -5$,$k = -5$,और $r = 5$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x - (-5))^2 + (y - (-5))^2 = 5^2$
$(x + 5)^2 + (y + 5)^2 = 25$.

(D) दिया गया वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 3x - 4y + 2 = 0$ है।
चूंकि वृत्त $x$-अक्ष को काटता है,इसलिए इन बिंदुओं पर $y$-निर्देशांक $0$ होगा।
समीकरण में $y = 0$ रखने पर:
$x^2 + 0^2 - 3x - 4(0) + 2 = 0$
$x^2 - 3x + 2 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x - 1)(x - 2) = 0$
अतः,$x = 1$ या $x = 2$ है।
इसलिए,प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 0)$ और $(2, 0)$ हैं।

(D) वृत्त का सामान्य समीकरण ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
इस वृत्त की त्रिज्या का सूत्र $r = \sqrt{{g^2} + {f^2} - c}$ है।
दिया गया है कि ${g^2} + {f^2} = c$,इसलिए हम इसे त्रिज्या के सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$r = \sqrt{c - c} = \sqrt{0} = 0$.
अतः,यह समीकरण $0$ त्रिज्या वाला वृत्त निरूपित करता है,जिसे बिंदु वृत्त भी कहा जाता है।

(A) दिए गए समीकरण $x^2 - 8x + 12 = 0$ और $y^2 - 14y + 45 = 0$ हैं।
$x^2 - 8x + 12 = 0$ को हल करने पर,हमें $(x - 2)(x - 6) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x = 2$ और $x = 6$ है।
$y^2 - 14y + 45 = 0$ को हल करने पर,हमें $(y - 5)(y - 9) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $y = 5$ और $y = 9$ है।
वर्ग बनाने वाली रेखाएँ $x = 2, x = 6, y = 5$ और $y = 9$ हैं।
अंतर्निहित वृत्त का केंद्र वर्ग का मध्यबिंदु होता है,जो विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
केंद्र $(\frac{2 + 6}{2}, \frac{5 + 9}{2}) = (\frac{8}{2}, \frac{14}{2}) = (4, 7)$ द्वारा प्राप्त होता है।

(B) माना वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूँकि वृत्त $(0, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $c = 0$ है।
$(1, 3)$ से गुजरने पर: $1^2 + 3^2 + 2g(1) + 2f(3) = 0$ $\Rightarrow 10 + 2g + 6f = 0$ $\Rightarrow g + 3f = -5$ (समीकरण $1$)।
$(2, 4)$ से गुजरने पर: $2^2 + 4^2 + 2g(2) + 2f(4) = 0$ $\Rightarrow 20 + 4g + 8f = 0$ $\Rightarrow g + 2f = -5$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $1$ में से समीकरण $2$ घटाने पर: $f = 0$ प्राप्त होता है।
$f = 0$ को समीकरण $2$ में रखने पर: $g = -5$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 10x = 0$ है।
बिंदु $(k, 3)$ वृत्त पर स्थित है,अतः: $k^2 + 3^2 - 10(k) = 0 \Rightarrow k^2 - 10k + 9 = 0$।
गुणनखंड करने पर: $(k - 1)(k - 9) = 0$।
अतः,$k = 1$ या $k = 9$। विकल्पों के अनुसार,$k = 1$ सही उत्तर है।

(B) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
चूंकि यह $(0, 0)$ से गुजरता है,हमें $c = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह $(2, 0)$ से गुजरता है,हमें $4 + 4g = 0 \Rightarrow g = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह $(0, -2)$ से गुजरता है,हमें $4 - 4f = 0 \Rightarrow f = 1$ प्राप्त होता है।
वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 2x + 2y = 0$ है।
बिंदु $(k, -2)$ के वृत्त पर होने के लिए,इसे समीकरण को संतुष्ट करना होगा:
$k^2 + (-2)^2 - 2(k) + 2(-2) = 0$
$k^2 + 4 - 2k - 4 = 0$
$k^2 - 2k = 0$
$k(k - 2) = 0$
अतः,$k = 0$ या $k = 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु भिन्न होने चाहिए,$(k, -2)$ बिंदु $(0, -2)$ नहीं हो सकता,इसलिए $k \neq 0$ है।
अतः,$k = 2$।

