TS EAMCET 2023 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) प्रकृति में चार मूलभूत बलों की सापेक्ष शक्ति इस प्रकार है:
$1$. प्रबल नाभिकीय बल: सापेक्ष शक्ति = $1$
$2$. विद्युतचुंबकीय बल: सापेक्ष शक्ति = $10^{-2}$
$3$. दुर्बल नाभिकीय बल: सापेक्ष शक्ति = $10^{-13}$
$4$. गुरुत्वाकर्षण बल: सापेक्ष शक्ति = $10^{-39}$
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर:
$(A)$ प्रबल नाभिकीय बल $(f)$ $1$ के साथ मेल खाता है।
$(B)$ दुर्बल नाभिकीय बल $(h)$ $10^{-13}$ के साथ मेल खाता है।
$(C)$ विद्युतचुंबकीय बल $(e)$ $10^{-2}$ के साथ मेल खाता है।
$(D)$ गुरुत्वाकर्षण बल $(i)$ $10^{-39}$ के साथ मेल खाता है।
अतः,सही मिलान $A-f, B-h, C-e, D-i$ है।

(C) अनुप्रस्थ तरंगों को संचरित होने के लिए ऐसे माध्यम की आवश्यकता होती है जिसमें कर्तन मापांक (shear modulus) हो,यही कारण है कि वे ठोस पदार्थों में और तरल पदार्थों की सतह पर संचरित हो सकती हैं। वे गैसों या तरल पदार्थों के भीतर संचरित नहीं हो सकतीं। अनुदैर्ध्य तरंगें पदार्थ की सभी अवस्थाओं (ठोस,तरल और गैस) में संचरित हो सकती हैं लेकिन निर्वात में संचरित नहीं हो सकतीं। इसलिए,यह कथन कि अनुप्रस्थ तरंगें ठोस पदार्थों में संचरित हो सकती हैं,सही है।

(A) दिया गया है: ट्यूनिंग फोर्क $A$ की आवृत्ति $(f_A)$ = $250 \,Hz$। ट्यूनिंग फोर्क $B$ की आवृत्ति $(f_B)$ = $x \,Hz$।
प्रारंभ में, बीट आवृत्ति $5 \,Hz$ है, इसलिए $|f_A - f_B| = 5$।
इसका अर्थ है $250 - x = 5$ या $x - 250 = 5$, जिससे $x = 245 \,Hz$ या $x = 255 \,Hz$ प्राप्त होता है।
जब ट्यूनिंग फोर्क $B$ पर मोम लगाया जाता है, तो इसकी आवृत्ति कम हो जाती है $(f_B' < f_B)$।
मोम लगाने के बाद, नई बीट आवृत्ति $3 \,Hz$ है।
यदि $x = 255 \,Hz$ है, तो $f_B$ घटकर $250 \,Hz$ के करीब आता है, जिससे बीट आवृत्ति $5$ से घटकर $3$ हो जाती है। अतः, $x = 255 \,Hz$ सही उत्तर है।

(A) मान लीजिए ध्वनि की चाल $v$ है। प्रेक्षक स्थिर स्रोत की ओर $v_0 = \frac{v}{5}$ की चाल से गति करता है।
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब कोई प्रेक्षक स्थिर स्रोत की ओर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $f'$ इस प्रकार दी जाती है:
$f' = f \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f' = f \left( \frac{v + \frac{v}{5}}{v} \right)$
$f' = f \left( \frac{\frac{6v}{5}}{v} \right)$
$f' = f \left( \frac{6}{5} \right) = 1.2 f$
अतः,प्रेक्षक द्वारा दर्ज की गई आभासी आवृत्ति $1.2 f$ है।

(D) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,प्रेक्षित आवृत्ति $f^{\prime}$ का सूत्र $f^{\prime} = f_0 \left( \frac{v + v_0}{v - v_s} \right)$ है।
यहाँ,$v$ ध्वनि की चाल है,$v_0$ प्रेक्षक की चाल है,और $v_s$ स्रोत की चाल है।
दिया गया है कि स्रोत स्थिर है,इसलिए $v_s = 0$ है।
प्रेक्षक स्रोत की ओर $v_0 = \frac{v}{5}$ की चाल से गति करता है।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $f^{\prime} = f_0 \left( \frac{v + v/5}{v} \right) = f_0 \left( \frac{6v/5}{v} \right) = 1.2 f_0$ प्राप्त होता है।
आवृत्ति में भिन्नात्मक वृद्धि $\frac{f^{\prime} - f_0}{f_0} = \frac{1.2 f_0 - f_0}{f_0} = 0.2$ है।
इसे प्रतिशत में व्यक्त करने पर: $0.2 \times 100 \% = 20 \%$।

