यदि $OA$ तथा $OB$ मूल बिन्दु $O$ से वृत्त ${x^2} + {y^2} - 6x - 8y + 21 = 0$ पर खींची गयी रेखाएँ हों तो $AB =$

बिन्दु $(5, 1)$ से वृत्त ${x^2} + {y^2} + 6x - 4y - 3 = 0$ पर खींची गयी स्पर्श रेखा की लम्बाई होगी

माना कि $S$ एक वृत्त (circle) है जो $x y$-समतल (plane) में समीकरण (equation) $x^2+y^2=4$ के द्वारा परिभाषित है।

($1$) माना कि $E_1 E_2$ और $F_1 F_2$ वृत्त $S$ की ऐसी जीवायें (chords) हैं जो बिंदु $P_0(1,1)$ से गुजरती हैं और क्रमश: $x$-अक्ष (axis) व $y$-अक्ष के समान्तर (parallel) हैं। माना कि $G_1 G_2, S$ की वह जीवा है जो $P_0$ से गुजरती है और जिसकी प्रवणता (slope) -$1$ है। माना कि $E_1$ और $E_2$ पर $S$ की स्पर्शियाँ (tangents) $E_3$ पर मिलती हैं, $F_1$ और $F_2$ पर $S$ की स्पर्शियाँ $F_3$ पर मिलती हैं, तथा $G_1$ और $G_2$ पर $S$ की स्पर्शियाँ $G_3$ पर मिलती हैं। तब वह वक्र (curve) जिस पर बिंदु $E_3, F_3$ और $G_3$ स्थित हैं, है

$(A)$ $x+y=4$ $(B)$ $(x-4)^2+(y-4)^2=16$ $(C)$ $(x-4)(y-4)=4$ $(D)$ $x y=4$

($2$) माना कि $P$ वृत्त $S$ पर स्थित एक ऐसा बिंदु है जिसके दोनों निर्देशांक (coordinates) धनात्मक (positive) हैं। माना कि वृत्त $S$ के बिंदु $P$ पर स्पर्शी (tangent) निर्देशांक अक्षों (coordinate axes) को बिन्दुओं $M$ और $N$ पर प्रतिच्छेद (intersects) करती है। तब वह वक्र (curve) जिस पर रेखाखंड (line segement) $M N$ का मध्य बिंदु (mid-point) अनिवार्य रूप से स्थित है, है

$(A)$ $(x+y)^2=3 x y$ $(B)$ $x^{2 / 3}+y^{2 / 3}=2^{4 / 3}$ $(C)$ $x^2+y^2=2 x y$ $(D)$ $x^2+y^2=x^2 y^2$

इस प्रश्न के उतर दीजिये $1$ ओर $2.$

यदि वृत्त ${x^2} + {y^2} + 2gx + 2fy = 0$ के द्वारा अक्षों से काटी गयी जीवाओं की लम्बाइयाँ क्रमश: $10$ तथा $24$ हों, तो वृत्त की त्रिज्या है

माना वृत्त $( x -2)^2+( y +1)^2=\frac{169}{4}$ की एक जीवा $AB$ की लम्बाई 12 है। यदि $A$ तथा $B$ पर खींची गई वृत्त की स्पर्श रेखाएँ बिन्दु $P$ पर मिलती हैं, तो बिन्दु $P$ की जीवा $AB$ से दूरी का पाँच गुना बराबर है $........$.

वृत्त ${x^2} + {y^2} = {a^2}$ के बिन्दु $(h,h)$ पर स्पषी की प्रवणता होगी