(C) वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - 12x + 1 = 0$ है।
यह जांचने के लिए कि कोई बिंदु $(x, y)$ वृत्त पर स्थित है या नहीं,हम निर्देशांकों को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और देखते हैं कि परिणाम $0$ आता है या नहीं।
बिंदु $(6, -\sqrt{35})$ के लिए:
$6^2 + (-\sqrt{35})^2 - 12(6) + 1 = 36 + 35 - 72 + 1 = 72 - 72 = 0$।
अतः,$(6, -\sqrt{35})$ वृत्त पर स्थित है।
बिंदु $(3, -\sqrt{26})$ के लिए:
$3^2 + (-\sqrt{26})^2 - 12(3) + 1 = 9 + 26 - 36 + 1 = 36 - 36 = 0$।
अतः,$(3, -\sqrt{26})$ वृत्त पर स्थित है।
इस प्रकार,वृत्त बिंदुओं के युग्म $(6, -\sqrt{35})$ और $(3, -\sqrt{26})$ से होकर गुजरता है।

(D) वृत्त का केंद्र उसके व्यासों $x + y = 6$ और $x + 2y = 4$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाने पर: $(x + 2y) - (x + y) = 4 - 6 \implies y = -2$ प्राप्त होता है।
$y = -2$ को $x + y = 6$ में रखने पर,हमें $x - 2 = 6 \implies x = 8$ मिलता है।
अतः,वृत्त का केंद्र $(8, -2)$ है।
वृत्त बिंदु $(6, 2)$ से होकर गुजरता है।
त्रिज्या $r$,केंद्र $(8, -2)$ और बिंदु $(6, 2)$ के बीच की दूरी है।
$r = \sqrt{(6 - 8)^2 + (2 - (-2))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}$.

(D) वृत्त का केंद्र उसके व्यासों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है। समीकरणों को हल करने पर:
$2x + 3y = -1$ $(i)$
$3x - y = 4$ (ii)
(ii) को $3$ से गुणा करने पर: $9x - 3y = 12$ (iii)
$(i)$ और (iii) को जोड़ने पर: $11x = 11 \Rightarrow x = 1$.
$x = 1$ को (ii) में रखने पर: $3(1) - y = 4 \Rightarrow y = -1$.
अतः,केंद्र $(h, k) = (1, -1)$ है।
परिधि $2\pi r = 10\pi$ दी गई है,जिससे त्रिज्या $r = 5$ प्राप्त होती है।
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ के अनुसार:
$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 5^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 25$
$x^2 + y^2 - 2x + 2y - 23 = 0$.

(D) चूंकि वृत्त दोनों निर्देशांक अक्षों को स्पर्श करता है,इसलिए इसका केंद्र $(g, g)$ है और त्रिज्या $|g|$ है। वृत्त का समीकरण $(x-g)^2 + (y-g)^2 = g^2$ है,जो सरल होकर $x^2 + y^2 - 2gx - 2gy + g^2 = 0$ हो जाता है।
यह वृत्त रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha - 2 = 0$ को स्पर्श करता है। केंद्र $(g, g)$ से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या $|g|$ के बराबर होनी चाहिए।
अतः,$\frac{|g \cos \alpha + g \sin \alpha - 2|}{\sqrt{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha}} = |g|$.
चूंकि $\sqrt{\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha} = 1$,इसलिए $|g(\cos \alpha + \sin \alpha) - 2| = |g|$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं: $g(\cos \alpha + \sin \alpha) - 2 = g$ या $g(\cos \alpha + \sin \alpha) - 2 = -g$.
स्थिति $1$: $g(\cos \alpha + \sin \alpha - 1) = 2 \implies g = \frac{2}{\cos \alpha + \sin \alpha - 1}$.
स्थिति $2$: $g(\cos \alpha + \sin \alpha + 1) = 2 \implies g = \frac{2}{\cos \alpha + \sin \alpha + 1}$.
केंद्र $(g, g)$ के लिए विभिन्न चतुर्थांशों पर विचार करके,हम गुणांकों के लिए विभिन्न चिह्न प्राप्त कर सकते हैं,जो सभी दिए गए रूपों की ओर ले जाते हैं। अतः,सभी विकल्प सही हैं।

(C) वृत्त का केंद्र $(h, k) = (2, 1)$ है।
त्रिज्या $r$,केंद्र $(2, 1)$ से रेखा $3x + 4y - 5 = 0$ की लंबवत दूरी है।
सूत्र $r = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ का उपयोग करने पर:
$r = \frac{|3(2) + 4(1) - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|6 + 4 - 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{5}{5} = 1$.
वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
मान रखने पर: $(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1^2$.
विस्तार करने पर: $(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 1$.
$x^2 + y^2 - 4x - 2y + 5 = 1$.
$x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0$.