(B) डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार, जब स्रोत और प्रेक्षक एक-दूसरे से दूर जा रहे हों:
$f' = f_0 \left( \frac{v - v_o}{v + v_s} \right)$
यहाँ, प्रेक्षित आवृत्ति $f' = 1980 \,Hz$ है।
हवा में ध्वनि की गति $v = 340 \,ms^{-1}$ है।
प्रेक्षक का वेग $v_o = 10 \,ms^{-1}$ (दूर जा रहा है, इसलिए अंश में ऋणात्मक चिह्न)।
स्रोत का वेग $v_s = 10 \,ms^{-1}$ (दूर जा रहा है, इसलिए हर में धनात्मक चिह्न)।
मान रखने पर:
$1980 = f_0 \left( \frac{340 - 10}{340 + 10} \right)$
$1980 = f_0 \left( \frac{330}{350} \right)$
$f_0 = 1980 \times \frac{350}{330}$
$f_0 = 1980 \times \frac{35}{33}$
$f_0 = 60 \times 35 = 2100 \,Hz$.

(D) एक बंद ऑर्गन पाइप के लिए,$n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_c = \frac{nv}{4L_c}$ द्वारा दी जाती है। सातवें $(7^{th})$ हार्मोनिक के लिए,$n = 7$,इसलिए $f_c = \frac{7v}{4L_c}$।
एक खुले ऑर्गन पाइप के लिए,$n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति $f_o = \frac{nv}{2L_o}$ द्वारा दी जाती है। चौथे $(4^{th})$ हार्मोनिक के लिए,$n = 4$,इसलिए $f_o = \frac{4v}{2L_o}$।
यह दिया गया है कि दोनों आवृत्तियाँ एकसमान (unison) हैं,इसलिए $f_c = f_o$।
अतः,$\frac{7v}{4L_c} = \frac{4v}{2L_o}$।
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{7}{4L_c} = \frac{2}{L_o}$।
लंबाई का अनुपात ज्ञात करने पर: $\frac{L_c}{L_o} = \frac{7}{4 \times 2} = \frac{7}{8}$।

(C) तरंग का दिया गया समीकरण $y = 0.02 \sin(\pi x - 8 \pi t)$ है।
इसकी तुलना मानक तरंग समीकरण $y = A \sin(kx - \omega t)$ से करने पर:
यहाँ,कोणीय तरंग संख्या $k = \pi \ m^{-1}$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = 8 \pi \ rad/s$ है।
तरंग का वेग $v$ ज्ञात करने का सूत्र $v = \frac{\omega}{k}$ है।
मान रखने पर,हमें $v = \frac{8 \pi}{\pi} = 8 \ m/s$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई तरंग का समीकरण $y = 5 \times 10^{-3} \sin \left(12.5 \pi x - \frac{\pi}{2} t\right)$ है।
इसकी तुलना मानक तरंग समीकरण $y = A \sin(kx - \omega t)$ से करने पर:
तरंग संख्या $k = 12.5 \pi$ और कोणीय आवृत्ति $\omega = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होती है।
हम जानते हैं कि $k = \frac{2 \pi}{\lambda}$,इसलिए $\lambda = \frac{2 \pi}{k} = \frac{2 \pi}{12.5 \pi} = \frac{2}{12.5} = 0.16 \ m$.
इसी प्रकार,$\omega = \frac{2 \pi}{T}$,इसलिए $T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{\pi / 2} = 4 \ s$.
अतः,तरंगदैर्ध्य $0.16 \ m$ है और आवर्तकाल $4 \ s$ है।

(D) डोरी में अनुप्रस्थ तरंग की गति $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $T$ तनाव है और $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
डोरी के निचले सिरे पर, तनाव $T$ द्रव्यमान $M$ के भार द्वारा प्रदान किया जाता है। मान लीजिए डोरी का द्रव्यमान $m$ और लंबाई $L$ है। निचले सिरे पर तनाव $T = Mg$ है।
जब लिफ्ट $a_1 = 2.1 \,ms^{-2}$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है, तो प्रभावी त्वरण $g_{eff1} = g + a_1 = 10 + 2.1 = 12.1 \,ms^{-2}$ होता है। तनाव $T_1 = M(g + a_1)$ है।
तरंग की गति $v_1 = \sqrt{\frac{M(g+a_1)}{\mu}} = 88 \,ms^{-1}$ है।
जब लिफ्ट $a_2 = 1.9 \,ms^{-2}$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है, तो प्रभावी त्वरण $g_{eff2} = g - a_2 = 10 - 1.9 = 8.1 \,ms^{-2}$ होता है। तनाव $T_2 = M(g - a_2)$ है।
तरंग की गति $v_2 = \sqrt{\frac{M(g-a_2)}{\mu}}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{g-a_2}{g+a_1}} = \sqrt{\frac{8.1}{12.1}} = \sqrt{\frac{81}{121}} = \frac{9}{11}$.
इसलिए, $v_2 = v_1 \times \frac{9}{11} = 88 \times \frac{9}{11} = 8 \times 9 = 72 \,ms^{-1}$.