(B) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = 2 + 3\cos \theta$ और $y = 3\sin \theta - 1$ हैं।
त्रिकोणमितीय पदों को अलग करने के लिए समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$x - 2 = 3\cos \theta \implies \cos \theta = \frac{x - 2}{3}$
$y + 1 = 3\sin \theta \implies \sin \theta = \frac{y + 1}{3}$
सर्वसमिका $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ का उपयोग करके,हम मान प्रतिस्थापित करते हैं:
$(\frac{y + 1}{3})^2 + (\frac{x - 2}{3})^2 = 1$
$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 3^2$
यह वृत्त के समीकरण का मानक रूप $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ है,जहाँ $(h, k)$ केंद्र है।
समीकरणों की तुलना करने पर,केंद्र $(h, k) = (2, -1)$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 + 4x + 6y + 13 = 0$ है।
इसे सामान्य रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $2g = 4 \implies g = 2$,$2f = 6 \implies f = 3$,और $c = 13$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r$ का सूत्र $\sqrt{g^2 + f^2 - c}$ है।
मान रखने पर,$r = \sqrt{2^2 + 3^2 - 13} = \sqrt{4 + 9 - 13} = \sqrt{0} = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,त्रिज्या $0$ है।

(A) यहाँ $x_1$ और $x_2$ समीकरण $x^2 + 2x - 3 = 0$ के मूल हैं।
मूलों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -2$ है।
केंद्र का $x$-निर्देशांक $\frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-2}{2} = -1$ होगा।
यहाँ $y_1$ और $y_2$ समीकरण $y^2 + 4y - 12 = 0$ के मूल हैं।
मूलों के योग के सूत्र का उपयोग करते हुए,$y_1 + y_2 = -\frac{b}{a} = -4$ है।
केंद्र का $y$-निर्देशांक $\frac{y_1 + y_2}{2} = \frac{-4}{2} = -2$ होगा।
अतः,$PQ$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त का केंद्र $(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}) = (-1, -2)$ है।

(D) वृत्त का सामान्य समीकरण $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ है।
बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने पर $c = 0$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(1, 0)$ से गुजरने पर $1 + 2g = 0 \Rightarrow g = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
बिंदु $(0, 1)$ से गुजरने पर $1 + 2f = 0 \Rightarrow f = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 - x - y = 0$ है।
बिंदु $(2k, 3k)$ वृत्त पर स्थित है,इसलिए: $(2k)^2 + (3k)^2 - (2k) - (3k) = 0 \Rightarrow 13k^2 - 5k = 0$.
इससे $k = 0$ या $k = \frac{5}{13}$ प्राप्त होता है।

(B) माना वृत्त का समीकरण $S(x, y) = x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0$ है।
बिंदु $P(0, 0)$ के लिए: $S(0, 0) = 0^2 + 0^2 - 6(0) + 8(0) - 11 = -11$.
चूंकि $S(0, 0) < 0$,बिंदु $P(0, 0)$ वृत्त के अंदर स्थित है।
बिंदु $Q(1, 8)$ के लिए: $S(1, 8) = 1^2 + 8^2 - 6(1) + 8(8) - 11 = 1 + 64 - 6 + 64 - 11 = 112$.
चूंकि $S(1, 8) > 0$,बिंदु $Q(1, 8)$ वृत्त के बाहर स्थित है।
अतः,एक बिंदु अंदर और एक बिंदु वृत्त के बाहर स्थित है।