(D) दिया गया है: कोणीय गति $\omega = 40 \ rad \ s^{-1}$,त्रिज्या $r = 50 \ cm = 0.5 \ m$।
स्रोत की रैखिक गति $v_s = r \omega = 0.5 \times 40 = 20 \ m \ s^{-1}$ है।
अधिकतम आवृत्ति के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र (जब स्रोत प्रेक्षक की ओर बढ़ता है) $n_{\max} = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ है।
न्यूनतम आवृत्ति के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र (जब स्रोत प्रेक्षक से दूर जाता है) $n_{\min} = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ है।
अधिकतम और न्यूनतम आवृत्ति का अनुपात $\frac{n_{\max}}{n_{\min}} = \frac{v + v_s}{v - v_s}$ है।
मान $v = 340 \ m \ s^{-1}$ और $v_s = 20 \ m \ s^{-1}$ रखने पर:
$\frac{n_{\max}}{n_{\min}} = \frac{340 + 20}{340 - 20} = \frac{360}{320} = \frac{9}{8}$।
अतः,अनुपात $9: 8$ है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m_1 = 1 \,g$ और $m_2 = 4 \,g$। गतिज ऊर्जा समान है, $K_1 = K_2$.
हम जानते हैं कि गतिज ऊर्जा $K$ और रैखिक संवेग $p$ के बीच संबंध $K = \frac{p^2}{2m}$ है, जिसका अर्थ है $p = \sqrt{2mK}$.
चूंकि $K_1 = K_2$, संवेग का अनुपात $\frac{p_1}{p_2} = \frac{\sqrt{2m_1K_1}}{\sqrt{2m_2K_2}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
अतः, उनके रैखिक संवेग का अनुपात $1:2$ है।

(D) माना पहले टुकड़े का द्रव्यमान $m_1 = 4 \,kg$ है और उसका वेग $v_1$ है।
माना दूसरे टुकड़े का द्रव्यमान $m_2 = 12 \,kg$ है और उसका वेग $v_2 = 4 \,ms^{-1}$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार, बम का प्रारंभिक संवेग शून्य है (यह मानते हुए कि वह स्थिर था)।
इसलिए, $m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$.
परिमाण लेने पर, $m_1 v_1 = m_2 v_2$.
$4 \times v_1 = 12 \times 4$.
$v_1 = 12 \,ms^{-1}$.
$4 \,kg$ वाले टुकड़े की गतिज ऊर्जा $KE_1 = \frac{1}{2} m_1 v_1^2$ है।
$KE_1 = \frac{1}{2} \times 4 \times (12)^2 = 2 \times 144 = 288 \,J$.

(A) इंजन एक नत समतल पर द्रव्यमान को एकसमान वेग से ऊपर खींच रहा है। द्रव्यमान को समतल पर ऊपर ले जाने के लिए आवश्यक बल को समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक को संतुलित करना होगा।
बल $F = mg \sin \theta$.
यह दिया गया है कि झुकाव $1$ में $50$ है,इसलिए $\sin \theta = 1/50$ है।
$g = 10 \ ms^{-2}$ लेने पर,बल $F = 5000 \times 10 \times (1/50) = 1000 \ N$ प्राप्त होता है।
शक्ति $P = F \times v$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v = 5 \ ms^{-1}$ है।
$P = 1000 \ N \times 5 \ ms^{-1} = 5000 \ W = 5 \ kW$।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 3 \,kg$,विस्थापन $s = \frac{t^3}{3}$.
वेग $v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{t^3}{3}) = t^2$.
त्वरण $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(t^2) = 2t$.
बल $F = ma = 3 \times 2t = 6t$.
किया गया कार्य $W = \int F \cdot ds = \int_0^2 F \cdot v dt = \int_0^2 (6t)(t^2) dt$.
$W = \int_0^2 6t^3 dt = 6 \left[ \frac{t^4}{4} \right]_0^2$.
$W = 6 \times \frac{16}{4} = 6 \times 4 = 24 \,J$.

(C) साबुन का बुलबुला फुलाने में किया गया कार्य बुलबुले में संचित पृष्ठीय ऊर्जा के बराबर होता है।
चूंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं, इसलिए किया गया कार्य $W$ इस प्रकार दिया जाता है:
$W = T \times \Delta A = T \times 2 \times (4 \pi R^2) = 8 \pi R^2 T$
इस व्यंजक से, हम देख सकते हैं कि $W \propto R^2$ है।
माना $R$ त्रिज्या के लिए किया गया कार्य $W_1 = W$ है।
माना $2R$ त्रिज्या के लिए किया गया कार्य $W_2$ है।
अतः, $\frac{W_2}{W_1} = \frac{(2R)^2}{R^2} = \frac{4R^2}{R^2} = 4$।
इसलिए, $W_2 = 4W$।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 3 \text{ kg}$, विस्थापन $x = \frac{t^3}{3} \text{ m}$.
सबसे पहले, समय के सापेक्ष विस्थापन का अवकलन करके वेग $v$ ज्ञात करें:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^3}{3}\right) = t^2 \text{ m/s}$.
$t = 0$ पर, $v_i = 0^2 = 0 \text{ m/s}$.
$t = 2 \text{ s}$ पर, $v_f = 2^2 = 4 \text{ m/s}$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, किया गया कार्य $W$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta KE = KE_f - KE_i = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mv_i^2$.
मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \times 3 \times (4)^2 - \frac{1}{2} \times 3 \times (0)^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 16 = 24 \text{ J}$.

(C) शक्ति $P$ को $P = Fv$ द्वारा दर्शाया जाता है, जहाँ $F$ बल है और $v$ वेग है。
चूँकि $P$ स्थिर है, $Fv = \text{स्थिरांक}$.
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, $F = ma$, इसलिए $(ma)v = \text{स्थिरांक}$.
चूँकि $a = \frac{dv}{dt}$ और $v = \frac{ds}{dt}$, हमें प्राप्त होता है $m \left(\frac{dv}{dt}\right)v = P$.
$mv \, dv = P \, dt$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int mv \, dv = \int P \, dt \implies \frac{1}{2}mv^2 = Pt$.
इस प्रकार, $v^2 \propto t$, जिसका अर्थ है $v \propto t^{1/2}$.
चूँकि $v = \frac{ds}{dt}$, हमें मिलता है $\frac{ds}{dt} \propto t^{1/2}$.
समय के सापेक्ष समाकलन करने पर: $s \propto \int t^{1/2} \, dt$.
$s \propto t^{3/2}$.

(B) $1$. प्रकाश का एक बिंदु स्रोत सभी दिशाओं में प्रकाश उत्सर्जित करता है,जिससे बाहर की ओर फैलते हुए गोलीय तरंगाग्र बनते हैं।
$2$. जब ये गोलीय तरंगाग्र एक अवतल दर्पण पर आपतित होते हैं,तो किरणें मुख्य अक्ष के समानांतर परावर्तित हो जाती हैं (उपाक्षीय किरणों के लिए)।
$3$. समानांतर किरणों का एक समूह एक समतल तरंगाग्र के अनुरूप होता है।
$4$. इसलिए,आपतित तरंगाग्र गोलीय है और परावर्तित तरंगाग्र समतल है।

(A) दिया गया है: अभिदृश्यक की फोकस दूरी $f_o = 2 \,cm$, नेत्रिका की फोकस दूरी $f_e = 3 \,cm$, और लेंसों के बीच की दूरी $L = 15 \,cm$ है।
चूंकि अंतिम प्रतिबिंब अनंत पर बनता है, इसलिए अभिदृश्यक लेंस द्वारा बना प्रतिबिंब नेत्रिका के मुख्य फोकस पर स्थित होना चाहिए।
अतः, नेत्रिका से प्रतिबिंब की दूरी $v_e = f_e = 3 \,cm$ है।
अभिदृश्यक लेंस से प्रतिबिंब की दूरी $v_o = L - f_e = 15 \,cm - 3 \,cm = 12 \,cm$ है।
अभिदृश्यक लेंस के लिए लेंस सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{1}{f_o} = \frac{1}{v_o} - \frac{1}{u_o}$
मान रखने पर: $\frac{1}{2} = \frac{1}{12} - \frac{1}{u_o}$
$\frac{1}{u_o} = \frac{1}{12} - \frac{1}{2} = \frac{1 - 6}{12} = -\frac{5}{12}$
$u_o = -\frac{12}{5} = -2.4 \,cm$ है।
अतः वस्तु की दूरी $2.4 \,cm$ और प्रतिबिंब की दूरी $12 \,cm$ है।

(B) प्रिज्म से गुजरने वाली प्रकाश किरण के लिए,पहली सतह पर विचलन कोण $\theta_1 = i - r_1$ है और दूसरी सतह पर विचलन कोण $\theta_2 = e - r_2$ है।
कुल विचलन $\delta$ दोनों सतहों पर हुए विचलनों का योग है:
$\delta = \theta_1 + \theta_2$
$\delta = (i - r_1) + (e - r_2)$
$\delta = (i + e) - (r_1 + r_2)$
चूंकि प्रिज्म कोण $A = r_1 + r_2$ होता है,इसलिए हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\delta = i + e - A$