(C) वृत्त का समीकरण ${x^2} + {y^2} - 2x - 4y + \lambda = 0$ है।
इसे सामान्य समीकरण ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $g = -1$,$f = -2$ और $c = \lambda$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (1, 2)$ है।
किसी बिंदु से वृत्त पर अनंत स्पर्श रेखाएँ खींचने के लिए,बिंदु को वृत्त पर स्थित होना चाहिए और वृत्त को एक बिंदु वृत्त (त्रिज्या $= 0$) होना चाहिए।
चूँकि केंद्र $(1, 2)$ है,त्रिज्या $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 - \lambda} = \sqrt{1 + 4 - \lambda} = \sqrt{5 - \lambda}$ है।
त्रिज्या को $0$ रखने पर,$\sqrt{5 - \lambda} = 0$,जिसका अर्थ है $5 - \lambda = 0$,अतः $\lambda = 5$।

(C) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2 + y^2 + 2x + 2y + 1 = 0$ है।
इसे व्यापक रूप $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ से तुलना करने पर,हमें $g = 1$,$f = 1$ और $c = 1$ प्राप्त होता है।
निर्देशांक अक्षों के साथ संपर्क बिंदु $(-g, 0)$ और $(0, -f)$ द्वारा दिए जाते हैं।
मान रखने पर,हमें $(-1, 0)$ और $(0, -1)$ प्राप्त होते हैं।

(D) समबाहु त्रिभुज के लिए,केंद्रक और परिकेंद्र एक ही बिंदु होते हैं।
दिया गया है कि मूलबिंदु $(0, 0)$ वृत्त का केंद्र है जो शीर्षों से गुजरता है,अतः यह त्रिभुज का परिकेंद्र है।
केंद्रक माध्यिका को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
माध्यिका की लंबाई $3a$ है,इसलिए केंद्रक से शीर्ष तक की दूरी (जो परिवृत्त की त्रिज्या $R$ है) $R = \frac{2}{3} \times 3a = 2a$ होगी।
केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $R = 2a$ वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = (2a)^2 = 4a^2$ है।
चूंकि दिए गए विकल्पों में $4a^2$ नहीं है,इसलिए सही उत्तर $(d)$ है।

(A) माना $A$ के निर्देशांक $(x_1, y_1)$ और $B$ के निर्देशांक $(x_2, y_2)$ हैं।
दिए गए समीकरणों से,भुज के लिए $x_1 + x_2 = -2a$ और $x_1x_2 = -b^2$ है।
इसी प्रकार,कोटि के लिए $y_1 + y_2 = -2p$ और $y_1y_2 = -q^2$ है।
$AB$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
इसका विस्तार करने पर,$x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 + y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1y_2 = 0$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$x^2 - (-2a)x + (-b^2) + y^2 - (-2p)y + (-q^2) = 0$ मिलता है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^2 + y^2 + 2ax + 2py - b^2 - q^2 = 0$ है।

(B) चूंकि वृत्त पर किसी भी बिंदु पर अभिलंब हमेशा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है,इसलिए बिंदुओं $(3, 4)$ और $(-1, -2)$ को जोड़ने वाला रेखाखंड वृत्त का व्यास है।
व्यास के अंत बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
दिए गए बिंदुओं $(3, 4)$ और $(-1, -2)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - 3)(x + 1) + (y - 4)(y + 2) = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$(x^2 + x - 3x - 3) + (y^2 + 2y - 4y - 8) = 0$
समीकरण को सरल करने पर:
$x^2 + y^2 - 2x - 2y - 11 = 0$

(A) वृत्त के दिए गए प्राचलिक समीकरण:
$x = -7 + 4 \cos \theta$
$y = 3 + 4 \sin \theta$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x + 7 = 4 \cos \theta$
$y - 3 = 4 \sin \theta$
दोनों पक्षों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(x + 7)^2 + (y - 3)^2 = (4 \cos \theta)^2 + (4 \sin \theta)^2$
$(x + 7)^2 + (y - 3)^2 = 16 \cos^2 \theta + 16 \sin^2 \theta$
$(x + 7)^2 + (y - 3)^2 = 16(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,इसलिए:
$(x + 7)^2 + (y - 3)^2 = 16$

(A) केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का मानक समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ होता है।
यहाँ केंद्र $(h, k) = (3, 5)$ और त्रिज्या $r = 4$ दी गई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$(x - 3)^2 + (y - 5)^2 = 4^2$
वर्गों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 10y + 25) = 16$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x^2 + y^2 - 6x - 10y + 9 + 25 - 16 = 0$
$x^2 + y^2 - 6x - 10y + 18 = 0$

(A) व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
दिए गए बिंदुओं $(1, 2)$ और $(3, 4)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - 1)(x - 3) + (y - 2)(y - 4) = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 4x + 3) + (y^2 - 6y + 8) = 0$
$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 11 = 0$.