(A) दिया गया है कि आपतन कोण $i = 2r$,जहाँ $r$ अपवर्तन कोण है।
स्नेल के नियम के अनुसार,$\mu_1 \sin i = \mu_2 \sin r$ होता है।
मान लीजिए कि प्रकाश हवा $(\mu_1 = 1)$ से $\mu_2 = \mu$ अपवर्तनांक वाले माध्यम में जा रहा है,तो:
$1 \cdot \sin(2r) = \mu \sin r$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(2r) = 2 \sin r \cos r$ का उपयोग करने पर:
$2 \sin r \cos r = \mu \sin r$
चूंकि $\sin r \neq 0$,दोनों पक्षों को $\sin r$ से विभाजित करने पर:
$2 \cos r = \mu \implies \cos r = \frac{\mu}{2}$
अतः,$r = \cos^{-1}\left(\frac{\mu}{2}\right)$।
इसलिए,आपतन कोण $i = 2r = 2 \cos^{-1}\left(\frac{\mu}{2}\right)$ होगा।

(C) $p-n$ जंक्शन डायोड का इन-बिल्ट विभव (बैरियर विभव) $V_B = 0.7 \,V$ है。
जब एक $p-n$ जंक्शन डायोड को बाहरी वोल्टेज $V_f$ के साथ फॉरवर्ड बायस किया जाता है, तो प्रभावी अवरोध ऊँचाई (या प्रभावी विभव अवरोध) कम हो जाती है。
प्रभावी अवरोध ऊँचाई $V_{eff}$ का सूत्र $V_{eff} = V_B - V_f$ है。
यहाँ $V_B = 0.7 \,V$ और $V_f = 0.3 \,V$ दिया गया है。
मान रखने पर, हमें $V_{eff} = 0.7 \,V - 0.3 \,V = 0.4 \,V$ प्राप्त होता है。
अतः, प्रभावी अवरोध ऊँचाई $0.4 \,V$ है。

(A) दिया गया है: आधार धारा,$i_B = 10 \mu A$।
उत्सर्जक धारा,$i_E = 1 \text{ mA} = 1000 \mu A$।
ट्रांजिस्टर के लिए मूलभूत संबंध के अनुसार,उत्सर्जक धारा आधार धारा और संग्राहक धारा का योग होती है: $i_E = i_B + i_C$।
संग्राहक धारा ज्ञात करने के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $i_C = i_E - i_B$।
मान रखने पर: $i_C = 1000 \mu A - 10 \mu A = 990 \mu A$।

(B) ट्रांजिस्टर के परिपथ प्रतीक में,उत्सर्जक (emitter) टर्मिनल पर लगा तीर पारंपरिक विद्युत धारा के प्रवाह की दिशा को दर्शाता है।
$n-p-n$ ट्रांजिस्टर के लिए,धारा आधार (base) से उत्सर्जक की ओर बहती है,इसलिए उत्सर्जक पर तीर बाहर की ओर होता है।
$p-n-p$ ट्रांजिस्टर के लिए,धारा उत्सर्जक से आधार की ओर बहती है,इसलिए उत्सर्जक पर तीर अंदर की ओर होता है।
दिए गए प्रतीक में,उत्सर्जक पर तीर बाहर की ओर इंगित कर रहा है,जो यह पुष्टि करता है कि यह एक $n-p-n$ ट्रांजिस्टर है।

(A) $NAND$ गेट $Y = \overline{A \cdot B}$ ऑपरेशन करता है।
जब इस आउटपुट को $NOT$ गेट में दिया जाता है, तो अंतिम आउटपुट $Y' = \overline{Y} = \overline{(\overline{A \cdot B})}$ हो जाता है।
डबल नेगेशन के नियम के अनुसार, $\overline{(\overline{X})} = X$. इसलिए, $Y' = A \cdot B$.
यह $AND$ गेट के लिए बूलियन समीकरण है।

इनपुट $(A, B)$	$NAND$ आउटपुट $(\overline{A \cdot B})$	$NOT$ आउटपुट $(A \cdot B)$
$0, 0$	$1$	$0$
$0, 1$	$1$	$0$
$1, 0$	$1$	$0$
$1, 1$	$0$	$1$

(A) दिए गए इनपुट $X=1$ और $Y=1$ हैं।
$1$. इनपुट $X$ एक $NOT$ गेट से गुजरता है,इसलिए $OR$ गेट के लिए इनपुट $\bar{X} = 0$ है।
$2$. इनपुट $Y$ सीधे $OR$ गेट से जुड़ा है,इसलिए इनपुट $1$ है।
$3$. $OR$ गेट का आउटपुट $P = \bar{X} + Y = 0 + 1 = 1$ है।
$4$. इनपुट $X$ सीधे $NAND$ गेट से जुड़ा है,इसलिए इनपुट $1$ है।
$5$. इनपुट $Y$ एक $NOT$ गेट से गुजरता है,इसलिए $NAND$ गेट के लिए इनपुट $\bar{Y} = 0$ है।
$6$. $NAND$ गेट का आउटपुट $Q = \overline{X \cdot \bar{Y}} = \overline{1 \cdot 0} = \overline{0} = 1$ है।
$7$. अंत में,$P$ और $Q$ एक $NOR$ गेट के इनपुट हैं जो आउटपुट $R$ देते हैं।
$8$. $R = \overline{P + Q} = \overline{1 + 1} = \overline{1} = 0$ है।
अतः,$P=1, Q=1, R=0$ है।

(A) यह सर्किट दो $NOT$ गेट, दो $AND$ गेट और एक अंतिम $AND$ गेट से बना है।
पहले $AND$ गेट के इनपुट $A$ और $\overline{B}$ हैं, इसलिए इसका आउटपुट $A \cdot \overline{B}$ है।
दूसरे $AND$ गेट के इनपुट $\overline{A}$ और $B$ हैं, इसलिए इसका आउटपुट $\overline{A} \cdot B$ है।
अंतिम आउटपुट $Y$ इन दोनों आउटपुट का $AND$ ऑपरेशन है: $Y = (A \cdot \overline{B}) \cdot (\overline{A} \cdot B)$.
बूलियन बीजगणित के गुणों का उपयोग करते हुए: $Y = A \cdot \overline{A} \cdot B \cdot \overline{B}$.
चूंकि $A \cdot \overline{A} = 0$ और $B \cdot \overline{B} = 0$, इसलिए आउटपुट $Y = 0 \cdot 0 = 0$ सभी इनपुट संयोजनों के लिए प्राप्त होता है।
अतः, आउटपुट $Y$ हमेशा $0$ रहेगा।

(A) एक दाता अशुद्धि परमाणु अर्धचालक जाली (lattice) को एक अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन प्रदान करता है।
जब एक दाता अशुद्धि मिलाई जाती है,तो चालन बैंड (conduction band) में मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या काफी बढ़ जाती है।
द्रव्यमान क्रिया के नियम (law of mass action) के अनुसार,$n_e \cdot n_h = n_i^2$,जहाँ $n_e$ इलेक्ट्रॉन सांद्रता है,$n_h$ होल सांद्रता है,और $n_i$ आंतरिक वाहक सांद्रता है।
चूंकि $n_e$ बढ़ता है,इसलिए दिए गए तापमान पर $n_i^2$ के गुणनफल को स्थिर रखने के लिए होल सांद्रता $n_h$ को कम होना चाहिए।
अतः,इलेक्ट्रॉन सांद्रता बढ़ती है और होल सांद्रता घटती है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(B) अर्धचालक में धारा का सूत्र $I = n e A v_d$ होता है,जहाँ $n$ आवेश वाहक सांद्रता है,$e$ मूल आवेश है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $v_d$ अपवाह वेग है।
इलेक्ट्रॉनों और होलों के लिए,धाराएं $I_e = n_e e A v_e$ और $I_h = n_h e A v_h$ हैं।
धाराओं का अनुपात $\frac{I_e}{I_h} = \frac{n_e e A v_e}{n_h e A v_h} = \frac{n_e v_e}{n_h v_h} = \frac{7}{4}$ है।
हमें अपवाह वेग का अनुपात $\frac{v_e}{v_h} = \frac{5}{4}$ दिया गया है।
इसे अनुपात समीकरण में रखने पर: $\frac{n_e}{n_h} \times \frac{5}{4} = \frac{7}{4}$।
सांद्रता के अनुपात के लिए हल करने पर: $\frac{n_e}{n_h} = \frac{7}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{7}{5}$।
अतः,इलेक्ट्रॉनों और होलों की सांद्रता का अनुपात $7: 5$ है।

(D) जब एक $n$-प्रकार के अर्धचालक को गर्म किया जाता है,तो ऊष्मीय ऊर्जा क्रिस्टल जालक में सहसंयोजक बंधों को तोड़ने के लिए पर्याप्त ऊर्जा प्रदान करती है।
यह प्रक्रिया इलेक्ट्रॉन-होल जोड़े उत्पन्न करती है।
चूंकि प्रत्येक इलेक्ट्रॉन-होल जोड़े में एक मुक्त इलेक्ट्रॉन और एक होल होता है,इसलिए इलेक्ट्रॉनों की संख्या और होल्स की संख्या समान मात्रा में बढ़ती है।
अतः,होल्स और इलेक्ट्रॉनों की संख्या समान रूप से बढ़ती है।