(B) $x$-अक्ष को स्पर्श करने वाले और $(h, k)$ केंद्र वाले वृत्त का समीकरण $(x - h)^2 + (y - k)^2 = k^2$ है।
चूंकि वृत्त बिंदु $(-1, 1)$ से गुजरता है,इसलिए $(-1 - h)^2 + (1 - k)^2 = k^2$ होगा।
इसका विस्तार करने पर,$(h + 1)^2 + 1 - 2k + k^2 = k^2$,जो सरल होकर $h^2 + 2h + 2 - 2k = 0$ हो जाता है।
यह $h$ में एक द्विघात समीकरण है: $h^2 + 2h + (2 - 2k) = 0$।
$h$ के वास्तविक मान के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(2 - 2k) \geq 0$।
$4 - 8 + 8k \geq 0$।
$8k - 4 \geq 0$।
$8k \geq 4$।
$k \geq 1/2$।

(C) माना कि वृत्त $x$-अक्ष को $A$ पर और $y$-अक्ष को $B$ पर काटता है।
चूँकि वृत्त मूल बिंदु $O(0,0)$ से गुजरता है और दोनों अक्षों पर $5$ लंबाई के अंतःखंड काटता है,इसलिए बिंदु $A(5,0)$ और $B(0,5)$ हैं।
$\angle AOB = 90^{\circ}$ होने के कारण,रेखाखंड $AB$ वृत्त का व्यास है।
व्यास के अंतिम बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ वाले वृत्त का समीकरण $(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$ होता है।
बिंदुओं $(5,0)$ और $(0,5)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x - 5)(x - 0) + (y - 0)(y - 5) = 0$
$x(x - 5) + y(y - 5) = 0$
$x^2 - 5x + y^2 - 5y = 0$
$x^2 + y^2 - 5x - 5y = 0$.

(C) वृत्त की त्रिज्या $r$,केंद्र $(0, 0)$ से रेखा $5x + 12y - 1 = 0$ की लंबवत दूरी है।
$r = \frac{|5(0) + 12(0) - 1|}{\sqrt{5^2 + 12^2}} = \frac{|-1|}{\sqrt{25 + 144}} = \frac{1}{\sqrt{169}} = \frac{1}{13}$.
केंद्र $(0, 0)$ और त्रिज्या $r$ वाले वृत्त का समीकरण $x^2 + y^2 = r^2$ होता है।
$r = \frac{1}{13}$ रखने पर,हमें $x^2 + y^2 = (\frac{1}{13})^2 = \frac{1}{169}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $169$ से गुणा करने पर,$169(x^2 + y^2) = 1$ प्राप्त होता है।

(D) वृत्त का केंद्र व्यास $2x - 3y = 5$ और $3x - 4y = 7$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
समीकरणों को हल करने पर: $2x - 3y = 5$ ($3$ से गुणा करने पर) $\Rightarrow 6x - 9y = 15$ और $3x - 4y = 7$ ($2$ से गुणा करने पर) $\Rightarrow 6x - 8y = 14$.
घटाने पर: $(6x - 8y) - (6x - 9y) = 14 - 15 \Rightarrow y = -1$.
$y = -1$ को $2x - 3(-1) = 5$ में रखने पर: $2x + 3 = 5 \Rightarrow x = 1$.
अतः,केंद्र $(h, k) = (1, -1)$.
दिया गया क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = 154$. $\pi \approx \frac{22}{7}$ लेने पर,$\frac{22}{7} r^2 = 154 \Rightarrow r^2 = 154 \times \frac{7}{22} = 49$.
अतः,$r = 7$.
वृत्त का समीकरण: $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 49$.
$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 2y + 1 = 49$.
$x^2 + y^2 - 2x + 2y = 47$.