(D) $LED$ (लाइट एमिटिंग डायोड) एक $p-n$ जंक्शन डायोड है जो फॉरवर्ड बायस में होने पर प्रकाश उत्सर्जित करता है।
$LED$ की मुख्य विशेषताएं इस प्रकार हैं:
$1$. ये इनकैंडेसेंट बल्बों की तुलना में कम वोल्टेज पर काम करते हैं।
$2$. इन्हें किसी वार्म-अप समय की आवश्यकता नहीं होती है।
$3$. इनमें बहुत तेज़ ऑन-ऑफ स्विचिंग क्षमता होती है,जो इन्हें हाई-स्पीड संचार और डिस्प्ले तकनीकों के लिए आदर्श बनाती है।
$4$. उत्सर्जित प्रकाश की बैंडविड्थ आमतौर पर संकीर्ण होती है,न कि $4000 \ Å - 7000 \ Å$ (जो पूरे दृश्य स्पेक्ट्रम को कवर करती है)।
इसलिए,सही कथन यह है कि इनमें तेज़ ऑन-ऑफ स्विचिंग होती है।

(C) फोटोडायोड में,रिवर्स सैचुरेशन करंट मुख्य रूप से अल्पसंख्यक आवेश वाहकों के प्रवाह के कारण होता है। जब प्रकाश फोटोडायोड पर आपतित होता है,तो यह इलेक्ट्रॉन-होल जोड़े उत्पन्न करता है,जिससे अल्पसंख्यक आवेश वाहकों की संख्या बढ़ जाती है। चूंकि अल्पसंख्यक वाहकों की प्रारंभिक संख्या बहुत कम होती है,इसलिए आपतित प्रकाश की थोड़ी सी मात्रा भी उनकी सांद्रता में महत्वपूर्ण आंशिक परिवर्तन लाती है। इससे रिवर्स करंट में स्पष्ट परिवर्तन होता है,जो फोटोडायोड को प्रकाश के प्रति अत्यधिक संवेदनशील बनाता है। इसके विपरीत,फॉरवर्ड बायस में,करंट पर बहुसंख्यक वाहकों का प्रभुत्व होता है,जो पहले से ही बड़ी संख्या में मौजूद होते हैं,जिससे आपतित प्रकाश के कारण होने वाला आंशिक परिवर्तन नगण्य हो जाता है।

(A) विकिरण की तीव्रता को प्रति इकाई क्षेत्रफल प्रति इकाई समय में आपतित ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है: $I = \frac{E}{A \cdot t}$.
$f$ आवृत्ति के फोटॉन के लिए,ऊर्जा $E = hf$ होती है। अतः,कुल आपतित ऊर्जा $E_{total} = N \cdot hf$ है।
सतह $A$ के लिए: $I_A = \frac{n \cdot hf}{A \cdot t}$.
सतह $B$ के लिए: $I_B = \frac{(2n) \cdot h(3f)}{A \cdot (4t)} = \frac{6nhf}{4At} = \frac{3nhf}{2At}$.
अनुपात लेने पर: $\frac{I_A}{I_B} = \frac{nhf}{At} \cdot \frac{2At}{3nhf} = \frac{2}{3}$.
अतः,अनुपात $2: 3$ है।

(C) दो प्रोटॉन के बीच गुरुत्वाकर्षण बल की सापेक्ष शक्ति उनके बीच के विद्युत-चुंबकीय बल की शक्ति का लगभग $10^{-39}$ गुना होती है।
अतः,गुरुत्वाकर्षण बल और विद्युत-चुंबकीय बल का अनुपात $10^{-39} / 10^{-2} = 10^{-37}$ है।
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(A) प्रबल नाभिकीय बल की सापेक्ष शक्ति लगभग $1$ होती है।
दुर्बल नाभिकीय बल की सापेक्ष शक्ति लगभग $10^{-13}$ होती है।
अतः,प्रबल और दुर्बल नाभिकीय बलों की सापेक्ष शक्तियों का अनुपात इस प्रकार है:
अनुपात $= \frac{\text{प्रबल नाभिकीय बल}}{\text{दुर्बल नाभिकीय बल}} = \frac{1}{10^{-13}} = 10^{13}$.

(B) फ्रेनेल दूरी $(Z_F)$ का सूत्र $Z_F = \frac{a^2}{\lambda}$ है, जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है और $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्घ्य है।
दिया गया है:
स्लिट की चौड़ाई $a = 2 \, mm = 2 \times 10^{-3} \, m$
तरंगदैर्घ्य $\lambda = 4000 \, Å = 4 \times 10^{-7} \, m$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$Z_F = \frac{(2 \times 10^{-3})^2}{4 \times 10^{-7}}$
$Z_F = \frac{4 \times 10^{-6}}{4 \times 10^{-7}}$
$Z_F = 10 \, m$
अतः, फ्रेनेल दूरी $10 \, m$ है।

(B) एकल स्लिट विवर्तन में केंद्रीय उच्चिष्ठ की कोणीय चौड़ाई $\theta = \frac{2\lambda}{a}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
अतः,$\theta \propto \lambda$.
मान लीजिए प्रारंभिक तरंगदैर्ध्य $\lambda_1 = 6000 \text{ Å}$ है और प्रारंभिक कोणीय चौड़ाई $\theta_1 = \theta$ है।
इसलिए $\theta_1 = k \lambda_1$ $(i)$
जब तरंगदैर्ध्य को बदलकर $\lambda_2 = \lambda$ कर दिया जाता है,तो कोणीय चौड़ाई $30 \%$\ कम हो जाती है।
इसलिए,$\theta_2 = \theta_1 - 0.30 \theta_1 = 0.70 \theta_1$.
चूँकि $\theta_2 = k \lambda_2$,इसलिए $0.70 \theta_1 = k \lambda_2$ (ii)
समीकरण (ii) को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{k \lambda_2}{k \lambda_1} = \frac{0.70 \theta_1}{\theta_1}$
$\frac{\lambda_2}{6000 \text{ Å}} = 0.70$
$\lambda_2 = 0.70 \times 6000 \text{ Å} = 4200 \text{ Å}$.

(C) $YDSE$ में,$n^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d} + y_0$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $y_0$ केंद्रीय उच्चिष्ठ की स्थिति है।
हवा में दिया गया है: $y_0 = 2 \text{ cm}$ और $y_{10} = 5 \text{ cm}$।
फ्रिंज चौड़ाई $\beta = y_{10} - y_0 = 5 \text{ cm} - 2 \text{ cm} = 3 \text{ cm}$।
हम जानते हैं कि $\beta = \frac{\lambda D}{d}$। अतः,$\frac{\lambda D}{d} = 3 \text{ cm}$।
जब उपकरण को $\mu = 1.5$ अपवर्तनांक वाले द्रव में डुबोया जाता है,तो तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{\lambda}{\mu}$ हो जाती है।
नई फ्रिंज चौड़ाई $\beta' = \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{\mu d} = \frac{\beta}{\mu} = \frac{3 \text{ cm}}{1.5} = 2 \text{ cm}$।
केंद्रीय उच्चिष्ठ की स्थिति $y_0'$ अपरिवर्तित रहती है क्योंकि यह तरंगदैर्ध्य पर निर्भर नहीं करती है,इसलिए $y_0' = 2 \text{ cm}$।
$10^{\text{th}}$ उच्चिष्ठ की नई स्थिति $y_{10}' = y_0' + 10 \beta' = 2 \text{ cm} + 10 \times \frac{3 \text{ cm}}{10 \times 1.5} = 2 \text{ cm} + 2 \text{ cm} = 4 \text{ cm}$।

(B) दो स्लिट्स के बीच की दूरी $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ है।
स्क्रीन और स्लिट्स के बीच की दूरी $D = 1 \,m$ है।
उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $\lambda = 500 \,nm = 500 \times 10^{-9} \,m$ है।
फ्रिंज की चौड़ाई $\beta$ का सूत्र $\beta = \frac{D \lambda}{d}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\beta = \frac{1 \times 500 \times 10^{-9}}{10^{-3}} = 500 \times 10^{-6} \,m = 0.5 \times 10^{-3} \,m = 0.5 \,mm$.

(B) दिया गया है: स्लिट्स के बीच की दूरी $d = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$, तरंगदैर्ध्य $\lambda = 6.5 \times 10^{-7} \,m$, पर्दे की दूरी $D = 1 \,m$ है।
$n$-वीं अदीप्त फ्रिंज के लिए, स्थिति $y_n = (n - 0.5) \frac{\lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
तीसरी अदीप्त फ्रिंज $(n=3)$ के लिए: $y_3 = (3 - 0.5) \frac{6.5 \times 10^{-7} \times 1}{10^{-3}} = 2.5 \times 6.5 \times 10^{-4} = 16.25 \times 10^{-4} \,m$ है।
$n$-वीं दीप्त फ्रिंज के लिए, स्थिति $y_n = \frac{n \lambda D}{d}$ द्वारा दी जाती है।
पांचवीं दीप्त फ्रिंज $(n=5)$ के लिए: $y_5 = \frac{5 \times 6.5 \times 10^{-7} \times 1}{10^{-3}} = 32.5 \times 10^{-4} \,m$ है।
तीसरी अदीप्त फ्रिंज और पांचवीं दीप्त फ्रिंज के बीच की दूरी $\Delta y = y_5 - y_3 = 32.5 \times 10^{-4} - 16.25 \times 10^{-4} = 16.25 \times 10^{-4} \,m = 1.625 \,mm$ है।